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Submitted on 21 Jun 2011
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Estimation algébrique des paramètres intrinsèques d’un
signal sinusoïdal biaisé en environnement bruité
Rosane Ushirobira, Wilfrid Perruquetti, Mamadou Mboup, Michel Fliess
To cite this version:
Rosane Ushirobira, Wilfrid Perruquetti, Mamadou Mboup, Michel Fliess. Estimation algébrique des
paramètres intrinsèques d’un signal sinusoïdal biaisé en environnement bruité. Gretsi, Sep 2011,
Bordeaux, France. �inria-00601655�
Estimation algébrique des paramètres intrinsèques
d'un signal sinusoïdal biaisé en environnement bruité
Rosane Ushirobira1, Wilfrid Perruquetti2, Mamadou Mboup3, Michel Fliess4 1Non-A INRIA-Lille Nord Europe & IMB (UMR CNRS 5584) - Université de Bourgogne
2Non-A INRIA-Lille Nord Europe & École Centrale de Lille, LAGIS (CNRS) 3Non-A INRIA-Lille Nord Europe & CReSTIC - Université de Reims Champagne Ardenne
4LIX (UMR CNRS 7161), École polytechnique, 91128 Palaiseau, France
Rosane.Ushirobira@inria.fr, Wilfrid.Perruquetti@inria.fr, Mamadou.Mboup@univ-reims.fr, Michel.Fliess@polytechnique.edu
Résumé L'amplitude, la fréquence et la phase d'un signal sinusoïdal, biaisé et bruité, sont estimées par des techniques algébriques. Les méthodes d'aujourd'hui ne semblent pas capables de fournir ces paramètres de façon robuste en une fraction de période du signal. Plusieurs simulations numériques con rment l'intérêt de notre approche.
Abstract The amplitude, frequency and phase of a biased and noisy sinusoidal signal are estimated via algebraic techniques. The methods which are popular today seem unable to obtain a robust estimation of those parameters within a fraction of the signal's period. The e ciency of our approach is illustrated by several computer simulations.
1 Introduction
1.1 Généralités
Une question importante pour l'ingénieur et bien connue en traitement du signal est l'estimation du triplet (ampli-tude α, phase φ, fréquence ω > 0) d'un signal sinusoïdal
x= α sin(ωt + φ)
à partir de la mesure biaisée et bruitée suivante
y= x + β + $, (1) où β est un biais constant, inconnu, et $ un bruit1. De nombreuses méthodes ont étés développées, comme la ré-gression linéaire ou non, les méthodes de sous-espaces (haute résolution) [11, 22, 13], le ltre de Kalman étendu [2], les ltres à encoches [21], ou, encore, d'autres tech-niques issues de la commande adaptative non linéaire [12, 19]. Cependant, l'estimation de ces paramètres en une fraction de période du signal de façon robuste, en présence de bruit et d'un biais constant inconnu, n'est pas en-core complètement résolue. Cette communication puise sa source dans l'analyse algébrique de [9, 8, 10, 6, 16]. En plus des simulations numériques qu'on y trouve déjà, ren-voyons à [20, 23, 24, 25] pour quelques applications plus concrètes, fort encourageantes.
1On reprend ici le point de vue de [5, 6], indépendant de toute modélisation probabiliste. Un bruit est, alors, une oscillation rapide (voir [5] pour plus de détails).
1.2 Formulation du problème
x+ β satisfait l'équation diérentielle ¨
x+ ω2(x − β) = 0. (2) qui, dans le domaine opérationnel, devient
s(s2+ ω2)X(s) − s2x(0) − s ˙x(0) − βω2= 0, (3) Parmi les paramètres inconnus, on cherche, grâce à (1), à estimer, Θest= {θ1, θ2, θ3}, mais pas le biais Θest= {θ4}:
θ1= ω2, θ2= −α sin(φ) = −x(0) + β, θ3= −αω cos(φ) = − ˙x(0), θ4= −β
On établit, d'abord, un système d'équations en les in-connues Θest, et indépendant de Θest, en utilisant (3). Avec les corps RΘest := R(Θest) et RΘest := R(Θest), il vient: R (s, X(s), Θest,Θest) := P · X(s) + Q + Q = 0 (4) avec P = s(s2 + θ1), Q = s2θ2+ sθ3∈ RΘest[s] et Q = (s2+ θ1)θ4 ∈ RΘest[s],
où RΘest[s] (respectivement RΘest[s]) désigne l'ensemble des polynômes en s à coe cients dans RΘest (respective-ment dans RΘest).
Plus précisément, nous procédons en trois temps : 1. Élimination des termes en Θest par des
l'aide d'un seul opérateur dans RΘest(s)d ds
2 annu-lant Q appelé le Q-annihilateur minimal. On prend soin de l'écrire sous une forme canonique.
2. Obtention d'un système d'équations en les incon-nues Θest: l'annihilateur minimal y engendre tous les opérateurs qui annulent Q. Grâce à l'écriture de ces opérateurs sous une forme canonique, des choix seront eectués de sorte que la matrice du système en Θestait de bonnes propriétés numériques dans le domaine temporel.
3. Passage au domaine temporel et résolution du sys-tème: on utilise la transformée de Laplace inverse
L−1 1 sm dpX(s) dsp = (−1) p tm+p (m − 1)! Z 1 0 wm−1,p(τ )x(tτ )dτ (5) avec wm,p(t) = (1 − t)mtp , ∀ p, m ∈ N, m ≥ 1. On choisit l'entier p minimum pour rendre l'estimation la moins sensible possible au bruit.
Le premier point met en lumière le rôle essentiel des an-nihilateurs minimaux, c'est-à-dire des opérateurs diéren-tiels servant à annuler Q. On dé nit la notion d'annihila-teur et on précise la structure algébrique sous-jacente à cette notion, c'est-à-dire aux manipulations pour élim-iner les Θest. Ces annihilateurs sont exprimés sous une forme canonique compatible avec les deux derniers points ci-dessus. L'estimation des paramètres est détaillée dans la section 3. La section 4 présente des simulations, ac-compagnées de comparaisons avec la méthode de Prony modi ée [13].
2 Un cadre algébrique pour les
an-nihilateurs
Le cadre algébrique est dans la continuité de [8, 9, 10, 6, 16]3. Pour plus de détails sur les notions algébriques, voir [4] et [18].
Dans l'exemple considéré, on a Q = (s2 + θ1)θ4 ∈ RΘest[s]. Il est clair que les opérateurs d'ordre4 3 suiv-ants annulent Q : Π1= d ds◦ s2 d2 ds2 − s d ds, Π2= s 2 d3 ds3+ sdsd22 − d ds et Π3 = d3
ds3. Les questions se posent alors de
savoir s'il s'agit d'un même annihilateur et s'il en existe d'ordre plus petit.
À l'algèbre A := RΘest[s]d ds
on associe l'algèbre des opérateurs diérentiels, à coe cients dans le corps des fractions rationnelles RΘest(s), B := RΘest(s)d
ds
2L'ensemble des polynômes en d
ds à coe cients dans RΘest[s] 3Des outils analogues sont utilisés pour la dérivation numérique de signaux bruités [17, 15] et la détection de ruptures [7].
4L'ordre d'un opérateur Π ∈ R Θ(s)
h d ds i
est son degré en tant que polynôme en d
ds.
Dé nition 1. Soient Q ∈ RΘest[s] et l'idéal à gauche
AnnB(Q) = F ∈ RΘest(s) d ds | F · Q = 0
Un Q-annihilateur est un élément Π ∈ AnnB(Q).
L'idéal AnnB(Q) est un idéal principal à gauche de B. Cet idéal est donc engendré par un unique générateur Πmin ∈ B appelé le Q-annihilateur minimal, c'est-à-dire AnnB(Q) = B Πmin. On remarque que AnnB(Q)contient un annihilateur qui peut être choisi sous forme intégrale nie, i.e. un opérateur à coe cients dans RΘest1
s . Pour Q = sn(n ∈ N), on peut montrer que Πn= sd
ds−n est le Q-annihilateur minimal. On remarque que pour m, n ∈ N, les opérateurs Πmet Πn commutent.
Lemme 1. Soient P1, P2∈ RΘest[s]. Pour i = 1, 2, si Πi est un Pi-annihilateur tels que Π1Π2= Π2Π1 alors Π1Π2 est un (µP1+ ηP2)-annihilateur, ∀ µ, η ∈ RΘest.
Ce lemme implique que l'annihilateur minimal de Q est Πmin= sd ds− 2 ◦ sd ds = s2 d 2 ds2 − s d ds. (6) Pour déterminer si deux annihilateurs correspondent en fait aux mêmes opérateurs, nous allons exploiter la struc-ture d'algèbre de Weyl à deux générateurs s et d
ds de A (voir [4]) : en eet, on a [d ds, s] = d dss − s d ds = 1. La base canonique de A estnsi dj dsj
(i, j) ∈ No, donc tout élément F de A s'écrit F = Pi,jλi,jsi ddsjj avec λi,j∈ RΘest, ∀ i, j
(somme nie). De façon similaire, tout élément F ∈ B s'écrit sous une forme canonique F = Pigi(s)
di dsi, avec
gi(s) ∈ RΘest(s), ∀ i. Pour les exemples d'annihilateurs mentionnés au début de la section, on peut montrer que Π2est la forme canonique de Π1, soit d
ds◦ s2 dds22 − s d ds = s2 d3 ds3 + s d2 ds2 − d ds. On a alors Π36= Π1= Π2.
Notre problème d'estimation revient, donc, à déterminer une famille d'annihilateurs (Πi)r
i=1dans RΘest(s) d
ds qui, appliqués à (4), donne un ensemble d'équations perme-ttant d'obtenir Θest dans le domaine temporel. Cette famille sera dé nie à partir du Q-annihilateur minimal.
De plus, la formule (5) justi e la recherche d'annihi-lateurs conduisant à des équations faisant intervenir des opérateurs diérentiels sous forme intégrale nie. Ceux-ci doivent être de degrés minimaux en d
ds a n de minimiser la sensibilité aux bruits de mesure. Par ailleurs le système d'équations ainsi obtenu doit être bien conditionné.
Nous allons exploiter la propriété du Q-annihilateur min-imal. Les annihilateurs considérés sont donc de la forme :
Π = ` X i=0 gi(s) di dsi ! Πmin(s), gi(s) ∈ RΘest(s), ∀ i.
3 Estimation des paramètres
L'action de l'annihilateur minimal Πmin= s2 d2 ds2− s d ds sur (4) donne Πmin(Q) = −sθ3 et Πmin(P · X) = (s5+ s3θ1) d2X ds2 + (5s 4 + s2θ1) dX ds+ (3s 3− sθ 1)X
Nous obtenons de cette manière une seule équation en les variables θ1 et θ3. A n de pouvoir identi er linéaire-ment ces deux paramètres, il nous faut un système de deux équations. On a vu, dans la section précédente, que tout Q-annihilateur est de la forme P`i=0gi(s)di
dsi
Πmin(s), gi(s) ∈ RΘest(s), ∀ i. Pour obtenir deux équations, on prend ` = 1. Pour un choix de gi ∈ R1
s
, i = 0, 1, on a un annihilateur d'ordre 3 qui s'écrit sous forme canonique
Π = g3(s)d 3 ds3 + g1(s) sd 2 ds2 − d ds , où g1(s) = Pm i=1 ai si et g3(s) = Pm i=0 bi si, ai, bi ∈ R. On
remarque qu'il est divisible par Πmin dans B. Le résultat de son action sur R contient les deux termes g1s4 d2X(s)
ds2 et
g3s3 d3dsX(s)3 . Le premier implique a1 = a2 = a3 = a4 = 0
et l'entier m de g1 doit être le plus petit possible a n de limiter l'eet du bruit (voir le point 3 de 1.2). Un raison-nement similaire sur le second terme conduit à des con-traintes sur les bi qui, au nal, nous permettent d'obtenir deux annihilateurs diérents :
Π1= 1 s4Πmin et Π2= 1 s4 d3 ds3.
L'application de ces deux annihilateurs à la relation R conduit au système bien conditionné:
1 s5O1 − 1 s5 1 s4O3 0 θ1 θ3 = 1 s5O2 1 s4O4 , où O1= s2 d2X(s) ds2 + s dX(s) ds − X(s), O2= s4 d2X(s) ds2 + 5s 3dX(s) ds + 3s 2 X(s), O3= s d3X(s) ds3 + 3 d2X(s) ds2 , O4= s3 d3X(s) ds3 + 9s 2d2X(s) ds2 + 18s dX(s) ds + 6X(s).
En utilisant la transformée de Laplace inverse (5), on a
θ1= 1 t2× R1 0 −w 0,3(τ ) + 9w1,2(τ ) −1 2w 2,1(τ ) + w3,0(τ ) x(tτ )dτ R1 0 − 1 2w 2,3(τ ) +1 2w 3,2(τ ) x(tτ )dτ θ3 = 5! t3 Z 1 0 w0,2(τ ) − 5w1,1(τ ) +3 2w 2,0 (τ ) −θ1 1 2w 2,2 (τ ) − w3,1(τ ) − 1 4!w 4,0 (τ ) x(tτ )dτ
Nous avons pu identi er linéairement les paramètres θ1 et θ3 grâce à des annihilateurs dans R(s) dsd, donc ne faisant pas intervenir de paramètres à estimer. On peut montrer qu'il n'est pas possible d'identi er linéaire-ment θ2. Dans le but d'obtenir une équation non linéaire en ce paramètre, on cherche des annihilateurs qui peu-vent dépendre des paramètres inconnus Θest. Puisque le paramètre θ1est déjà identi é, nous pouvons considérer
Π3= −1 2 1 s4 + θ1 s6 d ds+ 1 s5,
qui est en fait le Q-annihilateur minimal5 dans RΘest(s)dsd
(alors que le Πmindonné précédemment par (6) est le Q-annihilateur minimal dans R(s) d
ds ). On ob-tient alors θ2= 1 10t2θ 1 θ3t(20 − t2θ1) + Z1 0 −t4 θ21(w5,0(τ ) + 5w4,1(τ )) +40t2θ1(3w2,1(τ ) − w3,0(τ )) − 120(w1,0(τ ) − w0,1(τ )) x(tτ )dτ .
4 Simulations
La gure 1 montre les résultats de l'estimation de la fré-quence w et du paramètre θ3 en fonction du temps d'esti-mation. Chaque point est obtenu en moyennisant les ré-sultats de 200 essais. Sur le premier graphe est dessinée une période d'une réalisation de la sinusoïde bruitée (SNR = 10 dB), avec N = 512 échantillons. En l'occurrence,
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 −60 −50 −40 −30 −20 −100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Une réalisation de la sinusoïde bruitée − 10db
10 BCR Prony modifi´ee Prony modifi´ee, β = 0 M´ethode alg. M´ethode alg.
Prony modifi´ee Prony modifi´ee, β = 0
Prony modifi´ee, β = 0 M´ethode alg. Estimation dew : variance et borne de Cramer-Rao en dB
Estimation de la fr´equencew
Estimation de θ3
Fig. 1: Comparaison avec Prony modi ée l'estimation fournie par la méthode présentée est non bi-aisée et insensible à la perturbation β contrairement à la méthode de Prony modi ée (PM). C'est seulement en l'absence de la perturbation constante (β = 0) que PM
5C'est une subtilité importante selon que l'on cherche une esti-mation linéaire ou pas.
fournit des résultats du même ordre que ceux de la métho-de algébrique, quoiqu'inférieurs. Pourtant, ces simulations ont été réalisées, pour la méthode PM, avec le signal ana-lytique, c'est-à-dire l'exponentielle complexe, complétant la sinusoïde. De plus, le signal a été sous-échantillonné a n d'obtenir des conditions optimales pour PM (signal discret correspondant aux points sur le premier graphe).
Ces mêmes expériences sont reprises dans la gure 2 avec, maintenant, un bruit fortement corrélé. Pour la méthode algébrique, le signal bruité est simulé par une interpolation linéaire de la partie imaginaire du signal dis-cret bruité utilisé pour la méthode PM. On constate, en accord avec [5, 6], que la coloration du bruit n'est pas un élément critique pour la méthode algébrique.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 15 20 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 0 5 10 15 20 −0.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
Une réalisation de la sinusoïde bruitée − 10db
M´ethode alg PM PM, β = 0 PM PM, β = 0 M´ethode alg Estimation de la fr´equencew Estimation de θ3
Fig. 2: Comparaison avec Prony modi ée : bruit coloré
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