Analyse multifractale de la vitesse de divergence de séries d'ondelettes

(1)

séries d’ondelettes

Céline ESSER

Celine.Esser@univ-lille1.fr

Université Lille 1 – Laboratoire Paul Painlevé

Séminaire de Vannes du LMBA 13 mai 2016

(2)

Introduction

NotonsT = R / Zet considérons une fonctionf ∈ L1

(T). On s’intéresse aux sommes partielles trigonométriques de Fourier

Snf : x → n X k=−n < f, ek> ek(x) où ek : x → e2iπkx Questions.

• A-t-on la convergence ponctuelle deSnfversf surT?

• Peut-on dire quelque chose sur la taille de l’ensemble des pointsxpour lesquels

Snf (x)diverge ?

(3)

Introduction

• Du Bois-Reymond (1873) : Il existe_{f ∈ C(T)}tel queSnf (x)diverge en unx.

• Kolmogorov (1926) : Il existef ∈ L1

(T)tel queSnf (x)diverge en toutx.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si_{A ⊆ T}est unFσde mesure de Lebesgue

nulle, il existe_{f ∈ C(T)}tel queSnf (x)diverge en toutx ∈ A.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp

(T)(1 < p < +∞),Snf convergepresque

partout.

Inégalité de Nikolsky. Sif ∈ Lp_(T), alors

kSnf k∞≤ Cpn1/pkf kp

Question.

(4)

Introduction

• Du Bois-Reymond (1873) : Il existe_{f ∈ C(T)}tel queSnf (x)diverge en unx.

• Kolmogorov (1926) : Il existef ∈ L1

(T)tel queSnf (x)diverge en toutx.

• Kahane et Katznelson (1966) : Si_{A ⊆ T}est unFσde mesure de Lebesgue

nulle, il existe_{f ∈ C(T)}tel queSnf (x)diverge en toutx ∈ A.

• Carleson et Hunt (1967) : Sif ∈ Lp

(T)(1 < p < +∞),Snf convergepresque

partout.

−→En dehors de cet ensemble,vitesse de divergencedeSnf (x)?

Inégalité de Nikolsky. Sif ∈ Lp_(T), alors

kSnf k∞≤ Cpn1/pkf kp

Question.

Siβ ∈ [0, 1/p], que peut-on dire sur lataille de l’ensemblex : |Snf (x)| ≈ nβ ?

(5)

Introduction

Dimension de Hausdorff

Soit_{B ⊆ R}ets > 0. On pose Hsδ(B) := inf    X j∈N diam(Bj)s : (Bj)j∈N δ −recouvrement deB    .

et on définit la mesure extérieure de HausdorffHs_par

Hs_{(B) := sup} δ>0 Hs δ(B) = lim δ→0+H s δ(B)

l’infini à0. Ladimension de HausdorffdimH(B)deBest définie par

(6)

Introduction

Dimension de Hausdorff

Soit_{B ⊆ R}ets > 0. On pose Hsδ(B) := inf    X j∈N diam(Bj)s : (Bj)j∈N δ −recouvrement deB    .

et on définit la mesure extérieure de HausdorffHs_par

Hs_{(B) := sup} δ>0 Hs δ(B) = lim δ→0+H s δ(B)

On peut montrer qu’il existe une valeur critique pour laquelles 7→ Hs(B)“saute” de l’infini à0. Ladimension de HausdorffdimH(B)deBest définie par

dimH(B) := sup{s ≥ 0:Hs(B) = ∞}

(7)

Divergence des séries de Fourier dans

L

p

_(T)

Pour toutβ ∈ [0, 1/p], on considère l’ensemble

E(β, f ) := x : lim sup n→∞ n−β|Snf (x)| > 0

Aubry (2006)

Si1 < p < +∞et sif ∈ Lp_(T), alors dimHE(β, f ) ≤ 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

De plus, siβ ∈ [0, 1/p]est fixé, ce résultat est optimal : Étant donné un ensembleE

tel quedimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup

n→∞

(8)

Introduction

• Indice de divergence au pointx:

βf(x) := supβ ≥ 0 : x ∈ E(β, f ) = lim sup n→+∞

log |Snf (x)|

log n • Ensembles de niveau :E(β, f ) :=x : βf(x) = β

• Spectre multifractal de la divergence :β → dimHE(β, f )

Bayart, Heurteaux (2011)

Quasi-toute fonctionf ∈ Lp

(T)satisfait

dimHE(β, f ) = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Remarques.

• “Quasi-toute fonction” signifie que la propriété est vraie sur une intersection dénombrable d’ouverts denses (Baire category theorem).

• Pour ces fonctions, on a en particulierdimHE(β, f ) = 1 − βp,∀β ∈ [0, 1/p].

(9)

• Indice de divergence au pointx:

βf(x) := supβ ≥ 0 : x ∈ E(β, f ) = lim sup n→+∞

log |Snf (x)|

log n • Ensembles de niveau :E(β, f ) :=x : βf(x) = β

• Spectre multifractal de la divergence :β → dimHE(β, f )

Bayart, Heurteaux (2011)

Quasi-toute fonctionf ∈ Lp

(T)satisfait

dimHE(β, f ) = 1 − βp, ∀β ∈ [0, 1/p].

Remarques.

• “Quasi-toute fonction” signifie que la propriété est vraie sur une intersection dénombrable d’ouverts denses (Baire category theorem).

(10)

Divergence de séries d’ondelettes

Séries d’ondelettes

La série de Fourier d’une fonction continue peut diverger en certains points. Cette propriété est-elle inhérente à toute décomposition orthogonale ?

Base de Haar (1910). Dans cette base othonormée deL2

(R), les sommes partielles de la décomposition de toute fonction continue convergent uniformément sur tout compact.

Cette base est composée des fonctions

( _ϕ k : x 7→ ϕ(x − k), k ∈ Z ψj,k: x 7→ 2j/2ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z oùϕ = 1[0,1[etψ = 1[0,1 2[ − 1[ 1 2,1[

−→Prototype desbases d’ondelettes. Convergence uniforme sur tout compact de l’expansion de toute fonction continue (Walter 1995)

(11)

Divergence de séries d’ondelettes

Base d’ondelette deL2

(R). Base orthonormée de la forme ( _ϕ

k : x 7→ ϕ(x − k), k ∈ Z

ψj,k: x 7→ 2j/2ψ(2jx − k), j ∈ N, k ∈ Z

Choix des ondelettes. L’ondelette mèreψest

• bien localisée :ψest à décroissance rapide, i.e. pour tout_{N ∈ N}, il existe

CN > 0tel que

|ψ(x)| ≤ CN

(1 + |x|)N, ∀x ∈ R

• oscillante : il existe_{M ∈ N}tel que

Z

R

(12)

On s’intéresse à la convergence ponctuelle du développement en ondelettes def X k∈Z < f, ϕk> ϕk(x) + X j∈N X k∈Z < f, ψj,k> ψj,k(x)

Remarque. Contrairement aux séries de Fourier, il n’y a pas d’“ordre naturel” pour les

ondelettes. Par conséquent, la notion de convergence poncuelle n’a pas une définition aussi naturelle.

• On étudie la convergence ponctuelle du développement

X k∈Z | < f, ϕk> ϕk(x)| + X j∈N X k∈Z | < f, ψj,k> ψj,k(x)|

qui ne dépend pas de l’ordre choisi (comportement semblable, contrairement à Fourier)

• On se place dans le cadre périodique : Une base orthonormée deL2_(T)est donnée par la fonction constante égale à 1 et les ondelettes périodisées

Ψj,k: x 7→

X

l∈Z

ψj,k(x − l), j ∈ N, k ∈0, . . . , 2j− 1

(13)

On s’intéresse à la convergence ponctuelle du développement en ondelettes def X k∈Z < f, ϕk> ϕk(x) + X j∈N X k∈Z < f, ψj,k> ψj,k(x)

Remarque. Contrairement aux séries de Fourier, il n’y a pas d’“ordre naturel” pour les

ondelettes. Par conséquent, la notion de convergence poncuelle n’a pas une définition aussi naturelle.

• On étudie la convergence ponctuelle du développement

X k∈Z | < f, ϕk> ϕk(x)| + X j∈N X k∈Z | < f, ψj,k> ψj,k(x)|

qui ne dépend pas de l’ordre choisi (comportement semblable, contrairement à Fourier)

• On se place dans le cadre périodique : Une base orthonormée deL2_(T)est donnée par la fonction constante égale à 1 et les ondelettes périodisées

Ψj,k: x 7→

X

l∈Z

ψj,k(x − l), j ∈ N, k ∈0, . . . , 2j− 1

(14)

Cas des espaces

L

p

Rappel. La série de Fourier d’une fonction deLp_(T)(1 < p < +∞) converge presque partout.

Kelly, Kon et Raphael (1994)

Sif ∈ Lp

(R)(1 ≤ p < +∞), son expansion en ondelettes converge presque partout (quelque soit l’ordre de sommation).

Question.

Soitxun point de divergence du développement def ∈ Lp_{. Caractérisation du taux}

de divergence ? Taille de l’ensemble des points ayant un taux de divergence donné ?

(15)

Inégalité de Hölder. Sif ∈ Lp (T), | < f, Ψj,k> | ≤ CΨ2j( 1 p− 1 2)kf k_p _{=⇒ k < f, Ψ}_j,k_{> Ψ}_j,kk_∞≤ C_ψ₂ j p

Aubry (2006)

Sip > 1et sif ∈ Lp

(T), alors pour toutβ ∈ [0, 1/p],

dimH    x : lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j−1 X k=0 | < f, Ψj,k> Ψj,k(x)| > 0    ≤ 1 − βp

Réciproquement, siψest l’ondelette de Haar, étant donné un ensembleEtel que

dimHE < 1 − βp, il existef ∈ Lp(T)tel que

lim sup J →∞ 2−βJ J X j=0 2j₋₁ X k=0 < f, Ψj,k> Ψj,k(x) = +∞ ∀x ∈ E.

(16)

Analyse multifractale de la divergence

• Exposant de divergence au pointx:

γf(x) = supγ : ∃C > 0, ∃(jn, kn), | < f, ψjn,kn> ψjn,kn(x)| ≥ C2

γjn

• Spectre multifractal de la divergence :

Df: γ 7→ dimx : γf(x) = γ

Remarques.

• Puisque l’ondelette est à décroissance rapide, on a

γf(x) = lim sup J →∞ log   J X j=0 X k∈Z | < f, ψj,k> ψj,k(x)|   log 2J

• Un exposant de divergence ne donne une divergence de la série d’ondelette que s’il est positif !

(17)

Analyse multifractale de la divergence

• Exposant de divergence au pointx:

γf(x) = supγ : ∃C > 0, ∃(jn, kn), | < f, ψjn,kn> ψjn,kn(x)| ≥ C2

γjn

• Spectre multifractal de la divergence :

Df: γ 7→ dimx : γf(x) = γ

Remarques.

• Puisque l’ondelette est à décroissance rapide, on a

γf(x) = lim sup J →∞ log   J X j=0 X k∈Z | < f, ψj,k> ψj,k(x)|   log 2J

• Un exposant de divergence ne donne une divergence de la série d’ondelette que s’il est positif !

(18)

Espaces de Sobolev et de Besov

Espaces de Sobolev. Sip ≥ 1et_{s ∈ R}, Lp,s := f ∈ Lp (R) : F−1 (1 + |ξ|2)s/2F f ∈ Lp (R) = f ∈ Lp (R) : Dkf ∈ Lp_{(R) ∀k ≤ s} si_{s ∈ N} Espaces de Besov. Sip, q > 0et_{s ∈ R}, B_ps,q:=nf ∈ Lp_{(R) : 2}sjkF−1 φjF fkLp_(R) j∈N∈ l qo

On va travailler dans les espaces de Besov. Grâce aux inclusions

Bs,1_p ,→ Lp,s,→ Bs,∞_p

pour toutp ≥ 1et tout_{s ∈ R}, on obtiendra des résultats similaires pour les espaces de Sobolev.

(19)

Espaces de Sobolev et de Besov

Espaces de Sobolev. Sip ≥ 1et_{s ∈ R}, Lp,s := f ∈ Lp (R) : F−1 (1 + |ξ|2)s/2F f ∈ Lp (R) = f ∈ Lp (R) : Dkf ∈ Lp_{(R) ∀k ≤ s} si_{s ∈ N} Espaces de Besov. Sip, q > 0et_{s ∈ R}, B_ps,q:=nf ∈ Lp_{(R) : 2}sjkF−1 φjF fkLp_(R) j∈N∈ l qo

On va travailler dans les espaces de Besov. Grâce aux inclusions

B_ps,1,→ Lp,s,→ Bs,∞_p

pour toutp ≥ 1et tout_{s ∈ R}, on obtiendra des résultats similaires pour les espaces de Sobolev.

(20)

Espaces de Besov et ondelettes

On utilise une ondeletteψsuffisamment régulière (au moins continue par morceaux) et une normalisationL∞des ondelettes, i.e. on pose

ψj,k:= ψ(2jx − k) j ∈ N, k ∈ Z

Les coefficients d’ondelettes def sont donnés par

Ck := Z R f (x)ϕ(x − k)dx et cj,k:= 2j Z R f (x)ψ(2jx − k)dx

Caractérisation des espaces de Besov. Soients ∈ Retp, q > 0. Alors

f ∈ B_ps,q⇐⇒              X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq X k∈Z |Ck|p !1/p < +∞

(21)

Espaces de Besov et ondelettes

On utilise une ondeletteψsuffisamment régulière (au moins continue par morceaux) et une normalisationL∞des ondelettes, i.e. on pose

ψj,k:= ψ(2jx − k) j ∈ N, k ∈ Z

Les coefficients d’ondelettes def sont donnés par

Ck := Z R f (x)ϕ(x − k)dx et cj,k:= 2j Z R f (x)ψ(2jx − k)dx

Caractérisation des espaces de Besov. Soients ∈ Retp, q > 0. Alors

f ∈ B_ps,q⇐⇒              X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq X k∈Z |Ck|p !1/p < +∞

(22)

Divergence de séries d’ondelettes f ∈ B_ps,q=⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq En particulier, ∃C > 0 : ∀j X k∈Z |cj,k2(s− 1 p)j|p ≤ C =⇒ |c_j,k| ≤ C 1 p2( 1 p−s)j Conséquence. Sif ∈ Bs,q p , alors γf(x) ≤ 1 p− s, ∀x ∈ R .

Remarque. Le cas intéressant est celui oùs < 1_p. Néanmoins, les résultats obtenus restent valides sis ≥1_p.

(23)

f ∈ B_ps,q=⇒ X k∈Z cj,k2 (s−1 p)j p!1/p = εj avec εj∈ lq En particulier, ∃C > 0 : ∀j X k∈Z |cj,k2(s− 1 p)j|p ≤ C =⇒ |c_j,k| ≤ C 1 p2( 1 p−s)j Conséquence. Sif ∈ Bps,q, alors γf(x) ≤ 1 p− s, ∀x ∈ R .

Remarque. Le cas intéressant est celui oùs < 1_p. Néanmoins, les résultats obtenus restent valides sis ≥1_p.

(24)

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

p , alors pour toutγ ∈ [−s,1p− s], on a

dimHx : γf(x) ≥ γ ≤ 1 − sp − γp.

En particulier, le spectre de divergence def satisfait

Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j_{, k2}−j_{+ 2}(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eε_j,γ. PuisqueP k|cj,k2 (s−1 p)j|p≤ C_{, on a} #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eγε) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(25)

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j_{, k2}−j_{+ 2}(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eε_j,γ. k #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eγε) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(26)

E., Jaffard (2015)

Sif ∈ Bs,q

Df(γ) ≤ 1 − sp − γp. Preuve. On pose Ej,γ:=k : |cj,k| ≥ 2γj , Ej,γε := [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j_{, k2}−j_{+ 2}(ε−1)jh Eε γ:= lim sup j→+∞ Eε_j,γ. PuisqueP k|cj,k2 (s−1 p)j|p≤ C_{, on a} #Ej,γ≤ C · 2(1−sp−γp)j, et donc dimH(Eεγ) ≤ 1 − sp − γp 1 − ε .

(27)

Divergence de séries d’ondelettes Si on a {x : γf(x) > γ} ⊂ Eγε ∀ε > 0, on aura alors dimH{x : γf(x) > γ} ≤ 1 − sp − γp ∀γ. dimH{x : γf(x) ≥ γ} ≤ dimH{x : γf(x) > γ − δ} ≤ 1 − sp − (γ − δ)p d’où dimH{x : γf(x) ≥ γ} ≤ 1 − sp − γp.

(28)

Si on a

{x : γf(x) > γ} ⊂ Eγε ∀ε > 0,

on aura alors

dimH{x : γf(x) > γ} ≤ 1 − sp − γp ∀γ.

Par conséquent, pour toutδ > 0, on aura

dimH{x : γf(x) ≥ γ} ≤ dimH{x : γf(x) > γ − δ} ≤ 1 − sp − (γ − δ)p

d’où

dimH{x : γf(x) ≥ γ} ≤ 1 − sp − γp.

(29)

Montrons que

x /∈ Eε

γ =⇒ γf(x) ≤ γ

On estime|cj,kψj,k(x)|. Rappelons que

E_γε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh

2.k ∈ Ej,γi.e.|cj,k| ≥ 2γj Vu la décroissance rapide des ondelettes,

∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2j_{x − k|)}N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

(30)

Montrons que

x /∈ Eε

γ =⇒ γf(x) ≤ γ

On estime|cj,kψj,k(x)|. Rappelons que

E_γε= lim sup j→+∞ [ k∈Ej,γ i k2−j− 2(ε−1)j, k2−j+ 2(ε−1)jh 1.k /∈ Ej,γi.e.|cj,k| < 2γj, alors|cj,kψj,k(x)| ≤ 2γj.

2.k ∈ Ej,γi.e.|cj,k| ≥ 2γj Vu la décroissance rapide des ondelettes,

∀N, ∃CN tel que |ψ(2jx − k)| ≤ CN (1 + |2j_{x − k|)}N. Commex /∈ Eε γetk ∈ Ej,γ, on a|2jx − k| ≥ 2εjsij et donc |ψ(2jx − k)| ≤ CN2−εN j.

Rappelons que|cj,k| ≤ C2−(s−1/p)j, d’où

|cj,kψj,k(x)| ≤ CNC2−(s−1/p)j2−εN j≤ 2γj si j .

(31)

Optimalité du résultat

E., Jaffard (2015)

Quasi-toute fonctionf ∈ Bs,q p satisfait γf(x) ∈ −s,1 p− s ∀x et Df(γ) = dimHx : γf(x) = γ = 1 − sp − γp, ∀γ ∈ −s,1 p− s .

Remarque. On se place dans un premier temps sur[0, 1[et on considère les ondelettesψj,k,j ∈ N,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}. cj,k=    1 ja2 (1 p−s)j₂−1pJ _avec k 2j = K 2J, K /∈ 2 Z 0 si k = 0

(32)

Optimalité du résultat

E., Jaffard (2015)

Quasi-toute fonctionf ∈ Bs,q p satisfait γf(x) ∈ −s,1 p− s ∀x et Df(γ) = dimHx : γf(x) = γ = 1 − sp − γp, ∀γ ∈ −s,1 p− s .

Remarque. On se place dans un premier temps sur[0, 1[et on considère les ondelettesψj,k,j ∈ N,k ∈ {0, . . . , 2j− 1}. Fonction de saturationFa: cj,k=    1 ja2 (1 p−s)j₂−1pJ _avec k 2j = K 2J, K /∈ 2 Z 0 si k = 0

(33)

Optimalité du résultat Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

(3) dimHx : γFa(x) = γ = 1 − sp − γp pour toutγ ∈

h −s,1

p− s

i

(4) Construction duGδdense à partir deFa

Sia >1_p +1_q, alorsFa∈ Bps,q.

Preuve. Pour toutJ ≤ j, il y a2J_{coefficients tels que} k

2j = K 2J. Donc 2j₋₁ X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p₌ 1 jap j X J =1 2J(2−Jp₎p_{= j}1−ap_, et il faut X j≥1 (j1p−a₎q _{< ∞.} Ok si(1_p− a)q < −1i.e. sia >_p1+1_q.

(34)

Optimalité du résultat Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s

i

Lemme

2j = K 2J. Donc 2j₋₁ X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p₌ 1 jap j X J =1 2J(2−Jp₎p_{= j}1−ap_, et il faut X j≥1 (j1p−a₎q _{< ∞.} Ok si(1_p− a)q < −1i.e. sia >1_p +1_q.

(35)

Montrons que (1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s

i

Lemme

2j = K 2J. Donc 2j₋₁ X k=0 |cj,k2(s− 1 p)j|p₌ 1 jap j X J =1 2J(2−Jp₎p_{= j}1−ap_, et il faut X j≥1 (j1p−a₎q _{< ∞.} Ok si(1_p− a)q < −1i.e. sia >1_p +1_q.

(36)

Lemme

Il existeC > 0et(jl, kl),l ∈ {1, . . . , L}, tels que

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jl_{x − k}

l)

≥ C.

Preuve. Pour toutx ∈ [0, 1], il existe une ondeletteψj,ktelle queψ(2jx − k) 6= 0.

Par continuité, il existe un voisinageIxdexsur lequel

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini.

SoitJ0= maxl∈{1,...,L}jl. Pour toutxet toutj, il existe une ondeletteψ(2j

0 x − k0) telle que|j0_{− j| ≤ J} 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. On a alors |cj0_,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent, γFa(x) ≥ −s, ∀x.

(37)

Lemme

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jl_{x − k}

l)

≥ C.

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini. SoitJ0= maxl∈{1,...,L}jl. Pour toutxet toutj, il existe une ondeletteψ(2j

0 x − k0) telle que|j0_{− j| ≤ J} 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. |cj0_,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent, γFa(x) ≥ −s, ∀x.

(38)

Lemme

∀x ∈ [0, 1] ∃l ∈ {1, . . . , L} :

ψ(2jl_{x − k}

l)

≥ C.

∀y ∈ Ix, |ψ(2jy − k)| ≥ Cx> 0.

Puisque ces boules recouvrent[0, 1], on peut en extraire un recouvrement fini. SoitJ0= maxl∈{1,...,L}jl. Pour toutxet toutj, il existe une ondeletteψ(2j

0 x − k0) telle que|j0_{− j| ≤ J} 0et|ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C. On a alors |cj0_,k0ψ(2j 0 x − k0)| ≥ C 1 j0a2 (1 p−s)j 0 2−1pJ 0 ≥ 2 −sj0 j0a . Par conséquent, γFa(x) ≥ −s, ∀x.

(39)

(1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s

i

(40)

Optimalité du résultat (1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s i

−→Approximation par les dyadiques (4) Construction duGδdense à partir deFa

(41)

Approximation par les dyadiques

Remarque. Vu les hypothèses surψ, on peut considérerC > 0et un sous-intervalle

ν ⊂ [0, 1[tels que ∀x ∈ ν, |ψ(x)| ≥ C. 1. Kn∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kn 2Jn, Kn+ 1 2Jn , 3. x − Kn 2Jn ≤ 1 2[αJn],

4. sikncorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−[αJn]qui contientx, alors

2[αJn]_{x − k}

(42)

Approximation par les dyadiques

Remarque. Vu les hypothèses surψ, on peut considérerC > 0et un sous-intervalle

ν ⊂ [0, 1[tels que

∀x ∈ ν, |ψ(x)| ≥ C.

Points de typeα ≥ 1. On notex ∈ Tαs’il existe(Jn, Kn)tels que

1. Kn∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kn 2Jn, Kn+ 1 2Jn , 3. x − Kn 2Jn ≤ 1 2[αJn],

4. sikncorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−[αJn]qui contientx, alors

2[αJn]_{x − k}

n∈ ν.

(43)

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques

cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j₂− 1 pJn _où _{j = [αJ} n], k = kn |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Lemme

Six ∈ Tα, alors l’exposant de divergence enxest plus grand que 1_p− s −_αp1 , i.e.

Tα⊆ x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp .

(44)

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques

cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j₂− 1 pJn _où _{j = [αJ} n], k = kn

4 : l’ondelette correspondante est suffisamment grande au point considéré |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Lemme

Tα⊆ x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp .

(45)

1 – 3 : Définit l’ensembleDαdes pointsα-approximables par les dyadiques cj,k= 1 ja2 (1 p−s)j₂− 1 pJn _où _{j = [αJ} n], k = kn

4 : l’ondelette correspondante est suffisamment grande au point considéré |ψj,k(x)| ≥ C où j = [αJn], k = kn.

Lemme

Tα⊆ x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp .

(46)

Question. Calcul dedimHTα?

• On aTα⊂ Dα

• dimHDα= _α1 (en fait,H

1

α(D_α) > 0₎=⇒ dim_HT_α≤ 1

α

• Techniques d’ubiquité :Tα=ensemble limsup dont les éléments sont les

intervalles2−[αj]_{(ν + k)}_{de côté}_r

j= c2−[αj]

• Ces intervalles “recouvrent bien”[0, 1[: siD > 0est choisi suffisamment grand, les intervalles dyadiques de même centre et de côtéDr_j1/αrecouvrent[0, 1[

=⇒ dimHTα= 1 α Puisque Tα⊆ x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp , on en tire que dimH x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp = 1 α

(47)

• On aTα⊂ Dα

1

α(D_α) > 0)=⇒ dim_HT_α≤ 1

α

j= c2−[αj]

(48)

• On aTα⊂ Dα

1

α(D_α) > 0)=⇒ dim_HT_α≤ 1

α

j= c2−[αj]

(49)

• On aTα⊂ Dα

1

α(D_α) > 0)=⇒ dim_HT_α≤ 1

α

j= c2−[αj]

=⇒ dimHTα= 1 α Tα⊆ x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp , on en tire que dimH x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp = 1 α

(50)

• On aTα⊂ Dα

1

α(D_α) > 0)=⇒ dim_HT_α≤ 1

α

j= c2−[αj]

(51)

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(T_α) > 0 • nx : γf(x) > 1_p− s −_αp1 o = [ n∈N x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n | {z } dimH=_α1−1_p =⇒ Hα1,2 x : γFa(x) > 1 p− s − 1 αp = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂ x : γFa(x) =p − s −αp ∪ x : γFa(x) > p− s −αp | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH x : γFa(x) = 1 p− s − 1 αp = 1 α

(52)

Raffinement du résultat précédent

On a même plus... • Hα1,2(T_α) > 0 • nx : γf(x) > 1_p− s −_αp1 o = [ n∈N x : γFa(x) ≥ 1 p− s − 1 αp+ 1 n | {z } dimH=_α1−1_p =⇒ Hα1,2 x : γFa(x) > 1 p− s − 1 αp = 0 • Tα |{z} Hα1,2>0 ⊂nx : γFa(x) = 1 p − s − 1 αp o ∪ x : γFa(x) > 1 p− s − 1 αp | {z } Hα1,2=0 =⇒ dimH x : γFa(x) = 1 p− s − 1 αp = 1 α

(53)

Optimalité du résultat dimH x : γFa(x) = 1 p− s − 1 αp = 1 α, ∀α ≥ 1 =⇒ dimH{x : γFa(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s

i

(54)

Optimalité du résultat dimH x : γFa(x) = 1 p− s − 1 αp = 1 α, ∀α ≥ 1 =⇒ dimH{x : γFa(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s (1) Fa ∈ Bps,q (2) γFa(x) ∈ h −s,1 p− s i pour toutx

h −s,1

p− s

i

(55)

Construction de l’ensemble résiduel

kf kBs,qp =    X j≥0   2j₋₁ X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+_N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest

dense dansB_ps,q • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(56)

Construction de l’ensemble résiduel

kf kBs,qp =    X j≥0   2j₋₁ X k=0 cj,k2 (s−1 p)j p   q/p   1/q

• L’ensemble(fn)n∈Ndes séries d’ondelettes finies à coefficients rationnels est

dense dansBs,q p

• On considère une suite croissante(Nn)ntelle que les coefficients d’ondelettes

defnsont nuls pourj ≥ Nn

• gn= fn+_N1

nFaa les mêmes propriétés de divergence queFaet(gn)n∈Nest

dense dansB_ps,q • On considère leGδdense R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp

(57)

R = \ m∈N [ n≥m B(gn, rn), où rn = 1 2Na n 2−Nnp f ∈ B(gn, rn) =⇒ X j≥0  2(sp−1)j 2j−1 X k=0 fj,k− gj,kn p   q/p < r_nq =⇒ 2(s−p1)Nn fNn,k− cNn,k Nn < rn =⇒ fNn,k− cNn,k Nn < 1 2Na n 2−sNn =⇒ |fNn,k| ≥ 1 Nn |cNn,k| − 1 2Na n 2−sNn

(58)

f ∈ R =⇒ f ∈ B(gnl, rnl), l ∈ N

On notex ∈ Tα(f )s’il existe une infinité deKltels que sij = Nnl

1. Kl∈ 2 Z/ , 2. x ∈ Kl 2[αj] ,Kl+ 1 2[αj] , 3. x − Kl 2[j α] ≤ 1 2j,

4. siklcorrespond à l’intervalle dyadique de taille2−j qui contientx, alors

2jx − kl∈ ν.

Remarque. La définition deTα(f )est similaire à celle deTα, excepté que seulement

une sous-suite d’entiers (définie à partir def) est prise en compte.

(59)

(60)

Optimalité du résultat Donc six ∈ Tα(f ), on a|ψj,kl(x)| ≥ Cet cj,kl= 1 ja2 (1 p−s)j₂−p1[ j α]_.

pourj = Nnl. Commef ∈ B(gnl, rnl), on obtient

|fj,kl| ≥ 1 j|cj,kl| − 1 2ja2 −sj ≥ 1 ja+12 (1 p−s)j₂− 1 p[ j α]− 1 2ja2 −sj ≥ 1 2ja+12 (1 p−s)j₂− 1 p[ j α] sil . Donc, γf(x) ≥ 1 p− s − 1 αp.

(61)

Tα(f ) ⊆ x : df(x) ≥ 1 p− s − 1 αp

Comme fait précédemment, on trouve que

dimH(Tα(f )) =

1 α

et on peut en déduire que

dimH x : df(x) = 1 p− s − 1 αp = 1 α d’où dimH{x : γf(x) = γ} = 1 − sp − γp, ∀γ ≥ −s, ∀f ∈ R

(62)

Autres résultats

• Passage àR: on prend comme fonction de saturation la fonction

f Fa=

X

k∈Z

e−kFa(x − k)

• Résultats similaires obtenus avec la notion de prévalence. L’idée est de considérer les coefficients

cj,k= ξj,k ja 2 (1 p−s)j₂− 1 pJ

où lesξj,k∼iidN (0, 1).

(63)

Références

J.M. Aubry.

On the rate of pointwise divergence of Fourier and wavelet series inLp_.

J. Approx. Theory, 538 :97–111, 2006.

F. Bayart and Y. Heurteaux.

Multifractal analysis of the divergence of Fourier series.

Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., 45 :927–946, 2012. 22 :663–682, 2006.

S. Jaffard.

On the Frisch-Parisi conjecture.

J. Math. Pures Appl., 79(6) :525–552., 2000.

S.E. Kelly, M.A. Kon, and L.A. Raphael.

Local convergence for wavelet expansion. J. Funct. Anal., 126 :102–138, 1994.

Y. Meyer.

Ondelettes et opérateurs. Hermann, 1990.

G.G. Walter.

Pointwise convergence of wavelet expansions. J. Approx. Theory, 80 :108–118, 1995.