ARTheque - STEF - ENS Cachan | Concept d’infini : applications à la géométrie.

LE CONCEPT D

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INFINI : applications à la Géométrie

L'étude de la science moderne nous f a i t pénétrer tout à la fois dans le domaine des très g r a n d s nombres et dans celui des t r è s petits.

C'est ainsi que l'astronomie nous révèle l'immen-sité des espaces stellaires, alors que la physique nucléaire et la microbiologie conduisent notre ima-gination dans le monde des particules infimes de la matière vivante ou inerte.

De là à concevoir des nombres toujours plus g r a n d s ou de plus en plus petits, puis à conduire notre esprit par un effort d'abstraction jusqu'au, concept d'infiniment g r a n d ou d'infiniment petit, il semble qu'il n'y ait qu'un p a s facile à franchir. Néanmoins, nous constatons, chez nos élèves en particulier, une difficulté sensible à se familiariser avec le concept d'infini, l'esprit n ' é t a n t pas orienté vers le travail d'abstraction nécessaire.

La notion d'infini introduit cependant en mathé-matiques des simplifications et des généralisations telles que son emploi est devenu courant dans l'enseignement réservé aux classes préparatoires aux grandes écoles. Aussi, nous pensons que ce serait une erreur de ne pas faire bénéficier, en particulier nos jeunes gens qui préparent le concours des Ecoles Nationales d ' a r t s et métiers, des a v a n t a g e s d'une notion précieuse. Le professeur lui-même y trouvera un moyen d'expression com-mode, ainsi qu'une méthode de recherche et de démonstration souvent très simple et générale.

Mais son emploi ne va pas sans précautions. Bien des erreurs peuvent être commises, si cette notion abstrait e demeure trop superficielle ou si l'élève se laisse aller, par intuition, à des extensions trop hâtives de propriétés. Il convient donc d'en bien préciser le sens et les limites d'application. Nous nous proposons d'examiner plus particu-lièrement l'emploi de la notion d'infiniment g r a n d en géométrie.

I. — NOMBRE DEVENANT INFINI

L'arithmétique apprend à dénombrer les objets d'une collection et enseigne qu'à une collection, aussi grande qu'elle soit, on peut toujours ajouter

un a u t r e objet. Bien que l'opération soit prati-quement irréalisable, notre esprit admet que la suite des collections que l'on peut ainsi former est susceptible de se poursuivre sans arrêt, qu'elle est illimitée.

Avec Pascal, nous pensons :

« Quelque grand que soit un nombre, 011 peut en concevoir un plus grand, et encore un qui sur-passe le dernier ; et ainsi à l'infini, sans 'jamais arriver à un qui ne puisse plus être augmenté. »

Traduisant en un langage encore plus abstrait, nous disons qu'un nombre n peut devenir infiniment

grand, ou encore qu'il tend vers l'infini.

Cette expression symbolique signifie seulement que le nombre n peut dépasser tout autre nombre donné N, aussi g r a n d qu'il soit. On a coutume d'employer la notation oo pour représenter ce concept ; mais il importe de bien remarquer qu'il n'existe pas, à proprement parler, de nombre infini, comparable aux autres nombres de l'arithmétique. Il serait dès lors absurde de vouloir étendre à ce symbole les propriétés et les règles d'opérations concernant les nombres ordinaires.

II. POINT A L'INFINI D'UNE DROITE

Quand nous traçons une ligne droite, nous ne pouvons en représenter qu'un 3 portion plus ou moins grande, mais qui demeure toujours accessible à nos sens. La n a t u r e nous fournit de nombreuses images de la ligne droite, qui peuvent parfois s'étendre très loin, mais nous apparaissent toujours comme é t a n t limitées.

Avec Euclide, nous admettons néanmoins comme un axiome fondamenta l de la géométrie « qu'une

droite peut être prolongée indéfiniment ».

Soit alors une droite D (fig. 1). Sur cette droite, un point mobile M qui peut s'éloigner d'un point fixe O jusqu'à dépasser tout autre point P aussi éloigné qu'il soit sur D. Nous dirons que le point M s'éloigne à l'infini sur D ou encore que, sur la droite D, il existe un point fictif appelé point à

l'infini de D.

Fig. 1

M

0 0

L a mesure m de la distance géométrique OM est alors un nombre qui peut dépasser le nombre p très g r a nd qui mesure OP. Dans ces conditions, le nombre m tend vers l'infini ou croît indéfiniment.

Notation abrégée usuelle : oo.

La conception précise du point à l'infini d'une droite est de date relativement récente ; elle est due au géomètre f r a n ç a i s Desargues (1593-1662), qui s'en servit constamment dans ses études géo-métriques.

n i . _ SENS D E PARCOURS ET ORIENTATION D'UNE DROITE

L'expérience nous conduit à admettre qu'une droite peut être parcourue dans deux sens diffé-rents, par un point mobile M ; ce qui permet de l'orienter en choisissant conventionnellement un sens

positif, par exemple celui de x' vers x (fig. 2) ;

elle devient alors un axe.

Pour leur étude, nous distinguerons la géométrie plane de la géométrie dans l'espace.

A) G E O M E T R I E P L A N E .

a) Point à l'infini et droites parallèles : La notion de -point à l'infini d'une droite étant admise, considérons avec Desargues qu'une série de droites parallèles est analogue à un faisceau de droites concourantes, le point de concours étant à l'infini sur chacune d'elles (fig. 3).

- > O O

Fig. 3

Nous conviendrons de dire que ces droites ont la même direction d, ou encore qu'elles définissent le point à l'infini du plan situé dans la direction d.

Fig. 2

l

—

•<-, M

Marquons sur cette droite un point fixe O comme

origine pour mesurer les segments OM. A tout

point M, on peut faire correspondre un nombre algébrique x, et réciproquement à tout nombre algé-brique x on peut associer un point M de l'axe. Si nous imaginons que le point M s'éloigne indéfiniment de O, suivant qu'il décrit la demi-droite Ox ou la demi-droite Oa;', nous dirons que le nombre x tend vers l'infini positif ( + oo ) ou vers l'infini négatif

( — o o ) .

IV. — LES ELEMENTS GEOMETRIQUES A L'INFINI

La définition précise et l'emploi systématique des éléments géométriques à l'infini sont dus aux géo-mètres f r a n ç a i s Desargues et Poncelet (1788-1867).

OC

b) Droite de l'infini d'un plan :

Dans un plan, il existe une infinité de direc-tions d, et à chacune d'elles correspond un point à l'infini.

Convenons avec le géomètre Poncelet que :

« Tous les points à l'infini d'un plan sont situés sur une même droite fictive, appelée droite de l'in-fini de ce plan. »

Nous justifierons plus loin cette convention.

Conséquences :

On sait que deux points A et B à distance finie déterminent une droite.

P a r un point A on peut mener une droite D et une seule parallèle à une direction donnée d (Pos-tulat d'Euclide) ; c'est dire qu'un point A et une direction d déterminent une droite D unique (fig- 4).

C O

c o

Fig. 4

Traduisons : Deux points dont un à l'infini dé-terminent une droite.

La convention de Poncelet permet ainsi l'énoncé général :

« Deux points d'un plan, situés à distance finie ou à l'infini, déterminent une droite. »

Applications (à titre d'exemples) :

1° Deux droites distinctes ont toujours un point commun ;

2° Réciproque unique du théorème relatif à trois droites concourantes coupées par deux droites parallèles (fig. 5) ;

3° Le conjugué harmonique du milieu d'un segment AB est le point à l'infini de la droite qui le porte (fig. 6) ;

A 0 B M1_{* l oo^}

Fig. 10

b) Deux plans sécants a y a n t une droite

com-mune, convenons par analogie que deux plans pa-rallèles P et P ' se coupent suivant la droite de

l'infini ^ de chacun d'eux (fig. 10). Nous dirons

qu'ils déterminent une direction de plan « ou encore

M

Fig. 6

4° Un faisceau harmonique s'obtient en joignant les points d'une division harmonique à un point extérieur, à distance finie ou infinie. D a n s ce

d e r n i e r cas, c'est un fais-ceau à rayons p a r a l l è l e s

(fig. 7) ;

l'in-fini du p l a n (fig. 8) ;

6° Toute droite peut être considérée comme une circonférence de rayon infini et dont le centre est le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à la droite ;

7° La polaire du centre d'un cercle par rapport à ce cercle est la droite de l'infini de son plan

(fig. 9).

Le pôle du diamètre D est le point à l'infini de la direction perpendiculaire à D.

B) G E O M E T R I E D A N S L ' E S P A C E .

a) Nous conservons la notion de point à l'infini d'une droite, et celle de droites parallèles a y a n t en commun le point à l'infini de chacune d'elles définissant une direction d de l'espace. De même, nous admettons la notion de droite de l'infini d'un plan ;

qu'ils définissent la droite de l'infini fc située dans la direction de plan k de l'espace ;

c) Toute droite D du plan P est parallèle au plan P ' (sa direction est contenue dans celle du plan). Nous dirons qu'elle le rencontre au point à

l'infini de D (fig. 10) ;

c) Dans le plan P, on peut mener une infinité

de droites D ; tous les points à l'infini des directions correspondantes sont situés sur la droite de

l'in-fini ,A de la direction de plan -k (intersection des

plans parallèles P et P ' ) . De même, lorsque deux plans se coupent, toutes les droites de l'un ren-contrent l'autre sur leur droite d'intersection (fig. 11). Ceci justifie la convention relative à la droite de l'infini d'un plan ;

d) Dans l'espace, il existe une infinité de

direc-tions de plans analogues à n ; à chacune d'elles correspond une droite de l'infini analogue à Convenons que toutes ces droites sont situées dans un même plan T appelé plan de l'infini (fig. 12). Ce plan renferme tous les points à l'infini et toutes les droites de l'infini, de même qu'un plan ordinaire contient un ensemble de points et de droites.

On sait que trois points à distance finie, non situés en ligne droite, déterminent un - plan.

P a r une droite D on peut mener un plan P et un seul parallèle à la direction D' distincte

de D ; c'est-à-dire que deux points A et B situés sur D, et la direction D' distincte de D déterminent un plan (fig. 13). Traduisons : Un plan est déter-miné par trois points dont un à l'infini dans une direction différente de celle des deux autres.

P a r un point A, on peut mener un plan P et un seul parallèle à deux directions distinctes D et D' (fig. 14). Traduisons : Un plan est déter-miné par trois points, dont deux à l'infini dans des directions distinctes.

Admettons que trois points à l'infini, non situés sur une même droite de l'infini déterminent le plan de l'infini, et nous pourrons dire que dans tous les cas :

« Trois points quelconques, à distance finie ou

à l'infini, déterminent en général un plan. »

Applications ( à titre indicatif) :

1° Deux plans distincts ont toujours une droite commune ;

2° Etudier les intersections de trois plans dis-tincts ;

3° Faisceau de plans parallèles, a d m e t t a n t la même droite de l'infini (cas particulier du faisceau

harmonique) ;

4° Le plan polaire du centre d'une sphère par rapport à cette sphère est le plan de l'infini. Le

pôle d'un plan diamétral est le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à ce plan.

P R O B L E M E

Une droite variable MM' s'appuie sur deux droites fixes D et D' en restant parallèle à un plan fixe P. Quelle est sa direction-limite lorsqu'elle passe à l'infini ? (fig-, 15)

D et la parallèle D ' , à D' déterminent un plan Q parallèle à D' qui coupe P suivant Ax. Quand MM' passe à l'infini :

M est le point à l'infini de D ;

M' est le point à l'infini commun à D' et D' . MM' devient la droite de l'infini de Q et, comme elle reste parallèle au plan P, elle est parallèle à A.X de ce plan. La direction-limite de MM' est donc l'intersection Ax de P avec le plan Q mené par D parallèle à D'.

A. D E S P R E T I E R E ,

Professeur au Collège Technique de Suresnes.

« Les solides trésors sont ceux qu'on a donnés. »

Louis R A C I N E