Laser à miroirs de Bragg à excitation impulsionnelle

Laser à miroirs de Bragg et à excitation

impulsionnelle

Laser à miroirs de Bragg et à excitation

impulsionnelle

Mémoire

Jérôme Leclerc-Perron

Sous la direction de:

Résumé

L’émergence des verres dopés à l’erbium a permis le développement d’une multitude d’appli-cations. Toutefois, plusieurs de ces applications comme le LIDAR, la spectroscopie infrarouge et la génération de radiation infrarouge pour les oscillateurs paramétriques optiques pour-raient bénéficier d’un milieu possédant une large plage de gain au-delà de celle offerte par l’erbium. C’est ce que permet le thulium avec sa plage de gain s’étalant de 1.7 µm à 2.1 µm. Entraînés par les succès de l’erbium pour la production d’impulsions, plusieurs chercheurs transposent les concepts développés pour l’erbium vers le thulium. Parmi les différentes mé-thodes de conception d’une cavité laser, les cavités linéaires à rétroaction distribuée ou à miroirs de Bragg permettent la mise en place d’un laser monolithique de très petite taille. Se-lon le schéma de pompage, il est possible d’opérer un tel laser en régime continu tout comme en régime impulsionnel.

Ce document présente la mise en application d’un laser à fibre dopée thulium muni d’une cavité linéaire avec miroirs de Bragg. Dans un premier temps, nous présentons le modèle utilisé pour effectuer la simulation du comportement dynamique du laser. Ce modèle permet d’implémenter un algorithme de simulation numérique capable de prendre en considération l’excitation impulsionnelle, les effets dispersifs induits par le réseau de Bragg et les effets non linéaires intrinsèques à la fibre optique. Ensuite, on présentera la caractérisation des différentes composantes nécessaires à la réalisation du laser au thulium, notamment l’ampli-ficateur à l’erbium pour la production d’impulsions pompe de haute énergie pour l’excitation impulsionnelle du laser à fibre dopée thulium. Enfin, on présentera les performances du laser muni de miroirs de Bragg qu’on comparera aux résultats de simulations numériques.

Abstract

The emergence of erbium doped glasses has allowed the development of many technologies. However, applications such as LIDAR, infrared spectroscopy and infrared sources for optical parametric oscillators all benefit from having a wide gain bandwidth farther in the infrared than what erbium doped glasses allow. Thulium has shown to be a good candidate for such applications due to its wide gain bandwidth ranging from 1.7 µm to 2.1 µm. Inspired by the success in laser pulse generation from erbium doped media, many researchers decided to apply the knowledge acquired from erbium doped laser sources to thulium doped laser sources. We chose to use a linear distributed Bragg reflector cavity, which allows us to implement a monolithic laser of a very small size. Depending on the pumping scheme, it is possible to operate this laser in a CW regime as well as in a pulsed regime.

This document details the implementation of a thulium doped fiber laser in a linear cavity with distributed Bragg reflectors. We first develop the theoretical model used for the simulation of our laser’s dynamics. This model allows us to implement numerical simulations able to treat pulsed pumping, dispersive effects induced by the fiber Bragg grating and intrinsic nonlinear effects. We then characterize the erbium-ytterbium doped phosphate fiber amplifier used to generate pump pulses, along with the other components of the thulium doped fiber laser cavity. The numerical model is then validated by comparing numerical simulations to experimental results obtained from our thulium doped laser.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux vi

Liste des figures vii

Introduction 1

1 Modélisation 5

1.1 Mécanismes de changement d’indice et inscription des réseaux de Bragg . . 5

1.2 Développement des équations couplées . . . 7

1.3 Le thulium comme milieu actif . . . 13

1.4 Commutation du gain . . . 14

1.5 Algorithme de propagation . . . 17

1.6 Conclusion . . . 30

2 Montage expérimental et mesures de caractérisation 32 2.1 Caractéristiques de l’impulsion incidente et effet de l’amplificateur . . . 33

2.2 Caractérisation de la fibre dopée thulium . . . 35

2.3 Mise au point de la cavité laser . . . 46

Conclusion 54

Liste des tableaux

2.1 Valeurs des masses des différents composants chimiques et leur densité respec-tive à l’intérieur du coeur telles que mesurées au laboratoire de micro analyse

Liste des figures

1.1 Coefficients de réflexion et de transmission pour un réseau de Bragg centré à

1940 nm. Cet exemple considère un réseau d’une longueur de 5.5 mm. . . 12

1.2 Schéma des niveaux du thulium. Les nombres à droite représentent le temps de vie du niveau en µs (voir ref. [1]). . . 13

1.3 Approximation du schéma de pompage3_H 6 →3H4 à un système à trois niveaux. 13 1.4 Section efficace d’absorption pour une fibre dopée thulium (voir ref. [1]). . . 14

1.5 Section efficace d’émission du thulium (voir ref. [1]). . . 14

1.6 Schématisation de la commutation du gain . . . 15

1.7 Schématisation de la commutation des pertes . . . 15

1.8 Schéma de la cavité Fabry-Perot à miroirs de Bragg . . . 17

1.9 Première itération de l’algorithme de propagation. . . 21

1.10 Itération subséquente de l’algorithme. . . 21

1.11 Incidence d’une impulsion nanoseconde sur un réseau de Bragg. La figure re-présente le module de l’amplitude des deux ondes contradirectionnelles. . . 22

1.12 Comparaison entre le spectre de réflexion du réseau de Bragg (courbe en bleu) et le spectre de l’impulsion incidente (courbe en vert) . . . 23

1.13 Comparaison entre les résultats de la simulation numérique et les résultats théoriques de la réflexion et de la transmission d’une impulsion nanoseconde ayant un spectre beaucoup moins large que la largeur de bande du réseau de Bragg . . . 23

1.14 Comparaison entre la largeur spectrale du réseau de Bragg (courbe en bleu) et la largeur spectrale de l’impulsion incidente (courbe en vert). . . 24

1.15 Comparaison entre les résultats de la simulation numérique et les prédictions théoriques de la réflexion et de la transmission d’une impulsion picoseconde ayant un spectre beaucoup plus large que la largeur de bande du réseau de Bragg 24 1.16 Amplitude de la modulation de l’indice de réfraction en fonction de la position dans la fibre utilisée pour la simulation numérique . . . 25

1.17 Schéma de la cavité Fabry-Perot . . . 26

1.18 Comparaison entre la simulation numérique pour N = 42 et le résultat théo-rique du spectre en transmission d’une impulsion picoseconde traversant la cavité Fabry-Perot décrite précédemment. . . 28

1.19 Schéma de la cavité simulée . . . 29

1.20 Comparaison entre l’impulsion pompe et l’impulsion produite par la cavité . . 30

2.1 Montage expérimental produisant le faisceau pompe. . . 33

2.3 Puissance du laser faisceau à la sortie de l’amplificateur en fonction de la

puis-sance de la diode pompe à 980 nm . . . 35

2.4 Intensité normalisée de l’impulsion amplifiée en fonction de la longueur d’onde. 35

2.5 Indice de réfraction de la fibre dopée thulium selon les axes x et y en fonction

de la position. . . 36

2.6 Approximation du profil d’indice. . . 36

2.7 Photo de la fibre de gain prise par un SEM. . . 36

2.8 Graphique de la fréquence normalisée en fonction de la longueur d’onde. La

coupure des modes dans le coeur de la fibre dopée thulium est également présentée. 37

2.9 Pourcentage en poids des différents composants de la fibre dopée thulium (axe

de gauche). Pourcentage en poids de la silice (axe de droite). . . 38

2.10 Montage expérimental utilisé pour effectuer une mesure par «cut-back». N. B.

Pour les mesures prises dans le visible, le filtre passe haut fut enlevé. . . 40

2.11 Spectre en transmission du supercontinuum après 1.85 m de SMF 28 à 75, 60

et 40 % de puissance pour la source Koheras. . . 41

2.12 Mesure d’absorption pour 25.17 cm de fibre dopée thulium et signal incident

pour 7 mW . . . 42

2.13 Spectre d’absorption avant et après traitement numérique . . . 43

2.14 Mesure de l’absorption en dB/m pour plusieurs longueurs de fibre . . . 43

2.15 Fit linéaire de la puissance à la sortie en fonction de la puissance d’entrée pour

une fibre de thulium de 5.1 cm. La pente a une valeur de 21.6%. . . 44

2.16 Mesure du coefficient d’absorption de la fibre de thulium en fonction de la

longueur d’onde. . . 45

2.17 Modulation de l’indice de réfraction des deux réseaux de Bragg . . . 46

2.18 Spectre en transmission de la fibre où ont été inscrits les deux réseaux de Bragg. 47

2.19 Spectre obtenu à la sortie du laser à fibre dopée thulium en régime continu. . . 49

2.20 Schéma de la cavité laser inscrite dans la fibre dopée thulium. . . 49

2.21 Schéma du montage expérimental pour le régime de commutation du gain par

pompage impulsionnel. . . 50

2.22 Impulsion produite par l’oscillateur muni de miroirs de Bragg. . . 51

2.23 Comparaison des formes temporelles entre les simulations et les résultats

expé-rimentaux . . . 52

Introduction

L’invention du laser, au début des années 60, a révolutionné la recherche en optique. Les propriétés remarquables de ces sources de radiation cohérente ont ouvert la voie à de nombreux domaines de recherche sans cesse renouvelés par la création de nouveaux matériaux. En effet, au début des années 70, l’amélioration des technologies reliées aux diélectriques et aux guides d’ondes passifs et actifs a grandement stimulé la recherche dans ces milieux. La possibilité de produire des guides d’onde à très faibles pertes a, entre autre, contribué à la création de sources laser utilisant à profit ces nouveaux milieux.

La conjonction des nouveaux diélectriques et des sources laser a poussé certains chercheurs à explorer ces mêmes sources dans des diélectriques dont l’indice de réfraction est modifié périodiquement. Ces sources laser, que l’on nomme maintenant sources à rétroaction distribuée (DFB1_{), ne requièrent pas de miroirs. La rétroaction est plutôt produite par la diffusion de}

Bragg de deux ondes contre propageantes. Lorsque deux diélectriques avec une modulation d’indice terminent la cavité laser, on dit de ces lasers qu’ils sont munis de miroirs de Bragg. C’est en 1971 que Kogelnik et Shank [2] ont opéré, pour la première fois, un laser à colorant en utilisant des résonateurs à rétroaction distribuée. Ils ont inscrit, à l’aide de deux faisceaux UV, des réseaux dans une fine couche de gélatine. Cette gélatine fut ensuite trempée dans une solution de rhodamine 6G ; en excitant transversalement ce milieu actif par un laser UV, ils ont pu produire un signal à 0.63 µm. Ce résultat les encouragea à poursuivre leurs expériences. Très peu de temps après leur premier laser DFB, ils ont développé une nouvelle source, cette fois, accordable [3]. Pour ce faire, ils ont fait interférer deux faisceaux d’un laser au rubis et ils ont obtenu une modulation spatiale du gain et de l’indice de réfraction ; ce sont ces deux modulations qui causent la rétroaction distribuée. La variation de l’angle entre les deux faisceaux du laser au rubis permet alors d’accorder le laser en longueur d’onde. Ce montage expérimental permet d’obtenir une bonne plage sur laquelle il est possible d’accorder l’émission laser tout en conservant une bonne efficacité et une fine largeur de raie.

La rétroaction distribuée des lasers décrits ci-haut utilise une modulation en volume de l’indice de réfraction. Or, le groupe de recherche de Schinke [4] a montré qu’il était possible d’obtenir

le même effet de diffusion de Bragg en faisant varier l’épaisseur du milieu guidant. Wang et Sheem [5] ont aussi montré qu’il était possible d’inscrire des réseaux spatiaux dans deux dimensions.

C’est en 1972 qu’une première analyse théorique a été développée pour modéliser les lasers DFB. En effet, Kogelnik et Shank [6] ont développé cette première analyse théorique en se basant sur la théorie des modes couplés, laquelle suppose deux ondes contradirectionnelles s’échangeant de l’énergie par la diffusion de Bragg. Ils ont pu déterminer les fréquences de résonance ainsi que le seuil d’opération pour les modes oscillants, et ce, pour des situations de faible et de fort pompage. L’existence des bandes d’arrêt, à l’intérieur desquelles aucun mode n’oscille, a également été démontrée.

Pour que le développement des lasers DFB s’étende aux lasers à fibre, il fallut attendre que le domaine de l’inscription des réseaux de Bragg émerge ; les premiers réseaux de Bragg inscrits dans la fibre optique ont été produits par le groupe de Hill en 1978 [7]. La technique d’inscription était alors basée sur l’absorption à deux photons de la fibre optique, ce qui laissait entendre que la force de couplage du réseau (grandeur de la modulation d’indice) dépendait du carré de la puissance d’écriture. La création des réseaux de Bragg en fibre optique a ouvert la possibilité aux lasers DFB dans des systèmes tout fibre. Cependant, il fallut attendre que les techniques d’écriture de réseaux par radiation UV soient développées pour que ces systèmes deviennent envisageables.

La première démonstration d’inscription de réseaux de Bragg dans une fibre optique par rayon-nement UV fut rapportée par le groupe de recherche de Meltz en 1989 [8]. Cette technique d’inscription, qui consiste à exposer une fibre transversalement par une figure d’interférence produite par une source UV à 244 nm, s’est avérée beaucoup plus efficace. En effet, ils ont obtenu des réseaux de force comparable à ceux produits par des techniques d’inscription à deux photons avec une puissance d’écriture 6.65 · 105 _{fois plus faible !}

Bien que le développement des réseaux tout fibre de qualité soit nécessaire à l’émergence des lasers DFB, il ne faut pas négliger l’importance capitale du milieu actif. En effet, en parallèle avec le développement des réseaux de Bragg s’est fait celui des verres dopés. C’est en 1961 que E. Snitzer [9] a montré qu’il était possible d’entretenir l’effet laser du néodyme dans du verre. Les premières applications de ce type de lasers apparurent rapidement ; en 1964 C. J. Koester et E. Snitzer [10] développèrent un amplificateur optique ; des lasers à fibre pompés par des diodes laser ont également été mis en oeuvre au courant des années 70 comme source infrarouge efficace pour les télécommunications [11,12]. Au-delà des amplificateurs et des sources de radiation cohérente pour les télécommunications, une autre application qui a influencé l’avènement des verres dopés fut le besoin pour des rotateurs de Faraday comme isolateur optique [13]. Cependant, c’est le besoin constant pour des amplificateurs optiques toujours plus performants qui, au milieu des années 80, a le plus stimulé le développement

des verres dopés aux terres rares. L’émergence de ces verres dopés a permis le développement des premiers lasers et amplificateurs à fibre dopée à l’erbium [14,15].

La conception des amplificateurs à l’erbium a révolutionné le domaine des télécommunica-tions. L’avènement de ce type d’amplificateur a grandement augmenté la capacité de transfert des systèmes de télécommunication. Ces systèmes, bien que très performants, se couplent à merveille avec la technologie des réseaux de Bragg. Ces derniers, lorsqu’intégrés aux ampli-ficateurs à l’erbium, peuvent alors servir de stabilisateurs pour la pompe, de miroirs pour la pompe et permettent aussi l’aplatissement de la plage de gain. La combinaison des deux tech-nologies est d’ailleurs devenue un standard dans les amplificateurs à fibre dopée à l’erbium. On retrouve également une application des réseaux de Bragg dans les lasers à fibre de haute puissance. Ce type de laser utilise des fibres à double gaine ; ces dernières consistent en une première région, multimode, dans laquelle on injecte la pompe et un coeur dopé, monomode, duquel la puissance laser est extraite. En ajoutant un élément de rétroaction, comme un réseau de Bragg, on obtient une cavité laser qui peut supporter de très grandes puissances.

Le développement des verres dopés aux terres rares a permis l’émergence de plusieurs ap-plications. Toutefois, certaines d’entre elles bénéficieraient d’un matériau possédant une très large plage de gain au-delà de celle de l’erbium ; parmi ces applications, citons : le LIDAR, qui requiert des sources compactes, efficaces et sécuritaires pour les yeux ; la génération de radiation infrarouge dans les oscillateurs paramétriques optiques ; le télémètre optique et la télédétection en général ; la spectroscopie infrarouge et la contre-mesure optique. C’est préci-sément ce que permet le thulium avec sa très large plage de gain (∼ 400 nm) de ∼ 1.7 − 2.1 µm[1]. De plus, les différentes plages d’absorption du thulium suggèrent qu’il est possible de pomper la fibre de thulium à l’aide d’une diode laser ou d’un laser à l’erbium.

Entraînés par l’engouement des lasers à l’erbium, les premiers lasers à fibre dopée au thulium apparurent eux aussi vers la fin des années 80 [16,17]. Les cavités utilisées initialement étaient très classiques, consistant généralement en un bout de fibre situé entre deux miroirs pour créer une cavité de type Fabry-Perot. Puis, naturellement, les recherches ont progressé ; très rapidement des lasers accordables sur plus de 250 nm furent mis en oeuvre [18,19], exploitant la large plage de gain du thulium. Un élément biréfringent est intégré à la cavité pour ajuster activement la longueur d’onde d’opération du laser.

Lors de la même période (fin du vingtième siècle), on assiste au développement des premiers lasers à fibre produisant des impulsions brèves. Inspirés par les divers succès dans l’erbium, certains chercheurs transposent l’idée des lasers à impulsions brèves aux lasers à fibre de thulium ; toutefois, le progrès est beaucoup plus lent. Quelques articles apparaissent dans les années 90 [20,21], mais la plus grande partie des travaux sur le sujet s’effectue un peu plus tard, dans les années 2000. La première réalisation d’un laser pulsé dans une fibre de thulium a été faite par D. C. Hannah et ses associés en 1992. Pour ce faire, ils ont monté une cavité

linéaire dans laquelle un modulateur à semi-conducteur servant à la fois de modulateur en amplitude et d’absorbant saturable est introduit. Il a ainsi été possible de produire des impul-sions de 6 ns ayant une puissance crête allant jusqu’à 0.54 W à 810 nm. Quelques années plus tard, en 1995, une cavité capable de produire des impulsions femtosecondes ajustables entre 1798-1902 nm est produite par H. A. Haus et ses associés. Dans ce cas, il s’agit d’une cavité en anneau, la synchronisation modale étant effectuée par rotation non linéaire de la polarisation. La fréquence centrale est sélectionnée en ajustant des lamelles de verre biréfringent.

D’autres cavités, produisant des impulsions de durée dans les microsecondes, sont rapide-ment produites. Une technique couramrapide-ment utilisée est de faire la commutation du gain par l’utilisation d’une pompe pulsée de haute puissance. C’est ce que proposent T. A. King et S. D. Jackson [22, 23]. Toutefois, bien que la puissance de ces lasers soit très élevée (éner-gie dans les mJ), les impulsions obtenues sont chaotiques. Des lasers déclenchés (Q-switch) présentent également une solution à la production d’impulsions [24, 25, 26]. Ces lasers sont produits en insérant des modulateurs, passifs ou actifs, dans les cavités. La modulation cau-sée par l’insertion de ces composantes vient alors modifier les pertes en fonction du temps, et conséquemment, les lasers produisent des impulsions. Les lasers à synchronisation modale présentent également une alternative incontournable pour des impulsions brèves de l’ordre de la ps ou de la fs [21,27].

Le présent projet de maîtrise, quant à lui, se situe quelque part à travers tous ces travaux. Il s’agit en fait d’une cavité linéaire à miroirs de Bragg à excitation impulsionnelle. On utilise ainsi la commutation de gain dans une cavité laser compacte. L’idée n’est pas entièrement nouvelle ; des chercheurs ont appliqué ce concept aux lasers à fibre de thulium [28]. Toutefois, la cavité produite par M. Jiang et P. Tayebati n’est pas monolithique, et les réseaux de Bragg utilisés ne sont pas inscrits directement dans la fibre de gain. De plus, aucune analyse théorique n’est fournie.

Le projet sera alors scindé en deux grands volets, le volet théorique, et le volet expérimental. Le volet théorique portera sur une analyse des différentes composantes du laser et des conditions d’oscillation de ce dernier. Un code numérique servant à simuler la propagation d’une onde à l’intérieur de la cavité sera développé ; ce code sera en mesure de considérer la dispersion induite par le réseau de Bragg et les effets non linéaires intrinsèques à la fibre optique. À la lumière de cette partie, une analyse expérimentale de la cavité sera effectuée. Il sera alors possible de caractériser le rayonnement laser émis. Les expériences permettront finalement de comparer le modèle théorique et numérique aux expériences.

Chapitre 1

Modélisation

1.1 Mécanismes de changement d’indice et inscription des

réseaux de Bragg

Le réseau de diffraction est un outil couramment utilisé en optique moderne. Il peut être décrit comme étant un élément modifiant périodiquement la phase ou l’amplitude d’un signal s’y propageant ou s’y réfléchissant. Avec l’avènement de la fibre optique, il est devenu possible d’écrire des réseaux capables de moduler la phase d’un signal à l’intérieur même du coeur d’une fibre optique. C’est ce qu’on appelle un réseau de Bragg. Ces réseaux sont réalisés en modifiant périodiquement l’indice de réfraction via différents processus d’ionisation, de nature linéaire ou non-linéaire. Bien que l’importance relative de ces différents mécanismes de changement d’indice ne soit pas parfaitement connue, on présentera ici un survol de ces derniers.

L’idée à la base de l’écriture des réseaux de Bragg est d’exciter un électron de la bande de valence vers la bande de conduction. Les électrons ainsi éjectés peuvent être recombinés ailleurs dans la matrice de verre, causant une densification locale du matériau. Cette densification est à l’origine du changement d’indice. Les mécanismes d’ionisation peuvent être d’origine linéaire, via l’absorption des centres de couleur, ou d’origine non-linéaire, via l’absorption simultanée ou séquentielle de photons, l’ionisation par collisions électroniques successives, l’effondrement par avalanche électronique, la filamentation et le claquage optique. L’avantage des méthodes non-linéaires par rapport à l’ionisation linéaire est que ce sont des mécanismes universels. Il devient alors possible d’écrire des réseaux dans n’importe quel matériau hôte, en autant qu’une source capable de produire une très forte intensité soit à portée de main. Au contraire, l’excitation des centres de couleurs se base sur les défauts dans une matrice de germano-silicate, mais ne requiert pas de source laser ultra-intense.

L’absorption via les défauts d’une matrice de germano-silicate, aussi appelée le modèle des centres de couleurs, constitue l’une des principales façons d’induire un changement d’indice

dans une fibre optique. L’énergie d’ionisation des défauts d’un verre de silice est généralement plus faible que celle du verre de silice lui-même. Conséquemment, lorsqu’on envoie un signal optique sur de tels défauts, on éjecte un électron, lequel pourra se recombiner ailleurs dans la matrice de verre. Ce mécanisme affecte localement la densité du matériau et donc, son indice de réfraction. Toutefois, l’excitation des centres de couleur cause également un photonoircis-sement qui entraîne des pertes en propagation selon le temps d’exposition. Pour amoindrir cet effet, il est possible d’effectuer un recuit thermique. Cette méthode diminue toutefois la valeur de la modulation de l’indice de réfraction car le chauffage viendra replacer certains électrons sur leur site originel. Comme la diminution de la variation de l’indice de réfraction est plus faible que la diminution des pertes, il est donc possible de diminuer les pertes sans trop en affecter l’amplitude de la modulation de l’indice. Il faut ainsi trouver un juste milieu entre modulation d’indice et pertes en propagation.

D’autres mécanismes faisant intervenir l’ionisation non-linéaire peuvent également modifier les propriétés structurelles d’une fibre optique. C’est le cas de l’absorption des porteurs libres. En effet, il est possible de déplacer un électron dans la bande de conduction vers des niveaux d’énergie de plus en plus élevés par l’absorption successives de photons. Ce phénomène li-bère des électrons de plus faible énergie. Il devient alors possible pour la matrice d’accepter de nouveaux porteurs libres dans la bande de conduction, modifiant localement l’indice de réfraction.

Dans le cas de l’ionisation multiphotonique, plusieurs photons sont absorbés simultanément pour envoyer un électron de la bande de valence vers la bande de conduction. On libère donc encore des niveaux de plus faibles énergie pour accepter de nouveaux porteurs libre, causant encore une fois une densification du matériau.

Il est également possible d’ioniser un matériau par l’effet de collisions successives d’électrons. Ce phénomène vient du fait qu’il est possible d’accélérer des électrons libres déjà présents dans la bande de conduction sous l’effet d’un champ électrique intense. Ces derniers peuvent alors entrer en collision avec d’autres électrons et être ensuite accélérés à leur tour. Si l’énergie est suffisamment élevée et atteint un certain seuil, un effet de cascade se poursuit alors jusqu’à saturation et peut causer un effondrement par avalanche électronique, ce qui module également l’indice de réfraction d’un matériau. Cet effet peut mener au claquage optique.

Le claquage optique peut également être responsable d’une modification de l’indice de ré-fraction d’un verre. Ce phénomène prend place lorsque la densité électronique à l’intérieur du diélectrique est si grande qu’elle permet le passage d’un courant électrique dans le verre. Lorsqu’on atteint le seuil pour obtenir un claquage optique, le nuage électronique se comporte comme un plasma ; ce dernier entre en résonance avec le laser et absorbe ainsi son énergie. La pression et la température augmentent à un point tel que la matrice de verre explose et forme des micro-vides, modifiant grandement l’indice de réfraction. Ce mécanisme de

modu-lation d’indice cause cependant beaucoup de pertes ; la modumodu-lation de l’indice de réfraction est toutefois beaucoup plus stable thermiquement en comparaison à l’ionisation des centres de couleurs.

Enfin, la filamentation est un mécanisme non-linéaire faisant intervenir la non-linéarité Kerr. En effet, l’indice de réfraction d’un matériau dépend de l’intensité. Lorsqu’un faisceau gaussien très intense est focalisé, le centre du faisceau voit un indice de réfraction plus élevé que les côtés du faisceau, créant un effet de lentille. Il y a alors production d’un filament très intense dans le matériau. La filamentation est bénéfique de deux façons : elle favorise les différents mécanismes d’ionisation non-linéaire dans un diélectrique et elle permet d’avoir un signal uniforme sur la longueur du coeur. Ainsi, il est possible d’écrire des franges uniformes à l’intérieur du coeur d’une fibre optique.

C’est par une combinaison de ces différents mécanismes qu’on écrira les réseaux de Bragg dans la fibre dopée utilisée pour les expériences rapportées dans ce mémoire. Dans le cas qui nous intéresse, les réseaux sont écrits par une source de 800 nm doublée en fréquence produisant des impulsions d’une durée d’environ 120 fs. Dans une telle situation, les mécanismes principaux sont l’ionisation multiphotonique, l’ionisation des centres de couleur ainsi que la filamentation. La filamentation, outre le fait qu’elle ionise le milieu et donc crée une zone propice à la recombinaison de porteurs libres, joue un rôle important d’une autre nature. Elle permet la modification de l’indice sur toute la longueur du filament, ce qui permet la création de franges de densité uniforme.

Le choix du signal source, quant à lui, est inspiré de l’ionisation multiphotonique. En effet, s’il l’on requiert six photons à 800 nm pour éjecter un électron, seulement trois photons sont requis à 400 nm. L’absorption à trois photons étant beaucoup plus efficace qu’à six, il sera, en théorie, plus facile d’imprimer une grande modulation dans l’indice de réfraction du verre hôte. On verra plus tard, lors de la description des expériences, que l’écriture des réseaux pose des défis.

1.2 Développement des équations couplées

La présence d’un réseau de Bragg dans une fibre optique vient grandement modifier la pro-pagation d’un faisceau optique. Une façon de traiter ce problème est de considérer deux ondes contradirectionnelles indépendamment tout en conservant un terme de couplage ; c’est la théorie des modes couplés, initialement développée par Kogelnik et Shank en 1972 [6], dans le cadre des lasers à rétroaction distribuée dans des gélatines dopées à la rhodamine 6G. Cette section présentera les étapes principales au développement des équations des modes couplés et sera basée sur les deux livres de G. P. Agrawal [29,30].

des fréquences :

∇2_E˜_{+ ¯(ω, z)ω}2_/c2_E˜ _{= 0, (1.2.1)}

où ˜Eest le champ électrique dans le domaine spectral. Dans le cas d’un réseau de Bragg inscrit dans une fibre optique dopée, il est nécessaire d’inclure la nature non linéaire du matériau hôte, le gain ainsi que la modulation de l’indice :

¯(ω, z) =  z }| { 1 + Re[χ(1) xx] + ∆ z }| { Im[χ(1) xx] + N L+ δg(z) . (1.2.2)

N L est lié aux effets non linéaires, Im[χ(1)xx] est lié au gain et δg(z) est la perturbation due

à la présence d’un réseau dans la fibre optique. On exprime le champ des deux ondes se propageant dans la fibre optique comme étant :

˜

E = F (x, y)[A+eiβBz+ A−e−iβBz

| {z }

A(z)

] = F (x, y)A(z). (1.2.3) On introduit ce champ dans l’équation de Helmholtz :

∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 ! F(x, y)A(z) + ˜(ω, z)ω2/c2F(x, y)A(z) = −F (x, y)∂ 2 ∂z2A(z), (1.2.4)

ce qui permet d’écrire : 1 F(x, y) ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 ! F(x, y) + (ω, z)ω2/c2= −1 A(z) ∂2A(z) ∂z2 = ˜β 2_{. (1.2.5)}

Bien que (ω, z) dépende de z, on l’inclut dans la partie des modes transverses car la partie qui dépend de z est une perturbation. En considérant que l’enveloppe varie lentement en z, la propagation d’une onde s’écrit comme :

2iβBeiβBz ∂A+ ∂z −2iβBe −iβBz∂A− ∂z = −( ˜β 2_{− β}2 B)A+eiβBz−( ˜β2− βB2)A−e −iβBz_, (1.2.6)

où βB = π/Λ. Cette équation représente la propagation dans la fibre. Toutefois, la constante ˜β

n’est pas bien définie ; il faut traiter l’équation des modes transverses. Cependant, ∆ affecte la constante ˜β ainsi que la distribution modale F (x, y). De façon analogue on pose :

¯β = ˜β + ∆˜β (1.2.7)

¯

F = F + ∆F. (1.2.8)

On considère maintenant les équations perturbée et non perturbée en parallèle pour obtenir l’expression de la constante ¯β : d2F¯ dx2 + d2F¯ dy2 + ¯F  k₀2¯(ω) − ¯β2= 0 (1.2.9a) d2F dx2 + d2F dy2 + F  k2₀(ω) − ˜β2= 0. (1.2.9b)

On multiplie les équations1.2.9aet1.2.9bpar F∗_{et ¯F}∗ _{respectivement. On soustrait les deux}

équations résultantes et on trouve :



¯β2_{− ˜β}2

F ¯F∗ = k2₀(¯− )F ¯F∗− ¯F ∇2⊥F − F∗∇2⊥F .¯ (1.2.10)

Puisque ∆F est petit, il a été possible de supposer : ¯

F F∗ ≈ ¯F∗F. (1.2.11)

On intègre par rapport à x et y de chaque côté. L’intégrale de surface sur le dernier terme de droite peut se réécrire comme une intégrale de contour. Cette dernière intégrale de contour est égale à zéro puisque, à l’infini, les champs et leurs dérivées sont zéro. La dernière simplification à effectuer est de considérer ∆F négligeable, de telle sorte que l’équation 1.2.10est égale à :

¯β2_{− ˜β}2∼_{= k}2 0 R∞ −∞ R∞ −∞∆ |F |2dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F | 2 dxdy . (1.2.12) Puisque ∆β  β, on a : ¯β2_{− ˜β}2 _{≈2 ˜β∆β = 2k}

0n∆ ˜β. On peut alors écrire :

∆ ˜β ∼= k0 2n R∞ −∞ R∞ −∞(N L+ iIm[χ(1)xx] + δg(z)) |F |2dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F |2dxdy . (1.2.13) La partie imaginaire de χ(1)

xx sera éventuellement liée aux pertes et au gain. On exprime les

permittivités sous leur forme d’indice de réfraction :

(n + ∆nN L+ δng)2 =  + N L+ δg(z). (1.2.14)

Ce qui donne :

n2 =  N L= 2n∆nN L δg(z) = 2nδng. (1.2.15)

Il est maintenant possible d’avoir une expression directe pour ∆ ˜β :

∆ ˜β = iα₂ + ∆ ˜βN L+ ∆βg, (1.2.16) où : iα 2 = k0 2n R∞ −∞ R∞ −∞Im[χ (1) xx] |F (x, y)|2dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F(x, y)| 2_dxdy , (1.2.17) ∆ ˜βN L= k0 R∞ −∞ R∞ −∞∆nN L|F(x, y)|2dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F(x, y)| 2_dxdy , (1.2.18) ∆βg = k0 R∞ −∞ R∞ −∞δng(z) |F (x, y)|2dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F(x, y)| 2_dxdy . (1.2.19)

Pour un réseau de premier ordre, il est possible d’écrire δng(z) sous la forme suivante :

ce qui permet d’écrire :

∆βg = κ(e2iβBz+ e−2iβBz), κ= k0

R∞ −∞ R∞ −∞δn |F(x, y)| 2_dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F(x, y)| 2 dxdy . (1.2.21) Retournons à l’équation de propagation1.2.6. Maintenant que nous connaissons la valeur de

˜β, on peut poser ˜β2_{− β}2

B ≈2βB( ˜β + ∆ ˜β − βB). En ne conservant que les termes présentant

un accord de phase, on obtient : ∂A+

∂z = i[δ(ω) + iα/2 + ∆ ˜βN L]A++ iκA−, (1.2.22a) −∂A−

∂z = i[δ(ω) + iα/2 + ∆ ˜βN L]A−+ iκA+, (1.2.22b) où on a posé :

δ= ω − ωB vg

. (1.2.23)

Le terme α, dans les équations 1.2.22, correspond à la somme de la contribution des pertes et du gain. Les équations ci-haut correspondent aux équations de la propagation dans les réseaux de Bragg dans le domaine spectral. δ(ω) caractérise le déplacement par rapport à la fréquence de Bragg centrale et considère la dispersion à tous les ordres. À partir de ce point, on passe directement au domaine temporel et on obtient les équations présentées dans le livre de G. P. Agrawal : ∂A+ ∂z + β1 ∂A+ ∂t + α

2A+= iδA++ iκA−+ iγ(|A+|2+ 2 |A−|2)A+, (1.2.24a)

−∂A− ∂z + β1

∂A−

∂t + α

2A−= iδA−+ iκA++ iγ(|A−|2+ 2 |A+|2)A−. (1.2.24b)

Les coefficients γ, κ, δ et α caractérisent respectivement la non linéarité de la fibre, la force de couplage entre les deux modes contradirectionnels, le décalage par rapport à la fréquence centrale du réseau de Bragg et le gain dans la fibre en question. Ces deux équations constitueront les équations maîtresses pour la simulation de la cavité laser.

1.2.1 Réseaux de Bragg dans le cas linéaire

Avant de s’aventurer à résoudre numériquement les équations non-linéaires couplées pour la propagation de faisceaux dans un réseau de Bragg, on s’attardera au cas linéaire sans gain ni pertes (α = 0) et non dispersif. En effet, dans une situation où les effets non-linéaires et dispersifs sont absents, il est possible de résoudre les équations de la propagation dans le domaine spectral. Cette résolution nous permet d’obtenir beaucoup d’information sur le coefficient de réflexion ainsi que la phase ajoutée à un signal frappant un réseau de Bragg. On réécrit les équations 1.2.22sous la forme suivante :

∂A+

∂z = iδA++ iκA− (1.2.25)

−∂A−

On suppose la solution générale suivante :

A+= A1eiqz+ A2e−iqz (1.2.27)

A− = B1eiqz+ B2e−iqz. (1.2.28)

On insère les solutions ci-haut dans l’équation des réseaux de Bragg. On obtient ainsi les 4 relations suivantes :

(q − δ)A1 = κB1 (q + δ)A2= −κB2 (1.2.29)

(q + δ)B1 = −κA1 (q − δ)B2 = κA2, (1.2.30)

où δ correspond à la différence en fréquence du signal par rapport à la fréquence de Bragg et κ correspond à la constante de couplage :

δ = ω − ωB vg

κ= 2πδng

λ . (1.2.31)

À l’aide des 4 relations exposées ci-haut, on trouve que le paramètre q doit obéir à la relation de dispersion suivante :

q= ±pδ2_{− κ}2_{. (1.2.32)}

On peut également réécrire les champs A+ et A− sous la forme :

A+= A1eiqz+ rB2e−iqz (1.2.33) A−= rA1eiqz+ B2e−iqz, (1.2.34) où r= q − δ κ = −κ q+ δ. (1.2.35)

À partir d’ici, on possède tous les éléments nécessaires pour obtenir le coefficient de réflexion d’un réseau de Bragg. On écrit le coefficient de réflexion :

rg= A−(0) A+(0) = rA1+ B2 A1+ rB2 . (1.2.36)

Ceci correspond à prendre le rapport entre le signal rétro-propagé et le signal se propageant vers l’avant à l’entrée de la fibre. On pose également qu’à z = L (où L est la longueur du réseau), il n’y a aucun signal incident, tel que :

A−(L) = 0 −→ rA1eiqL+ B2e−iqL = 0, (1.2.37)

B2 = −rA1e2iqL. (1.2.38)

En remplaçant B2 dans l’équation 1.2.36, on trouve que le coefficient de réflexion pour un

réseau de Bragg est :

rg =

iκsin(qL)

Un calcul parfaitement analogue permet d’obtenir le coefficient de transmission d’un réseau de Bragg. On fait le rapport entre le signal à la sortie du réseau et celui à l’entrée :

τg= A+(L) A+(0) = A1eiqL+ rB2e−iqL A1+ rB2 , (1.2.40)

ce qui nous permet d’obtenir le coefficient de transmission : τg =

q

qcos(ql) − iδ sin(qL). (1.2.41) Il sera éventuellement utile de connaître les coefficients de réflexion et de transmission sous la forme rg = |rg| eiφrg et τg = |τg| eiφτg. On trouve ainsi les résultats suivants :

|rg|2 = κ2_sin2_(qL) q2_cos2_{(qL) + δ}2_sin2_(qL) |τg| 2₌ q2 q2_cos2_{(qL) + δ}2_sin2_(qL) (1.2.42) φrg = arctan _−q δ cotan(qL)  φτg = arctan _δ qtan(qL)  (1.2.43) Une des propriétés intéressantes des réseaux de Bragg est qu’on peut sélectionner la plage de réflexivité d’intérêt. En choisissant une zone à l’intérieur de la plage de gain d’un milieu actif, il sera possible de choisir la longueur d’onde à laquelle l’effet laser pourra être entretenu. La figure 1.1présente un exemple des coefficients de réflexion et de transmission pour un réseau centré à 1940 nm : 1938 1938.5 1939 1939.5 1940 1940.5 1941 1941.5 1942 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Longueur d’onde [nm] Transmission Réflexion

Amplitude des coefficients de transmission et de réflexion

λ=1940  [nm] Δn=0.0001 A mplitude des c oefficien ts

Figure 1.1 – Coefficients de réflexion et de transmission pour un réseau de Bragg centré à 1940 nm. Cet exemple considère un réseau d’une longueur de 5.5 mm.

1.3 Le thulium comme milieu actif

Le thulium est un milieu dopant ayant une très large plage de gain allant de 1700 à 2100 nm. Depuis la première réalisation d’un laser à fibre dopée thulium [31], plusieurs sources per-formantes ont été développées avec ce milieu, dans plusieurs schémas de pompage différents [22, 32,19,17, 33]. On présentera ici les principales caractéristiques du schéma de pompage via la transition 3_H

6 → 3H4; cette section sera basée sur l’article de S. D. Jackson et T. A.

King [1].

Pour bien modéliser le thulium, il faut traiter les différents schémas de pompage séparément. On présente, dans la figure1.2, les différentes possibilités d’excitation du thulium et le temps de vie des différents niveaux.

1.3.1 Schéma de pompage 3_H

6 →3 H4

Considérant la pompe disponible pour nos expériences, soit un laser micro-chip émettant des impulsions centrées à 1534 nm, on s’attardera plus particulièrement au cas concernant l’excitation des électrons de la bande 3_H

6 vers la bande 3H4. Ce schéma de pompage est

Figure 1.2 – Schéma des niveaux du thu-lium. Les nombres à droite représentent le temps de vie du niveau en µs (voir ref. [1]).

N1 N2 N3 W13 τ32=0 τ21=335us W12/W21

Figure 1.3 – Approximation du schéma de pompage 3_H

6 → 3H4 à un système à

trois niveaux.

remarquablement simple et peut être considéré comme un système à trois niveaux dont le niveau supérieur est toujours vide. Cette simplification est due au fait qu’on pompe les élec-trons dans le haut de la bande 3_H

4 et que ceux-ci sont quasi-instantanément désexcités vers

1.3). Il ne reste ainsi que les deux équations des niveaux suivantes : dN1 dt = −W13N1− W12N1+ W21N2+ γradN2 (1.3.1a) dN2 dt = W13N1+ W12N1− W21N2− γradN2 (1.3.1b) où : Wji= σjiIij ~ωji . (1.3.2)

Pour le thulium, les sections efficaces d’émission et d’absorption sont présentées dans l’article de Jackson et King [1] ; ces dernières montrent que, pour une pompe à 1534 nm et une longueur

Figure 1.4 – Section efficace d’absorp-tion pour une fibre dopée thulium (voir ref. [1]).

Figure 1.5 – Section efficace d’émission du thulium (voir ref. [1]).

d’onde d’émission à plus de 1900 nm, il n’est pas nécessaire de considérer la réabsorption du signal, ce qui permet de poser que W12 ≈ 0. De plus, le temps de vie d’environ 300 µs du

thulium peut être considéré comme très grand par rapport au temps de la dynamique du laser considéré, soit de la nanoseconde. Les équations1.3.3peuvent donc se réécrire sous une forme encore plus simple :

dN1

dt = −W13N1+ W21N2 (1.3.3a) dN2

dt = W13N1− W21N2 (1.3.3b) Il sera important de bien considérer la dynamique de la population des niveaux lors de la simulation numérique.

1.4 Commutation du gain

La commutation du gain1 _{est une technique utilisée pour produire des impulsions laser. La}

technique consiste à fortement pomper le milieu actif d’un laser pour l’exciter bien au-delà du

seuil puis à arrêter soudainement le pompage. Les électrons accumulés dans le niveau supé-rieur de la transition se désexciteront alors très rapidement en formant une impulsion. Cette technique s’apparente à une autre méthode pour produire des impulsions : la commutation des pertes2_. Pertes Pertes Gain Pertes Gain

Faibles pertes de la cavité

Excitation soudaine du gain au-delà du seuil

Désexcitation soudaine du gain en l’absence d’un signal pompe

Figure 1.6 – Schématisation de la commutation du gain

Pertes

Cavité à fortes pertes. Une pompe inverse le milieu

Pertes

On diminue alors rapidement les pertes

Désexcitation soudaine du gain en l’absence d’un signal pompe Pertes Gain Gain Gain Figure 1.7 – Schématisation de la commutation des pertes

La figure 1.6présente une schématisation, étape par étape, du processus de commutation du gain ; on peut également comparer ce processus à la commutation des pertes, tel que présenté à la figure 1.7.

En un premier temps, il est nécessaire d’avoir une cavité laser possédant des pertes relative-ment faibles. L’idée est alors d’inverser le milieu laser le plus rapiderelative-ment possible. Pour ce faire, on envoie une impulsion pompe très intense. Ceci a comme effet d’inverser bien au-delà du seuil laser le milieu actif. L’impulsion pompe traverse alors le milieu laser et laisse derrière

elle un milieu actif inversé bien au-delà du seuil. Les atomes de thulium ainsi excités sont accumulés au niveau supérieur de la transition menant à l’effet laser. C’est alors que com-mence la désexcitation spontanée du niveau supérieur. Cependant, le milieu actif est inversé bien au-delà du seuil, ce qui cause un gain énorme. De plus, l’impulsion initiale ayant produit l’excitation n’est plus présente pour préserver un tel état d’excitation. On observe alors une désexcitation très rapide du niveau supérieur, causant ainsi la production d’une impulsion. Ce processus est très similaire au processus de «spiking3_{». Il est également intéressant de}

faire le parallèle entre la commutation du gain et la commutation des pertes. La commutation du gain n’est en quelque sorte que l’inverse de la commutation des pertes, comme on peut le voir en comparant les figures 1.6et 1.7.

D’ailleurs, l’analogie entre la commutation du gain et des pertes pourra être confirmée via des simulations. Il sera intéressant de comparer la durée d’une impulsion laser produite par la commutation du gain à la durée prédite par la théorie de la commutation des pertes développée par Siegman [34]. Le développement des équations est très bien expliqué dans son livre sur les lasers. On présente ici les relations pour la durée τp de l’impulsion en fonction de τc (temps

d’aller-retour dans la cavité) :

τp ≈=

rη

r −1 − ln(r)· τc, (1.4.1) où

r = Inversion de population juste après le passage de l’impulsion pompe

Inversion de population seuil , (1.4.2) η = Énergie de l’impulsion produite

Énergie accumulée au niveau supérieur. (1.4.3) L’estimation de la durée τp de l’impulsion laser par les équations de la commutation des

pertes sera valide malgré le fait que le mécanisme commutant la différence entre le gain et les pertes soit différent, c’est-à-dire qu’une modulation active des pertes correspond très bien à son inverse, soit une modulation active du gain. Au bout du compte, ce n’est que la différence entre l’énergie accumulée au niveau supérieur et l’énergie seuil requise qui importe, et non pas le mécanisme qui cause cette différence.

On cherche à concevoir un laser produisant des impulsions via la commutation du gain. Pour ce faire, on opte pour une cavité compacte, du type Fabry-Perot à miroirs de Bragg. Cette dernière consiste en une cavité Fabry-Perot dans une fibre optique ayant pour miroirs des réseaux de Bragg inscrits dans une fibre active, en l’occurrence, une fibre de silice dopée au thulium. Au contraire de la fibre de silice dopée erbium, la fibre de silice dopée thulium permet un dopage de grande concentration, réduisant ainsi la longueur de la fibre et conséquemment la durée potentielle des impulsions.

FBG FBG Milieu actif

Figure 1.8 – Schéma de la cavité Fabry-Perot à miroirs de Bragg

En pompant fortement la cavité présentée ci-haut par une impulsion à 1534 nm, il sera ainsi possible de commuter le gain suffisamment pour obtenir des impulsions à 1940 nm. L’un des défis à relever, outre la production de cette cavité en laboratoire, est l’élaboration d’un programme de simulation numérique capable de considérer les multiples phénomènes intervenant dans la dynamique d’un tel laser. Il sera nécessaire d’établir un code de simulation capable de considérer la réponse dynamique des réseaux de Bragg, la dépendance temporelle de la pompe et son influence sur les niveaux atomiques. Il sera également important de considérer la dépendance spatiale et temporelle des équations des niveaux pour le thulium, de même que la déplétion de la pompe lors de sa propagation. C’est d’ailleurs ce dont nous traiterons dans les prochaines pages !

1.5 Algorithme de propagation

Les équations 1.2.24 modélisent l’évolution d’un signal dans un réseau de Bragg de force κ. Toutefois, il n’est pas possible de résoudre analytiquement ces dernières équations. Consé-quemment, il devient nécessaire d’élaborer un code de simulation numérique permettant de faire évoluer l’impulsion à travers un réseau de Bragg. Pour ce faire, plusieurs techniques ont été développées au fil des années. On s’attardera à la méthode proposée par Z. Toroker et M. Horowitz [35] car elle est simple tout en permettant de facilement modéliser la cavité Fabry-Perot munie de réseaux de Bragg dans le domaine temporel. L’idée est de modifier la technique qui sera présentée plus loin en incluant une zone où κ = 0, qui caractérisera la longueur de la cavité (en excluant les réseaux de Bragg). Cette technique consiste à poser les équations des réseaux de Bragg sous la forme :

∂tA= (D + N + G)A, (1.5.1) où on a défini : D= Vg iδ(z) iκ(z) iκ(z) iδ(z) ! (1.5.2a) N = Vg ∂z+ N−(z, t) 0 0 −∂_z+ N₊(z, t) ! (1.5.2b)

G= Vg 2 −α 0 0 −α ! (1.5.2c) N∓ = iγ  |A∓|2+ 2 |A±|2  (1.5.2d) A= A− A+ ! (1.5.2e) Ainsi, en posant le problème sous cette forme, il est possible d’écrire :

A(z, t + ∆t) ' exp(∆tD) exp Z t+∆t t N dt0 ! exp(G∆t)A(z, t). (1.5.3) 1.5.1 Développement mathématique des relations d’évolution pour un

réseau de Bragg.

La démarche, ainsi que la solution aux équations ci-haut sont bien explicitées dans l’article de Z. Toroker et M. Horowitz ; on présente toutefois les calculs pour obtenir les relations suivantes :

A−(z, t + ∆t) =eαheiδh{cos(κh) exp[hNb(z + h, t)]Ab(z + h, t)

+ i sin(κh) exp[hNf(z − h, t)]Af(z − h, t)} , (1.5.4)

A+(z, t + ∆t) =eαheiδh{cos(κh) exp[hNf(z − h, t)]Af(z − h, t)

+ i sin(κh) exp[hNb(z + h, t)]Ab(z + h, t)} . (1.5.5)

Calcul de l’opérateur dispersif e∆t·D

Commençons par l’opérateur exp(∆t · D). Pour ce faire, on a besoin du résultat suivant :

eD = UeΛU−1, D= UΛU−1. (1.5.6)

Dans l’expression ci-haut, Λ est la matrice diagonale des valeurs propres de D tandis que U est la matrice qui diagonalise D. On sait également que l’exponentielle d’une matrice diagonale est la matrice diagonale des valeurs propres. Dans notre cas, on a affaire à la matrice ∆t · D, on trouve que les valeurs propres et la matrice qui diagonalise sont données par :

λ1,2 = iδh ∓ iκh −→ h = Vg∆t, (1.5.7) et U = √1 2 1 1 −1 1 ! , U−1 = √1 2 1 −1 1 1 ! . (1.5.8)

On trouve donc : e∆t·D = UeΛU−1= 1 2 1 1 −1 1 ! eλ1 0 0 eλ2 ! 1 −1 1 1 ! , (1.5.9)

= eiδh cos(κh) i sin(κh)

isin(κh) cos(κh)

!

. (1.5.10)

Cet opérateur correspond à l’évolution d’un signal dans une fibre de Bragg sans tenir compte des effets non-linéaires. Passons maintenant à l’opérateur responsable de la non-linéarité. Calcul de l’opérateur non-linéaire exp

Rt+∆t

t N (z, t

0_)dt0

Pour l’opérateur non-linéaire, on a les deux équations suivantes :

_∂ ∂t− vg ∂ ∂z  A− = vgN−A−, (1.5.11) _∂ ∂t+ vg ∂ ∂z  A+ = vgN+A+. (1.5.12)

Pour obtenir la solution de l’opérateur non-linéaire, on utilise la transformation de coordon-nées suivante :

τ±=

vgt ± z

2 . (1.5.13)

Cette transformation correspond à prendre deux coordonnées se déplaçant avec les impulsions circulant dans les deux directions opposées. On cherche alors à exprimer l’évolution du signal rétro propagé selon τ− (ou −z) et inversement pour le signal se dirigeant dans le sens positif

et τ+. On réécrit donc selon τ± :

 _∂ ∂τ− ∂τ− ∂t − vg ∂ ∂τ− ∂τ− ∂z  A−= vgN−A−, (1.5.14)  _∂ ∂τ+ ∂τ+ ∂t + vg ∂ ∂τ+ ∂τ+ ∂z  A+= vgN+A+. (1.5.15)

De la transformation de coordonnées, on sait que : ∂τ± ∂t = vg 2, ∂τ± ∂z = ± 1 2. (1.5.16)

L’équation se simplifie grandement, et on trouve ainsi que la résolution pour un incrément ∆τ± est de : A−(τ+, τ−+ ∆τ−) = exp Z τ−+∆τ− τ− N−(τ+, τ−0 )dτ−0 ! A−(τ−, τ+), (1.5.17) A+(τ++ ∆τ+, τ−) = exp Z τ++∆τ+ τ+ N+(τ+0 , τ−)dτ+0 ! A+(τ+, τ−). (1.5.18)

Il est important que les quantités ∆τ± soient cohérentes avec l’incrément ∆t choisi pour les

transformation de coordonnées donnée, on trouve que ∆τ± = vg∆t = h. Il ne reste qu’à

traiter l’intégrale et revenir dans les coordonnées du problème. La solution de l’intégrale doit se faire numériquement. Cependant, il en revient au choix personnel quant à la technique à utiliser. Pour ma part, j’utilise l’approximation d’une intégrale à un rectangle, comme le font Z. Toroker et M. Horowitz. On obtient donc :

Z τ−+h τ− N−(τ+, τ−0)dτ−0 = hN−(τ+, τ−), (1.5.19) Z τ++h τ+ N−(τ+0, τ−)dτ+0 = hN+(τ+, τ−). (1.5.20)

Lorsqu’on revient dans le système de coordonnées initial, l’onde rétro propagée se retrouve à une position z − h tandis que l’onde propagée se déplace à une position z + h pour une évolution d’un temps ∆t. L’équation s’écrit plus précisément :

A∓(z ∓ h, t + ∆t) = exp (hN∓(z, t)) A∓(z, t), (1.5.21)

A∓(z, t + ∆t) = exp (hN∓N∓(z ± h, t)) A∓(z ± h, t). (1.5.22)

L’expression ci-haut correspond à la propagation ainsi qu’à l’évolution due aux effets non-linéaires dans un réseau de Bragg. Le gain est le dernier terme à ajouter pour prendre en compte tous les effets significatifs d’une cavité Fabry-Perot munie de miroirs de Bragg. Calcul de l’opérateur pour le gain

On a calculé les opérateurs pour simuler la propagation dans un réseau de Bragg en incluant les effets non-linéaires. On ajoute un terme de gain à ces équations. L’équation différentielle, pour la forme matricielle, s’écrit :

∂A

∂t = GA. (1.5.23)

Comme dans le cas de l’opérateur non-linéaire, on suppose que l’intégrale sur un incrément ∆t est donnée par l’approximation d’une intégrale à un rectangle. On obtient :

A(z, t + ∆t) = exp (∆tG(z, t)) A(z, t). (1.5.24)

Puisque la matrice G est diagonale et affecte les signaux contradirectionnels de la même façon, on peut mettre son expression en évidence. On obtient donc :

A(z, t + ∆t) = exp

_h· α(z, t)

2



A(z, t). (1.5.25)

Les équations développées ci-haut permettent de faire évoluer un signal dans le temps de façon numérique. Toutefois, il est important de garder la dépendance sur la population des niveaux du milieu de gain ; cette dépendance apporte une modification à cette équation, soit que α → α(z, t) = σ∆N(z, t). Il devient donc essentiel de considérer la dépendance temporelle des niveaux d’énergie du milieu de gain.

1.5.2 Schématisation de l’algorithme pour un faisceau quelconque dans une fibre sans gain

On développe alors un algorithme comprenant deux parties se calculant en parallèle. La pre-mière partie consiste à propager un signal dans les réseaux de Bragg et la deuxième consiste à considérer les équations des niveaux pour le thulium. On aura donc quatre signaux différents à considérer, soit la pompe et le signal dans les deux sens de propagation. Pour bien com-prendre l’algorithme, on commencera par considérer la propagation d’un signal quelconque dans une telle fibre de Bragg non dopée (α(t) = 0).

La simulation est effectuée de façon séquentielle. En premier lieu on définit les différents paramètres de la simulation pour tout z à t = 0. À partir de ces conditions initiales, il est ainsi possible de calculer, via les relations 1.2.24, les champs, pour toutes les positions à t = ∆t. Dans la situation particulière où le champ incident est une impulsion, on change la valeur du signal de z = 0 à chaque incrément ∆t.

t z Paramètres: Vg, a, g, k, d Champs: A+(z,0)=A-(z,0)=0 = Condition initiale t=0 t=Dt Première itération

Figure 1.9 – Première itération de l’algo-rithme de propagation. t z Paramètres: Vg, a, g, k, d Champs: A+(z,Dt) A-(z,Dt) = Condition initiale t=0 t=Dt Deuxième itération P oin ts sauv egar dés

Figure 1.10 – Itération subséquente de l’algorithme.

Cet algorithme permet d’obtenir explicitement le champ à un incrément de temps ∆t plus loin. On peut alors répéter le processus jusqu’à ce qu’une plage temporelle suffisamment grande soit couverte. Cependant, on voit qu’il y a un problème aux limites. En effet, il est possible de constater que les points extrémaux ne peuvent être déduits des expressions 1.2.24 car il manque un point pour obtenir sa valeur explicite. Le problème est facile à contourner, il ne suffit que d’interpoler la valeur de ce point en question ; bien que l’extrapolation introduise une erreur numérique supplémentaire, on peut réduire son impact en faisant en sorte que les points aux extrémités aient de très faibles valeurs. On y reviendra plus tard.

1.5.3 Simulation d’une impulsion interagissant avec un réseau de Bragg À l’aide de la méthode proposée ci-haut, nous sommes en mesure de simuler la propagation d’une impulsion interagissant avec un réseau de Bragg. On cherche ici à calculer quels sont

les effets d’un réseau de Bragg sur les champ transmis et réfléchis. Pour ce faire, on compare les résultats de la simulation numérique au résultat attendu théoriquement. On a donc :

Ein(t) = A exp ( −t2 2t2 0 ) −→ E_in(ω) =√2πAt₀exp ( −ω2_t2 0 2 ) . (1.5.26) La fréquence ω de l’expression ci-haut est centrée sur ω0, laquelle correspond à la fréquence

centrale de l’impulsion. On a vu plus tôt que les coefficients de transmission et de réflexion, pour un cas sans non-linéarité, sont donnés par :

τg =

q

qcos(qL) − iδ sin(qL) rg=

iκsin(qL)

qcos(qL) − iδ sin(qL) (1.5.27) Dans ce cas, on peut écrire que les champs transmis et réfléchis sont donnés par :

E_out+ (t) = F{τg(ω)Ein(ω)} Eout− = F{rg(ω)Ein(ω)} (1.5.28)

En utilisant les équations 1.5.4 et 1.5.5, et la grille de simulation présentée précédemment, on est en mesure de simuler la propagation d’une impulsion qui interagit avec un réseau de Bragg. Puisque cet exemple est à titre explicatif, on a choisi un cas sans non-linéarité, afin de le comparer aux expressions théoriques. On suppose donc une fibre de 2 m présentant un réseau de Bragg de quelques centimètres au centre pour simuler une impulsion se propageant dans une fibre de silice où un réseau de Bragg y est inscrit. On obtient la figure 1.11.

Te_{mps [ns}

]

Position [m]

Propagation d’une impulsion incidente sur un réseau de Bragg

Figure 1.11 – Incidence d’une impulsion nanoseconde sur un réseau de Bragg. La figure représente le module de l’amplitude des deux ondes contradirectionnelles.

Dans cette dernière figure, on peut voir la progression de l’impulsion avançant vers le réseau de Bragg. Pour ce faire, on pose un signal incident E(z = 0, N · ∆t) ; cette impulsion est ensuite

propagée. À chaque incrément ∆t, on calcule tous les points en z. En faisant l’itération de ce processus successivement, on est en mesure de simuler la propagation d’un faisceau incident sur un réseau de Bragg. Pour tracer l’impulsion à la sortie du réseau de Bragg, on prend en mémoire une rangée de points à une position z donnée derrière le réseau de Bragg (dans le cas présent, on pourrait prendre la rangée de points à z = 1.5 m). Cette façon de procéder vient complètement éliminer l’erreur par interpolation sur les bords de la fenêtre de modulation. En effet, si l’on conserve seulement en mémoire la rangée de points située bien loin du bord de la fenêtre, l’interpolation sur ces derniers points n’affectera pas la mesure. Il suffit ainsi de simuler une fenêtre trop large et d’en exclure une zone qui ne présente plus d’intérêt. En s’éloignant ainsi des bords, on s’affranchit des erreurs aux limites.

Il reste maintenant à savoir si les impulsions transmise et réfléchie correspondent bien au résultat attendu. Pour ce faire, on comparera le résultat théorique au résultat obtenu via la simulation numérique pour deux situations bien précises. En premier lieu, on comparera une impulsion longue ayant un spectre plus étroit que la plage de réflectivité du réseau de Bragg. Ensuite, on fera le même exercice pour une impulsion suffisamment courte pour avoir un spectre plus large que la plage de réflexion du réseau de Bragg.

1939. 9 1940 1940. 1 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 Longueur d’onde [nm] Coefficient de réflexion Puissance Norm a lisé e [ U A] Impulsion incidente

Largeur spectrale de l’impulsion incidente (vert) et largeur spectrale du réseau de Bragg (bleu)

Figure 1.12 – Comparaison entre le spectre de réflexion du réseau de Bragg (courbe en bleu) et le spectre de l’impul-sion incidente (courbe en vert)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 Temps [ns] P uissanc e nor malisée [U A ] Analytique Réflexion Transmission Simulation Réflexion Transmission

Champs réfléchis et transmis calculés numériquement et analytiquement

Figure 1.13 – Comparaison entre les ré-sultats de la simulation numérique et les résultats théoriques de la réflexion et de la transmission d’une impulsion nanose-conde ayant un spectre beaucoup moins large que la largeur de bande du réseau de Bragg

On envoie une impulsion nanoseconde ayant une petite largeur spectrale centrée en longueur d’onde avec le maximum de réflexion du réseau de Bragg. Il est possible de constater que le coefficient de réflexion calculé numériquement lors de l’interaction entre l’impulsion incidente et le réseau de Bragg correspond au maximum du coefficient de réflexion du réseau de Bragg.

Ceci est dû au fait que le spectre est étroit et est situé au centre de la courbe de réflexivité du réseau de Bragg ; toutes les fréquences sont en quelque sorte affectées par le même coefficient de réflexion. Ainsi, les signaux sont très peu déformés dans le domaine temporel. La situation sera toute autre pour une impulsion ayant un spectre plus large que le réseau de Bragg.

1939. 9 1940 1940. 1 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 Longueur d’onde [nm] Coefficient de réflexion Puissance Norm a lisé e [ U A]

Largeur spectrale de l’impulsion incidente (vert) et largeur spectrale du réseau de Bragg (bleu)

Impulsion incidente

Figure 1.14 – Comparaison entre la lar-geur spectrale du réseau de Bragg (courbe en bleu) et la largeur spectrale de l’impul-sion incidente (courbe en vert).

0 1 2 3 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 Temps [ns] P uissanc e nor malisée [U A ]

Champs réfléchis et transmis calculé numériquement et analytiquement Analytique Réflexion Transmission Simulation Réflexion Transmission

Figure 1.15 – Comparaison entre les ré-sultats de la simulation numérique et les prédictions théoriques de la réflexion et de la transmission d’une impulsion pico-seconde ayant un spectre beaucoup plus large que la largeur de bande du réseau de Bragg

Dans le cas d’une impulsion picoseconde (voir fig. 1.14 et 1.15) ayant un spectre plus large que celui du réseau de Bragg, il est possible de constater que le coefficient de réflexion calculé numériquement ne correspond pas au maximum du coefficent de réflexion du réseau de Bragg. En fait, contrairement au cas précédent, c’est le signal transmis qui est le plus grand malgré le coefficient de réflexion élevé du réseau de Bragg utilisé. On remarque également que les impulsions réfléchies et transmises sont fortement déformées dans le domaine temporel. Cet effet est causé par le fait que chacune des fréquences du contenu spectral n’est pas affectée par le même coefficient de réflexion ; conséquemment, une plus grande partie du spectre traverse le réseau de Bragg puisque ce dernier est très peu réflectif sur une large partie du spectre. C’est donc la modulation induite par le réseau de Bragg sur le contenu spectral qui cause la déformation de l’impulsion incidente. Il sera important de se rappeler de ce comportement, car il est essentiel de bien réfléchir la totalité du spectre si l’on veut obtenir un résultat gaussien dans le domaine temporel à la sortie de la fibre. Heureusement, puisque le régime visé est nanoseconde, il sera aisé de produire des réseaux de Bragg d’une largeur suffisante, même sans «chirp». Pour produire des impulsions plus courtes il sera éventuellement nécessaire d’utiliser des réseaux «chirpés» qui ont pour effet d’élargir la bande de réflexion.

1.5.4 La cavité Fabry-Perot munie de réseaux de Bragg : un amplificateur regénérateur

Maintenant que nous sommes en mesure de simuler la propagation d’une impulsion à travers une fibre de Bragg, il est intéressant de nous attarder aux propriétés que possèdent les ré-sonateurs à rétroaction distribuées. Pour ce faire, on applique la méthode présentée ci-haut, mais pour une cavité possédant deux réseaux de Bragg. Lorsqu’un signal frappe un réseau de Bragg, il n’est pas réfléchi spontanément comme il l’aurait été s’il avait été réfléchi sur un miroir. Le faisceau se propagera légèrement à l’intérieur du réseau de Bragg avant d’être réfléchi. Cette particularité des réseaux de Bragg affecte la longueur effective de la cavité, et conséquemment, l’espacement spectral entre les modes. Ainsi, il sera possible d’évaluer l’es-pacement entre les modes et la longueur effective de la cavité. Pour le bien de la simulation, on pose une amplitude de modulation de l’indice ayant la forme présentée à la figure 1.16.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0. 1 0.12 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 x 10−4 Position z [m] M odula tion de l ’indic e de r éfr ac tion 10 [mm] 5.5 [mm] 60 [mm]

Profil de la modulation de l’indice de réfraction de la fibre optique

Figure 1.16 – Amplitude de la modulation de l’indice de réfraction en fonction de la position dans la fibre utilisée pour la simulation numérique

Un profil d’indice modulé de la sorte représente essentiellement un interféromètre Fabry-Perot. Cependant, la présence des réseaux de Bragg affecte légèrement la position et l’espacement spectral des modes axiaux de la cavité. Pour avoir une bonne idée de cet espacement spectral, on envoie une impulsion possédant un spectre suffisamment large pour couvrir les principaux