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Distribution multi-utilisateur de paires de photons
intriqués aux longueurs d’onde des télécommunications
Joe Ghalbouni
To cite this version:
Joe Ghalbouni. Distribution multi-utilisateur de paires de photons intriqués aux longueurs d’onde des télécommunications. Optique / photonique. Télécom ParisTech, 2013. Français. �NNT : 2013ENST0068�. �tel-01308998�
2013-ENST-0068
EDITE - ED 130
Doctorat ParisTech
T H È S E
pour obtenir le grade de docteur délivré par
TELECOM ParisTech
Spécialité « Informatique et Réseaux »
présentée et soutenue publiquement par
Joe GHALBOUNI
le 15 Novembre 2013
Distribution multiutilisateur de paires de
photons intriqués aux longueurs d’onde des
télécommunications
Directeur de thèse :Mme Isabelle ZAQUINE Co-encadrement de la thèse :Mme Eleni DIAMANTI
Jury
Mme Sara DUCCI,Professeur, LMPQ-CNRS, Université Paris Diderot-Paris7 Rapporteur M. Pascal BESNARD,Professeur, Foton - CNRS UMR 6082, Enssat Lannion Rapporteur M. Fetah BENABID,Professeur, XLIM - UMR CNRS 7252, Université de Limoges Examinateur M. Rob THEW,Directeur de recherche, GAP-Optique, Université de Genève Examinateur M. Cyril DRAG,Maître de conférences, LAC UPR 3321, Université Paris Sud Examinateur M. Gaétan MESSIN, Maître de conférences, Laboratoire Charles Fabry - CNRS, Institut d’Optique
Examinateur
TELECOM ParisTech
école de l’Institut Mines-Télécom - membre de ParisTech 46 rue Barrault 75013 Paris - (+33) 1 45 81 77 77 - www.telecom-paristech.fr
Table des matières
Table des matières ii
Table des figures v
Liste des tableaux ix
Remerciements 1
Introduction 3
1 Notions de base 5
1.1 Introduction à l’optique non-linéaire . . . 5
1.1.1 L’équation de propagation dans un milieu non-linéaire . . . . 5
1.1.2 La génération de fréquence somme . . . 7
1.1.3 Quasi-accord de phase . . . 10 1.2 La fluorescence paramétrique . . . 11 1.3 Le mélange à 4 ondes. . . 13 1.4 Intrication . . . 14 1.4.1 Intrication en polarisation . . . 17 1.4.2 Inégalités de Bell . . . 17 1.4.3 Visibilité de la source . . . 19
2 Démultiplexage en longueur d’onde 23 2.1 Principe du démultiplexage en longueur d’onde . . . 23
2.2 Le démultiplexage pour les communications quantiques. . . 24
2.2.1 Caractéristiques des démultiplexeurs . . . 25
2.3 Types de démultiplexeurs . . . 28
2.3.1 Film diélectriques à couches minces (Dielectric Thin Film (DTF)) 28 2.3.2 Réseaux de guides d’ondes (AWG) . . . 30
2.3.3 Réseaux de diffraction (DG). . . 30
3 Etat de l’art 35 3.1 Les différentes architectures de sources de photons intriqués en polari-sation . . . 35
3.1.1 Les sources basées sur les cristaux massifs . . . 36
3.1.2 Les sources fibrées . . . 39
3.1.3 Les sources basées sur les guides d’ondes . . . 42
3.1.4 Les sources sur puce . . . 45 ii
Table des matières iii
3.2 Les sources large bande . . . 46
3.3 La distribution de photons intriqués par démultiplexage . . . 54
4 Source de photons jumeaux large bande centrée à 1558 nm 63 4.1 Dispositif expérimental. . . 63
4.2 Optimisation de la source . . . 66
4.2.1 Température pour le quasi-accord de phase . . . 66
4.2.2 Choix des optiques . . . 66
4.2.3 Traitement des optiques . . . 69
4.2.4 Position du cristal . . . 69
4.3 Méthode de caractérisation de la source . . . 70
4.3.1 Modèle . . . 70
4.3.2 Utilisation des données expérimentales . . . 73
4.3.3 Calcul des termes I1A, I1B et I2 . . . 74
4.4 Résultats expérimentaux . . . 75
4.4.1 Cas statistique . . . 77
4.4.2 Cas déterministe . . . 83
5 Distribution de photons intriqués en polarisation par démulti-plexage en longueur d’onde 97 5.1 Dispositif Expérimental . . . 97
5.1.1 Optimisation du retournement de polarisation. . . 98
5.1.2 Optimisation de la répartition de polarisation . . . 100
5.1.3 Mesure des coïncidences . . . 101
5.2 Optimisation de la conception de la source. . . 102
5.2.1 Optimisation des lentilles . . . 102
5.2.2 Compensation de la phase . . . 103 5.3 Optimisation de la détection. . . 104 5.3.1 Cas déterministe . . . 105 5.3.2 Cas statistique . . . 111 5.4 Résultats expérimentaux . . . 114 5.4.1 Séparation Déterministe . . . 115 5.4.2 Séparation Statistique . . . 119
5.4.3 Estimation des pertes et du couplage . . . 123
5.4.4 Comparaison avec les prédictions du chapitre 4 . . . 123
Conclusion 129
A Grille ITU 133
B Transmission des WDM 135
C Diode Eagleyard 139
D Données constructeur des démultiplexeurs DGG et DGFT 141 E Circuit électronique de la boite de coïncidences employée dans le
iv Table des matières F Influence de la PDL sur l’état intriqué et le paramètre de Bell S 147 G Complément mathématique du modèle du chapitre 4 151
G.1 Calcul des probabilités . . . 153
G.1.1 Cas Déterministe . . . 154
G.1.2 Cas Statistique . . . 155
Table des figures
1.1 Schéma illustrant une génération de fréquence somme dans un milieu présentant une non-linéarité d’ordre 2. Schéma de génération de fréquence somme tiré de [Boy08] . . . 7
1.2 Représentation dans le cas dégénéré de la fluorescence paramétrique de type I, cas d’un cristal uniaxe . . . 13
1.3 Représentation dans le cas dégénéré de la fluorescence paramétrique de type II, cas d’un cristal uniaxe . . . 13
1.4 Visibilité théorique normalisée pour les bases à 0 degrés et 45 degrés . . 19
2.1 Démultiplexeur à 8 canaux de sortie . . . 24
2.2 Crosstalk entre deux canaux ajdacents . . . 26
2.3 Espacement irrégulier entre deux canaux adjacents . . . 26
2.4 Comparaison entre deux formes de canaux de même largeur spectrale,Flat-Top à gauche et Gaussien à droite . . . 27
2.5 Conséquence du jitter fréquentiel de pompe dans le cas a) de canaux de type Flat-Top et b) de canaux de type Gaussien . . . 27
2.6 Pertes d’insertion d’un démultiplexeur . . . 28
2.7 Schéma représentant la séparation d’une longueur d’onde λ1 dans le cas
d’un démultiplexeur à technologie DTF . . . 29
2.8 Comparaison de la bande passante et de l’isolation de filtres à couche minces pour différent nombre de cavités. Graphe tiré de [DDF03] . . . . 29
2.9 Schéma représentant un AWG à 8 canaux . . . 30
2.10 Schéma représentant un démultiplexeur à 8 canaux basé sur deux réseaux de diffraction . . . 31
2.11 Schéma représentant la transmission linéaire des nos 4 démultiplexeurs . 33
2.12 Schéma représentant la transmission logarithmique des nos 4 démultiplexeurs 34
3.1 Courbe de la phase en fonction de la longueur d’onde dégénérée de conversion de fluorescence paramétrique [KWW+95] . . . . 37
3.2 Dispositif expérimental de double pompe contrapropageante dans un crystal de PPLN [KMWA05] . . . 38
3.3 Tableau récapitulatif des mesures effectuées du paramètre S pour les 4 états de Bell [KMWZ95] . . . 38
3.4 Dispositif expérimental de l’expérience de Liang et.al. [LLL+06]. . . . . 40
3.5 Dépendance spectrale des paires de photons générées en fonction de la fréquence de pompe [ZTQ+12] . . . . 41
vi Table des figures
3.6 Dispositif expérimental de l’équipe de Zhu et.al. source totalement fibrée [ZTQ+12] . . . . 42
3.7 Dispositif expérimental de la source de photons intriqués en guide d’onde de Takesue et.al.[TFT+08]. . . . 43
3.8 Courbes de visibilité dans la base naturelle pour des valeurs d’angle du premier polariseur θs= 0 θs = 45[TFT+08] . . . 43
3.9 Choix de la longueur d’onde d’onde de pompe optimale pour générér de l’intrication [HYT+13] . . . . 44
3.10 Dispositif expérimental de l’équipe de Matsuda et.al. [MLJF+12] . . . . 45
3.11 Bande passante des photons générés . . . 48
3.12 Schéma représentant les visibilités obtenues pour trois couples différents de paires de photons signal et complémentaire [ZTQ+12] . . . . 49
3.13 Mesure du paramètre de Bell S (brut et corrigé) sur une gamme de longueur d’onde de 60 nm. Graphe tiré de [ZJDS12] . . . 49
3.14 Mesure du paramètre antidiagonal ∆Λ_ dans le cas d’un angle de tilt
ξp nul (a) et dans le cas d’un angle de tilt ξp égal à 38 degrés (b)(angle
formé entre le front d’onde et la normale à la direction de propagation). Graphe tiré de [HSVT09] . . . 50
3.15 Mesure du nombre de coups en fonction de la longueur d’onde pour (a) un angle de tilt ξpnul et (b) égal à 38 degrés, ainsi que mesure de coïncidences
en fonction de la l’écart de pompe Λ_ dans le cas d’un angle de tilt ξp
nul (c) et dans le cas d’un angle de tilt ξp égal à 38 degrés (d). Graphe
tiré de [HSVT09] . . . 51
3.16 Schéma représentant trois cristaux de BBO tiltés respectivement de θa, θb et θc . . . 51
3.17 Représentation de la contribution spectrale de chaque cristal . . . 51
3.18 Dispositif expérimental de l’expérience de Liang et al.[LLCK06] . . . 55
3.19 Dispositif expérimental de l’expérience de Sauge et al.[SSAS+07] . . . . 55
3.20 Dispositif expérimental de Lim et al.[LYTK08] . . . 56
3.21 Courbe de la fidélité de la source en fonction du numéro de canal (a) cercle vide cas continu (b) cercle rempli cas pulsé [LYTK08] . . . 57
3.22 Courbes de visibilité en base à 0 et 45 degrés en fonction des paires de canaux [ZJD+13] . . . . 57
3.23 Tableau récapitulatif des mesures effectuées par Herbauts et al. [HBP+13] 58
3.24 Dispostif expérimental de switch optiques de Herbauts et al. [HBP+13]. 59
3.25 Tableau récapitulatif des mesures effectuées avec toutes les combinaisons de swtich par Herbauts et al. [HBP+13] . . . . 59
3.26 Tableau récapitulatif des valeurs de visibilités pour toutes les paires de canaux de l’AWG [AM13] . . . 60
3.27 Graphe récapitulatif des valeurs de brillance pour toutes les paires de canaux de l’AWG [AM13] . . . 60
4.1 Dispositif expérimental adopté de la séparation de photons jumeaux par démultiplexage en longueur d’onde . . . 67
4.2 Schéma descriptif des signaux de déclenchement de la boite de coïncidence, des détecteurs A et B ainsi que de la fenêtre de coïncidence "ET" . . . . 68
4.3 Optimisation de la température du cristal pour le rendement de fluores-cence paramétrique. . . 68
Table des figures vii
4.4 Illustration d’un faisceau Gaussien tiré de [For] . . . 68
4.5 Évolution du rendement de génération de seconde harmonique en fonction des paramètres physiques w0 (waist du faisceau dans le cristal) et T
(température du cristal) [Smi10] . . . 69
4.6 Séparation statistique d’une paire de photons par démultiplexage. Cas a) fréquence moitié de pompe confondue avec la fréquence de centre du canal, cas b) fréquence moitié de pompe différente de la fréquence de centre du canal . . . 76
4.7 Séparation déterministe d’une paire de photons par démultiplexage. Cas a) fréquence moitié de pompe confondue avec la fréquence centre entre les maximas des deux canaux, cas b) fréquence moitié différente de la fréquence centre entre les maximas des deux canaux . . . 76
4.8 Filtre idéal : les canaux sont de forme spectrale rectangulaire et ont une transmission égale à l’unité. La fréquence centrale du filtre coïncide avec le point équidistant entre les maximas des deux canaux . . . 77
4.9 Evolution des visibilités source et système en fonction de la probabilité de génération de SPDC dans le canal du démultiplexeur . . . 79
4.10 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les différents démultiplexeurs dans le cas d’une séparation statistique. . . . 80
4.11 Evolution de p0 en fonction de la brillance pour chaque démultiplexeur. 82
4.12 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les différents canaux d’un même démultiplexeur (DTF et AWG) . . . 85
4.13 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les différents canaux d’un même démultiplexeur (DGG et DGFT) . . . 86
4.14 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les mêmes canaux des différents démultiplexeurs testés ITU(23,25) . . . 89
4.15 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les mêmes canaux des différents démultiplexeurs testés ITU (22,26). . . 90
4.16 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les mêmes canaux des différents démultiplexeurs testés ITU (21,27). . . 91
4.17 Comparaison de l’évolution des visibilités source et système entre les mêmes canaux des deux démultiplexeurs à technologie identique mais forme spectrale différente (DGG et DGFT) . . . 92
4.18 Evolution de p0 en fonction de la brillance pour chaque couple ITU de
chaque démultiplexeur . . . 93
4.19 Dispositif expérimental permettant d’estimer le taux de couplage dans la fibre . . . 94
4.20 Évolution du rapport αopt en fonction du rapport ξ [SDF+13] . . . 95
5.1 Dispositif expérimental pour générer de l’intrication en polarisation par double passage . . . 99
5.2 Configuration expérimentale de contrôle de polarisation pour des démul-tiplexeurs PM (DGG et DGFT) . . . 101
5.3 Configuration expérimentale de contrôle de polarisation pour des démul-tiplexeurs non PM (DTF et AWG) . . . 102
5.4 Évolution du nombre de coïncidences HH, VV, HV et VH en fonction de la position de translation du compensateur de Babinet-Soleil . . . 104
viii Table des figures
5.5 Retard entre les paires de photons dans le cas d’une séparation
détermi-niste pour le couple ITU (23,25) . . . 106
5.6 Retard entre les paires de photons dans le cas d’une séparation détermi-niste pour le couple ITU (22,26) . . . 107
5.7 Retard entre les paires de photons dans le cas d’une séparation détermi-niste pour le couple ITU (21,27) . . . 108
5.8 Coïncidences HH et VV en fonction du délai optique a) avec inversion du branchement des fibres b) sans inversion du branchement des fibres . . . 108
5.9 Influence de la taille de la fenêtre de coïncidences sur les corrélations HH et VV en séparation déterministe . . . 109
5.10 Influence de la taille de la fenêtre de coïncidences sur les corrélations HV et VH en séparation déterministe . . . 110
5.11 Correspondance entre retard optique et électronique a) Sans compensation de retard b) Avec compensation de retard . . . 111
5.12 Évolution du nombre de coïncidences HH, VV, HV et VH en fonction du délai électronique pour 4 tailles de fenêtres de coïncidences . . . 112
5.13 Retard entre les paires de photons dans le cas d’une séparation statistique113 5.14 Influence de la taille de la fenêtre de coïncidences sur les corrélations HH, VV, HV et VH en séparation statistique . . . 114
5.15 Courbe de visibilité HH dans les deux bases pour les couples de canaux ITU du DTF . . . 116
5.16 Courbe de visibilité VV dans les deux bases pour les couples de canaux ITU du DTF . . . 117
5.17 S en fonction de la taille de la fenêtre de coïncidences . . . 118
5.18 Courbes de visibilités pour les démultiplexeurs DTF et AWG [ITU (22,26)]120 5.19 Courbes de visibilités pour les démultiplexeurs DGG et DGFT [ITU (22,26)]121 A.1 Grille ITU pour des canaux de sortie de largeur fréquentielle égale à 100 GHz . . . 134
B.1 Courbes de transmission linéaire des 4 démultiplexeurs testés . . . 136
B.2 Courbes de transmission logarithmique des 4 démultiplexeurs testés . . 137
C.1 Correspondance entre longueur d’onde et résistance du laser de pompe Eagleyard . . . 140
D.1 Données constructeur des caractéristiques du DGG . . . 142
D.2 Données constructeur des caractéristiques du DGFT . . . 143
E.1 Circuit électronique de la boite de coïncidences . . . 146
F.1 Dépendance du paramètre de Bell S en fonction de la PDL . . . 149
G.1 Schéma du dispositif expérimental ; SPDC : Fluorescence paramétrique, BS : Beam Splitter 50-50, FA et FB : filtres, DA1, DA2 ,DB1 et DB2 : détecteurs de photons uniques. . . 151
G.2 Spectre de transmission du filtre rectangulaire utilisé dans ce modèle, νI est la fréquence centrale, ∆νI la largeur spectrale, XI la transmission (I = A, B) . . . 151
Liste des tableaux
1.1 Tableau récapitulatif des conditions d’accord de phase pour cristaux uniaxes 10
2.1 Tableau comparatif des caractéristiques des différents démultiplexeurs à notre disposition (canaux de 100 GHz). Pour les valeurs de crosstalk, elles sont données pour une échelle maximale à 0 dB . . . 32
3.1 Tableau récapitulatif des sources présentées, CW : faisceau de pompe continu, F : fidélité, SPDC : Fluorescence paramétrique, FWM : Mélange à 4 ondes, WaveG : Guide d’onde, Integ : Source intégrée, ∆λ : largeur spectrale, les valeurs suivies d’un astérisque sont corrigées (ceci indique pour les visibilités et pour le paramètre S que les coïncidences accidentelles ont été déduites) . . . 47
3.2 Tableau récapitulatif des moyens d’obtenir des sources large bande, CW : faisceau de pompe continu, SP : Simple Passage, EPM : Extended Phase Matching, DA : Dispersion Angulaire, PC : Périodicité Croissante, CS : Cristaux en Série, SPDC : Fluorescence paramétrique . . . 53
3.3 Tableau récapitulatif des sources utilisant du démultiplexage en longueur d’onde, CW : faisceau de pompe continu, la visibilité est donnée en % et F représente la fidélité . . . 61
4.1 Tableau récapitulatif des caractéristiques I1, I2, XAet XB du canal ITU
24 pour les différents WDM testés . . . 78
4.2 Tableau récapitulatif du facteur de qualité dans le cas du canal ITU 24 pour les différents WDM testés . . . 82
4.3 Tableau récapitulatif des délais optimaux entre les différents couples de canaux testés . . . 83
4.4 Tableau récapitulatif des valeurs de I1A, I1B, I2, XA et XB pour chaque
couple de canaux ITU . . . 87
4.5 Tableau récapitulatif des valeurs de facteur de qualité calculés pour chaque couple de canaux ITU . . . 88
5.1 Tableau récapitulatif rapportant les différentes valeurs de α en fonction des lentilles d’injection testées. . . 103
5.2 Délai optimal entre les voies de détection dans le cas d’une séparation déterministe . . . 106
5.3 Vraies coïncidences, coïncidences accidentelles et contraste pour 4 tailles de fenêtres de coïncidences (DTF ITU (23,25)) . . . 111
x Liste des tableaux
5.4 Délai optimal entre les voies de détection dans le cas d’une séparation statistique . . . 113
5.5 Tableau récapitulatif pour la séparation déterministe du DTF . . . 118
5.6 Tableau récapitulatif de paramètre S pour trois tailles différentes de fenêtres de coïncidences . . . 118
5.7 Tableau comparatif entre les 4 démultiplexeurs pour la séparation déter-ministe du couple ITU (22,26) . . . 119
5.8 Tableau récapitulatif des données obtenues en séparation déterministe . 122
5.9 Tableau récapitulatif des données obtenues en séparation statistique . . 124
5.10 Tableau comparatif avec les prédictions des expériences en photons ju-meaux. Xi(0) . . . 125
5.11 Tableau du nombre de coïncidences en fonction de la position de la lame demi-onde devant le coupleur. Le facteur de perte est défini comme étant le rapport des coïncidences d’une même paire avant et après retournement. On prend ici la moyenne de la valeur obtenue pour le retournement de HH et de VV. . . 126
Remerciements
Je tiens premièrement à remercier mes directrices de thèse Mme Eleni Diamanti et Mme Zaquine, pour le travail de suivi et d’encadrement qu’elles ont fourni. Durant ces 3 années, elles ont toujours été disponibles pour répondre à toute question que j’avais, et j’ai vraiment ressenti un beau travail d’équipe qui m’a fait apprécier encore plus la recherche. Je remercie beaucoup Mr Robert Frey avec qui mon travail de stage et de début de thèse a été très agréable et très fructueux. Il m’a beaucoup formé et je lui en suis reconnaissant.
Je souhaite remercier mes rapporteurs de thèse Mme Sara Ducci et Mr Pascal Besnard pour le temps qu’ils ont consacré à la lecture de mon manuscrit et pour toutes les remarques pertinentes qu’ils m’ont fourni. Je leur suis très reconnaissant d’avoir accepté d’être dans mon jury de thèse. Je souhaite aussi remercier Mr Rob Thew, Mr Gaetan Messin, Mr Cyril Drag, et Mr Fetah Ben Abid pour avoir accepté d’être dans mon jury de thèse.
J’adresse un grand remerciement à Mr Imad Agha et Mr Pascal Desfonds qui m’ont encadré durant mes deux premières années de thèse et de qui j’ai beaucoup appris, surtout au niveau des compétences expérimentales. Je remercie aussi Mlle Meriem Stamboul et Mlle Ekatherina Boldyreva qui m’ont beaucoup aidé dans l’acquisition de mes données expérimentales. Je remercie Mr Gérard Mouret et Mr Patrick Bush qui ont fourni leur aide dans la partie électronique relative à mes expériences. Je n’oublie pas de remercier aussi Mr Alain Croullebois pour toutes les pièces mécaniques et je souligne que ça a toujours été un plaisir de travailler avec lui, en particulier grâce à sa rigueur et rapidité.
Je remercie Mr Jean-Loup Smirr et Mr Sylvain Guilbaud pour le travail qu’ils ont fourni et qui m’a été utile en complément de mon travail expérimental. Je les remercie aussi pour avoir été présents lorsque j’avais besoin de leur aide au laboratoire. Je remercie Mme Sophie Charlotte Barrière et Mr Gilbert Papalia pour leur assistance dans les problèmes informatiques rencontrés.
Je remercie aussi toutes les personnes qui m’ont encouragé, Mr Christian Darlot, mes amis et en particulier ma famille qui m’ont toujours fourni tout le soutien nécessaire à l’aboutissement de cette thèse.
Introduction
L’information quantique a connu depuis 30 ans un développement extraordinaire, grâce à une mobilisation très importante de la communauté internationale sur ce nouveau champ d’application de la physique quantique. Si l’ordinateur quantique reste une perspective de long terme, les communications et en particulier la cryptographie quantique, voient dès aujourd’hui se développer des produits commerciaux. En effet, dans un contexte où les quantités de données échangées par des interlocuteurs distants ne cessent d’augmenter et où la sécurisation des communications est devenue une préoccupation quotidienne, la promesse d’une sécurité non conditionnée à la puissance de calcul de l’éventuel espion constitue un enjeu majeur.
Malgré les récents progrès de la cryptographie à variables continues, basée sur l’utilisation d’états cohérents de la lumière et de moyens de détection classiques, la solution de choix pour les réseaux de communication à longue distance reste aujourd’hui celle des variables discrètes, pour laquelle l’information est encodée sur l’état quantique de photons uniques ou de paires de photons intriqués. Les performances de cette technique, sont déterminées par la qualité des sources et des détecteurs utilisés et de nombreux travaux ont été consacrés à ces composants au cours des dernières années. Par ailleurs, l’intrication est au cœur des protocoles de cryptographie et elle est une ressource de base pour le futur répéteur quantique, qui permettra de garantir la sécurité sur des distances de plusieurs centaines de kilomètres dans les années qui viennent.
Pour que l’utilisation de ces nouvelles techniques de sécurisation des communica-tions se développe, il faut passer des liaisons point à point aux réseaux et la question du coût est cruciale. Il est indispensable d’optimiser la gestion des ressources, et en particulier de s’appuyer sur les infrastructures existantes, à chaque fois que cela sera possible. C’est dans le cadre de ces réseaux de communications quantiques que se situe notre travail, proposant d’utiliser, au lieu d’une source pour chaque couple d’uti-lisateurs, une source unique distribuant l’intrication à plusieurs dizaines de couples d’utilisateurs. La source étudiée est basée sur la large bande spectrale produite par la fluorescence paramétrique, sur la symétrie des fréquences signal et complémentaire des deux photons de chaque paire produite et finalement sur le démultiplexage en longueur d’onde. Cette étude expérimentale a pour but de vérifier la compatibilité du démultiplexage avec la préservation des corrélations quantiques et de définir les exigences que cela implique vis à vis des caractéristiques du démultiplexeur.
Les chapitres1et 2donnent les définitions des notions de base nécessaires à la compréhension de ce manuscrit. Le chapitre 1présente quelques rappels d’optique non-linéaire et de physique quantique permettant d’introduire respectivement le processus de fluorescence paramétrique et la notion d’intrication qui sous-tendent toute la problématique de ce travail. Le chapitre2définit le multiplexage en longueur
4 Introduction d’onde, utilisé dans le cadre des télécommunications optiques (multiplexage dense en longueur d’onde). On y introduit les différentes technologies utilisées pour le démul-tiplexage ainsi que la définition des paramètres qui caractérisent habituellement les composants utilisés pour réaliser cette fonction.
Dans le chapitre 3, j’aborde l’état de l’art, organisé en trois sous-parties : les différentes architectures de sources de photons intriqués en polarisation, les moyens d’obtenir des sources à large bande spectrale d’émission et finalement des travaux sur la distribution d’intrication par démultiplexage en longueur d’onde, dont les plus aboutis se sont déroulés en parallèle des miens, ce qui montrent l’intérêt accordé par la communauté de l’information quantique à ce sujet.
Dans le chapitre4, je présente la première partie de mon étude, portant sur une source de paires de photons jumeaux, aux longueurs d’onde des télécommunications. Deux modes de séparation des deux photons de la paire sont étudiés : une séparation statistique basée sur une lame séparatrice et une séparation déterministe basée sur le démultiplexage en longueur d’onde. Un modèle mathématique développé dans le cadre de la thèse de Jean-Loup Smirr[Smi10] pour une source impulsionnelle en séparation statistique, qui permet à partir des données expérimentales de fournir de premières prédictions sur la qualité d’intrication qu’il sera possible d’obtenir, est adapté au cas des sources en régime temporel continu et en séparation déterministe. Des résultats expérimentaux sont présentés pour des démultiplexeurs commerciaux de diverses technologies, ainsi que pour plusieurs couples de canaux, et en fonction de la puissance de pompe. Les objectifs sont d’évaluer l’homogénéité de la distribution pour un démultiplexeur donné, de les comparer entre eux et de faire le lien entre les données constructeur et les performances en distribution de paires de photons.
Dans le chapitre5, je présente la seconde partie de mon étude, sur la conception, la mise œuvre et la caractérisation d’une source de paires de photons intriqués en polarisation, basée sur le montage précédent mais avec un double passage dans le cristal pour générer l’intrication. Les spécificités de réglage sont détaillées, en particulier l’utilisation d’un interféromètre pour stabiliser la phase entre les deux composantes de l’état intriqué produit, ainsi que la compensation de cette phase. La qualité de l’intrication est caractérisée par des mesures de visibilité dans deux bases “à zéro degré” et “à quarante cinq degrés” ainsi que du paramètre de Bell S. L’importance de la largeur temporelle de la fenêtre de coïncidences est soulignée. Les résultats expérimentaux, visant à démontrer la distribution multi-utilisateurs de l’in-trication, sont analysés et comparés aux prévisions données dans le chapitre précédent.
La conclusion reprend l’ensemble des résultats obtenus et différentes pistes d’amé-lioration de notre dispositif expérimental sont proposées pour la suite de ce travail.
Chapitre 1
Notions de base
Dans ce chapitre, je donne les notions de base qui vont être utiles à la compré-hension globale de ce manuscrit. J’aborderai premièrement des notions d’optique non-linéaire en partant de l’équation de propagation, ce qui me permettra d’intro-duire la notion importante d’accord de phase, dans le cas simple de la génération de fréquence somme. Je décrirai deux processus permettant de générer des paires de photons corrélés. La fluorescence paramétrique, processus du second ordre et qui sera au cœur de mon travail expérimental présenté dans les chapitres4et 5ainsi que le mélange à 4 ondes, processus d’ordre 3 que l’on peut en particulier observer dans les fibres optiques. Enfin j’aborderai l’intrication, phénomène quantique au cœur de cette thèse, dont la réalisation expérimentale est rapportée dans le chapitre 5.
1.1
Introduction à l’optique non-linéaire
1.1.1 L’équation de propagation dans un milieu non-linéaire
Pour cette sous-section, je suivrai le développement mathématique employé par R. Boyd dans son ouvrage "Nonlinear Optics : Third Edition" [Boy08].
A partir des équations de Maxwell, on obtient la forme générale de l’équation d’onde donnée par : ∇ × ∇ × ˜E + 1 c2 ∂2E˜ ∂t2 = −1 ε0c2 ∂2P˜ ∂t2 (1.1.1)
où ˜E et ˜P représentent respectivement le champ électrique et la polarisation, ε0
la permittivité du vide et c la vitesse de la lumière dans le vide. La notation "tilde" caractérise les quantités qui varient rapidement avec le temps.
Le premier membre de gauche de (1.1.1) peut s’exprimer par ∇ × ∇ × ˜E = ∇(∇ ˜E) −
∇2E. Le terme˜ ∇(∇ ˜E) peut-être omis du fait qu’il a une contribution négligeable.
En effet, si le champ ˜E a la forme d’une onde plane transverse, le terme∇ ˜E devient
nul. Plus généralement, ∇(∇ ˜E) est petit lorsque l’approximation de l’enveloppe
lentement variable est vérifiée [Boy08]. L’équation (1.1.1) devient alors : ∇2E −˜ c12∂ 2E˜ ∂t2 = 1 ε0c2 ∂2P˜ ∂t2 (1.1.2)
En optique non-linéaire, la polarisation peut-être développée en puissances crois-santes du champ selon l’équation :
6 Notions de base
˜
P (t) = ε0[χ(1)E(t) + χ˜ (2)E˜2(t) + χ(3)E˜3(t) + ... + χ(n)E˜n(t)]
˜
P (t) = ˜P(1)+ ˜P(2)+ ˜P(3)+ ... ˜P(n) (1.1.3)
où χ(l)représente la susceptibilité non-linéaire d’ordre l. Cette formulation suppose
une réponse instantanée du milieu non-linéaire et n’est donc valable que s’il est sans pertes et non dispersif. Il est possible de décomposer la polarisation en partie linéaire et non-linéaire : ˜ P = ˜P(1)+ ˜P(N L) ˜ P = ε0[χ(1)E(t)] + ˜˜ P(N L) (1.1.4) Le champ de déplacement électrique ˜D donné par ˜D = ε0E + ˜˜ P s’exprime alors
par :
˜
D = ε0E + ˜˜ P(1)+ ˜P(N L)= ˜D(1)+ ˜P(N L) (1.1.5)
Ce qui donne pour l’équation (1.1.2) : ∇2E −˜ ε1 0c2 ∂2D˜(1) ∂t2 = 1 ε0c2 ∂2P˜(N L) ∂t2 (1.1.6)
Un milieu est dit dispersif lorsque les différentes composantes fréquentielles d’une onde électromagnétique qui le traversent, ne se propagent pas à la même vitesse.
Dans le cas d’un milieu sans pertes et non dispersif, la relation entre ˜D et ˜E
devient ˜D(1) = ε0ε(1)E où ε˜ (1) représente le tenseur diélectrique indépendant de la
fréquence. Dans le cas isotrope ε(1) devient une quantité scalaire et l’équation (1.1.6)
devient : − ∇2E +˜ ε (1) c2 ∂2E˜ ∂t2 = − 1 ε0c2 ∂2P˜(N L) ∂t2 (1.1.7)
Pour la suite nous allons supposer que nous sommes dans un milieu dispersif et sans pertes et dans ce cas l’équation (1.1.7) n’est plus valable. Il est possible d’exprimer les déplacements linéaires, champs électriques ainsi que polarisation en une sommation sur les fréquences possibles. On obtient ainsi une décomposition en série de Fourier de ces trois champs :
˜ E(r, t) =Ø n ˜ En(r, t) ˜ D(1)(r, t) =Ø n ˜ Dn(1)(r, t) ˜ P(N L)(r, t) =Ø n ˜ Pn(N L)(r, t) (1.1.8)
où la somme se fait uniquement sur les fréquences positives avec les variables r et t qui représentent respectivement les dépendances spatiales et temporelles, et où chaque composante fréquentielle est représentée par :
˜ En(r, t) = En(r)e−iωnt+ CC ˜ D(1)n (r, t) = Dn(1)(r)e−iωnt+ CC ˜ Pn(N L)(r, t) = Pn(N L)(r)e−iωnt+ CC (1.1.9)
1.1. Introduction à l’optique non-linéaire 7
Figure1.1: Schéma illustrant une génération de fréquence somme dans un milieu
présentant une non-linéarité d’ordre 2. Schéma de génération de fréquence somme
tiré de [Boy08]
L’équation d’onde (1.1.6) devient pour chaque composante fréquentielle, dans un milieu considéré sans pertes :
∇2E˜n− ε(1)(ω n) c2 ∂2E˜n ∂t2 = 1 ε0c2 ∂2P˜(N L) n ∂t2 (1.1.10)
1.1.2 La génération de fréquence somme
Après avoir développé les différentes formes de l’équation d’onde ainsi que des composantes du champ ˜E et ˜P , je peux maintenant passer à la présentation du
phé-nomène non-linéaire de génération de fréquence somme. Nous considèrerons toujours que le milieu dans lequel nous travaillons est sans pertes.
La génération de fréquence somme permet à partir de l’interaction de deux champs ˜E1 et ˜E2 (que nous considérons dans ce cas monochromatiques et continus)
aux fréquences respectives ω1 et ω2, la génération d’un troisième champ résultant
˜
E3 à la fréquence ω3 = ω1+ ω2. La figure1.1 illustre un exemple de génération de
fréquence somme dans un milieu présentant une non-linéarité d’ordre 2.
L’équation (1.1.10) doit être valide pour chaque composante fréquentielle du champ décrit et en particulier pour le champ A3 résultant de la génération de
fréquence somme. En l’absence de terme non-linéaire, l’équation (1.1.10) décrivant la propagation d’un champ ˜E3 à ω3 suivant l’axe (Oz) a pour solution :
˜
E3(z, t) = A3ei(k3z−ω3t)+ CC (1.1.11)
avec k3 = n3cω3, n23 = ε(1)(ω3) et A3 étant l’amplitude constante de l’onde (CC
représente le complexe conjugué). La même expression est valable pour les champs
A1 et A2 et il est possible de donner ainsi une forme générique de l’équation1.1.11
avec un indice i où i = 1,2 ou 3 : ˜
Ei(z, t) = Aiei(kiz−ωit)+ CC (1.1.12) Lorsque le terme non-linéaire dans l’équation (1.1.10) est non nul et petit, la solution de l’équation différentielle garde la même forme, mais A3 devient fonction
8 Notions de base
˜
P3(z, t) = P3e(−iω3t)+ CC (1.1.13)
Son amplitude s’exprime par :
P3 = 4ε0def fA1A2ei(k1+k2)z (1.1.14)
avec def f = χ
(2)
2 . En injectant les équations (1.1.11), (1.1.13) ainsi que (1.1.14)
dans l’équation d’onde (1.1.10) on obtient une équation différentielle en A3 de la
forme suivante : d2A3 dz2 + 2ik3 dA3 dz = −4def fω32 c2 A1A2e i(k1+k2−k3)z (1.1.15)
Le premier terme de l’équation (1.1.15) peut être négligé en adoptant l’ap-proximation de l’enveloppe lentement variable qui implique l’inégalité suivante (| d2A
3
dz2 |<<| k3dAdz3 |) [Boy08]. Dans ce cas l’équation (1.1.15) devient :
dA3
dz =
2idef fω32
k3c2
A1A2eiδkz (1.1.16)
où δk = k1 + k2 − k3 est appelé le désaccord de phase. A3 s’exprime selon
l’équation : A3(L) = 2idef fω3 2A 1A2 k3c2 (e iδkL− 1 iδk ) (1.1.17)
Dans le cas où δk = 0, l’amplitude A3 croît linéairement avec L et par conséquent
son intensité croît quadratiquement selon L. Lorsque cette condition est satisfaite, l’onde générée maintient une relation de phase fixe avec la polarisation non-linéaire et on peut ainsi extraire l’énergie des ondes incidentes de la façon la plus efficace. En se plaçant dans les conditions de l’approximation paramétrique (qui consiste à considérer que les intensités des ondes à ω1 et à ω2 sont grandes et que l’on peut
négliger la variation de leurs amplitudes due à l’interaction non-linéaire au cours de la propagation suivant z) l’expression de l’intensité de l’onde générée dans le processus de fréquence somme est donnée par [Boy08] :
I3= 8def f2ω32I1I2 n1n2n3ε0c3 L2sinc2 3δkL 2 4 (1.1.18) Cette approximation n’est valable que dans la mesure où le rendement du processus non-linéaire de fréquence somme reste faible (< 10%). Il est bon de noter que l’efficacité du processus décroît lorsque | δk | L croît. Ceci s’explique par le fait que si L est supérieur à π/δk, l’onde résultante sera en déphasage avec la polarisation non-linéaire. On définit donc une longueur de cohérence Lcoh = π/δk. L’équation (1.1.18) peut-être ramenée à une forme plus explicite et compacte, mettant en valeur
l’importance de la condition d’accord de phase [Boy08] :
I3 = I3(max)
5sin(δkL/2)
(δkL/2)
62
(1.1.19) L’équation (1.1.19) prédit que tout désaccord de phase engendre une chute immé-diate de l’efficacité du processus de génération de fréquence somme d’où l’importance
1.1. Introduction à l’optique non-linéaire 9
de maintenir δk = 0.
Afin de réaliser expérimentalement des conditions d’accord de phase dans un milieu non-linéaire comme un cristal, on exploite sa biréfringence. La biréfringence exprime la dépendance de l’indice de réfraction avec la direction de la polarisation de l’onde. Les cristaux qui ont une structure cristalline cubique sont isotropes et ne présentent donc pas de biréfringence (Il est impossible d’obtenir l’accord de phase dans ce cas là. On parle alors de quasi-accord de phase, que nous allons introduire dans la partie suivante). Par contre on a de la biréfringence dans le cas de cristaux dont la structure cristalline est trigonale, tétragonale ou hexagonale ainsi que pour les cristaux tricliniques, monocliniques ou orthorhombiques.
Dans le cas d’un cristal biaxe, les trois indices de réfraction sont différents selon l’axe cristallin, soit nz Ó= nx Ó= ny. On qualifie d’uniaxe tout cristal ayant un axe cristallin différent des deux autres tel que nz Ó= nx = ny. Cet axe est appelé axe extraordinaire ou axe optique. Le faisceau lumineux polarisé perpendiculairement au plan contenant le vecteur de propagation þk et l’axe optique est appelé polarisation ordinaire et subit un indice de réfraction ordinaire no. Par conséquent dans le cas uniaxe nz = ne et nx = ny = no [Bru05]. Je m’intéresse par la suite aux cristaux uniaxes uniquement. Le faisceau lumineux polarisé selon le plan contenant le vecteur de propagation þk et l’axe optique a une polarisation extraordinaire et subit un indice de réfraction ne(θ) qui dépend de θ, angle formé entre l’axe optique et le vecteur d’onde þk, donné par la relation :
1 n2 e(θ) = sin 2(θ) ¯ n2 e +cos 2(θ) n2 o (1.1.20) où ¯ne = ne(90) est l’indice d’une onde qui se propage perpendiculairement à l’axe optique. Dans cette situation, on définit la biréfringence par la relation suivante :
δn = ne− no (1.1.21)
On distingue deux cas, l’un où δn > 0 (uniaxial positif) et l’autre où δn < 0 (uniaxial négatif). Afin d’aboutir à l’accord de phase dans un cristal biréfringent, on fait en sorte que l’onde de fréquence la plus élevée, soit ω3= ω1+ ω2, soit polarisée
selon la direction qui a le plus petit indice de réfraction. On peut montrer que c’est une condition nécessaire pour satisfaire la condition d’accord de phase ∆k = 0 qui s’exprime selon l’équation1.1.22 :
∆k = 0
k3− k2− k1 = 0
n3ω3− n2ω2− n1ω1 = 0
n3ω3 = n2ω2+ n1ω1
(1.1.22)
Dans le cas d’un cristal uniaxe négatif par exemple, ceci correspond à choisir le mode extraordinaire correspondant à une polarisation dans le plan défini par l’axe optique et la direction de propagation pour l’onde à la fréquence ω3. Les deux
types d’accord de phase possibles sont le type I, où les deux ondes aux fréquences respectives ω1 et ω2 ont la même polarisation, et le type II, où leurs polarisations
10 Notions de base Table 1.1: Tableau récapitulatif des conditions d’accord de phase pour cristaux
uniaxes
Uniaxe positif Uniaxe négatif
(ne> no) (no> ne)
Type I no3ω3 = ne1ω1+ ne2ω2 ne3ω3 = no1ω1+ no2ω2
Type II no
3ω3 = no1ω1+ ne2ω2 ne3ω3 = ne1ω1+ no2ω2
sont orthogonales. Un récapitulatif de ces deux types d’accord de phase est donné dans le tableau 1.1pour le cas d’un cristal uniaxe.
L’accord de phase est obtenu en ajustant l’angle θ, afin d’obtenir une valeur ne(θ) pour laquelle δk = 0. Cependant un problème apparait dans le cas de l’accord de phase utilisant la biréfringence. En effet, pour toute valeur de θ différente de 0 ou 90 degrés, le vecteur de Poynting þS et le vecteur þk ne sont plus parallèles dans le cas de propagation selon l’axe extraordinaire. Ceci résulte en une divergence entre les faisceaux ordinaires et extraordinaires générant un walkoff qui limite le recouvrement spatial entre les deux ondes et réduit ainsi l’efficacité du processus non-linéaire. Pour certains cristaux, la biréfringence est très dépendante de la température. Il est ainsi possible de réaliser la condition d’accord de phase en gardant θ fixe à 90 degrés et en variant la température du cristal.
1.1.3 Quasi-accord de phase
Dans le cas où le milieu non-linéaire ne possède pas ou peu de biréfringence, ces conditions d’accord de phase deviennent irréalisables. La technique de quasi-accord de phase peut alors être utilisée comme solution alternative.
Un matériau polarisé périodiquement est une structure fabriquée de façon à ce que l’orientation d’un des axes cristallins, souvent l’axe c d’un matériau ferroélectrique subisse une inversion périodique du moment dipolaire. Une inversion de la direction de l’axe c a pour conséquence l’inversion du signe du coefficient non-linéaire de couplage def f. Ainsi, à chaque fois que l’onde générée traverse une distance égale à la longueur de cohérence Lcoh, l’inversion du signe de def f a lieu, permettant à l’amplitude de cette onde de continuer à augmenter. Il est possible d’exprimer ceci de façon mathématique en notant la dépendance spatiale du coefficient non-linéaire de couplage par [Boy08] :
d(z) = def fsign[cos(
2πz
Λ )] (1.1.23)
où Λ représente la période de pas optimale. Dans l’équation (1.1.14), le terme
def f doit être remplacé par la quantité d(z). Il est utile de développer cette quantité en série de Fourier : d(z) = def f ∞ Ø m=−∞ Gmexp(ikmz) (1.1.24)
1.2. La fluorescence paramétrique 11
où km = 2πm/Λ et Gm = (2/mπ)sin(mπ/2). En effectuant la dérivation de chaque champ par rapport à z, on assume qu’une seule composante de d(z) fournit le couplage entre les différentes ondes. Ainsi l’équation1.1.16 devient :
dA3
dz =
2iω3dQ
n3c
A1A2eiδkQz (1.1.25)
où dQest le coefficient non-linéaire dépendant de l’ordre de Fourier m tel que dQ=
def fGm et où le désaccord de phase à l’ordre m est donné par δkQ= k1+k2−k3+km. A noter que l’équation (1.1.25) est analogue à celle obtenue dans le cas de l’accord de phase (1.1.16) pour un matériau homogène, à l’exception qu’elles incluent des valeurs différentes pour le coefficient non-linéaire de couplage def f et le désaccord de phase δk. Du fait de la tendance de dQ à décroître lorsque m croît, il est souhaitable d’aboutir aux conditions de quasi-accord de phase en étant à l’ordre 1 (m = 1) pour lequel : δkQ= k1+ k2− k3− 2 π Λ dQ= ( 2 π)def f (1.1.26)
On en déduit que la période de pas optimale pour la condition de quasi-accord de phase est donnée par :
Λ = 2π
k1+ k2− k3
= 2Lcoh (1.1.27)
En résumé, le quasi-accord de phase présente un grand avantage lorsque le ma-tériau utilisé n’est pas assez biréfringent pour satisfaire δk = 0. Celui-ci devient exploitable pour la génération d’effets non-linéaires désirés.
Un autre avantage du quasi-accord de phase est qu’il est possible pour une longueur d’onde choisie et une périodicité de pas donnée, de modifier l’indice en variant la température jusqu’à obtenir une longueur de cohérence Lcoh qui vérifie l’équation
1.1.27. Cependant, une régulation en température devient nécessaire (les fluctuations thermiques diminuent l’efficacité et nuisent à la stabilité en amplitude du phénomène non-linéaire généré). Le renversement périodique de l’axe cristallin nécessite une technique de fabrication coûteuse et délicate. Cette technique consiste à appliquer rigoureusement un champ électrique intense (de l’ordre de 22 kV/mm) pendant une durée de quelques millisecondes, sur une distribution périodique d’électrodes sur la surface du cristal. Elle permet une inversion périodique du moment dipolaire [GM97].
1.2
La fluorescence paramétrique
Comme la fréquence somme, la fluorescence paramétrique ou "spontaneous para-metric down-conversion" (SPDC) en anglais, est un phénomène d’optique non-linéaire d’ordre 2. Elle permet de générer à partir d’un photon dit de pompe de fréquence
12 Notions de base d’onde ks et ki, dis signal et complémentaire, respectivement. C’est donc le phéno-mène inverse de la génération de fréquence somme. Ce processus doit satisfaire la conservation d’énergie [CP05] :
ωp = ωs+ ωi (1.2.1)
ainsi que la condition d’accord de phase [CP05] :
kp = ks+ ki (1.2.2)
La condition de conservation de l’énergie (1.2.1), implique une symétrie des fréquences signal et complémentaire par rapport à la fréquence moitié de la pompe. Il existe trois types d’accord de phase comme dans le cas de la génération fréquence somme expliqué dans la section 1.1, que nous détaillons ci-après. La fluorescence paramétrique étant un phénomène purement quantique, il n’est pas possible de continuer d’utiliser un formalisme classique d’optique non-linéaire pour le détailler. Je continuerai par la suite avec un formalisme quantique d’optique non-linéaire.
Dans un processus de fluorescence paramétrique de type I, les photons signal et complémentaire de la paire générée ont la même polarisation. La relation d’accord de phase détermine les directions d’émission de ceux-ci. La figure 1.2
représente le cas dégénéré pour lequel ωs= ωi. L’angle du cône est lié à la fréquence du photon généré. Le processus non-linéaire est régi par l’Hamiltonien d’interaction donné par [CP05] :
ˆ
HI = ¯h.η. ˆas†. ˆai†+ H.C (1.2.3)
où ˆas† et ˆai† sont respectivement les opérateurs de création des photons signal et complémentaire, H.C le conjugué Hermitien, η∝ χ(2)E3avec E3étant l’amplitude du
champ cohérent classique et où on utilise l’approximation paramétrique permettant de négliger la variation de l’amplitude de pompe.
Le processus de fluorescence paramétrique de type II, se différencie quant à lui par le fait que les deux photons de la paire ont des polarisations orthogonales. Ils sont émis selon deux cônes, l’un relatif à l’axe ordinaire (o) et le second relatif à l’axe extraordinaire (e) comme représenté par 1.3. L’Hamiltonien d’interaction est donné par :
ˆ
HI = ¯h.η.( ˆaVs†. ˆaHi†+ ˆaHs†. ˆaVi†) + H.C (1.2.4)
où les termes ˆaVs†, ˆaHs†, ˆaVi†et ˆaHi† sont les opérateurs de création de photons de
polarisation horizontale et verticale pour le signal et le complémentaire [CP05]. Dans un accord de phase de type 0, les faisceaux de pompe, signal et complémentaire sont tous polarisés selon le même axe optique du cristal. Ceci permet d’éviter les risques de walkoff spatial et temporel dus à la biréfringence entre les trois. Cependant, dans une configuration d’aller-retour dans le cristal, les deux polarisations horizontale et verticale auront une vitesse de propagation différente due à une différence d’indice. On aura donc toujours la présence d’un walk-off temporel qui faudra compenser. Le type 0 est réalisé pour une condition de quasi-accord de phase. Dans la partie expérimentale de ce manuscrit (chapitres4et5), les cristaux de
1.3. Le mélange à 4 ondes 13
Figure 1.2: Représentation dans le cas dégénéré de la fluorescence paramétrique de
type I, cas d’un cristal uniaxe
SPDC de Type I
crystal non-linéaire
Photon idler
Photon signal
Photon de pompe
Figure 1.3: Représentation dans le cas dégénéré de la fluorescence paramétrique de
type II, cas d’un cristal uniaxe
SPDC de Type II
crystal non-linéaire
Photon idler
Photon signal
Photon de pompe
PPLN (Periodically Poled Lithium Niobate) sont utilisés en quasi-accord de phase de type 0. Afin de satisfaire cette condition, nos cristaux sont régulés en température.
1.3
Le mélange à 4 ondes
Dans les matériaux dits centrosymétriques, tels que les fibres optiques en silice, le coefficient non-linéaire d’ordre 2 est nul et le processus de fluorescence paramétrique n’y est donc pas réalisable. On peut cependant générer des paires de photons corrélés par un processus d’ordre 3 : le mélange à 4 ondes. Trois ondes aux fréquences ωi, ωj et ωk se propageant dans une fibre optique peuvent interagir et donner naissance à de nouvelles ondes aux fréquences [Fer11] :
14 Notions de base
ωijk= ωi+ ωj− ωk (1.3.1)
Tout comme les autres processus non-linéaires le mélange à 4 ondes impose une conservation d’énergie et d’impulsion, la dernière nécessitant un accord de phase. Considérons le cas où 2 photons aux fréquences ω1 et ω2 sont annihilés et où 2
autres photons aux fréquences ω3 et ω4 sont créés. La conservation d’énergie implique
[Fer11] :
ω1+ ω2= ω3+ ω4 (1.3.2)
La condition d’accord de phase est donnée par :
δk = k4+ k3− k1− k2
= (n3ω3+ n4ω4− n1ω1− n2ω2)/c
(1.3.3) où ki représente la constante de propagation à la fréquence ωi. L’indice de réfraction ni est fonction de ωi à cause de la dispersion dans la fibre optique. Le rendement du mélange à 4 ondes est d’autant plus grand que la dispersion est faible. En pratique, il est facile de satisfaire la condition d’accord de phase dans le cas dégénéré où ω1 = ω2. Dans ce cas, un faisceau de pompe puissant ω1 = ω2 = ωp génère une onde à la fréquence ω3 < ω1+2 et une deuxième à la fréquence ω4 > ω1+2.
On appelle les bandes de fréquences auxquelles appartiennent les ondes aux fréquences
ω3 et ω4 respectivement les bandes Stokes et anti-Stokes. Les photons aux fréquences
ω3 et ω4 sont respectivement appelés signal et complémentaire. La différence de
fréquence entre chaque bande et la fréquence de pompe est donnée par [Fer11] : Ωs= ωp− ω3= ω4− ωp (1.3.4) Ce paramètre montre comme dans le cas de la fluorescence paramétrique, la présence de symétrie entre photons signal et complémentaire mais cette fois, c’est par rapport à la fréquence de pompe. On observe donc deux critères intéressants dans le mélange à 4 ondes. Premièrement, la création simultanée d’une paire de photons corrélés en impulsion et énergie à partir d’un faisceau de pompe et deuxièmement, ces photons comme décrit dans (1.3.4) sont sujets à une séparation spectrale d’où la possibilité par la suite au moyen par exemple de réseaux de diffraction, de les séparer spatialement , ce qui est analogue au procédé de fluorescence paramétrique vu dans la section1.2. On verra par la suite dans le chapitre3 l’implémentation du mélange à 4 ondes dans les sources de photons pour les communications quantiques.
1.4
Intrication
Dans les sous-sections précédentes, nous avons vu deux phénomènes d’optique non-linéaire, qui permettent de générer des photons corrélés. Dans cette sous-section, nous allons définir la notion d’intrication, ainsi que sa représentation mathématique. Nous définirons par la suite l’intrication en polarisation.
On qualifie deux particules d’intriquées lorsque la mesure d’une observable sur la particule 1 détermine instantanément la mesure de cette même observable sur la particule 2 et vice versa, et cela quelque soit la distance entre elles. Je procède
1.4. Intrication 15
à l’explication de ce phénomène par son formalisme mathématique et je suivrai le développement mathématique adopté dans l’ouvrage de Le Bellac [LB07].
Soit deux systèmes quantiques A et B indépendants. Les espaces de Hilbert des états de ces deux systèmes sont donnés par HA de dimension dA et HB de dimension dB. A et B étant indépendants, l’état global du système A est défini par le vecteur d’état |φAê ≡ |φê ∈ HA et l’état global du système B est défini par le vecteur d’état |χBê ≡ |χê ∈ HB. Par conséquent on peut considérer |φê ⊗ |χê comme un vecteur appartenant à l’espace de Hilbert produit tensoriel de HA et HB de dimension dA× dB. En choisissant une base orthonormée |iê, i = 1, ..., dAde HA et |mê, m = 1, ..., dB, on peut choisir deux vecteurs arbitraires |φê ∈ HA et |χê ∈ HB et les décomposer sur ces bases, ce qui donne :
|φê = dA Ø i ci|iê |χê = dB Ø i dm|mê (1.4.1)
Dans l’espace HA× HB les couples |iê , |mê forment une base orthonormée et le produit tensoriel des vecteurs noté |φ ⊗ χê s’écrit dans cette base :
|φ ⊗ χê =Ø i,m
cidm|i ⊗ mê (1.4.2)
Après vérification de la linéarité de l’opération produit tensoriel [LB07] : |φ ⊗ (χ1+ λχ2)ê = |φ ⊗ χ1ê + λ |φ ⊗ χ2ê
|(φ1+ λφ2) ⊗ χê = |φ1⊗ χê + λ |φ2⊗ χê
(1.4.3) il reste à vérifier que sa définition est indépendante du choix de la base. Soit |kê et |pê deux bases orthonormées de HA et HB déduites des bases |iê et |mê par des transformations unitaires respectives R(R−1 = R†) et S(S−1 = S†) :
|kê =Ø i Rki|iê |pê =Ø m Spm|mê (1.4.4)
D’après l’équation (1.4.2) le produit tensoriel est donné par : |k ⊗ pê =Ø
k,m
RkiSpm|i ⊗ mê (1.4.5)
La décomposition de |φê et |χê dans les bases |kê et |pê est donnée par : |φê = dA Ø k=1 ck|kê |χê = dB Ø p=1 dp|pê (1.4.6)
16 Notions de base Le produit [LB07] :
Ø k,p
ckdp|k ⊗ pê = |φ ⊗ χê (1.4.7) montre que le résultat de |φ ⊗ χê est indépendant de la base.
Lorsque les deux systèmes ne sont plus indépendants, le vecteur d’état général sera de la forme :
|ΦABê = Ø i,m
bim|i ⊗ mê (1.4.8)
Afin d’écrire le vecteur |ΦABê comme un produit tensoriel |φ ⊗ χê, il faut pouvoir factoriser bim sous la forme cidm, ce qui est impossible sauf si les systèmes sont indépendants.
Dans le cas où |ΦêAB ne peut s’écrire comme le produit tensoriel d’un état du système A par un état du système B, l’état |ΦêAB est appelé état intriqué. Dans notre cas, on s’intéresse à des paires de qubits, c’est à dire que les syst-mes A et B correspondent à des espaces de Hilbert de dimension 2.
Un qubit est un système quantique décrit par une superposition linéaire de deux états orthogonaux tel que :
| Φê = α | 0ê + β | 1ê (1.4.9)
où α et β représentent les amplitudes de probabilité. La probabilité lors d’une mesure d’obtenir l’état | 0ê est donnée par | α |2 et la probabilité d’obtenir l’état | 1ê est donnée par | β |2. Ceci impose la condition suivante :
| α |2+ | β |2 = 1 (1.4.10)
Voici un exemple d’état intriqué d’une paire de qubits :
| ΦêA,B = γ | 0êA| 0êB+ eiφζ | 1êA| 1êB (1.4.11) où les indices A et B représentent les 2 qubits, φ la phase et où γ et ζ représentent les amplitudes de probabilité. On définit dans l’espace de Hilbert quatre états maximalement intriqués pour lesquels le terme de phase φ = 0 :
| Φ+êA,B= 1 √ 2(| 0êA| 0êB+ | 1êA| 1êB) | Φ−êA,B= 1 √ 2(| 0êA| 0êB− | 1êA| 1êB) | Ψ+êA,B= 1 √ 2(| 0êA| 1êB+ | 1êA| 0êB) | Ψ−êA,B= 1 √ 2(| 0êA| 1êB− | 1êA| 0êB) (1.4.12)
Il est essentiel de noter qu’un état intriqué contient de fortes corrélations qui ne sont pas reproductibles classiquement. Ces corrélations sont purement quantiques
1.4. Intrication 17
car aucune information sur l’état intriqué ne peut-être révélée par une mesure locale sur l’un des deux qubits.
L’information n’est pas associée avec l’un des deux qubits pris seuls mais plutôt avec ce qu’ils partagent. Les qubits intriqués doivent donc être considérés comme une entité à part entière de leur création jusqu’à leur mesure. Essayer de décrire un qubit individuel (appartenant à une paire intriquée) n’a pas de sens vu que son état n’est pas défini. Dans la partie suivante, nous allons voir comment ceci s’applique en particulier à la polarisation et comment mettre expérimentalement en évidence, la présence d’intrication.
1.4.1 Intrication en polarisation
En ce qui concerne l’intrication en polarisation, je vais définir les états d’intri-cation pour les deux types d’accord de phase type I et type II. Je vais me baser sur des exemples de génération de paires de photons par fluorescence paramétrique. Dans ce cas, on considère le photon comme un qubit présentant un état de polari-sation que l’on peut décrire dans un espace à deux dimensions. On considère ainsi l’état de polarisation horizontale |Hê = |0ê et l’état de polarisation verticale |V ê = |1ê. Nous avons vu qu’en accord de phase de type I, les photons générés ont la même polarisation. Afin d’avoir un état intriqué, il faut donc créer une superposition cohérente et non factorisable des états de polarisation | Hê et | V ê tel que :
|Φ(φ)ê = √1
2(| Hê1 | Hê2+ e iφ| V ê
1| V ê2) (1.4.13)
Afin de réaliser une intrication avec un accord de phase de type I (ou type 0), deux configurations sont possibles. La première consiste a effectuer un double passage dans un seul cristal. Sur le chemin aller, nous avons la probabilité de générer une paire |V V ê, dont on retourne la polarisation afin d’obtenir une paire |HHê. Sur le chemin retour, nous avons la probabilité de générer une paire |V V ê. Un deuxième choix consiste à placer deux cristaux en série qui nous donne la probabilité de générer soit une paire |HHê dans l’un soit une paire |V V ê dans l’autre.
Dans le cas d’un procédé de fluorescence paramétrique avec un accord de phase de type II, l’émission des photons générés se fait selon deux cônes, l’un représentant la polarisation ordinaire, et l’autre la polarisation extraordinaire comme décrit dans la figure1.3. Lorsque l’angle θpmentre l’axe optique du cristal et la pompe augmente, les cônes formés vont rentrer en intersection et on obtient un état intriqué en polarisation donné par [KMWZ95] : |Ψ(φ)ê = √1 2(| Hê1| V ê2+ e iφ| V ê 1| Hê2) (1.4.14) 1.4.2 Inégalités de Bell
L’interprétation de l’intrication a créé dans le passé une division au sein de la communauté scientifique. Einstein ne pouvait pas concevoir que la mécanique quantique soit complète en elle-même et avait supposé l’existence de variables cachées
18 Notions de base sous-jacentes qui lèveraient le caractère probabiliste des mesures [EPR35]. La vision de Bohr quant à elle était en parfait accord avec les fondements de la mécanique quantique [Boh35]. Sa description du système par un vecteur d’état implique un indéterminisme intrinsèque [MSP+08].
Afin de remédier à ceci, Bell propose un critère qui va permettre plus tard de mettre fin à ce débat [Bel64]. Prenons le cas d’une source de photons intriqués en polarisation. Soit deux particules I et II intriquées en polarisation et soit A, A’ les mesures que l’on peut effectuer sur la particule I et B, B’ les mesures que l’on peut effectuer sur la particule II.
Selon la vision d’Einstein qui dénote que les corrélations sont établies à la source, la mesure A fournit le résultat ǫA, et la mesure A’ le résultat ǫ′A. Il en est de même pour les mesures B et B’ qui fournissent respectivement les résultats ǫB et ǫ′B (ǫA, ǫ′A,
ǫB, ǫ′B valent soit +1 soit -1). On définit le paramètre de Bell S de la façon suivante :
S = ǫB(ǫA+ ǫ′A) + ǫB′ (ǫ′A− ǫA) = ǫAǫB+ ǫ′AǫB− ǫAǫ′B+ ǫ′Aǫ′B (1.4.15) et par conséquent S est compris entre -2 et +2. Afin d’estimer une valeur moyenne de S, il faut faire des mesures sur un grand nombre de paires et estimer la somme des quatre valeurs moyennes correspondant aux quatre possibilités de mesure, soit les couples (A,B), (A’,B), (A,B’) et (A’,B’). On mesure expérimentalement :
< S >=< ǫAǫB> + < ǫ′AǫB> − < ǫAǫB > + < ǫ′Aǫ′B > (1.4.16) Dans le cas de l’intrication en polarisation, il a été défini que [CHSH69] :
S(a, a′, b, b′) = E(Ia, IIb) − E(Ia, IIb′) + E(Ia′, IIb) + E(Ia′, IIb′) (1.4.17)
E(Ia, IIb) = P (VIa, VIIb) + P (HIa, HIIb) − P (HIa, VIIb) − P (VIa, HIIb)
=< ab > (1.4.18)
où E(Ia, IIb) renseigne sur le degré de corrélation entre les mesures sur la voie I avec un polariseur tourné d’un angle a et les mesures sur la voie II avec un polariseur tourné d’un angle b. P (αIx, βIy) représente la probabilité de mesurer le photon I dans l’état |αIxê et le photon 2 dans l’état |βIyê où α, β représentent les polarisations H et V et x,y les résultats de mesure a et b.
Afin de prouver la validité de la mécanique quantique et d’invalider la théorie des variables cachées, il suffit de trouver un quadruplet d’angles qui rend le paramètre | S |> 2 et viole les inégalités. Par exemple, les angles (a, b, a′, b′) = (0, π/8, π/4, 3π/8)
permettent d’obtenir une valeur maximale de S = 2√2. Ces conditions que l’on souhaite réaliser dans cette thèse ont été obtenues par l’équipe de Aspect et.al. [AGR82] en 1982 à partir d’une source produisant des paires photons par cascade atomique et furent la première preuve expérimentale de la présence d’intrication.
1.4. Intrication 19
Figure 1.4: Visibilité théorique normalisée pour les bases à 0 degrés et 45 degrés
0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 250 N o m b re d e co ïn ci d e n ce s Angle (degrés) Base 0° Base 45° 1.4.3 Visibilité de la source
Dans le cas d’une source de photons intriqués en polarisation on mesure expé-rimentalement les corrélations entre deux voies I et II en mesurant le nombre de coïncidences d’arrivée des deux photons de la paire dans une fenêtre temporelle définie. En réglant l’angle du premier polariseur à 0 degrés, on relève le nombre de coïncidences en fonction de la valeur de l’angle du deuxième polariseur. On refait cette même mesure pour un angle du premier polariseur égal à 45 degrés (ou 22,5 degrés si les polariseurs sont remplacés par des rotateurs de polarisation). On parle dans le premier cas de mesure dans la base à 0 degré et dans le second cas de mesure dans la base à 45 degrés.
La figure 1.4.3 illustre un exemple de cette mesure, où on observe des franges d’interférence pour chaque base.
La visibilité est définie comme étant le contraste de ces franges. Elle est donnée par :
V = Nmax− Nmin
Nmax+ Nmin
(1.4.19)
Nmax représente le nombre total et maximal de coïncidences mesurées et Nmin le nombre minimal. En pratique, Nmax est égal au nombre de coïncidences totales mesurées. Ce nombre peut être ramené à la probabilité de détection de coïncidences totales PC lorsqu’il est divisé par la fréquence d’ouverture des fenêtres des détecteurs.
Nmin qui est égal à la somme des coïncidences accidentelles de doubles paires et de bruit, peut-être aussi ramené à une probabilité de détection exprimée par la somme
PAC+PT C quand il est divisé par la fréquence d’ouverture des fenêtres des détecteurs. On distingue trois types de probabilité de coïncidences : les vraies coïncidences (deux photons de la même paire arrivent dans une même fenêtre temporelle) dont la probabilité est notée par PT C, les accidentelles de doubles paires (deux photons, chacun issu d’une paire différente, arrivent dans une même fenêtre temporelle) dont
