(
)
:/I Soit f la fonction définie sur IR par : ( )f x = e
Exercice n° 1 3 points
Pour chacune des questions suivantes , une seule réponse est correcte , indiquer laquelle. Aucune justification n'est demandée.
-- -
-ln(1 ) . 1) pour tout réel on a '( ) :
1 1 1
a) - ln(1 ) - b) - ln(1 ) c) ln(1 ) -
1 1 1
2) La fonction est une solution de l'éq
x x x x x x x x x x x e x f x e e e e e e e e e f + = + + + + + + + -uation différentielle : 1 a) ' ln(1 ) b) ' c) ' 1 / et étant deux évenements indépendants tels que ( )
x x x y y e y y e y y e II A B p A + = + + = + = + 0.3 et ( ) 0.4 1) ( ) est égale à: a) 0.12 b) 0.58 c) 0.7 2) la probabilité de B sac p B p A B = = ∪ hant A est: a) (P B A)=0.75 b) (P B A)=0.4 c) (P B A) 1 = Exercice n°2 : (4 points)
Un opérateur téléphonique propose à ses abonnés deux types d’accès internet à haut débit :
• Un accès internet sur ligne fixe ;
• Un accès 3G sur téléphone portable.
Aujourd’hui, l’entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés :
• 58% des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là , 24% ont également un accès 3G sur téléphone portable .
• Parmi les abonnés qui n’ont pas d’accès internet sur ligne fixe, 13% ont un accès 3G sur téléphone portable.
Pour une enquête , la fiche d’un abonné est prélevée au hasard, on note les évènements :
• F : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe ».
• G : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable ».
1) En utilisant les données de l’énoncé, préciser les valeurs de ( ), de ( / ) et de ( / ) 2) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
3) Calculer ( ∩ ). Interpreter ce résultat.
4) a/ Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d’un abonné qui n’a pas d’accès 3G sur téléphone portable est de 0,8062.
b/ Peut-on affirmer qu’au moins 25% des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ? 5) On prélève successivement les fiches de trois abonnés.
Calculer la probabilité qu’exactement une des fiches tirées soit celle d’un abonné qui n’a pas d’accès 3G sur téléphone portable.
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Lycée secondaire Bach Hamba - Bizerte
Professeurs: Mme Bayoudh &
Mr Ben Ali
Séction Séction Séction
Séction :::: Sciences expérimentalesSciences expérimentalesSciences expérimentalesSciences expérimentales
DuréeDuréeDuréeDurée : 3 heures: 3 heures: 3 heures: 3 heures
6) Cet opérateur téléphonique utilise des antennes-relais dont la durée de vie exprimée en années est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre = 0,035
a/ Calculer la probabilité qu'une antenne-relais ait une durée de vie inférieure à 6 ans
b/ Sachant qu’un antenne-relais a fonctionné 12 ans , quelle est la probabilité qu’il reste encore fonctionnel au bout de 10 ans.
Exercice n°3 : (4 points)
L’espace ξ est rapporté à un repère orthonormé directe ( , , , ) On considère les points (2,0,3); (4,2,3) et (2,0,5).
1) a/ Calculer ∧ .
b/Déduire que les points , et déterminent un plan P d’équation −! − 2 = 0 . 2) Soit " l’ensemble des points M(x,y,z) de ξ tels que : #$+ !$+ &$+ 6# − 14! − 8& − 1 = 0
a/ Montrer vque " est une sphère dont on précisera le centre ) et le rayon *.
b/ Montrer que " +, P sont sécants suivant un cercle ζ dont on préciser le centre H et le rayon r 3) a/ Vérifier que est un tétraèdre .Calculer son volume.
b/ Calculer l’aire du triangle ABC. En déduire la hauteur issu de O dans le tétraèdre OABC. Exercice n°4 : (4 points)
Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d’une ville de 50 000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 6 semaines. Ces semaines ont été numérotées de 1 à 6.
On a noté #- les rangs successifs des semaines et !- le nombre de consultations correspondant : Rang de la semaine : ./ 1 2 3 4 5 6
Nombre de consultations: 0/ 540 720 980 1320 1800 2420 On a tracé dans l’annexe le nuage de points correspondant à cette serie.
1) a/ Trouver l’équation de la droite d’ajustement affine ! = 1# + 2 par la méthode des moindres carrés
b/A la septième semaine le nombre de consultations a été de 3300
Le modèle d’ajustement affine précedent a été rejeté par le service de santé. Justifier pourquoi ? 2) On décide d’effectuer un ajustement exponentiel, on pose &- = 34(!-).
Compléter le tableau suivant en arrondissant les &- à 0,01 près.
Rang de la semaine : xi 1 2 3 4 5 6 7
5/ = 67(0/) 7.19
3) a/ Trouver l’équation de la droite de régression de & en # par la méthode des moindres carrés (Les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,01 près)
b/ En déduire que ! = 395+9.:;
4) En utilisant ce modèle, trouver par le calcul :
a/ Une estimation du nombre de consultations à la 10ème semaine (arrondir à l’unité).
b/ La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera 25% de la population.
(
)
2 :
/ On considére l'équation différentielle 1) Soit ( ) - , vérifier que g est une sol 2) Détreminer les solutions de l'équat
x
A E y y e
g x = xe E
Exercice n°5 5points
3) a/ Montrer qu'une fonction f est
b/ On déduire les solutions de (E f
(
)
-/ Soit la fonction définie sur par ( ) ( orthonormé , ,
1) a/ Calculer lim ( ) . Interpréter l x B f IR f x x e et C O i j f x → ∞ r r
b/ Calculer lim ( ) et lim .Intrerpr 2) a/ Montrer que f est dérivable su
b/ Dresser le tableau de vari
x x f x f x →+∞ →+∞ ation de . c/ Tracer .
3) a/ Soit 0 , calculer ( ) l'aire et les droites d'équations réspectives C A C α ≤ α b/ Calculer lim A( ) αa−∞ α Nombre de consultations: yi 2 0 1
/ On considére l'équation différentielle ( ) : '- . 2
1) Soit ( ) - , vérifier que g est une solution de ( ) 2) Détreminer les solutions de l'équation différentielle (
x A E y y e g x xe E E = − 1 ) : '- 0 2
3) a/ Montrer qu'une fonction f est une solution de ( ) si et seulment si ( - ) b/ On déduire les solutions de ( ), puis déterminer la solution qui vér
y y E f g E E f = 2 ifie (0) 1. / Soit la fonction définie sur par ( ) (1- ) sa courbe représentative dans un r
1) a/ Calculer lim ( ) . Interpréter le résultat obtenu. x
f
B f IR f x = x e et C
( )
b/ Calculer lim ( ) et lim .Intrerpréter le résultat obtenu. 1
2) a/ Montrer que f est dérivable sur et pour tout , '( ) - ( 1) . 2
f x x
IR x∈IR f x = x+ e
ation de .
3) a/ Soit 0 , calculer ( ) l'aire de la partie du plan limitée par la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équations réspectives et 1.
f A C x=α x=
Annexe(Exercice4)
Rang de la semaine : xhttp://mathematiques.tk/
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Tous nos meilleurs vœux de réussite
0 une solution de ( ) si et seulment si ( - ) est une solution de (E f g E ).ifie (0) 1.
1- ) sa courbe représentative dans un repére
f =
2 r et pour tout , '( ) - ( 1) .
x
IR x IR f x x e
be l'axe des abscisses
A C
: xi
