1èreS - TP01: ALGORITHMIQUE
Somme et produit des racines d'un trinôme - Méthode d'Al-Khuwarizmi
1. Préliminaire: somme et produit des racines d'un trinôme
Considérons le trinômeax
2+
bx c
+
, aveca ≠
0
.Lorsque le discriminant
∆
est strictement positif, il admet deux racines distinctes, 12
b
x
a
− − ∆
=
et 22
b
x
a
− +
∆
=
. 1°) Démontrez quex
1x
2b
a
+
= −
, et quex x
1 2c
a
=
. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2°) Application. a) Vérifiez que1
2
x =
est solution de l'équation4
x
2+
4
x
− =
3
0
.... ... ... ... ... Calculez l'autre racine grâce aux relations démontrées dans la question précédente, sans calculer
∆
.... ... ... ... ... ... ...
b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l'équation
x
2+
5
x
− =
6
0
... ... ... ... ... ... ... ...
2. La méthode d'Al-Khuwarizmi
Pour déterminer la solution positive de l'équation:
x
2+
12
x
=
108
, voici comment procédait Al-Khuwarizmi, mathématicien arabe du IX° siècle:Diviser 12 par 2
Elever ce quotient au carré Ajouter ce carré à 108
Prendre la racine carrée de cette somme
Retrancher à cette racine carrée le quotient du début
1.a) Vérifiez que l'équation
x
2+
12
x
=
108
admet deux solutions de signes contraires, et que l'algorithme proposé donne la solution positive.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.b) Utilisez la même méthode pour déterminer la solution positive de l'équation
x
2+
16
x
=
80
.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.a) Prouvez que toute équation du type
x
2+
bx
=
c
, oùc >
0
, admet deux racines de signes contraires. Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en utilisant les relations démontrées dans la question 1).... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3. Ecriture de l'algorithme
Complétez l'algorithme suivant, qui donne la racine positive d'une équation du type
x
2+
bx
=
c
, oùc >
0
, d'après la méthode d'Al-Khuwarizmi: VARIABLES b EST_DU_TYPE_NOMBRE c EST_DU_TYPE_NOMBRE x1 EST_DU_TYPE_NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE b LIRE c x1 PREND_LA_VALEUR ... AFFICHER x1 FIN_ALGORITHME4. Lancement du logiciel Algobox
S'il n'apparaît pas directement sur votre bureau, le logiciel Algobox se trouve dans le dossier "Maths". Un fois le logiciel lancé, vous obtenez une fenêtre qui ressemble à ceci:
Dans la première fenêtre blanche, vous pourrez écrire des
commentaires décrivant votre algorithme.
La seconde fenêtre blanche contiendra votre algorithme. Pour écrire une nouvelle ligne de l'algorithme, il faudra d'abord cliquer sur "nouvelle ligne",
puis cliquer sur l'un des boutons qui sont en bas de page selon le type d'instruction que contient la ligne que l'on souhaite ajouter à l'algorithme.
5. Utilisation du logiciel Algobox
Algorithme sous Algobox.Saisissez l'algorithme de la question 3 dans le logiciel Algobox.
Racine carrée: sqrt(...). Mise au carré d'une variable
x
: pow(x
,2). Test de l'algorithme.Nous allons tester l'algorithme sur l'équation
x
2+
12
x
=
108
. Cliquez sur "tester algorithme". Une nouvelle fenêtre s'ouvre. Cliquez sur "Lancer algorithme".L'algorithme vous demande d'entrer b.
Entrez la valeur de b, puis appuyez sur "entrée" pour valider. Faites de même avec la valeur de c.
Résultat donné par l'algorithme: ... Testez cet algorithme sur l'équation
x
2+
16
x
=
80
. Résultat obtenu: ... Ces résultats confirment-ils vos calculs précédents? ...6. Transcription de l'algorithme en langage Python.
Lancez le logiciel EduPython en cliquant sur l'icône qui se trouve soit sur votre bureau, soit dans le dossier "Maths". Tapez le code ci-dessous:
Explication du code (attention, la prochaine fois vous le ferez tout seuls!):
En Python, on n'a pas besoin de déclarer les variables.
: La fonction "racine carrée" n'est pas chargée par défaut, il faut l'importer depuis le module "math".
Python va considérer message que verra l'utilisateur que la donnée entrée
est un nombre
"Entrer la valeur de b"
Entréeb
eval
input
=
: Demande la valeur de
b
à l'utilisateur.(( / 2) **2
) ( / 2)
x
=
sqrt b
+
c
−
b
: Affecte àx
la valeur correspondant à la solution positive de l'équation.L'opérateur
**
correspond à la fonction puissance (a) .(
)
print "La racine positive de l'équation est" , x
: Affiche un message explication, et la valeur dex
.(a)
Il y a en Python une autre manière de transcrire l'opérateur "puissance":
x
y peut s'écrirepow x y
( , )
, comme dans Algobox.Lancement du programme Python:
Cliquer sur la flèche verte pour lancer votre programme:
Le programme vous demande la valeur de
b
; tapez12
, puis cliquez sur "OK". De même pour la valeur dec
, tapez 108, puis "OK".Cliquer ici pour exécuter le
programme
du module "math" on importe la fonction "sqrt" , racine carrée
from
math
import
sqrt
En bas de la fenêtre Python s'affiche le résultat ("sortie") obtenu:
Test de votre programme en Python:
Quel résultat obtenez-vous pour l'équation
x
^ 2 16
+
x
=
80
? ...Modification de votre programme en Python:
Vérifiez que la seconde racine du polynôme se calcule avec la formule:
2
2
2
b
b
y
= −
+
c
−
.Modifiez votre programme en Python pour qu'il affiche les deux racine du polynôme.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1èreS - TP01: ALGORITHMIQUE - CORRIGE
Somme et produit des racines d'un trinôme - Méthode d'Al-Khuwarizmi
1. Préliminaire: somme et produit des racines d'un trinôme
Considérons le trinômeax
2+
bx c
+
, aveca ≠
0
.Lorsque le discriminant
∆
est strictement positif, il admet deux racines distinctes, 12
b
x
a
− − ∆
=
et 22
b
x
a
− +
∆
=
. 1°) Démontrez quex
1x
2b
a
+
= −
, et quex x
1 2c
a
=
.Avec les expressions de x1 et x2 vues en classe et rappeléesdans l'énoncé, on a
On remarquera que dans le cas général d'une équation du type
ax
2+
bx c
+ =
0
(a ≠
0
), en divisant chacun des membres par le coefficient dominanta
, on obtientx
2b
x
c
0
a
a
+
+
=
, ou encore 20
P Sb
c
x
x
a
a
− −
+
=
, où S note la somme des racines, et P leur produit.On retiendra la forme
x
2−
Sx
+
P
=
0
, où l'on peut "lire directement" la somme et le produit des racines dans une équation de coefficient dominant 1 (à laquelle on peut toujours se ramener en divisant para
).2°) Application.
a) Vérifiez que
1
2
x =
est solution de l'équation4
x
2+
4
x
− =
3
0
.Vérification: 2
1
1
4
4
4
3
2 3 1 2 3
0
2
2
4
×
+ ×
− =
+ − = + − =
, donc1
2
est bien solution de l'équation.Calculez l'autre racine grâce aux relations démontrées dans la question précédente, sans calculer
∆
.1 2
2
2
b
b
x
x
a
a
b
− − ∆
− +
∆
+
=
+
− − ∆
=
− + ∆
b
2
2
2
a
b
a
b
a
−
=
= −
(
)(
)
(
)
( )
(
)
1 2 2 2 2 2 2 2 2 22
2
4
4
4
4
b
b
x x
a
a
b
b
a
b
a
b
b
ac
a
b
− − ∆
− +
∆
=
×
− − ∆
− +
∆
=
−
−
∆
=
−
−
=
=
2b
−
24
4
4
ac
a
+
=
a
4
c
a a
c
a
=
Soit
x
la seconde racine de cette équation; d'après ce qui précède, on a:1
4
1
1
3
1
1
2
4
2
2
2
1
3
3
3
3
2
2
4
2
4
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
= −
+
= −
= − −
= −
⇔
⇔
⇔
−
−
−
−
×
=
=
= ×
=
La seconde solution est donc
3
2
x = −
.b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l'équation
x
2+
5
x
− =
6
0
Ici, le coefficient "a" du trinôme est égal à 1, on peut donc dire que le trinôme
x
2+
bx c
+ =
0
peut être vu sous la formex
2−
Sx
+
P
=
0
.On peut donc "lire" la somme et le produit des racines directement "sur le trinôme". Dans le cas de 2
5
6
0
S P
x
x
−
+
− =
, on cherche donc des racines dont la somme est -5 et le produit -6.
On peut alors éventuellement "deviner" que les racines sont 1 et -6.
Plus rigoureusement (mais avec des calculs...), on trouvera les racines en résolvant le système de deux équations
à deux inconnues:
1 2 1 25
6
x
x
x
x
+
= −
×
= −
.
2. La méthode d'Al-Khuwarizmi
Pour déterminer la solution positive de l'équation:
x
2+
12
x
=
108
, voici comment procédait Al-Khuwarizmi, mathématicien arabe du IX° siècle:Diviser 12 par 2
Elever ce quotient au carré Ajouter ce carré à 108
Prendre la racine carrée de cette somme
Retrancher à cette racine carrée le quotient du début
1.a) Vérifiez que l'équation
x
2+
12
x
=
108
admet deux solutions de signes contraires, et que l'algorithme proposé donne la solution positive.2 2
12
108
12
108
0
x
+
x
=
⇔
x
+
x
−
=
;Dans cette dernière équation,
∆ =
b
2−
4
ac
=
12
2− × × −
4 1 ( 108)
=
576
>0, donc ce polynôme admet deux racines distinctes (l'équation admet deux solutions distinctes).De plus, en pensant à la forme
x
2−
Sx
+
P
=
0
pour l'équationx
2+
12
x
−
108
=
0
,
on a
P
=
x x
1 2= −
108
<
0
, donc ces racines sont de signes contraires.
Suivons à présent la méthode d'Al-Khuwarizmi:
12 2
÷
=
6
;on élève au carré:
6
2=
36
; on ajoute à 108:36 108 144
+
=
;on prend la racine carrée de cette somme:
144
=
12
;On retranche à cette racine carré le quotient du début:
12 6
−
=
6
. Vérification:576
=
24
.Donc on a bien deux solutions, 1
12 24
36
18
2
2
x
=
−
−
=
−
= −
, et 212 24
12
6
2
2
1.b) Utilisez la même méthode pour déterminer la solution positive de l'équation
x
2+
16
x
=
80
. Avec la même méthode pour l'équationx
2+
16
x
=
80
, il vient:16 2
÷
=
8
;on élève au carré:
8
2=
64
; on ajoute à 80:64 80
+
=
144
;on prend la racine carrée de cette somme:
144
=
12
;On retranche à cette racine carré le quotient du début:
12 8
−
=
4
.Or pour l'équation équivalente
x
2+
16
x
−
80
=
0
, on a∆ =
576
(c'est par hasard que l'on retrouve le même discriminant qu'à l'exemple précédent), et les deux racines 4 et -20.L'algorithme donne donc bien la solution positive de l'équation.
2.a) Prouvez que toute équation du type
x
2+
bx
=
c
, oùc >
0
, admet deux racines de signes contraires. Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en utilisant les relations démontrées dans la question 1).Soit une équation du type
x
2+
bx
=
c
, avecc >
0
. On a :2 2 2 2
0, donc
4 1 (
)
4
x
+
bx
=
c
⇔
x
+
bx c
− =
∆ =
b
− × × −
c
=
b
+
c
; donc sic >
0
, alors∆ >
0
, et l'équation admet deux racines distinctes.De plus, en écrivant l'équation sous la forme
x
2+
bx c
− =
0
et en pensant àx
2−
Sx
+
P
=
0
, le produit de ces racines est− <
c
0
, donc ces deux racines sont de signes contraires.3. Ecriture de l'algorithme
L'algorithme calcule la racine positive (que nous noterons x1) ainsi:
2 1
2
2
b
b
x
=
+
c
−
.On a en effet, dans un trinôme du second degré pour lequel
∆ >
0
eta =
1
, i.e. du typex
2+
bx c
− =
0
(attention, ici le coefficient constant est – c):
2 2 2 2 2 1
4
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
2
b
b
c
b
b
c
b
b
c
b
b
b
b
x
=
− +
+
= −
+
+
= −
+
+
=
+
c
−
=
+
c
−
VARIABLES b EST_DU_TYPE_NOMBRE c EST_DU_TYPE_NOMBRE x1 EST_DU_TYPE_NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE b LIRE c x1 PREND_LA_VALEUR 22
2
b
b
c
+
−
AFFICHER x1 FIN_ALGORITHME4. Lancement du logiciel Algobox
5. Utilisation du logiciel Algobox
Algorithme sous Algobox.Saisissez l'algorithme de la question 3 dans le logiciel Algobox.
La ligne que nous avons complétée s'écrite avec la syntaxe suivante: x1 PREND_LA_VALEUR sqrt(pow((b/2),2)+c)-(b/2)
Test de l'algorithme.
Nous allons tester l'algorithme sur l'équation
x
2+
12
x
=
108
. Résultat donné par l'algorithme: 6Testez cet algorithme sur l'équation
x
2+
16
x
=
80
. Résultat obtenu: 4Ces résultats confirment-ils vos calculs précédents? Oui.
6. Transcription de l'algorithme en langage Python.
Lancez le logiciel EduPython en cliquant sur l'icône qui se trouve soit sur votre bureau, soit dans le dossier "Maths". Tapez le code ci-dessous:
Test de votre programme en Python:
Quel résultat obtenez-vous pour l'équation
x
^ 2 16
+
x
=
80
? On obtient bien 4. Modification de votre programme en Python:Vérifiez que la seconde racine du polynôme se calcule avec la formule:
2
