Le comportement asymptotique de l’approximation de la solution de quelques problèmes à frontière libre d’évolution

(1)

Le comportement asymptotique de

l’approximation de la solution de quelques

problèmes à frontière libre d’évolution

يملعلا ثحبلاو لياعلا ميلعتلا ةرازو

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

T H E S E

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Mathématiques

Option: Analyse Numérique

Par :

BENCHEIKH LEHOCINE Mohamed El Amine

Sous la Direction du

Prof. HAIOUR Mohamed

Devant le jury composé de :

PRESIDENT:

Benchettah Azzedine

Prof.

U.B.M. ANNABA

EXAMINATEURS:

Aissaoui Med Zine

Elaggoune Fateh

M.C.A

U.8.Mai.1945 GUELMA

Bouras Med Chérif

Hamlaoui Abdelhamid

M.C.A

U.B.M. ANNABA

U.8.Mai.1945 GUELMA

Université Badji Mokhtar

Annaba

Badji Mokhtar University

Annaba

راتخم يجاب ةعماج

ةـباـنع

(2)

Table des matières

I

Bref aperçu sur l’approximation par éléments …nis

d’une inéquation variationnelle et quasi variationnelle

elliptique

xiv

1 Etude de l’erreur d’approximation en normeL1 _{pour les}

pro-blèmes elliptiques 1

1.1 Introduction . . . 1

1.2 Approche par une fonction contractante . . . 2

1.2.1 Inéquation variationnelle (IV) . . . 2

1.2.2 Inéquation quasi variationnelle (IQV) . . . 12

1.3 Méthode des sous-solutions . . . 17

1.3.1 Inéquation variationnelle . . . 17

1.3.2 Inéquation quasi variationnelle . . . 29

1.4 Approche algorithmique . . . 34

1.4.1 Inéquation variationnelle . . . 34

1.4.2 Inéquation quasi variationnelle . . . 39

II

Comportement asymptotique de l’approximation

d’un système d’inéquations quasi variationnelle

d’évo-lution de type parabolique

44

2 Approche algorithmique 45 2.1 Introduction . . . 45

2.2 Etude du système continu . . . 47

2.2.1 Notations et hypothèses . . . 47

2.2.2 Position du système continu . . . 48

2.3 Etude du système discret . . . 51

(3)

2.4.1 Système intermédiaire . . . 54

2.4.2 Estimation d’erreur en norme L1 _{. . . 55}

2.5 Comportement asymptotique en norme L1 _{. . . 56}

2.6 Extension à d’autres problèmes . . . 57

2.6.1 Système d’inéquations quasi-variationnelles parabolique lié à un problème de contrôle optimal stochastique . . . 57

2.6.2 Système d’inéquations quasi-variationnelles paraboliques lié à un problème de la gestion d’énergie électrique . . 58

3 Approche par une fonction contractante 60 3.1 Introduction . . . 60

3.3.1 Semi-discrétisation en espace . . . 67

3.3.2 Hypothèse du principe du maximum discret (pmd) . . 67

3.3.3 Position du système discret . . . 68

3.4 Analyse d’erreur en norme L1 _{. . . 72}

3.4.1 Système intermédiaire . . . 72

3.5 Comportement asymptotique en norme L1 _{. . . 73}

4 Méthode des sous-solutions 75 4.1 Introduction . . . 75

4.3.1 Semi-discrétisation en espace . . . 81

4.3.2 Hypothèse du principe du maximum discret (pmd) . . 82

4.3.3 Position du système discret . . . 82

4.4 Analyse d’erreur en norme L1 . . . 84

4.4.1 Deux systèmes intermédiaires . . . 84

4.5 Comportement asymptotique en norme L1 . . . 96

(4)

Remerciements

Je voudrais exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur Haiour Mo-hamed pour m’avoir proposé ce sujet de recherche et l’avoir dirigé. Il a su être disponible et m’apporter l’aide et les conseils dont j’avais besoin pour mener à bien mon travail.

Je tiens à remerci vivement Monsieur Benchettah Azzedine pour l’hon-neur qu’il me fait en présidant le jury de cette thèse.

Je souhaiterais aussi adresser mes vifs remerciements à Monsieur Aissaoui Mohamed Zine pour sa participation à l’examen et au jury de cette thèse.

J’adresse également un grand remerciement à Monsieur Bouras Mohamed Chérif, et Monsieur Elaggoune Fateh, Monsieur Hemlaoui Abdelhamid pour leur participation à l’examen et au jury de cette thèse.

Mes remerciements vont aussi à mes collègues Boulaarass Salah, Djneihi Youcef pour l’ambiance chaleureuse qui ont régné durant ces années.

Je remercie en…n mes parents Abdelmadjid et Malika dont le travail n’au-rait pu aboutir sans leur soutien et encouragements. Je tiens également a re-mercier mes frères et ma sœur, Chakib, Mouad, Merième, pour leur présence et leur soutien constant. Merci de m’avoir poussé et encouragé à aller au delà de mes capacités. Je tiens à remercier ma femme Kawther et ma petite …lle Rihem dont je suis si …ers pour leur soutien et amour.

(5)

Je dédi ce travail

A mon père qui m’a encouragé par ses conseils, A ma mère qui m’a entouré de sa sollicitude

et de son soutien moral,

A ma sœur et mes frères pour leur soutien moral sans faille et leur précieux conseils, depuis toujours, sans relâche, à travers des

moments pénibles et souvent a distance,

A ma femme et ma petite …lle qui m’ont apporté un soutien constant, à la fois moral et technique,

A toute la famille Bencheikh Le Hocine.

(6)

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties liées :

La premièreest consacrée à l’étude de l’approximation par éléments …nis

P1 d’une inéquation variationnelle et quasi variationnelle de type elliptique

dans le cas non coercif.

Dans la deuxième partie, on étudie un système des inéquations quasi variationnelles d’évolution de type parabolique, ceci se fait en écrivant le système sous la forme d’une famille de systèmes d’inéquations quasi varia-tionnelles elliptiques, tout en montrant l’existence et l’unicité de la solution. Le comportement asymptotique de l’approximation en norme uniforme a été établi moyennant trois approches di¤érentes.

Mots clés : Inéquation quasi variationnelle elliptique, Inéquation quasi va-riationnelle parabolique, Problème du contrôle optimal stochastique, Approche algorithmique, Equation de Hamilton-Jacobi-Bellman, Ap-proche par fonction contractante, Méthode des sous-solutions, Com-portement asymptotique.

(7)

This thesis is consists of two linked parts :

The …rstis devoted to the study of the P1 …nite element approximation

of a problem of elliptic variational and quasi variational inequalities in the no coercive case.

In the second part, we study a system of parabolic quasi variational inequalities. By writing the system as a elliptic quasi variational inequalities family systems, we prove the existence and uniqueness of one solution. We propose three di¤erent approaches to establish the asymptotic behavior of the approximation in uniform norm.

Key words : Elliptic quasi-variational inequality, Parabolic quasi variatio-nal inequality, Stochastic optimal control problem, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, Algorithmic approach, Contraction approach, Sub-solution Sub-solution method, Asymptotic behavior.

(8)

Notations générales

1. Soit _{un ouvert de R}d_:

2. @ la frontière de :

3. L1( ) : L’espace de Banach, des fonctions mesurables et bornées

dé-…nies presque partout de _{dans R: La norme de L}1_{( )} _{est donnée}

par :

kfk1 = inffc > 0; jf (x)j < c p. p sur g

4. Lp_{( )} _{: L’espace de Banach, des fonctions mesurables dé…nies presque}

partout de _{dans R tel que jf (x)j}p est intégrable sur : La norme de

Lp( ) est donnée par :

kfkp = 0 @Z _{jf (x)j}p dx 1 A 1 p

5. Ck_{( ) :}_{L’espace des fonctions k fois continûment di¤érentiables dans}

:

6. Soient m 1un entier, et p un réel avec, 1 p _{1: W}m;p_{( )} _désigne

l’espace de Sobolev des fonctions de Lp_{( )} _{dont les dérivées partielles}

jusqu’a l’ordre m sont dans Lp( ) ; _{muni de la norme k:k}_Wm;p:

7. H : L’espace de Hilbert. 8. H1

0( ) = W

1;2

0 ( ) :

9. Soit X un espace de Banach, alors : – L2_{([0; T ] ; X) =} _{f : (0; T )} ! X mesurable ; T R 0 kf (t)k2X dt <1 – L1_{([0; T ] ; X) =} (

f : (0; T )_{! X mesurable ; sup ess}

t2[0; T ] kf (t)kX

<₁ )

– Ck_{([0; T ] ; X) :} _{L’espace des fonctions k fois continûment}

(9)

fectués depuis Octobre 2009. Ils ont été menés au Département de Mathéma-tiques de l’Université Badji Mokhtar-Annaba sous la direction du Professeur Haiour Mohamed.

Une inéquation variationnelle (en abrégé IV) est une inéquation impli-quant une fonctionnelle, qui doit être résolue pour toute valeur d’une variable donnée, appartenant généralement à un ensemble convexe.

Les bases de la théorie d’inéquation variationnelle ont été faites a partir des résultats concernant les problèmes unilatéraux obtenus par A. Signorini [53] et G. Fichera [37] avec les résultats de T. W. Ting [57] pour le problème d’élastoplasticité. Les fondements mathématiques de cette théorie ont été élargis par les contributions précieuses de G. Stampacchia [55], J. L. Lions et G. Stampacchia [43] et puis développés par l’école francaise et italienne : H. Brézis [8], [9], G. Stampacchia [56], J.L. Lions [44], U. Mosco [48], D. Kinder-lehrer et G. Stampacchia [42]. Concernant l’approximation des inéquations variationnelles on peut citer les contributions de U. Mosco [49], R. Glowinski, J. L. Lions et R. Trémolières [39] ou R. Glowinski [40].

La notion la plus récente d’inéquation quasi-variationnelle (en abrégé IQV) a été introduite par A. Bensoussan et J. L. Lions [2-4], pour étudier des problèmes de contrôle impulsionnel. On la rencontre aussi dans les problèmes de frontières libres, C. Baiocchi [6] et dans des problèmes de la physique des plasmas, J. Massino [47].

L’estimation d’erreur en norme L1 _{est un dé… non seulement pour le}

caractère réaliste de cette norme mais aussi pour les di¢ cultés inhérentes de convergence. L’intérêt de son emploi dans l’approximation des problèmes de type obstacle réside dans le fait qu’ils sont des problèmes à frontière libre. Ce fait a été conforté et validé par l’article de F. Brezzi et L. A. Cafarelli [10], et plus tard, par celui de R.H. Nochetto [51] sur la convergence de la frontière libre discrète vers la frontière libre continue.

Un nombre important de travaux sur l’estimation en norme L1 _{pour les}

inéquations variationnelles et quasi variationnelles elliptiques ont été réali-sés, C. Baiocchi [7], M. Boulbrachene [11, 12, 14, 16, 20, 21, 23], P. Cortey-Dumont [26-29, 31], J. Nitsche [50], R.H. Nochetto [51]: Cependant, très peu

(10)

de résultats existent sur le problème, quand il s’agit d’inéquations variation-nelles et quasi variationvariation-nelles d’évolution de type parabolique, A. Bensoussan, J.L. Lions [4], P. Cortey-Dumont [30], S. Boulaaras, M. Haiour [24], [25], R. Kornhuber [41].

L’objet de cette thèse est d’étudier le comportement asymptotique de l’approximation en norme L1 _{en temps long, c’est-à-dire lorsque t tend vers}

+_{1 d’un système d’inéquations quasi-variationnelles d’évolution de type} pa-rabolique, plus exactement il s’agit du système : Trouver le vecteur U (t; :) =

u1(t; :) ; :::; uN(t; :) _{2 (H}₀1( ))N solution de 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : @um @t (t; :) + A m_um_{(t; :)} _fm_{(t; :)} _dans _{]0; T [ ;} um(t; :) M um(t; :) ; (um_{(t; :)} _{M u}m_{(t; :))} @um @t (t; :) + A m_um_{(t; :)} _fm_{(t; :) = 0} _dans _{]0; T [ ;} um_{(t; :) = 0, sur @} _{]0; T [ ;} um(0; :) = um₀ dans ; m = 1; :::; N; (P) où :

- _{un domaine ouvert de R}d; d 1; à frontière su¢ samment régulière

@ .

- fm _{une famille de seconds membres et qui sera spéci…ée ultérieurement.}

- Am une famille des opérateurs elliptiques des seconds ordres.

Nous allons véri…er que, l’approximation par éléments …nis d’ordre un du système (P) tend asymptotiquement vers la solution du système stationnaire correspondant.

Le système (P) pose des problèmes de la gestion de l’énergie électrique, des problèmes de contrôle optimal stochastique. Il joue également un rôle fondamental dans la résolution de l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman L. C. Evans et A. Friedman [35], P. L. Lions et J. L. Menaldi [46].

La méthode de résolution consiste à approcher le système (P ) par une famille de systèmes d’inéquations quasi-variationnelles elliptiques (c’est la

(11)

Saadi [17], M. Boulbrachene, M. Haiour [18], M. Boulbrachene, M. Haiour, B. Chentouf [19]. Ceci fournit l’existence et l’unicité de la solution et également

l’approximation par éléments …nis en norme L1_{. Le résultat de}

comporte-ment asymptotique en norme L1 a été établi par trois approches di¤érentes

a savoir :

- L’approche algorithmique,

- L’approche par une fonction contractante, - La méthode de sous-solutions.

Organisation de la thèse

La thèse est divisée en deux parties et quatre chapitres.

La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude de

l’approxi-mation par éléments …nis en norme L1 _{des inéquations variationnelles (en}

abrégé IV) et quasi-variationnelles elliptiques (en abrégé IQV) dans le cas non coercif, et contient le premier chapitre qui présente une synthèse des résultats essentiels de A. Bensoussan et J. L. Lions [2-4], P. Cortey-Dumont [26-29, 31], M. Boulbrachene [11, 12, 14, 21, 22] concernant l’existence, l’unicité de la solution et l’estimation en norme L1 _{pour les inéquations variationnelles}

et quasi variationnelles elliptique qui seront utilisés de façon constante dans les chapitres ultérieurs.

Quant à la deuxième partie, elle est consacrée à l’étude du comportement

asymptotique en norme L1 _{de l’approximation de la solution du système (P )}

qui est elle même divisée en trois chapitres.

Dans le chapitre 2, on présente le système (P ) par sa formulation faible comme suit : Trouver le vecteur U (t; :) = u1_{(t; :) ; :::; u}N_{(t; :)}

2 (H1 0 ( ))

N

(12)

solution de 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : @ @t(u m_{; v} _um_{) + a}m_(um_{; v} _um₎ _(fm_{; v} _um_{) ; v} 2 H1 0 ( ) ; um _{M u}m_{; v} _{M u}m_; um _{= 0, sur @} _{]0; T [ ;} um_{(0; :) = u}m 0; m = 1; :::; N; (P1)

où am_{(:; :)} _{sont des formes bilinéaires non coercives.}

On discrétise (P1) en temps, en utilisant le schéma d’Euler implicite, qui

le transforme en : Trouver Uk(t; :) = u1k(t; :) ; :::; uNk (t; :) 2 (H01( )) N solution de 8 > > > > < > > > > : bm _um;k_{; v} _um;k _fm;k_{+ :u}m;k 1_{; v} _um;k _{; v} 2 H1 0 ( ) ; um;k _{M u}m;k_{; v} _{M u}m;k_; um;k_{(0; :) = u}m;k 0 ; m = 1; :::; N; (P0₁) où : - fm;k_{(t; :)} _{est la discrétisation de f}m_{(t; x) :} - M um;k_{(t; :)}_{est la discrétisation de M u}m_{(t; x) :}

- bm_{(:; :) = a}m_{(:; :) +} _{(:; :)} _avec _{> 0} _{sont des formes bilinéaires}

fortement coercives.

La discrétisation du système (P) par éléments …nis conforme de degré 1 est dé…nie par : Trouver Uh(t; :) = u1h(t; :) ; :::; u

N h (t; :) 2 (Vh) N solution de 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : @ @t(u m h; v umh) + am(umh; v umh) (fm; v umh) ; v2 Vh; um h M umh; v M umh; um h = 0, sur @ ]0; T [ ; um_h (0; :) = um_h;0; m = 1; :::; N; (Ph)

(13)

> < > : bm _u h ; v uh fm; k + :uh ; v uh ; v 2 Vh; um;k_h M um;k_h ; v M um;k_h : (P0h)

On montre sous des hypothèses réalistes que : max 1 m Nku m h (T; x) um;1(x)k1 C h 2 jlog hj4+ 1 1 + t: n ; où :

- est la constante intervenant dans l’hypothèse de coercivité des formes

bilinéaires. - um

h (t; x) ; m = 1; :::; N; est la fonction discrète dé…nie sur

]0; T [par :

um_h (t; x) = um_h;k(x) _{pour t 2 ](k} 1) : t; k: t[ :

- um;1 _{est la solution du système stationnaire correspondant au système}

(P₁0) donné comme suit : 8 < : bm_(um;1_{; v} _um;1₎ _(fm 1+ :um;1; v um;1) ; v 2 H01( ) ; um;1 M um;1; v M um;1:

Pour cela nous mettons en œuvre une méthode qui repose très étroitement sur l’approche algorithmique introduite dans M. Boulbrachene, M. Haiour [18], M. Boulbrachene, S. Saadi [17], M. Boulbrachene [21], P. Cortey-Dumont [27], combinant l’écart en norme uniforme entre le k-ième itéré (P01) et son

analogue discret (P_h0), et la convergence géométrique de ces algorithme. Dans le chapitre 3, on considère le système (P) avec M um _{= + inf}

m6= u ;où >

0, En tenant compte de la caractérisation des solutions des problèmes (P10)et

(P_1h0 )comme points …xes de contraction un résultat du comportement asymp-totique en norme uniforme à été obtenu. Plus exactement on a démontré le résultat suivant : kUh(T; x) U1(x)k₁ C h2jlog hj3+ 1 1 + t: n : xii

(14)

En…n, dans le chapitre 4, nous utilisons une méthode qui repose sur la notion des sous-solutions et qui introduit une grande symétrie dans le traitement du problème continu et du problème discret introduite dans P. Cortey-Dumont [26], [28], M. Boulbrachene [11], [12], [14], M. Boulbrachene, P. Cortey-Dumont [15]. Ceci achève notre travail par un nouveau résultat du

comportement asymptotique en norme L1 _:

kUh(T; x) U1(x)k₁ C h2jlog hj2+

1

1 + t:

n

(15)

Bref aperçu sur l’approximation

par éléments …nis d’une

inéquation variationnelle et

quasi variationnelle elliptique

(16)

Chapitre 1

Etude de l’erreur

d’approximation en norme

L

1 pour les problèmes elliptiques

1.1 Introduction

Ce chapitre introductif est consacré à une synthèse sur l’approximation par éléments …nis P1 des inéquations variationnelles et quasi-variationnelles

elliptiques dans le cas non coercif. On présente dans ce chapitre trois ap-proches di¤érentes. La première repose sur la caractérisation des solutions continue et discrète en tant que points …xes de contractions, P. Cortey-Dumont [26-28], M. Boulbrachene [16, 22], M. Boulbrachene, M. Haiour, B. Chentouf [19]. La seconde repose sur la caractérisation des solutions conti-nue et discrète comme enveloppe des sous-solutions conticonti-nues et discrètes, P. Cortey-Dumont [27, 28], M. Boulbrachene [14]. La troisième consiste à com-biner l’écart en norme uniforme entre le n-ième itéré du problème continu et son analogue discret, et la convergence géométrique de ces algorithmes, P Cortey-Dumont [27], M. Boulbrachene, M. Haiour [18], M. Boulbrachene, S. Saadi [17], M. Boulbrachene, M. Haiour, S. Saadi [13].

(17)

1.2 Approche par une fonction contractante

Cette section, est consacrée à l’approche par une fonction contractante. Cette approche caractérise la solution du problème continu (respectivement la solution du problème discret) comme point …xe de contraction. Nous ré-sumons dans cette section les travaux de M. Boulbrachene [16, 22], M. Boul-brachene, M. Haiour, B. Chentouf [19], P. Cortey-Dumont [26-28].

1.2.1 Inéquation variationnelle (IV)

Le problème continu

Notations et hypothèses Soit _{un domaine ouvert de R}d_{; d} _1;_à

fron-tière su¢ samment régulière @ . On considère la forme bilinéaire suivante :

a (u; v) =Z X 1 i;j N aij(x) @u @xi @v @xj + N X i=1 ai(x) @u @xi v + a0(x) uv ! dx; (1.1) associée à l’opérateur elliptique d’ordre deux

Av = X 1 i;j N @ @xi aij(x) @v @xj + N X i=1 ai(x) @v @xi + a0(x) v: (1.2)

Les coe¢ cients aij; ai; a0 sont su¢ samment réguliers véri…ant les

condi-tions suivantes : X 1 i;j N aij(x) i j j j 2 ; x_{2 ;} _{2 R}n; (1.3) a0(x) > 0: (1.4)

Soit f un second membre telle que

f _{2 C}2 ; et f 0: (1.5)

Soit l’ensemble convexe K dé…ni par :

K = u _{2 H}₀1( ) tel que u dans ; (1.6)

où 2 W2;1_{( ) ;} _{un obstacle:}

(18)

1.2. APPROCHE PAR UNE FONCTION CONTRACTANTE

Position du problème continu _{On considère le problème : Trouver u 2}

H1 0( ) solution de 8 < : a (u; v u) (f; v u) ; v _{2 H}1 0( ) ; u ; v : (1.7)

Remarque 1.2.1 On suppose que la forme bilinéaire dé…nie dans (1:1) n’est

pas coercive, dans cette situation l’adjonction d’un assez grand nous permet de considérer la forme bilinéaire fortement coercive (cf: [2]) suivante :

b (:; :) = a (:; :) + (:; :) ; (1.8)

et donc le problème coercif associé.

Transformation du problème (1:7) Par une transformation

immé-diate, u également la solution du problème : Trouver u 2 H1

0 ( ) solution de ₈ < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u ; v : (1.9)

Remarque 1.2.2 Le nouveau problème (1:9) est appelé problème

d’inéqua-tion quasi-variad’inéqua-tionnelle elliptique (IQV) dans la mesure où le second membre dépend de la solution (cf. [2]).

Existence et unicité L’existence et l’unicité de la solution du problème

(1:9) peuvent être démontrées, en adaptant l’approche développée dans [2].

Soit maintenant ^u0 _{solution de l’équation suivante :}

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.10)

Application de point …xe associée au problème (1.9) Considérons

l’application suivante :

T : L1( ) _{! L}1( ) ; (1.11)

(19)

où = (f + w) est la solution de l’IV coercive suivante : 8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v_{2 H}1 0( ) ; ; v : (1.12)

Le problème (1:12) admet une solution unique (voir [2]).

Quelques propriétés de l’applicationT Dans ce qui suit, nous

don-nons quelques propriétés de l’application T:

Proposition 1.2.1 (cf. [2]) T est croissante, concave et satisfait

T w u^0; _8w u^0: (1.13)

Remarque 1.2.3 Cette application de point …xe, nous permet de dé…nir

l’al-gorithme des approximations successives suivant :

Algorithme continu de type Bensoussan-Lions * Partant de ^u0 _dé…ni

dans (1.10). On dé…nit une suite décroissante de Sur-solutions

^

un= T ^un 1: (1.14)

*Partant de u0 _{= 0:} _{On dé…nit une suite croissante de}

Sous-solutions

un= T un 1: (1.15)

Lemme 1.2.1 (cf. [19]) Supposons que est assez grand et f f0 _{tel que}

f0 0; et soit 0 < < inf k^u0_k; f0 k^u0_k 1+ f0 : Alors, on a : T (0) u^0:

(20)

Proposition 1.2.2 _{(cf [19]) Soit | = fw 2 L}1_{( ) tel que w} _u_^

0g : Soit

aussi _{2 ]0; 1] tel que}

w w~ w; _{8w; ~}w_{2 |:}

Alors

T w T ~w (1 ) T w:

Théorème 1.2.1 (cf. [19]) Sous les conditions des Propositions 1.2.1 et

1.2.2, les suites (^_{u) et (u) sont bien dé…nies dans |. De plus, elles convergent} respectivement en décroissant et en croissant vers l’unique solution du pro-blème (1.9).

Régularité de la solution

Théorème 1.2.2 (cf: [2]) Supposons que aij 2 C1; ( ) ; ai(x) ; a0(x) et

f _{2 C}0; _{( ) ;} _{> 0: Alors}

u_{2 W}2;p( ) ; 2 p _1: (1.16)

Notation 1.2.1 On note u = @ (f; ) la solution du problème (1.9).

Propriété de monotonie de la solution du problème (1.9) Soit f; ~f ₂

L1_{( ) ;} _{et u = @ (f; ) ; ~}_{u = @} _{f ; ~}~ _{les solutions correspondantes de}

(1.9). Alors nous avons le résultat de monotonie suivant :

Lemme 1.2.2 (cf. [28]) Si f f~et ;~ alors @ (f; ) @ f ; ~~ :

Caractérisation de la solution du problème (1.9) comme point …xe

d’une contraction Considérons l’application suivante :

T : L1( ) _{! L}1( ) ; (1.17)

w_{7! T w = Z;}

où Z est la solution de l’IQV coercive suivante : 8 < : b (Z; v Z) (f + w; v _{Z) ; v 2 H}1 0( ) ; Z ; v : (1.18)

(21)

Proposition 1.2.3 Sous les conditions du Lemme 1.2.2, l’application T est

contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point …xe u. C’est

la solution du problème (1:9) :

Preuve.Soit w, ~w _{2 L}1_{( )}_{et Z = T w; ~}_{Z = T ~}_w_{les solutions du problème}

(1.18) avec seconds membres F = f + w et ~F = f + w:~

Posons = 1 + F ~ F 1 : Donc F F + F~ F~ 1 : D’après (1.4), nous obtenons

F F +~ + a0 + F ~ F 1 ~ F + ( + a0) :

En utilisant le Lemme 1.2.2, nous obtenons

Z Z + :~

Echangeant les rôles de F; ~F, nous obtenons de manière similaire ~ Z Z + d’où Z Z~ 1 c’est-à-dire kT w T ~w_k₁ 1 + kf + w f + w~k1: Il vient alors : kT w T ~w_k₁ + kw w~k1:

(22)

1.2. APPROCHE PAR UNE FONCTION CONTRACTANTE Le problème discret

La discrétisation On se propose de discrétiser H01( ) en utilisant une

méthode d’éléments …nis conformes. Pour cela, on établit sur une

trian-gulation h composée d’un nombre …ni de N simplexes non dégénérés telle

que :

– = _[

T 2 h

T – T1\ T2 =

– toute face d’un simplexe T1 2 h est soit face d’un autre simplexe

T2 2 h, auquel cas T1 et T2 sont dits adjacents, soit une partie de la

frontière @ .

On note h (T ) le diamètre de T et (T ) le sup des diamètres des sphères

inscrites. On suppose que pour tout T 2 h :

0 < ~ h (T )

(T ) : (1.19)

On appelle :

Vh = v2 C \ H01( ) tel que v soit linéaire sur tout simplexe T :

(1.20) Remarque 1.2.4 Le peu de régularité de la solution de l’IV; et de l’obstacle semblent déconseiller d’utilisation de polynômes degrés supérieurs à 1 (voir [27]).

Soit Mi; i = 1; :::; m (h) un sommet de la triangulation, on note par 'i

la fonction de Vh qui véri…e 'i(Mj) = ij. On sait alors que les fonctions

'_i; i = 1; :::; m (h)forment une base de l’espace Vh:

On dé…nit l’opérateur de restriction comme suit : rhv (x) =

m(h)_X i=1

v (Mi) :'i(x) : (1.21)

Rappelons maintenant quelques propriétés élémentaires de ce type d’ap-proximation

'_i(x) 0; i = 1; :::; m (h) et

m(h)_X

(23)

Soit v (x) = m(h)_P i=1 vi:'i(x)et uh(x) = m(h)_P i=1 ui:'i(x) : si v 0 _{alors 8i 2 f1; :::; m (h)g ; v}i 0 kuh vk_C_{( ) = M ax ju}i vij krhuh rhvk_C_{( )} kuh vk_C_{( ) :}

On introduit d’une manière naturelle la matrice de discrétisation A de coe¢ cients génériques aij = a 'i; 'j :

Hypothèse du principe du maximum discret (pmd) On suppose que

la matrice A est une M-matrice (A 1 _{existe et est non négative, de plus}

aii> 0; aij 0 pour i 6= j).

On dé…nit alors le problème discret associé au problème (1.7).

Position du problème discret Trouver uh 2 Vh solution de

8 < : a (uh; v uh) (f; v uh) ; v 2 Vh; uh rh ; v rh : (1.23)

Transformation du problème(1:23) Bien évidemment, uh est

égale-ment la solution de l’IQV discrète : Trouver uh 2 Vh solution de

8 < : b (uh; vh uh) (f + uh; v uh) ; v2 Vh; uh rh ; v rh : (1.24)

Remarque 1.2.5 Sous l’hypothèse du principe de maximum discret (pmd),

l’existence et l’unicité de la solution du problème (1.23) ou (1.24) peuvent être établies de façon similaire à celle du cas continu.

Soit maintenant ^u0_h solution de l’équation suivante :

(24)

1.2. APPROCHE PAR UNE FONCTION CONTRACTANTE Existence et unicité

Application de point …xe associée au problème (1.24)

Considé-rons l’application suivante :

Th : L1( ) ! Vh (1.26)

w_{7! T}hw = h;

où h = h(f + w; rh ) est la solution du problème d’IV coercif

sui-vant : ₈ < : b ( _h; vh h) (f + w; vh h) ; vh 2 Vh; h rh ; vh rh : (1.27) Le problème (1.27) admet une solution unique (voir [2]).

Quelques propriétés de l’application Th L’application Th possède

les propriétés suivantes :

Proposition 1.2.4 Th est croissante, concave et satisfait

Thw u^0h; 8w u^0h: (1.28)

Algorithme discret de type Bensoussan-Lions * Partant de ^u0

h dé…ni

dans (1.25). On dé…nit une suite décroissante de Sur-solutions

^

un_h = Thu^n 1h : (1.29)

*Partant de u0

h = 0: On dé…nit une suite croissante de

Sous-solutions

un_h = Thun 1h : (1.30)

Lemme 1.2.3 Supposons que est assez grand et f f0 tel que f0 0; et

soit 0 < < inf k^u0 k; f0 k^u0 k + f0 :

(25)

Alors

Th(0) u^0h:

Proposition 1.2.5 _{Soit |}h =fw 2 L1( ) tel que w u^0hg : Soit aussi 2

]0; 1] tel que

w w~ w; _{8w; ~}w_{2 |}h:

Alors

Thw Thw~ (1 ) Thw:

Théorème 1.2.3 Sous le pmd et les conditions des Propositions 1.2.4 et

1.2.5, les suites (^uh) et (uh) sont bien dé…nies dans |h. De plus, elles convergent

respectivement en décroissant et en croissant vers l’unique solution du sys-tème (1.24).

Notation 1.2.2 On note uh = @h(f; rh ) la solution du problème (1.24).

Propriété de monotonie de la solution du problème (1.24) Soit

f; ~f _{2 L}1( ) ; et uh = @h(f; rh ) ; ~uh = @h f ; r~ h~ les solutions

corres-pondantes de (1.24). Alors nous avons le résultat de monotonie suivant.

Lemme 1.2.4 Si f f ;~ et ~ alors @h(f; rh ) @h f ; r~ h :~

Caractérisation de la solution du problème (1.24) comme point …xe

d’une contraction Considérons l’application suivante :

T ;h : L1( ) ! Vh (1.31)

w_{7! T} ;hw = Zh;

ou’Zh est la solution de l’IQV coercive suivante :

8 < : b (Zh; vh Zh) (f + w; vh Zh) ; vh 2 Vh; Zh rh ; vh rh : (1.32)

Proposition 1.2.6 Sous le pmd et les conditions du Lemme 1.2.5,

l’applica-tion T ;h est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point

…xe uh. C’est la solution du problème (1:24) :

(26)

Analyse d’erreur en norme L1

Commençons par introduire un problème intermédiaire.

Problème intermédiaire Trouver ~_Zh solution de

8 > < > : b ~_Zh; vh Z~h f + u; vh Z~h ; vh 2 Vh; ~ Zh rh ; vh rh : (1.33)

D’après (1:18) ; (1:32) ; nous avons ~

Zh = T ;hu: (1.34)

Lemme 1.2.5 (cf. [27]) Il existe une constante C indépendante de h telle

que

~

Zh u

1

C h2_{jlog hj}2: (1.35)

Estimation d’erreur en norme L1

Théorème 1.2.4 Sous le pmd, les Propositions 1.2.3, 1.2.6 et (1.34), (1.35). On a

ku uhk₁ C h2jlog hj2: (1.36)

Preuve. D’après (1:34) et les Propositions 1.2.3, on a u = T u; uh = T ;huh; ~Zh = T ;hu Ainsi kuh uk₁ uh Z~h 1+ ~Zh u 1 = _kT ;huh T ;huk₁+kT ;hu T uk₁: D’après (1:35) ; et la Proposition 1.2.6; on a kuh uk₁ + kuh uk1+ C h 2 jlog hj2; d’où kuh uk₁ C h2_{jlog hj}2 1 ₊ : C Q F D.

(27)

1.2.2 Inéquation quasi variationnelle (IQV)

Notations complémentaires

Soit l’ensemble convexe K (u) dé…ni par :

K (u) = u_{2 H}₀1( ) tel que u M udans ; (1.37)

où M : L1_{( )} _{! L}1_{( ), est l’opérateur dé…ni comme suit (cf [2]) :}

8' 2 C0 ; M ' (x) = + inf ' (x + )

0; x+ 2

; (1.38)

tel que > 0:

Position du problème continu

Soit u la solution de l’inéquation quasi-variationnelle elliptique (en abrégé IQV) : Trouver u 2 H01( ) solution de

8 < : a (u; v u) (f; v u) ; v_{2 H}1 0( ) ; u M u; v M u: (1.39) où a (:; :) est une forme bilinéaire non coercive.

Par une transformation immédiate, u est également la solution du

pro-blème : Trouver u 2 H1 0 ( ) solution de 8 < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u M u; v M u: (1.40)

Notation 1.2.3 On note u = @ (f; M u) la solution du problème (1.40).

Existence et unicité

Application de point …xe associée au problème (1.40) Soit L1+ ( )

le cône positif de L1_{( ) :} _{On considère l’application suivante :}

T : L1₊ ( ) _{! L}1₊ ( ) ; (1.41)

(28)

où = (f + w; M w)est la solution du problème d’IV coercif suivant :

8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v _{2 H}₀1( ) ; M w; v M w: (1.42) Le problème (1.42) admet une solution unique (voir [2]).

Soit ^u0 _{solution de l’équation suivante :}

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.43)

Quelques propriétés de l’application T

Lemme 1.2.6 (cf. [2, 3]) T est croissante, concave et satisfait

T w u^0; _8w u^0: (1.44)

Algorithme continu de type Bensoussan-Lions * Partant de ^u0_dé…nie

dans (1.43). Nous dé…nissons une suite décroissante de Sur-solutions

^

un= T ^un 1: (1.45)

*Partant de u0 _{= 0:} _{Nous dé…nissons une suite croissante de}

Sous-solutions

un= T un 1: (1.46)

Lemme 1.2.7 (cf. [19]) Supposons que est assez grand et f f0 _{tel que}

f0 _{0; et soit} 0 < < inf k^u0_k; f0 k^u0_k 1+ f0 : Alors, on a T (0) u^0:

Théorème 1.2.5 _{(cf. [19]) Soit F=fw 2 L}1( ) tel que 0 w u^0_{g : Alors,}

d’après (1.44), les suites dé…nies en (1.45) et (1.46) sont bien dé…nies dans F. De plus, elles convergent respectivement en décroissant et en croissant vers l’unique solution du problème (1.40).

(29)

f _{2 C}0; ( ) ; > 0: Alors

u_{2 W}2;p( ) ; 2 p _1: (1.47)

f; ~f _{2 L}1( ) ; et u = @ (f; M u) ; ~u = @ f ; M ~~ u les solutions correspon-dantes de (1.40).

Lemme 1.2.8 (cf. [2], [28]) Si f f ;~ alors u u~

Caractérisation de la solution du problème (1.40) comme point

…xe de contraction On dé…nit

T : L1₊ ( ) _{! L}1₊ ( ) ; (1.48)

w_{7! T w = Z;}

où Z est la solution du problème d’IQV coercif suivant : 8 < : b (Z; v Z) (f + w; v _{Z) ; v 2 H}₀1( ) ; Z M Z; v M Z: (1.49)

Proposition 1.2.7 (cf: [2]; [16]) Sous les conditions du Lemme 1.2.8,

l’ap-plication T est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique

point …xe u. C’est la solution du problème (1:40) : Régularité de la solution

f _{2 C}0; _{( ) ;} _{> 0: Alors u}

2 W2;p_{( ) ; 2} _p

1: Position du problème discret

Soit uh la solution de l’IQV discrète : Trouver uh 2 Vh solution de

8 < : b (uh; vh uh) (f + uh; vh uh) ; vh 2 Vh; uh rhM uh; v rhM uh: (1.50)

(30)

1.2. APPROCHE PAR UNE FONCTION CONTRACTANTE Existence et unicité

Application de point …xe associée au problème (1.50)

Considé-rons l’application

Th : L1+ ( ) ! Vh (1.51)

w_{7! T}hw = h;

où _h = h(f + w; rhM w) est la solution de l’IV.coercive suivante :

8 < : b ( _h; vh h) (f + w; vh h) ; vh 2 Vh; h rhM w; vh rhM w: (1.52) Le problème (1.52) admet une solution unique (voir [1]).

Soit maintenant ^u0

h solution de l’équation suivante

a ^u0_h; vh = (f; vh) ; vh 2 Vh: (1.53)

Lemme 1.2.9 (cf. [2]) Th est croissante, concave et satisfait

Thw u^0h; 8w u^ 0

h: (1.54)

Algorithme discret * Partant de ^u0

h dé…nie dans (1.53). On dé…nit une

suite décroissante de Sur-solutions

^

un_h = Thu^n 1h : (1.55)

*Partant de u0

Sous-solutions

un_h = Thun 1h (1.56)

Lemme 1.2.10 Supposons que est assez grand et f f0 _{tel que f}0 _{0; et}

soit 0 < < inf k^u0 hk ; f 0 k^u0 hk₁+ f0 : Alors, on a Th(0) u^0h:

(31)

Théorème 1.2.8 _{Soit F}h= w 2 L1+ ( ) tel que 0 w u^0h :Alors, d’après

le pmd et (1.54), les suites dé…nies en (1.55) et (1.56) sont bien dé…nies dans Fh. De plus, elles convergent respectivement en décroissant et en croissant

vers l’unique solution du problème (1.50).

Etudions quelques propriétés de la solution du problème (1.50).

f; ~f _{2 L}1_{( ) ;} _{et u}

h = @h(f; rhM uh) ; ~uh = @h f ; r~ hM ~uh les solutions

correspondantes de (1.51).

Lemme 1.2.11 (cf. [2], [28]) Si f f ;~ alors

uh u~h: (1.57)

Caractérisation de la solution du problème (1.50) comme point

…xe d’une contraction On dé…nit

T ;h : L1+ ( ) ! Vh; (1.58)

w_{7! T} hw = Zh:

où Zh est la solution de l’IQV coercive suivante :

8 < : b (Zh; vh Zh) (f + w; vh Zh) ; vh 2 Vh; Zh M Zh; vh rhM Zh: (1.59)

Proposition 1.2.8 (cf:[2]; [16]) Sous le p:m:d et hypothèses et notations

précédentes l’application T h est contractante de contraction ₊ : Il existe

donc un unique point …xe uh: C’est la solution du problème (1.50):

(32)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS

Problème intermédiaire Trouver ~_Zh solution de

8 > < > : b ~_{Z; v}h Z~ f + u; vh Z ; v~ h 2 Vh; ~ Z rhM ~Z; vh rhM ~Z: (1.60)

Corollaire 1.2.1 D’après (1:49) ; (1:59) ; nous avons

~

Z = T ;hu: (1.61)

Lemme 1.2.12 (cf. [16]) Il exite une constante C indépendante de h telle

que ~ Z u 1 C h 2 jlog hj3: (1.62)

Théorème 1.2.9 (cf. [16]) Soient u et uh les solutions des systèmes (1:40)

et (1:50) respectivement. Alors, nous avons

1.3 Méthode des sous-solutions

Dans cette section, nous utilisons au niveau de l’approximation une mé-thode qui repose sur la notion de sous-solution et qui introduit une grande symétrie dans le traitement du problème continu et du problème discret, P. Cortey-Dumont [27, 28], M. Boulbrachene [14].

1.3.1 Inéquation variationnelle

Reconsidérons le même problème étudié précédemment : Trouver u 2 H1 0( ) solution de : 8 < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u ; v : (1.64)

(33)

Application de point …xe associée au problème (1.64) On

dé…-nit :

T : L1( ) _{! L}1( ) ; (1.65)

w_{7! T w = ;}

où est la solution de l’IV coercive suivante : 8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v_{2 H}₀1( ) ; ; v : (1.66)

Proposition 1.3.1 (cf: [2] ; [16]) Sous les notations et les hypothèses

pré-cédentes l’application T est contractante de contraction ₊ : Il existe donc

un unique point …xe u: C’est la solution du problème (1:64) :

Algorithme continu * Partant de ^u0 _{solution de l’équation suivante :}

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.67)

On dé…nit une suite décroissante de Sur-solutions

^

un= T ^un 1: (1.68)

Sous-solutions

un= T un 1: (1.69)

Théorème 1.3.1 (cf: [2]) Supposons que aij(x)2 C1; ( ) ; ai(x) ; a0(x)

et f 2 C0; _{( ) ;} _{> 0: Alors}

u_{2 W}2;p( ) ; 2 p _1: (1.70)

Dans ce qui suit, nous étudions quelques propriétés de la solution du problème (1.64).

(34)

Propriété de monotonie de la solution continue Soient f; ~f deux

seconds membres et u = @ (f; ) et ~u = @ f ; ~~ deux solutions correspon-dantes. Alors nous avons le résultat de monotonie de la solution suivant :

Proposition 1.3.2 Si f f ;~ alors @ (f; ) @ f ; ~~ : Preuve. D’après (1.65), (1.68) et (1.69), on a uf = @ f + u^nf; et ~uf~= @ f +~ u^ n ~ f; ~ ; telles que ^u0

f; ^u0_f~sont les solutions respectives des équations

a û0_f; v = (f; v) ; et a û0_f_~; v = f ; v :~ Clairement f f~implique û0_f u^0_f~: Donc f + û0_f f + ^~ u0_f~; d’où ^ um;1_f u^m;1_~ f :

Maintenant, supposons que ^

un 1_f u^n 1_~

f :

Comme f f ;~ appliquant le même argument de comparaison qu’avant,

nous obtenons

^

un_f u^n_f_~; par passage à la limite n ! +1; on obtient

(35)

Lipschitzianité par rapport au second membre

Proposition 1.3.3 Sous les hypothèses et notations précédentes; on a

@ (f; ) @ f ; ~~ 1 1 + f ~ f 1: (1.71) Preuve. Posons uf = @ (f; ) ; u_f~= @ f ; ~~ ; et = 1 + f ~ f 1 : Utilisant (1.4), on obtient ~ f f + f f~ 1 f + a0+ + f ~ f 1 = f + (a0+ ) : : D’après la Proposition 1.3.2; on a @ f ; ~~ @ (f + (a0+ ) : ; + ) = @ (f; ) + ; d’où u_f~ uf :

Echangeant les roles de ~f et f; nous obtenons de manière similaire

(36)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS Notion des sous-solutions continues

Dé…nition 1.3.1 Soit X l’ensemble des sous-solutions du problème (1:64) ;

c’est-à-dire l’ensemble de z 2 H1 0( ) telle que : 8 < : b (z; v) (f + z; v) ; _8v 0; z : (1.72)

Théorème 1.3.2 (cf: [2]) Sous les hypothèses et notations précédentes; la

solution du problème (1:64) est le plus grand élément de X: Le problème discret

On considère maintenant le problème discret suivant : Trouver uh 2 Vh

solution de 8 < : b (uh; v uh) (f + uh; v uh) ; um_h rh ; v rh : (1.73)

Notation 1.3.2 On note uh = @h(f; rh ) la solution du problème (1.73).

Application de point …xe associée au problème (1.73) On dé…nit

Th : L1( ) ! Vh; (1.74)

w_{7! T}hw = h;

où h est la solution du problème d’IV coercif suivant :

8 < : b ( _h; v _h) (f + w; vh h) ; h rh ; vh rh : (1.75)

Proposition 1.3.4 (cf: [2; 16]) Sous le pmd et les notations et les

hypo-thèses l’application Th est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un

(37)

h solution du système des équations

^

un_h = Thu^n 1h : (1.77)

*Partant de u0

Sous-solutions

un_h = Thun 1h : (1.78)

Propriété de monotonie de la solution discrète Soient f; ~f deux

seconds membres, uh = @h(f; rh ) et ~uh = @h f ; r~ h ~ deux solutions

correspondantes. Alors nous avons le résultat de monotonie de la solution suivant :

Proposition 1.3.5 Si f f ;~ alors @h(f; rh ) @h f ; r~ h :~

Preuve. La preuve est similaire à celle du cas continu. Lipschitzianité par rapport au second membre

Proposition 1.3.6 Sous le pmd et les hypothèses et notations; on a

@h(f; rh ) @h f ; r~ h ~ 1 1 + f ~ f 1 : (1.79)

Preuve. La preuve est identique à celle du cas continu.

Notion des sous-solutions discrètes

Dé…nition 1.3.2 Soit Xh l’ensemble de sous-solution du problème (1:73) ;

c’est-à-dire l’ensemble de zh 2 Vh telle que :

8 < : b (zh; v) (f + zh; 's) ; s = 1; :::; m (h) ; zh rh : (1.80)

Théorème 1.3.3 Sous le pmd et les hypothèses et notations précédentes; la

(38)

L’obtention de l’ordre de convergence repose :

– D’une part sur la notion de régularité discrète qui nous permet de régulariser les obstacles qui interviennent dans la dé…nition du problème discret (cf. [43]).

– D’une autre part, nous utilisons la caractérisation de la solution des problèmes continu et discret en tant que plus grandes sous-solutions (cf. [44]).

Régularité de la solution du problème discret

Proposition 1.3.7 Il existe une constante C indépendante de h et telle que

ja (uh; 's)j Ck'skL1_{( )}; s = 1; :::; m (h) (1.81)

ou’uh est la solution du problème d’IV discret (1.73).

Preuve. Résonnons par récurrence

Pour n = 0: Soit ^u0

h la solution du problème d’équation suivant :

a û0_h; '_s = (f; '_s) : Alors kfkL1k'skL1 a û 0 h; 's kfkL1k'skL1; d’où a û0_h; '_s _kfk_L1k'skL1;

donc, il existe une constante C indépendante de h et de m telle que a ^u0_h; '_s C_k'_s_k_L1:

Pour n = 1: Soit ^u1

h une sous-solution de l’IV suivante :

8 < : a (^u1 h; v u^1h) (f; v u^1h) ; ^ u1 rh :

(39)

D’après l’inégalité de Lewy Stampacchia discrète, nous avons

a ( ; '_s)_{^ (f; '}_s) a ^u1_h; '_s (f; '_s) : (1.82) Etudions le premier terme

a ( ; '_s) = a ^u0_h; '_s + Z

a0 's dx

a ^u0_h; '_s C_k'_s_k_L1:

D’après (1.63), nous avons

C_k'_s_k_L1 ^ (f; '_s) a ^u1_h; '_s (f; '_s) : Pour n: Supposons que C_k'_s_k_L1 ^ (f; '_s) a (^u n h; 's) (f; 's) : ^ un

h une sous-solution de l’IV suivante

8 < : a (^un h; v u^nh) (f; v u^nh) ; ^ u1 h rh :

D’après l’inégalité de Lewy Stampacchia discrète, nous avons

a ( ; '_s)_{^ (f; '}_s) a (^un_h; '_s) (f; '_s) : (1.83) L’étude du premier terme donne alors

C_k'_s_k_L1 ^ (f; '_s) a (^u

n

h; 's) (f; 's) :

Ce qui est vrai pour tout n .

Par passage à la limite, nous obtenons

C_k'_s_k_L1 ^ (f; '_s) a (uh; 's) (f; 's) :

d’ou’

ja (uh; 's)j Ck'skL1_{( )}; s = 1; :::; m (h) :

(40)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS Construction du second membre

Lemme 1.3.1 (cf: [28]) Il existe un second membre g(h) _h>0 borné dans

L1_{( ) telle que}

a (uh; v) = g(h); v ; v 2 Vh: (1.84)

Lemme 1.3.2 (cf: [28]) Soit u(h) la solution du système d’équations

sui-vant :

a u(h); v = g(h) ; v2 H01( ) : (1.85)

Alors, il existe une constante C indépendante de h telle que

u_{(h) W}2;P_{( )} C; (1.86)

et

u(h) u_{h 1} Ch2jlog hj2: (1.87)

Etude de l’approximation Comme annoncé précédemment, la méthode

consiste à construire deux sous-solutions appropriées, pour les problèmes continus et discrets (1.64) et (1.73), respectivement.

Construction d’une sous-solution discrète Introduisons le problème

discret suivant : Trouver uh 2 Vh solution de

8 < : b (uh; vh uh) (f + u; v uh) ; v 2 Vh; uh rh ; v rh ; (1.88)

où u est la solution du problème continu (1:64) : Ainsi uh = @h(f + u; )

n’est autre que l’approximation de u:

Lemme 1.3.3 (cf: [26])Sous les hypothèses et notations précédentes, nous

avons

Théorème 1.3.4 Il existe une sous-solution discrète h telle que

h uh et k h uk₁ C h2jlog hj

2

(41)

Preuve. En e¤et, uh étant la solution du problème (1.88), elle est aussi une sous-solution, c’est-à-dire 8 < : b (uh; v) (f + u; 's) ; s = 1; :::; m (h) ; um h rh : Donc 8 < : b (uh; vh) (f + ku uhk₁+ uh; 's) ; s = 1; :::; m (h) ; uh rh :

Ainsi uhest une sous-solution discrète pour le second membre f + ku uhk₁.

Comme la solution du problème (1.73) est le grand élément de Xh;et que la

dépendance de cette solution par rapport au second membre est une fonction Lipschitzienne

uh uh ku uhk₁:

Utilisant (1:89) ; nous obtenons

uh uh C h2jlog hj2 uh+ C h2jlog hj 2 : Posons h = uh C h2jlog hj2: Il vient alors 8 > > > > < > > > > : h uh; k h uk₁ ku uhk₁+ C h2jlog hj2 C h2 jlog hj2:

(42)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS Construction d’une sous-solution continue

Introduisons le problème continu suivant : Trouver u 2 H01( ) solution

de ₈ < : b (u; v u) (f + uh; v u) ; v 2 H01( ) ; u ; v ; (1.91) où uh est la solution du problème discret (1.73).

Lemme 1.3.4 (cf: [26]) Sous les hypothèses et notations précédentes, il existe une constante C indépendante de h telle que

kuh uk₁ C h2jlog hj2: (1.92)

Théorème 1.3.5 Il existe une sous-solution continue _(h) telle que

(h) u et (h) u_{h 1} C h

2

jlog hj2: (1.93)

Preuve. En e¤et, u étant la solution du problème (1.92), elle est aussi une

sous-solution, c’est-à-dire 8 < : b (u; vh) (f + uh; v) ; v 2 H01( ) ; u : Alors ₈ < : b (u; v) (f + _kuh uk₁+ u; v) ; u :

Ainsi u est une sous-solution continue pour le second membre f + kuh uk₁.

Comme la solution du système (1.64) est le grand élément de X; et que la dépendance de cette solution par rapport au second membre est une fonction Lipschitzienne

u u _kuh uk₁:

Utilisant (1.92), nous obtenons

u u C h2_{jlog hj}2

(43)

Posons (h) = u C h 2 jlog hj2: Il vient alors 8 > > > > < > > > > : (h) u; (h) u_{h 1} ku uhk₁+ C h2jlog hj2 C h2 jlog hj2:

Théorème 1.3.6 Sous les hypothèses précédentes, nous avons

kuh uk₁ C h2jlog hj2: (1.94)

Preuve. En e¤et, en combinant les théorèmes 1.3.4 et 1.3.5, nous obtenons

uh (h)+ C h 2 jlog hj2 u + C h2_{jlog hj}2 h+ C h2jlog hj 2 uh+ C h2jlog hj2; d’où kuh uk₁ C h2jlog hj2: C Q F D.

(44)

1.3.2 Inéquation quasi variationnelle

Reconsidérons le problème d’IQV étudié précédemment : Trouver u 2 H1 0( ) solution de : 8 < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u M u; v M u: (1.95)

Notation 1.3.3 On note u = @ (f; M u) la solution du problème (1.95).

Application de point …xe associée au problème (1.95) Soit L1+ ( )

le cône positive de L1_{( ) :} _{On dé…nit :}

T : L1₊ ( ) _{! L}1₊ ( ) ; (1.96)

w_{7! T w = ;}

où est la solution de l’IQV coercive suivante :

8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; M ; v M : (1.97)

Proposition 1.3.8 (cf: [2]; [16]) Sous les notations et les hypothèses précé-dentes l’application T est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point …xe u C’est la solution du problème (1:95) :

Algorithme continu * Partant de ^u0 _{solution de l’équation suivante :}

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.98)

^

(45)

Sous-solutions

un= T un 1: (1.100)

Théorème 1.3.7 (cf: [2]) Supposons que aij(x)2 C1; ( ) ; ai(x) ; a0(x)

et f 2 C0; _{( ) ;} _{> 0: Alors}

u_{2 W}2;p( ) ; 2 p _1: (1.101)

Propriété de monotonie de la solution continue Soient f; ~f deux

seconds membres et u = @ (f; M u) et ~u = @ f ; M ~~ u deux solutions corres-pondantes. Alors nous avons le résultat de monotonie de la solution suivant :

Proposition 1.3.9 Si f f ;~ alors @ (f; M u) @ f ; M ~~ u :

Preuve. La preuve est identique à celle du cas d’IV.

Lipschitzianité par rapport au second membre

Proposition 1.3.10 Sous les hypothèses et notations précédentes; on a

@ (f; M u) @ f ; M ~~ u 1 1 + f ~ f 1 : (1.102)

Notion des sous-solutions continues

Dé…nition 1.3.3 Soit X l’ensemble des sous-solutions du problème (1:95) ;

c’est-à-dire l’ensemble de z 2 H1 0( ) telle que : 8 < : b (z; v) (f + z; v) ; _8v 0; z M z: (1.103)

Théorème 1.3.8 (cf: [2]) Sous les hypothèses et notations précédentes; la

(46)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS Le problème discret

Soit uh 2 Vh la solution du problème d’IQV discret suivant :

8 < : b (uh; vh uh) (f + uh; vh uh) ; uh rhM uh; vh rhM uh: (1.104) Notation 1.3.4 On note uh = @h(f; rhM uh) la solution du problème (1.104).

dé…-nit

Th : L1+ ( ) ! Vh; (1.105)

w_{7! T}hw = h;

où h est la solution du problème coercif suivant :

8 < : b ( _h; vh h) (f + w; vh h) ; h rhM h; vh rhM h; (1.106)

Proposition 1.3.11 Sous le pmd et les notations et les hypothèses

l’appli-cation Th est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point

…xe Uh C’est la solution du problème (1:104) :

h solution de l’équation suivante :

a ^u0_h; vh = (f; vh) ; vh 2 Vh: (1.107)

^

un_h = Thu^n 1h : (1.108)

*Partant de u0

Sous-solutions

(47)

Propriété de monotonie de la solution discrète

Proposition 1.3.12 Si f f ;~ alors

@h(f; rhM uh) @h f ; r~ hM ~uh : (1.110)

Preuve. La preuve est similaire à celle du cas d’I.V. Lipschitzianité par rapport au second membre

Proposition 1.3.13 Sous le pmd et les hypothèses et notations; on a

@ (f; rhM uh) @ f ; r~ hM ~uh 1 1 + f ~ f 1 : (1.111)

Preuve. La preuve est similaire à celle du cas d’I.V. Notion des sous-solutions discrètes

Dé…nition 1.3.4 Soit Xh l’ensemble des sous-solutions du problème (1:104) ;

c’est-à-dire l’ensemble de z 2 Vh telle que :

8 < : b (zh; v) (f + zh; 's) ; s = 1; :::; m (h)? zh rhM zh: (1.112)

Théorème 1.3.9 Sous le pmd et les hypothèses et notations précédentes; la

solution maximale du système (1:104) est le plus grand élément de Xh:

Introduisons les deux problèmes auxiliaires suivants : - Trouver uh solution de 8 < : b (uh; vh uh) (f + u; vh uh) ; vh 2 Vh; uh rhM uh; vh rhM uh; (1.113)

(48)

1.3. MÉTHODE DES SOUS-SOLUTIONS - Trouver u solution de 8 < : b (u; v u) (f + uh; v u) ; v 2 H01( ) ; u M u(h); v M u(h); (1.114) où :

- u(h) est la solution de l’équation dé…ni en (1.07).

- uh est la solution du problème discret (1.104).

Lemme 1.3.5 (cf: [14]) Sous les hypothèses et notations précédentes, nous

avons

i) _ku uhk₁ C h2jlog hj3; (1.115)

ii) _kuh uk₁ C h2jlog hj3: (1.116)

Théorème 1.3.10 Il existe une sous-solution discrète het une sous-solution

continue (h) telles que

i) 8 > > > > < > > > > : h uh, et k h uk₁ C h2jlog hj3; (1.117) ii) 8 > > > > < > > > > : (h) u, et (h) u_{h 1} C h2jlog hj 3 : (1.118)

Preuve. La preuve est identique à celle du cas d’I.V.

Théorème 1.3.11 (cf. [14]) Sous les hypothèses précédentes, nous avons

kuh uk₁ C h2jlog hj

3

(49)

1.4 Approche algorithmique

Cette section est dédiée à l’étude de l’approximation par éléments …ns P1 des inéquations variationnelles et quasi-variationnelles elliptiques par

l’ap-proche algorithmique. Cette apl’ap-proche comme déjà annoncé consiste à com-biner l’écart en norme uniforme entre le n-ième itéré du problème continu et son analogue discret, et la convergence géométrique de ces algorithmes. On présente dans cette section les résultats de P Cortey-Dumont [27], M. Boul-brachene, M. Haiour [18], M. BoulBoul-brachene, S. Saadi [17], M. BoulBoul-brachene, M. Haiour, S. Saadi [13].

1.4.1 Inéquation variationnelle

Reconsidérons le même problème étudié dans les sections 1.1 et 1.2 pré-cédemment : Trouver u 2 H01( ) solution de :

8 < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u ; v : (1.120)

On suppose que le problème (1.120) véri…e les hypothèses et notations (1.1)-(1.6) de la section 1.1.

dé…-nit :

T : L1( ) _{! L}1( ) ; (1.121)

w_{7! T w = ;}

où est la solution de l’IQV coercive suivante :

8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v_{2 H}1 0( ) ; ; v : (1.122)

(50)

1.4. APPROCHE ALGORITHMIQUE Proposition 1.4.1 (cf: [16]) Sous les notations et les hypothèses précédentes l’application T est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point …xe u: C’est la solution du problème (1:120) :

Soit maintenant ^u0

2 H1

0 ( ) la solution de l’équation suivante :

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.123)

dans (1.123). Nous dé…nissons la suite suivante : ^

un= T ^un 1: (1.124)

* Partant de u0 = 0: Nous dé…nissons la suite suivante :

un= T un 1: (1.125)

Il est important de noter que ^un et un sont solutions des IQV coercives suivantes : 8 < : b (^un_{; v} _u_^n₎ _{(f + ^}_un 1_{; v} _u_^n_{) ; v} 2 H1 0 ( ) ; ^ un _{; v} _; (1.126) et 8 < : b (un_{; v} _un₎ _{(f + u}n 1_{; v} _un_{) ; v} 2 H1 0 ( ) ; un _{; v} _: (1.127)

Estimation de la vitesse de convergence de l’algorithme

Lemme 1.4.1 _{Sous les conditions de la Proposition 1.4.1, les suites f^u}n_{g et} fun

g sont monotones et bien dé…nies dans [0; ^u0_{] : De plus, elles convergent}

géométriquement vers l’unique solution u du problème (1.120), c’est-à-dire : k^un u_k₁ + n ^ u0 u 1; (1.128) kun u_k₁ + n ^ u0 u 1: (1.129)

(51)

Preuve. Démontrons (1.128). La preuve de (1.129) est similaire. Pour n = 0; d’après la Proposition 1.4.1, on a

^ u1 u 1 = T û 0 _{T u} 1 ₊ u^ 0 _u 1: Supposons que ^ u1 u 1 ₊ n ^ u0 u 1; alors ^ un+1 u 1=kT û n _{T u} k₁ + kû n _u k₁; donc ^ un+1 u 1 ₊ : ₊ n ^ u0 u 1 + n+1 ^ u0 u 1: Le problème discret

Reconsidérons le même problème étudié dans les sections 1.2 et 1.3 pré-cédemment. Trouver uh 2 Vh solution de :

8 < : b (uh; vh uh) (f + uh; vh uh) ; vh 2 Vh; uh rh ; vh rh : (1.130)

On suppose que l’hypothèse du pmd est satisfaite. Existence et unicité

(52)

1.4. APPROCHE ALGORITHMIQUE

dé…-nit :

Th : L1( ) ! Vh; (1.131)

w_{7! T}hw = h;

où _h est la solution de l’IQV suivante : 8 < : b ( _h; vh h) (f + w; vh h) ; vh 2 Vh; h rh ; vh rh : (1.132)

Proposition 1.4.2 Sous l’hypothèse du pmd et les notations et hypothèses

précédentes l’application Thest contractante de contraction ₊ :Il existe donc

un unique point …xe uh: C’est la solution du problème (1:130) :

Soit maintenant ^u0

h la solution de l’équation suivante :

a ^u0_h; vh = (f; v) ; vh 2 Vh: (1.133)

hdé…nie

un_h = T ^un 1_h : (1.134)

* Partant de u0

h = 0: Nous dé…nissons la suite suivante :

un= T un 1: (1.135)

Il est aussi important de remarquer que ^un

h et unh sont solutions des IQV

coercives suivantes : 8 < : b (^un_h; vh u^nh) f + ^u n 1 h ; vh u^nh ; vh 2 Vh; ^ un h rh ; vh rh ; (1.136) et 8 < : b (un h; vh unh) f + u n 1 h ; vh u n h ; vh 2 Vh; un_h rh ; vh rh : (1.137)

(53)

Lemme 1.4.2 Sous le pmd et les conditions de la Proposition 1.4.2, nous

avons : k^unh uhk₁ + n ^ u0_h u_{h 1}; (1.138) kunh uhk₁ + n ^ u0_h u_{h 1}: (1.139)

Preuve. La preuve est similaire à celle du cas continu.

Analyse de l’erreur en norme L1

Avant d’aborder le résultat, il est intéressant de dé…nir le problème d’IV auxiliaire suivant : Trouver ~un

h tel que 8 < : b (~un h; vh u~nh) (f + u^n; vh u~nh) ; vh 2 Vh; ~ un h rh ; vh rh : (1.140)

où ^un _{est le n-ième itéré dé…ni dans (1:136), et ~}_u0

h = ^u0h: Il est clair que

~

un_h = Thu^n: (1.141)

Lemme 1.4.3 (cf. [50]) Soient ^u0; ^u0_h;les solutions of (1.123), (1.133), res-pectivement. Alors nous avons

^ u0 u^0

h 1 Ch

2

jlog hj : (1.142)

Lemme 1.4.4 Sous les hypothèses et notations précédentes, nous avons

l’es-timation suivante :

k^un u~n_h_k₁ Ch2_{jlog hj}2: (1.143)

Preuve. La preuve est identique à celle des sections 1.2, 1.3.

Théorème 1.4.1 _{(cf.[27]) Soient f^u}n

g ; f^un

hg ; and f~unhg les suites dé…nies

dans (1.136), (1.137), et (1.140), respectivement, on a k^un u^n_h_k₁ n X p=0 k^up u~p_h_k₁: (1.144)

(54)

1.4. APPROCHE ALGORITHMIQUE

Théorème 1.4.2 D’après le pmd et les Lemmes 1.4.2, 1.4.4 et le Théorème

1.4.3, nous avons l’estimation suivante :

ku uhk₁ C h2jlog hj3: (1.145) Preuve. On a kuh uk₁ kuh u^hnk₁+kûnh uk₁ kuh u^nhk₁+kû n h u^ n k₁+_kûn u_k₁: D’après les Lemmes 1.4.2, 1.4.4, et le Théorème 1.4.3, nous obtenons

kuh uk₁ + n u0_h u_{h 1}+ n X p=0 kûp u~p_h_k₁+ + n u0 u 1 + n u0_h u_{h 1}+ û0 u^0 h 1+ n X p=0 kûp u~p_h_k₁ + + n u0 u 1 + n u0_h u_{h 1}+ Ch2_{jlog hj + nCh}2_{jlog hj}2+ + n u0 u 1: On pose ₊ n

= h2_; _{nous obtenons le résultat.}

1.4.2 Inéquation quasi variationnelle

Reconsidérons le même problème étudié dans les sections 1.1 et 1.2

pré-cédemment. Trouver u 2 H1 0( ) solution de : 8 < : b (u; v u) (f + u; v u) ; v _{2 H}1 0 ( ) ; u M u; v M u: (1.146) On suppose que le problème (1.146) véri…e les notations et les hypothèses (1.1)-(1.6) de la section 1.2.

(55)

dé…-nit :

T : L1₊ ( ) _{! L}1₊ ( ) ; (1.147)

w_{7! T w = ;}

où est la solution d’IV suivante :

8 < : b ( ; v ) (f + w; v ) ; v_{2 H}1 0( ) ; M w; v M : (1.148) Proposition 1.4.3 (cf: [16])Sous les notations et les hypothèses précédentes l’application T est contractante de contraction ₊ : Il existe donc un unique point …xe u: C’est la solution du problème (1:146) :

Soit maintenant ^u0

h la solution de l’équation suivante :

a ^u0; v = (f; v) ; v _{2 H}₀1( ) : (1.149)

un= T ^un 1: (1.150)

* Partant de u0 _{= 0:} _{Nous dé…nissons la suite suivante :}

un= T un 1: (1.151)

Il est important de noter que ûn et un sont solutions des IQV coercives suivantes : 8 < : b (ûn_{; v} _u_^n₎ _{(f + ^}_un 1_{; v} _u_^n_{) ; v} 2 H1 0( ) ; ^ un M ûn; v M ûn; (1.152) et 8 < : b (un_{; v} _un₎ _{(f + u}n 1_{; v} _un_{) ; v} 2 H1 0( ) ; un M un; v M un: (1.153)

(56)

1.4. APPROCHE ALGORITHMIQUE Estimation de la vitesse de convergence de l’algorithme

Lemme 1.4.5 Sous les conditions de la Proposition 1.4.3, nous avons :

k^un u_k₁ + n ^ u0 u 1; (1.154) kun u_k₁ + n ^ u0 u 1: (1.155)

Le problème discret Trouver uh 2 Vh solution de : 8 < : b (uh; vh uh) (f + uh; vh uh) ; vh 2 Vh; uh rhM uh; vh rhM uh: (1.155) Existence et unicité

dé…-nit :

Th : L1+ ( ) ! Vh; (1.156)

w_{7! T}hw = h;

où h est la solution de l’IQV suivante :

8 < : b ( _h; vh h) (f + w; vh h) ; vh 2 Vh; h rhM w; vh rhM h: (1.157)

Proposition 1.4.4 Sous l’hypothèse du pmd et les notations et hypothèses

précédentes l’application Thest contractante de contraction ₊ :Il existe donc

un unique point …xe uh: C’est la solution du problème (1:155) :

Soit maintenant ^u0_h la solution de l’équation suivante :

(57)

h dé…nie

un_h = T ^un 1_h : (1.159)

* Partant de u0_h = 0: Nous dé…nissons la suite suivante :

un= T un 1: (1.160)

Il est aussi important de remarquer que ^un

h et unh sont solutions des IQV

coercives suivantes : 8 < : b (ûn h; vh u^nh) f + û n 1 h ; vh u^nh ; vh 2 Vh; ^ un h rhM ûnh; vh rhM ûnh; (1.161) et 8 < : b (un h; vh unh) f + u n 1 h ; vh u n h ; vh 2 Vh; un h rhM unh; vh rhM unh: (1.162)

Lemme 1.4.6 Sous le pmd et les conditions de la Proposition 1.4.4, nous

avons : k^unh uhk₁ + n ^ u0_h u_{h 1}; (1.163) kunh uhk₁ + n ^ u0_h u_{h 1}: (1.164)

Analyse de l’erreur en norme L1

Avant d’aborder le résultat, il est intéressant de dé…nir le problème d’IQV auxiliaire.

Trouver ~un_h tel que 8 < : b (~un h; v u~nh) (f + u^n; v u~nh) ; v 2 Vh? ~ un_h rhM ~uhn; v rhM ~unh; (1.165)