Optimization of search patterns for fixed-panel tridimensional scanning radars

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Submitted on 28 Oct 2020

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Optimization of search patterns for fixed-panel

tridimensional scanning radars

Yann Briheche

To cite this version:

Yann Briheche. Optimization of search patterns for fixed-panel tridimensional scanning radars. Elec-tronics. École centrale de Nantes, 2017. English. �NNT : 2017ECDN0036�. �tel-01709583v3�

Contents

Introduction 5

Résumé 9

1 Radar theory and mathematical model 25

1.1 History . . . 25

1.2 Radar basic principle . . . 25

1.3 Radar equation . . . 27

1.3.1 Definition . . . 27

1.3.2 Energetic dispersion interpretation . . . 28

1.4 Radiation pattern model . . . 29

1.4.1 Phased array . . . 29

1.4.2 Beamforming emission . . . 30

1.4.3 Operational coordinates system and scanned losses . . 33

1.4.4 Digital beamforming reception . . . 35

1.5 Waveform model . . . 39

1.5.1 Waveform definition and detection principle . . . 39

1.5.2 Energetic model . . . 43

1.5.3 Radar eclipses and clutter . . . 44

1.6 Dwell model and range computation . . . 47

2 Optimization theory and computational complexity 51 2.1 Introduction and literature . . . 51

2.1.1 Decision problems and complexity classes. . . 52

2.2 Problem statement and modelling . . . 53

2.2.1 Set cover problem . . . 53

2.2.2 Grid dimension . . . 55

2.2.3 Dwell shape . . . 56

2.2.4 Azimuthal range and circular grid cover problems . . . 57

2.3 Integer programming . . . 57

2.3.1 Matrix formulation . . . 57

CONTENTS

2.3.2 Linear relaxation . . . 59

2.3.3 Linear programming . . . 60

2.4 Unidimensional grid covering. . . 62

2.4.1 Line cover problem . . . 63

2.4.2 Circle cover problem . . . 66

2.4.3 Logarithmic encoding. . . 69

2.4.4 Input reduction . . . 70

2.5 Bidimensional grid covering . . . 73

2.5.1 Rectangular grid cover problem . . . 73

2.5.2 Connected grid cover problem . . . 83

2.6 Branch-and-bound . . . 84

2.6.1 Description . . . 84

2.6.2 Algorithm . . . 85

2.6.3 Example . . . 86

2.6.4 Just-in-time criteria. . . 88

3 Radar search pattern optimization 91 3.1 General optimization problem . . . 91

3.1.1 Detection constraint . . . 92

3.1.2 Radar system parameters . . . 93

3.1.3 Digital beamforming processing limit . . . 94

3.1.4 Problem statement . . . 94

3.2 Problem discrete approximation . . . 94

3.2.1 Detection grid . . . 97

3.2.2 Pattern synthesis . . . 98

3.3 Set cover problem formulation . . . 100

3.3.1 Discrete cover computation . . . 100

3.3.2 Waveform selection . . . 101

3.3.3 Combinatorial cover problem . . . 102

3.4 Simulation example . . . 102

4 Extended formulations and computational improvements 105 4.1 Additional constraints in radar operational optimization . . . 106

4.1.1 Localized constraints . . . 106

4.1.2 Clutter and terrain masking . . . 107

4.1.3 Scan update rates . . . 109

4.1.4 Multiple missions model . . . 110

4.2 Pre-optimization reduction methods . . . 116

4.2.1 Column reduction. . . 117

4.2.2 Row reduction. . . 119

4.3 Multiple-solution generation and representation . . . 121

CONTENTS

4.3.1 Branch-and-bound enumeration . . . 121

4.3.2 Example . . . 123

4.3.3 Exhaustive enumeration redundancy . . . 125

4.3.4 Innovation metric . . . 126

4.3.5 Innovation maximization problem . . . 126

4.3.6 Iterative enumeration . . . 127

4.3.7 Optimal set structure . . . 129

4.4 Future research leads . . . 134

4.4.1 Grid adaptation . . . 134

4.4.2 Probability covering . . . 138

Conclusion 141

CONTENTS

Remerciements

La curiosité est la force motrice du progrès et de la recherche. Elle anime la plupart des chercheurs. Comme beaucoup d’entre eux, elle m’a accompagné, aussi loin que je m’en souvienne, et poussé vers la science. J’ai la chance au-jourd’hui de poursuivre une carrière qui me permet d’assouvir cette passion. La thèse de doctorat a été pour moi une étape décisive de cette carrière. Cette thèse n’aurait pas pu aboutir sans l’aide et l’influence cruciales de nombreuses personnes que j’ai eu la chance de côtoyer pendant la thèse.

Je remercie mes directeurs de thèse, Fouad Bennis et Damien Chablat, pour m’avoir accompagné et aiguillé durant ces trois années, et au contact de qui j’ai appris à mener un projet de recherche. Je remercie également mon encadrant THALES, Frédéric Barbaresco, à l’origine de ce projet de thèse et dont l’aide a été inestimable et décisive à la réussite de cette thèse. Je suis très reconnaissant au Pr Georges Fadel et au Pr Bernard Yannou, pour avoir accepté d’être rapporteurs du manuscrit et avoir consacré du temps à sa lecture, ainsi qu’au Pr Hugh Griffiths et au Pr Rajib Bhattacharjya pour leur participation au jury de thèse et leurs suggestions durant la discussion après la présentation. Merci beaucoup à la MRIS (Mission pour la Recherche et l’Innovation Scientifique) qui a financé cette thèse, et à Philippe Pouliguen qui a suivi ce projet côté DGA (Direction Générale de l’Armement).

Je voudrais également remercier les ingénieurs Guy Desodt, François Gos-selin et Claude Adnet qui m’ont beaucoup appris sur les systèmes radars. Merci à Saïd Moussaoui, Eric Le Carpentier et Sébastien Bourguigon, de l’École Centrale de Nantes, de m’avoir permis de suivre leur cours, qui ont été très instructifs. Merci également à Aligne Florence, Pierre Savéant et Christophe Labreuche de Thales Research & Technology, qui m’ont aiguillé en début de thèse et avec qui j’aurai le plaisir de travailler après mon doctorat dans la Laboratoire Décision & Optimisation.

Salutations à mes camarade de thèse: Fabien Arlery, UyHour Tan, Mar-ion Pilté, Bogdan Khomutenko, Anoop Vargheese, Konstantin Akhmadeev et Sylvain Devie. Bonne chance à ceux qui sont encore en thèse! Je garderai un bon souvenir de nos sessions d’escalade, de nos parties de cartes et

ACKNOWLEDGMENTS alement de la bonne ambiance que j’ai partagée avec vous durant la thèse.

Merci finalement à mon père, Serge Briheche qui m’a encouragé et m’a enseigné le goût du savoir et le respect de la connaissance, et à qui je dédie cette thèse.

Acknowledgments

Curiosity is the driving force of progress and research, motivating many re-searchers. Like many among them, it pushed me, as far as I can remember, and pulled me towards science. I am lucky enough today to work in a field allowing me to pursue this passion. This research project has been a deci-sive step in that direction. It could not have succeed without the help and influence of many people I had the chance to encounter during this thesis.

I would like to thank my thesis supervisors, Fouad Bennis and Damien Chablat, for their guidance during those three years, and for teaching me how to manage a research project. I also thank my industrial supervisor, Frédéric Barbaresco, who launched this project and whose help was invaluable to its success. I am grateful to Prof. Georges Fadel and Prof. Bernard Yannou who reviewed this manuscript, to Prof. Hugh Griffiths et Prof. Rajib Bhat-tacharjya for their participation in the thesis jury. My gratitude also goes to the MRIS who funded this thesis, and to Philippe Pouliguen who supervised the thesis on the DGA side.

I am thankful to Guy Desodt, François Gosselin and Claude Adnet, who thaught me a lot about radar systems and engineering. Thanks to Saïd Moussaoui, Eric Le Carpentier and Sébastien Bourguigon, from Centrale Nantes, for allowing me to follow their classes, which were very interesting. Thanks also to Aligne Florence, Pierre Savéant and Christophe Labreuche from Thales Research & Technology, who helped me at the beginning of the thesis. It will be my pleasure to work alongside them at the Laboratory of Decision & Optimization after my thesis.

I give my regards to my PhD comrades: Fabien Arlery, UyHour Tan, Mar-ion Pilté, Bogdan Khomutenko, Anoop Vargheese, Konstantin Akhmadeev and Sylvain Devie. Good luck to those who have yet to finish! I’ll keep a pleasant memory of our climbing sessions, of our card games and of the overall good atmosphere we shared during those three years.

Finally, I thank my father, Serge Briheche, who encouraged me and in-stilled in me my thirst for knowledge, and to whom I dedicate this thesis.

ACKNOWLEDGMENTS

Introduction

Context

Classically, most people envision radars as they are often represented in cin-ema: a small round screen, circularly swept by a cone, displaying blinking points and beeping whenever a target is detected. That vision, which might have been true in the past, is no longer an accurate representation.

In the last decades, radar systems have become increasingly complex but also more versatile. Their missions have extended alongside their capabili-ties. This evolution was greatly favoured by the electronic and digital revo-lution in the industry. Modern radars are faster, adaptable and rely heavily on electronic systems. They can now dynamically and freely sweep their surroundings using electronic panels as antennas, freeing them from the me-chanical limitations of rotating antennas and sequential scanning. Modern radars incorporate digital high-rate receptors, with high-performance numer-ical processors relying on precise statistnumer-ical estimators.

The paradigm shift brought by the digital era fundamentally changes the mathematical models of radar engineering. Integration of this evolution in the engineering methodology is a necessary step for harnessing the full potential of modern radar systems.

And this evolution also impacts how radars are used; while older sys-tems were each dedicated to a single task, modern radars are now multi-function, using their new-found flexibility to alternate between scanning, tracking, identification, communication, clutter mapping, etc. Each of those tasks requires time for emission, reception and processing of the radar signal. Radar time is the essential resource of radar task scheduling.

In modern warfare, increasingly intelligent systems compete against each other, seeking reactivity in ever shorter time and managing ever more infor-mation. In this context, optimizing radar efficiency is necessary to achieve desired performances in due time and avoid overload.

INTRODUCTION

Motivation and Objectives

One the main challenges for modern radar engineering is to assimilate digi-tal tools to efficiently exploit the available computing power: mathematical modelling, algorithmics, operational research and optimization.

Those transformations will push the production of aided-design tools for facilitating, improving and speeding up design and simulation of radar ar-chitectures; as well as the development of real-time practical algorithms for optimizing resource management and radar processing in operational situa-tions.

One particular radar function, fundamental but costly is the searching (or scanning) of yet-unknown targets. Radar search optimization is an im-portant topic for radar resource management, and the subject of this thesis, a joint project between THALES AIR SYSTEMS, the Direction Générale de l’Armement (DGA) of the French Ministry of Defence and the Laboratory of Digital Sciences of Nantes (LS2N). The thesis main objectives are:

• to define the theoretical framework and mathematical model of radar search optimization for tridimensional scanning radars.

• to identify, implement and test the appropriate approaches and algo-rithms for solving radar search optimization problems.

The work accomplished during the thesis in pursuit of those objectives in-cludes:

• a general problem formulation for radar search pattern optimization of scanning radars. This formulation can also be extended to any radar capable of dynamical beamforming, i.e. electronic control of the an-tenna radiation pattern.

• a procedure for approximating this problem as a combinatorial cover problem, and solving it using integer programming methods. Dynamic programming based algorithms have also been designed and can solve to optimality certain specific cases.

• a classification of the theoretical complexity of radar cover problems. Each case is proved to be either computationally easy (polynomial com-plexity) or hard (NP-hard).

• extensions of the initial formulation accounting for localized clutter, terrain masking, localized scan update rates and multi-mission con-straints.

INTRODUCTION

• computational improvements based on reduction methods for decreas-ing the number of variables and/or constraints, and thus the size, of the combinatorial problem.

• exploration and theoretical work on future research leads, such as how to exploit overlaps in the radar search pattern, formulated as a proba-bility cover problem.

• implementation of a software framework for optimization of radar search patterns, identification of short-term applications in aided-design and performance simulations, and long-term applications in real-time radar resource management.

Thesis outline

The contents are organized in four chapters:

• Chapter 1 presents the basic principles of radar theory and builds the mathematical radar model which will be considered in the rest of the thesis.

• Chapter 2 focuses on optimization and complexity theory, presents the theoretical framework for solving combinatorial cover problems as well as results on the computational complexity of radar cover problems. • Chapter 3 defines the general formulation for radar search

optimiza-tion, and describes a procedure for its approximation and solving as a combinatorial cover problem.

• Chapter 4 presents extensions for integrating localized multi-mission constraints, computational improvements for faster computation and multiple solutions generation and representation. It also explores and presents the theoretical work on future research leads of interests. The thesis concludes on synthesis of the work achieved, the possible applica-tions and the continuation of this research.

INTRODUCTION

Résumé français

Contexte

Les radars modernes sont des systèmes de plus en plus complexes mais aussi de plus en plus autonomes. Les missions des radars modernes se sont éten-dues conjointement avec leurs capacités, dont l’évolution a profité du déve-loppement de l’électronique et du numérique à travers toute l’industrie. Ces nouveaux radars sont plus rapides, plus flexibles et entièrement électroniques. Ils sont capables de balayer dynamiquement et librement l’espace grâce à des panneaux numériques, libérés des limitations mécaniques des antennes tour-nantes qui parcourent l’espace de manière séquentielle. Les nouveaux radars intègrent des chaînes de réception haut débit et des calculateurs numériques intensifs afin d’implémenter des traitements statistiques complexes.

Ces nouvelles caractéristiques changent fondamentalement les modèles mathématiques sous-jacents de l’ingénierie radar. Afin d’en exploiter pleine-ment les possibilités, il devient nécessaire d’intégrer ces évolutions à la mé-thodologie et développer en conséquences de nouvelles solutions d’ingénierie adaptées aux spécificités de ces nouveaux radars.

Ces évolutions changent également la façon d’utiliser les radars. Tandis que les anciens radars avait généralement une seule fonction, les radars mo-dernes, de par leur plus grande flexibilité, sont généralement pensés pour gérer plusieurs tâches à la fois : surveillance (aussi appelée veille radar), poursuite de cibles, identification, communication, analyse et estimation du fouillis ambiant, etc. Chacune de ces fonctions radars nécessite du temps afin d’émettre, de réceptionner puis de traiter les signaux radar. Le temps-radar est donc la ressource fondamentale dans le cadre de la gestion des fonctions radar.

Dans le contexte de la guerre électronique moderne, où des systèmes de plus en plus intelligents doivent rivaliser sur des temps de réaction toujours plus courts en prenant en charge de plus en plus de tâches, il devient pri-mordial d’optimiser l’utilisation du temps radar, sous peine de voir le radar dépassé par sa charge et à échouer à atteindre ses objectifs.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Motivation et Objectifs

L’un des challenges principaux dans l’ingénierie radar moderne est donc de mettre à profit les outils récents et les puissances de calcul de l’ère numérique : la modélisation mathématique, les statistiques, l’algorithmie, la recherche opérationnelle et l’optimisation.

L’utilisation conjointe de ces domaines a deux objectifs à terme : la pro-duction d’outils d’aide à l’ingénierie, afin de faciliter, améliorer et accélérer la conception et la simulation des architectures de radars ; et le développement d’algorithmes utilisables en temps-réel pour l’optimisation des ressources et l’adaptation des traitements radars en situation opérationnelle.

En particulier, une tâche prépondérante du radar, mais coûteuse en res-sources temporelles est la veille radar : la recherche des cibles qui n’ont pas encore été détectées. L’optimisation de la veille radar est une question impor-tante de la gestion des ressources radar. C’est le sujet de cette thèse, réalisée dans le cadre des activités de recherche de THALES AIR SYSTEMS, en par-tenariat avec la Direction Générale de l’Armement (DGA) et le Laboratoire des Sciences du Numérique de Nantes (LS2N). Les objectifs principaux de la thèse sont :

• de définir et modéliser le problème d’optimisation de la surveillance radar, plus précisément du maillage de veille, pour des radars à balayage électronique.

• d’identifier la théorie et les méthodes d’optimisation adaptées à la ré-solution de ce problème.

Les travaux réalisés durant cette thèse ont été :

• la formalisation théorique du problème générale d’optimisation de la veille pour le modèle radar à balayage électronique utilisant une antenne réseau à contrôle de phase et d’amplitude. Cette formulation générale du problème peut s’éteindre à d’autres modèles d’antennes, tant que ces dernières permettent un contrôle électronique du diagramme de rayonnement.

• l’approximation de ce problème général par le recouvrement d’ensemble, un des problèmes fondamentaux de l’optimisation combinatoire. Et sa résolution par des méthodes basées sur la programmation dynamique dans certains cas, ou la programmation linéaire en nombres entiers dans le cas général.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

• la classification théorique des problèmes de couverture radar selon leur complexité algorithmique, chaque problème étant soit solvable en temps polynomial, soit NP-difficile.

• l’extension de la méthode de résolution pour intégrer de nouvelles contraintes : fouillis localisé, masques de terrain, cadences adaptatives, et pour gérer des situations avec plusieurs types de cible.

• l’implémentation et la simulation des outils théoriques conçus pour l’op-timisation de la veille radar.

• une formulation probabiliste du problème, permettant d’exploiter les recouvrements de la veille radar, c’est-à-dire les zones scannées plu-sieurs fois durant la veille.

• l’identification d’applications industrielles potentielles à court terme et à long terme.

Plan de la thèse

Le contenu de la thèse est organisé en quatre chapitres. Les deux premiers chapitres se concentrent donc sur les aspects théoriques, et les deux suivants sur les applications :

• Le Chapitre 1 introduit la théorie du radar et construit un modèle mathématique d’un radar tridimensionnel à balayage électronique, qui sera utilisé dans le reste de la thèse.

• Le Chapitre 2 décrit les concepts provenant de la théorie de l’optimi-sation et la complexité algorithmique qui serviront de base théorique à la formalisation et la classification des problèmes de couverture radar. Ces outils serviront ensuite à la conception d’algorithmes pour résoudre les problèmes de couverture radar.

• Le Chapitre 3 définit le problème d’optimisation du maillage de la veille radar, et décrit une procédure pour son approximation et sa résolution sous forme de problème combinatoire.

• Le Chapitre 4 présente les améliorations que cette approche fructueuse a permis de développer. Le problème d’optimisation du maillage de la veille radar a pu être étendu à des cas plus généraux, prenant en compte des contraintes de fouillis localisé ou de cadences adaptatives. La géométrie du problème peut être exploitée par des méthodes de ré-duction de contraintes et/ou de variables pour accélérer l’optimisation. 11

RÉSUMÉ FRANÇAIS Une résolution rapide du problème permet la génération itérative de solutions multiples et l’analyse de l’ensemble des solutions optimales. Le chapitre conclut par des travaux théoriques sur des pistes futures. La conclusion fait une synthèse des travaux effectués, des possibilités d’ap-plications et des pistes de recherche ouvertes par la thèse.

Théorie et modèle mathématique du radar

Historique

Le terme RADAR est la contraction de l’expression anglaise “RAdio Detec-tion And Ranging”, qui peut se traduire par « détecDetec-tion et estimaDetec-tion de la distance par ondes radio ». Ce terme désigne de façon très générale tout système utilisant des ondes électromagnétiques pour détecter et analyser des objets à distance.

Le concept du radar est apparu dès la fin du 19e_{siècle avec la naissance}

des télécommunications, et la technologie radar s’est beaucoup développée durant les dernières décennies. Les radars sont des outils essentiels pour la défense militaire, en particulier avec la présence prépondérante de la guerre électronique dans les conflits modernes. Ils jouent également un rôle vital dans de nombreux domaines civils, comme le trafic aérien, la météorologie et la cartographie. La recherche prolifique sur le sujet a donné naissance à divers systèmes durant la seconde moitié du 20e _siècle.

Fonctionnement d’un radar

Les systèmes radar utilisent les ondes électromagnétiques pour détecter la présence et estimer la position de cibles distantes. Leur fonctionnement phy-sique peut être décrit par trois étapes : l’émission d’une onde électroma-gnétique dans une direction d’intérêt, sa réflexion par une cible, et enfin sa réception et son analyse par la radar afin d’estimer la présence et les carac-téristiques de la cible.

L’écho renvoyé vers le radar est cependant pollué par le bruit ambiant. Qualitativement, plus l’objet est éloigné, plus l’écho renvoyé est faible, et donc difficile à distinguer du bruit ambiant. Améliorer la détection peut être fait en augmentant la puissance du radar, en concentrant le faisceau d’émission de l’antenne, ou rallongeant la durée du signal émis. La première option a souvent un cout matériel important, et est donc généralement évitée. On préfèrera plutôt les deux dernières options, en cherchant un compromis entre 12

RÉSUMÉ FRANÇAIS

la taille de la zone de surveillance et la durée disponible pour effectuer la surveillance.

Les performances du radar peuvent être calculées à partir de l’équation radar, qui quantifie la relation entre les caractéristiques du radar et sa per-formances de détection. Elle peut être interprétée comme la mise en équation des phénomènes de propagation et de dispersion qui ont lieu entre l’émission du signal et sa réception après réflexion par une cible.

Diagramme de rayonnement

L’antenne radar est modélisée par un réseau bidimensionnel à commande de phase et d’amplitude. Chaque élément rayonnant correspond à une source électromagnétique isotrope de fréquence pure dont la phase et l’amplitude peuvent être contrôlées indépendamment. L’ensemble des amplitudes et phases des éléments du réseau forment la loi d’illumination de l’antenne.

Le diagramme de rayonnement de l’antenne est la transformée de Fourier de sa loi d’illumination. Contrôler les phase et amplitudes des éléments du réseau permet donc de contrôler la forme du diagramme de rayonnement, via des techniques communes en traitement du signal :

• L’amplitude permet de contrôler la forme du diagramme de rayonne-ment, entre autres la largeur du lobe principal et la hauteur des lobes secondaires, via un fenêtrage.

• La phase permet de translater le diagramme de rayonnement et de changer la direction d’émission du lobe principal, via un déphasage linéaire.

Forme d’onde

On appelle forme d’onde le signal émis par l’antenne radar. Ce dernier a une forme caractéristique que l’on va rechercher dans le signal reçu par le radar, afin de retrouver l’écho du signal émis réfléchi par une cible, validant la présence de cette dernière.

Le modèle considéré dans cette thèse est celui d’un radar mono-statique Doppler pulsé, donc utilisant des formes d’ondes qui sont des séries d’impul-sions courtes (émission) entrecoupées de silences d’écoute (réception). Ces sé-ries d’impulsions sont combinées afin d’améliorer le rapport signal sur bruit, cette technique s’appelle l’intégration.

Les performances de détection de formes d’ondes radar peuvent venir de mesures réelles, ou peuvent avoir été simulées par un modèle énergétique de 13

RÉSUMÉ FRANÇAIS la forme d’onde. Ce dernier ne détaille pas la structure interne de la forme d’onde, mais suffit à en représenter les performances “moyennes”.

Pointages

La combinaison d’un diagramme de rayonnement et d’une forme d’onde constitue un pointage. Qualitativement, un pointage définit à la fois une direction d’observation, « où le radar regarde », et une forme du signal émis, « comment le radar écoute ». Les paramètres du pointages, intégrés dans l’équation radar, permettent de calculer la portée de détection de ce dernier quand il « joue » le pointage.

La veille radar consiste à utiliser des pointages pour assurer la détec-tion dans l’espace de surveillance jusqu’à la portée souhaitée. L’ensemble des pointages utilisés pour assurer cette surveillance forment le maillage de veille.

Théorie de l’optimisation et complexité

algorith-mique

Introduction

L’optimisation est une branche de mathématiques s’intéressant à la résolution efficace de problèmes rencontrés dans la vie réelle. Elle englobe plusieurs as-pects, entre autres la modélisation mathématique de ces problèmes, l’analyse de leur complexité et le développement de procédures, appelées algorithmes, permettant leur résolution systématique.

Qualitativement, l’optimisation de la veille radar consiste à chercher d’un maillage de veille performant, capable d’assurer la détection sur l’espace de surveillance en prenant le moins de temps possible. Cela revient à utiliser un nombre « minimal » de pointages, à une pondération près. Le problème d’optimisation de la veille radar peut être relié à la classe des problèmes de recouvrement combinatoire, dont l’objectif est de couvrir un ensemble, appelé univers, en utilisant le moins d’éléments possible parmi un ensemble de couvertures disponibles, ces dernières étant des sous-ensembles de l’univers.

Problème de couverture par ensembles

Le problème de couverture par ensembles est la forme la plus générale de recouvrement combinatoire, et est NP-complet, faisant partie des problèmes les plus durs de la classe NP. Qualitativement, un problème NP-complet a 14

RÉSUMÉ FRANÇAIS

des solutions faciles à tester (complexité polynomiale pour vérifier la vali-dité et le cout d’une solution) mais ses solutions optimales sont difficiles à trouver (complexité exponentielle pour tester toutes les solutions) dans l’état de l’art de la recherche informatique. Les problèmes industriels difficiles sont généralement NP-complets.

Un problème de couverture radar peut être transformé en problème de couverture par ensembles, avec différentes propriétés selon le modèle du ra-dar. De manière générale, un problème de couverture radar s’écrira comme le recouvrement d’une grille de surveillance par des pointages. Les radar bidi-mensionnels (pas de dépointage en élévation) correspondent aux problèmes de recouvrement de grilles unidimensionnelles alors que les radars tridimension-nels correspondent au problème de recouvrement de grille bidimensionnelle. Un cas intéressant de ce dernier pour la modélisation des radars tridimen-sionnels est le problème de recouvrement de grille rectangulaire, où les zones de détection des pointage sont représentées par des rectangles. Ce modèle offre un bon compromis entre choix et complexité du nombre de pointages candidats pour former le maillage de veille.

Classification de problèmes de recouvrement de grille

Sous forme générale, le problème de couverture par ensembles est NP-complet, mais certains cas particuliers de ce problème ne le sont pas nécessairement. Ainsi, les restrictions géométriques des problèmes de recouvrement de grilles unidimensionnelles permettent une résolution efficace de ces derniers, en temps (fortement) polynomiale, par des algorithmes de programmation dy-namique. Certains sous-cas du problème unidimensionnel peuvent aussi être résolus par méthode gloutonne ou programmation linéaire, mais la program-mation dynamique reste néanmoins l’approche la plus simple à implémenter et la plus efficace.

A l’inverse, le problème de recouvrement de grille rectangulaire est NP-complet. La démonstration est faite par réduction depuis le problème de couverture par sommets de la théorie des graphes, l’un des 21 problèmes NP-complets originels de Karp. De façon plus générale, tous les problèmes de recouvrement modélisant des radars tridimensionnels sont NP-difficile à résoudre.

Méthode par séparation et évaluation

Il se peut qu’on ne trouve jamais d’algorithmes garantis en complexité théo-rique de résoudre efficacement les problèmes de recouvrement de grille bidi-mensionnelle, si P6=NP. Il reste cependant possible de résoudre ces problèmes 15

RÉSUMÉ FRANÇAIS efficacement en pratique. La méthode par séparation et évaluation, qui ex-plore l’espace des solutions possibles, obtient généralement de bonnes perfor-mances en pratique, en évitant certaines portions de l’espace de décision via des méthodes d’évaluation, d’où son nom.

Cette méthode offre de plus de nombreux avantages d’un point de vue opérationnel, déjà la possibilité de stopper à n’importe quel moment l’explo-ration pour récupérer la meilleure solution trouvée, mais aussi la connaissance des bornes d’évaluation sur le reste de l’espace à explorer, qui permettent de quantifier le gain potentiel de la poursuite de l’optimisation. Ces avantages sont particulièrement pertinents pour les systèmes radars qui fonctionnent en temps critique et ont besoin d’une solution, même sous-optimale, dans un dé-lai limité. La connaissance du gain potentiel permet de choisir si la poursuite de l’optimisation en vaut la peine, où si la puissance de calcul sera mieux uti-lisée à d’autres tâches. D’autant plus que pour les problèmes de couverture, les solutions sont très rapidement de très bonne qualité, arrivant en quelques secondes à moins d’une dizaine de pourcents de l’optimale, alors que combler ces derniers pourcents pour arriver à l’optimalité peut être difficile.

Optimisation du maillage de la veille radar

Formulation générale du problème

Le problème d’optimisation de la veille radar est défini à partir des besoins opérationnels. Le cahier des charges de la mission confiée au radar est décrit comme la contrainte de détection d’une cible ayant une taille apparente et suivant un modèle (Swerling) connus, à une portée souhaitée qui dépend de la direction d’observation, avec une probabilité de détection minimum garantie et une probabilité de fausse alarme (détection en l’absence de cible réelle, généralement causée par du bruit) maximum garantie.

Pour accomplir cette mission, le radar a à disposition une base de données de formes d’ondes, chacune ayant ses propres paramètres. Les performances des formes d’ondes, en terme de probabilités de détection/fausse alarme à rapport signal-sur-bruit donné, sont soit connues par mesures réelles, soit simulées à l’aide du modèle énergétique du Chapitre 1.

Sous sa forme initiale, l’optimisation du maillage de la veille est un pro-blème d’optimisation difficile à résoudre, même d’un point de vue pratique. Ce dernier mélange variables continues (lois d’illuminations des pointages) et variables discrètes (choix des formes d’ondes). De plus la taille du maillage de veille n’est pas nécessairement fixée, et est une « méta-variable » qui condi-tionne le nombre des précédentes variables dans le problème. De surcroît les 16

RÉSUMÉ FRANÇAIS

fonctions dans la contrainte de détection peuvent être non-convexes. Toutes ces caractéristiques rendent la résolution directe du problème difficile.

Approximation discrète

Il est cependant possible d’approcher ce problème sous une forme combina-toire, qui peut être résolue, en faisant les deux approximations suivantes :

• la discrétisation de la contrainte de détection sur une grille finie de surveillance.

• la restriction des diagrammes de rayonnement des pointages candidats à des formes rectangulaires.

La résolution du problème sur la base de ces approximations peut être divisée en trois étapes :

• la quantification sur la grille représentant l’espace de surveillance. • la synthèse de diagrammes de rayonnement faisables à partie des

be-soins énergétiques de la mission.

• l’écriture du problème sous forme de recouvrement combinatoire et sa résolution par séparation et évaluation.

Synthèse de diagrammes de rayonnement

Le diagramme de rayonnement idéal assurant la détection sur une partie de l’espace de surveillance, ici une zone rectangulaire, est une fonction avec une discontinuité, car le diagramme doit émettre parfaitement et uniquement dans la zone rectangulaire, et pas en-dehors. Le diagramme de rayonnement étant la transformée de Fourier de la loi illumination du réseau de l’antenne, il faudrait une loi d’illumination de taille infinie pour émettre un diagramme discontinu. Une antenne réelle de taille finie n’est donc pas capable d’émettre un tel diagramme.

Il est cependant possible d’approcher ces diagrammes idéaux via la mé-thode d’échantillonnage de Woodward-Lawson, qui approxime un faisceau à partir d’une formule très similaire à une transformée de Fourier inverse. Les diagrammes synthétisés sont ensuite filtrés par une fenêtre de Taylor, souvent utilisée en traitement radar.

Il est cependant possible d’utiliser d’autres méthodes de synthèse pour générer des diagrammes de rayonnement faisables à partir des diagrammes idéaux.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Formulation combinatoire

L’ensemble des pointages candidats est le produit Cartésien de l’ensemble des diagrammes synthétisés à l’étape précédente, avec l’ensemble des formes d’ondes disponibles sur le radar. Pour chacun de ces pointages candidats, la couverture discrète du pointage est calculée comme une matrice binaire indiquant la détection sur la grille de surveillance.

Plusieurs schémas sont possibles pour l’échantillonnage de la détection : sur les coins de chaque case, au centre de chaque case, ou sur une sous-grille. Pour chacun de ces points, la portée de détection du pointage est calculée par l’équation radar. À chaque couverture discrète est associé un coût, qui correspond à la durée de la forme d’onde du pointage.

À ce stade, le problème peut s’écrire sous forme combinatoire, où l’on cherche à trouver un maillage, un sous-ensemble de couvertures discrètes couvrant chaque case de la grille, avec un coût total en budget-temps ra-dar minimum. On reconnaît le problème de recouvrement de grille décrit au Chapitre 2, qui peut être résolu par séparation et évaluation.

Extensions et améliorations algorithmiques

L’une des grandes forces de l’optimisation du maillage de la veille radar par approximation combinatoire est le découplage que ce dernière effectue entre le modèle radar et le problème de recouvrement combinatoire. Ainsi, le modèle radar peut intégrer des contraintes locales à chaque case de la grille de sur-veillance, comme du fouillis ou des masques de terrain, ou gérer des missions multiples sans que cela impacte la structure du problème combinatoire.

Certaines extensions du problème, telles que les contraintes de cadences de mise à jour localisées ou l’utilisation des recouvrements entre pointages nécessitent cependant des formulations plus générales de recouvrement com-binatoire :

• problème de multiples recouvrements : chaque élément doit être cou-vert un certain de nombre de fois, choisi de manière indépendante pour chaque élément, représentant ainsi les différentes contraintes de cadences.

• problème de recouvrement probabiliste : les couvertures discrètes ne re-présente plus une détection binaire, mais une probabilité de détection, permettant de combiner plusieurs pointages sous-énergétiques pour as-surer une probabilité de détection globale.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Dans une autre direction, l’amélioration des puissances de calcul des ordi-nateurs et des performances des solveurs combinatoires permet d’envisa-ger la génération de solutions multiples. La particularité géométrique du problème de recouvrement de grille rectangulaire permet aussi de réduire très efficacement la taille du problème par des méthode de réduction de va-riables/contraintes.

Contraintes localisées de fouillis, de masque et de cadence

En situation opérationnelle, l’environnement du radar est souvent inhomo-gène, avec :

• du fouillis localisé dans certaines zones de l’espace de surveillance. • des reliefs qui peuvent limiter la portée de détection.

• des zones de danger à scanner de façon plus régulière, car avec un fort risque de voir une cible y apparaître.

Ces contraintes peuvent être quantifiées sur la grille de surveillance, chaque case de la grille ayant un fouillis, un masque de terrain et une contrainte de cadence propres. L’équation radar est calculée pour chaque case de sur-veillance avec les paramètres de fouillis et terrain spécifiques à cette case. Le fouillis et les masques de terrain sont donc transparents dans la formulation combinatoire et pour l’algorithme de séparation et évaluation.

Les contraintes de cadences sont cependant différentes, car ce ne sont pas des contraintes à valeurs binaires avec une détection validée ou non, mais à valeurs entières avec un nombre minimum de détections à assurer. Cette formulation correspond à un problème de multiple recouvrements, qui néan-moins peut lui aussi être résolu par séparation et évaluation, avec cependant un coût algorithmique plus élevé.

Gestion des missions multiples

Les radars en situation opérationnelle ont souvent pour tâches de détecter plusieurs types de cible à la fois : missiles, chasseurs, avions, etc. Chaque tâche correspond à une mission avec un modèle de cible et une portée souhaitée différents. Les missions peuvent aussi avoir des objectifs de probabilité de détection et de fausse alarme différents. Les différents besoins énergétiques sont combinés lors de la synthèse de faisceaux.

RÉSUMÉ FRANÇAIS Le problème combinatoire peut ensuite être approximé pour les différentes missions, chaque pointage candidat ayant une couverture discrète de détec-tion pour chaque mission. Les contraintes de détecdétec-tion des différentes mis-sions peuvent être combinées sous une seule forme matricielle, pour former un problème de détection globale. Ainsi le maillage sera optimisé globalement, pour accomplir toutes les missions à la fois en utilisant un budget temps radar minimal.

Méthodes de réduction

La complexité de l’optimisation, en particulier pour la méthode par sépa-ration et évaluation, est fortement dépendante du nombre de variables et de contraintes, qui augmente avec la résolution de la grille de surveillance. Dans le cas d’une grille rectangulaire, le nombre de contraintes évolue linéai-rement, et le nombre de variables quadratiquement, avec la résolution de la grille. Le nombre de variables peut rapidement devenir le facteur limitant de l’optimisation.

Il est cependant possible de réduire considérablement le nombre de va-riables dans le cas d’un problème de recouvrement de grille rectangulaire. Car en pratique, un certain nombre de couvertures rectangulaires sont do-minées par d’autre couvertures, au sens où une couverture domine un autre si elle couvre au moins la même zone en temps égal ou plus court. Les cou-vertures dominées peuvent être éliminées du problème sans changer le coût optimal du problème. Dans le cas général, cela nécessite de comparer toutes les couvertures deux à deux, ce qui peut être couteux en calcul. Dans le cas rectangulaire, il est possible d’exploiter la structure géométrique du problème pour éliminer en une seule passe toutes les couvertures dominées, en parcou-rant l’ensemble des rectangles de la grille par ordre décroissant de taille. La méthode exploite la propriété que pour toute couverture dominée, il existe une séquence de rectangles de taille décroissante depuis une couverture do-minante.

De manière similaire, il est possible d’éliminer des contraintes superflues pour réduire la taille du problème. Une contrainte de détection est superflue si elle est impliquée par une autre contrainte, dans le sens où si la seconde est vraie, alors la première l’est forcément aussi. Une méthode de réduction, exploitant elle aussi la structure rectangulaire du problème, permet de sup-primer les contraintes superflues en une seule passe.

Le gain le plus spectaculaire en pratique reste cependant celui de la ré-duction de variables, capable de réduire par dix la taille du problème. La raison étant qu’il y a généralement beaucoup plus de variables (croissance quadratique) que de contraintes (croissance linéaire).

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Génération et représentation de solutions multiples

La génération de multiples solutions est faisable en poursuivant la phase d’exploration de la méthode par séparation et évaluation même après avoir trouvé une solution optimale. L’obtention de plusieurs solutions optimales est intéressante d’un point de vue de l’ingénierie à la fois pour offrir du choix aux ingénieurs, mais aussi pour raffiner la fonction de coût et la modélisation du problème à partir de leur choix.

Il se peut cependant qu’il y ait un nombre trop grand de solutions op-timales différentes pour que leur ensemble puisse être généré. De plus une forte redondance entre solutions optimales diminue l’intérêt d’une recherche exhaustive, car beaucoup des nouvelles solutions trouvées seront des combi-naisons de solutions déjà connues.

Une approche possible pour éviter cette redondance d’information est de résoudre de manière itérative des problèmes de maximisation de distance entre solutions. Le coût optimal étant connue à partir de la première solu-tion optimale, on peut l’intégrer sous forme de contrainte au problème, et choisir comme fonction de coût le nombre de couvertures de la solution qui ne sont pas déjà présentes dans les solutions précédentes. Cette méthode itérative permet de construire l’ensemble des couvertures optimales, les cou-vertures qui sont utilisées par au moins une solution optimale. Parallèlement, il est possible de calculer l’invariant d’optimalité, qui correspond à la partie constante commune à toutes les solutions optimales, c’est à dire l’ensemble des couvertures utilisées par toute solution optimale. Ces outils permettent d’analyser la structure type d’une solution optimale, qui sera généralement une combinaison de l’invariant d’optimalité avec des couvertures optimales optionnelles.

Grille adaptative

La conception de grilles adaptatives fait partie des pistes de recherche fu-tures. Pour l’instant, les cases de la grille de surveillance sont délimitées par des valeurs uniformément réparties, de telle sorte que chaque case recouvre la même surface. Il est cependant possible de travailler sur une grille avec des valeurs non uniformes, dont les cases seraient plus ou moins grande de manière à refléter les besoins énergétiques de la détection. La précision de la grille varierait donc localement sur l’espace de surveillance.

Des méthodes de calcul numérique reposant sur la médiane ou la moyenne, comme l’algorithme de Max-Lloyd, permettent d’adapter la grille aux besoins énergétiques.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Problème de recouvrement probabiliste

Une autre piste de recherche est la représentation probabiliste des couvertures discrètes des pointages, où pour chaque case la couverture ne représente plus une détection binaire, mais la probabilité de détection du pointage sur cette case. Ainsi, deux pointages qui n’atteignent pas une probabilité de détection suffisante séparément, par exemple 70% < 90%, peuvent l’atteindre conjointement, la probabilité qu’au moins un des deux pointages détecte la cible étant 1 − (1 − 70%)2 _{= 91% > 90%.}

Le problème de recouvrement probabiliste peut se réécrire sous forme matricielle en utilisant la fonction anti-log probabilité x → log(1 − x), et correspond à un programme linéaire en nombres entiers qui peut être résolu par séparation et évaluation.

Conclusions et perspectives

Les nouvelles capacités numériques des radars modernes à balayage électro-nique offrent des larges possibilités pour l’optimisation du maillage de la veille radar. Une utilisation efficace et flexible des ressources en budget-temps peut permettre aux radars de gérer des situations complexes même sous des délais très courts.

Le principal objectif de la thèse était d’identifier les approches mathé-matiques adaptées à la représentation du problème du maillage de la veille radar, et de formaliser sur la base de ces outils un canevas théorique pour la résolution de ce problème. L’approximation du maillage de la veille radar sous forme de problème de recouvrement combinatoire s’est révélée être un outil puissant et flexible, pouvant être généralisé à des situations complexes avec plusieurs missions et des contraintes localisées.

Les contributions théoriques de la thèse ont permis la classification des problèmes de couverture radar, selon le type de radar, entre la classe des pro-blèmes solvable en temps fortement polynomial ou la classe des propro-blèmes NP-difficiles. Les contributions incluent également la conception de méthodes de réduction exploitant la géométrie du problème pour accélérer l’optimisa-tion, et des travaux sur la génération et la représentation de solutions mul-tiples.

Les applications possibles de ces travaux portent sur l’aide à la conception de maillage de veille par des ingénieurs pour des radars existants, et la simu-lation des performances d’architectures de futurs radars. Sur le long terme, les algorithmes présentés dans cette thèse pourraient être inclus directement dans le radar, afin d’optimiser en temps réel le maillage de veille en situation 22

RÉSUMÉ FRANÇAIS opérationnelle.

Ces travaux ont également ouvert la voie vers de nouvelles pistes de re-cherche, par exemple l’utilisation les recouvrements entre pointages ou les grille de surveillance adaptées aux besoins énergétiques de mission. D’autres pistes sont également envisagées, portant notamment sur l’utilisation de grilles multidimensionnelles. Ainsi la grille couvrirait les axes azimut et éléva-tion, mais aussi les axes portée et vitesse de la détection des cibles, permettant l’optimisation des formes d’ondes. Le temps pourrait aussi être ajouté comme axe supplémentaire, afin d’inclure l’ordonnancement dans l’optimisation du maillage de la veille et de compenser les mouvements de radars mobiles.

À la vue de ces possibilités, le principal résultat de la thèse est d’avoir montré la pertinence de l’utilisation du recouvrement combinatoire comme un outil pour l’optimisation du maillage de la veille radar.

RÉSUMÉ FRANÇAIS

Chapter 1

Radar theory and mathematical

model

1.1

History

The term RADAR is the contraction of “RAdio Detection And Ranging”. It encompasses all systems and techniques for detecting and analysing distant objects through the use of radio waves, which usually refer to electromagnetic waves with frequencies between a few kilohertz to several hundred gigahertz. The first radar experiments were pioneered by German physicist Heinrich Hertz in the late 19th century, applying James Maxwell’s ideas. However, radar technology has most significantly developed during the last decades, principally for military use and defence applications.

Radars are nowadays essential assets in modern warfare and military de-fence, ever since World War II. They also play an important role in civilian applications, most notably in flight control with the ever increasing traffic, but also in weather forecasting, topography and geology. Radar research has been prolific in the latter part of the 20th century during which many radar systems and technological improvements have been made.

Radar theory covers a wide variety of fields: from antenna design focusing on the electromagnetic properties of radiating elements, to signal processing studying the structure and efficiency of transmitted signals, and statistics for extracting reliable information for target detection and analysis.

1.2

Radar basic principle

A radar system detects an object by propagating electromagnetic waves, from which it can also infer information regarding the object. This process can be

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL

Figure 1.1: Radar emission and reception divided into three steps:

• The radar first sends an electromagnetic wave in the scanning direction. • Upon encountering an object, the wave is reflected and partially

prop-agates back to the radar antenna.

• The radar receives and processes the reflected wave to detect an object and estimate its characteristics, usually position and radial speed. Unfortunately, the received signal is polluted with ambient noise. The further the object is, the weaker the echo is and the harder it becomes to dis-tinguish the echo from noise. Detection of weak echo signals can be improved through different approaches:

• Increasing the emitter antenna power. This is the most straightforward solution, but has significant material, logistic and energetic costs. A more powerful antenna will be bigger, and use more energy, thus pro-ducing more heat and requiring a better cooling system. This is usually not the preferred solution, rather used as a last resort.

• Focusing the antenna radiation pattern in a unique direction rather than dispersing it uniformly in all directions. Concentrating the ra-diating power decreases the angular width of the detection area but improves the detection range. Modern radars rely on electronics to nu-merically control and dynamically generate a desired radiation pattern. • Increasing the emitted signal duration. After reflection, a longer echo is easier to extract from noise, as the echo has a consistent temporal structure. The longer the echo, and the more it contrasts with the ran-domness of noise, typically assumed white (thus incoherent between any 26

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL two instants). A longer signal means sending more energy on the tar-get. Time integration of the received signal increases the echo strength comparatively to the ambient noise power.

The formal mathematical relation between those parameters and the detec-tion range is called the radar equadetec-tion.

1.3

Radar equation

1.3.1

Definition

The radar equation expresses the relationship between the energy reflected by a target towards the radar, the radar characteristics (emission power, antenna gain), the target characteristics (radar cross-section, distance to the radar) and various losses.

The radar equation sometimes appear under different forms, depending on the situation and radar model, which are all mathematically equivalent how-ever. Formulas used for radar design and sizing under detection constraints (for given target at given range, etc.) may look different than formulas for computing performances of a known radar architecture. Though the equa-tion always models the same phenomenon and quantify the propagaequa-tion and dispersion of radar waves travelling forth and back between the radar and a target [1]:

Er=

P T gtgrλ2σ

(4π)3_R4_L (1.1)

with :

• Er the reflected energy received on the antenna (J),

• P the antenna average power (W),

• gt the antenna emission gain in the target direction (dB),

• gr the antenna reception gain in the target direction (dB),

• T the emitted signal time duration (s), • λ the signal wavelength (m),

• σ the target radar cross-section, its “visibility” to the radar (m2_),

• R the radar↔target distance (m), • L the energetic losses (dB). 27

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL

Figure 1.2: Isotropic antenna (left) and directive antenna (right)

1.3.2

Energetic dispersion interpretation

The radar equation models the physical phenomenon of energy propagation. Under the far-field hypothesis, an antenna can be modelled as a point source “seen from far away”. The antenna is isotropic if it emits the same power in all directions, and has a constant gain. It is directive if the antenna focuses the power in certain directions, and has a variable gain. Both cases are shown in Figure 1.2.

An isotropic antenna radiates its power P uniformly, emitting spherical waves at far-field. At a distance R from the radar, its power is distributed evenly on a sphere with a surface 4πR2_{, see Figure 1.3. For a directive}

antenna, the power distribution is proportional to the antenna gain. The power flux density radiating from the antenna is

P gt

4πR2

A target with radar cross-section σ at range R will partially intercept and reflect this power. Under the far-field hypothesis, the target is far away from the radar, and can be viewed as a point source dispersing spherical waves. The reflected power at a distance R from the target is distributed on the sphere with radius R, see Figure1.3, and the reflected power flux density is

P gt

4πR2

σ 4πR2

and is intercepted by the antenna effective reception area Ae = grλ

2

4π [1].

The total energy received by the radar is the power multiplied by the signal duration T : P gt 4πR2 σ 4πR2 grλ2 4π T

and including losses L, this corresponds to the radar equation (1.1).

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL

∆u3dB

Figure 1.13: Narrow beam half-power width (left), along the u axis (right) semi axis ∆u3dB = 2u0 and ∆v3dB = 2v0, see Figure 1.13, where u0 and v0

are solutions of the system        sin(πKdx_λ u) sin(πdx_λ u) = q 1 2K ⇔ √ 2 sin πKdx λ u
= K sin πdx λ u
, 0 < u < λ 2Kdx sin(πLdz λ v) sin(πdz λ v) =q1 2L ⇔ √ 2 sin πLdz λ v
= L sin πdz λ v
, 0 < v < λ 2Ldz

which can numerically be solved by using root-finding line search, such as the popular Brent’s method [5] (implemented in MATLAB by fsolve, and in SciPy by scipy.optimize.brentq). The half-power narrow beamwidth can also be approximated using

 ∆u3dB ≈ 0.89_Kdλ_x if K ≫ 1

∆v3dB ≈ 0.89_Ldλ_z if L ≫ 1

which are the formulas for a continuous rectangular electromagnetic source. Physically, a discrete array with enough elements can be viewed as a contin-uous source.

The half-power beamwidth of the centered narrow beam is approximately the area A3db = πu0v0 = π₄∆u3dB∆v3dB of the ellipse with axis ∆u3dB and

∆v3dB. Considering the number of parallel beamforming computations the

digital processor can perform is a known system value NDBF ∈ N, the

maxi-mum area in direction cosines which can be scanned at reception is Amax= NDBF A3db = NDBF 2π∆u3dB∆v3dB

and the minimum reception gain of digital beamforming is at most 3 decibels below the maximum gain of the antenna array

gDBF =

r 1 2KL

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL radar signal waveform

target delayed echo without noise

received signal: target delayed echo with noise

search of waveform echo by correlation detection threshold

time time time time

Figure 1.14: Research of a target echo of the waveform in the received signal

1.5

Waveform model

1.5.1

Waveform definition and detection principle

The waveform is the shape along time of the signal emitted by the radar. The principle of radar detection is to “search” and try to “recognize” the waveform, the emitted signal shape, inside the received signal to find an echo reflected by a target, see Figure1.14 for a simplified example.

The radar model in this thesis is a mono-static pulse-Doppler radar. A mono-static radar uses the same antenna for emission and reception, and thus cannot receive while emitting. The complete waveform is a series of short pulses (emission) alternating with silences (for reception). Those series of pulses are combined to increase the signal-to-noise ratio. This technique, used for improving detection, is called integration.

This thesis presents an energetic waveform model, which does not detail the signal processing aspects of waveform design: pulse modulation, spectral occupation, ambiguity function, encoding, etc., nor the associated processing chain: demodulation, matched/mismatched filtering, etc.

Inside a waveform, series of pulses with similar characteristics are grouped together, such a group is called a burst. A waveform is thus a series of bursts, and each burst is a series of pulses, see Figure 1.15. The signal parameters are different from burst-to-burst inside a waveform, but are constant inside 39

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL time time time Tp burst n°1 burst n°2 burst n°3 T_p T_p

N

=4

N

=3

N

=2

Figure 1.15: Waveform structure decomposition a burst:

• τ : pulse width (s).

• Tp : pulse repetition interval, the period between the start of two

suc-cessive pulses (s), thus Tp− τ is the silence duration between a pulse

end and the next pulse start.

• Np : number of pulses in the burst, with the burst duration being NpTp

• f : duty cycle, ratio between the pulse width and the pulse repetition interval

f = τ Tp

which also relates the radar average power Pm to the radar peak power

Pp

Pm = Ppf

and the total energy emitted during the waveform is PmT where T is

the waveform total duration.

In presence of target, the emitted signal is reflected back toward the radar. A target at range R reflects a pulse echo with a time delay

∆t = 2R c

where c the speed of light, since the signal takes ∆t to travel the radar-target distance R forth and back at speed c. If the target has a radial speed v, then between two pulses the target gets closer by 2vTp ≪ R. In practice, this

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL of a single pulse pf a [6,9]: Swerling I/II : pd = pf a 1 1+s Swerling III/IV : pd = pf a 2 2+s  1₋ 2s (2+s)2 ln(pf a)  Swerling 0 (V) : pd = R+∞ − ln(pf a)e −(x+s) 1 π Rπ 0 e 2√sx cos θ_dθdx (1.7)

Reciprocally, knowing the desired detection and false alarm probabilities for a given target model, it is possible to numerically compute the minimum signal-to-noise ratio required for achieving desired detection and false alarm probability, also called detectability factor.

1.5.2

Energetic model

Since a waveform is formally defined as a collection of bursts, its parameters are the aggregation of all its bursts parameters. A signal processing model of waveform and the corresponding radar processing chain fall outside the scope of this thesis. But a simpler energetic model of the waveform can be defined using fewer parameters, such that for a waveform ω:

• Nb : the number of bursts inside the waveform.

• Tω : the waveform total duration (s)

• fω: the (average) dutycycle in the waveform.

• sω(Pd, Pf a): the waveform detectability factor for detection and false

alarm probabilities Pd, Pf a.

For a real system, the detectability factor sω can be measured for each

wave-form and stored in a database. With this approach, a system database of available waveforms with known performances in various scenarios can be computed. Another approach is to simulate waveform performances. A sim-ple energetic model for doing so is described below.

The model uses Doppler filtering for pulse integration inside each burst; then performs double threshold detection to aggregate multiple bursts inside a waveform:

• Pulse integration: Doppler filtering is coherent integration, and Np

co-herently integrated pulses can be viewed as one virtual pulse with an Np-times stronger signal-to-noise ratio. Sterling mono-pulse formulas

(1.7) can be used to compute the detectability factor sω for burst

de-tection probability pd and burst false alarm probability pf a.

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL range Doppler va Ra -va/2 range Doppler v_a 2va v_c Rc /2 va -va R_a 2Ra 0

range eclipses Doppler eclipses clutter eclipses

A

A

Figure 1.18: range-Doppler map with eclipses for a given burst (left) and its visible and occulted areas (right)

• Burst integration: In double threshold detection, a detection is vali-dated if and only if there are at least “Kb out of Nb” detections among

the bursts, with Kb a chosen threshold. Considering each burst

de-tection as statistically independent, the waveform dede-tection and false alarm probabilities Pd and Pf a are related to the burst detection and

false alarm probabilities pd and pf a by the following relations

Pd= Nb X k=Kb Nb k  pdk(1− pd)Nb−k Pf a = Nb X k=Kb Nb k  pf ak(1− pf a)Nb−k (1.8)

1.5.3

Radar eclipses and clutter

A radar in operation usually has blind areas, also called eclipses, see Figure

1.18 :

• Range eclipses: Along the distance axis, a mono-static radar cannot receive while emitting. Either the same antenna is used for both emis-sion and reception, or different antennas are used but will interfere with each other. Thus there is a blind interval during each pulse emission, see Figure1.19. Since a burst is a sequence of pulses, this blind interval

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL time time emission signal echo detection

?

?

Figure 1.19: Range eclipses and ambiguity on which pulse the echo originates from

is replicated during each pulse emission. Distance eclipse are located at each range kRa, k ∈ N with Ra= c T₂p.

Ra is called the range ambiguity: if a target is located at R > Ra,

further than the ambiguity range, then a reflected pulse is received only after the next pulse has been emitted, leading to an ambiguity on which of the two pulses reflection has actually been received, see Figure

1.19. Range measurements from a burst are only known “modulo Ra”.

• Doppler eclipses: the target radial speed can be estimated using Doppler filtering. In general, the entire surrounding environment (ground, sea, trees, etc.) also reflects back the radar signal with no (or little) radial speed. The zero speed estimation is polluted by the entire environ-ment. In practice, it is impossible to discriminate a non-moving target of interest from the rest of the environment. Because Doppler filter-ing is essentially a form of “speed samplfilter-ing”, aliasfilter-ing occurs for speeds over a certain value va, known as the Doppler ambiguity, and target

faster than va appears to be slower (or even moving away). Because of

aliasing, the zero-speed blind area is also replicated along the Doppler axis.

• Clutter eclipses: environmental elements hindering detection are called clutter. The zero-speed Doppler eclipse is usually due to ground or sea clutter, which are immobile. However, certain elements, such as rain, can be moving due to wind, and occult areas on the clutter map which are beyond the zero speed. Doppler aliasing replicates clutter eclipses as well along the Doppler axis. They are also replicated on the range axis, since an echo of the i-th pulse reflected by a target at kRa+ Rc

arrives at the same time than the clutter echo of the (i + k)-th pulse. The eclipse coefficient α is defined as the ratio of all eclipsed areas over the total area of the range-Doppler map

α = Ae Av+ Ae

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL Considering that each burst has the same detection probability pd, then the

probability of having Kb successful detections out of n visible bursts is n X k=Kb n k  pdk(1− pd)n−k

The waveform detection probability, and by similar reasoning false alarm probability, accounting for eclipse coefficient α are

Pd= Nb X n=Kb Nb n  (1− α)n_αN −n n X k=Kb n k  pdk(1− pd)n−k Pf a = Nb X n=Kb Nb n  (1− α)n_αN −n n X k=Kb n k  pf ak(1− pf a)n−k (1.9)

This model requires the assumption that burst detections are independent for the same target position on the range-Doppler map, which in practice is unlikely to be accurate, especially for target close to the range-Doppler map origin, i.e. slow targets close to the radar location. However it can be used as a simple method to approximate the energetic impact of clutter.

Within this model, the waveform detectability factor also depends on the eclipse coefficient α and is noted sω(Pd, Pf a, α).

1.6

Dwell model and range computation

Radar detection depends on both the radiation pattern and the waveform. The electromagnetic signal emitted by each radiating element is the signal waveform weighed by the illumination law phase and amplitude.

To achieve detection of a given target, one must feed the phased array radiating elements with an adequate illumination law, and then feed an ad-equate waveform signal in the radiating elements. In terms of optimization, the illumination law and the signal waveform can be viewed as “variables”, meaning they are the physical values through which radar detection can be controlled. Informally, the illumination law controls “where the radar looks” and the waveform controls “how the radar listens in that direction”.

The combination of a given illumination law and a given waveform is called a dwell

d = ({ak,l}, ω)

Computing the detection range of a given dwell at desired detection and false alarm probabilities Pd and Pf a in direction (az, el) can be done using

CHAPTER 1. RADAR THEORY AND MATHEMATICAL MODEL the radar equation with the model described in this chapter. The radar equation (1.1) can be reformulated to express the detection range in function of the other parameters

R4 = Pp fω Tω gt gr λω

2 _σ

(4π)3 _s

ω Lu Ls2

(1.10) which can be further simplified:

• The radar peak emission power Pp, the reception gain of digital

beam-forming gr = gDBF and the uniform losses Lu are constants of the

system by design and can be computed as a unique term Kr = Pp gr (4π)−3 Lu−1

• The dutycycle fω, duration Tω, carrier wavelength λω are constants1 of

the waveform can be computed as a unique term Kω = fω Tω λω2

The simplification reduces the equation to

R4 = Kr Kω gt σ sω−1 Ls−2 (1.11)

The scanning direction cosines coordinates can be expressed from the direction operational coordinates and the radar tilt angle t using (1.4)

u = cos(el) sin(az)

v = sin(el) cos(t)_{− sin(t) cos(az) cos(el)} w = sin(el) sin(t) + cos(t) cos(az) cos(el) which can then be used to compute

• The emission gain from (1.3), knowing the waveform carrier wavelength gt(u, v) = K−1 X k=0 L−1 X l=0 ak,lejφk,lej2π ldxu+kdy v λω

• The scanned losses as Ls−2 = w2

1_{In practice, the carrier wavelength can changes between bursts, due to frequency} agility, impacting the antenna gain. Corrections in the illumination law can somehow compensate those changes. The present model makes the simplifying assumption that the carrier does not change