Modèles récursifs à double indice

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Modèles récursifs à double indice

Pietro Balestra, Hassan Ghassan

To cite this version:

Pietro Balestra, Hassan Ghassan. Modèles récursifs à double indice. [Rapport de recherche]

Labora-toire d’analyse et de techniques économiques(LATEC). 1994, 54 p., ref. bib. : 20 ref. �hal-01527155�

n° 9406

MODELES RECURSIFS

A DOUBLE INDICE

Pietro BALESTRA et Hassan GHASSAN

R é s u m é

L'objet de ce travail est d'étudier les résultats concernant l'estimation des modèles récursifs au cas où l'observation porte sur un ensemble d'unités statistiques (individus, secteurs, pays), chacune étant définie par un système d'équations de type récursif. A la dimension temporelle, présente dans l'étude classique de tes systèmes, nous ajoutons la dimension transversale, d'où les "modèles récursifs à double indice". Le traitement de ces derniers modèles nous a conduit à regrouper les variables par individu puis par équation. Ce regroupement nous a permis d'assimiler notre modèle au système d'équations apparemment non-liées, avec la particularité que la variance relative a u x individus i et j pour l'équation k n'est pas nécessairement nulle. L'estimation par la méthode du maximum de vraisemblance et par les moindres carrés généralisés purs, réalisables et itérés nous ont donné des estimateurs convergents. L'étude des propriétés asypmtôtiques de chacune des méthodes d'estimation a été effectué en détail.

L'application économétrique a consisté à formaliser la structure productive de l'éco-nomie marocaine de cinq secteurs d'activités économiques. Après des tests statistiques d'exogénéité, il semble que les modèles sectoriels s'adaptent bien au schéma récursif individuel et que les résultats s'avèrent très riche en contenus et se prêtent à des inter-prétations objectives. P a r exemple, il apparaît nécessaire d'accroître l'interdépendance sectorielle sans concentrer les efforts sur l'augmentation des niveaux d'investissements sectoriels.

Mots clés : Causalité, récursif, modèle, estimation, asymptôtique, intégration secto-rielle.

A b s t r a c t

T h e purpose of this document is to study the model belongs to the family of struc-tural equation models with data varying both accross individuals (sectors) and in time. A complete theoretical analysis is developed in this work for the case of a recursive structure. Maximum likelihood estimation and Zellner's "seemingly unrelated equa-tions" estimators (iterated or not) are presented and their asymptotic properties are carefully derived.

T h e application of the estimation methods to the economy morocco produced sta-tistically significant and economic meaningful results. Through a test of exogeneity, the recursivity of the system is confirmed. Policy recommandations are discussed and analysed.

Key words : Causality, recursive system, model, estimation, asymptotic sectorial

M o d è l e s r é c u r s i f s à d o u b l e i n d i c e

Pietro Balestra* et Hassan Ghassan ^

A v r i l 1994

1 I n t r o d u c t i o n

Les p h é n o m è n e s é c o n o m i q u e s sont p a r n a t u r e intrinsèquement i n t e r d é p e n d a n t s . P o u r les é t u d i e r , les s y s t è m e s d'équations s i m u l t a n é e s sont un i n s t r u m e n t d ' a n a l y s e privilégié. D a n s un s y s t è m e s i m u l t a n é , on distingue les variables exogènes (qui e x e r c e n t u n e influence sur les variables e n d o g è n e s sans r é t r o a c t i o n ) e t les variables endogènes (qui r e ç o i v e n t l'influence des variables e x o g è n e s e t s'influencent m u t u e l l e m e n t ) . Parfois, la t h é o r i e é c o n o m i q u e s u g g è r e un s c h é m a de c a u s a l i t é d i r e c t e non s e u l e m e n t e n t r e variables exogènes e t e n d o g è n e s , m a i s éga-l e m e n t e n t r e éga-les variabéga-les endogènes eéga-léga-les-mêmes [Woéga-ld et aéga-l.60]. O n p a r éga-l e a éga-l o r s d e s y s t è m e récursif.

L e but de c e t r a v a i l est d'étudier les r é s u l t a t s c o n c e r n a n t 1 e s t i m a t i o n des m o d è l e s récursifs au c a s où l'observation p o r t e sur un e n s e m b l e d'unités statistiques ( i n d i v i d u s , s e c t e u r s , p a y s ) , c h a c u n e é t a n t définie p a r un s y s t è m e d'équations de t y p e récursif. A l a d i m e n s i o n t e m p o r e l l e , p r é s e n t e d a n s l'étude classique de tels s y s t è m e s , nous a j o u t o n s la d i m e n s i o n t r a n s v e r s a l e . D'où le n o m "modèles récursifs à double indice".

C e travail s ' a r t i c u l e en plusieurs sections. Dans la section 1, on d é c r i t f o r m e l l e m e n t un s y s t è m e r é c u r s i f à double indice, suivie par la c o n s t r u c t i o n de la fonction d e v r a i s e m b l a n c e . Les sections s u i v a n t e s sont c o n s a c r é e s à l'estimation du m o d è l e p a r les t e c h n i q u e s du m a x i -m u -m de v r a i s e -m b l a n c e e t les -m o i n d r e s c a r r é s généralisés purs, réalisables e t i t é r é s . Enfin, dans la d e r n i è r e s e c t i o n , une a p p l i c a t i o n au cas de l'économie m a r o c a i n e e s t d o n n é e . C e t t e a p p l i c a t i o n c o n d u i t e p a r l'un des d e u x a u t e u r s , a inspiré le présent t r a v a i l .

2 S p é c i f i c a t i o n d u m o d è l e e t h y p o t h è s e s

C o m m e a n n o n c é d a n s l ' i n t r o d u c t i o n , la formalisation que nous p r o p o s o n s généralise l'étude des s y s t è m e s récursifs au c a s où l'observation p o r t e sur un e n s e m b l e d e N unités

* Université de B o u r g o g n e ' E N E S A D , Dijon

s t a t i s t i q u e s , a p p e l é e s i n d i v i d u s . P o u r c h a q u e individu, un s y s t è m e r é c u r s i f à A é q u a t i o n s e s t formulé. Knlin. c h a q u e i n d i v i d u ( e t t o u t e s les variables qui le c o n c e r n e n t ) e s t o b s e r v é s u r 'V périodes. Nous c o m m e n ç o n s par la s p é c i f i c a t i o n du m o d è l e au niveau de l ' i n d i v i d u ( s e c t i o n

1.1). puis au niveau g l o b a l ( s e c t i o n 1.2).

2

.1 S p é c i f i c a t i o n i n d i v i d u e l l e

Au niveau de l ' i n d i v i d u i (i = 1, . . . , A ' ) et la période d'observation i (/ = l , . . . / / ' ) la forme s t r u c t u r e l l e du m o d è l e est définie p a r le s y s t è m e de A' équations suivant :

(3i'y\+Y'x\ + uit = 0 (1)

où :

• y\ est le v e c t e u r K x 1 des o b s e r v a t i o n s c o n c e r n a n t les K variables e n d o g è n e s (le s y s t è m e é t a n t a l o r s p a r définition c o m p l e t )

• x\ est le v e c t e u r L x 1 des o b s e r v a t i o n s c o n c e r n a n t les L variables e x o g è n e s

• /?*' est la m a t r i c e K x K des coefficients des variables endogènes, s u p p o s é e non singulière • P ' est la m a t r i c e K x L des coefficients des variables exogènes

• uj est le v e c t e u r K x 1 d ' e r r e u r s .

P o u r que la spécification soit c o m o l è t e , il est indispensable que le m o d è l e 1 soit m u n i d'un corps d'hypothèses. C e s h y p o t h è s e s o n t la teneur suivante :

(i) Hl : H y p o t h è s e d e c o m p o r t e m e n t

/?' et 71 sont des m a t r i c e s d e c o n s t a n t e s (inconnues), variables d'individu à individu.

On a d m e t p a r c o n s é q u e n t q u e c h a q u e individu est c a r a c t é r i s é p a r un c o m p o r t e m e n t qui lui est p r o p r e ( m a i s qui r e s t e invariant dans le t e m p s ) .

Pour des raisons d e c o m m o d i t é , on supposera également que les r e s t r i c t i o n s t h é o r i q u e s a-priori d'exclusion (les é l é m e n t s nuls a-priori do /?' et 7') sont les mornes p o u r tous les individus.

(ii) 112 : R c c u r s i v i t é

L a m a t r i c e non-singulière /3*' e s t triangulaire inférieure : ses é l é m e n t s a u - d e s s u s de la diagonale p r i n c i p a l e s o n t t o u s nuls et c e u x de la diagonale principale sont t o u s é g a u x à —1 (du fait d e la n o r m a l i s a t i o n ) .

(iii) H3 : Variables e x o g è n e s

Les variables e x o g è n e s s o n t fixes, non stochastiques, indépendantes des e r r e u r s e t telles que :

(a) XL rrr' / rst um- n i a t r i c c de r a n g L

( h ) I m i } £ , .rj = . r \ fini

(< ) 111m y.

.r\.r\' —

( i v ) II l : 11 \ "pol lièses sur 1rs e r r e u r s

Les e r r e u r s sont des variables a l é a t o i r e s non-observables possédant des m o m e n t s finis au moins j u s q u ' à T o r d r e d e u x . E n p a r t i c u l i e r , en désignant par u\t,k — l , . . . , / \ ,

l'élément t y p i q u e du v e c t e u r \t\. on p o s t u l e que ( a ) l'effet des p e r t u r b a t i o n s est nul en m o y e n n e :

E{ui

)=0 V î , M

( b ) la s t r u c t u r e des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s est telle que :

^, ; ,:

[ a

l

k — l

t

s

K t l s / [ 0 sinon

L a s t r u c t u r e des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s définie en ( b ) m é r i t e d ' ê t r e i n t e r p r é t é e . L a nullité de la c o v a r i a n c e pour d e u x périodes différentes (t ^ s) e x p r i m e l'absence t o t a l e d ' a u t o -corrélation ( d i r e c t e , e n t r e individus e t e n t r e é q u a t i o n s ) .

L a nullité de l a c o v a r i a n c e p o u r d e u x é q u a t i o n s différentes (k ^ / ) définit ( c o n j o i n t e m e n t à H 2 ) la r é c u r s i v i t é du s y s t è m e . L e t e r m e cr£ désigne la variance de l'erreur de l'équation k de l'individu i et le t e r m e cr^7 désigne la c o v a r i a n c e c o n t e m p o r a i n e e n t r e l'erreur de l'individu i et

celle de l'individu j pour l'équation k. E l l e n'est pas nécessairement nulle. C'est p r é c i s é m e n t c e t t e possibilité d'une c o v a r i a n c e non nulle qui donne à n o t r e m o d è l e t o u t e s a spécificité.

De l'hypothèse H 4 , on t i r e les d e u x f o r m u l a t i o n s suivantes :

E(u\) = Q

d i a g ( a " , . . . , c r £ ) = Dn si i — j et t — s

E(u>i) = \

D"

j

t = s

0 sinon

M a i n t e n a n t , si la seule i n f o r m a t i o n prise en c o m p t e est celle r e l a t i v e à l'individu le sys-t è m e essys-t un s y s sys-t è m e récursif sys-t r a d i sys-t i o n n e l . E n conséquence, l'essys-timasys-tion individuelle de c h a q u e équation p a r la m é t h o d e des m o i n d r e s c a r r é s ordinaires fournit des e s t i m a t e u r s c o n v e r g e n t s e t a s y m p t ô t i q u e m e n t efficients, qui sont é g a u x (sous l'hypothèse de n o r m a l i t é ) a u x e s t i m a t e u r s du m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e .

Il en v a a u t r e m e n t lorsque t o u t e l'information c o n c e r n a n t l'ensemble des individus e s t prise en c o m p t e . C e t a s p e c t du p r o b l è m e s e r a mis en évidence dans le p r o c h a i n p a r a g r a p h e .

2 . 2 M o d è l e g l o b a l

Il s'agit de r é u n i r d a n s un m o d è l e global toute l ' i n f o r m a t i o n c o n c e r n a n t les N i n d i v i d u s . Le r e g r o u p e m e n t des individus (pour la p é r i o d e / ) peut s'opérer de d e u x m a n i è r e s différentes. C h a c u n e d ' e l l e s p r é s e n t e un a v a n t a g e p a r t i c u l i e r : soit en e m p i l a n t les i n d i v i d u s , s o i t en e m p i l a n t les é q u a t i o n s .

2.2.1 R e g r o u p e m e n t p a r i n d i v i d u s

E n regroupant les A individus pour la période* / , le m o d è l e g l o b a l s ' é c r i t d e la m a n i è r e s u i v a n t e :

ß

'

+

..n

+

ß'y

+ -y'x

+ u

où /?' est t r i a n g u l a i r e e t d i a g o n a l e par bloc, d'ordre N K x NK, 7 ' est d ' o r d r e TVA' x NL, et

yt,x

u

NK, NL

NK.

de p e r t u r b a t i o n s ut, à p a r t i r de H 4 nous déduisons :

E(u

u

t) =

E(u

) =

' \D

*\

t

s

0 s i n o n

O n n o t e que la m a t r i c e ft n'est pas diagonale, mais bloc-diagonale. E l l e s e r a i t diagonale dans un c a s t r è s p a r t i c u l i e r où quel que soit i ^ j et quel que soit k. P a r c o n s é q u e n t , ses p r o p r i é t é s ne sont pas faciles à étudier. Néanmoins, l'écriture du m o d è l e sous la forme de l'équation ( 3 ) p r é s e n t e l ' a v a n t a g e considérable p e r m e t t a n t de d é d u i r e i m m é d i a t e m e n t la fonction d e v r a i s e m b l a n c e du v e c t e u r y en p a r t a n t de la fonction de d e n s i t é d e ut, en raison

de la t r i a n g u l a r i t é de / ? ' ( c o m m e nous le verrons à la section 2 ) .

2.2.2

R e g r o u p e m e n t par équations

L a

k-eme

i

(1))

+ ( T Ï ) V ; + = 0

où (Pi)' e t ( 7 ^ ) ' sont r e s p e c t i v e m e n t la fc-ème ligne de (/?')' e t ( 7 * ) ' .

E n raison de la t r i a n g u l a r i t é de (/?*)', de la normalisation (le i - è m e coefficient de

(f3

)

vit = (ßi) yf

i/k

_kt

OU

y

y%Jk est le v e c t e u r des variables endogènes explicatives dans c e t t e é q u a t i o n (les variables endogènes ylt d'indice p > k ne figurent pas dans le v e c t e u r y*/k)

x*J

~

" '

i

l

(Pk) e^ (7*)son^ ^e s P a r t i e s c o r r e s p o n d a n t e s de (/?£) et (Yk) .

Le n o m b r e t o t a l de variables e x p l i c a t i v e s de la A:-ème é q u a t i o n est d é s i g n é p a r sk a v e c

s

< L + k-

Il est c o m m o d e de réunir t o u t e s les variables explicatives dans un seul v e c t e u r ainsi que les p a r a m è t r e s c o r r e s p o n d a n t s . E n posant :

. Z'/

=

y

i/k

• (O'k)' ~ [{Pi) (Yk)

1

il vient alors :

y'k

= (0'k)'zi

+ u

^(z;

)(ei) + v\

(6)

Vit

Vkt

\oi

_'

kt '

izV

)

01

+

Z?'

) . .0^.

kt

(7)

y ki = {ZktOk + Ukt

F i n a l e m e n t , pour l'ensemble des K équations on a r r i v e à l'expression suivante :

" Vu

" Z

' Oi '

=

02

+

. Vh't .

Zht _

JK

que Ton peut é c r i r e :

Y

= Z

E + Ù

Dans l'expression ci-dessus yt et ut contiennent les m ê m e s é l é m e n t s que yt et ut de la formule ( 3 ) , m a i s d a n s un o r d r e différent. L ' i n t é r ê t de c e t t e expression est d ' e x p l i c i t e r le v e c t e u r 8 des p a r a m è t r e s inconnus i n c o r p o r a n t toutes les r e s t r i c t i o n s théoriques a-priori.

L ' h y p o t h è s e H 4 nous c o n d u i t a u x propriétés statistiques suivantes c o n c e r n a n t les v e c t e u r s de p e r t u r b a t i o n de ( 8 ) :

E(u

) = 0, et

E(u

u

) = <

0 sinon

Il s'en suit que la m a t r i c e des variances-covariances du v e c t e u r ût est une m a t r i c e diago-nale p a r bloc, à savoir :

E(u

u

)

&

(12)

m a t r i c e il doit ê t r e définie positive. C e t t e propriété est satisfaite dès lors que c h a q u e bloc

ilk est une m a t r i c e définie positive.

L e d é t e r m i n a n t et l'inverse de Ù se déduisent facilement. Ils sont donnés par :

• l"l = n

• = d i a g ( î V , . - . A * )

2.2,3 M a t r i c e d e p a s s a g e d e ut à ur

C o m m e nous l'avons d é j à signalé, les v e c t e u r s ut et ut c o n t i e n n e n t les m ê m e s é l é m e n t s . Ils sont au t o t a l N K en n o m b r e . Il est possible de les ordonner tous dans une m a t r i c e K x N. A c e t effet, nous posons :

t /( = [ u(\ . . . , u f ] 1

Dans c e t t e m a t r i c e , les N colonnes représentent les v e c t e u r s u\ de l'équation ( 1 ) , i = l , . . . , A f . E n r e v a n c h e , les

I\

(xikt)'

k = 1 , . . . , A'. On a donc r é c r i t u r e équivalente :

P a r les propriétés de l'opération vec (qui empile les colonnes d'une m a t r i c e ) [Ba.Iestra76], nous avons :

u

U

xt

—

U[

C o m m e , par ailleurs : v e c U[ = PNJ<vec UT où est la m a t r i c e u n i t a i r e p e r m u t é e , on

obtient :

L a m a t r i c e o r t h o g o n a l e PN,K e s t d o n c l a m a t r i c e de passage de UT K UT. E l l e v a nous

p e r m e t t r e de passer indifféremment, p a r u n e t r a n s f o r m a t i o n linéaire non-singulière, d e l a formulation ( 3 ) à l a f o r m u l a t i o n ( 1 0 ) e t aussi d e dériver les propriétés d e l a m a t r i c e IL d e celles de CL. C e q u e nous verrons e n détail dans c e qui suit.

E n pré-multipliant l'équation ( 3 ) p a r P/v,a', il vient :

-P

((3'Y

U

E n c o m p a r a n t a v e c ( 1 0 ) , on a l a r e l a t i o n suivante :

Y

-Z

O = -P

,

(0

'Y

+ I'X

)

( 1 4 )

L'équivalence ci-dessus s e r a e x p l o i t é e d a n s la dérivation d e la fonction d e v r a i s e m b l a n c e du modèle.

E n o u t r e , en p a r t a n t d e ( 1 3 ) , on a :

V(U

) - PNJ<V(U

)PH\N

PN^K^PR^N

où, par les propriétés de l a m a t r i c e u n i t a i r e p e r m u t é e on a :

On en déduit i m m é d i a t e m e n t :

fi =

PR\N^IPN,K

=

\P

,

NP

,K\

№\P

P

,

\ =

\N\ =

n

k=l

Vf

=

PR\N^~

PNJ<

2.2.4 Prise en c o m p t e des observations pour toutes les périodes

C e t t e prise* en c o m p t e peut se faire suivant les deux formes de r e g r o u p e m e n t des observa-t i o n s à P i n s observa-t a n observa-t /. Nous c o m m e n ç o n s le r e g r o u p e m e n observa-t par individus. T r a n s p o s o n s l ' é q u a observa-t i o n

( 3 ) et e m p i l o n s p o u r o b t e n i r :

= 0

¡1 +

7 +

. l/r .

E n f o r m e c o m p a c t e , c e t t e expression s'écrit par :

yp + x-r + u = o '

où Y, X et U sont r e s p e c t i v e m e n t de dimension T x NK, T x NL et T x NK

L a m a t r i c e d ' e r r e u r s ( / , en vertu de H 4 , possède les propriétés s t a t i s t i q u e s suivantes

E{U) =

V{U) = K ( v e c t / ) ( v e c U)' = IT ® Jî

( 1 7 )

( 1 8 )

L e r e g r o u p e m e n t p a r équations conduit à deux é c r i t u r e s différentes. P r e m i è r e m e n t , en e m p i l a n t d i r e c t e m e n t les v e c t e u r s définis dans la formule ( 1 0 ) on o b t i e n t :

— • ( 1 9 )

Sous c e t t e f o r m e , le v e c t e u r d'erreurs a une m a t r i c e de v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s égale à

IT © ^ . Elle ne p e r m e t pas d'appréhender facilement la s t r u c t u r e du m o d è l e . L a d e u x i è m e é c r i t u r e est plus p r o b a n t e à c e t égard.

De l'équation ( 6 ) , en c o n s i d é r a n t l'ensemble des périodes, on peut é c r i r e :

" vU "

• (z\'

y •

=

. y'kT .

. (Zf)' .

.

'kT .

= Z

6\

E n e m p i l a n t les /V individus, toujours pour l'équation il vient :

Z

'

y\

y?

N/k

'H'

co qui s'écrit c o m m e s u i t

Vk = Z

0

+ u

C e modelé r e p r é s e n t e un s y s t è m e d'équations a p p a r e m m e n t non-liées de t y p e de Zellner. Le v e c t e u r d ' e r r e u r iik possède la s t r u c t u r e classique d'un tel s y s t è m e , à savoir :

E(u

)

E(u

u'

) = il

0 h

La différence p a r r a p p o r t à un m o d è l e Zellner classique est la p r é s e n c e d e variables endogènes p a r m i les variables e x p l i c a t i v e s . L ' é c r i t u r e ( 2 0 ) j o u e r a un rôle p r i m o r d i a l lors de l'estimation.

Enfin, en e m p i l a n t les K é q u a t i o n s on a b o u t i t au modèle c o m p l e t s u i v a n t :

Il

" Z i

' 0x'

+

A - .

U

ce qui s'écrit c o m m e le s y s t è m e suivant :

y = Z0 + U

Elu)

V(u)

=n®h

3

F o n c t i o n d e v r a i s e m b l a n c e

Pour la préciser, il est nécessaire d'introduire une hypothèse s u p p l é m e n t a i r e c o n c e r -nant la forme de la fonction de densité des erreurs. C o m m e il est c o u t u m e en e c o n o m e t r i e [Intriligator e t a l . 8 4 ] , nous a d o p t o n s l'hypothèse suivante :

( v ) H5 : Les e r r e u r s sont distribuées d'après la loi normale

ut - A ' ( 0 , f i )

P a r conséquent, la fonction de densité du v e c t e u r ut prend la forme s u i v a n t e :

f(u

) =

-u

ù-

u

Dans c e qui suit, nous dérivons la fonction de v r a i s e m b l a n c e du v e c t e u r y*, puis nous m o n t r e r o n s qu'elle se f a c t o r i s e en un n o m b r e K de v r a i s e m b l a n c e s individuelle^, u n e p o u r chaque é q u a t i o n . Enfin, le p a s s a g e à la fonction de v r a i s e m b l a n c e p o u r l ' e n s e m b l e des T périodes est o b t e n u e i m m é d i a t e m e n t ( p a r simple s o m m a t i o n des l o g - v r a i s e m b l a n c e s p o u r chaque période £ ) , en raison de l'hypothèse fondamentale d ' i n d é p e n d a n c e t e m p o r e l l e .

3 . 1 V r a i s e m b l a n c e p o u r y à l ' o b s e r v a t i o n t

Puisque la m a t r i c e ¡1' est triangulaire avec des éléments é g a u x à —1 sur la diagonale principale», le J a c o b i e n de la transformation de ut k yt (3) est unitaire. Il s'en suit que la

fonction de densité de y, est obtenue de celle de ut par simple c h a n g e m e n t des variables. On

a donc :

/(,/,)

=

-

-(0>y

'

'x

)'n-

((3'y

+

'x

)

et la fonction de v r a i s e m b l a n c e logarithmique ( à une c o n s t a n t e additive p r è s ) , notée £ prend la forme suivante :

£(y

\P^Sl) = -±

+

+

(23)

3 . 2 F a c t o r i s a t i o n d e l a v r a i s e m b l a n c e

Nous exploitons les r é s u l t a t s de la section ( 1 . 2 ) c o n c e r n a n t la relation e n t r e il et 0 . De ( 1 5 ) , nous déduisons i m m é d i a t e m e n t :

\ in i m = £ l i n | nf c|

E n o u t r e , de ( 1 6 ) et en utilisant ( 1 4 ) nous obtenons s u c c e s s i v e m e n t :

(0% + 7'x

)'n-

(P'yt + V * t ) = {fi'yt + l'xJP'^Û-'PvMP'yt + l'*t)

= (y

-Z

6

)'n-

(y

-Z

9)

= E L i (ykt - z

$k)'n;\

- z

o

)

L ' i n t r o d u c t i o n de ces d e u x r é s u l t a t s dans (23) donne :

¿ ( ¡ , « 1 0, 7 , « ) =

£ - \

\(y

, - z

e

)'n-

\

- z

e

)

k=\

ce qui revient à é c r i r e :

£ ( y , | 0, 7, n ) = D y * l « f c , n f c ) ( 2 4 )

k=\

La l o g - v r a i s e m b l a n c e globale est d o n c la s o m m e de A" log-vraisemblances i n d é p e n d a n t e s , une pour c h a q u e é q u a t i o n . L ' a v a n t a g e de c e t t e décomposition est que la m a x i m i s a t i o n de la fonction de v r a i s e m b l a n c e p e u t se faire s é p a r é m e n t pour c h a q u e équation ( m a i s s i m u l t a n é -m e n t pour les N individus).

Dans le cas e x t r ê m e , peu i n t é r e s s a n t où ak = 0(i ^ j) i.e. quand les individus e u x - m ê m e s sont indépendants, la m a t r i c e £lk est diagonale et la décomposition p e u t se p o u r s u i v r e au niveau de l'individu. E n effet, la l o g - v r a i s e m b l a n c e devient :

JC(y

,\O

,n

) = è - h o g a ï - ^(yU ~ (Z:

yO'

)\y'

- {Z\

)%)

1=1

Dans c e cas e x t r ê m e , l ' e s t i m a t i o n du m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e se r a m è n e à l ' e s t i m a t e u r par les moindres c a r r é s o r d i n a i r e s é q u a t i o n p a r équation et individu p a r individu.

3 - 3 V r a i s e m b l a n c e p o u r l ' é c h a n t i l l o n c o m p l e t

E n raison de l a f a c t o r i s a t i o n , il suffit de donner la l o g - v r a i s e m b l a n c e t o t a l e p o u r les T périodes pour u n e é q u a t i o n , la A;-ème. E l l e se t r o u v e en s o m m a n t sur t les l o g - v r a i s e m b l a n c e s . On a alors :

T

£(Vk\0kM

! T ( 2 5 )

z M h i \

- z

e

)

t=i

L'expression ci-dessus est identique à la v r a i s e m b l a n c e du m o d è l e ( 2 0 ) . P o u r m o n t r e r c e t t e identité, il c o n v i e n t de r e p r é s e n t e r t o u t e s les erreurs i n t e r v e n a n t d a n s ( 2 5 ) ( e t aussi dans ( 2 0 ) ) dans la m a t r i c e T x N s u i v a n t e :

u

=

kT

'kl

kT

(UkTÏ

dans laquelle la

i-eme

(u

)'

Analysons le t e r m e sous le signe de s o m m a t i o n de ( 2 5 ) et d é v e l o p p o n s :

d'où :

E » (Vkt ~ Z

0

)'tt

(y

, - Z

0k) = E ( u'

n

u

- z

o

yn

(

- z

e

) = trà-

u'

u

D ' a u t r e p a r t , en p a r t a n t de ( 2 0 ) sous l'hypothèse de n o r m a l i t é de uk, la v r a i s e m b l a n c e logarithmique d e yk s'écrit d i r e c t e m e n t c o m m e :

dans laquelle, par c o m m o d i t é on a laissé

u

y

~ Z

0

.

Notons que 7/^. = vec Uk, de telle s o r t e que la forme q u a d r a t i q u e dans ( 2 7 ) devient en

utilisant les les propriétés de l'opérateur vec [ B a l e s t r a 7 6 ] :

4 P r o c é d u r e s d ' e s t i m a t i o n

Dans un m o d è l e c o m m e le n ô t r e , dans lequel les variables e x p l i c a t i v e s ( e x o g è n e s et en-dogènes) sont i n d é p e n d a n t e s des erreurs en raison de la r é c u r s i v i t é , d e u x p r o c é d u r e s d'esti-m a t i o n sont envisageables : celle du d'esti-m a x i d'esti-m u d'esti-m de v r a i s e d'esti-m b l a n c e e t celle des d'esti-m o i n d r e s carrés généralisés ( a p p e l é e é g a l e m e n t m é t h o d e A i t k e n ) .

Nous avons m o n t r é à la section précédente que la fonction de v r a i s e m b l a n c e globale se factorise en К v r a i s e m b l a n c e s , une pour chaque équation. De l ' a u t r e c ô t é , le p r o b l è m e de la m i n i m i s a t i o n d e la s o m m e généralisée des c a r r é s des é c a r t s se d é c o m p o s e lui aussi en la m i n i m i s a t i o n de К s o m m e s généralisés des c a r r é s , une pour c h a q u e é q u a t i o n . Dès lors, le principe général d ' e s t i m a t i o n se dégage : l'estimation du m o d è l e p a r l'une ou l ' a u t r e des d e u x m é t h o d e s se r a m è n e à l'estimation séparée, équation par é q u a t i o n , pour l'ensemble des individus.

Nous développons en c o n s é q u e n c e dans c e t t e section la m é t h o d e du m a x i m u m de vrai-s e m b l a n c e et la m é t h o d e devrai-s moindrevrai-s carrévrai-s généralivrai-sévrai-s pour une é q u a t i o n générique, la

k-eme

4 . 1 L a m é t h o d e d u m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e

4.1.1

Fonction de vraisemblance

L a l o g - v r a i s e m b l a n c e pour la À'-ème équation (voir section 2 ) s'écrit c o m m e suit :

a v e c

u

= y

— Z

0

, U

= [u\ ... u

\

T

u

U

. \

Nous é t u d i o n s d ' a b o r d la solution du problème de m a x i m i s a t i o n de la l o g - v r a i s e m b l a n c e e t dérivons e n s u i t e la distribution limite des e s t i m a t e u r s du m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e .

î / , ( î V О / К = (vec ик)'(П? ® 7 ) v e c Uk

= trh-

U'

U

( 2 8 )

Ainsi, l'identité e n t r e les deux vraisemblances est prouvée.

4.1.2 L e s e s t i m a t e u r s d u m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e

Les c o n d i t i o n s de p r e m i e r o r d r e pour la m a x i m i s a t i o n de £ s'écrivent par :

(i) H- = --Ù;.'

+ -n-W'juùr' = o

Les e s t i m a t e u r s du m a x i m u m de v r a i s e m b l a n c e de 6k et Slk sont d o n n é s p a r la solution simultanée des é q u a t i o n s ( 3 0 ) e t ( 3 1 ) . L e s y s t è m e est non-linéaire et sans solution a n a l y t i q u e , mais la s t r u c t u r e en "zig-zag" des d e u x équations suggère une p r o c é d u r e n u m é r i q u e d e solution simple et efficace. E l l e c o m p o r t e les pas suivants :

Pas 1 P a s 2 Pas 3

condition initiale ÙK — I ;

on c a l c u l e 0k p a r l'équation ( 3 1 ) et une nouvelle valeur de ÙK p a r ( 3 0 ) ;

on r e t o u r n e au pas 2 j u s q u ' à c o n v e r g e n c e numérique.

4.1-3 La distribution asymptôtique

Puisque c h a q u e individu est c a r a c t é r i s é p a r son propre ensemble d e coefficients d e r é a c -tion, la seule a n a l y s e a s y m p t ô t i q u e p e r t i n e n t e c o n c e r n e la situation où le n o m b r e /V d'indi-vidus est fixe et le n o m b r e T d'observations croît indéfiniment. D a n s c e c o n t e x t e ( e t il en est de m ê m e pour l'étude des p r o p r i é t é s a s y m p t ô t i q u e s des e s t i m a t e u r s des m o i n d r e s c a r r é s généralisés de la section 3 ) , nous évaluons et calculons les limites de la m a t r i c e Hessienne pour a b o u t i r enfin à la distribution a s y m p t ô t i q u e .

4.1.3.1 Les dérivées deuxièmes et leurs limites

La dérivée d e u x i è m e d i r e c t e p a r r a p p o r t à 0k est :

d£

et s a limite est :

1 „ ,

d£

.

où Ql est une m a t r i c e définie positive, dont, l'expression a n a l y t i q u e est fournie d a n s la section s u i v a n t e . P o u r c a l c u l e r la d é r i v é e croisée, on écrit d ' a b o r d la dérivée p r e m i è r e par rapport à

ftk en forme v e c t o r i e l l e :

d£ T

d0'

où v e c =

u

— y

— Z

6

P

-t i o n ) . C o m m e d v e c

U

/dÔ'

= — Z

,

8£

-{Ç\-

® Sl

)[{I ® U'

)Z

+ (U'

® I)PZ

]

d v e c

Sl

d0'

et puisque

E(U'

)

1

d£

- - l i m £ ( ) = 0 ( 3 4 )

P o u r la dérivée d e u x i è m e d i r e c t e par rapport à vec Uk on obtient :

B£

8 T ~

-[-Trvec

n~

+

m~

®

Çl;

)vec U'

U

\

dvec ihd(vec n

)' d{vectl

)' 2

En observant que

E(U'

Uk)

- 4 l i m E ( - ) = ^ ® fi- ( 3 5 )

i a v e c Jîjta(vec ilky t

4.1.3.2 L a m a t r i c e d'information et la distribution asymptôtique

D'après c e qui p r é c è d e e t en l'absence de contraintes sur la m a t r i c e d'information est bloc-diagonale. L e p r e m i e r bloc, correspondant à l ' e s t i m a t e u r de 0*, est c o m p o s é de la m a t r i c e définie positive 0 ^ . Il en résulte que :

Quant, au d e u x i è m e bloc, c o n c e r n a n t vec Ùk ( l ' e s t i m a t e u r du m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e de ilk), il faut tenir c o m p t e de la condition de s y m é t r i e de la m a t r i c e i lk. D e u x solutions sont, envisageables : soit on élimine les é l é m e n t s redondants de (et on a p p e l e r a vec

Çt

On m o n t r e alors que [ B a l e s t r a 7 6 ] la m a t r i c e d'information pour vec Qkm est é g a l e à :

où

• P — Pyv,/v + / — G, (P la m a t r i c e u n i t a i r e p e r m u t é e )

• G =

ewe'

),

i-eme

• Q =

Q

) Q\ = (e

e

On m o n t r e é g a l e m e n t que son inverse, en désignant par R la m a t r i c e i d e m p o t e n t e ^ ( / + P ) , est égal à. :

2QR

((iï

®iï

)RQ

v / T v e c

(h

- Ù)

N(0,

2QR

{{Çl

Q.

)RQ')

5 L a m é t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r é s g é n é r a l i s é s

5 - 1 L a m é t h o d e d e P A i t k e n p u r e : m o d è l e e t e s t i m a t e u r s

avec

Z

= {y

x

)

a'

'

[lV

'

y

l

x

l

I / a b s e n c e d ' a u t o - c o r r é l a t i o n e n t r e les é q u a t i o n s individuelles, qui est due au c a r a c t è r e réeursif du s y s t è m e individuel de base, s'écrit par :

E{\f

'y\)

k ^ /

C e t t e c a r a c t é r i s t i q u e i m p o r t a n t e justifie l'emploi de la m é t h o d e des m o i n d r e s c a r r é s or-d i n a i r e s , c e qui or-d o n n e :

ai = (zi'zir

zïyi

En c o n s i d é r a n t tous les individus le m o d è l e p r é c é d e n t d e v i e n t :

y

= Z

a

+ u* ( 3 8 )

en p o s a n t

' « 1 '

-zi

a

=

Zk =

Z

k .

où uk est un v e c t e u r a l é a t o i r e d'ordre NT x 1 a v e c :

E(u

) = 0 et E(u

u

) = Sl

®I

Soit y* une m a t r i c e d ' o r d r e NT x TV A'*, correspondant à la partie a l é a t o i r e de Zk, elle s'écrit c o m m e suit :

yi = diag ( î / i , . . . , y ? )

Un calcul s i m p l e de la c o v a r i a n c e e n t r e y* e t uk m o n t r e la non-corrélation e n t r e elles, c a r :

£ ( u 'f cy î ) = 0

c e qui p e r m e t de t r a i t e r le modèle a v e c interdépendance individuelle c o m m e un s y s t è m e de Zellner, e t du c o u p on applique la m é t h o d e de l'Aitken pure pour arriver à l'estimation s i m u l t a n é e s u i v a n t e :

â

= [Z'

(il;

® h)Zk\-

Z[{^-

Q I

)y

( 3 9 )

5.1.1

Propriétés de base des estimateurs dans l'échantillon

Les e s t i m a t e u r s a\ c o m p t e n t dans l'estimation de la m a t r i c e des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s des e r r e u r s . On m o n t r e f a c i l e m e n t que ces e s t i m a t e u r s sont centrés ou sans biais. En effet,

puisque la q u a n t i t é ;

E[{zi'zir

zï\

Q u a n t à la v a r i a n c e

V(&\.),

(Z

Z[.)

Z['u\.

L e m m e 1 Soit c/(.r j , une fonction de variables aléatoires, ou a :

E[g(r,.

E.r

{

Ex,

.r

[f,(.r,.

C e qui p e r m e t d'obtenir finalement que :

v(a

) = oi;E(Z

'z'

)-

On m o n t r e aussi qu'il est à v a r i a n c e m i n i m a l e parmi les e s t i m a t e u r s c e n t r é s .

Considérons les p a r a m è t r e s S*, du m o d è l e 3 8 , qui correspond à un s y s t è m e de régressions a p p a r e m m e n t non-liées. P a r l'absence de corrélation entre Zk et uk, et puisque

EKZ'^Z^Z'^}

est une q u a n t i t é finie alors : E(5k) = ak

A l'aide du l e m m e p r é c é d e n t , la m a t r i c e des variances-covariances de

a

$(otk)

* ( â * ) = E{a

- a

)(â

- a

)' = E{Z'

$-

Z

)-

( 4 0 )

un a u t r e e s t i m a t e u r a*k tel que :

al = C

y

C

= A

+ B

A

= {Z

*?Z

)-*Z'

*Z

Bk est une m a t r i c e a r b i t r a i r e non nulle avec une c o m p o s a n t e a l é a t o i r e non c o r r é l é e avec uk.

En vertu de l'absence de c o r r é l a t i o n e n t r e uk et les m a t r i c e s Bk e t Ak, on o b t i e n t :

E{a*

) = a

si E{B

Z

) = 0

*(«;) =E(Z

*-

*Z

)-i + E(B

*

B'

)

puisque $k est définie positive et

B

B

$kB'

5 . 1 . 2 C o n v e r g e n c e e t d i s t r i b u t i o n a s y n i p t ô t i q u e

4 . 2 . 3 . 1 C o n v e r g e n c e d e s e s t i m a t e u r s

P o u r m o n t r e r la c o n v e r g e n c e de ô^.. on a besoin de formulations a p p r o p r i é e s d e s hypo-thèses H3 e t H 5 sur le c o m p o r t e m e n t asyniptôtique des variables e x p l i c a t i v e s .

Soit Zk = ( y * - T a ) , u n e m a t r i c e composée d'une partie aléatoire1 î/L et d ' u n e partit» fixe

xA i o n P ° s t u l e que :

H 3 b : Soit

x

' = x\'L

V

0)

L±

x

J

i

J2

At

At =

J

^

A

A =

A

a v e c MlA définie non n é g a t i v e ( d n n ) et Af^ bornée.

H 4 b : Soit j/lj^ le

t-eme

E(VI

) =

0

E(V\L V%. ) = fi1* définie positive

t

( a ) D é t e r m i n a t i o n d e p l i m

\^Zk$~^

Zk

On va t o u t d ' a b o r d c a l c u l e r la limite en probabilité de dk en p a r t a n t du m o d è l e suivant, qui ressemble au m o d è l e 8 :

ykt

ZktC*k +

kt

Zkt

Nsk,

E{u

) = 0 et E{u

u

') = ft

1 1 (4 1)

= p l i m E (

z'

n-

z

)-

-Et

Z'

N;'

)

Le calcul du p r e m i e r f a c t e u r de c e t t e dernière expression d o n n e une m a t r i c e d o n t le t e r m e générique est défini p a r :

/ t

Ylt y*

y*

y*

A*

et dont on c a l c u l e alors les limites en probabilité des trois quantités d i s t i n c t e s ,

( a . l ) C a l c u l d e p l i m

j^

y

yi

'

plim i y l ' y i = pKm ~ ( n î W n ï +

llïxt'vi +

vïvî)

• plim i ( i i t V V n i = n * ' ( plim ^ x « V ) n i - n s / A / « n i

pour le s e c o n d et le t r o i s i è m e t e r m e s du résultat 4 3 , nous p r o c é d o n s s u r le r é s u l t a t suivant :

• plim ^ n * V ' i > * = IT*' plim

Y

'

^

par la p r o p r i é t é d e la c o n v e r g e n c e q u a d r a t i q u e , qui implique la c o n v e r g e n c e e n p r o b a -bilité :

(i) E(±x

'vi) = ±x

'E№) = 0

(ii) V^vi) = ±xi'E(vivï')xt =

^ E

^

l

-X

'vi)

q u a n t a u d e r n i e r t e r m e , on utilise le t h é o r è m e suivant de K h i n t c h i n e é t e n d u a u c a s de v e c t e u r s a l é a t o i r e s .

T h é o r è m e Soit un échantillon de v e c t e u r s aléatoires i n d é p e n d a n t s : Xt(t = 1 , 2 , . . . , T ) tel que Xt ~ iid (U, il) alors

plim i £ A' « = u e t P,im l ^ ( X ' ~ * ) { X t ~ X ) ' = n

-1

t

t

C e qui nous d o n n e :

alors plim

V( — x*'vi)

T

,k^k

^

T-+<x

>y

'

TV

*'vi =

v{

' = £(i>L

c e t t e m a t r i c e des v a r i a n c e s - c o v a r i a n c e s n'est pas forcément définie p o s i t i v e , s a u f p o u r si i est égale à j .

Il en r é s u l t e que :

( a . 2 ) C a l c u l d e p l i m f E . . V > i ,

p l m i

~

+

rl

).,

,' =

' I 1 T 1 T

pour le- p r e m i e r l e r m e . en utilisanl l ' h y p o t h è s e M3c, nous avons :

. p l i m i £ ,

Wj.r;.r

J

WjM'^L

•=Q'

F i n a l e m e n t , la l i m i t e en probabilité du premier facteur de la formulation 41 est la q u a n t i t é suivante :

p\\m±Z№Z

= :=Q*

( 4 5 )

(a.3) Définiture de Q*

P o u r préciser la définiture de Qk, on manipule la m a t r i c e suivante :

QK

„K NI H

_GN\Wk AN2ltk ••• ANNL<k .

(a.3.1) Les conditions d'inversion de Q\

Au préalable, l ' é t u d e d e la définiture de Qk nécessite de chercher les conditions d'inversion

P a r les hypothèses 113 et H 3 b , A / ' et îî'm sont définies positives; soit I I * une m a t r i c e non

nulle de coefficients, de rang complet et d'ordre1 L x A'* avec /. > A'*, on a :

Q: = i r . A / ' i r . + m

T h é o r è m e [ B a l e s t r a 7 2 ] Soit A et li d e u x m a t r i c e s . Si A d'ordre n est définie p o s i t i v e et.

D d'ordre ( n , m ) et de rang c o m p l e t égale à 7//, alors li1 Ali est définie positive.

P a r ce t h é o r è m e n î / M ' I T * est définie positive, et puisque la s o m m e de d e u x m a t r i c e s définies positives est définie positive, alors Q'M est définie positive. P a r c o n s é q u e n t , e s t

inversible.

Une a u t r e p r o c é d u r e de d é t e r m i n e r les conditions d'inversion de QLK, c o n s i s t e à c a l c u l e r

son d é t e r m i n a n t , c e qui nous d o n n e :

I q ; i = I Q,. I I p,' I = | a 4 h / ? ' i

a v e c

P1 = MA - L ' M « " n ' . ( Q *e) "1n t ' M ' L : = MA - B<*

Ri = Qi - n ^ ' M ^ M i ) - 1 z / M " rr*

E n choisissant de p a r t i r de

P\

L'M'ïl*

L ' M ' i r * = mai ï * *a + MAiAAr r *AA e t i t . V l = i t *a' ma + r r *AA' MAA,A

nous avons :

BI = M i n iA( Q i ) -ln « .A ,A f i + MA,A An i ,A A( g ù -1n ;A A' M X A , A + 2 MAn vA( Ql* ) -1n « ,A A' ^

P a r c o n s é q u e n c e , la m a t r i c e Px p e u t s ' é c r i r e par :

P, = MA( /A- G ' *A) a v e c G,.A = ( M i ) -1B i et G"*A ? 7A

et dont le d é t e r m i n a n t est développé c o m m e suit :

m = - = ( - i )L Ai A f i n c vA - / a |

Il s'en suit que :

i q ï i = ( - i ) ^ i g * i l A ^ n ^ A- / A i

\QL\ ¿0 si | G V A- / a ! 7^0

Si G * ^ a d m e t valeurs p r o p r e s différentes alors G * est d i a g o n a l i s a b l e et;

1 ^ - ^ 1 = 1 1 ( 1 - A , )

/=1

par c o n s é q u e n t , la c o n d i t i o n pour que Q\ soit inversible est la suivante :

| C " *a - / a | ^ 0 si À, £ 1 pour tout / = 1.2 L±

P o u r c o m m e n c e r , c a l c u l o n s le d é t e r m i n a n t de la m a t r i c e suivante en prenant le c a s où /Y

est égale à 2, c e qui nous d o n n e :

\Q*

\ = WnQÏÏW

où

P

A

Q\

- vïtQVtàQlr^Q? =

A

[bQl - QV(Ql)-

Ql

)

( ~k

-k -k

a v e c A = —r— e t 6 = ,

< 1 ( ^ 1 2 )2

puisque, d'après c e qui p r é c è d e , la m a t r i c e Q\ est régulière pour t o u t i, on a d o n c :

P

=AQL

[bI

-{QL)-

Q?{Q

\r

Q\

\

= tâxQ\\\«Q\W - №-

QV{Q\)-

QV\

ainsi, la c o n d i t i o n d'inversion est donnée par :

| Q J ^ 0 si les valeurs p r o p r e s de

{QL)~

QL

{QL)~

Q\

b.

P a r ailleurs, la f o r m e q u a d r a t i q u e associée à Qk pour . V = ( À '1' X2') non nul est définie *

par : q{X) = A " Qf c X, c e qui donne en utilisant la s y m é t r i e de la m a t r i c e :

q

(X)

=

A^'QIX

+ <R

X*'QL

X> + O

X*'Q

X

+ A

X

'Q

X

= A

X

'Q

X

+2a

X

'QL

X

+ A

X

'Q

X

T h é o r è m e [ A c h e r et a l . 7 0 ] T o u t e m a t r i c e A s y m é t r i q u e associée à une f o r m e définie positive ou définie n é g a t i v e est non-singulière.

P u i s q u e Q\ est définie positive alors pour tout i X' Q\XL > 0. Si QKJ e s t définie non

*

n é g a t i v e alors q(X) > 0 pour t o u t X non nul, par conséquent : Qk est définie positive.

*

Dans le c a s g é n é r a l , la f o r m e q u a d r a t i q u e associée à Qk, pour t o u t À'1 non nul, s'écrit

c o m m e suit :

q(X) = Y

,°«X

'QIX

+ZY

,4

'Qk

X

(

)

t t 3

Si on s u p p o s e que

Q

X

'Q

X^

q{X) > 0 pour t o u t X ^ 0. F i n a l e m e n t , d'après l'hypothèse p r é c é d e n t e e t le d e r n i e r t h é o

-r è m e , on o b t i e n t le -r é s u l t a t suivant :

( a . 3 . 2 ) C o n d i t i o n d ' i n v e r s i o n d e Q*K

Une a u t r e façon de t r a i t e r la m a t r i c e QK est de chercher les conditions d e son inversion

en utilisant l ' a l g o r i t h m e de ( ï a u s s généralisé [ C a n t m a c h e r 6 6 ] . En effet, au z-ème bloc ligne *

de Qk, a j o u t o n s le p r e m i e r bloc ligne multiplié à gauche par :

-«№k\°uQ\)~

nous obtenons la matrice* suivante que Ton

noie Q

{\) :

o _^ 22( i )

„k

P

™(1)

PNN

_{( i ) J}

où / f

VFJQV - ^QÏTÂQD-^QÏ

pour », j =

N

Si la m a t r i c e

P

(l)

Q\,

continué. E n effet, on a :

1 ^ ( 1 ) 1 = ( - i ) - as1 Q2J I ( c ?2fc) -1^1W L ) -,g r - BL\

par conséquent, | / ^2 2( 1 ) | ^ 0 si les valeurs propres de

[Q\)~

Q\

[Q\)~~

Q}?

de 6.

C'est ainsi, q u e nous p a r v e n o n s à la formulation suivante, où

(P

(\))

géné-rique :

\QL\ =

HJ

E n posant Qfr ( 2 ) = [ ( / ^ ( l ) ) ] , e^ à son i - è m e bloc, ajoutons le p r e m i e r b l o c ligne multiplié

à g a u c h e p a r :

- / f O K P f O ) ) -

pour i = 3 , 4 , . . . , y v

nous obtenons la m a t r i c e suivante que Ton n o t e QK(3) :

Q * 0 ) =

P

*{2)