Échanges thermiques entre une fondation résidentielle
et les sols en conditions hydrostatiques
Mémoire
Dominique Beaulieu
Maîtrise en génie civil
Maître ès sciences (M. Sc.)
Québec, Canada
iii
Résumé
En faisant l’adaptation d’un modèle numérique récemment développé à l’Université Laval, il a été possible d’évaluer le flux thermique à travers une fondation construite dans différents sols typiques. L’étude consiste en une analyse numérique de transfert thermique incluant la conduction, la convection, le transfert de vapeur et le changement de phase dans des conditions hydrostatique pour des conditions de fondations et de sols représentatives.
La comparaison des modèles incluant différents modes de transfert thermique ne montre pas de différence significative à l’exception du modèle incluant le changement de phase. Les résultats montrent une augmentation du flux thermique d’environ 0,5 W/m2 au maximum provoqué par le changement dephase. Ce travail comprend également la comparaison des déperditions thermiques dans l’argile, le sable et le silt.
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Table des matières
Résumé ________________________________________________________________________ iii
Table des matières ________________________________________________________________ v
Liste des tableaux ________________________________________________________________ vii
Liste des figures _________________________________________________________________ ix
Remerciements _________________________________________________________________ xiii
1. Introduction __________________________________________________________________ 1
2. État des connaissances ________________________________________________________ 5
2.1 Lois de la physique ________________________________________________________ 5
2.2 Paramètres physiques du sol ________________________________________________ 8
2.3 Transfert couplé d’humidité et de chaleur ______________________________________ 18
3. Modèle numérique ___________________________________________________________ 25 3.1 Introduction _____________________________________________________________ 25 3.2 Modèle constitutif ________________________________________________________ 26 3.3 Géométrie ______________________________________________________________ 29 3.4 Hypothèses de modélisation ________________________________________________ 30 3.5 Méthodologie ___________________________________________________________ 38 Résultats __________________________________________________________________ 41 Modèle de conduction pure _________________________________________________ 41 Modèle de conduction et de convection de l’eau ________________________________ 44 Modèle de conduction, convection et transfert de vapeur _________________________ 49 Modèle de conduction et de changement de phase ______________________________ 55 Conclusion _____________________________________________________________ 64
vi
Analyse des résultats ________________________________________________________ 65 Comparaison des modèles ________________________________________________ 65 Comparaisons des types de sols ___________________________________________ 71 Effet du gel en fonction de la profondeur _____________________________________ 74 Discussion _____________________________________________________________ 79 Conclusion ________________________________________________________________ 83 Bibliographie _______________________________________________________________ 85 Annexes __________________________________________________________________ 89 Scripts FlexPDE ________________________________________________________ 89 Analyse de déperdition du silt _____________________________________________ 129
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Liste des tableaux
Tableau 1 : Valeurs de pour différents types de sol à l'état gelé et non gelé ... 10
Tableau 2 : Valeurs de dans le modèle simplifié de 2p [Côté et Konrad, 2009] ... 11
Tableau 3 : Formulation des principaux modèles pour déterminer la courbe de rétention d’eau ... 14
Tableau 4 : Paramètres des 3 types de sols ... 30
Tableau 5 : Propriétés du béton et de l'isolant ... 33
Tableau 6 : Teneur en eau moyenne dans l’argile, le sable et le silt pour le modèle de conduction pure ... 41
Tableau 7 : Résumé des données importantes de la Figure 42 pour le modèle de conduction et de changement de phase ... 76
Tableau 8 : Mois de la plus importante différence de déperdition entre le modèle de conduction pure et le modèle de conduction et de changement de phase ... 77
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Liste des figures
Figure 1 : Mode transfert de chaleur dans une matrice poreuse (adapté de Johansen, 1975) ... 7
Figure 2 : Conductivité thermique non gelée (au-dessus) et gelée (au-dessous) selon le degré de saturation du sol (tiré de Côté et Konrad 2005) ... 9
Figure 3 : Énergie thermique en fonction de la température pour le changement de phase de l'eau gelée en eau liquide ... 12
Figure 4 : courbe de rétention de l’eau typique. Adaptée de Fredlund et Xing [1994]. ... 14
Figure 5 : Teneur en eau non gelée dans 3 différents sols à des températures inférieures à 0⁰C .... 17
Figure 6 : Géométrie de la fondation résidentielle ... 30
Figure 7 : Courbe de rétention d'eau pour les 3 types de sols ... 31
Figure 8 : Conductivité thermique de l'argile à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation ... 32
Figure 9 : Conductivité thermique du sable à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation ... 33
Figure 10 : Conductivité thermique du silt à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation ... 33
Figure 11 : Maillage utilisé dans Flex PDE ... 34
Figure 12 : Condition initiale de pression dans le sol (X et Y sont en mètres) ... 35
Figure 13 : Condition initiale de température pour le modèle de conduction et de changement de phase (X et Y sont en mètres) ... 36
Figure 14 : Conditions limites du modèle ... 37
Figure 15 : Teneur en eau de l'argile, du sable et du silt en fonction de la profondeur. En gris, la teneur en eau du domaine modélisé. ... 42
Figure 16 : Isocontours de température selon le modèle de conduction pure pour les trois sols en janvier et juillet. ... 43
x
Figure 17 : Isocontours de température selon le modèle incluant la conduction et la convection pour les trois sols en janvier et juillet. ... 46
Figure 18 : Isocontours de teneur en eau selon le modèle incluant la conduction et la convection pour les trois sols en janvier. ... 47
Figure 19 : Conductivité thermique du sol pour le modèle incluant conduction et la convection pour les trois sols. ... 48
Figure 20 : Isocontours de température selon le modèle incluant la conduction, la convection et le transfert de vapeur pour les trois sols en janvier et juillet. ... 50
Figure 21 : Isocontours de teneur en eau selon le modèle incluant la conduction, la convection et le transfert de vapeur pour les trois sols en janvier. ... 51
Figure 22 : Teneur en vapeur d’eau volumique pour le modèle incluant la conduction, la convection et le transfert de vapeur pour les trois sols en janvier ... 53
Figure 23 : Teneur en vapeur d’eau volumique pour le modèle incluant la conduction, la convection et le transfert de vapeur pour les trois sols en janvier ... 54
Figure 24 : Isocontours de température selon le modèle incluant la conduction et le changement de phase pour les trois sols en janvier et juillet. ... 56
Figure 25 : Isocontours de teneur en eau selon le modèle incluant la conduction et le changement de phase pour les trois sols en janvier. ... 57
Figure 26 : Isocontours de teneur en eau selon le modèle incluant la conduction et le changement de phase pour les trois sols en juillet. ... 58
Figure 27 : Isocontours de teneur en glace selon le modèle incluant la conduction et le changement de phase pour les trois sols en janvier. ... 59
Figure 28 : Teneur en glace selon le modèle incluant la conduction et le changement de phase pour les trois sols en juillet. ... 60
Figure 29 : Conductivité thermique du sol pour le modèle incluant conduction et le changement de phase pour les trois sols en janvier ... 62
Figure 30 : Conductivité thermique du sol pour le modèle incluant conduction et le changement de phase pour les trois sols en juillet ... 63
xi
Figure 31 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans l’argile pour la section du mur enterré. ... 66
Figure 32 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans l’argile pour la dalle de béton. ... 67
Figure 33 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans l’argile pour la fondation entière. ... 68
Figure 34 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans le sable pour la section du mur enterré. ... 69
Figure 35 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans le sable pour la dalle de béton ... 70
Figure 36 : Déperdition pour 4 modes de transfert dans le sable pour la fondation totale ... 71
Figure 37 : Déperdition dans les trois types de sols (argile, sable et silt) pour le modèle incluant la conduction pure et pour la section enterrée du mur ... 72
Figure 38 : Déperdition dans les trois types de sols (argile, sable et silt) pour le modèle incluant la conduction pure et pour la fondation entière ... 73
Figure 39 : Déperdition dans les trois types de sols (argile, sable et silt) pour le modèle incluant la conduction et le changement de phase et pour la section enterrée du mur ... 74
Figure 40 : Déperdition dans les trois types de sols (argile, sable et silt) pour le modèle incluant la conduction pure et le changement de phase et pour la fondation entière. ... 74
Figure 41 : Géométrie de la fondation avec le mur enterré séparé en 4 sections de même longueur 75 Figure 42 : Déperdition calculée pour quatre sections du mur enterré dans l'argile. ... 76
Figure 43 : Profils instantanés du flux thermique sur toute la hauteur du mur enterré pour le mois le plus froid (janvier) et le mois le plus chaud (juillet) dans le modèle incluant la conduction et le changement de phase. ... 78
Figure 44 : Profils instantanés du flux thermique en fonction de la profondeur durant les mois de gel.. ... 79
Figure 45 : Déperdition annuelle dans une fondation résidentielle comparée à la variation annuelle de température ... 80
Figure 46 : Perte d'énergie annuelle totale dans l'argile pour le modèle de conduction pure et le modèle de conduction et de changement de phase. ... 81
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Remerciements
Le présent projet a été réalisé en collaboration avec l’Institut de recherche de l’Hydro-Québec (IREQ) Je remercie mon directeur de recherche, prof. Jean Côté, pour son soutien et sa grande disponibilité lors l’accomplissement de mon projet.
Je tiens également à remercier mes collègues et amis : Jean-Daniel, Vincent (2), Jean-Sébastien, Félix-Antoine, Pierre-Olivier, Eugène-Charles et les autres pour le support moral et la bonne compagnie dans le bureau.
Finalement, un remerciement tout particulier à ma fiancée, Maude Fleury, qui m’a supporté et aidé durant toute ma maîtrise.
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1. Introduction
L’isolation des résidences contre le froid ou contre la chaleur en fonction des saisons est une constante préoccupation. Les coûts de l’électricité au Québec ayant augmenté drastiquement depuis les années 1970, les technologies visant l’économie de la ressource ne cessent de se développer. Un des buts de ces technologies est de garder la chaleur à l’intérieur des résidences afin de réduire la consommation d’énergie de chauffage en hiver. Depuis longtemps, la perte de chaleur par le sol est négligeable par rapport aux pertes de chaleur par les autres surfaces d’un bâtiment. Naturellement, la chaleur monte et a donc tendance à s’échapper par le toit ou les murs plutôt que par le sol qui agit comme isolant naturel et réservoir thermique. Dans les années 90, l’estimation de la perte de chaleur par la fondation était d’environ 15 % en comparaison avec 35 % pour les murs, 25 % pour le toit, 15 % pour les différentes fuites d’air et 10 % pour les fenêtres [Cairns, 1993]. Avec l’amélioration de l’isolation des résidences, l’importance relative des pertes de chaleur par la fondation prend de l’ampleur et devient un facteur important dans le rendement énergétique d’une habitation. De nos jours, les pertes de chaleur par la fondation sont plutôt de l’ordre de 30 % à 50 % [Deru et Laboratory, 2003].
L’utilisation de l’énergie pour obtenir une température confortable à l’intérieur varie en fonction de la température extérieure. Cependant, cette variation est décalée dans le temps. En effet, les murs et les sols de fondation agissent comme tampon thermique et emmagasinent la chaleur. Dans l’optique d’exploiter de nouveaux potentiels d’économies d’énergie, la possibilité d’utiliser l’énergie emmagasinée dans les sols de fondation est considérée.
Dans la littérature, on retrouve déjà plusieurs travaux sur les transferts de chaleur dans les bâtiments. Hagentoft et Claesson [1991] présentent une revue de la littérature sur la perte de chaleur dans le sol à travers la dalle de béton d’une résidence. Ils y décrivent l’effet de la perte de chaleur en tenant compte des variations de température extérieures. Une méthode simplifiée basée sur un modèle en deux dimensions de flux thermique dans une dalle sur le sol est présentée de façon à être utilisée simplement. Dans un autre article, Hagentoft [1996] développe un modèle de transfert de chaleur couplé de conduction et d’écoulement de l’eau en considérant l’effet d’un écoulement de l’eau souterraine à un bâtiment résidentiel. Il y présente l’équation de la perte de chaleur additionnelle causée par cet écoulement. L’importance des recherches de Hagentoft a mené Janssen et coll. [2002] à développer un modèle numérique de transfert couplé de chaleur et d’humidité (vapeur et air dans les
2
pores) sur la base des équations de Philip et De Vries [1957]. Une différence significative est observée entre le modèle couplé et le modèle de conduction pure. Dans la saison chaude, une différence de 10% est observée. Janssen affirme que le transfert de vapeur ne devrait pas être négligé comme il est souvent le cas dans les modèles de transfert de chaleur. Dans un climat nordique, le changement de phase de l’eau en glace questionne les chercheurs sur son effet dans le transfert thermique. Hansson et coll. [2004] développent sur le sujet un modèle numérique adapté au sol soumis à des cycles de gel-dégel dans le domaine routier. Le modèle considère la conduction, la convection de l’eau, la diffusion de vapeur et le transfert de chaleur latente de fusion et d’évaporation. Ce modèle, validé en laboratoire, pourra servir dans le contexte de cette étude.
Au Québec, Laurencelle et Fournier [2011] ont quantifié la déperdition dans une fondation résidentielle soumise aux variations de température annuelles du climat typique québécois. Un modèle numérique simple a montré le décalage entre la température extérieure et la température du sol. Cette étude orientée sur le degré d’isolation du mur et de la dalle ainsi que le positionnement de cet isolant a permis d’amorcer le développement des stratégies d’isolations applicables au marché résidentiel. Basé sur un modèle de transfert de chaleur qui considère la porosité, le degré de saturation et la structure du sol, un modèle numérique a récemment été développé et validé sur des essais de laboratoire [P. Maghoul et coll., 2012]. Ce modèle prend en considération toutes les particularités du climat y compris le gel de la fondation, phénomène caractéristique du climat québécois. Il tient compte de l’écoulement de chaleur et d’eau par un couplage des différentes lois de transfert thermique et hydrique ainsi que du changement de phase.
Le projet dans lequel s’inscrit ce travail est d’abord instauré par l’institut de recherche de l’Hydro-Québec (IREQ). L’IREQ a comme objectif d’utiliser l’énergie emmagasinée dans le sol comme un réservoir thermique. Différentes conceptions d’isolation de la fondation permettraient peut-être d’amortir sur plusieurs jours les grandes dépenses énergétiques occasionnées par une journée très froide. Ce travail consiste à utiliser des données réalistes des sols et de l’environnement pour vérifier et adapter le nouveau modèle de P. Maghoul et coll. [2012] et d’établir quels sont les modes de transferts de chaleur d’importance dans conditions de terrain typique au Québec. Puisque ce travail sert principalement de vérification, les différentes modélisations seront faites en conditions hydrostatiques. Cette simplification permettra une vérification du fonctionnement de chacun des modes de transfert plus directe. En faisant varier les types de sols et en utilisant différents couplages de mode
3 de transfert thermique il sera tout de même possible quantifier la perte de chaleur dans ces sols puisque les conditions hydrostatiques représentent bien souvent la réalité. Ce travail inclut aussi l’implantation des modèles de propriétés hydriques et thermiques des sols.
La lecture du mémoire est séparée en 6 différents chapitres, le premier étant la présente introduction. Le chapitre 2 fait l’état des connaissances sur les différents paramètres physiques du sol et le transfert couplé d’humidité et de chaleur. Dans le chapitre 3 suivra une description du modèle numérique et du processus de modélisation. Également dans cette section, toutes les équations se retrouvant dans le modèle numérique seront présentées. Au chapitre 4, les résultats bruts des différentes simulations seront étalés et expliqués. L’analyse des résultats de déperdition thermique et une discussion sur les différents modes de transfert thermique seront faites au chapitre 5. Le mémoire se conclut au chapitre 6.
5
2. État des connaissances
Un modèle de transfert de chaleur dans les sols se base plusieurs lois de la physique. En couplant l’écoulement de chaleur à l’écoulement de l’eau, un modèle numérique devient la solution à préconiser étant donné la complexité des équations. Les connaissances requises pour faire fonctionner un tel modèle numérique sont nombreuses et diverses. Ce chapitre fera l’étalement de ces connaissances. Les lois de la physique du transfert thermique et les différents types de transferts thermiques seront révisés. Par la suite, une description des paramètres physique du sol sera séparée en propriétés thermiques et en propriétés hydrogéologiques. La théorie sur les équations de transferts thermiques couplés sera expliquée et les équations de conservations de l’énergie utilisées dans le travail seront développées.
2.1 Lois de la physique
Les trois principaux modes de transfert de chaleur sont la conduction, le rayonnement et la convection. Le changement de phase d’un corps qui n’est pas un mode de transfert proprement dit viendra tout de même influencer le comportement de l’énergie thermique.
2.1.1 Conduction
La conduction est le transfert de chaleur à travers un corps d’une région de haute température vers une région de basse température par le mouvement moléculaire [Kakaç et Yener, 1993]. Elle se produit lorsque deux corps entrent en contact et qu’ils sont à différentes températures. Le rayonnement est le transfert de chaleur par ondes électromagnétiques. L’équation du transfert de chaleur pas conduction est donnée par la loi de Fourier. Cette loi admet que la température s’écoule du point le plus chaud vers le point le moins chaud. Selon la première loi de la thermodynamique, le flux sera constant. L’expérience montre que le flux de chaleur est directement proportionnel à la différence de température et à la conductivité thermique (. Le flux « q » est donc formulé ainsi :
1 2 T T q L (2.1)
6
Pour un milieu donné, T1 et T2 sont les températures de deux côtés du milieu (T1 >T2), « » est la conductivité thermique du milieu et « L » est l’épaisseur du milieu.
2.1.2 Convection
La convection quant à elle, se produit en présence d’un mouvement de fluide transportant l’énergie thermique. Ce mode de transfert de chaleur combine la conduction et le mouvement du fluide. C’est la loi de Newton sur le refroidissement qui correspond au mode de transfert de chaleur par convection. On considère que le corps qui se refroidit est entouré d’une couche de fluide immobile. Par conduction, la chaleur se transfère dans le fluide avant qu’il ne soit transporté.
'' n w q h T T (2.2) Où : Tw : Température du corps T∞= Température du fluide h : coefficient de convection 2.1.3 RadiationTous corps, qu’ils soient liquides, solides ou gazeux, émettent du rayonnement dont l’intensité varie en fonction de la température de surface. Le rayonnement peut traverser certaines substances comme le verre. La loi de Stefan-Boltzmann sur la radiation montre que l’émission totale des radiations par unité de surface et par unité de temps, émise par un corps noir, correspond à la température de la surface de ce corps à la puissance quatre [Kakaç et Yener, 1993].
'' 4 , r b q T (2.3) = 5.6697x10-8 W/(m2K4) : Constante de Stefan-Boltzmann T : température de la surface d’un corps émettant les radiations.
2.1.4 Changement de phase
En plus des trois principaux modes de transfert thermique, on retrouve le transfert de chaleur latente qui est un phénomène comprenant l’absorption de la chaleur lors du passage solide à liquide ou encore liquide à gazeux et la libération de la chaleur dans le sens inverse. Dans les sols, le gel et dégel de l’eau à l’intérieur de la matrice ainsi et la vaporisation de l’eau dans les pores remplis d’air produiront
7 ce phénomène. Le transfert de chaleur latente causé par le changement de phase est donc considéré comme un quatrième mode de transfert de chaleur. La théorie sur la chaleur latente ainsi que la façon dont elle est intégrée au travail sont décrites à la section 2.2.1.2.
2.1.5 Transfert de chaleur dans les sols
Dans les sols, les trois modes de transfert de chaleur sont possibles. Cependant, ils n’ont pas tous la même importance en fonction du type de sols. La Figure 1 montre le mode de transfert de chaleur principal en fonction de la granulométrie du sol et du degré de saturation
Figure 1 : Mode transfert de chaleur dans une matrice poreuse (adapté de Johansen, 1975)
On remarque que dans la majorité des cas, le transfert par conduction est le plus significatif. La convection avec l’eau est plus importante dans les sols ayant une perméabilité importante comme les sables grossiers ainsi que les graviers. Une perméabilité importante favorise la circulation de l’eau et donc facilite les transferts par convection. Pour un même sol, lorsque le degré de saturation est faible, c’est l’air qui prend la place de l’eau. Dans le même sens, de grosses particules à un degré de saturation faible se transmettent l’énergie thermique principalement par radiation. La diffusion de la vapeur, qui est en fait une forme de conduction thermique, sera au plus importante dans les sols fins et lorsque l’eau dans le sol est près de l’état résiduel.
1 : Conduction
2 : Convection de l’eau
3 : Radiation
4 : Convection de l’air
5 : Diffusion de vapeur
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2.2 Paramètres physiques du sol
2.2.1 Propriétés thermiques du solL’amplitude du transfert de chaleur à travers le sol dépend des propriétés thermiques de celui-ci. La conductivité thermique, la chaleur latente et la capacité thermique d’un matériau granulaire doivent être bien connues pour en comprendre le comportement thermique.
2.2.1.1 Conductivité thermique
La conductivité thermique représente l’énergie par unité de temps qui traverse un matériau sous forme de chaleur lorsqu’il y a un gradient de température. Chaque matériau à une valeur de conductivité thermique qui lui est propre. Dans un sol, la conductivité thermique globale dépend de la composition de celui-ci. Comme la conductivité thermique de l’eau est plus importante que celle de l’air, un sol saturé aura une plus grande conductivité thermique. De la même façon, un sol qui commence à geler aura une conductivité thermique plus élevée puisque la conductivité thermique de l’eau gelée est presque quatre fois plus élevée que celle de l’eau liquide. Conséquemment, le degré de saturation du sol viendra aussi influencer cette valeur.
9 Figure 2 : Conductivité thermique non gelée (au-dessus) et gelée (au-dessous) selon le degré de saturation du sol (tiré de
Côté et Konrad 2005)
Dans la Figure 2, on observe une variation de la conductivité thermique en fonction du degré de saturation. L’augmentation de la conductivité thermique dans le cas du sol gelé est nettement plus marquée que dans le cas du sol non gelé. À l’état saturé, le sable atteint une valeur d’environ 4 W/m0C pour le sol gelé et près de 2,75 W/m0C pour le sol non gelé.
Les modèles pour déterminer la conductivité thermique sont nombreux et variés. Farouki [1981] fait la comparaison des modèles de Kersten [1949], Mickley [1951], De Vries [1963] et Johansen [1975]. Il en conclut que la méthode de Johansen est la plus efficace, car elle donne de bonnes approximations jusqu’à pleine saturation en considérant une teneur en eau non gelée dans les calculs. La précision de cette méthode est de plus ou moins 35%. Dans ce travail, le modèle utilisé est celui de Côté et Konrad [2005] et Côté et Konrad [2009]. Sur la base du le concept de conductivité thermique normalisé de Johansen [1975] et à partir de nombreux résultats expérimentaux de la littérature, Côté et Konrad [2005] en ont fait une version semi-empirique issue de plusieurs expérimentations. L’objectif de ce modèle était qu’il soit capable d’estimer la conductivité thermique des sols naturels et des matériaux de construction. Les formules de prédiction de la conductivité thermique sont décrites en 2.4 à 2.6.
10
sec sec
(
sat)
r
(2.4)1 n n u u
sat s eau glace
(2.5)
1
1
r r rS
S
(2.6) Où :
: conductivité thermique du solsa t
: conductivité thermique du sol à l’état saturér
: conductivité thermique normalisée du sols e c
: conductivité thermique du sol secs
: conductivité thermique des grains de soleau
: conductivité thermique de l’eauglace
: conductivité thermique de la glaceLe paramètre empirique varie selon le type de sol. Les valeurs de sont présentées au Tableau 1. Ce paramètre est aussi dépendant de l’état du sol, soit gelé ou non gelé. Cette méthode peut atteindre une précision de l’ordre de 20%.
Tableau 1 : Valeurs de pour différents types de sol à l'état gelé et non gelé Gravier Sable Argile et Silt Terre organique non gelé 4,6 3,55 1,9 0,6
gelé 1,7 0,95 0,855 0,25
En 2009, Côté et Konrad [2009] améliorent le modèle pour lui permettre de tenir compte des effets de structures du sol et des matériaux de construction. Ils introduisent le facteur empirique p qui est
« relié à la structure thermique du sol biphase (solide-liquide) et principalement influencé par le contact entre les grains, la distribution des différentes grosseurs de pore, l’eau et l’air à l’intérieur des pores et la continuité des 3 phases ». L’expression de la conductivité thermique du sol sec devient donc :
2 sec 21
1
1 1
p s f f pn
n
(2.7)11 Côté et Konrad présentent également une manière simplifiée d’obtenir le paramètre empirique 2p en fonction du ratio de la conductivité thermique du fluide (
f ) sur la conductivité thermique du solide( )
s et d’un facteur représentants la forme et l’angularité des matières granulaires :2
0, 29 15
f p s
(2.8)Les valeurs de sont présentées au Tableau 2
.
Tableau 2 : Valeurs de dans le modèle simplifié de 2p [Côté et Konrad, 2009]
Matériau ks/kf
Tout > 1/15 0.46
Arrondies ≤ 1/15 0.81
Angulaires ≤ 1/15 0.54
Cimenté ≤ 1/15 0.34
Les équations 2.4 à 2.8 du modèle de Côté et Konrad [2005] et [2009] seront utilisées dans les différentes modélisations dans ce travail.
2.2.1.2 Enthalpie
Lors d’un changement de phase d’un élément, une certaine quantité d’énergie est relâchée ou absorbée. Il s’agit de la chaleur latente. La Figure 3 montre le comportement de l’énergie en fonction de la température pour le changement de phase de l’eau gelée en eau liquide. La chaleur latente (L) y est représentée à une température de 0⁰C. Dans le cas du changement de phase de l’eau liquide en glace, la chaleur libérée est de 333,7 MJ/m3 (80 cal/kg) et pour de la vapeur d’eau en eau liquide, l’énergie libérée est de 2257 MJ/m3. (542 cal/kg) En comparaison avec les autres substances, l’eau à une valeur de chaleur latente élevée. La valeur de chaleur latente dans un sol varie donc principalement en fonction de la teneur en eau gelée et non gelée. La chaleur la tente de fusion (Lf) d’un sol pour 1 m3 de sol est calculée avec la formule suivante :
f r w
L S n L (2.9) Lw = 80 cal/kg = 333 MJ/m3
12
Figure 3 : Énergie thermique en fonction de la température pour le changement de phase de l'eau gelée en eau liquide
La chaleur spécifique est la quantité de chaleur requise en joule pour qu’un gramme d’un élément augmente de un degré Celsius. En y multipliant la masse volumique de l’élément en question, on obtient la capacité thermique volumique. Sur la Figure 3, la capacité thermique volumique est représentée comme la pente de la droite de l’énergie en fonction de la température. Il est possible d’obtenir la capacité de chaleur volumique d’un sol gelé (Cf) et non gelé (Cu) à l’aide des formules suivantes [Andersland et Ladanyi, 2004] :
(1 )
(1
)
u s r w r aC
n C S n C
S n
C
(2.10) (1 ) (1 ) f s r i r a C n C S n C S n
C
(2.11)Cw = capacité thermique de l’eau = 4.180 MJ/m3⁰C Ci = capacité thermique de l’eau gelée = 2.060 MJ/m3⁰C Cs = capacité thermique des particules de sol = 0.800 MJ/m3⁰C
De manière générale, on écrit l’équation de capacité thermique d’un sol de la façon suivante :
13 Dans cette équation, scorrespond à la fraction de sol, wd’eau, i de glace et ad’air par rapport au volume total de sol. Ca correspond à la capacité thermique de l’air. Cette valeur étant très faible, le terme de l’équation sera négligé. L’équation de la capacité thermique s’un sol devient donc :
∙ ∙ ∙ (2.13)
Dans un sol gelé, il est possible prendre en compte l’énergie potentielle de la chaleur latente de fusion. Ce concept introduit la capacité thermique apparente d’un sol et est décrit à la section 2.3.2.2. 2.2.2 Propriétés hydrogéologiques
Dans un modèle de transfert de chaleur, la convection et le transfert de vapeur dépendent des propriétés hydrogéologiques. Par exemple dans les sols, c’est généralement l’eau qui agit comme fluide de transfert de chaleur entre les particules. L’étude du comportement de l’eau dans les sols devient donc essentielle à la compréhension d’un éventuel modèle couplé de transfert thermique et hydrique.
2.2.2.1 Courbe de rétention d’eau
Le volume d’eau que peut contenir un sol dépend principalement de la taille des particules de sol et de l’espace entre ces particules. Cet espace, appelé pore, se remplit et se vide en fonction de la succion dans le sol. À mesure que la succion augmente dans un sol, la teneur en eau volumique diminue. La succion nécessaire pour vider un pore d’eau dépend du volume de celui-ci. Les sols ayant différentes grosseurs de pore se vident donc progressivement et ceux dons la grosseur de pore est similaires se vident de l’eau de façon plus instantanée.
La courbe de rétention d’eau permet de visualiser le comportement d’un sol lors d’un passage de l’état non saturé vers la saturation et vice-versa. Elle exprime plusieurs données importantes à l’analyse du sol comme la pression d’entrée d’air (a) et la teneur en eau résiduelle (r). La Figure 4 montre une courbe de rétention de l’eau typique pour un sol silteux.
14
Figure 4 : courbe de rétention de l’eau typique. Adaptée de Fredlund et Xing [1994].
La courbe de rétention d’eau sera différente en fonction du type de sol. La pression d’entrée d’air, pression d’air nécessaire pour que le sol commence à se désaturer, sera plus élevée dans les sols à grains fins comme les silts ou encore plus les argiles. Les pores étant plus petits la succion exercée sera plus grande.
Les principaux modèles descriptifs pour déterminer la courbe de rétention d’eau d’un sol sont ceux de Brooks et Corey [1964], de Van Genuchten [1980] et de Fredlund et Xing [1994]. Les deux premiers sont souvent utilisés pour leur simplicité tandis que celui de Fredlund et Xing étant plus général offre une meilleure description de la courbe de rétention d’eau sur la gamme complète de succion. Le Tableau 3 montre les formulations des trois modèles.
Tableau 3 : Formulation des principaux modèles pour déterminer la courbe de rétention d’eau
Auteurs Paramètres Modèles
Brooks et Corey [1964]
θsat = teneur en eau volumique à saturation
θe = teneur en eau effective
λBC = indice de distribution du volume des pores BC a r e s at r Van Genuchten [1980] mv, nv et αv = constantes d’ajustement du modèle
1 1 v v m e n v 15 Fredlund et Xing
[1994]
af = valeur approximative de ψa nf = paramètre de lissage qui contrôle la pente au point d’inflexion de la courbe de rétention d’eau
mf = paramètre de lissage de courbe e = nombre d’Euler
( ) ln / ln 1 / ( ) 1 ln 1 (1000000 / ) sat mf nf f r r c e a et c Le modèle de Van Genuchten est celui le plus utilisé puisque « n » et « m » peuvent être relié par la relation : « m = 1-1/n ». Il devient donc beaucoup plus facile de modéliser avec cette variable en moins. 2.2.2.2 Perméabilité
La perméabilité d’un sol correspond à sa capacité à y laisser s’écouler l’eau. Dans un sol non saturé, la présence de l’air obstacle l’écoulement de l’eau qui peut s’écouler seulement par les endroits poreux déjà remplis d’eau. Puisque la teneur en eau diminue en fonction de l’augmentation de la succion dans le sol et que l’augmentation de la succion est proportionnelle à l’augmentation de la conductivité hydraulique, la perméabilité est de manière indirecte une variation de la conductivité hydraulique en fonction de la succion du sol.
Le coefficient de perméabilité dépend du milieu poreux, mais aussi du fluide lui-même. Selon le type de sol ou encore le type de fluide, il y aura différentes valeurs du coefficient de perméabilité [Fredlund et Rahardjo, 1993]. Bien qu’il soit possible de déterminer la perméabilité d’un sol en laboratoire, il est généralement plus facile d’utiliser une méthode indirecte à partir de la courbe de rétention d’eau. Encore une fois plusieurs modèles décrivent la fonction de perméabilité d’un sol comme celui de Brooks et Corey [1964] ou de Van Genuchten [1980] qui est souvent utilisé.
2.2.2.2.1 Relation entre coefficients de perméabilité et le degré de saturation
Le principal facteur dans la variation du degré de perméabilité reste la succion. Lorsque la succion est nulle, la valeur de la conductivité hydraulique est égale à celle à l’état saturé. Il est possible de déterminer la variation de la conductivité hydraulique en fonction de la succion du sol. Bien que des méthodes en laboratoire nous permettent de déterminer cette fonction de perméabilité, elle est généralement déduite à partir de la courbe de rétention d’eau.
16
Certains modèles permettent d’obtenir la conductivité hydraulique en fonction du degré de saturation (Sr) l’équation 2.14 présente celui de Van Genuchten (1980) :
. 1 1 / (2.14)
Où
: perméabilité dite géométrique ou intrinsèque du milieu m : paramètre lié au type de sol
La perméabilité intrinsèque d’un sol ( est indépendante des propriétés du fluide. Dans le modèle numérique, cette valeur correspond à la perméabilité du sol à l’état saturée (ksat). Les valeurs de ksat utilisées sont des valeurs typiques de l’argile, du silt et du sable, soit respectivement 1e-9, 1e-7 et 1e-4 m/s.
2.2.2.2.2 Relation entre coefficients de perméabilité et la température
Le coefficient de perméabilité à tendance à augmenter avec l’augmentation de la température. Ce phénomène se rattache à la viscosité de l’eau. L’eau à plus haute température à une viscosité moins grande qu’à basse température. La friction de l’eau lors de l’écoulement est alors diminuée. La formulation du coefficient de perméabilité s’écrit donc de la façon suivante :
0 o T T T
k
k
(2.15) OùT : Viscosité de l’eau à la température (T)
: Viscosité de l’eau à une température de référence absolue
k0 : coefficient de perméabilité à l’eau à la température de référence absolue . (Équation 2.14)
De façon expérimentale, les valeurs de la viscosité en fonction de la température sont connues. Des équations empiriques sont proposées dont celle de Kaye et Laby [1928] qui sera utilisée dans ce travail.
17
0.6612 229 . (2.16)
L’augmentation de la température a pour effet de diminuer la viscosité dynamique de l’eau. Comme mentionnée précédemment, une viscosité plus faible entrainera une augmentation de la conductivité hydraulique puisque la friction à l’intérieur de la matrice rigide d’un sol sera diminuée.
2.2.2.3 Teneur en eau non gelée
L’eau dans le sol à des températures inférieures à 0⁰C se comporte de différentes façons. Dans les sols fins comme l’argile, une partie de l’eau ne gèle pas. La température à laquelle l’eau gèle dans le sol dépend de la surface spécifique des particules de la matrice du sol, de la minéralogie du sol et des pressions exercées à la surface des particules, telles que les forces d’adsorption et les pressions capillaires.
Figure 5 : Teneur en eau non gelée dans 3 différents sols à des températures inférieures à 0⁰C [Watanabe et coll., 2011] Dans la Figure 5, on remarque que pour les sols plus fins comme le silt, la température doit être plus basse pour geler l’eau dans le sol que pour les sols plus grossiers comme le sable. On remarque aussi que les courbes pour le silt et le loam (composé de sable, de limon et d’argile) atteignent un plateau à près de 7 % d’eau non gelée, ce qui signifie qu’il restera toujours de liquide même au-delà des -200C.En comparaisons, l’eau dans le sable gèle presque en totalité dès que la température chute sous 00C. Dans la section 2.3.2 sur le gel, la méthode de calcul utilisée dans le modèle numérique pour la détermination de la teneur en eau gelée et non gelée sera détaillée.
18
2.3 Transfert couplé d’humidité et de chaleur
2.3.1 EauCette section présente les concepts qui gouvernent les mouvements de l’eau liquide et gazeuse dans la matrice granulaire.
2.3.1.1 Transfert liquide
Le transfert de l’eau dans le sol se base sur l’équation de Darcy généralisée : q
(2.17) où :
: vitesse d’écoulement de l’eau / , q : flux de densité du liquide en / ,
: masse volumique de l’eau en / ,
: constante de perméabilité à l’eau du milieu en / , : potentiel capillaire en ,
: hauteur en
Pour une teneur en eau donnée, la variation du potentiel capillaire est en fonction de la température établie à l’aide de la tension superficielle de l’eau :
, (2.18)
et sont, respectivement, le potentiel capillaire et la tension superficielle de l’eau pour une température de référence .
Dans les sols non saturés, la tension superficielle de l’eau varie en fonction de la température. La formulation utilisée dans ce travail est celle présentée par Thomas et Li [1995]
0.1171 0.0001516 (2.19)
Où est en ° .
Cette équation montre que la tension superficielle de l’eau () diminue de façon linéaire lorsque la température augmente.
19 2.3.1.2 Transfert de vapeur
Deux types de transfert de vapeur peuvent se produire. Le premier est causé par une variation de la pression dans un milieu est nommé diffusion, le second est causé par un mouvement de la masse d’air et se nomme convection. La convection est incluse comme une partie du flux de masse d’air et ne sera pas considérée puisque le transfert de masse d’air est négligé dans la modélisation.
Dans le cas de la diffusion, Rollins et coll. [1954] écrivent le flux de densité de vapeur avec l’équation suivante :
(2.20) où
: flux de densité de la vapeur en / ,
: diffusivité moléculaire de la vapeur d’eau dans l’air en / ,
2.3 6 5 5.893 10 10 atm T D (2.21): masse molaire du fluide (pour l’eau 18,015 g/mol) : constante universelle des gaz de 8.31 / / , : température absolue en ° ,
: pression de gaz en bar,
: pression partielle de la vapeur d’eau en bar.
Cette équation permet d’établir la quantité d’humidité sous forme gazeuse qui se déplace dans un modèle capillaire. Dans le cas des sols non saturés, il faudra lui ajouter un paramètre de tortuosité . Puisque l’humidité ne peut circuler que par les vides remplis d’air, l’équation 2.20 est modifiée pour tenir compte du volume effectif réduit par rapport au volume unitaire :
(2.22)
correspond à la teneur volumique en air du sol : 1 , où est la porosité du milieu et est le degré de saturation en eau. En considérant que la vapeur d’eau respecte la loi des gaz parfaits, il est possible de simplifier l’équation 2.22 :
20
(2.23) où
/ , cette valeur est très proche de 1 et sera considérée comme telle dans les modèles numériques de ce mémoire.
: masse volumique de la vapeur d’eau en kg/m3.
L’équation utilisée à présent a été développée par Philip et De Vries [1957] et est ensuite modifiée dans les travaux de Ewen et Thomas [1989]. L’équation finale du flux de vapeur est donnée en 2.24. Les équations 2.25 à 2.31 définissent les différents paramètres de l’équation 2.24.
(2.24) Où ≺ 0 (2.25) ≺ 0 (2.26) : l’accélération gravitationnelle (9.81 m/s2)
: humidité relative du milieu tiré de Edlefsen et Anderson [1943] : tension superficielle de l’eau à température (T)
: tension superficielle de l’eau à une température de référence.
exp / (2.27)
Où :
: la densité de vapeur d’eau saturée en / ,
194.4 0.06374 273 0.1634
10 273 (2.28)
Le paramètre de l’équation 2.25 est estimé selon la méthode proposée par Preece [1975] tel que :
21 1 3 2 1 1 1 1 2 (2.29) où : 1 (2.30) 0.3333 0.325 0.09 ≺ ≺ 0.0033 11.11 0.33 0.325 0.09 0 ≺ ≺ 0.09 (2.31)
où est la conductivité thermique de l’air (0.0258 W/m K), est la conductivité thermique de l’eau (0.6 W/m K) et la conductivité thermique de la vapeur représentée par :
(2.32) [P Maghoul et Côté, 2013] 2.3.1.3 Transfert total de l’humidité
La somme de l’écoulement liquide et des deux types de transfert gazeux (diffusion et convection) correspond au mouvement total de l’humidité dans un sol non saturé. Ce mouvement de masse est représenté par l’équation suivante :
(2.33) représente le flux correspondant au transfert par convection et la vitesse de l’air.
Comme expliqué dans la section 2.3.1.2, le flux de masse d’air étant généralement négligeable, il n’est pas considéré dans la modélisation. L’équation applicable devient donc :
(2.34)
2.3.1.4 Conservation de la masse d’humidité
22
. 0 (2.35)
L’équation de conservation de la masse assure que sortie du flux de masse d’humidité à l’intérieur d’un volume de contrôle équivaut à l’entrée de l’élément suivant. Pour plus de détails sur les équations de conservation de masse, le lecteur est référé à [Harlan, 1973] et [Dall'Amico et coll., 2011].
2.3.2 Gel
2.3.2.1 Hypothèse gel = séchage et teneur en eau gelée
Le gel dans la fondation a été modélisé en utilisant l’hypothèse de gel = séchage à l’aide de l’équation de Clausius-Clapeyron pour déterminer la pression de gel. En intégrant la pression de gel dans l’équation de Van Genuchten de la succion en fonction de la teneur en eau, il est possible d’obtenir la teneur en eau totale et la teneur en eau non gelée. Il est par conséquent possible de déduire la teneur en glace dans le sol.
L’hypothèse « gel = séchage » est souvent utilisée dans la littérature [Miller, 1965]. Elle signifie que la pression d’eau après le début du gel est additionnée d’une quantité ∆ .
∆ (2.36)
Cette hypothèse implique que l’air et la glace seront considérés à la pression atmosphérique. Dans ce travail, l’hypothèse du gel=séchage est nécessaire puisqu’elle nous permet d’éliminer un inconnu lors de la modélisation.
La relation de Clausius-Clapeyron détermine la pression nécessaire pour produire un changement de phase à partir d’une température de référence et du concept de chaleur latente. La pression au changement de phase ( ) est donc formulée ainsi :
(2.37)
23 Dans le sol, la pression de l’eau est exprimée en termes de succion. L’équation 2.36 devient donc
ψ ψ ψ (2.38)
De l’équation 2.37, la pression de gel devient :
ψ (2.39)
Les succions sont intégrées à l’équation de la courbe caractéristique de l’eau du sol proposé par Van Genuchten [1980] :
Ψ . 1 Ψ (2.40)
La teneur en eau avant le gel (Θ) est donc formulé comme une fonction de de ψ et la teneur en eau liquide lorsque le gel se produit est une fonction de ψ .
Θ ψ (2.41)
ψ (2.42)
La quantité d’eau ayant changé de phase est donc la différence entre la teneur en eau à ψ et à ψ . Il devient possible de déduire la teneur en glace :
Θ (2.43)
La teneur en glace ( ) est par la suite utilisée pour le calcul de la conductivité thermique du sol dans le modèle de Côté et Konrad [2009] de même que pour le calcul de la capacité thermique du sol. 2.3.2.2 Capacité thermique apparente
Dans un sol qui gèle, il est possible prendre en compte l’énergie latente de fusion dans un terme de capacité thermique apparente. La capacité thermique apparente du sol est exprimée par :
Ψ Ψ
24
Où, et représentent la capacité thermique massique de l’eau et de la glace.
La capacité thermique apparente est donc une fonction de la succion dans le sol Ψ et de la température .
2.3.3 Chaleur
2.3.3.1 Transfert de chaleur
L’équation 2.45 présente l’équation du transfert total de chaleur.
(2.45)
Le premier terme du côté droit de l’équation correspond au transfert par conduction pure. représente la conductivité thermique totale du sol multiphase. Le deuxième terme de l’équation combine le transfert par convection de l’eau et la diffusion de vapeur. Le troisième terme de l’équation correspond au transfert par la chaleur latente de vaporisation (L) et le quatrième terme de l’équation correspond au transfert par la chaleur latente de fusion (Lf). Dans le présent travail, cette équation ne sera jamais utilisée tel quel puisque les différents modes de transfert thermique seront isolés dans différentes analyses. Les équations utilisées dans chacune de ces analyses seront décrites au chapitre 3.
2.3.3.2 Conservation de l’énergie
Comme c’est le cas des autres équations de conservation de la masse, l’équation de conservation de l’énergie nous permet d’évaluer le bilan d’énergie à l’intérieur de chaque volume de contrôle. L’équation s’exprime par :
. 0 (2.46)
Où
: Flux total de chaleur
: Quantité volumique de chaleur du sol
25
3. Modèle numérique
3.1 Introduction
L’objectif de ce travail est de déterminer l’importance relative de chacun des modes de transfert de chaleur et de quantifier la perte de chaleur à travers une fondation résidentielle typique. La complexité des équations lors du couplage des modes de transfert de chaleur nous laisse d’autres choix que d’utiliser un modèle numérique pour arriver à nos fins. Le modèle numérique utilisé dans le travail à été conçu par P. Maghoul et coll. [2012]. Ce modèle a précédemment été validé par des comparaisons avec des données de laboratoire. L’indépendance de son maillage ainsi que le pas de temps sont contrôlés dans le logiciel Flex PDE.
L’étape suivante était donc de le faire fonctionner avec des conditions représentatives du terrain, afin de bien expliquer les phénomènes physiques réels.
La théorie utilisée dans le modèle numérique a été décrite dans le chapitre 2 du présent document. Le modèle inclut la formule de la courbe de rétention d’eau de Van Genuchten [1980], le modèle de transfert de chaleur par conduction de Côté et Konrad [2005] et [2009], la formulation de Thomas et Li [1995] pour la tension superficielle de l’eau et l’équation de viscosité de l’eau de Kaye et Laby [1928]. Le calcul de convection adhère à la loi de Fourier, le transfert de l’eau liquide est calculé avec la loi de Darcy généralisée et le transfert de vapeur respecte la méthode de Philip et De Vries [1957]. Lorsqu’un changement de phase est impliqué, l’hypothèse du « gel = séchage » est posée. Le modèle numérique a été conçu à l’aide du logiciel Flex PDE6 (version 6.32). Ce logiciel résout les équations différentielles partielles et utilise une méthode de calcul par éléments finis.
Afin d’atteindre l’objectif de quantifier les différents modes de transfert de chaleur, quatre modèles sont analysés dans ce projet.
1. Conduction pure
2. Conduction et convection de l’eau
3. Conduction, convection de l’eau et transfert de vapeur 4. Conduction et changement de phase
26
3.2 Modèle constitutif
Cette section montre brièvement les équations de transfert thermique qui sont utilisées pour chacun des quatre modèles à l’étude soit la conduction pure; la conduction et convection de l’eau; la conduction, convection de l’eau et transfert de vapeur; la conduction et changement de phase. Ces équations sont implantées dans le logiciel Flex PDE pour en faire un modèle par éléments finis. La théorie est détaillée au chapitre 2 de ce présent document.
3.2.1 Modèle en conduction pure
Le premier modèle analysé est celui de incluant seulement la conduction pure. Ce modèle de transfert thermique simplifié utilise l’équation de conservation de l’énergie suivante :
. 0 (3.1)
Dans l’équation, correspond à la capacité thermique des matériaux et correspond à la conductivité thermique des matériaux. Pour le calcul de la conductivité thermique du sol, la méthode utilisée est celle suggérée par Côté et Konrad [2005]. C’est cette méthode qui sera utilisée dans toutes les analyses. Dans ce modèle, le mouvement de l’eau n’étant pas considéré, les paramètres de Van Genuchten et la courbe de rétention d’eau n’y sont pas intégrés. La conductivité et la capacité thermique du sol sont calculées en utilisant une teneur en eau moyenne sur la courbe de rétention d’eau intégrée dans les autres modèles
3.2.2 Modèle de conduction et de convection
Le transfert thermique par convection de l’eau est ajouté au modèle précédent de conduction pure. Cette section montre les équations utilisées pour le modèle considérant la conduction et la convection. La première équation utile dans le calcul de la convection de l’eau est celle de la conservation de la masse d’eau :
∂ θ
∂t . V 0 (3.2)
Où, ρ est la masse volumique de l’eau liquide, θ est la teneur en eau liquide et V est la vitesse d’écoulement de l’eau. La formulation du transfert en phase liquide est la suivante :
27
V q
ρ K ϕ K ψ z (3.3)
Dans ce cas-ci, l’équation de conservation de l’énergie est la suivante :
. V . 0 (3.4)
où φ C T T décrit la quantité volumique de chaleur du sol dans laquelle T est la température de référence à l’intérieur de la fondation (20˚C) et C est la valeur de la capacité thermique volumique de sol non saturé représentée par :
∙ ∙ (3.5)
L’équation du flux de chaleur combiné de conduction et de convection (Q) est représentée comme suit :
Q q q λ T C V T T (3.6)
Où q est le transfert de la chaleur par conduction exprimé par la loi de Fourier et q est le transfert de la chaleur par convection.
3.2.3 Modèle conduction, convection et transfert de vapeur
Dans ce modèle, le transfert de vapeur est pris en compte en plus de la convection de l’eau et de la conduction pure. Le transfert de vapeur inclut la diffusion de la vapeur et la chaleur latente de vaporisation. Dans l’équation du transfert totale, la diffusion de vapeur est exprimée comme un terme de la convection totale.
Les équations qui tiennent maintenant compte des transferts en phase gazeuse sont les suivantes :
q q q ρ V ρ V (3.7)
28
V q
ρ K ψ z (3.8)
et q est le transfert de vapeur d'eau par diffusion : q ρ D vα ρ gρ RT ψ D vα ρ T T h dρ dT gρ ψ RT T (3.9)
En ajoutant l’eau à l’état gazeuse, l’équation de la conservation de la masse d’humidité devient : ∂ρ
∂t . ρ V V 0 (3.10)
où ρ ρ θ ρ n θ est la densité homogénéisée de l’humidité.
Le flux de chaleur total s’exprime de cette façon :
Q q q q
λ T C V c ρ V T T Lρ V (3.11)
où q est le transfert de la chaleur par conduction exprimé par la loi de Fourier, q est le transfert de la chaleur par convection de l’eau liquide et de la vapeur et q est le transfert de la chaleur latente de vaporisation. c correspond à la capacité thermique massique de la vapeur d’eau.
L’équation de conservation de l’énergie s’écrit alors:
. C Vliq C Vvap T T Lρ Vvap . λ T
0 (3.12)
Cette fois, la quantité volumique de chaleur du sol est représentée par :
φ C T T n θ ρ L (3.13)
29 3.2.4 Modèle conduction et changement de phase
Dans ce modèle, le changement de phase de l’eau dans le sol est considéré en plus de la conduction pure. Toutefois, ce modèle n’est pas couplé avec le transfert de masse, aucune migration d’eau au front de gel n’est admise. Il ne considère pas le transfert de la vapeur et la chaleur latente de vaporisation. L’équation de la conservation de l’énergie utilisée pour la modélisation de la conduction pure et du changement de phase est la suivante :
. 0 (3.15)
Cette équation introduit le concept de capacité thermique apparente d’un sol ( ). Le concept de capacité thermique apparente est décrit à la section 2.3.2.2. Elle fait en sorte que la chaleur latente de fusion (Lf) soit prise en compte dans le calcul.
Ψ Ψ
(3.16)
où ∙ ∙ ∙ et est la conductivité thermique selon le modèle de Côté et Konrad [2009].
3.3 Géométrie
La géométrie de la fondation résidentielle utilisée dans le travail est représentée sur la figure suivante. Cette configuration de la fondation est inspirée de la géométrie utilisée par Laurencelle et Fournier [2011] dans un but de comparaison des résultats.
30
Figure 6 : Géométrie de la fondation résidentielle
Le mur de la fondation a une hauteur totale de 2,1 m dont 1,8 m est enfoui dans le sol. Le mur a une épaisseur de 0,2 m. La dalle a une longueur de 3,5 m et une épaisseur de 10 cm. La semelle de la fondation a une largeur de 0,6 m et une hauteur de 0,2 m. Sur la surface extérieure du mur est modélisée une épaisseur de 5 cm de matériau isolant. Le mur, la dalle et la semelle de la fondation sont en béton.
3.4 Hypothèses de modélisation
3.4.1 Propriétés des matériauxChacun des 4 modèles décrits dans la section 2 sera étudié avec différents paramètres de sol. Trois sols sont sélectionnés, un sable, un silt et une argile dont les propriétés sont présentées au Tableau 4. Les paramètres utilisés pour déterminer la courbe de rétention d’eau selon Van Genuchten [1980] sont également montrées dans le Tableau 4.
Tableau 4 : Paramètres des 3 types de sols
Sable Silt Argile
Conductivité thermique des particules (s) W/(m∙⁰C) 4 2.5 3 Capacité thermique massique des particules (Cs) J/(kg∙K) 800 800 800
31 Teneur en eau à saturation (sat) 0.37 0.43 0.51
Teneur en eau à l’état résiduel (r) 0.058 0.09 0.102 Paramètre Van Genuchten ( 0.15 0.09 0.021
Paramètre Van Genuchten (n) 3.19 1.5 1.2
Paramètre Van Genuchten (m) 0.69 0.33 0.17
Conductivité hydraulique saturée (ksat) 1.00e-4 1.00e-7 1.00e-9
Le paramètre « m » est en fait relié au paramètre « n » selon la relation 1
1
m
n
. Cette relation
permet d’utiliser la solution analytique de la conductivité hydraulique partiellement saturée proposée par Van Genuchten [1980] (2.14). Les paramètres de sol choisi sont typiques pour chacun des types de sols et sont inspirés de valeurs expérimentales de la littérature [Tuller et Or, 2004]. Les courbes de rétention d’eau sont montrées à la Figure 7.
Figure 7 : Courbe de rétention d'eau pour les 3 types de sols
Dans la figure, on remarque que la pression d’entrée d’air du sable est d’environ 0.4 m d’eau, celle du silt de près de 0.6 m et celle de l’argile d’environ 2.2 m. Lorsque le sable atteint la pression d’entrée d’air, il se désature très rapidement, par contre l’argile se désature beaucoup plus lentement. À une
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1E‐01 1E+00 1E+01 1E+02 1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07
m)
Argile Sable Silt
32
succion de 3 m, le sable a atteint la teneur en eau résiduelle tandis que le silt l’atteint à environ 200 m. L’argile n’atteint pas de plateau visible.
Les Figures 8 à 10 présentent les courbes de conductivité thermique en fonction du degré de saturation selon le modèle Côté et Konrad [2005]; [2009] pour les trois sols utilisés dans l’étude. Les courbes en rouge représentent la conductivité thermique du sol gelé à 100%, à 80% et à 50%. La courbe en bleu représente la conductivité thermique du sol non gelé. La Figure 8 présente la conductivité thermique de l’argile. La valeur maximum de conductivité pour l’argile saturée et non gelée est de 1.32 W/(m·⁰C) et celle pour une argile saturée et gelée à 100% est de 2.5 W/(m·⁰C).
Figure 8 : Conductivité thermique de l'argile à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation
La Figure 9 présente la conductivité thermique dans le sable. La conductivité thermique du sable à l’état saturé est beaucoup plus élevée que celle de l’argile (1.98 W/(m·⁰C) pour le sable non gelé et 4.5 W/(m·⁰C) pour le sable complètement gelé). Toutefois, la saturation du sable dans l’étude est beaucoup plus faible que celle de l’argile et de telles valeurs de conductivité thermique ne seront pas atteintes. La Figure 10 représente la conductivité thermique gelée et non gelée du silt. La valeur maximale atteinte pour un silt saturé en eau est de 1.35 W/(m·⁰C) à l’état non gelé et 2.8 W/(m·⁰C) à l’état 100% gelé. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
sol W/(m· ⁰C) Sr non gelé gelé à 100% gelé à 80% gelé à 50%33 Figure 9 : Conductivité thermique du sable à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation
Figure 10 : Conductivité thermique du silt à l’état gelé et non gelé en fonction du degré de saturation
Les autres matériaux utilisés dans les modèles sont le béton et un matériau isolant. Les propriétés sont indiquées dans le Tableau 5 :
Tableau 5 : Propriétés du béton et de l'isolant
Béton Isolant
Conductivité thermique () W/(m∙⁰C) 1.5 0.0248 Capacité thermique volumique (C) J/(m³∙K) 2.4e6 4.84e3 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
sol W/(m ∙⁰ C) Sr non gelé gelé à 100% gelé à 80% gelé à 50% 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
sol W/(m ∙⁰ C) Sr non gelé gelé à 100% gelé à 80% gelé à 50%34
Dans la modélisation, seul le transfert par conduction pure est autorisé dans ces matériaux. 3.4.2 Maillage
La Figure 11 : Maillage utilisé dans Flex PDEFigure 11 montre le maillage utilisé au début du calcul. Flex PDE travaillant avec un maillage auto-adaptatif, ce maillage s’optimisera pour amener à une solution lors du calcul.
Figure 11 : Maillage utilisé dans Flex PDE
3.4.3 Conditions initiales
Les conditions initiales du modèle sont définies en succion et en température. La succion dans le système au début du calcul est de = - 5.0 – Y. (Y) correspond à l’axe vertical de la hauteur du sol
35 en mètres. La distribution de la pression correspond à celle induite par la hauteur de la nappe phréatique, soit 10 m sous la surface. La Figure 12 montre cette distribution.
Figure 12 : Condition initiale de pression dans le sol (X et Y sont en mètres)
Dans le cas du modèle de conduction pure, les conditions initiales de succion ne sont pas imposées puisque ce modèle n’intègre pas la rétention d’eau dans le sol.
La condition initiale de température correspond à la distribution de température finale de la modélisation précédente. Cette technique permet d’accélérer grandement de temps de calcul. Le dernier profil de température enregistré est celui de du mois de décembre. Ce profil est alors posé comme condition initiale au début de la modélisation suivante qui commence au mois de janvier. Cette condition initiale est différente pour chaque modèle. La Figure 13 montre la distribution de température utilisée comme condition initiale dans la modélisation qui tient compte de la conduction et du changement de phase. Cette distribution de la température correspond à celle de la fin du mois de décembre. Le modèle est construit afin de simuler cinq années complètes. Le résultat à la fin de la cinquième année seulement est enregistré pour établir les conditions initiales de température.
36
Figure 13 : Condition initiale de température pour le modèle de conduction et de changement de phase (X et Y sont en mètres)
3.4.4 Conditions limites
La Figure 14 montre les conditions limites du modèle. Ces conditions ont été utilisées dans toutes les modélisations du travail. Les conditions aux limites du modèle sont définies pour la pression d’eau et la température. Les dimensions du domaine ont été calquées de Laurencelle et Fournier [2011].
37 Figure 14 : Conditions limites du modèle
3.4.4.1 Pression
Les conditions limites de pression au haut et au bas du modèle (7 et 1) sont de type Dirichlet. La limite en bas du modèle (1) est une pression de -5 mètres d’eau et la limite en haut du modèle (7) est réglée à une pression de -10 mètres d’eau. Ces deux limites correspondent à la hauteur de la nappe phréatique à 10 mètres de la surface.
Les autres conditions limites de pression sont de type Newman. Les limites à gauche et à droite du modèle (8 et 2) ainsi que les limites de la dalle et du mur de la fondation (3 et 4) correspondent à des flux nuls.
3.4.4.2 Température
Les conditions limites de température de type Dirichlet sont celles au haut du modèle, au bas du modèle et sur la surface externe du mur extérieur (7, 1 et 6). La limite en haut et sur le mur extérieur (7 et 6) est une valeur de température égale à la température extérieure. La température extérieure
Tint = 20⁰C
Cconv-mur = 8.3 W/(m2·⁰C)
![Tableau 2 : Valeurs de dans le modèle simplifié de 2p [Côté et Konrad, 2009]](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/6680384.183240/25.918.146.824.365.479/tableau-valeurs-modèle-simplifié-p-côté-konrad.webp)
![Figure 4 : courbe de rétention de l’eau typique. Adaptée de Fredlund et Xing [1994].](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123doknet/6680384.183240/28.918.107.744.110.470/figure-courbe-rétention-eau-typique-adaptée-fredlund-xing.webp)
