Méthodes de décomposition en sous domaines pour quelques problèmes a frontière libre

BADJI MOKHTAR

-

ANNABA UNIVERSITY

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR

ANNABA

ﺔـﻌـﻤﺎـﺠ

ﻲـﺠﺎـﺒ

ﺭﺎﺘﺨـﻤ

ﺔـﺒﺎـﻨـﻋ

Faculté des Sciences

Année : 2010/2011

Département de Mathématiques

THESE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

DOCTORAT EN MATHEMATIQUES

M.C. U.M.K BISKRA

Mr. A. NECIR

Option

ANALYSE NUMERIQUE

Par

HADIDI EL-BAHI

DIRECTEUR DE THESE :

Mr. M. HAIOUR

M.C.A. U.B.M. ANNABA

Devant le jury

PRESIDENT : Mr. H. SISSAOUI

Prof. U.B.M. ANNABA

EXAMINATEURS : Mr. A. E.H. AYADI Prof. U.OUM EL BOUAGHI

Mr. M. C. BOURAS M.C.A. U. ANNABA

Mr. H. SAKER M.C.A. U. ANNABA

Mr. F. ELLAGGOUNE M.C.A. U. GUELMA

METHODES DE DECOMPOSITION EN SOUS DOMAINES

POUR

Je voudrais commencer par remercier mon directeur de thèse,

le docteur M. Haiour, qui m’a proposé ce sujet et qui m’a encadré

pendant la réalisation de cette thèse. Durant cette période il m’a

beaucoup apporté par exigence de clarté et de rigueur ainsi que par

son expérience. Par des conseils précis et une orientation objective,

il m’a permis de réaliser ce travail.

Je remercie profondément le professeur H. Sissaoui d’avoir

accepter de présider le jury.

Je remercie également avec gratitude le professeur A. E.H. Ayadi

et les docteurs M.C. Bouras, H. Saker et F. Ellaggoune pour leur

intéressement à ce travail et leur participation en tant que membres

de jury.

Je tiens à remercier vivement ma femme N. Stihi et toute ma

famille.

Je n’oublierai pas de remercier le professeur A. Makhlouf qui n’a

aménagé aucun effort pour m’avoir inculqué son savoir tout au long de

mes études en Magister.

Je tiens enfin à remercier tous mes amis et collègues, ainsi tout le

personnel du département de Mathématiques et aussi du MIAS.

Dédicace

A mes parents : YOUNES, ZOHRA et ma grande mère : HADA.

A qui mes réussites faisaient les grandes joies.

A ma chère épouse,

Qui m’a apporté affection et soutien.

A ma sœur et mes frères,

Tous mes vœux de bonheur et d’excellente santé.

A ma fille ARIDJ

1 Inéquation variationnelle et inéquation quasi variationnelle 7

1.1 Outils d’analyse . . . 7

1.2 Inéquation variationnelle (I.V) continu . . . 8

1.2.1 Notations et hypothèses . . . 8

1.2.2 Existence et unicité d’une solution continue d’I.V . . . 9

1.2.3 Caractérisation de la solution continue d’I.V comme enve-loppe des sous-solutions continues d’I.V . . . 9

1.2.4 Propriétés de monotonie de la solution continue d’I.V . . . 10

1.2.5 Régularité de la solution continue d’I.V . . . 12

1.3 Inéquation variationnelle (I.V) discrète . . . 12

1.3.1 Existence et unicité d’une solution discrète d’I.V . . . 13

1.3.2 Caractérisation de la solution discrète d’I.V comme enve-loppe des sous-solutions discrètes d’I.V . . . 13

1.3.3 Propriété de monotonie de la solution discrète d’I.V . . . . 13

1.3.4 Régularité de la solution discrète d’I.V . . . 14

1.4 Inéquation quasi variationnelle (I.Q.V) continue . . . 14

1.4.1 Notations et hypothèses . . . 14

1.4.2 Existence et unicité d’une solution continue d’I.Q.V . . . . 15

1.4.3 Régularité de la solution continue d’I.Q.V . . . 16

1.5 Inéquation quasi variationnelle (I.Q.V) discrète . . . 17

1.5.1 Existence et unicité d’une solution discrète d’I.Q.V . . . . 17

1.5.2 Propriété de monotonie de la solution discrète d’I.Q.V . . 19

2 Convergence uniforme de la méthode de Schwarz pour l’inéqua-tion varial’inéqua-tionnelle 21 2.1 Introduction . . . 21

2.2 Le problème continu . . . 21

2.2.1 Notations et hypothèses . . . 21

2.2.2 Inéquation variationnelle elliptique . . . 22

2.3 Le problème discret . . . 22

2.3.1 Discrétisation . . . 22

2.3.2 Position du problème discret . . . 23

2.3.3 Méthode de décomposition de domaine . . . 25

2.3.4 La méthode de Schwarz discrète . . . 25

2.3.5 L’estimation d’erreur en norme L1 _{. . . 31}

3 Convergence uniforme de la méthode de Schwarz pour l’inéqua-tion varial’inéqua-tionnelle non coercive 32 3.1 Le problème continu . . . 32

3.1.1 Notations et hypothèses . . . 32

3.1.2 Le problème continu . . . 34

3.1.3 L’algorithme de Schwarz continu . . . 36

3.2 Le problème discret . . . 38

3.2.1 Discrétisation . . . 38

3.2.2 Position du problème discret . . . 38

3.2.3 La méthode de Schwarz discrète . . . 38

3.3 Estimation d’erreur en norme L1 _{. . . 39}

3.3.1 Suites auxiliaires . . . 39

3.3.2 Estimation d’erreur en norme L1 _{. . . 42}

3.3.3 Amélioration de l’estimation d’erreur en norme L1 _{. . . . 43}

4 Convergence uniforme de la méthode de Schwarz pour l’inéqua-tion varial’inéqua-tionnelle avec second membre non linéaire 46 4.1 Le problème continu . . . 46

4.1.1 Inéquation variationnelle non linéaire elliptique . . . 47

4.1.2 L’algorithme de Schwarz continue . . . 49

4.2 Le problème discret . . . 50

4.2.1 Discrétisation . . . 50

4.2.2 Position du problème discret . . . 50

4.2.3 La méthode de Schwarz discrète . . . 51

4.3 L’estimation d’erreur en norme L1 _{. . . 51}

4.3.1 Suites auxiliaires . . . 51

L’origine des inéquations variationnelles remonte aux années soixante. G. Stampacchia s’est intéressé à la théorie du potentielle et G. Fichera a été motivé par la mécanique (problèmes dans l’élasticité avec contraintes unilatérales).

Moins de vingt années plus tard avec P.L. Lions et Ph. Cortey-Dumont, la théorie des inéquations variationnelles est devenue une source riche d’inspiration dans les mathématiques pures et appliquées.

La théorie des inéquations variationnelles a été utilisée dans plusieurs do-maines tels que la mécanique, la physique, l’optimisation, le contrôle optimal, la programmation linéaire, les mathématiques …nancières, etc... ; Aujourd’hui elle est considérée comme un outil indispensable dans plusieurs secteurs de mathé-matiques appliquées.

Depuis longtemps les chercheurs dans leurs étude des équations di¤érentielles ordinaires, des équations aux dérivées partielles, des équations variationnelles en générale et en particulier des inéquations variationnelles, se sont intéressés aux di¤érentes techniques d’approximations, à savoir les méthodes des di¤érences …nies, des éléments …nis, des volumes …nis et méthodes spectrales.

Pour notre part on s’intéresse à une approche algorithmique dite méthode de Schwarz, qui a été inventée par Herman Amandus Schwarz (1870), dans le but de répondre à des exigences purement théoriques. Cette approche a été aussi utilisée par Keith Miller (1940) comme un outil performant de simulation des problèmes aux limites.

A l’aide des calculateurs parallèles, cette redécouverte de la méthode en tant qu’algorithme de calcul, combiné avec l’étude basée sur une approche variation-nelle moderne, que nous devons à Pierre-Louis Lions, a été le point de départ d’une activité de recherche intense pour développer davantage cet outil de calcul et améliorer son e¢ cacité.

La méthode de Schwarz a été largement étudiée pour les problèmes elliptiques linéaires dans [2,3,4,5]et pour les les inéquations variationnelles [27, 28].

Récemment plus d’attention a été donnée à la méthode de Schwarz pour les problèmes discrets des inéquations variationnelles[33,34,35]. Les deux méthodes de Schwarz multiplicative et additive ont été étudiées dans [33,34,35], respecti-vement pour le problème avec un ou deux obstacles. Quand aux solutions numé-riques des problèmes à frontières libres avec second membre non linéaire, elles ont étés étudiées par Meyer [28].

La méthode de décomposition de domaine a subit un développement trés accéléré durant les deux dernières décennies grâce à l’avancement considérable

dans le monde des ordinateurs. Cette première permet la réduction d’un problème de grande taille à un problème de petite taille et moins coûteux de point de vue résolution. Comme elle permet aussi la transformation d’un problème aux limites posé sur une région irrégulière à un ensemble de problèmes posés sur des sous domaines réguliers et simples.

Le problème à frontière libre a plusieurs applications aux phénomènes phy-siques et économiques, on le trouve dans l’écoulement des ‡uides dans les milieux poreux et dans le comportement des matières d’élasto plastiques. Ces derniers problèmes sont en général du type à frontière libre et qui peuvent être ramener à des problèmes d’obstacle.

Les inéquations variationnelles représentent une technique puissante pour étudier de tels problèmes théoriquement et numériquement, et elles ont un grand intérêt, car elles modélisent de nombreux problèmes non linéaire tels que le contrôle impultionnel en économie et en mécanique (gestion de stock, contrôle de …les d’attente, lancement de production, démarrage de centrales thermiques, problème de la digue dans A. Breton[11], M. Goursat[18], C. Leguay[24], M. Robin[31] et C. Baiocchi[2]).

L’étude numérique des inéquations variationnelles et quasi variationnelles nous permet non seulement d’avoir l’ordre de l’approximation mais aussi de mettre en évidence une symétrie dans l’étude des inéquations variationnelles ou quasi variationnelles entre les problèmes continu et discret.

Nous nous sommes intéressés à la méthode de décomposition de domaine à cause des trois motivations importantes suivantes :

– Facilité de parallélisation et bonne performance parallèle.

– Simpli…cation des problèmes étudiés sur des géométries compliquées. – Propriétés de la convergence.

Plus précisément, on s’intéresse à l’approximation par éléments …nis de deux classes d’inéquations variationnelles (I.V) et inéquations quasi variationnelles (I.Q.V).

Le problème continu consiste à trouver u 2 H1

0 ( ) solution de

a(u; v u) (f (u) ; v u) ; _{8v 2 H}1 0 ( )

u ; v (P)

où a(:; :) est une forme bilinéaire et désigne un obstacle.

La discrétisation par une méthode d’éléments …nis P1 conformes conduit à

l’analogue discret du problème (P)

a(uh; vh uh) (f (uh) ; vh uh) ; 8vh 2 Vh

uh rh ; vh rh

où Vh est l’espace d’éléments …nis conformes et rh désigne l’opérateur

d’interpo-lation usuel.

Il a été préférable d’introduire l’algorithme continu de Schwarz qui consiste à dé…nir la solution du problème continu u = (u1; u2) comme limites des deux

suites (un+1₁ ; un+1₂ )dé…nies par le système des inéquations variationnelles suivant : a1(un+11 ; v un+11 ) f1; v un+11 ; 8v 2 K( ;0) un+1₁ = un₂ sur 1; v = un2 sur 1 (P n1₎ a2(un+12 ; v u n+1 2 ) f2; v un+12 ;8v 2 K( ;0) un+1₂ = un+1₁ sur 2; v = un+11 sur 2 (Pn2₎

Dans sa version discrète, (Pn1) et (Pn2) deviennent : a1(un+11h ; vh un+11h ) f1; vh un+11h ; 8vh 2 V (un 2h) h1 un+1₁ rh ; vh rh (Pn1 h ) ( a2(un+12h ; vh un+12h ) f2; vh un+12h ; 8vh 2 V (un+1_1h ) h1 un+1₂ rh ; vh rh (Pn2 h )

Généralement, il y a deux types d’estimations de l’erreur :

– L’estimation de l’erreur à priori qui nécessite la connaissance de la solution exacte du problème à résoudre numériquement ainsi que les paramètres d’approximation.

– L’estimation de l’erreur à posteriori qui nécessite la connaissance des para-mètres d’approximation ainsi que la solution approchée mais par contre ne nécessite pas forcément la connaissance de la solution exacte du problème. On est souvent confronté à des problèmes qu’on ne peut pas résoudre expli-citement, donc pour évaluer l’erreur commise durant l’approximation, on doit trouver une estimation à posteriori de l’erreur. Pour être plus clair, supposons qu’on s’intéresse à la résolution numérique d’un problème quelconque donné admettant une solution u (qu’on ne connait pas forcément) et soit uh,

l’approxi-mation de cette solution u, par suite, l’estil’approxi-mation à priori de l’erreur est donnée par l’inégalité générale suivante :

ku uhk C (h; u)

Par opposition, l’estimation à posteriori de l’erreur, peut être donnée par l’in-égalité générale suivante :

où C est une constante indépendante du paramètre d’approximation h.

L’intérêt de l’analyse à posteriori de l’erreur est qu’elle nous aide à adapter la méthode d’approximation a…n d’obtenir la précision du calcul voulu dans tel ou tel endroit du domaine ou tout simplement de réduire la taille et temps du calcul.

L’intérêt de travailler avec la norme L1 est d’une part pour son caractère concret et réaliste, et d’autre part pour son rôle important dans la preuve des résultats qui seront présentés et qu’elle nous aide à la localisation de la frontière libre.

En lien avec les inéquations variationnelles (I.V) et inéquations quasi varia-tionnelles (I.Q.V), le travail présent se décompose en quatre chapitres.

Le premier chapitre présente l’aspect théorique et pratique nécessaire à la compréhension de la thèse. L’objet du deuxième chapitre est l’étude de l’er-reur de l’approximation en norme uniforme pour les inéquations variationnelles. Quand au troisième chapitre, il contient l’analyse de l’erreur de l’approximation en norme L1 _{pour les inéquations variationnelles non coercives.}

En…n, le quatrième chapitre est consacré à l’analyse de l’erreur d’approxima-tion dans le cas d’un problème avec second membre non linéaire.

On terminera cette thèse en donnant une conclusion et des perspectives comme prolongement de ce travail.

ﻲﻓ

ﺍﺫﻫ

ﺙﺤﺒﻟﺍ

ﺱﺭﺩﻨ

ﺕﺎﺤﺠﺍﺭﺘﻤﻟﺍ

ﺔﻴﺘﺍﺭﻴﻐﺘﻟﺍ

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.

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ﺭﺼﺎﻨﻌﻟﺎﺒ

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ﻰﻟﻭﻷﺍ ﺔﺒﺘﺭﻟﺍ ﻥﻤ

.

Résumé

On étudie les inéquations variationnelles et quasi variationnelles, en appliquant

la méthode de décomposition en deux sous domaines. On donne l’estimation

d’erreur de l’approximation par éléments finis afines.

Abstract

We study variational inequalities and quasi variational, while applying the

method of decomposition in two under domains. We give error estimate for

approximation by finite elements of degree one methods.

Liste des publications  : 

1) M. Haiour & E. Hadidi, Uniform convergence of Schwarz method for 

noncoercive variational inequalities, in the International Journal of 

Contemporary Mathematical Sciences, Vol. 4, 2009, no. 29, 1423 – 

1434. 

2) M. Haiour & E. Hadidi, Uniform convergence of Schwarz method for 

variational inequalities, in the Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, 

2010, no. 12, 595 – 602. 

3) M. Haiour & E. Hadidi, Uniform convergence of Schwarz method for 

noncoercive variational inequalities simple proof, in the Australian 

Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 7, 2010, no. 2, 

xxx – xxx.

Inéquation variationnelle et

inéquation quasi variationnelle

1.1

Outils d’analyse

L’ objet de cette section est l’introduction des notions de base, nécessaires pour la bonne compréhension de notre thèse.

Sur l’ouvert _{de R}n_{, nous introduisons les espaces suivants :}

Lp( ) l’espace des fonctions mesurables sur , munit des normes. kfkLp_{( )} = Z jfjpdx 1 p si 1 p < +₁ (1.1.1) kfkL1( )= sup ess x2 jfj si p = +1 (1.1.2)

est un espace de Banach.

L2( ) est un espace de Hilbert, le produit scalaire correspondant à la norme (1.1.1) avec p = 2 est donné par

(f; g) = Z

f (x) g (x) dx (1.1.3)

Pour p 1; m _{2 N, on appelle espace de Sobolev d’ordre m sur L}p_{( )}

l’espace Wm;p( ) =_{fv = v 2 L}p( ) ; D v _{2 L}p( ) ; _{j j} m_g munit de la norme kvkWm;p_{( )} = 0 @X j j m kD vkpLp_{( )} 1 A 1 p (1.1.4) 7

est un espace de Banach. Pour p = 2, l’espace

Wm;2( ) = Hm( ) = v = v _{2 L}2( ) ; D v _{2 L}2( ) ; _{j j} m munit du produit scalaire

(u; v)_Hm_{( )}= X

j j m

(D u; D v) (1.1.5)

est un espace de Hilbert. L’espace

H₀1( ) = v = v _{2 H}1( ) ; v_{j = 0} est un sous espace fermé de H1_{( ).}

Donc H01( ) est un espace de Hilbert pour la structure induite par celle de

H1_{( ) :}

1.2

Inéquation variationnelle (I.V) continu

Nous commençons par donner des notations et des hypothèses utiles dans l’étude des inéquations variationnelles continues.

1.2.1

Notations et hypothèses

Soit _{un ouvert de R}n _{de frontière @ su¢ samment régulière.}

Pour u; v 2 V , l’espace H1

0 ( ) ou H1( ), on pose la forme bilinéaire :

a (u; v) =Z X 1 i;j n aij(x) @u @xi @v @xj + X 1 i n ai(x) @u @xi v + a0(x)uv ! dx (1.2.1)

avec les coe¢ cients aij(x); ai(x)et a0(x)sont su¢ samment réguliers et

a0(x) > 0; 8x 2 (1.2.2)

On suppose que la forme bilinéaire est continue et fortement coercive

9 > 0 tel que ja (v; v)j kuk2V ; 8v 2 V (1.2.3)

De plus, on considère un second membre f tel que :

f _{2 L}1( ) (1.2.4) et un obstacle

1.2.2

Existence et unicité d’une solution continue d’I.V

On cherche u la solution continue de l’inéquation variationnelle (en abrégé I.V) suivante :

Trouver u 2 V telle que :

a (u; v u) (f; v u) ; _{8v 2 V}

u et v (1.2.6)

L’existence et l’unicité d’une solution continue de l’inéquation variationnelle (1.2.6) est donnée par :

Théorème 1.2.1. (cf. [23] pages 24-26) Sous les hypothèses et les notations précédentes le problème (1.2.6) admet une solution unique.

Dans la suite nous avons étudié quelques propriétés de la solution du problème (1.2.6) en commençant par introduire la notion de sous-solutions.

1.2.3

Caractérisation de la solution continue d’I.V comme

enveloppe des sous-solutions continues d’I.V

Dé…nition 1.2.1. Soit X l’ensemble des sous-solutions pour l’I.V, c’est à dire l’ensembles des z 2 V telles que :

a (z; v) (f; v) ; _{8v 2 V;} v 0

z (1.2.7)

Théorème 1.2.2. (cf. [15]) Sous les hypothèses et les notations précédentes, la solution continue u de l’I.V (1.2.6) est le plus grand élément de X.

Preuve. On a : a (u; v0 _{u) (f; v}0 _{u) ; 8v}0 _{2 V} u et v0 Soit v0 _{= u v et v 0:} Donc : a (u; v) (f; v) C’est à dire : u_{2 X} Par ailleurs, soit z 2 X telle que u z. Ainsi est une sous-solution

a (z; v) (f; v) ; _{8v 2 V;} v 0 z

Donc :

a (z; z u) (f; z u) z

D’autre part nous avons :

a (u; z u) (f; z u) ; _{8v 2 V} u et z alors : a (u; z u) (f; z u) a (z; z u) donc : a (z; z u) a (u; z u) 0 donc : a (z u; z u) 0

et puisque la forme bilinéaire est coercive, on conclut que :

z u = 0 Donc :

z u

1.2.4

Propriétés de monotonie de la solution continue

d’I.V

On notera la solution continue u de l’I.V par @ (f; ) (second membre f , obstacle ).

Proposition 1.2.1. Sous les hypothèses et les notations précédentes, la solution continue de l’I.V est croissante par rapport à l’obstacle et au second membre f. C’est à dire : Si f1 f2 et 1 2 alors @ (f1; 1) @ (f2; 2) (1.2.8) Preuve. Soit f1 f2 et 1 2. Posons u1 = @ (f1; 1) et u2 = @ (f2; 2). On a : a (u1; v) (f1; v) ; 8v 2 V; v 0 u1 1 Donc : a (u1; v) (f1; v u1) (f2; v) ; 8v 2 V; v 0 u1 1 2

D’où :

a (u1; v) (f2; v) ; 8v 2 V; v 0

u1 2

Alors u1 est une sous-solution pour u2.

C’est à dire u1 u2.

D’où :

@ (f1; 1) @ (f2; 2)

Considérons l’application dé…nie comme suit :

: L1( )_{! L}1( ) (1.2.9) ! ( ) = u

où u est la solution continue de l’I.V (1.2.6). L’application possède les propriétés suivantes.

Proposition 1.2.2. (cf. [22]) L’application est croissante, concave et lipchit-zienne de constante 1 dans L1_{( ), c’est à dire :}

Si 1 2 alors ( 1) ( 2) (1.2.10) Et pour _{2 [0; 1], on a :} ( ) + (1 ) e + (1 ) e (1.2.11) ( ) e 1 e 1 (1.2.12) Preuve. 1. est croissante.

Soient et e de L1_{( ) tel que :} e.

Alors :

u = ( ) e

Donc ( ) est une sous-solution pour L’I.V avec l’obstacle e et en vertu du théorème 1.2.2

( ) e 2. est concave.

Soient et e de L1( ) et _{2 [0; 1].} Posons = + (1 ) e .

On a : ( ) et e e, donc ( ) + (1 ) e est une sous-solution pour l’I.V avec l’obstacle + (1 ) e et en vertu du théorème 1.2.2

3. Soient et e de L1_{( ) et = ( ) ; e =} e .

Posons = e

1, alors

e.

Donc est une sous-solution pour l’I.V avec l’obstacle e .

Comme e est la plus grande sous-solution, on a : e i.e e + . D’où :

( ) e

1

e

1

Proposition 1.2.3. Soit une constante positive. Alors

( + ) ( ) + (1.2.13)

Preuve. On a ( ) + est une solution continue de l’I.V avec le second membre f + a0 et l’obstacle + .

Et ( + ) est une solution continue de l’I.V avec le second membre f et l’obstacle + .

Comme a0(x) > 0, alors f < f + a0

Et d’aprés la proposition 1.2.1, on a :

( + ) ( ) +

1.2.5

Régularité de la solution continue d’I.V

La régularité de la solution continue de l’I.V repose sur le théorème suivant. Théorème 1.2.3. (cf. [4,22]) Sous les hypothèses précédentes, on a :

u_{2 W}2;p( ) ; 2 p < ₁ (1.2.14)

1.3

Inéquation variationnelle (I.V) discrète

On introduit le problème discret et on e¤ectue une étude similaire à celle entreprise précédemment pour le problème continu. Pour insister sur la symétrie de l’étude, on suivra la même démarche qu’au paragraphe précédent.

On va considérer un espace d’éléments …nis conformes construit à partir des polynômes de degré 1. L’introduction des polynômes de degré supérieur n’a pas été envisagée dans la mesure où les propriétés de régularité rencontrées ne semblent pas permettre d’en tirer pro…s.

On établit sur une triangulation régulière quasi-uniforme et on introduit Vh l’espace d’éléments …nis conformes suivant :

Soit Ms; s = 1; 2; :::; m(h) les sommets de la triangulation qui n’appartiennent

pas à @ .

On note par 's; s = 1; 2; :::; m(h) les fonctions de base usuelles ('s(Ml) = sl

symbole de Kronecker).

On introduit également l’opérateur de restriction rh, pour v 2 C \ H01( ) :

rhv = m(h)_X s;l=1

v (Ml) 's(x; y) (1.3.2)

L’ordre sur Vh sera celui induit par Rm(h).

Nous introduisons de manière naturelle la matrice de discrétisation A de coe¢ -cients génériques a ('l; 's).

L’hypothèse du principe du maximum discret (pmd)

On suppose que la matrice A est une M-matrice. (A 1_{existe et est non}

néga-tive, avec de plus Ass > 0 et Als 0 pour l 6= s).

1.3.1

Existence et unicité d’une solution discrète d’I.V

Considérons le problème discret associé au problème (1.2.6) : Trouver uh 2 Vh telle que :

a (uh; vh uh) (f; vh uh) ; 8vh 2 Vh

uh rh et vh rh

(1.3.3)

Théorème 1.3.1. (cf. [15]) Sous les hypothèses précédentes, le problème (1.3.3) admet une solution unique.

1.3.2

Caractérisation de la solution discrète d’I.V comme

enveloppe des sous-solutions discrètes d’I.V

Dé…nition 1.3.1. Soit Xh l’ensemble des sous-solutions pour l’I.V, c’est à dire

l’ensembles des zh 2 Vh telles que :

a (zh; 'h) (f; 'h) ; 8s = 1; :::; m(h)

zh rh

(1.3.4)

Théorème 1.3.2. (cf. [15]) Sous les hypothèses et les notations précédentes, la solution discrète uh de l’I.V (1.3.3) est le plus grand élément de Xh.

1.3.3

Propriété de monotonie de la solution discrète d’I.V

On notera la solution discrète uh de l’I.V (1.3.3) par @h(f; rh ) (second

Proposition 1.3.1. Sous les hypothèses et les notations précédentes, la solution discrète de l’I.V (1.3.3) est croissante par rapport à l’obstacle et au second membre f , c’est à dire :

Si f1 f2 et 1 2 alors @h(f1; 1) @h(f2; 2) (1.3.5)

Par analogie au cas continu, considérons l’application h dé…nie comme suit : h : L1( )! L1( ) (1.3.6)

! h( ) = uh

où uh est la solution discrète de l’I.V (1.3.3).

L’application h possède les propriétés suivantes.

Proposition 1.3.2. L’application h est croissante, concave et lipchitzienne de

constante 1 dans Vh.

1.3.4

Régularité de la solution discrète d’I.V

Comme dans le cas continu, la régularité de la solution discrète de l’I.V (1.3.3) repose sur le théorème suivant.

Théorème 1.3.3. (cf. [17]) Il existe une constante C indépendante de h telle que :

ja (uh; 'i)j Ck'ikL1_{( )}; 8'_i; i = 1; 2; :::; m(h) (1.3.7)

1.4

Inéquation quasi variationnelle (I.Q.V)

conti-nue

Dans cette section on s’intéresse au inéquation quasi variationnelle où le second membre dépend de la solution étudiée dans [8].

1.4.1

Notations et hypothèses

Soit _{un ouvert de R}n _{de frontière @ su¢ samment régulière.}

Pour u; v 2 H1

0( ), on pose la forme bilinéaire :

a (u; v) =Z X 1 i;j n aij(x) @u @xi @v @xj + X 1 i n ai(x) @u @xi v + a0(x)uv ! dx (1.4.1)

avec les coe¢ cients aij(x); ai(x) et a0(x)sont su¢ samment réguliers et véri…ent

X

1 i;j n

a0(x)≥ β > 0, ∀x ∈ Ω (1.4.3)

et un obstacle

Ψ_{∈ W}2,∞(Ω) tel que Ψ_{≥ 0 sur ∂Ω} (1.4.4) et soit f (.) une forme non linéaire croissante et lipchitzienne avec la constante α qui vérifie

α

β < 1 (1.4.5)

1.4.2

Existence et unicité d’une solution continue d’I.Q.V

On cherche u la solution continue de l’inéquation quasi variationnelle (en abrégé I.Q.V) suivante :

Trouver u ∈ H1 0 (Ω) telle que : ½ a (u, v_{− u) ≥ (f(u), v − u) , ∀v ∈ H}1 0(Ω) u_{≤ Ψ et v ≤ Ψ} (1.4.6)

Théorème 1.4.1. (cf. [4]) Sous les hypothèses et les notations précédentes, le problème (1.4.6) admet au plus une solution.

En utilisant la supposition (1.4.5), on peut montrer que la solution continue de l’I.Q.V coincide avec le point fixe de la contraction, qui assure l’unicité d’une solution de (1.4.6).

Pour cela considérons l’application suivante :

T : L∞(Ω)_{→ L}∞(Ω) (1.4.7) w _{→ T (w) = ζ}

où ζ est la solution continue de l’I.V : ½

a (ζ, v_{− ζ) ≥ (f(w), v − ζ) , ∀v ∈ H}1 0(Ω)

ζ _{≤ Ψ et v ≤ Ψ} (1.4.8)

Théorème 1.4.2. (cf. [8]) Sous l’hypothèse (1.4.5), l’application T est une contraction dans L∞_{(Ω) de constante} α

β, c’est à dire T possède un point fixe unique qui coincide avec la solution continue de l’I.Q.V (1.4.6).

On donne la démonstration pour des raisons de complétude. Preuve. Soient w,w_{e∈ L}∞_{(Ω) et notons par :}

ζ = T (w) = σ (f (w)) eζ = T ( ew) = σ (f (w))_e

Posons : = 1 _{kf (w)} f (w)_{e k1} donc on a : f (w) f (w) +_{e kf (w)} f (w)_{e k1} en utilisant (1.4.3) on obtient : f (w) f (w) + a_e 0

Alors d’après un résultat de comparaison dans les inéquations variationnelles coercives, on a : (f (w)) (f (w) + a_e 0 ) (f (w)) (f (w)) +_e donc : e + alors : kT w Tw_ek1 1_{kf (w)} f (w)_{e k1} comme f (:) est lipchitzienne, c’est à dire :

kf (w) f (w)_{e k1 kw} w_ek1 on a :

kT w Tw_{ek1 kw} w_ek1

d’après l’hypothèse (1.4.5), on arrive à démontrer que T est une contraction de constante .

1.4.3

Régularité de la solution continue d’I.Q.V

La régularité de la solution continue de l’I.Q.V repose sur le théorème suivant. Théorème 1.4.3. (cf. [4]) Sous les hypothèses précédentes, on a :

1.5

Inéquation quasi variationnelle (I.Q.V)

dis-crète

Comme dans l’inéquation variationnelle, on va considérer un espace d’élé-ments …nis conformes construit à partir des polynômes de degré 1.

On établit sur une triangulation régulière quasi-uniforme et on introduit Vh l’espace d’éléments …nis conformes suivant :

Vh =fvh 2 C ( ) \ V tel que vh= 2 P1g (1.5.1)

Soit Ms; s = 1; 2; :::; m(h) les sommets de la triangulation qui n’appartiennent

pas à @ .

On note par 's; s = 1; 2; :::; m(h) les fonctions de base usuelles ('s(Ml) = sl

symbole de Kronecker).

On introduit également l’opérateur de restriction rh, pour v 2 C \ H01( ) :

rhv = m(h)

X

s;l=1

v (Ml) 's(x; y) (1.5.2)

L’ordre sur Vh sera celui induit par Rm(h).

Nous introduisons de manière naturelle la matrice de discrétisation A de coe¢ -cients génériques a ('l; 's).

L’hypothèse du principe du maximum discret (pmd)

On suppose que la matrice A est une M-matrice (cf. [13]. A 1_{existe et est non}

négative, avec de plus Ass > 0 et Als 0 pour l 6= s).

1.5.1

Existence et unicité d’une solution discrète d’I.Q.V

Considérons le problème discret associé au problème (1.4.6) : Trouver uh 2 Vh telle que :

a (uh; vh uh) (f (uh) ; vh uh) ; 8vh 2 Vh

uh rh et vh rh

(1.5.3)

Théorème 1.5.1. (cf. [4]) Sous les hypothèses et les notations précédentes et d’après le principe du maximum discret (pmd), le problème (1.5.3) admet au plus une solution discrète qui coincide avec l’unique point …xe de l’application suivante :

Th : L1( )! Vh (1.5.4)

w _{! T}h(w) = h

où _h = h(f (w)) est la solution discrète de l’I.Q.V :

a ( _h; vh h) (f (w); vh h) ; 8vh 2 H01( ) h rh et vh rh

Théorème 1.5.2. (cf. [8]) Sous l’hypothèse (1.4.5) l’application Th est une

contraction dans L1_{( ) de constante , c’est à dire T}

h possède un point …xe

unique qui coincide avec la solution discrète de l’I.Q.V (1.5.3). Preuve. Soient w;w_{e2 L}1( ). Notons par : h = Th(w) = h(f (w)) e_h = Th(w) =e h(f (w))e Posons : = 1 _{kf (w)} f (w)_{e k1} donc on a : f (w) f (w) +_{e kf (w)} f (w)_{e k1} en utilisant (1.4.3) on obtient : f (w) f (w) + a_e 0

Alors d’après un résultat de comparaison dans les inéquations variationnelles coercives, on a : h(f (w)) h(f (w) + ae 0 ) h(f (w)) h(f (w)) +e donc : h eh+ alors : kThw Thwek₁ 1 kf (w) f (w)_{e k1} et comme f (:) est lipchitzienne, c’est à dire :

kf (w) f (w)_{e k1 kw} w_ek1 on a :

kThw Thwek₁ kw wek₁

d’après l’hypothèse (1.4.5), on arrive à démontrer que T est une contraction de constante .

1.5.2

Propriété de monotonie de la solution discrète d’I.Q.V

Soient f (w); f (w)_{e 2 L}1( ). Notons par :

h = h(f (w))

e_h = h(f (w))e

les solutions discrètes d’I.Q.V (1.5.5), avec seconds membres f (w) et f (w)e res-pectivement.

Lemme 1.5.1. (cf. [16]) Si f (w) f (w) alors :_e

h(f (w)) h(f (w))e

Théorème 1.5.3.Sous l’hypothèse du princpe du maximum discret (pmd) et les conditions du lemme 1.5.1, nous avons :

k h(f (w)) h(f (w))e k₁ 1 kf (w) f (w)_{e k1} Preuve. Posons : = 1 _{kf (w)} f (w)_{e k1} donc on a : f (w) f (w) +_{e kf (w)} f (w)_{e k1} en utilisant (1.4.3) on obtient : f (w) f (w) +_e a0 alors d’après le lemme 1.5.1, on a :

h(f (w)) h(f (w) + ae 0 ) donc : h(f (w)) h(f (w)) +e alors : h(f (w)) h(f (w))e d’où : k h(f (w)) h(f (w))e k₁ 1 kf (w) f (w)_{e k1}

On introduit l’inéquation quasi variationnelle discrète auxiliaire suivante : Trouver uh 2 Vh telle que :

a (uh; vh uh) (f (u) ; vh uh) ; 8vh 2 Vh

uh rh et vh rh

où u est une solution de l’I.Q.V continue (1.4.6).

Lemme 1.5.2. Sous les hypothèses et notations précédentes, on a :

ku uhk₁ ch2jln hj 2

Preuve. La démonstration est une adaptation de [15].

Comme uh = h(f (u))est une approximation de u = (f (u)).

Nous utilisons le théorème 1.5.3 et le lemme 1.5.2 pour prouver un théorème important d’approximation.

Théorème 1.5.4. Soient u et uh les solutions de l’I.Q.V continue (1.5.6) et

l’I.Q.V discrète (1.5.3) respectivement. Alors on a : ku uhk₁ c1h2jln hj2 Preuve. On a : uh = h(f (u)) et uh = h(f (uh)) donc : ku uhk₁ ku uhk₁+kuh uhk₁ alors : ku uhk₁ ku uhk₁+k h(f (u)) h(f (uh))k₁ d’après le lemme 1.5.2 on a : ku uhk₁ ch2jln hj 2 +_k h(f (u)) h(f (uh))k₁ et selon le théorème 1.5.3 on a : ku uhk₁ ch2jln hj2+ 1 kf(u) f (uh)k₁

comme f (:) est lipchitzienne,on obtient :

ku uhk₁ ch2jln hj 2

+ _ku uhk₁

et d’après l’hypothèse (1.4.5) et le théorème on trouve :

Convergence uniforme de la

méthode de Schwarz pour

l’inéquation variationnelle

2.1

Introduction

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l’analyse de l’erreur d’approxi-mation en norme uniforme pour l’inéquation variationnelle (I.V), moyennant la méthode de décomposition de domaine.

– G.H. Meyer [30] donne des résultats numériques.

– J. Zeng et S. Zhou [33] ont obtenus la convergence géométrique ainsi que le taux de convergence de l’algorithme.

– M. Boulbrachen et S. Saadi [5] ont montrés que la discrétisation sur chaque sous domaine converge en norme uniforme.

– Ph. Cortey-Dumont [15] a prouvé la convergence uniforme de l’approxima-tion par éléments …nis des inéqual’approxima-tions varial’approxima-tionnelles.

2.2

Le problème continu

Dans ce qui suit nous étudions l’existence et l’unicité d’une solution d’un problème d’inéquation variationnelle I.V elliptique continu.

2.2.1

Notations et hypothèses

Soit _{un domaine convexe dans R}2 à frontière su¢ samment régulière @ : Considérons la forme bilinéaire comme suit :

a (u; v) = Z

rurvdx (2.2.1)

La forme linéaire est : (f; v) = Z f vdx (2.2.2) Telle que : f _{2 L}1( )_{\ C}1 ; f 0 (2.2.3) Où sur K( ;g)= v2 H1( ) = v g 2 H01( ) ; 0 v (2.2.4)

Avec l’obstacle et g une fonction régulière dé…nie sur @ : De plus

2 W2;1( ) ; telle que o g sur @ (2.2.5)

2.2.2

Inéquation variationnelle elliptique

Le problème d’inéquation variationnelle elliptique est comme suit : Trouver u 2 K( ;g) la solution de :

a (u; v u) (f; v u) ; _{8v 2 K}( ;g) (2.2.6)

J. Hannouzet [22] a trouvé un résultat concernant l’existence, l’unicité et la régularité de la solution.

Théorème 2.2.1. (cf. [22]) Sous les hypothèses et les notations précédentes (2.2.1) à (2.2.5), le problème (2.2.6) admet une solution unique u 2 K( ;g).

De plus la solution :

u_{2 W}2;p( ) ; 2 < p <₁ (2.2.7)

2.3

Le problème discret

Nous considérons le problème discret et introduisons la méthode de Schwarz discrète.

2.3.1

Discrétisation

Soit Vhi = Vhi( i) l’espace d’éléments …nis qui est constitué des fonctions linéaires continues sur hi _{qui s’annulent sur @ \}

i:

Pour w 2 C i , nous dé…nissons l’espace :

V_h(w)

i =fv 2 Vhi=v = 0 sur @ \ i; v = hi(w) sur ig (2.3.1) Où hi est l’opérateur d’interpolation sur i:

Soit hi _{(i = 1; 2)l’élément …ni de triangulation standard régulier dans}

i; hi est

Nous supposons que les deux triangulations sont indépendantes sur 1 [ 2,

c’est à dire qu’un triangle dans une triangulation n’est pas nécessairement dans l’autre triangulation.

Nous supposons aussi que les matrices de discrétisation du problème, sont des M-matrices. (cf. [33]).

2.3.2

Position du problème discret

Nous avons le problème discret suivant : Trouver uh 2 H01( ) solution de :

a (uh; vh uh) (f; vh uh)

uh rh ; vh rh (2.3.2)

Soit uh la solution de :

ah(uh; vh) = a (u; vh) (2.3.3)

Où u est la solution de l’inéquation variationnelle continue. Nous supposons que :

ku uhkL1( ) Ch 2 jln hj2 (2.3.4) et ku rhukL1( ) Ch 2 jln hj2 (2.3.5) Nous donnons une supposition liée à (2.2.5) et nous prenons :

= =B(x0;Ch) Donc 8x 2 B (x0; Ch) tel que u (x0) = (x0), on a :

ku (x) (x)_kL1( ) Ch 2

jln hj2 (2.3.6) Théorème 2.3.1. (cf. [15]) Sous les conditions (2.2.1) à (2.2.5), (2.3.3) à (2.3.6) et d’après le principe du maximum discret, il existe une constante C1

indépendante de h telle que :

ku uhkL1( ) C1h2jln hj2 (2.3.7)

Remarque 2.3.1. (cf. [15]) On constate l’existence d’une frontière libre entre

0 =fx 2 = u (x) = (x)g (2.3.8)

et C 0 l’ensemble complémentaire de 0 dans .

Soit l’ensemble suivant, qui est l’approximation discrète de l’ensemble de coincidence

Le lemme qui suit est donné dans (cf. [15], pages 51-52), nous reprenons la démonstration pour enrichir ce travail et avoir un bon éclaircissement.

Lemme 2.3.1. Sous les conditions (2.2.1) à (2.2.5) et (2.3.5), (2.3.6), on a les deux estimations suivantes :

ku − ΨkL∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 (2.3.10) et kΨ − rhΨk_L∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 (2.3.11) Preuve. Donnons Th dans Ωh, il existe x0 ∈ Th tel que u (x0) = Ψ (x0)

De plus Th ⊂ B (x0, Ch), donc ∀x ∈ Th, on a u (x) ≤ Ψ (x)

parce que u est la solution de l’inéquation variationnelle. Et d’après (2.2.5) et (2.3.6), on a u (x) ≤ ρ (x) tel que :

u (x)_{≤ Ψ (x) ≤ u(x) + Ch}2_{|ln h|}2 donc : ku − ΨkL∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 en utilisant (2.3.6), on obtient : ku − rhuk_L∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 et rhu≤ rhΨ≤ rhu + Ch2|ln h|2 ¥

de ce qui précède, on peut tirer un lemme qui joue un rôle essentiel dans notre résultat.

Lemme 2.3.2.Sous les conditions (2.2.1) à (2.2.5) et (2.3.3), (2.3.6) et d’après le principe du maximum discret, il existe une constante C2 indépendante de h

telle que :

kuh− rhΨk_L∞_{(Ωh) ≤ C}2h2|ln h| 2

(2.3.12) Preuve. En utilisant les estimations (2.3.7), (2.3.10) et (2.3.11).

Nous avons : kuh− rhΨk_L∞₍Ωh) ≤ kuh− u + u − Ψ + Ψ − rhΨkL∞(Ωh) ≤ kuh− uk_L∞_{(Ωh) + ku − ΨkL}∞_{(Ωh) + kΨ − r}hΨk_L∞_(Ωh) ≤ C2h2|ln h| 2 ¥

2.3.3

Méthode de décomposition de domaine

Nous décomposons en deux sous domaines polygonaux 1 et 2 tels que :

= 1[ 2 (2.3.13)

Dans le théorème 2.2.1 , la solution u satisfait la condition de régularité local suivante :

u = i 2 W2;p( i) ; 2 p <1 (2.3.14)

Notons @ i la frontière de i et

1 = @ 1\ 2; 2 = @ 2\ 1 (2.3.15)

Nous assumons que :

1\ 2 =; (2.3.16) où fi = f = i et ui = u = i; i = 1; 2: et ai(u; v) = Z i rurvdx (2.3.17)

2.3.4

La méthode de Schwarz discrète

Cette section est une adaptation de [33], nous donnons la méthode de Schwarz discrète comme suit.

Partons de :

u0_h = rh (2.3.18)

Dé…nissons la suite discrète de Schwarz comme suit un+1_h

n2N telle que 8 > < > : un+1_{1h 2 V}(u n 2h)

h1 est une solution de a1 un+11h ; v u n+1 1h f1; v un+11h ; 8v 2 V (un_2h) h1 un+1_1h rh ; v rh (2.3.19) Et ₈ > < > : un+1_{2h 2 V}(u n+1 1h )

h2 est une solution de a2 un+12h ; v u n+1 2h f2; v un+12h ; 8v 2 V (un+1_1h ) h2 un+1_2h rh ; v rh (2.3.20)

S. Zhou dans [33], donne la forme algébrique de l’algorithme discret et la convergence géométrique des suites discrètes.

On peut écrire l’I.V discrète (2.3.2) sous la forme algébrique suivante :

où (:; :) est le produit scalaire dans RNh _et KNh = v2 R Nh _{: 0 V} i i; 8i A = aij = a 'i; 'j Nh i;j=1 F = (Fi)N_i=1h ; Fi = Z i f dx G = ( a (gl; 'i)) Nh i=1

où gl est l’interpolation de g et elle est donnée par

gl =

X

Pi2@

g (Pi) 'i

Notons que g doit être dé…nie seulement sur la frontière @ . En supposant que A est une M-matrice, on a le lemme suivant.

Lemme 2.3.3. (cf. [33]) Soit A est une M-matrice, dé…nissons les deux en-sembles suivants : Sh;1 = n v _{2 K}Nh : vj = 0 ou (Av + F G)j 0; 8j o et Sh;2 = n v _{2 K}Nh : vj = j ou (Av + F G)j 0; 8j o

alors, la solution u de (2.3.21) est à la fois l’élément maximum de Sh;1et

l’élé-ment minimum de Sh;2.

Remarque 2.3.2. On remarque que (0; :::; 0Nh)

t 2 Sh;1 et ( 1; :::; Nh) t 2 Sh;2. Notons par : N = f1; 2; :::; Nhg et Ni =fi : Pi 2 i \ hg. Donc : N = N1[ N2.

L’algorithme algébrique discret Soit u0

2 KNh, on résoud le problème successivement pour i = 1; 2, jusqu’à la convergence.

Trouver un+i=2_{2 K}n+(i 1)=2; _{8v 2 K}n+(i 1)=2 ANi;Ni+ D n+(i 1)=2 Ni;Ni u n+i=2 Ni r n+(i 1)=2 ; vNi u n+i=2 Ni 0 (2.3.22) où rn+(i 1)=2 = GNi ANi;N nNiu n+(i 1)=2 N nNi + D n+(i 1)=2 Ni;Ni u n+(i 1)=2 Ni FNi u n+(i 1)=2 (2.3.23) Kn+(i 1)=2 =nv _{2 K}Nh = v u n+(i 1)=2 N nNi = 0 o (2.3.24)

et Dn+(i 1)=2 _{est une matrice diagonale, les valeurs sont strictement positives.} Théorème 2.3.2. Soit = (0; :::; 0Nh) t (2.3.25) Si u0 2 Sh;1 et D n+(i 1)

j;j 0 pour j 2 Ni. Alors la suite (un) produite par

l’algorithme algébrique converge vers la solution en croissance, c’est à dire : lim

n !1u

n_{= u et u}0 _u1 _{::: u}n _{::: (2.3.26)}

Preuve. On dé…nit pour i = 0; 1 l’ensemble :

S₁n+i=2= v _{2 K}n+i=2 : (v)_N i j = 0 ou A + D n+i=2 Ni;NivNi r n+i=2 j 0

D’après le lemme 2.3.3, on a un+i=2 _{est l’élément maximum de S}n+i=2 1 . Donc : u0 2 Sh;1 et on a : A + D0 _N 1;N1u 0 N1 r 0 = Au0+ F G _N 1 On a : u0 _{2 S}10 et donc on obtient : ui=2 u0 Pour les indices j qui véri…ent :

ui=2_N 1 j > 0 selon (2.3.25) et ui=2_{2 S}0 1, on trouve : Aui=2+ F G _N 1 _j = A + D 0 N1;N1u i=2 N1 r 0 j+ D 0 N1;N1 u 0 ui=2_N1 N1 _j Aui=2+ F G _N 1 _j AN1;N1 + D 0 N1;N1 u i=2 N1 r 0 j 0 (2.3.27)

et pour les indices j qui véri…ent : ui=2_{N nN} 1 _j > 0 selon ui=2_{N nN} 1 _j = u 0 N nN1 _j on trouve : Aui=2+ F G N nN1 _j = AN nN1;N1u i=2 N1 + AN nN1;N nN1u 0 N nN1 + FN nN1 GN nN1 j A_{N nN1};N1u 0 N1 + AN nN1;N nN1u 0 N nN1 + FN nN1 GN nN1 _j = Au0+ F G N nN1 _j 0 en utilisant (2.3.27) et (2.3.28), on trouve ui=2

2 Sh;1.

de la même façon on obtient :

ui=2 u(i 1)=2 et ui=2_{2 S}h;1 pour i = 1; 2: (2.3.29)

et donc : u0 _u1

2 Sh;1.

Alors d’après le principe d’induction on obtient la monotonie de la suite (un_).

Passons à la limite avec n dans (2.3.22) on achève la preuve.

De la même manière, on peut avoir le théorème suivant. Théorème 2.3.3. Soit = (0; :::; 0Nh) t (2.3.30) Si u0 2 Sh;2 et D n+(i 1)

j;j 0 pour j 2 Ni. Alors la suite (un) produite par

l’algorithme algébrique converge vers la solution en décroissance, c’est à dire : lim

n !1u

Si de plus : Nh X j=1 atj r0 > 0; t = 1; 2; :::; Nh (2.3.32) on a : u un+1 1 ku u n k1 (2.3.33) où = max 1 i 2maxt2Ni Dtt X j =2Ni atj Dtt X j =2Ni atj + r0 < 1 (2.3.34) Preuve. Soit Ii = n j _{2 N}i : un+i=2 _j = 0 ou (u)_j = 0 o et Ji = NinIi alors u un+i=2 _N i _j = 0 pour j 2 Ii (2.3.35) et (A + D)_N i;Niu n+i=2 Ni r n+(i 1)=2 j 0 pour j _{2 J}i (2.3.36) (A + D)_N i;NiuNi r i j 0 _{pour j 2 J}i (2.3.37) où : ri = GNi ANi;N nNiuN nNi+ DNi;NiuNi FNi en retranchant (2.3.36) de (2.3.37), on obtient pour j 2 Ji :

0 ((A + D)_N i;Ni u u n+i=2 Ni +ANi;N nNi u u n+(i 1)=2 Ni DNi;Ni u u n+(i 1)=2 Ni)j

selon (2.3.35), l’inéquation précédente reste vraie pour j 2 Ii. donc : (A + D)_N i;Ni u u n+i=2 Ni + ANi;N nNi u u n+(i 1)=2 Ni DNi;Ni u u n+(i 1)=2 Ni 0 (2.3.38) Supposons que pour certain k :

u un+1 1= u u n+1 Ni k alors d’après (2.3.29) on a : u un+1 1= u u n+1 Ni k u u n+i=2 Ni k selon (2.3.38) et comme : atj 0 pour t6= j on obtient : u un+i=2 1 max_t2Ni Dtt P j =2Ni atj Dtt+ P j2Ni atj u un+(i 1)=2 1 max t2Ni Dtt P j =2Ni atj Dtt P j =2Ni atj+ r0 u un+(i 1)=2 1 u un+(i 1)=2 1 donc : u un+1 1 = 1 i 2max u u n+1 Ni ₁ max 1 i 2 u u n+i=2 Ni ₁ u un+(i 1)=2 1 ku un_k1

Théorème 2.3.4. (cf. [33]) Sous les conditions (2.2.1) à (2.2.5), les deux suites discrètes

un+1_1h et un+1_2h ; n 0

convergent géométriquement vers l’unique solution discrète uh du problème

(2.3.2), tel que 9 2 ]0; 1[ ; 8n 0

uih un+1_{ih L}1_{( i)} ( )

n

uh u0_{h L}1_{( i)} (2.3.39)

2.3.5

L’estimation d’erreur en norme

L

Nous terminons par le résultat principal.

Théorème 2.3.5. Il existe une constante C indépendante de h telle que

ui un+1ih L1( i) Ch

2

jln hj2; i = 1; 2: (2.3.40) Preuve. Nous avons :

ui un+1_{ih L}1_{( i)} kui uihkL1( i)+ uih u

n+1

ih L1_{( i)} En utilisant les théorèmes 2.3.1 et 2.3.4, on a :

C1h2jln hj 2 + ( )n uh u0_{h L}1( i) C1h2jln hj2 + ( )nkuh rh k_L1_{( i)} et le lemme 2.3.2 C1h2jln hj2+ ( )nC2h2jln hj2 (C1+ ( )nC2) h2jln hj2 donc on trouve : ui un+1ih L1( i) Ch 2 jln hj2

Convergence uniforme de la

méthode de Schwarz pour

l’inéquation variationnelle non

coercive

Le problème qu’on traite dans ce chapitre a était étudié par Courtey-Dumont dans [16] pour l’approximation par éléments …nis. Pour notre part on s’intéresse à l’approximation par éléments …nis moyennant la méthode de décomposition du domaine.

3.1

Le problème continu

3.1.1

Notations et hypothèses

Considérons les fonctions :

ai;j(x); ai(x); a0(x)2 C2 ; x2 ; 1 i; j 2 (3.1.1) tel que : _X 1 i;j 2 aij(x) i j j j 2 ; _{2 R}2; > 0 (3.1.2) aij(x) = aji(x); a0(x) > 0 (3.1.3)

Nous dé…nissons la forme bilinéaire suivante : 8u; v 2 H1 0( ) a (u; v) =Z X 1 i;j 2 aij(x) @u @xi @v @xj + X 1 i 2 ai(x) @u @xi v + a0(x)uv ! dx (3.1.4) Soit f f _{2 L}1( )_{\ C}1 ; f 0 (3.1.5) 32

et sur

K( ;g) = v2 H1( ) ; v g 2 H01( ) ; 0 v (3.1.6)

avec l’obstacle et g est une fonction régulière dé…nie sur @ :

; g _{2 W}2;p( ) ; p > 2; o g (3.1.7) Nous nous intéressons à l’inéquation variationnelle non coercive suivante : Trouver u 2 H1

0 ( ) solution de :

a (u; v u) (f; v u)

u ; v (3.1.8)

où _{est un domaine convexe dans R}2 _{à frontière su¢ samment régulière @ .}

et la forme bilinéaire non coercive a (u; v).

L’inéquation variationnelle (3.1.8) est équivalente à : Trouver u 2 H1

0 ( ) solution de :

b (u; v u) (f + u; v u)

u ; v (3.1.9)

où :

b (u; v) = a (u; v) + (u; v) (3.1.10) Pour la coercivité de la forme bilinéaire b (:; :), elle est assurée par la proposition suivante.

Proposition 3.1.1. (cf. [16]) Il existe > 0 assez grand tel que : 8v 2 H01( ) nous avons : b (v; v) _kvk2_H1_{( )}; > 0 (3.1.11) Preuve. Soient : B = sup x2 ja ij et A = sup x2 ja 0j Nous avons : b (v; v) = Z X 1 i;j 2 aij @v @xi @v @xj + X 1 i 2 ai @v @xi v + a0v2+ v2 ! dx b (v; v) Z X 1 i 2 @v @xi 2! dx Bp" Z _X 1 i 2 @v @xi 2 dx !1 2 1 p " Z v2dx 1 2 + (A + ) Z v2dx

b (v; v) Z X 1 i 2 @v @xi 2! dx B" 2 Z _X 1 i 2 @v @xi 2 dx ! B 2" Z v2dx + (A + ) Z v2dx b (v; v) B" 2 Z X 1 i 2 @v @xi 2! dx + A + B 2" Z v2dx Si B 6= 0, nous choisissons : " < 2 B et > A + B 2" et si B = 0, nous choisissons : > A Posons : = max B" 2 ; A + B 2" Alors nous avons :

b (v; v) Z _X 1 i 2 @v @xi 2! dx + Z v2dx !

d’où la coercivité de b(u; v):

3.1.2

Le problème continu

Le problème d’inéquation quasi variationnelle continue est dé…nie comme suit :

Trouver u 2 K( ;g) solution de :

b (u; v u) (f + u; v u) ; _{8v 2 K}( ;g) (3.1.12)

L’existence et l’unicité et même la régularité de la solution sont assurées par le théorème suivant :

Théorème 3.1.1. (cf. [22]) Sous les hypothèses et les notations précédentes (3.1.1) à (3.1.7), le problème (3.1.8) admet une solution unique u 2 K( ;g).

De plus la solution possède la régularité :

u_{2 W}2;p( ) ; 2 < p <₁ (3.1.13) Notons la solution u de l’inéquation variationnelle (3.1.8) par (f; g) :

Nous introduisons la propriété de monotonie de la solution de (3.1.8).

Proposition 3.1.2.Sous les hypothèses (3.1.1) à (3.1.7) et les notations précé-dentes, nous avons :

si f fe et g _{eg alors} (f; g) f ;e_{eg :} (3.1.14) Preuve. Soit f fe et g _eg:

Posons u = (f; g) et eu = f ;e_{eg ; nous avons :}

a (u; v) (f; v) ; _{8u 2 K( ;g)}; v 0 donc :

a (u; v) (f; v) f ; v ;e _{8u 2 K}( ;g); v 0

alors :

a (u; v) f ; v ;e _{8u 2 K}( ;g); v 0

d’où, u est une sous solution pour la solution w = f ; g :e Comme w est la plus grande sous solution, nous avons :

u = (f; g) w = f ; ge Sachant que : f ; ge f ;e_{eg :} alors : u = (f; g) _{eu =} f ;e_eg d’où : (f; g) f ;e _{eg :} Remarque 3.1.1. si g =_eg alors : (f ) f :e

Proposition 3.1.3. Sous les hypothèses (3.1.1) à (3.1.7) et les notations pré-cédentes, nous avons :

ku eukL1_{( )} = C kg egk_L1_{(@ )}+ f fe

L1( ) (3.1.15)

Preuve. Soit

= C _{kg egkL}1_{(@ )}+ f fe

Nous avons : e f f + _{kg egkL}1_{(@ )} + f fe L1( ) f + Ca0 kg egk_L1_{(@ )}+ f fe L1( ) f + a0 et eg g + C _{kg egkL}1_{(@ )}+ f fe L1_{( )} = g + comme (f + a0 ; g + ) = (f; g) + nous avons : e f ;_eg (f; g) + donc e f ;_eg (f; g)

puisque f ;e_{eg et (f; g) sont symétriques, nous avons aussi :} (f; g) f ;e_eg

et par suite :

ku eukL1( ) C kg egkL1(@ )+ f fe

L1( ) :

3.1.3

L’algorithme de Schwarz continu

Nous considérons le problème continue suivant. Trouver u 2 H1

0 ( ) solution de :

b (u; v u) (f + u; v u)

u ; v (3.1.16)

Nous décomposons en deux sous domaines polygonaux 1 et 2 tels que

= 1[ 2 (3.1.17)

Dans le théorème 3.1.1 , la solution u satisfait la condition de régularité local suivante

Notons @ i la frontière de i et

1 = @ 1\ 2; 2 = @ 2\ 1 (3.1.19)

Nous assumons que :

1\ 2 =; (3.1.20)

L’algorithme continu

Nous introduisons l’algorithme continu comme suit. Partons de :

u0₁ = 0; u0₂ = u (3.1.21) tel que u est une solution de l’équation suivante :

b (u; v) = (f + u; v) ; _{8v 2 K}( ;0) (3.1.22)

Nous dé…nissons la suite continue de Schwarz (un+1₎

n2N telle que

Sur 1, nous avons :

8 < :

un+1_{1 2 K}( ;0) est une solution de

b1 un+11 ; v un+11 f1 + un1; v un+11 ; 8v 2 K( ;0)

un+1₁ = un

2 sur 1; v = un2 sur 1

(3.1.23)

Sur 2, nous avons :

8 < :

un+1_{2 2 K}( ;0) est une solution de

b2 un+12 ; v u n+1 2 f2 + un2; v u n+1 2 ; 8v 2 K( ;0) un+1₂ = un+1₁ sur 2; v = un+11 sur 2 (3.1.24) où fi = (f + un) = i; i = 1; 2: et ui = u= i; i = 1; 2:

Pour la convergence géométrique des suites de Schwarz, on a le théorème suivant. Théorème 3.1.2. (cf. [33]) Les deux suites continues de Schwarz

un+1₁ et un+1₂ ; n 0

convergent géométriquement vers l’unique solution continue u du problème (3.1.12), tel que 9 2 ]0; 1[ ; 8n 0

ui un+1i L1( i) ( )

n

u0 u _L1(

3.2

Le problème discret

3.2.1

Discrétisation

Soit Vhi = Vhi( i) l’espace d’éléments …nis qui est constitue des fonctions linéaires continues sur hi _{qui s’annulent sur @ \}

i:

Pour w 2 C i , nous dé…nissons l’espace :

V_h(w)

i =fv 2 Vhi=v = 0 sur @ \ i; v = hi(w) sur ig (3.2.1) Où hi est l’opérateur d’interpolation sur i.

Soit hi_{(i = 1; 2; ); l’élément …ni de triangulation standard régulier dans}

i; hi

est le pas.

Nous supposons que les deux triangulations sont indépendantes sur 1[ 2 c’est

à dire qu’un triangle dans une triangulation n’est pas nécessairement dans l’autre triangulation.

Nous supposons aussi que les matrices de discrétisation des problèmes (3.1.23) et (3.1.24), sont des M-matrices. (cf. [33]).

3.2.2

Position du problème discret

Nous avons le problème discret suivant : trouver uh 2 H01( ) solution de :

b (uh; vh uh) (f + uh; vh uh)

uh rh ; vh rh

(3.2.2)

Pour l’estimation d’erreur de l’approximation, on a le théorème suivant.

Théorème 3.2.1. (cf. [15]) Sous les conditions (3.1.1) à (3.1.7) et d’après le principe du maximum discret, il existe une constante C indépendante de h telle que

ku uhk_L1( ) Ch 2

jln hj2 (3.2.3)

3.2.3

La méthode de Schwarz discrète

Nous donnons la méthode de Schwarz discrète associe aux (3.1.23) et (3.1.24).

Algorithme discret

Nous introduisons l’algorithme discret comme suit. Partons de :

u0_1h= 0; u0_2h = uh (3.2.4)

tel que uh est une solution de l’équation suivante :

Nous dé…nissons la suite discrète de Schwarz (un h)_n2N telle que 8 > < > : un+1_{1h 2 V}(un2h)

h1 est une solution de b1 un+11h ; v u n+1 1h f1+ un1h; v u n+1 1h ; 8v 2 V (un 2h) h1 un+1_1h rh ; v rh (3.2.6) et 8 > < > : un+1_{2h 2 V}(u n+1 1h )

h2 est une solution de b2 un+12h ; v u n+1 2h f2+ un2h; v u n+1 2h ; 8v 2 V (un+1_1h ) h2 un+1_2h rh ; v rh (3.2.7)

Théorème 3.2.2. (cf. [33]) Sous les conditions (3.1.1) à (3.1.7), les deux suites discrètes

un+1_1h et un+1_2h ; n 0

convergent géométriquement vers l’unique solution discrète uh du problème (3.2.2),

tel que 9 2 ]0; 1[ ; 8n 0

uih un+1_{ih L}1_{( i)} ( )

n

uh u0_{h L}1_{( i)} (3.2.8)

3.3

Estimation d’erreur en norme

L

3.3.1

Suites auxiliaires

Nous introduisons deux suites discrètes auxiliaires. Partons de :

w0_1h= 0; w0_2h= uh (3.3.1)

tel que uh est une solution de l’équation suivante :

b (uh; v) = (f + uh; v) ; 8v 2 K( ;0) (3.3.2)

Nous dé…nissons les suites discrètes auxiliaires (wn

h)_n2N tel que 8 > < > : wn+1_{1h 2 V}(un2)

h1 est une solution de b1 w1hn+1; v w n+1 1h f1+ un1h; v w n+1 1h ; 8v 2 V (un2) h1 wn+1_1h rh ; v rh (3.3.3) et 8 > < > : wn+1_{2h 2 V}(u n+1 1 )

h2 est une solution de b2 w2hn+1; v w n+1 2h f2+ un2h; v w n+1 2h ; 8v 2 V (un+1₁ ) h2 wn+1_2h rh ; v rh (3.3.4)

Notons par wn+1_ih l’approximation par élément …ni de un+1_i dé…nie dans (3:1:23) et (3:1:24).

Nous donnons le lemme qui joue un rôle important dans la démonstration de notre résultat principal dans ce chapitre.

On travaille avec les notations suivantes.

j:j1 =k:kL1( 1); j:j2 =k:kL1( 2) k:k1 =k:kL1_{( 1)}; k:k₂ =k:k_L1_{( 2)}

h1 = h2 = h Le lemme qui suit est donné dans [5].

Lemme 3.3.1. Nous avons :

un+1₁ un+1_{1h L1(} 1) n+1 X p=1 kup1 w p 1hkL1( 1)+ n X p=0 kup2 w p 2hkL1( 2) (3.3.5) un+1₂ un+1_{2h L1(} 2) n+1 X p=0 kup2 w p 2hkL1( 2)+ n+1 X p=1 kup1 w p 1hkL1( 1) (3.3.6) Preuve. La démonstration est une adaptation de [5], donnée pour le problème d’inéquation variationnelle.

Cependant notre contribution est qu’on a démontré que ce lemme reste vrai pour le problème introduit dans ce chapitre, en utilisant une proposition avec g et f + u et non plus g et comme dans [5].

Pour simpli…er les notations, on prend : h1 = h2 = h

Pour n = 0; en utilisant la forme discrète du proposition 3.1.3, nous obtenons u1₁ u1_1h 1 u 1 1 w1h1 ₁ + w11h u1_{1h 1} u1₁ w_1h1 1 + hu 0 2 hu0_{2h 1}+ f1+ u01h f1+ u01h ₁ u1₁ w_1h1 1 + hu 0 2 hu0_{2h 1} u1₁ w_1h1 1 + u 0 2 u 0 2h 1 u 1 1 w 1 1h ₁ + u 0 2 u 0 2h 2 u1₂ u1_2h 2 u 1 2 w 1 2h 2+ w 1 2h u 1 2h 2 u1₂ w_{2h 2}1 + hu11 hu1_{1h 2}+ f2+ u02h f2+ u02h ₂ u1₂ w_{2h 2}1 + hu11 hu1_{1h 2} u1₂ w_{2h 2}1 + u1₁ u1_{1h 2} u1₂ w_{2h 2}1 + u1₁ u1_{1h 1} u1₂ w_{2h 2}1 + u1₁ w_1h1 1 + u 0 2 u 0 2h 2

Donc : u1₁ u1_1h 1 1 X p=1 kup1 w p 1hk1 + 0 X p=0 kup2 w p 2hk2 u1₂ u1_2h 2 1 X p=0 kup2 w p 2hk2 + 1 X p=1 kup1 w p 1hk1

Pour n = 1; en utilisant la forme discrète du proposition 3.1.3, nous obtenons

u2₁ u2_1h 1 u 2 1 w 2 1h ₁ + w 2 1h u 2 1h 1 u2₁ w_1h2 1 + hu 1 2 hu1_{2h 1}+ f1+ u11h f1+ u11h ₁ u2₁ w_1h2 1 + hu 1 2 hu1_{2h 1} u2₁ w_1h2 1 + u 1 2 u 1 2h 1 u2₁ w_1h2 1 + u 1 2 u 1 2h 2 u2₁ w_1h2 1 + u 1 2 w 1 2h 2+ u 1 1 w 1 1h ₁ + u 0 2 u 0 2h 2 u2₂ u2_2h 2 u 2 2 w 2 2h 2+ w 2 2h u 2 2h 2 u2₂ w_{2h 2}2 + hu21 hu2_{1h 2}+ f2+ u12h f2+ u12h ₂ u2₂ w_{2h 2}2 + hu21 hu2_{1h 2} u2₂ w_{2h 2}2 + u2₁ u2_{1h 2} u2₂ w_{2h 2}2 + u2₁ u2_{1h 1} u2₂ w_{2h 2}2 + u2₁ w_1h2 1 + u 1 2 w 1 2h 2+ u1₁ w_1h1 1 + u 0 2 u 0 2h 2 Donc : u2₁ u2_1h 1 2 X p=1 kup1 w p 1hk1 + 1 X p=0 kup2 w p 2hk2 u2₂ u2_2h 2 2 X p=0 kup2 w p 2hk2 + 2 X p=1 kup1 w p 1hk1 Supposons que : kun2 u n 2hk2 n X p=0 kup2 w p 2hk2 + n X p=1 kup1 w p 1hk1

Alors, en utilisant la forme discrète du proposition 3.1.3, nous obtenons : un+1₁ un+1_1h 1 u n+1 1 w n+1 1h ₁ + w n+1 1h u n+1 1h 1 un+1₁ wn+1_1h 1 +j hu n 2 hun2hj1+kf1+ un1h (f1+ un1h)k1 un+1₁ wn+1_1h 1 +j hu n 2 hun2hj1 un+1₁ wn+1_1h 1 +ju n 2 u n 2hj1 un+1₁ wn+1_1h 1 +ku n 2 u n 2hk2 un+1₁ wn+1_1h 1 + n X p=0 kup2 w p 2hk2+ n X p=1 kup1 w p 1hk1 Donc, nous avons :

un+1₁ un+1_1h 1 n X p=0 kup2 w p 2hk2 + n+1 X p=1 kup1 w p 1hk1 En utilisant l’estimation précédente, nous trouvons :

un+1₂ un+1_2h 2 u n+1 2 w n+1 2h 2+ w n+1 2h u n+1 2h 2 un+1₂ wn+1_{2h 2}+ hun+11 hun+11h 2+kf2+ u n 2h (f2+ un2h)k2 un+1₂ wn+1_2h 2+ u n+1 1 u n+1 1h 2 un+1₂ wn+1_{2h 2}+ un+1₁ un+1_{1h 1} un+1₂ wn+1_{2h 2}+ n X p=0 kup2 w p 2hk2 + n+1 X p=1 kup1 w p 1hk1 Finalement, nous avons :

un+1₂ un+1_2h 2 n+1 X p=0 kup2 w p 2hk2 + n+1 X p=1 kup1 w p 1hk1

3.3.2

Estimation d’erreur en norme

L

Nous terminons par une estimation d’erreur en norme L1_.

Théorème 3.3.1. Il existe une constante C2 indépendante de h et n telle que

kui uihkL1( i) C2h

2

jln hj3; i = 1; 2: (3.3.7) Preuve. Pour i = 1, nous avons :

ku1 u1hk₁ u1 un+11 1+ u n+1 1 u n+1 1h 1+ u n+1 1h u1h 1

Nous avons utilisé les théorèmes 3.1.2 et 3.2.2 ( )2n u0 u 1+ u n+1 1 u n+1 1h 1+ ( ) 2n uh u0_{h 1} et le lemme 3.3.1 ( )2n u0 u ₁+ n+1 X p=1 kup1 w p 1hk1 + n X p=0 kup2 w p 2hk2 + ( ) 2n uh u0_{h 1} et le théorème 3.2.1 ( )2n u0 u ₁+ 2 (n + 1) Ch2_{jln hj}2+ ( )2n uh u0_{h 1} Soit : = max( ; ) (3.3.8) posons : ( )2n h2 (3.3.9) donc : 2n_{jln j} 2_{jln hj} revenons à l’estimation et d’après (3.3.8) on a :

ku1 u1hk1 ( ) 2n

u0 u ₁+ uh u0_{h 1} + 2 (n + 1) Ch2jln hj 2

donc nous trouvons :

ku1 u1hk_L1_{( 1)} C2h2jln hj3

nous obtenons même résultat pour i = 2:

Dans la section qui suit, nous donnons une preuve simple pour le résultat principal qui concerne l’estimation d’erreur en norme L1 _{pour le problème}

étu-dié, qui se base sur une combinaison entre la convergence géométrique de Zhou [33] et celle de la convergence uniforme de Cortey-Dumont [15] de l’approxima-tion en éléments …nis pour les inéqual’approxima-tions varial’approxima-tionnelles. Cette démonstral’approxima-tion s’articule sur l’approximation de la frontière libre et a fait l’objet d’une publica-tion à Australian Journal of Mathematical Analysis and Applicapublica-tions "AJMAA".

3.3.3

Amélioration de l’estimation d’erreur en norme

L

Nous étudions toujours le même problème (3.2.2) sous les hypothèses de (3.1.1) à (3.1.7).

Soit uh la solution de :

où u est la solution de l’inéquation variationnelle continue. Nous supposons que :

ku − ¯uhkL∞_(Ω) ≤ Ch2|lnh|2 (3.3.10)

et

ku − rhukL∞(Ω) ≤ Ch2|lnh|2 (3.3.11)

Nous donnons une supposition liée à (3.1.7) et nous prenons : ρ = ψ_|B(x0;Ch)

Donc ∀x ∈ B(x0; Ch) tel que u(x0) = ψ(x0) alors

|u(x) − ρ(x)| ≤ Ch2|lnh|2 (3.3.12)

Remarque 3.3.1. On constate l’existence d’une frontière libre entre

Ω0 ={x ∈ Ω / u(x) = Ψ(x)} (3.3.13)

et CΩ0 est l’ensemble complémentaire de Ω0 dans Ω.

Nous estimons l’erreur d’approximation au voisinage de cette frontière libre. Soit l’ensemble suivant :

Ωh ={x ∈ Th / Th∩ Ω0 6= φ} (3.3.14)

Lemme 3.3.2. Sous les conditions de (3.1.1) à (3.1.10), (3.3.11) et (3.3.12), nous avons les deux estimations suivantes :

ku − ΨkL∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 (3.3.15) et kΨ − rhΨk_L∞₍Ωh) ≤ Ch 2 |ln h|2 (3.3.16) Preuve. Etant donné Th dans Ωh, il existe x0 appartenant à Th tel que u(x0) =

Ψ(x0).

De plus Th ⊂ B (x0, Ch).

Donc pour chaque x dans Th, u(x) ≤ Ψ(x) car u est la solution de l’inéquation

variationnelle.

D’après les supposions de (3.1.7) et (3.3.12), nous savons que u(x) ≤ ρ(x). Donc u(x) ≤ Ψ(x) ≤ u(x) + Ch2

|ln h|2 alors :

ku − ΨkL∞_{(Ωh) ≤ Ch}

2

D’aprés (3.3.12) la deuxième estimation est comme suit ku − rhuk_L∞_{(Ωh) ≤ Ch} 2 |ln h|2 et rhu≤ rhΨ≤ rhu + Ch2|ln h|2 ¥

Lemme 3.3.3. Sous les conditions de (3.1.1) à (3.1.10), (3.3.9) et (3.3.12) et d’après le principe du maximum, il existe une constante C2 indépendante de h

telle que

kuh− rhΨk_L∞₍Ωh) ≤ C2h

2

|ln h|2 (3.3.17) Preuve. La démonstration est une adaptation de celle dans [6].

Nous utilisons les estimations (3.2.3), (3.3.15) et (3.3.16). Donc kuh− rhΨk_L∞₍Ωh) ≤ kuh− u + u − Ψ + Ψ − rhΨkL∞(Ωh) ≤ kuh− uk_L∞_{(Ωh) + ku − ΨkL}∞_{(Ωh) + kΨ − r}hΨk_L∞_(Ωh) ≤ C2h2|ln h| 2 ¥

Nous terminons par une amélioration de l’estimation d’erreur en norme L∞ et non seulement ça mais nous donnons aussi une preuve simple.

C’est à dire sans passer par les suites auxiliaires.

Théorème 3.3.2.Il existe une constante C indépendante de h telle que ° °ui− un+1ih ° ° L∞(Ωi) ≤ Ch 2 |ln h|2 = 1, 2. (3.3.18) Preuve. Nous avons :

° °ui− un+1_ih ° ° L∞_(Ωi) ≤ kui− uihkL∞(Ωi)+ ° °uih− un+1_ih ° ° L∞_(Ωi)

Nous utilisons les deux théorèmes 3.2.1 et 3.2.2 ° °ui− un+1ih ° ° L∞(Ωi) ≤ C1h 2 |ln h|2+ (θ)n°°uh− u0h ° ° L∞(Λi) ≤ C1h2|ln h|2+ (θ)nkuh− rhΨk_L∞_(Λi) et le lemme 3.3.3 ≤ C1h2|ln h| 2 + (θ)nC2h2|ln h| 2 ≤ (C1+ (θ)nC2) h2|ln h| 2 Nous trouvons : _° °ui− un+1ih ° ° L∞(Ωi) ≤ Ch 2 |ln h|2 ¥

Convergence uniforme de la

méthode de Schwarz pour

l’inéquation variationnelle avec

second membre non linéaire

4.1

Le problème continu

Soit _{un domaine convexe dans R}2 _{à frontière su¢ samment régulière @ :}

Considérons la forme bilinéaire dé…nie sur H1

0( ) par :

a (u; v) = Z

rurvdx (4.1.1)

La forme non linéaire est :

(f (u) ; v) = Z f (u) vdx (4.1.2) Telle que : f (u)_{2 L}1( )_{\ C}1 ; @f @u 0 sur fu : u 0g (4.1.3) Où : K( ;g)= v 2 H1( ) = v g 2 H01( ) ; 0 v sur (4.1.4)

Avec g une fonction régulière dé…nie sur @ : De plus

; g _{2 W}2;p( ) ; p > 2: telle que o g sur @ (4.1.5) 46