Comment donner aux élèves l’envie de chercher ?

HAL Id: dumas-01370960

https://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-01370960

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Distributed under a Creative Commons Attribution - NonCommercial - NoDerivatives| 4.0 International License

Comment donner aux élèves l’envie de chercher ?

Sibylle Pernollet

To cite this version:

Sibylle Pernollet. Comment donner aux élèves l’envie de chercher ?. Education. 2016. �dumas-01370960�

Master « Métiers de l’Education et de la formation »

Mention Premier Degré

CRT 6 : la démarche d’investigation en mathématiques

Mémoire de master

Année universitaire 2015-2016

« Comment donner aux élèves l’envie de chercher ? »

Sibylle Pernollet

Directeur de mémoire : Nathalie Briant

Membres du jury de soutenance : Nathalie Briant, Mirène Larguier

Soutenu en mai 2016

2

Résumé :

Dans un souci d’éduquer à la posture de recherche et au plaisir de chercher, et dans l’optique de construire les apprentissages mathématiques sur des bases solides, la confrontation des élèves à de véritables problèmes apparait comme fondamentale. L’objet de ce mémoire est donc de comprendre par quels dispositifs pédagogiques et gestes professionnels un enseignant peut donner à ses élèves l’envie de chercher la solution à un problème. Le rôle de l’enseignant, l’importance de la mise en scène et les processus cognitifs en jeu y sont décryptés de façon à définir les éléments décisifs dans cette confrontation.

Mots-clés :

Dévolution, situation-problème, procédure de résolution, théorie des situations didactiques, contrat didactique, décomposition des nombres.

Abstract :

With the intention of teaching researching position and leading the students to enjoying research, and in order to build mathematics learnings on solid foundations, it seems necessary to confront students to real problems. The purpose of this writing is to understand how to bring the students to feel like searching the solution to a problem. The role of the teacher, the importance of the context and the cognitive processes at stake are decoded to define the key elements in this confrontation.

Key words :

Devolution, problems, solving strategies, theory of didactical situations, didactical contract, decomposition of numbers.

Remerciements

Je tiens à remercier ma directrice de mémoire et enseignante Nathalie Briant, qui m’a encouragée par des critiques toujours constructives et souvent très positives. Sa confiance dans mon travail et mes capacités à progresser m’a portée tout au long de cette année.

Je souhaite également remercier les professeurs du CRT 6, Mirène Larguier et Alain Bronner, qui nous ont fait partager leur intérêt pour la démarche d’investigation en mathématiques. Leurs démonstrations de didactique ont été source d’inspiration pour ce mémoire.

Je dois également remercier la titulaire de ma classe de GS qui m’a offert une grande liberté pédagogique et m’a accompagnée dans mes réflexions.

Enfin je suis particulièrement reconnaissante envers ma collègue qui a accepté de modifier sa programmation pour expérimenter ma situation et m’a accueillie dans sa classe pour me permettre de mener mes observations.

3

Table des matières

INTRODUCTION : EXPLICITATION DE LA PROBLEMATIQUE ... 4

ETAT DE L’ART DE LA CONNAISSANCE DIDACTIQUE ... 7

I. POURQUOI des problèmes pour chercher ? ... 8

Les problèmes au cœur même des mathématiques ... 8

Les problèmes pour construire les apprentissages ... 9

II. L’ELEVE face à ces problèmes ... 12

Pourquoi l’élève s’engage-t-il dans la résolution de problèmes ? ... 12

Apprendre la résolution de problèmes ... 14

III. COMMENT mettre en œuvre les problèmes pour chercher ? ... 15

Principes généraux ... 15

Quels choix didactiques ? ... 17

IV. Quelle place les instructions officielles accordent-elles aux problèmes pour chercher ? ... 20

LES EXPERIMENTATIONS PROPOSEES ... 23

I. Introduction ... 23

Présentation de la méthodologie ... 23

Les choix didactiques ... 24

II. SITUATION TOUR DE MAGIE : LES TASSES ET LES SUCRES (situation inventée) ... 25

Présentation de la situation ... 25

Analyse a priori de la situation ... 26

Au regard de la théorie des situations didactiques : ... 29

Analyse a posteriori de la situation ... 31

III. SITUATION LE JEU DES COLLIERS (Ermel 1990, p.142) ... 38

Présentation de la situation ... 38

Analyse a priori de la situation ... 39

Au regard de la théorie des situations didactiques : ... 42

Analyse a posteriori de la situation ... 44

CONCLUSION ... 48

BIBLIOGRAPHIE ... 52

ANNEXES ... 53

I. Analyse de quelques situations proposées dans des manuels : ... 53

Ajouts : fiche 24 (2004, p.93-94) ... 53

Le bocal de bonbons, (2015, p.188 à 191)... 56

II. Documentation concernant les expérimentations ... 60

SITUATION TOUR DE MAGIE : LES TASSES ET LES SUCRES (situation inventée) ... 60

4

INTRODUCTION : EXPLICITATION DE LA PROBLEMATIQUE

Pour nous adultes le sens de la recherche peut être très fort, il peut s’agir d’une véritable quête, de donner du sens à sa vie, de vouloir comprendre le monde qui nous entoure. Les chercheurs ont souvent la patience nécessaire, se nourrissent de petites avancées, car ils considèrent que l’objet de leur recherche est supérieur, a une valeur qui les dépasse, et mérite tous les efforts qu’ils peuvent lui apporter. Mais les enfants ont quant à eux besoin de recevoir une éducation à la recherche, car cette activité particulière, qu’elle soit innée ou non, ne se fait pas toujours avec l’attitude la plus appropriée. En effet de nombreux enfants croient pouvoir obtenir ce qu’ils veulent rapidement et sans effort, et n’envisagent pas de s’intéresser à des choses qui ne sont pas immédiatement visibles ou à leur portée. Or si nous voulons que nos enfants deviennent des êtres pensants, libres, responsables et épanouis personnellement, socialement et intellectuellement, l’importance de chercher semble trouver toute sa place dans l’éducation que nous leur offrons et l’enseignement que nous leur apportons à l’école. Les avantages que présente l’activité de recherche sur les plans cognitif et psycho-affectif sont nombreux :

Le fait d’être habitué à chercher offre plus d’autonomie dans les apprentissages car l’individu ne se contentera pas d’attendre la réponse d’un de ses pairs ou professeurs, mais acceptera de se prêter au jeu de la recherche pour trouver une solution à un problème, et construira ainsi des savoirs plus solides, au cours d’occasions plus nombreuses. De plus, il apprendra à exploiter et valoriser ses erreurs en comprenant qu’elles lui permettent d’avancer, de se rapprocher de la solution au fur et à mesure qu’il élimine les procédures qui ne mènent pas au bon résultat.

Le fait de chercher apporte également des enrichissements personnels importants. En effet, chercher c’est parfois trouver, et donc gagner en confiance en soi grâce à ces « petites victoires » qui représentent une grande satisfaction après l’effort de recherche réalisé. Toutefois, chercher n’apporte pas toujours la certitude de trouver, et éduque en cela l’apprenti-chercheur à adopter une attitude volontariste en toute humilité, à se placer en-dessous du savoir.

Enfin un individu qui a intégré la recherche dans son mode de pensée et de fonctionnement sera sûrement plus curieux, plus enclin à aller vers l’inconnu puisque mieux armé pour l’affronter, mais également plus ouvert d’esprit et capable de faire évoluer ses points de vue de la même façon que ses hypothèses et ses certitudes évoluent lorsqu’il est en situation de recherche.

L’importance de chercher étant reconnue à travers les nombreux bénéfices énoncés ci-dessus, il ne faut pas négliger la méthode, la procédure qui permet d’apprendre à chercher. A l’école on présentera aux enfants un cadre pour qu’ils puissent chercher efficacement et obtenir des résultats :

5

la démarche d’investigation. Traditionnellement exploitée en sciences, la démarche d’investigation peut être néanmoins très enrichissante au niveau de tous les apprentissages et même en-dehors du cadre scolaire. Elle permet, par sa pratique assidue, de développer des procédures, des automatismes, des réflexes, des cheminements de pensée, une prise de recul qui pourront être réinvesties dans de multiples situations scolaires, professionnelles et personnelles. En effet l’habitude de chercher facilite de nombreuses démarches intellectuelles en mobilisant des aptitudes cognitives façonnées tout au long de ces pratiques d’investigation.

L’objectif de l’entraînement à la recherche est double : d’une part il amène au développement d’habiletés particulières pour cette méthode, d’autre part il conduit, au fil des réussites, au plaisir de chercher. Dans le cadre de la démarche d’investigation en mathématiques, le plaisir de chercher amènera lui-même au plaisir de faire des mathématiques, et permettra à l’individu de s’assurer de meilleures chances dans toute sa scolarité, car la maîtrise de cette discipline représente souvent un avantage comparatif voire sélectif.

Pourtant les mathématiques semblent représenter pour beaucoup de personnes une discipline difficile, technique, austère, inabordable, alors que pour d’autres au contraire les mathématiques sont un jeu, un plaisir, une distraction. Les premiers pensent que les outils nécessaires et indispensables à la pratique des mathématiques leur sont inaccessibles, leur échappent, et se ferment bien souvent définitivement à ce domaine pourtant si utile dans la vie en général. Les seconds certes maîtrisent souvent ces fameux outils de base, mais ont surtout une conception différente des mathématiques. Ils n’en ont pas peur, au contraire ils s’amusent au quotidien avec des opérations toutes simples de calcul ou sous formes d’énigmes. Parfois la seule bonne maîtrise du calcul mental basique et un minimum de sens logique peuvent offrir de grandes possibilités de divertissements avec les mathématiques.

L’enjeu majeur qui apparaît puisque nous choisissons de nous adresser à un jeune public est le suivant : Comment donner aux élèves l’envie de chercher la solution à un problème ? Comment leur transmettre la responsabilité de cette recherche tout en s’assurant qu’ils l’assument avec enthousiasme et volonté ? Il nous faut avant tout définir l’objet de cette recherche. Dans le cadre scolaire, les élèves sont confrontés à une situation-problème, c’est-à-dire une situation pédagogique qui appelle les élèves à chercher une solution à un problème complexe, pour lequel aucune solution évidente n’est disponible a priori. Les éléments constitutifs de cette situation en feront une situation-problème de qualité s’ils permettent aux élèves de trouver des procédures personnelles construites en autonomie au terme d’un processus de recherche active.

6

Notre étude se situe donc à la genèse de l’apprentissage de la démarche d’investigation. Le rôle de l’enseignant sera forcément fondamental, puisqu’il lui reviendra de concevoir ou tout au moins mettre en œuvre une situation motivante et qui permette d’éviter les découragements pouvant apparaître très vite chez de jeunes enfants. De plus, afin de transformer une situation de recherche en situation d’apprentissage, il devra observer et faire verbaliser les démarches et les procédures des élèves.

Nous choisirons de porter notre étude sur un domaine de la numération qui permet de jouer avec les nombres, à savoir la décomposition des nombres. Cet aspect des mathématiques rentre parfaitement dans le programme de grande section de maternelle, et mène tout droit aux problèmes additifs et soustractifs qui seront étudiés en cycle 2. En effet il est indiqué dans le sous-domaine « Découvrir les nombres et leurs utilisations » des nouveaux programmes de maternelle 2015 que « la maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre ». De plus parmi les attendus de grande section, c’est-à-dire les compétences à atteindre en fin de cycle 1, on trouve dans le champ « étudier les nombres » les points suivants :

- Quantifier des collections jusqu'à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales.

- Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix. - Parler des nombres à l'aide de leur décomposition (2015, p.17).

Ainsi pour répondre à notre problématique, nous orienterons ce travail de recherche sur deux hypothèses : pour donner aux enfants l’envie de chercher, il faut tout d’abord soigner la mise en scène, accrocher leur attention dès le départ ; il faut ensuite leur offrir une promesse, un but à atteindre, garantir un événement ou une récompense rattachée à la solution trouvée.

Nous nous attacherons à vérifier ces hypothèses de recherche à travers des expérimentations menées en classe, tout en nous appuyant sur les travaux de recherche publiés par plusieurs didacticiens des mathématiques. Ainsi dans une première partie nous dresserons un panorama des études théoriques et recommandations pratiques portant sur la résolution de problèmes et son lien avec les apprentissages, puis dans une seconde partie nous effectuerons une analyse a priori et a posteriori de deux situations vécues en classe en vue de répondre aux hypothèses énoncées plus haut.

7

ETAT DE L’ART DE LA CONNAISSANCE DIDACTIQUE

Afin de légitimer la place que nous pensons devoir donner aux problèmes à l’école, nous devons comprendre comment la résolution de problèmes favorise les apprentissages. Nous devons également nous demander comment concevoir et mettre en œuvre ces problèmes dans la classe et s’assurer que les élèves prendront la responsabilité de cette résolution, se glisseront dans la peau de chercheurs non seulement par contrainte mais aussi par plaisir. Plusieurs didacticiens ont déjà apporté des réponses à ces questions. Les programmes de l’école primaire et les manuels scolaires peuvent également servir de support à cette réflexion. Nous nous proposons de synthétiser les principales idées prônées par ces sources et liées à notre problématique.

Brousseau (1997, 2009), didacticien des mathématiques, a travaillé sur une modélisation de l’enseignement basé sur les problèmes pour chercher, intitulée théorie des situations didactiques en mathématiques. Nous en décrirons les principales composantes.

Briand (1999-2000) s’est intéressé de près à la problématique des situations-problèmes en maternelle. Il tente de comprendre comment une situation d’apprentissage peut se construire par l’analyse d’une situation familière, en l’occurrence une activité de tri de graines par des élèves de petite section.

Brun (1999) s’est attaché à donner la définition et les caractéristiques d’un problème mathématique, en particulier additif, au carrefour des perspectives psychologiques et didactiques et des mécanismes cognitifs mis en jeu par les élèves pour sa résolution, notamment les représentations qu’ils construisent du problème à résoudre.

L’équipe Ermel (1990), qui œuvre en faveur du développement de certaines activités numériques dès l’école maternelle, s’interroge sur les stratégies d’enseignement à développer autour de la construction des nombres, découlant elles-mêmes des hypothèses faites concernant les apprentissages.

Houdement (2003) décrypte le rapport des élèves aux problèmes en mathématiques, et les stratégies didactiques qui permettent de les aider à s’engager dans la résolution.

Julo (2002) décrit le lien complexe qui existe entre les problèmes et les apprentissages, qu’il déplore être plus souvent exploité dans le sens de l’apprentissage de la résolution de problèmes que dans le sens des apprentissages construits grâce à la résolution de problèmes.

8

A la lumière des écrits de ces spécialistes, nous décrirons le rôle central qu’occupent les problèmes dans l’apprentissage des mathématiques, puis nous tenterons de définir la relation que les élèves entretiennent avec les problèmes pour chercher et les leviers utilisés pour l’optimiser, enfin nous nous attacherons à identifier les conditions et variables à construire pour mettre en œuvre des situations-problèmes avec les meilleures chances de succès.

I.

POURQUOI des problèmes pour chercher ?

Les problèmes au cœur même des mathématiques

L’équipe Ermel retrace dans son ouvrage l’évolution de l’apprentissage des nombres à la maternelle au cours du 20è siècle. Deux périodes sont distinguées, chacune voyant se pratiquer une façon particulière de présenter les nombres en grande section de maternelle. Avant 1970, les nombres sont présentés l’un après l’autre avec leurs différentes représentations : écriture chiffrée, collection d’objets, constellations particulières… « L’élève tour à tour observe, imite, reproduit et répète » (1990, p.19). Le nombre n’est pas construit, et aucun lien n’est tissé entre nombre concret et nombre abstrait. A partir de la réforme de 1970, « ce sont les notions et non plus les conventions qui vont servir de trame à la progression » et prépareront au CP : « études des notions dites prénumériques (classement, rangement, désignation), puis de la notion de nombres, puis (souvent simultanément) de la numération et de l’addition » (1990, p.21). On voit ainsi que l’enseignement des mathématiques s’est ouvert en autorisant l’élève à apprendre en comprenant, et non plus simplement en acceptant tels quels des concepts sans les avoir construits au préalable. On peut cependant encore s’interroger sur l’activité réelle de l’élève et son rôle dans la construction de ses apprentissages.

Selon Houdement, « les problèmes à l’école ont une spécificité et un rôle à jouer dans les apprentissages » (2003, p.7). Et cela est d’autant plus valable lorsque l’on considère la discipline des mathématiques, car comme le soutient Julo, « la résolution de problèmes est liée, intrinsèquement, à la formation et au fonctionnement des connaissances qui caractérisent cette discipline » (2002, p.31). Houdement explicite cette même idée grâce à quelques exemples présentant les problèmes comme étant à l’origine des savoirs et concepts mathématiques, eux-mêmes créés pour apporter des solutions à des problèmes réels :

L’homme a commencé à représenter des quantités pour contrôler leur permanence, la géométrie serait née de la nécessité de redessiner les limites des propriétés terriennes après chaque crue du Nil, en conservant l’aire d’avant la crue. (2003, p.7).

9

Il apparaît donc légitime d’utiliser la résolution de problèmes pour apprendre les connaissances et concepts mathématiques à l’école, puisque c’est par ce biais qu’ils se sont construits.

Ainsi pour construire les connaissances numériques, il faudrait les envisager selon leur essence-même, c’est-à-dire amener les élèves à chercher à donner du sens aux nombres. Selon les chercheurs de l’équipe Ermel, les nombres représentent pour les jeunes enfants de grande section de maternelle, « dans une certaine mesure, des outils pour maîtriser certains aspects du réel, mais aussi des objets qu’ils ont envie de mieux connaître » (1990, p.27). Ils posent donc le postulat que les nombres doivent être abordés à travers les usages qu’il est possible d’en faire et non simplement présentés aux élèves comme des outils conceptuels. Les apprentissages numériques qui en découlent relèvent donc plutôt d’une « dialectique outil-objet », terme emprunté à Douady, où les connaissances numériques « interviennent tour à tour comme outils efficaces pour la résolution de certains problèmes et comme objets identifiés pouvant être étudiés pour eux-mêmes » (1990, p.27). L’enseignement préconisé est donc totalement tourné vers l’utilisation des nombres, « afin que les mots et les signes qui les désignent s’imprègnent de sens » (1990, p.27).

Les problèmes pour construire les apprentissages

Brousseau explique que l’étude de l’enseignement doit commencer « par celle des conditions dans lesquelles les connaissances mathématiques se manifestent, se constituent et s’acquièrent » (2009, p.19). Pour lui l’objectif est de « faire en sorte que les élèves apprennent les mathématiques en les pratiquant, à la façon des mathématiciens » (2009, p.20). Il ne s’agit donc pas d’enseigner les mathématiques de façon théorique et abstraite mais bien de confronter les élèves à des problèmes ou situations, de les mettre en activité réelle.

Houdement partage cette opinion et rappelle que « les problèmes sont constitutifs de l’apprentissage des mathématiques, ce que résume l’expression : apprendre par la résolution de problèmes » (2003, p.8). Elle cite Julo1 pour préciser cette pensée :

C’est dans l’activité de résolution de problèmes que se trouve la source de la connaissance. Cependant il ne s’agit pas seulement de chercher, mais de réussir à aller jusqu’au bout de l’élaboration d’une procédure nouvelle (non connue) (Houdement, 2003, p.8).

L’apprentissage se fera donc au terme d’un cheminement permettant d’atteindre un but. Nous devons garder à l’esprit le fait que la situation proposée doit aboutir à des solutions, via des procédures construites par les élèves. C’est bien la résolution qui entraînera les processus cognitifs de construction des connaissances, la recherche n’est qu’un moyen, une condition pour y parvenir.

1

10

Mais nous reviendrons sur cet aspect plus bas. Afin de comprendre comment les problèmes peuvent participer à la construction des apprentissages mathématiques, rappelons tout d’abord la définition que Brun propose d’un « véritable problème » :

Dans une perspective psychologique, un problème est […] une situation initiale avec un but à atteindre demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire (1999, p.2).

Un problème va donc placer l’élève dans une situation de recherche, de construction de procédure, et non « d’application mécanique d’une règle ou d’une opération venant d’être enseignées » (1999, p.2). Pour Brousseau il faut que « l’apprentissage de l’élève soit une simulation de la démarche mathématique et non une récitation du texte de mathématique qui en résulte » (2009, p.25). Pour qu’il y ait apprentissage, l’enseignant doit donc mettre en place ce que Brousseau appelle une

situation fondamentale : placés en position de chercheurs, les élèves n’ont pas a priori connaissance

du savoir mathématique qui fournit un outil de résolution économique et optimal pour résoudre cette situation, mais vont le mettre au jour au cours du processus de résolution du problème. Cette situation renvoie donc d’une part « à un projet d’action qui ne peut être réussi que si la notion mathématique visée est utilisée », et d’autre part « on n’a pas besoin de connaître à l’avance cette notion ni pour réussir le projet, ni pour l’entreprendre » (2009, p.25).

Julo prône également le concept de situation fondamentale lorsqu’il affirme que, parmi les différents cas de problèmes mathématiques,

Quelques-uns […] occupent une position très particulière dans la compréhension que nous avons de certains concepts. Ils vont, soit pour des raisons propres à l’individu, soit en raison de leur lien avec la connaissance en jeu, acquérir un statut d’exemples privilégiés, de prototypes, au sein de notre mémoire sémantique » (2002, p.36).

C’est donc bien par la confrontation à ce type de problèmes que l’élève va acquérir de façon marquante et définitive une notion. Il pourra être capable de la réutiliser car elle aura été comprise et assimilée au terme d’un processus alliant successivement la mise en place d’une procédure de résolution et l’institutionnalisation réalisée par l’enseignant (nous reviendrons plus précisément sur cette notion au chapitre III). La construction de la connaissance aura bien eu lieu, sur un socle solide et intemporel. Julo rappelle d’ailleurs les conclusions de recherches en didactique des mathématiques confortant cette idée, et selon lesquelles certains problèmes « pourraient avoir des vertus particulières du point de vue de la formation des connaissances » (2002, p.42). Cela impliquerait donc que c’est bien par le choix de situations-problèmes adaptées, et non par

11

l’entraînement et la répétition que se forgent les connaissances. Julo parle alors de « processus de type abduction […] possibilité que semble avoir notre système cognitif de fabriquer de la compréhension à partir d’une seule situation et d’une activité particulière liée à cette situation » (2002, p.42).

Mais alors qu’ont de si particulier ces types de problèmes ? D’après Brun, ils vont demander une « élaboration personnelle de la part de l’élève » (1999, p.2). C’est également le point de vue de Julo, pour qui c’est la résolution par invention de procédure qui permet les apprentissages et la compréhension. « Les bénéfices se situent d’abord sur le plan opératoire : ce sont tous les acquis résultant de l’action… » (2002, p.43). De plus, afin de permettre l’appropriation de savoirs et la conceptualisation, « il faut que le problème constitue, en tant que tel, un véritable enjeu de savoir pour celui qui cherche à le résoudre » (2002, p.44). Brousseau modélise ainsi les processus de construction des savoirs en quatre étapes : l’action de l’élève, la formulation qui correspond à la verbalisation par l’élève, la validation culturelle et enfin l’institutionnalisation (1997, p.8). Briand explique d’après ses observations que ce qui différencie une situation fondamentale d’une autre est contenu dans les enjeux. En effet il distingue les situations contenant des enjeux externes, pour lesquelles la tâche effectuée par l’enfant ne sera pas constitutive d’un réel apprentissage, de celles contenant des enjeux « internes à l’activité mathématique, c’est-à-dire que la tâche constituera la solution au problème posé » (1999-2000, p.7). Le dispositif mis en place doit donc permettre de solliciter les connaissances « comme réponse au problème posé par la situation » (1999-2000, p.14). Il explique que c’est par les activités individuelles des élèves et leur implication personnelle dans la tâche que se fera le processus d’apprentissage :

Les activités individuelles des élèves sont intégrées au processus d'apprentissage. Chacun est personnellement impliqué dans la tâche et l’activité ne s’identifie pas à un contrôle de la bonne utilisation d’un savoir. Cela impose un travail dans la durée avec des essais, erreurs, leçons tirées des échecs ponctuels (1999-2000, p.14).

Cette idée est bien partagée par Brun pour qui l’enjeu est de « susciter une recherche active et autonome chez les élèves » (1999, p.3). Cette responsabilité incombe bien sûr à l’enseignant, qui doit, pour amener les élèves à se placer dans cette position de recherche nécessaire à la construction des apprentissages, réunir les conditions parfaites. C’est en comprenant les rapports qui existent entre les élèves et les situations-problèmes que nous pourrons mener à bien ce projet ambitieux.

12

II.

L’ELEVE face à ces problèmes

Pourquoi l’élève s’engage-t-il dans la résolution de problèmes ?

Selon Houdement, « pour l’élève il n’y a que deux types de problèmes : ceux qu’ils reconnaissent et savent traiter rapidement, et les autres, qui les bloquent, qui les amènent à prendre des risques » (2003, p.9). C’est bien cette deuxième catégorie qui fait l’objet de notre étude, puisque nous nous intéressons aux problèmes pour chercher, qui demandent un effort de recherche, pour lesquels il n’y a pas de solution déjà connue. Alors comment s’assurer que l’élève va se prêter au jeu, dont il connaît les difficultés. D’après Houdement :

Si l’élève décide de traiter les problèmes, c’est parce qu’il fait son métier d’élève (entre autres qu’il obéit à l’injonction du maître) et/ou parce qu’il a confiance en son maître et qu’il sait que cela va lui apprendre des choses et/ou parce qu’il a plaisir à exercer sa réflexion » (2003, p.7).

On distingue dans cette affirmation deux types d’hypothèses concernant l’origine de la motivation des élèves : le contrat didactique et le plaisir de chercher.

Le contrat didactique concerne les relations et les interactions existant entre le professeur et les élèves. Il est défini par Brousseau comme régissant « les obligations réciproques et les ressources des protagonistes de l’enseignement » (2016). Le terme de contrat ramène bien à la notion d’engagement, ainsi qu’à celle de réciprocité. Mais la particularité de ce type de contrat est qu’il n’est pas défini au préalable de façon stricte, et que les parties ne sont pas pleinement conscientes des tenants et aboutissants. Elles agissent selon des principes tacites régis par un système de conventions complexe et relevant pour une grande part de la psychologie.« Les contrats didactiques sont plus ou moins implicites et précisent les engagements et le partage des responsabilités » (2009, p.67). Ils représentent donc ce que les élèves attendent des enseignants et ce que les enseignants attendent des élèves. Brun emprunte les termes de Schubauer-Leoni (1986) pour décrire ce phénomène interactionnel et affirme qu’ « un problème arithmétique s’inscrit dans une relation

didactique » (1999, p.3). En effet, dans le cas d’un problème mathématique, le contrat didactique va

définir la façon dont l’élève appréhende le problème, selon des représentations qu’il s’est construites, comme le fait qu’il faille utiliser toutes les données de l’énoncé et que le maître attende qu’il utilise des notions apprises très récemment. Le professeur quant à lui aura différentes attentes selon les objectifs qu’il s’est fixé et selon la différenciation qu’il met en place dans sa classe : il pourra simplement souhaiter que les élèves rentrent dans une posture de recherche, qu’ils mobilisent leurs connaissances pour essayer de trouver une solution, qu’ils inventent une procédure, ou qu’ils trouvent la solution exacte.

13

Parmi les différentes composantes essentielles du contrat didactique selon Brousseau, la dévolution « est l’acte par lequel le professeur se défait de sa responsabilité cognitive dans l’évolution de la situation et conduit l’élève à l’accepter, dans des conditions où pourtant il ignore encore ce qu’il convient de faire » (2016). Il s’agit donc du processus par lequel le professeur fait en sorte que les élèves assument leur part de responsabilité dans l’apprentissage. Envisagée sous l’angle d’une situation-problème, la dévolution représente la volonté des élèves, confrontés à un problème à résoudre, à s’engager dans la recherche d’une solution. Or la dévolution ne doit pas être engendrée par la contrainte ou l’habitude mais par le plaisir que l’élève anticipe dans son activité de recherche, mais aussi dans le résultat de cette activité : le fait de trouver la solution. Il ne faut pas non plus idéaliser le plaisir de chercher, car en effet on ne peut l’envisager sans parler de la patience et la persévérance que nécessite l’activité de recherche qui selon Houdement « est laborieuse, demande du temps, des essais, des erreurs » (2003, p.8). Elle cite Schwartz2pour appuyer son propos :

Un chercheur doit savoir sécher une heure, un jour ou toute la vie […] il se pose une série de questions, tâtonne, avance pas à pas. C’est très difficile ; puis, à un moment donné, une certaine illumination vient […] résultat d’une accumulation énorme de réflexions infructueuses (2003, p.8).

Ce dur labeur illustre sûrement l’activité d’un chercheur chevronné, mais ne pourrait en aucun cas correspondre aux attentes qu’un enseignant peut avoir envers ses jeunes élèves âgés d’à peine six ans.

Cependant, d’après les conclusions de recherches en didactique sur les situations mathématiques synthétisées par Brousseau, « les élèves aiment ces situations qui simulent des sortes d’aventures ». Il ajoute même que « les professeurs ont du plaisir à les voir s’obstiner à les vivre et à en réclamer de nouvelles » (2009, p.60). La notion de plaisir de chercher n’est donc pas vaine. Elle doit être envisagée comme un but à atteindre, grâce à la mise en place de situations adaptées.

Si les élèves acceptent de se confronter à la réalité de l’effort de recherche, c’est sans doute parce qu’ils espèrent légitimement expérimenter le bonheur de trouver. C’est pourquoi l’activité de résolution de problèmes s’apprend, et les élèves doivent adopter une attitude adéquate, forgée au fil des séances de situation-problèmes. Ils y façonneront les compétences nécessaires à cette investigation. Selon Houdement :

Pour qu’un élève résolve des problèmes, il faut d’abord qu’il accepte de s’engager dans cette résolution, qu’il accepte un temps d‘incertitude sachant que ce temps débouchera sur la certitude,

2

14

bref qu’il croit à sa possibilité d’avancer dans la résolution. Il est donc nécessaire qu’il adopte une certaine attitude face aux problèmes (2003, p.8).

Notamment « si les élèves sont habitués à ce que l’enseignant donne la solution ou que la classe l’élabore collectivement » (2003, p.14) il n’y aura pas de dévolution, ils se contenteront d’attendre qu’on leur donne la solution. Le rôle de l’enseignant est donc primordial, comme le rappelle Briand, puisqu’il va être responsable de la présentation du problème aux élèves, en mettant en avant à la fois le caractère de défi qu’il représente, pour activer l’envie et le plaisir de chercher, et le caractère réalisable de la recherche de solution, pour encourager les élèves à fournir les efforts nécessaires (1999-2000, p.14).

Apprendre la résolution de problèmes

Si l’activité de résolution de problèmes doit être enseignée, les méthodes à envisager et les processus d’apprentissages sous-jacents ne sont pas forcément clairement identifiés. Julo soutient que l’on peut apprendre à résoudre des problèmes, et raisonne sous l’angle des mécanismes cognitifs (2002, p.31). Il distingue différents processus plus ou moins aboutis en termes de recherche et de modélisation : le raisonnement par analogie ou comment devenir « capable d’utiliser ce que l’on a appris dans un problème donné pour résoudre un autre problème, plus ou moins proche », et l’heuristique ou comment « comprendre la méthode (et en particulier les opérations mentales) qui conduit à la solution des problèmes », question à laquelle il n’existe pas de réponse satisfaisante à ce jour (2002, p.32-33). Le problem-solving est le nom donné au courant qui tente d’y répondre, situé au carrefour entre psychologie cognitive, didactique des mathématiques et pratique de l’enseignement utilisant les problèmes pour chercher. Parmi les mécanismes en jeu, Brun définit le « calcul relationnel » comme « les opérations de pensée nécessaires pour effectuer les mises en relation pertinentes et utiliser les opérations adéquates » pour la résolution des problèmes, et souligne la difficulté de comprendre comment ces mises en relations se mettent en place (1999, p.4). Néanmoins, si les mécanismes cognitifs mobilisés dans la résolution de problème ne sont pas connus, les études montrent que des élèves impliqués dans des séquences d’apprentissages de résolution de problèmes développent des attitudes particulières face aux problèmes pour chercher, notamment une plus grande persévérance dans la recherche de la solution. Le problème soulevé est alors de placer la priorité sur l’apprentissage de la résolution de problèmes via des méthodes basées sur la typologie, et d’en oublier l’objectif majeur des situations-problèmes qui est de construire les apprentissages et en l’occurrence les connaissances mathématiques. Julo exprime ainsi sa crainte d’une telle dérive : « le risque de faire de la résolution de problèmes pour la résolution de problèmes, en-dehors de toute finalité conceptuelle, est grand » (2002, p.34).

15

III.

COMMENT mettre en œuvre les problèmes pour chercher ?

Principes généraux

Nous avons déjà mis l’accent sur le fait que la dévolution doit être assurée afin de garantir l’activité réelle de recherche. Les auteurs de l’équipe Ermel rappellent que pour entrer dans la situation, élément indispensable pour pouvoir ressentir le plaisir de chercher, l’enfant a besoin de l’apprivoiser, de se l’approprier : « il doit pouvoir essayer pour rien, en quelque sorte, pour voir, avant d’être réellement confronté au problème posé » (1990, p.55). Cette recommandation s’accorde bien avec notre hypothèse de travail, puisque pour permettre aux élèves de s’approprier la situation, il va falloir non seulement leur laisser le temps de l’observation et de la manipulation mais aussi soigner la mise en scène afin de provoquer l’envie, la motivation, et de générer le processus de démarche de recherche. Pour Houdement « si le contexte n’est pas suffisamment évocateur pour l’élève, il ne peut démarrer » (2003, p.10). Afin de ne pas laisser les élèves dans une situation de blocage qui les empêche d’aller plus loin dans la résolution, elle propose de mettre en place des dispositifs d’aides adaptés : « un jeu de questions appropriées […] des situations possibles à mimer, où le matériel permet une entrée dans la tâche », qui leur permettent de mettre le pied à l’étrier, les accompagnent pour le démarrage, le lancement de l’activité de recherche, sans toutefois leur apporter la solution sur un plateau (2003, p.10). Pour Julo il s’agit de mettre en œuvre des aides à la représentation des problèmes, puisque c’est là que va se situer la genèse de la résolution de problème. Mais ces aides ne doivent pas dépasser certaines limites préétablies : « ne pas contenir d’indices sur la solution […] ne pas orienter vers une procédure de résolution […] ne pas suggérer une modélisation du problème », afin de maintenir intacte l’activité de recherche de l’élève (2002, p.45). Il est fort à parier que les élèves, sous l’influence de l’idée qu’ils ont du contrat didactique qui les lie à leur enseignant, ne seront pas prêts à recevoir ce type d’aide, car pour eux « une intervention annoncée comme aide contient l’idée d’une efficacité relativement immédiate sur le plan opératoire » (2002, p.45). Julo propose par exemple un type d’aides appelées « tâches surajoutées », qui constituent en quelque sorte une étape intermédiaire, amenée par une nouvelle consigne qui aiguille légèrement l’élève et lui permet ainsi de ne pas rester dans l’échec (2002, p.46). Ces aides pourront être planifiées en amont mais également construites sur le moment, en observant l’élève, de façon à s’adapter au mieux à chacun, dans une réelle démarche de différenciation pédagogique.

Une fois la dévolution assurée, il va falloir créer les conditions qui permettront aux élèves d’effectuer leur recherche, autrement dit mettre à leur disposition des outils offrant la possibilité de chercher seul et efficacement.

16

Brousseau appelle une situation adidactique la partie d’une situation didactique qui permet de favoriser l’autonomie des élèves et limite les interventions du professeur. L’élève y est chercheur d’un problème lié à un savoir « enjeu » de la situation. La consigne ne doit faire appel à aucune des connaissances que l’on veut faire apparaître. C’est par la mise en place d’une procédure de résolution personnelle que l’élève va les faire émerger.

Afin que les élèves soient capables d’exercer cette activité de recherche en relative autonomie, la situation doit contenir un milieu favorable. Ce concept est introduit par Brousseau :

En situation scolaire, l'enseignant organise et constitue un milieu, par exemple un problème, qui révèle plus ou moins clairement son intention d'enseigner un certain savoir à l'élève mais qui dissimule suffisamment ce savoir et la réponse attendue pour que l'élève ne puisse les obtenir que par une adaptation personnelle au problème proposé (1997, p.40).

Il s’agit en fait d’un système constitué des objets (physiques, culturels, sociaux, humains) avec lesquels le sujet interagit dans une situation. C’est grâce à leurs rétroactions avec le milieu que les élèves pourront construire des connaissances. En effet, le milieu fournit à l’élève une information relative à son action et qui lui permet d’ajuster cette action, d’accepter ou de rejeter une hypothèse, de choisir entre plusieurs solutions. « Pour répondre à la question posée l'élève répond en agissant sur le système, en s'adaptant pour améliorer son efficacité (1997, p.46) ». Les rétroactions avec le milieu peuvent être matérielles, sociales ou cognitives. Le milieu doit ainsi permettre à l’élève d’avancer avec une certaine autonomie dans son cheminement.

Les situations mathématiques proposées aux élèves vont leur permettre, à travers la construction de procédures personnelles, d’approcher les connaissances mathématiques visées « mais ne peuvent pas les transformer en savoirs » (2009, p.65). En effet, une institutionnalisation réalisée par le professeur est indispensable. Celui-ci va alors reconnaître et nommer les connaissances intéressantes dans les productions des élèves, les décontextualiser puis présenter le vocabulaire approprié et ainsi transformer la connaissance en référence pour des utilisations futures, collectives ou personnelles. Cette phase représente donc le passage pour une connaissance d’un moyen de résolution d’une situation à un savoir.

La tâche du maître sera alors de repérer et décrypter les différentes procédures, puis d’en réaliser une exploitation pertinente pour amener les savoirs visés. Prenons l’exemple d’une situation portant sur la décomposition des nombres, objet mathématique étudié dans notre étude. Dans ce cas précis, les élèves de grande section de maternelle ne seront probablement pas capables d’utiliser des procédures mettant en œuvre le calcul à proprement parler. On peut donc imaginer qu’ils utiliseront

17

le comptage sous diverses formes. Les procédures mises en œuvre par des élèves qui n’ont pas encore étudié le calcul au travers des opérations sont classées par Carpenter et Moser (1982) en trois catégories:

- le recours à une figuration concrète de la situation […] qui se ramène à un dénombrement direct d’objets,

- Le comptage mental intériorisé, sans l’aide d’objets extérieurs,

- La récupération directe en mémoire de résultats ou leur reconstruction rapide (Ermel, 1990, p.46).

Le maître devra donc utiliser ces procédures-types évoquées lors de la phase de verbalisation, et rebondir dessus pour faire émerger le ou les savoirs visés, en l’occurrence la décomposition des nombres, l’addition et la soustraction.

Quels choix didactiques ?

Les chercheurs de l’équipe Ermel vantent les vertus des problèmes pour chercher, qui selon eux favorisent largement l’apprentissage (1990, p.47). Ils soulignent l’importance de proposer aux élèves « de véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation » afin de créer du sens. Les enfants aimant tout à la fois jouer avec les nombres (récitation de la comptine numérique le plus loin possible) et faire des découvertes (les nouveaux usages qu’ils permettent), les activités proposées aux élèves devront leur permettre « d’entretenir avec les nombres cette relation particulière faite de mystère et de plaisir » (Ermel, 1990, p.28). Ces deux caractéristiques sont fondamentales dans la recherche dont cet écrit fait l’objet : le mystère donne l’impulsion pour chercher, le plaisir donne l’énergie nécessaire.

La mise en place de ces situations ne doit rien au hasard et obéit à un certain nombre de choix didactiques, selon les objectifs de l’enseignant. Voici les catégorisations proposées par Ermel en termes de types de situations, de fonctions du nombre, de types de problèmes et de domaines numériques, et parmi lesquelles il sera nécessaire de faire des choix adaptés au niveau des élèves, aux objectifs d’apprentissage, et à la progressivité de l’enseignement.

Les situations proposées peuvent tout d’abord appartenir à trois catégories:

- Les situations fonctionnelles, qui se rapportent au fonctionnement de la classe ou à la vie quotidienne,

- Les situations rituelles, caractérisées par la répétition quasi systématique de leur mise en place,

- Les situations construites, c’est-à-dire « élaborées par l’enseignant à des fins d’apprentissages précises » (1990, p.48-49).

18

Ces dernières peuvent être rapprochées des situations décrites par Brousseau, notamment au travers de trois critères : la dévolution : « l’enfant agit dans une situation qui prend sens pour lui », la formulation appuyée sur les verbalisations des élèves : « l’enfant explicite les procédures utilisées », l’auto-validation grâce aux rétroactions avec le milieu : « l’enfant vérifie la validité de son action ainsi que l’exactitude et la pertinence de sa procédure de résolution » (1990, p.49). C’est bien en mettant en place de telles situations construites que nous tenterons de répondre à notre problématique dans la seconde partie de cet écrit.

Les auteurs de cet ouvrage proposent également de délimiter les fonctions que peut revêtir le nombre pour des élèves de cet âge : le nombre peut être utilisé comme « mémoire de la quantité […] de la position du rang » (1990, p.28), mais aussi peut permettre :

d’anticiper un résultat pour une situation non présente ou non encore réalisé, mais sur lesquelles on dispose de certaines informations : les procédures mises en œuvre par les élèves vont utiliser des techniques qui relèvent soit du comptage, soit du calcul (1990, p.29).

C’est ce deuxième aspect qui sera plus particulièrement étudié dans ce travail de recherche, puisque nous demanderons aux élèves, au travers de nos expérimentations, de trouver un nombre inconnu au départ.

L’équipe Ermel présente une typologie des problèmes pouvant être étudiés en maternelle : « les problèmes mettant en jeu deux collections, […] les problèmes de repérage ordinal », et la catégorie qui nous intéresse précisément, « les problèmes d’anticipation » (1990, p.29). Ceux-ci présentent la caractéristique d’être résolus plus tard (en élémentaire), par le calcul, qui représente dans ces cas-là la procédure experte pour la résolution du problème. Les problèmes que nous choisirons d’expérimenter sont des situations visant à faire émerger certains types de calcul ou processus (décomposition, addition, soustraction). Il s’agit bien de situations-problèmes puisque les élèves n’auront pas a priori connaissance des notions mises en jeu mais devront les découvrir et les mettre en évidence en cherchant leurs propres procédures de résolution. Parmi les problèmes d’anticipation, on peut encore distinguer plusieurs catégories :

- Les problèmes liés à des déplacements sur une piste graduée,

- Les problèmes où intervient la réunion de deux ou plusieurs collections,

- Les problèmes dans lesquels une collection connue se trouve disjointe en deux sous-collections,

- Les problèmes de partage d’une collection en collections équipotentes,

19

D’après les auteurs de l’équipe Ermel, ces situations permettent avant tout aux élèves « de prendre conscience que l’anticipation est possible » et leur donnent l’occasion :

De mettre en œuvre des procédures de résolution (qui s’appuieront le plus souvent sur le comptage) et de les faire éventuellement évoluer vers des procédures mentales qui utilisent le comptage, mais qui paraissent être une étape vers des procédures de type calcul » (1990, p.31).

L’objectif est donc bien de mettre les élèves face à un problème pour lequel ils ne possèdent pas de réponse toute faite ou de procédure de résolution connue, et ainsi de les amener à chercher dans leurs connaissances et compétences numériques (comptine numérique, comptage-pointage) des moyens de résolution. Cette réflexion et cet effort de recherche devraient les amener à créer des procédures relevant du comptage et qui donneront tout leur sens aux opérations de calcul qui seront étudiées plus tard dans leur scolarité.

Le guide pédagogique proposé par l’équipe Ermel n’oublie pas de mettre l’accent sur l’importance des nombres choisis par l’enseignant pour mettre en place des situations d’apprentissage, car ceux-ci détermineront le niveau de difficulté auquel l’élève sera confronté lors de son effort de recherche. Quatre domaines numériques sont distingués pour les jeunes élèves :

- Le domaine des nombres visualisables : jusqu’ à 4 ou 5,

- Le domaine des nombres familiers : jusqu’à 12, 16…19 selon les enfants,

- Le domaine des nombres fréquentés : jusqu’à 30 environ,

- Le domaine de grands nombres : centaines, milliers… (1990, p.32)

Cette lecture synthétique des articles majeurs portant sur la résolution de problèmes nous a permis de mesurer le caractère fondamental des problèmes pour la construction des connaissances mathématiques. Mais pour que cette construction soit effective et que les notions soient correctement assimilées par les élèves, il est nécessaire de mettre en place des situations-problèmes répondant à certains critères définis par Brousseau (1997). Il s’agit notamment de placer les élèves face à des problèmes qu’ils ne savent pas résoudre a priori. Cette synthèse nous a également permis de soulever l’importance de la dévolution, processus grâce auquel les élèves acceptent de rentrer dans la résolution de problèmes et endossent la responsabilité de la recherche d’une solution en mettant en œuvre des procédures personnelles. En effet il faut absolument que la dévolution soit réussie pour que la situation soit effective et constructive. Et ceci nous parait d’autant plus vrai chez des élèves de cycle 1, qui n’acceptent souvent de réaliser la tâche qui leur incombe que s’ils y voient un bénéfice concret et immédiat. Enfin selon les objectifs d’apprentissage visés par

20

l’enseignant, plusieurs variables didactiques sont à définir au préalable afin de mener les élèves vers une résolution autonome.

Mais est-il si simple d’appliquer ces préceptes à des élèves de grande section de maternelle ? Sont-ils prêts à agir face à une situation-problème ? C’est en tous cas un mode d’apprentissage vivement recommandé par les programmes et les documents d’accompagnement.

IV.

Quelle place les instructions officielles accordent-elles aux problèmes pour

chercher ?

Les nouveaux programmes de maternelle consacrent un chapitre entier à la résolution de problèmes, présentés comme des « situations, […] questions ouvertes pour lesquelles les enfants n’ont pas de réponse directement disponible » (2015, p.4). Cette thématique est présentée dans le préambule décrivant les modalités d’apprentissage à organiser et mettre en œuvre dans les classes de maternelle : « Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes » (2015, p.4). Ces préconisations concernent tous les domaines et ne sont pas spécifiques aux mathématiques. Or si l’on regarde de plus près dans le chapitre détaillant le domaine « construire les premiers outils pour structurer sa pensée » (2015, p.15), les termes problème et chercher n’apparaissent plus une seule fois.

Pourtant les problèmes occupaient une place de choix en mathématiques dans les anciens programmes : les programmes de maternelle 2008 les mentionnaient très clairement dans le sous-domaine « approcher les quantités et les nombres » : « À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul » (2008, p.12 à 17).

Mais ce sont les documents d’accompagnements de 2002 concernant les mathématiques qui apportent le plus d’explications et de précisions sur l’étude des problèmes en maternelle. En effet ce texte souligne la pertinence et l’importance de la pratique des situations-problèmes dès la maternelle.

Il se propose tout d’abord de justifier l’enseignement de problèmes pour chercher à l’école primaire en détaillant les objectifs qui peuvent leur être attribués :

Développer la capacité de l’élève à faire face à des situations inédites [...] Valoriser des comportements et des méthodes essentiels pour la construction de leurs savoirs : prendre des initiatives […], être critique vis-à-vis de son travail […], s’organiser, être méthodique […], communiquer […] Développer des capacités argumentatives […] Participer à l’éducation civique (entraide, écoute, prise en compte et respect d’autrui…) (2002, p.10).

21

Ce texte pose également de façon précise et structurée les caractéristiques et les modalités que doivent revêtir les problèmes pour chercher, valables pour tout l’enseignement primaire : il décrit aussi bien les bases sur lesquelles construire un problème « Les problèmes pour chercher doivent être issus de la classe, de la vie courante ou de jeux » (2002, p.10) que la manière à adopter pour amener et présenter le problème : « Le problème peut consister en la fabrication d’un objet…ou être présenté par une situation mimée dont on demande d’anticiper la suite ou par une question formulée oralement » (2002, p.10).

Il pointe l’importance du moment crucial que représente la mise en situation ainsi que la nécessité de placer les élèves devant une vraie situation-problème. La conjugaison d’un enjeu fort et d’une difficulté réelle doit donner l’envie de chercher :

Les élèves doivent pouvoir s’approprier facilement la situation et se représenter la tâche pour s’y engager avec leurs connaissances antérieures. La difficulté doit se situer non dans la compréhension de la situation, mais dans les moyens de répondre à la question posée. Le problème doit être consistant, c’est-à-dire présenter une certaine résistance. Donner un problème de recherche, c’est lancer un défi. Il est important que les élèves s’approprient le problème et qu’ils aient envie de relever le défi (2002, p.10).

Ce texte rappelle également le rôle primordial du maître et le soin particulier qu’il doit apporter à la préparation de sa situation, respectant un ensemble de critères qui permettront de créer et de mettre en œuvre une réelle situation d’apprentissage :

La mise en scène conditionne l’engagement des élèves à relever le défi. La validation de la solution doit être le plus possible à la charge des élèves. Ils doivent pouvoir se rendre compte par eux-mêmes du bien-fondé ou non de leur réponse, par l’échange d’arguments destinés à défendre ou contredire une proposition, par des contrôles tout au long de leur recherche et, si possible, par une vérification, à la fin, sur la situation elle-même (2002, p.10).

Enfin il détaille et explicite les différentes phases que doivent comporter la mise en place d’un problème pour chercher : présentation du problème, temps de recherche personnelle puis en groupe, mise en commun, débat et validation, synthèse (2002, p.11).

La place des problèmes à l’école primaire est réaffirmée dans les nouveaux programmes de cycle 2 de 2016, d’après lesquels « résoudre un problème fait partie des activités fondamentales que les élèves doivent apprendre à l’école » (2016, p.5). La résolution de problèmes est mise à l’honneur dans plusieurs domaines du socle : « les méthodes et outils pour apprendre » (2016, p.7), « la formation de la personne et du citoyen » (2016, p.8) et « les systèmes naturels et les systèmes

22

techniques » (2016, p.9), et décomposée en plusieurs compétences telles que « mémoriser […], essayer, proposer une réponse, argumenter, vérifier » (2016, p.7-8), ou « formuler et justifier ses choix (pour développer) le jugement et la confiance en soi » (2016, p.8). La résolution de problème est également reconnue comme permettant de « donner du sens aux notions abordées » (2016, p.9). Dans la section consacrée aux mathématiques, les problèmes sont placés au cœur des apprentissages, conformément aux recommandations des didacticiens : « la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves » (2016, p.73). De plus il est recommandé de proposer des problèmes à « caractère ludique […] qui ne soient pas de simples problèmes d’application mais nécessitent des recherches avec tâtonnements » (2016, p.73). On retrouve bien ici l’idée de véritables problèmes ainsi que celle de plaisir de chercher.

Plus particulièrement, dans le chapitre traitant des nombres et calculs, il est précisé que les élèves doivent travailler à des résolutions de problèmes « contextualisés » (2016, p.75). Les actions amenant à la recherche de solutions « portent sur des objets tout d’abord matériels puis évoqués à l’oral ou à l’écrit » (2016, p.75). On reconnaît bien les phases d’expérimentation concrète qui permet de faire émerger les connaissances puis d’institutionnalisation vouée à fixer les savoirs. Pour revenir à l’école maternelle qui nous intéresse particulièrement, on peut donc se féliciter de la place de choix qu’occupe l’activité de recherche face à une situation-problème dans les nouveaux programmes. Néanmoins il est regrettable qu’il n’y ait pas d’explications précises par rapport au domaine qui traite de la construction du nombre, puisque c’est précisément par la résolution de problèmes que peut se réaliser cet apprentissage dans les meilleures conditions, comme nous l’ont appris les didacticiens des mathématiques. Les enseignants doivent donc trouver d’autres sources pour construire leurs situations d’apprentissage. Il apparait alors naturel qu’ils se tournent vers des manuels de mathématiques, mais ces derniers présentent souvent une grande hétérogénéité en termes de qualité des situations proposées, car ils ne s’inspirent pas forcément des apports didactiques que nous avons évoqués plus haut. Il est donc nécessaire d’analyser ces situations sous l’angle des principaux fondements de la théorie des situations didactiques et des conclusions d’études en didactique des mathématiques.

Nous nous sommes prêtés à cet exercice et avons décrypté deux situations portant sur la décomposition des nombres proposées par des manuels pédagogiques (cf. annexes pour l’analyse détaillée). Cette analyse nous a bien confortés dans le fait qu’il est nécessaire de repérer a priori les atouts et les faiblesses que de telles situations peuvent proposer, pour ainsi pouvoir les adapter en ajoutant ou en modifiant des éléments qui peuvent constituer des enjeux majeurs liés à ces

23

situations, et donc directement impacter les savoirs visés. En effet notamment si le manuel ne propose pas de contextualisation suffisamment motivante (voire pas du tout), il est indispensable d’en imaginer une afin de pouvoir provoquer la dévolution du problème aux élèves, de les placer en position de recherche active, volontaire, et les voir prendre plaisir à cette recherche. On doit également veiller à laisser la place à un moment d’adidacticité afin que les élèves aient le temps de chercher par eux-mêmes, et mettre à leur disposition des éléments constitutifs d’un milieu favorisant cette recherche autonome. Enfin il est bien entendu nécessaire de se mettre au clair sur la connaissance que l’on cherche à construire, c’est-à-dire l’objectif d’apprentissage, et de vérifier que la situation puisse amener les élèves à trouver des procédures personnelles qui les amèneront, grâce à une phase d’institutionnalisation, à cet objectif.

LES EXPERIMENTATIONS PROPOSEES

Après une première partie théorique rappelant les enjeux de la démarche d’investigation en mathématiques, nous allons présenter un travail d’application de ces idées et concepts, au travers d’expérimentations de situations-problèmes menées en classe. Ces situations seront finement élaborées et analysées a priori afin de répondre aux critères imposés par la notion de véritables problèmes, et ainsi de positionner les élèves dans une réelle posture de recherche. Lors de leur mise en œuvre, il sera nécessaire d’être particulièrement vigilent aux mécanismes intellectuels et procédures utilisés par les élèves pour travailler à leur résolution et ainsi tenter d’évaluer dans quelle mesure les élèves ont été actifs, autonomes, efficaces et heureux dans leur recherche.

I.

Introduction

Présentation de la méthodologie

Le recueil de données se fera dans deux classes de grande section de maternelle de l’école Suzanne Lacore à Sète en quatrième période (mars-avril). Deux enseignantes conduiront les expérimentations en question : une enseignante titulaire expérimentée et l’enseignante stagiaire. Ce double dispositif nous permettra de vivre ces expériences pédagogiques et didactiques, préalablement mûrement réfléchies et organisées, à la fois en tant que « meneur-guideur » et en tant qu’observateur privilégié.

Les élèves concernés par ces expérimentations seront sélectionnés selon des critères particuliers, explicités plus bas. En effet il parait préférable de concentrer les observations et analyses sur

24

quelques élèves afin de pouvoir mener une étude approfondie, plutôt que de chercher à recueillir les procédures d’une cinquantaine d’enfants sans pouvoir réellement en tirer de conclusions abouties. Nous consignerons dans un carnet de bord, en respectant la chronologie des actions, les réactions des élèves, leurs remarques, les gestes effectués, l’évolution de leurs procédures ainsi que l’étayage des enseignantes. Les marques de motivation ou de découragement, ainsi que les verbalisations des procédures devront faire l’objet d’une attention particulière. Nous nous attacherons également à décrire de façon précise les manipulations effectuées par les élèves, celles-ci pouvant nous donner des indications sur leur raisonnement. L’analyse de ces données correspondra donc à une étude qualitative de cas particuliers. Nous proposerons deux situations, qui feront chacune l’objet d’une analyse a priori détaillée à la suite de leur présentation générale. Une fois les expérimentations menées en classe, le déroulé des séances, les gestes des enseignantes, les attitudes et les remarques des élèves seront décrits et analysésselon des critères inspirés des travaux des didacticiens cités en première partie de ce travail de recherche en vue de valider ou d’invalider les hypothèses liées à notre problématique : pour donner aux enfants l’envie de chercher, il faut tout d’abord soigner la mise en scène, accrocher leur attention dès le départ ; il faut ensuite leur offrir une promesse, un but à atteindre, garantir un événement ou une récompense rattachée à la solution trouvée .

Les choix didactiques

Les expérimentations proposées devront être adaptées à de jeunes élèves de grande section de maternelle. Elles devront répondre à des critères particuliers leur permettant de rentrer dans le cadre de la théorie des situations didactiques de Brousseau : il doit y avoir un vrai problème, une dévolution effective, un caractère adidactique, un enjeu. Le milieu doit être bien identifiable, permettre des rétroactions, mais aussi une validation. Une certaine adidacticité doit être présente sous différentes formes : action, formulation, validation.

En termes d’objectifs d’apprentissages mathématiques nous nous concentrerons sur le domaine de la décomposition des nombres, prélude au calcul qui sera abordé au cours préparatoire. Les situations proposées seront construites « ad-hoc », et auront l’ambition de permettre aux élèves de construire et découvrir de nouvelles connaissances. Elles représenteront donc un caractère inédit pour les élèves, qui seront ainsi placés face à un réel problème à résoudre, sans solution déjà connue.

La fonction du nombre que nous choisirons de présenter aux élèves est celle qui permet d’« anticiper un résultat pour une situation non présente ou non encore réalisée » (Ermel, 1990, p.29). Les problèmes proposés seront donc des problèmes d’anticipation, et plus particulièrement,

25

selon la typologie de l’ouvrage Ermel, un problème lié à des déplacements sur une piste graduée, (situation du jeu des colliers : de combien de cases faut-il se déplacer pour arriver sur telle case ? comment construire ce déplacement ?), et un problème dans lequel une collection se trouve disjointe en deux sous-collections (situation des tasses et des sucres : les 10 sucres ont été répartis en deux collections dont une connue. Comment retrouver le cardinal de la deuxième sous-collection ?)

Pour permettre aux élèves de raisonner dans un environnement numérique rassurant et dans lequel ils maîtrisent le dénombrement, nous choisirons pour nos expérimentations des nombres appartenant principalement au domaine des nombres familiers, en se limitant à dix pour s’adapter au niveau de tous. Nous aurons toutefois usage des nombres fréquentés (jusqu’à 30) mais en essayant de proposer aux élèves des aides sous formes d’outils ou d’étayage.

Enfin nous ne prévoyons pas d’évaluation sommative de ces situations. En effet d’une part nous verrons dans l’analyse a priori qu’elles contiennent intrinsèquement des possibilités d’auto-évaluation des solutions proposées par les élèves eux-mêmes, d’autre part nous recueillerons l’ensemble des procédures personnelles des élèves, qui seront donc toutes acceptables si elles conduisent à la solution correcte.

II.

SITUATION TOUR DE MAGIE : LES TASSES ET LES SUCRES (situation

inventée)

Présentation de la situation

Objectifs d’apprentissages mathématiques :

- Comprendre que le cardinal d’une collection ne change pas, même si certains éléments de la collection ne sont pas directement visibles,

- chercher les compléments à 10,

- découvrir différentes décompositions du nombre 10 par diverses manipulations effectives et mentales.

Matériel :

- trois tasses identiques et opaques,

- dix morceaux de sucres,

- quelques éléments de déguisement de magicien : une baguette, un chapeau. Règle du jeu :