Étude de quelques problème paraboliques et applications

Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique

MÉMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de

MASTER

En Mathématiques

Spécialité :

Analyse Fonctionnelle et Applications

Présenté par

ABED Meriem

Thème

Étude de quelques problème paraboliques et

applications

Soutenu publiquement le 07/06/2018 devant le jury composé de :

M. BOUAZIZ Said Maître assistant A Université d’Adrar Président M. MAMOUNI Touhami Maître assistant A Université d’Adrar Rapporteur M. KEDDI Ahmed Maître de conférence B Université d’Adrar Examinateur

Remerciements

En premier lieu, Je remercie Dieu de m’avoir aidè à accomplir ce travail. Je tient a remercier mon encadreur Mr.MAMOUNI Touhami pour ces conseils , et son encouragement durant la période de la préparation et la rédaction de ce mémoire. Je remercie, maintenant, les membres de jury, Mr. KEDDI Ahmed et Mr. BOUAZIZ Said. Je voudrais également remercier tous les membres du département de mathé-matique et informathé-matique et tous ceux qui m’ont aidè de près ou de loin pour achever ce travail.

Je dédie ce modeste travail À ma chère mère et mon père, pour leurs patiences, leurs amours, leurs soutiens et leurs encouragements.

À mes frères et soeurs. À toute ma famille.

Le but de ce travail est d’étudier l’existence et la régularité d’une solution faible d’un problème parabolique non linéaire à donnée mesure.

Ce mémoire est basé sur le travail de Lucio Boccardo, Andrea Dall’Aglio, Thierry Gallou¨et et Luigi Orsina " Nonlinear parabolic equations with measure data "[14].

Le problème est sous la forme u0_{+ Au = µ dans Q tel que Q = Ω×]0, T [, Ω un}

ouvert borné de RN_{(N ≥ 2), avec les conditions aux limites homogènes de}

Cauchy-Dirichlet, et µ appartient à M(Q) (l’espace des mesures de Borel bornée sur Q). L’opérateur A est un opérateur de type Leray-Lions.

Mots clés : problèmes paraboliques non linéaire, Existence et régularité, Mesures. Abstract

The purpose of this work is to study the existence and regularity of a weak solution for a nonlinear parabolic problem with measure data.

This memory is based on the paper of Lucio Boccardo, Andrea Dall’Aglio, Thierry Gallou¨et et Luigi Orsina " Nonlinear parabolic equations with measure data "[14].

The problem is in the form u0 + Au = µ in Q such that Q = Ω×]0, T [, Ω is in open bounded in RN_{(N ≥ 2), with homogeneous Cauchy-Dirichlet boundary}

conditions, and µ belongs to M(Q) (the space of bounded Borel measures on Q). The operateur A is an operator of type Leray-Lions.

Notations 2

Introduction 4

1 Outils d’analyse fonctionnelle 7

1.1 Mesures de Radon . . . 7

1.2 Espaces fonctionnels . . . 8

1.2.1 Espace de Sobolev W1,p_{(Ω) . . . . 10}

1.2.2 Les espaces Lp_{(0, T ; X) . . . . 13}

1.3 Quelques inégalités utiles . . . 16

1.4 Opérateurs monotones . . . 19

2 problèmes paraboliques à données fonctions 21 2.1 Hypothèses sur les données . . . 21

2.2 Quelques lemmes de base . . . 22

2.3 Résultats d’existence . . . 25

3 Problèmes paraboliques à données mesures 27 3.1 Position du problème . . . 27

3.2 Démonstration du théorème 3.1 . . . 28

3.2.1 Approximation du problème(P) . . . 28

3.2.3 Passage à la limite dans (Pn) . . . 54

Ω _{Un ouvert de R}N_. ∂Ω Frontière de Ω. Q = Ω×]0, T [ _{Le cylindre de R}N x × Rt. Σ La frontière latérale de Q. p0 Exposant conjugué de p : p0 ₌ p p − 1. p∗ = N p

N − p Exposant conjugué de Sobolev.

p.p Presque partout.

∂

∂xi Dérivée partielle par rapport à la variable xi.

∇u =  ∂u ∂x1, ∂u ∂x2, ..., ∂u ∂xN  Gradient de u. div u = N X i=1 ∂u ∂xi Divergence du vecteur u. ∆u Laplacien de u.

∆pu = div(|∇u|p−2∇u) p-Laplacien de u.

|A| Mesure de Lebesgue de l’ensemble A.

supp u Support d’une fonction u.

C(Ω) Espace des fonctions continues sur Ω.

Cc(Ω) Espace des fonctions continues sur Ω à support

compact.

D(Ω) L’espace des fonctions de classe C∞ à support compact dans Ω.

D0_{(Ω) Espace des distribution.}

Lp(Ω) Espace des fonctions de puissance p-ème intég -rables sur Ω pour la mesure dx.

W₀1,p(Ω) Adhérence de D(Ω) dans W1,p_(Ω).

W−1,p0(Ω) Espace dual de W₀1,p(Ω).

Tk Fonction troncature de niveau k > 0.

Si X est un espace de Banach

Lp(0, T ; X) {u : (0, T ) → X mesurable et RT

0 ku(t)k

p

Xdt < ∞}. C([0, T ]; X) Espace des fonctions contiˆument diff`erentiables

de[0, T ] → X.

L(X; Y ) Espace des applications linéaires continues de X

dans Y .

D(]0, T [; X) Espace des fonctions de C∞ de ]0, T [→ X et à support compact.

D0_{(0, T ; X) = L(D(]0, T [; X)) Espace des distributions sur ]0, T [ à valeurs dans X.}

T₀1,1(Q) _{{u : Q → R mesurable, T}k(u) ∈ L1(0, T ; W01,1(Ω)), ∀k > 0}.

M(Ω) Espace des mesures de Radon.

Dans ce mémoire, nous étudions l’existence et la régularité d’un problème pa-rabolique non linéaire à donnée mesure. Précisément, le problème type que nous avons étudié posé sur un domaine borné et régulier Ω dans RN _{avec N ≥ 2 et}

faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle Au = −div(a(x, t, u, ∇u)) o`u a(x, t, σ, ξ): Ω×]0, T [×R × RN _{→ R}N _{est une fonction de Carathéodory vérifiant les}

hypothèses de type Leray-Lions (vior (2.1)-(2.3) ci- dessous).

L’analyse mathématique de ce problèmes nécessite un choix approprié des espaces fonctionnels et d’y démontrer l’existence et par fois l’unicité et la régularité de la solution.

Illustrons tout d’abord une difficulté qui peuvent apparaître lors de l’étude de ce problèmes en considérant le problème modèle suivant :

(P )            u0+ Au = µ sur Q = Ω×]0, T [, u(x, t) = 0 sur Σ = ∂Ω×]0, T [, u(x, 0) = 0 dans Ω

o`u T un nombre réel positif, et µ appartient à l’espace des mesures de Borel bornées

sur Q. Pour fixer les idées, on peut considèrer comme exemple particulier de problème (P ) le problème suivant : (P1)           

u0 − div(|∇u|p−2_{∇u) = µ sur Q = Ω×]0, T [,}

u(x, t) = 0 sur Σ = ∂Ω×]0, T [,

Si A et µ ne dépendant pas du temps, alors A se réduit à un opérateur de type pseudo-monotone elliptique satisfaisant les hypothèses classiques de Leray-Lions qui opère de W₀1,p(Ω) dans son dual. Dans ce cas, nous étudions le comportement asymptotique des solutions du problème (P ) lorsque t tend vers à l’infini, prouvant qu’il converge d’une manière convenable vers la solution stationnaire du mˆeme

problème c’est-à-dire la solution v du problème aux limites elliptique :

(P2)      −div(a(x, ∇v)) = µ sur Q = Ω×]0, T [, v = 0 dans Ω.

Dans le cas p > 2 − _N1 avec µ une mesure de Radon, Boccardo et Gallout¨et

[12] montrent que la solution faible du problème (P2) est dans l’espace de Sobolev

W₀1,q(Ω) o`u 1 < q < N (p−1)_{N −1} .

Une difficulté dans l’étude de tels problèmes concernent le cˆote droit peut-ˆetre

très singulier, qui force le choix d’une formulation appropriée qui assure à l’existence de la solution.

L’existence et l’unicité de la solution faible du problème (P ) (cas o`u u(x, 0) = u0,

et la donnée µ est une mesure de Radon bornée (P3)) a été étudié en 1989 par

Boccardo et Gallou¨et [12], montrent que la solutions faible du problème (P3) pour

p > 2 − _{N +1}1 est dans les espaces Lq_{(0, T ; W}1,q

0 (Ω)) o`u q <

(P −1)(N +1)+1

N +1 . Il est donc

hors question que la solution appartient à l’espace L1_{(0, T ; W}1,1

0 (Ω)), puisque le

gradient de u au sens usuel n’existe pas et il plus claire dans quel sens il faut résoudre le problème (P ).

Pour surmonter cette difficulté, Bénilan, Boccardo, Gallouët, Gariepy, Pierre et Vazquez ont introduit dans [11] un nouvel espace T₀1,1(Q) (qui est une extension de l’espace de Sobolev L1_{(0, T ; W}1,1

0 (Ω))) dans lequel on peut donner un sens au gradient

de u, qui n’est pas en général localement intégrable. L’idée consiste à considérer la troncature Tk(u) de la solution u et à travailler avec la dérivée ∇Tk(u) au lieu de

∇u.

Ce travail est basée essentiellement sur l’article [14] publié par "Lucio Boccardo, Andrea Dall’Aglio, Thierry Gallou¨et et Luigi Orsina" en 1997. l’auteur a utilisé la

(P ).

Le travail se propose de reprendre systématiquement toutes les démonstrations de l’article [14] en les détaillant dans l’espoir de les rendre plus claires pour un public plus large. Cela nous amène à rappeler sans démonstration certaines notions fondamentales utilisées (les espaces de Sobolev, résultats d’intégration, théorème de Rellich-Kondrachov... ). Ces notations préliminaires sont disponibles dans tout ouvrage de référence en Analyse fonctionnelle.

Dans le deuxième chapitre, on montrer le théorème d’existence de solution du (P0). Enfin, le chapitre 3 est consacré à la preuve du théorème d’existence de solution faible de (P ). La résolution du problème (P ) se fait en plusieurs étapes :

1. Approximation du problème (P ) par une suite de problèmes (Pn) réguliers à

données dans un espace de Sobolev réflexif.

2. Estimations à priori sur les solutions approchées de problème (Pn).

Ces estimations sont établies en utilisant l’inégalité d’interpolation de Gaglirdo-Nirenberg :

kukLγ_(Ω) ≤ Ck∇ukθ_(Lq_(Ω))Nkuk1−θ_Lρ_(Ω),

o`u 0 ≤ θ ≤ 1, 0 ≤ γ < +∞, 1 γ = θ 1 q − 1 N ! +1 − θ ρ .

3. Passage à la limite dans (Pn).

Il réalisé en adaptant la méthode que Baccardo a utilisé dans le cas elliptique (voir[13]).

Chapitre

1

Outils d’analyse fonctionnelle

Dans ce chapitre, nous présentons quelques définitions et rappels des résultats nécessaires pour la suite de ce travail. Nous introduirons quelques définitions, lemmes, et quelques théorèmes sur les espaces fonctionnels, ensuite nous donnons quelques définitions et résultats sur les opérateurs.

1.1

Mesures de Radon

Soit Ω un ouvert de RN_{, C(Ω) l’ensemble des fonctions continue sur Ω à valeurs}

complexe.

Définition 1.1. Le support d’une fonction continue u, notée supp u, est l’adhérence

de l’ensemble des points o`u u est nulle. Nous posons

Cc(Ω) := {u ∈ C(RN) : supp u est un compact de Ω}.

D(Ω) := {u ∈ C∞_(RN_{) : supp u est un compact de Ω}.}

On munit l’espace Cc par la norme

kuk∞= sup

x∈Ω

|u(x)|.

Définition 1.2. Une mesure de Radon sur Ω est une forme linéaire µ : Cc(Ω) → C

telle que pour tout compact K de Ω, il existe cK ≥ 0 tel que, pour tout u ∈ Cc(Ω) supp u ⊂ K =⇒ |hµ, ui| ≤ cKkuk∞.

Définition 1.3. L’espace des mesures de Radon sur Ω est définie par

M(Ω) = {µ : Cc(Ω) → C µ est linéaire et continue} .

Exemple 1.1. (Mesure de Dirac) Si u ∈ Ω, la mesure de Dirac est définie par

hδ, ui = u(0).

Remarque 1.1. L’espace des mesures de Radon sur Ω est donc le dual de l’espace des fonctions continue à support compact, la convergence dans M(Ω) est appelée convergence vague.

En général, la convergence au sens des distributions d’une suite de mesures de Radon,

hµn, ui → hµ, ui ∀u ∈ D(Ω),

n’implique pas la convergence vague. Nous utilisant la notion suivant pour obtenir une condition suffisant. Soient K un compact de Ω et µ ∈ M(Ω). Nous posons

kµkK := sup{| hµ, ui | : u ∈ D(Ω) kuk∞ = 1, supp u ⊂ K}.

Proposition 1.1. Soient µn ⊂ M(Ω), µ ∈ M(Ω). Si, pour tout ϕ ∈ D(Ω)

hµn, ϕi → hµ, ϕi et si, pour tout compact K de Ω,

sup

n kµnkK < ∞ Alors, µn converge vaguement vers µ.

1.2

Espaces fonctionnels

Les espaces de Sobolev sont un outil important dans l’étude des équations aux dérivées partielles paraboliques. Il s’avère donc nécessaire d’en faire une brève présentation avant d’aborder ces équations. Nous reprenons dans cette section certains

énoncés de Brezis [1] et de DiBenedetto [5], pour une présentation plus complète des espaces de Sobolev, on pourra aussi voir Adams [2].

Dans toute la suite désigne Ω un domaine borné dans RN _{de frontière ∂Ω et T}

un nombre réel positif.

On note par Q le cylindre

Q = Ω×]0, T [

et par Σ est la frontière latérale de Q

Σ = ∂Ω×]0, T [

On désigne par L1_{(Ω) l’espace des fonctions intégrables au sens de Lebesgue sur Ω à}

valeurs dans R. On pose :

kf kL1 =

Z

Ω

|f (x)|dx. On définit ensuite pour tout 1 ≤ p < ∞ l’espace :

Lp(Ω) =n_{f : Ω → R; f mesurable et |f |}p ∈ L1_(Ω)o

,

que l’on munit de la norme :

kf kLp = Z Ω |f (x)|p_dx 1 p .

Lors que p = ∞, on a la définition suivante :

L∞_{(Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et ∃ C ∈ R}+, |f (x)| ≤ C; p.p sur Ω} ,

dont la norme est :

kf kL∞ = inf {C; |f (x)| ≤ C p.p. sur Ω} .

Théorème 1.2. L’espace (Lp(Ω), k.kLp) est un espace de Banach pour tout 1 ≤ p ≤

∞.

Démonstration. La démonstration de ce théorème se trouve dans [1].

Théorème 1.3. (Théorème de la convergence dominée de Lebesgue[1]) Soit fn une suite de fonctions de L1_{(Ω). On suppose que}

a) fn(x) → f (x) p.p sur Ω.

b) il existe une f onction g ∈ L1 telle que pour chaque n, |fn(x)| ≤ g(x) p.p sur Ω. Alors

f ∈ L1 et kfn− f kL1 → 0.

Lemme 1.4. (Lemme de Fatou) Soit (fn) une suite de fonctions de L1 telle que pour chaque n ,(fn(x)) ≥ 0 p.p sur Ω,

sup_nR

fn < ∞,

Pour chaque x ∈ Ω on pose f (x) = limn→∞inf fn(x). Alors f ∈ L1(Ω) et

Z

f ≤ lim

n→∞inf fn.

Théorème 1.5. (Théorème de densité) L’espace Cc(Ω) est dense dans Lp pour

1 ≤ p < ∞ i.e

∀f ∈ Lp_{(Ω) et ∀ε > 0, ∃f}

ε∈ Cc(Ω) tel que kf − fεkLp < ε.

1.2.1

Espace de Sobolev W

(Ω)

Définition 1.4. Pour tout 1 ≤ p ≤ ∞, on désigne par p0 l’exposant conjugué de p c’est-à-dire 1_p + _p10 = 1.

Définition 1.5. Soient Ω un ouvert non vide de RN _{et 1 ≤ p ≤ ∞. On définit}

l’espace de Sobolev W1,p(Ω) par :

W1,p(Ω) = ( u ∈ Lp(Ω)\ ∀i, 1 ≤ i ≤ N, ∂u ∂xi ∈ Lp(Ω) ) , munit de la norme : kukW1,p = kuk_Lp+ N X i=1 ∂u ∂xi _Lp ,

ou bien de la norme équivalente :

kuk_W1,p = kukp_Lp+ N X i=1 ∂u ∂xi p Lp ! 1 p . si 1 ≤ p < ∞ pour p = 2 W1,2(Ω) = H1(Ω)

L’espace H1_{(Ω) est muni du produit scalaire :} (u, v)_H1 = (u, v)_L2 + N X i=1 ∂u ∂xi , ∂v ∂xi ! L2

est un espace de Hilbert. La norme associée : kukH1 =  kuk 2 L2 + N X i=1 ∂u ∂xi 2 L2   1 2

est équivalente à la norme de W1,2.

Proposition 1.6. i) L’espace W1,p _{est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ ∞.}

ii) L’espace W1,p est séparable pour 1 ≤ p < ∞, et réflexif pour 1 < p < ∞.

Théorème 1.7. (Formule de Green) Soit Ω un ouvert borné de régulier de classe C1_{, alors pour tout u, v ∈ H}1_{(Ω), on a la formule de Green :}

Z Ω ∂u ∂xi vdx + Z Ω u∂v ∂xi vdx = Z ∂Ω uvnidΓ o`u n = (ni)1≤i≤N est la normale unité extérieure à ∂Ω.

Définition 1.6. On note pour 1 ≤ p ≤ ∞

W₀1,p(Ω) =D(Ω)W1,p(Ω).

L’espace W₀1,p(Ω) muni de la norme

kuk_W1,p

0 (Ω) = k∇ukL

p_(Ω).

Comme pour 1 ≤ p < ∞ , l’espace D(Ω) est par définition dense dans W₀1,p(Ω), on peut identifier le dual de W₀1,p(Ω) à un sous-espace de l’espace des distributions D0(Ω) par :

Injections de Sobolev :

Soient B1 et B2 deux espaces de Banach.

Définition 1.7. On dit que B1 s’injecte d’une façon continue dans B2 et on note

B1 ,→ B2 si :

• B1 ⊂ B2.

• Si l’application identité i : B1 → B2 est continue i.e

kukB2 ≤ ckukB1.

Théorème 1.8. Soit Ω un ouvert de RN avec |Ω| < ∞, Alors pour tout 1 ≤ q ≤ p ≤ +∞ on a Lp_{(Ω) ,→ L}q_(Ω).

Nous présentons maintenant un théorème important qui affirme que si 1 ≤ p < N alors W1,p_{(Ω) ,→ L}p∗_{(Ω) pour certain p < p∗ < ∞, et on prend Ω = R}N

Théorème 1.9. (Inégalité de Sobolev)

Soit 1 ≤ p < N , alors W1,p_(RN_{) ,→ L}p∗_(RN_{) o`u p∗ est l’exposent conjugué de} Sobolev donné par 1

p∗ =

1

p −

1

N , et il existe une constante C = C(p, N ) telle que

kukLp∗ ≤ Ck∇uk_Lp ∀u ∈ W1,p(RN).

Définition 1.8. On dit que B1 s’injecte d’une façon compacte dans B2 et on note

B1 ,→cB2 si

• B1 ,→ B2,

• et tout borné de B1 est relativement compacte dans B2.

Maintenant on présente le théorème de Rellich-Kondrachov qui est un résultat très important dans l’étude des EDP paraboliques, parce que il montre l’injection entre l’espace de Sobolev W1,p_{(Ω) et espace de Lebesgue L}p_{(Ω), ce résultat de compacité}

est un outil fort dans l’étude des EDP qui nous permet de passer d’un espace de Sobolev à un espace de Lebesgue.

Théorème 1.10. (Rellich-Kondrachov[1])

Soit Ω un ouvert borné de classe C1, et 1 ≤ p < ∞ alors toute partie bornée dans W1,p_{(Ω) est relativement compacte dans L}p_(Ω).

Remarque 1.2. Ceci traduit que l’injection W1,p_{(Ω) ,→ L}p_{(Ω) est compacte. Si}

on remplace l’espace W1,p_{(Ω) par W}1,p

0 (Ω) alors l’injection précédente est vérifiée

indépendamment de la régularité du domaine Ω.

1.2.2

Les espaces L

(0, T ; X)

Dans cette section, on présente brièvement quelques résultats utiles sur les espaces des fonctions à valeurs dans un espace de Banach.

Dans toute la suite désigne X un espace de Banach muni de la norme k.kX et T

un réel strictement positif. On définit les espaces suivants :

C([0, T ]; X) = {u : [0, T ] → X continue}, Lp(0, T ; X) = {u : (0, T ) −→ Xmesurable; Z T 0 ku(t)kp_Xdt < ∞}, 1 ≤ p < ∞ munit de la norme : kukLp_{(0,T ;X)} = Z T 0 ku(t)kp_Xdt !_p1 .

Et L∞(a, b, X) est l’espace des fonctions essentiellement borné sur (0, T ) définie par :

L∞(0, T ; X) = {u : (0, T ) −→ X mesurable; ∃C ≥ 0, ku(t)kX ≤ C p.p},

muni de la norme :

kukL∞_{(0,T ;X)} = sup

t∈(0,T )

essku(t)kX.

Pour tout 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace Lp_{(0, T ; X) est un espace de Banach.}

Naturellement, on a

Lp(0, T ; Lp(Ω)) = Lp(Q).

Proposition 1.11. Pour 1 ≤ p < ∞ on a :

(i) Si X est séparable alors Lp(0, T ; X) est aussi séparable.

Démonstration. Voir [4].

Remarque 1.3. (cf. Michel [3]) Soient X et Y deux espace de Banach tels que

X ,→ Y . Alors il est claire que

Lp(0, T ; X) ,→ Lp(0, T ; Y ) 1 ≤ p ≤ ∞

Définition 1.9. Soit 1 ≤ p < ∞. On dit qu’une suite de fonctions (fn)n de Lp(0, T ; X) est p-équi-intégrable si elle vérifie la condition suivante :

∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que, ∀n ≥ 1, ∀A ⊂ (0, T ) mesurable avec |A| < δ, on ait

Z

A

kfn(t)k p

Xdt < ε.

Remarque 1.4. Une suite fn de fonctions de Lp(0, T ; X) est p-équi-intégrable (cf.

J. Droniou [4]).

Un théorème important permettant de montrer la convergence forte d’une suite à partir d’une convergence presque partout est le Théorème de Vitali.

Théorème 1.12. (Théorème de Vitali [4])

Soit 1 ≤ p < ∞. Si (fn)n est une suite de Lp(0, T ; X) convergeant presque partout vers f , alors

fn→ f f ortement dans Lp(0, T ; X) ⇐⇒ (fn)n est p − équi − intégrable.

Définition 1.10. On désigne par D0(0, T ; X) l’espace des distributions sur ]0; T [ à valeurs dans X, défini par :

D0_{(0, T ; X) = L(D(]0, T [; X)}

De façon générale L(X, Y ) désigne l’espace des applications linéaires continues de X dans Y . Si u ∈ D0(0, T ; X), sa dérivée distribution est définie par :

∂u ∂t(ϕ) := −u dϕ dt ! ∀ϕ ∈ D(]0, T [).

Si u ∈ Lp(0, T ; X), il lui correspond une distribution encore notée u sur ]0; T [ à valeurs dans X, définie par :

u(ϕ) =

Z T 0

intégrale à valeurs dans X, on peut encore définir ∂u ∂t comme élément de D 0_{(0, T ; X)} par ∂u ∂t(ϕ) = −u dϕ dt ! ∀ϕ ∈ D(]0, T [). On vérifie sans peine le

Lemme 1.13. (cf. Lions [6]) Si u ∈ Lp(0, T ; X) et ∂u

∂t ∈ L

p_{(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞} alors u est après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle de (0, T ), continue de [0, T ] → X.

Lemme 1.14. (Lemme de Gronwall) Si u ∈ L∞(0, T ), v ∈ L1_{(0, T ) et u(t) ≥ 0,}

v(t) ≥ 0. Si u(t) ≤ C + Z T 0 u(s)v(s)ds, Alors u(t) ≤ Cexp Z T 0 v(s)ds ! .

Lemme 1.15. _{Soit O un ouvert borné de R}N

x × Rt, gµ et g des fonctions de Lq(O),

1 < q < ∞, telles que

kgµkLq_(O)≤ C, g_µ → g p.p. dans O.

Alors gµ → g dans Lq faible.

Lemme 1.16. [7_{] Soit f : R → R une fonction continue, C}1 _{par morceaux telle que}

f (0) = 0 et f0 _{est nulle à partir d’un ensemble compact de R, notons F (s) =}Rs

0 f (r)dr. Si u ∈ Lp_{(0, T ; W}1,p 0 (Ω)) avec u0 ∈ Lp 0 (0, T ; W−1,p0(Ω)) + L1_{(Q), et si ψ ∈ C}∞_(Q), alors on a Z T 0 hu0, f (u)ψi dt = Z Ω F (u(T ))ψ(T )dx − Z Ω F (u(0))ψ(0)dx − Z Q ψ0F (u)dtdx.

Théorème 1.17. (Théorème de Stampachia)

Soit Φ : R → R une fonction lipschitzienne telle que Φ(0) = 0. Alors pour tout u ∈ Lp(0, T ; W₀1,p(Ω)), Φ(u) ∈ Lp_{(0, T ; W}1,p

0 (Ω)) et ∇Φ(u) = Φ

0_{(u)∇u presque}

partout dans Q.

1.3

Quelques inégalités utiles

Inégalité de Young

Soient p et p0 deux réels vérifiant 1_p + _p10 = 1 alors

∀(a, b) ∈ R2 +, ab ≤ 1 pa p₊ 1 p0 b p0_.

Que l’on utilisera aussi par fois sous la forme ∀(a, b) ∈ R2 +, ∀ε > 0, ab ≤ εap+ Cεbp 0 avec Cε= ε − 1 p−1_. Inégalité de Hölder

Soient f ∈ Lp_{(Ω) et g ∈ L}p0_{(Ω) avec 1 ≤ p ≤ ∞ alors f g ∈ L}1_{(Ω) et on a :} Z

|f g| ≤ kf kLpkgk

Lp0.

Dans le cas particulier o`u p = p0 = 2 on obtient l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

Z |f g| ≤ kf kL2kgk_L2. Inégalité de Minkowski Si 1 ≤ p < ∞, alors kf + gkLp ≤ kf k_Lp+ kgk_Lp. Inégalité de Poincaré

On suppose que Ω est un ouvert borné. Alors il existe une constante C dépendant de Ω et p telle que

kukLp ≤ Ck∇uk_Lp, ∀u ∈ W₀1,p(Ω) (1 ≤ p < ∞)

En particulier l’expression k∇ukLp est une norme sur W₀1,p(Ω) qui équivalente a la

norme kukW1,p.

Inégalité d’interpolation Gagliardo-Nirenberg

Nous rappelons ici un théorème qui sera d’un usage dans ce qui suit.

Soit v ∈ W₀1,p(Ω), p ≥ 1. Pour tout nombre fixé s ≥ 1, il existe une constante C

qui dépend uniquement de N , p et s telle que :

kvkLq_(Ω) ≤ Ck∇vkα_(Lp_(Ω))Nkvk1−α_Ls_(Ω), (a) O`u α ∈ [0, 1], p, q ≥ 1 vérifie : α = 1 s − 1 q ! 1 N − 1 p + 1 s !−1 , Et valable si : (a.i) Si N = 1, q ∈ [s, ∞], α ∈ " 0, p p + s(p − 1) # , (a.ii) Si 1 ≤ p < N, α ∈ [0, 1] et q ∈ " s, N p N − p # si s ≤ N p N − p q ∈ " N p N − p, s # si s ≥ N p N − p, (a.iii) Si p ≥ N > 1, q ∈ [s, +∞) et α ∈ " 0, N p N p + s(p − N ) # .

On a alors le résultat suivant :

Lemme 1.19. Soit v ∈ W₀1,q(Ω) ∩ Lρ_{(Ω), o`u q ≥ 1, ρ ≥ 1. Alors il existe une} constante C qui dépend uniquement de N ,q et ρ telle que :

kvkLγ_(Ω) ≤ Ck∇vkθ_(Lq_(Ω))Nkvk1−θ_Lρ_(Ω), (1.1)

pour chaque θ et γ satisfaisant

0 ≤ θ ≤ 1, 0 ≤ γ < +∞, 1 γ = θ 1 q − 1 N ! +1 − θ ρ . (1.2) Démonstration. Voir [9].

Définition 1.11. Soient q, ρ ≥ 1, on considérons les espaces de Banach :

Vρ,q(Q) ≡ L∞(0, T ; Lρ(Ω)) ∩ Lq(0, T ; W1,q(Ω)),

et

Et muni de la norme, pour v ∈ Vρ,q_(Q)

kvkVρ,q_(Q) ≡ sup ess_0<t<Tkvk_Lρ_(Ω)+ k∇vk_(Lq_(Q))N.

Si ρ = q on a

Vq,q(Q) ≡ Vq(Q) et V₀q,q(Q) ≡ V₀q(Q)

La proposition suivante montre l’injection continue de V₀ρ,q(Q) dans Lσ(Q) :

Proposition 1.20. [5] Pour chaque v ∈ V₀ρ,q(Q), il existe une constante C dépend

uniquement de N ,q et ρ telle que :

Z Q |v|σ _{≤ Ckvk}ρqN L∞_{(0,T ;L}ρ_(Ω)) Z Q |∇v|q_{, (1.3)} o`u σ = qN + ρ N .

Démonstration. On suppose que N (q − ρ) + ρq > 0, pour σ = qN + ρ

N = q + qρ N on a Z Ω |v(x, t)|σdx = Z Ω |v(x, t)|q|v(x, t)|qρNdx = Z Ω  |v(x, t)|N −qN q N −q_N

(|v(x, t)|ρ)Nq _{dx d}0_{apr´es l}0_{in´egalit´e de H ¨older on a}

≤ Z Ω |v(x, t)|N −qN q _dx N −q_N Z Ω |v(x, t)|ρ_dx q N

Et d’après l’inégalité de Sobolev on a :

Z Ω |v(x, t)|N −qN q dx N −q_N ≤ C Z Ω |∇v|q 1 q Ceci implique Z Ω |v(x, t)|N −qN q dx N −q_N ≤ CqZ Ω |∇v|q Donc Z Ω |v(x, t)|σ_{dx ≤ C}qZ Ω |∇v|q Z Ω |v(x, t)|ρ_dx q N

On sait que v ∈ L∞(0, T ; Lρ(Ω)) d’o`u

Z Ω |v|ρ_{dx ≤ sup ess} 0<t<T Z Ω |v(x, t)|ρ_dx

On trouve Z Ω |v(x, t)|σ_{dx ≤ C}qZ Ω |∇v|q _sup 0<t<T ess Z Ω |v(x, t)|ρ_dx !_Nq (1.4) On intégrant (1.4) sur (0, T ) on obtient

Z T 0 Z Ω |v(x, t)|σ_{dxdt ≤ C} Z T 0 Z Ω |∇v|q ! sup 0<t<T ess Z Ω |v(x, t)|ρ_dx !_Nq En déduit que (1.3).

1.4

Opérateurs monotones

Nous aurons besoin aussi dans la suite des quelques définitions et propriétés des opérateurs. Dans tout ce suite V désigne un espace de Banach, et V0 son dual topologique.

Définition 1.12. On dit que l’opérateur A définit de V dans V0, est 1. borné s’il existe C > 0 tel que :

kAukV0 ≤ Ckuk_V, ∀u ∈ V.

2. monotone si

< A(u) − A(v), u − v >V0_,V≥ 0 ∀u, v ∈ V.

3. strictement monotone si

< A(u) − A(v), u − v >V0_,V> 0 ∀u, v ∈ V, u 6= v.

4. hémicontinu de V dans V0

∀u, v, w ∈ V, l0_{application λ ∈ R → hA(u + λv), wi ∈ R est continue.}

5. l’opérateur A, définit de V dans V0 est coercif s’il existe α > 0 tel que : hA(u), ui ≥ αkukp_V, ∀u ∈ V, 1 < p < ∞,

où bien

hA(u), ui kukV

Théorème 1.21. Soit V un espace de Banach réflexif séparable. Soit A un opérateur

de V dans son dual V0 borné, hémicontinu, monotone et coercif. Alors A est surjectif, i.e. pour f ∈ V0, il existe u ∈ V tel que

A(u) = f. Démonstration. Voir [6].

Théorème 1.22. [6] Soit V un espace de Banach réflexif et séparable contenu dans un espace de Hilbert H , tel que V ⊂ H ⊂ V0avec V0 son dual de V .

Soit A un opérateur (non linéaire) de V → V0 ayant les propriétés suivantes :

• A est hémicontinu de V → V0_{, et kA(v)k}

∗ ≤ ckvkp−1,

• A est monotone de V → V0_,

• hA(v), vi ≥ αkvkp_{, α > 0, ∀v ∈ V (1 < p < ∞).} Soient f et u0 donnés avec

f ∈ Lp0(0, T ; V0), u0 ∈ H.

Il existe alors une fonction u et une seule telle que u ∈ Lp_{(0, T ; V ),} u0+ A(u) = f,

u(0) = u0.

Théorème 1.23. Soit H un espace de Hilbert tel que

V ,→dense H ,→ V0

Si on donne alors une fonction u ∈ Lp(0, T ; V ) telle que u0 ∈ Lp0_{(0, T ; V}0_{). Alors u}

Chapitre

2

problèmes paraboliques à données

fonctions

Dans ce chapitre nous allons montrer qu’il existe une solution du problème parabolique dont la modèle suivant :

(P0)            u0 + Au = f sur Q = Ω×]0, T [, u(x, t) = 0 sur Σ = ∂Ω×]0, T [, u(x, 0) = 0 dans Ω.

O`u A est un opérateur du type Leray-Lions qui opère de Lp_{(0, T ; W}1,p

0 (Ω)) dans son

dual, f ∈ L2_(Q).

2.1

Hypothèses sur les données

Nous allons présenter dans cette section les hypothèses qui seront utilisées pour étudier le problème (P0).

Soit Ω un domaine borné de RN (N ≥ 2) , T un nombre réel positif, et l’opérateur

A de type Leray-Lions définie par

Au = −div(a(x, t, u, ∇u))

Nous supposons que la fonction a(x, t, σ, ξ) : Ω×]0, T [×R×RN → RN _{est une fonction}

mesurable par rapport à (x, t) pour tout (σ, ξ) ∈ R × RN_{) qui satisfait les hypothèses}

suivantes :

• Il existe une constante α > 0 tel que pour presque tout (x, t) ∈ Q, pour tout (σ, ξ) ∈ R × RN on a

a(x, t, σ, ξ)ξ ≥ α|ξ|p (2.1)

• Il existe une constante β > 0 et η(x, t) ∈ Lp0_{(Q), o`u p}0 ₌ p

p−1 tels que pour

presque tout (x, t) ∈ Q, pour tout (σ, ξ) ∈ R × RN _{on ait}

|a(x, t, σ, ξ)| ≤ βhη(x, t) + |σ|p−1+ |ξ|p−1i (2.2) • Pour presque tout (x, t) ∈ Q, pour tout σ ∈ R, ξ, ξ0

∈ RN_{, ξ 6= ξ}0_{, on a a est}

strictement monotone i.e :

[a(x, t, σ, ξ) − a(x, t, σ, ξ0)] .(ξ − ξ0) > 0 (2.3)

• O`u l’exposant p est donné tel que

p ≥ 2 (2.4)

Ces hypothèses sont classiques pour l’étude des opérateurs non linéaires sous forme divergentielle, les conditions (2.1) et (2.2) sont dite de coercitivité et de croissance respectivement.

2.2

Quelques lemmes de base

Soit Ω un ouvert borné de RN_{, posons V = L}p_{(0, T ; W}1,p

0 (Ω)) pour 2 ≤ p < ∞

l’opérateur A défini par

Au = −div(a(x, t, u, ∇u))

Lemme 2.1. L’opérateur A est borné, et bien définie de V dans V0 = Lp0_{(0, T ; W}−1,p0

(Ω)) ,

p0 = p

p − 1, o`u L p0

Démonstration. D’après la formule de Green : pour ϕ ∈ V on a

hAu, ϕi = h−div(a(x, t, u, ∇u)), ϕi =

Z

Q

a(x, t, u, ∇u)∇ϕ dxdt

Montrons que l’opérateur A est borné de V dans V0_{. Rappelons d’abord que A est}

borné signifie que :

kukV ≤ 1, ∃C > 0 kAukV0 ≤ C.

Soit u ∈ V tel que kukV ≤ 1

kAukV0 = sup ϕ∈V kϕk≤1 | hAu, ϕi | = sup ϕ∈V kϕk≤1     Z Q a(x, t, u, ∇u)∇ϕ dxdt     ≤ sup ϕ∈V kϕk≤1 Z Q |a(x, t, u, ∇u)||∇ϕ| dxdt.

Grˆace à (2.2) et d’après l’inégalité de H¨older et Minkowski, on a

Z Q |a(x, t, u, ∇u)||∇ϕ| dxdt ≤ β Z Q h η(x, t) + |u|p−1+ |∇u|p−1i|∇ϕ| dxdt ≤ β Z Q  η(x, t) + |u|p−1+ |∇u|p−1p 0 dxdt 1 p0 Z Q |∇ϕ|p_dxdt 1 p ≤ β " kηk_Lp0_(Q)+ Z Q |u|(p−1)p0 1 p0 + Z Q |∇u|(p−1)p0 1 p0 # k∇ϕkLp_(Q) ≤ β " kηk_Lp0_(Q)+ Z Q |u|(p−1)p0 1 p0 + Z Q |∇u|(p−1)p0 1 p0 # .

Il est clair que kηk_Lp0_(Q) ≤ C et

Z Q |u|(p−1)p0 1 p0 = Z Q |u|p 1 p !p−1 = kukp−1_Lp_(Q)

Grˆace `a l’in`egalit`e de Poincar`e on a

kukp−1_Lp_(Q) ≤ Ck∇uk

p−1 Lp_(Q)

≤ C kukp−1_V ≤ C.

de mˆeme, on se trouve Z Q |∇u|(p−1)p0 1 p0 ≤ C. Alors, on a Z Q |a(x, t, u, ∇u)||∇ϕ| dxdt ≤ C. Donc kAukV0 ≤ C.

Ce qui montre que, pour u ∈ V , Au est bien définit et que A est borné.

Lemme 2.2. L’opérateur A est monotone, hémicontinu, et coercif.

Démonstration. Montrons que l’opérateur A est monotone

En effet, pour tout couple u, v ∈ V, on a hAu − Av, u − vi =

Z

Q

[a(x, t, u, ∇u) − a(x, t, v, ∇v)] [∇u − ∇v] > 0.

Car d’après (2.3), on a [a(x, t, u, ∇u) − a(x, t, v, ∇v)] [∇u − ∇v] > 0, alors A est strictement monotone. D’o`u

hAu − Av, u − vi > 0. Montrons que A est hémicontinu

∀λn ∈ R, ∀u, v, w ∈ V , on a

hA(u + λnv), wi =

Z

Q

a(x, t, u + λnv, ∇(u + λnv)) ∇w dx dt

On a a est une fonction Carathéodory alors

a(x, t, u + λnv, ∇(u + λnv)) ∇w → a(x, t, u, ∇u)∇w p.p dans Q (λn→ 0)

et d’après (2.2) on a

|a(x, t, u + λnv, ∇(u + λnv))||∇w| ≤ βhη(x, t) + |u + λnv|p−1+ |∇(u + λnv)|p−1i|∇w| puisque quand n → +∞, λn→ 0 nous prenons |λn| ≤ 1, doit être

|a(x, t, u + λnv, ∇(u + λnv))||∇w| ≤ β

h

Grâce à l’inégalité de Young |a(x, t, u + λnv, ∇(u + λnv))||∇w| ≤ β " 1 p0 h η + (|u| + |v|)p−1+ (|∇u| + |∇v|)p−1ip 0 +1 p|∇w| p # d’autre part, on a " 1 p0 h η + (|u| + |v|)p−1+ (|∇u| + |∇v|)p−1ip 0 +1 p|∇w| p # ∈ L1_(Q)

D’après le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on obtient lim

n→+∞hA(u + λnv), wi = hA(u), wi

d’où l’hémicontinuité de A.

Montrons que l’opérateur A est coercif Soit u ∈ V , d’apr´es (2.1) on obtient

hAu, ui = Z Q a(x, t, u, ∇u)∇u dx dt ≥ α Z Q |∇u|p _{dx dt} = αk∇ukp_Lp_(Q) = αkukp_V Alors, A est coercif.

2.3

Résultats d’existence

Le résultat principal du chapitre est le suivant.

Théorème 2.3. Sous les hypothèses (2.1)-(2.4), il existe alors une solution u telle

que u ∈ Lp_{(0, T ; W}1,p

0 (Ω)) du problème (P0).

Démonstration. On a W₀1,p(Ω) est un espace de Banach réflexif et séparable pour 2 ≤ p < ∞, et

W₀1,p(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ W−1,p0(Ω) (2.5) avec injection continue et dense. De plus l’opérateur A vérifie toutes les hypothèses du théorème 1.22, donc il existe une solution u de problème (P0) telle que

Remarque 2.1. Si u vérifie (2.6) alors A(u) ∈ Lp0(0, T ; W−1,p0(Ω)). Il résulte alors de (2.6) et de la premier équation de problème (P0) que

u0 ∈ Lp0_{(0, T ; W}−1,p0

(Ω)). (2.7)

De (2.5), (2.6) et (2.7). Il résulte en particulier grˆace au théorème 1.23 que u

appartient à

u ∈ C([0, T ]; L2(Ω)) (2.8)

de sorte que la dernière égalité de problème (P0) a un sens, et on déduit que

Chapitre

3

Problèmes paraboliques à données mesures

L’objectif de ce chapitre est l’étude de l’existence et la régularité de solutions du problème suivant : (P )            u0+ Au = µ sur Q = Ω×]0, T [, u(x, t) = 0 sur Σ = ∂Ω×]0, T [, u(x, 0) = 0 dans Ω.

o`<sub>u Ω un domaine borné de R</sub>N (N ≥ 2) . µ appartient à M(Q) (l’espace des mesures de Borel bornées sur Q) et l’opérateur A définie par Au = −div(a(x, t, σ, ξ)) o`u A est de type Leray − Lions, et a(x, t, σ, ξ) est une fonction de Carathéodory. On

supposera vérifiées les mˆemes hypothèses du problème (P0) c’est-à-dire (2.1)-(2.4). Dans ce chapitre, on définit la notion de solution faible du problème (P ). On fait ensuite la démonstration du résultat d’existence de solution du problème (P ). A la fin de ce chapitre, on étudie la régularité de solution du problème (P ).

3.1

Position du problème

Définition 3.1. On dit que une fonction u ∈ L1(0, T ; W₀1,1(Ω)) est une solution faible du problème (P ) si a(x, t, u, ∇u) ∈ (L1_(Q))N _et

− Z Q u∂ϕ ∂t + Z Q a(x, t, u, ∇u)∇ϕ dx dt = Z Q ϕ dµ (3.1)

Notre résultat principale dans ce mémoire est :

Théorème 3.1. Supposons que les hypothèses (2.1)-(2.4) sont satisfaits et soit µ ∈

M(Q). Alors le problème (P ) possède au moins une solution u ∈ Lr_{(0, T ; W}1,q 0 (Ω))

pour chaque paire (q, r) telle que

1 < q < min ( N (p − 1) N − 1 , p ) , 1 ≤ r ≤ p, (3.2) N (p − 2) + p r + N q > N + 1. (3.3)

Remarque 3.1. En ce qui concerne la borne sur q, remarquons que

min ( N (p − 1) N − 1 , p ) =              N (p − 1) N − 1 si p < N, p si p ≥ N.

3.2

Démonstration du théorème 3.1

La démonstration de Théorème 3.1 est donnée par les étapes suivantes :

1. Approximation du problème (P ) par une suite de problèmes (Pn) qu’on sait

résoudre,

2. Estimations a priori des solutions approchées (un) de problème (Pn),

3. On passe à la limite, grâce à des propriétés de compacité.

3.2.1

Approximation du problème(P)

Supposons que µ ∈ M(Q), et soit (fn) une suite de fonctions de Lp

0

(Q) ⊂ L2_(Q)

telle que

kfnkL1_(Q) ≤ c, f_n→ µ f aible ∗ sur la topologie des mesures.

Nous approchons le problème (P ) par la suite de problèmes :

(Pn)           

u0_n− div(a(x, t, un, ∇un)) = fn sur Q = Ω×]0, T [, un(x, t) = 0 sur Σ = ∂Ω×]0, T [,

D’après le chapitre 2, il existe une suite des solutions approchées (un) de problème

(Pn) telle que

un∈ Lp(0, T ; W01,p(Ω)) ∩ C([0, T ]; L2(Ω)).

Dans la suite, nous allons utiliser les fonctions suivantes d’une variable réel, définie pour k > 0 :

Tk(s) = max{−k, min{k, s}}, ϕk(s) = T1(s − Tk(s)). (3.4)

O`u la fonction Tk: R → R est appelé fonction ”troncature” valant

Tk(s) =            k si s > k, s si |s| ≤ k, −k si s < −k.

Comme cette fonction est lipschitzienne, le théorème de Stampacchia affirme que pour u une fonction Lp_{(0, T ; W}1,p

0 (Ω)), avec p ≥ 1, on a Tk(u) ∈ Lp(0, T ; W01,p(Ω)) et

∇Tk(u) = Tk0(u)∇u.

D’abord on note par T₀1,1_{(Q) l’ensemble des fonctions mesurables u : Q → R telle que} la fonction troncature Tk(u) ∈ L1(0, T ; W

1,1

0 (Ω)) pour tout k > 0. Par la suite nous

avons besoin de définir la notion du gradient au sens faible de la fonction mesurable

u ∈ T₀1,1(Q).

Il a été prouvé par P. Bénilan ([11], lemme 2.1) que pour tout u ∈ T₀1,1(Q) il existe une unique fonction mesurable w : Q → R telle que

∇Tk(u) = wχ{|w|<k}, p.p dans Q, pour tout k > 0,

où χE est la fonction caractéristique de l’ensemble mesurable E.

De plus, si u ∈ L1_{(0, T ; W}1,1

0 (Ω)), alors w coïncide avec le gradient classique de u

et on la note par w = ∇u.

3.2.2

Estimations a priori

Lemme 3.2. Supposant que (2.1)- (2.4) ont lieu. Alors la suite (un) des solutions approchées de problème (Pn) vérifiant les deux estimations suivantes

Z

Bk

|∇un|p ≤ C pour tout k ∈ N (3.6)

o`u Bk= {(x, t) ∈ Q : k ≤ |un(x, t)| < k + 1}.

Nous noterons C toute constante dépendante de (α, |Q|, N, p, q, r et kfnkL1_(Q)).

Démonstration. D’après (3.4), la fonction ϕk définie par :

ϕk(s) =                          1 si s > k + 1, s − k si k ≤ s ≤ k + 1, 0 si − k ≤ s ≤ k, s + k si − k − 1 ≤ s ≤ −k, −1 si s < −k − 1.

En prenant ϕk(un) comme fonction test dans (Pn), nous obtenons

hu0_n, ϕk(un)i +

Z Ω

a(x, t, un, ∇un)∇unϕ0k(un)dx =

Z Ω

fnϕk(un)dx (3.7)

En intégrant (3.7) sur l’intervalle [0, t] ⊂ [0, T [, on voit que :

Z t 0

hu0_n, ϕk(un)i dt +

Z

Q

a(x, t, un, ∇un)∇unϕ0k(un)dxdt ≤

Z

Q

|fn||ϕk(un)|dxdt

et le fait que |ϕk(un)| ≤ 1, il vient que

Z t 0

hu0_n, ϕk(un)i dt +

Z

Q

a(x, t, un, ∇un)∇unϕk0(un)dxdt ≤ kfnkL1_(Q)

D’o`u Z t 0 hu0_n, ϕk(un)i dt + Z Q

a(x, t, un, ∇un)∇unϕ0k(un)dx dt ≤ c (3.8)

En particulier de l’inégalité (3.8) que

Z t 0 hu0 n, ϕk(un)i dt ≤ c (3.9) et Z Q

a(x, t, un, ∇un)∇unϕ0_k(un)dxdt ≤ c (3.10)

Pour montrer l’estimation (3.5), en utilisant l’inégalité (3.9). Grâce au lemme 1.16,

chapiter1, (lorsque ψ = 1) donne

Z t 0 hu0_n, ϕk(un)i dt = Z Ω Z un(x,t) 0 ϕk(σ)dσdx − Z Ω Z un(x,0) 0 ϕk(σ)dσdx

On remplace dans (3.9) devient Z Ω Z un(x,t) 0 ϕk(σ)dσdx ≤ c (3.11) comme Z α 0 ϕk(σ)dσ =                            α si α > k + 1, 1 2 si k ≤ α ≤ k + 1, 0 si − k ≤ α ≤ k, −1 2 si − k − 1 ≤ α ≤ −k, −α si α < −k − 1. et lim k→0 Z α 0 ϕk(σ)dσ = |α| ∀α ∈ R

En faisant tendre k vers 0 dans l’inégalité (3.11) et utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on obtient pour tout t ∈ [0, T ]

Z

Ω

|un(x, t)| dx ≤ c

Cela montre que la suite (un) est bornée dans L∞(0, T ; L1(Ω)).

Montrons maintenant l’estimation (3.6). Pour ce faire, nous utilisant l’inégalité (3.10)

Z

Q

a(x, t, un, ∇un)∇unϕ0k(un)dxdt ≤ c

il vient, grâce à (2.1) que

α Z Q |∇un|pϕ0k(un)dxdt ≤ c Alors Z Bk |∇un|p ≤ C O`u Bk = {(x, t) ∈ Q : k ≤ |un(x, t)| < k + 1}.

Lemme 3.3. Supposons que les hypothèses (2.1) -(2.4) sont vérifiées et soit µ = fn appartient à Lp0_{(Q). Alors tout suite (u}

n) des solutions approchées de problème (Pn) satisfait l’estimation

kunk_Lr_{(0,T ;W}1,q

pour toute paire (q, r) d’exposants satisfaisant les hypothèses du théorème 3.1, o`u C1

est une constante dépendant de (α, |Q|, N, p, q, r) qui dépend de fn seulement par sa norme dans L1_(Q).

Démonstration. Nous rappelons que si la suite (fn) ∈ Lp

0

(Q), alors la suite (un) des

solutions approchées appartient à Lp_{(0, T ; W}1,p 0 (Ω)).

Soit λ un nombre réel tel que λ > 1, et de (3.6) on obtient

Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ = ∞ X k=0 Z Bk |∇un|p (1 + |un|)λ ≤ ∞ X k=0 1 (1 + k)λ Z Bk |∇un|p ≤ C ∞ X k=0 1 (1 + k)λ Donc Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ ≤ C(λ). (3.13)

Si 1 < q < p, en utilisant l’inégalité de H ¨older (avec les exposants p q et

p

p − q) , on

peut écrire pour presque tout t ∈]0, T [

Z Ω |∇un(x, t)|qdx = Z Ω |∇un(x, t)|q (1 + |un(x, t)|) λq p (1 + |un(x, t)|) λq p dx ≤ " Z Ω |∇un(x, t)|p (1 + |un(x, t)|)λ dx #_pq _Z Ω (1 + |un(x, t)|) λq p−q dx p−q_p Alors k∇un(t)k q (Lq_(Ω))N ≤ " Z Ω |∇un(x, t)|p (1 + |un(x, t)|)λ dx #q pZ Ω (1 + |un(x, t)|) λq p−q _dx p−q_p

Nous élevons à la puissance r

q , et en intégrant l’inégalitè ci − dessus sur [0, T ], on

obtient Z T 0 k∇un(t)kr(Lq_(Ω))Ndt ≤ Z T 0 " Z Ω |∇un|p (1 + |un|)λ dx #r pZ Ω (1 + |un|) λq p−q _dx (p−q)r_pq dt

Si 1 ≤ r < p, en utilisant l’inégalité de H ¨older par rapport au temps (avec les exposants p r et p p − r), il vient que Z T 0 k∇unkr(Lq_(Ω))Ndt ≤ " Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ #r_p  Z T 0 Z Ω (1 + |un|) λq p−q dx (p−q)r_(p−r)q dt   p−r p

De (3.13), on obtient Z T 0 k∇unkr(Lq_(Ω))N dt ≤ (C(λ)) r p Z T 0 k(1 + |un|)λk r p−r L q p−q_(Ω) dt !p−r p (3.14) D’autre part on a Z T 0 k(1 + |un|)λk r p−r L q p−q_(Ω) dt !p−r_p ≤ C 1 + Z T 0 kun(t)k λr p−r L λq p−q_(Ω) dt !p−r_p (3.15) Alors (3.14) donne Z T 0 k∇unkr(Lq_(Ω))Ndt ≤ C   1 + Z T 0 kun(t)k λr p−r L λq p−q_(Ω) dt !p−r p   (3.16)

En appliquant le lemme 1.19 avec ρ = 1 et γ = λq

p − q, ce qui donne pour presque

tout t ∈ [0, T ] kun(t)k L λq p−q_(Ω) ≤ C k∇un(t)k θ (Lq_(Ω))Nku_n(t)k1−θ_L1_(Ω) et de (3.5), il vient que kun(t)k L λq p−q_(Ω) ≤ Ck∇un(t)k θ (Lq_(Ω))N (3.17)

avec θ définie par

p − q λq = θ 1 q − 1 N ! +1 − θ 1 (3.18)

Nous élevons à la puissance r

θ, et en intégrant l’inégalité (3.17) sur [0, T ], on obtient

Z T 0 kun(t)k r θ L λq p−q_(Ω) dt ≤ C Z T 0 k∇unkr(Lq_(Ω))Ndt (3.19)

Maintenant, on suppose que

r θ =

λr

p − r (3.20)

Ainsi, (3.16) et (3.19) impliquent que

Z T 0 k∇un(t)kr(Lq_(Ω))N dt ≤ C   1 + Z T 0 k∇unkr(Lq_(Ω))N dt !p−r p   (3.21)

puisque p − r p < 1, il vient que k∇ukr Lr_{(0,T ;(L}q_(Ω))N₎ ≤ C " 1 + Z T 0 k∇u(t)kr (Lq_(Ω))Ndt #

Grâce au lemme de Gronwall, on obtient k∇ukr Lr_{(0,T ;(L}q_(Ω))N₎ ≤ C On pose          p − q λq = θ ₁ q − 1 N  + 1 − θ 1 r θ = λr p − r Nous obtenons        λ = N pq + pq − N qr + N r − qr − N q N q θ = p − r λ

Les conditions sur les différents paramètres que nous avons utilisé ci-dessus sont : 1 < q < p, 1 ≤ r < p, (3.22)

λ > 1, (3.23)

λq

p − q ≥ 1, (3.24)

0 ≤ θ ≤ 1. (3.25)

Les inégalités (3.22)-(3.25) sont équivalents à

                             N (p − 2) + p r + N q > N + 1, 1 < q < p, 1 ≤ r < p, p − N r + N q ≥ 1. (3.26)

puisque les deux courbes (dans les variables q et r)

N (p − 2) + p r + N q = N + 1, p − N r + N q = 1

intersecter pour q = N (p − 1)

N − 1 et r = p − 1, la condition (3.26) de plus le thèoréme

d’inclusion entre les espace de Lebesgue impliquent l’estimation à priori désirée dans

Lr(0, T ; W₀1,q(Ω)) pour tout q et r tels que

1 < q < min ( N (p − 1) N − 1 , p ) , 1 ≤ r < p, N (p − 2) + p r + N q > N + 1.

Il nous reste à montrer que dans le cas r = p, dans ce cas (3.3) correspond à 1 < q < p

2, alors on peut choisir λ de telle sorte que

λ = p − q q > 1

En utilisant l’inégalité de Hölder par rapport au temps, on obtient

Z T 0 k∇u(t)kp_(Lq_(Ω))Ndt ≤ Z T 0 " Z Ω |∇un|p (1 + |un|)λ dx #_Z Ω (1 + |un|) p−q_q dt ≤ " Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ # sup 0≤t≤T h 1 + kun(t)kL1_(Ω) ip−q_q

d’après (3.5) et (3.13), il vient que

Z T

0

k∇u(t)kp_(Lq_(Ω))Ndt ≤ C

Lemme 3.4. Soit 1 < m < _{(N +2)p−N}(N +2)p . On suppose que les mˆemes hypothèses du lemme 3.3 sont vérifiées, alors tout suite (un) des solutions approchées de problème

(Pn) avec fn = µ appartient à Lp

0

(Q) satisfait l’estimation kunk_Lq_{(0,T ;W}1,q

0 (Ω)) ≤ C1 (3.27)

pour tout q vérifiant

q = [N (p − 1) + p]m

N + 2 − m (3.28)

o`u C1 est une constante dépendant de (α, |Q|, N, p, q) qui dépend de fn seulement

Démonstration. Soit λ un nombre réel avec 0 < λ < 1. Nous définissons pour τ ∈]0, T [ la fonction :

φ(un) = ((1 + |un|)1−λ− 1) sign(un)χ(0,τ )

où la fonction sign définie par :

∀s ∈ R, sign(s) =            1 si s >1, 0 si s =0, −1 si s <1. et la fonction caractéristique définie par :

∀s ∈ R, χ(0,τ )(s) =      1 si s ∈ (0, τ ), 0 si s /∈ (0, τ ).

En prenant φ(un) comme fonction test dans (Pn) et en intégrant sur [0, τ ], on obtient

Z τ 0 hu0_n, φ(un)i dt + Z τ 0 Z Ω

a(x, t, un, ∇un)∇unφ0(un)dxdt ≤

Z τ 0 Z Ω |fn||φ(un)|dxdt (3.29) D’autre part on a Z τ 0 hu0_n, φ(un)i dt = Z Ω Φ(un(τ ))dx − Z Ω Φ(un(0))dx

o`u la fonction Φ définie par :

Φ(s) =

Z s 0

φ(σ)dσ

il vient, grâce à (2.1), et le fait que |φ(un)| ≤ (1 + |un|1−λ) l’inégalité (3.29) donne

Z Ω Φ(un(τ ))dx+(1−λ)α Z τ 0 Z Ω |∇un|p (1 + |un|)λ dxdt ≤ Z τ 0 Z Ω |fn|(1+|un|1−λ)dxdt (3.30)

D’après la définition de Φ(s), remarquant que il existe deux constantes positives cλ

et dλ tels que

Φ(s) ≥ cλ|s|2−λ− dλ

Nous obtenons, pour presque tout τ ∈]0, T [

cλkunk2−λ_L∞_{(0,T ;L}2−λ_(Ω))− dλ|Ω| + α(1 − λ) Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ dxdt ≤ Z Q |fn|(1 + |un|1−λ)dxdt

Mais le deuxième membre de l’inégalité ci-dessus est majoré d’après l’inégalité de H ¨older, par kfnkLm_(Q) Z Q (1 + |un|)(1−λ)m 0 1 m0 Donc cλkunk2−λ_L∞_{(0,T ;L}2−λ_(Ω))+ α(1 − λ) Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ ≤ C + CkfnkLm_(Q) Z Q (1 + |un|)(1−λ)m 0 1 m0 (3.31) Soit q < p, et on définie σ = (N + 2 − λ)q

N . En appliquant l’inégalité (1.3) avec ρ = 2 − λ, on obtient Z Q |un|σ ≤ kunk (2−λ)q N L∞_{(0,T ;L}2−λ_(Ω)) Z Q |∇un|q (3.32)

Maintenant, grâce à l’inégalité de Hölder (avec les exposants p

q et p p − q), on voit que Z Q |∇un|q = Z Q |∇un|q (1 + |un|) λq p (1 + |un|) λq p ≤ Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ !q_pZ Q (1 + |un|) λq p−q p−q_p

D’autre part, en particulier de l’inégalité (3.31) que

Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ !q_p ≤  C + CkfnkLm_(Q) Z Q (1 + |un|)(1−λ)m 0 q pm0 On trouve Z Q |∇un|q ≤  C + CkfnkLm_(Q) Z Q (1 + |un|)(1−λ)m 0 q pm0 Z Q (1 + |un|) λq p−q p−q p (3.33) Il résulte de (3.31), (3.32) et (3.33) que Z Q |un|σ ≤ Z Q (1 + |un|) λq p−q p−q_p  C + CkfnkLm_(Q) Z Q (1 + |un|)(1−λ)m 0 q N m0+ q pm0 (3.34)

Choisissons maintenant λ et q tels que λq p − q = (1 − λ)m 0 = (N + 2 − λ)q N (= σ) C’est λ = (N + 2)(p − q) N + p − q , q = [N (p − 1) + p]m N + 2 − m Alors σ = [N (p − 1) + p]m N + p − mp

Ce choix de λ et q qui 0 < λ < 1 si seulement si p > q et q > p − N

N + 1. Ainsi nous obtenons Z Q |un|σ ≤ C + C Z Q (1 + |un|)σ 1−q p+ q N m0+ q pm0

Cette inégalité donne la norme de un est borné dans Lσ(Q), si seulement si

1 − q p+ q N m0 + q pm0 < 1.

Cela est vrais si seulement si m < 1 +N

p ce qui est satisfait, puisque pour tout p > 1

(N + 2)p (N + 2)p − N < 1 + N p De (3.31) on obtient Z Q |∇un|p (1 + |un|)λ ≤ C On déduit de (3.33) que Z Q |∇un|q ≤ C1

Ce qui montrer que (3.27).

Lemme 3.5. pour tout (q, r) vérifiant (3.2) et(3.3), on peut extraire de la suite (un) des solutions approchées une sous-suite, encore notée (un) telle que

un* u f aiblement dans Lr(0, T ; W01,q(Ω)).

Démonstration. Grˆace au lemme 3.5, la suite (un) est bornée dans Lr(0, T ; W₀1,q(Ω)) pour tout (q, r) vérifiant (3.2) et (3.3), et comme l’espace Lr_{(0, T ; W}1,q

0 (Ω)) est réflexif

(q > 1, et f ini). Alors on peut extraire de la suite (un) une sous-suite notée de la

Lemme 3.6. Si la suite (un) des solutions approchées est bornée dans Lr(0, T ; W01,q(Ω))

pour tout (q, r) vérifiant (3.2) et (3.3), et la suite (fn) est bornée dans L1(Q). Alors la suite (u0_n) est bornée dans L1_{(0, T ; W}−1,q0

(Ω)), et on peut extraire de la suite (un) des solutions approchées une sous-suite encore notée (un) telle que

un→ u f ortement dans L1(Q) et presque partout (p.p) dans Q. (3.35)

Démonstration. Montrons que la suite (u0_n) est bornée dans L1_{(0, T ; W}−1,q0

(Ω)) De la premier équation du problème (Pn), pour tout n ≥ 1 on a

u0_n= fn+ div(a(x, t, un, ∇un))

comme (fn) est une suite bornée dans L1(Q), il nous reste à montrer que :

vn = div(a(x, t, un, ∇un))

est une suite bornée dans Lr0_{(0, T ; W}−1,q0

(Ω)), c’est-à-dire on montrer que :

Z T

0

kvnkr

0

W−1,q0_(Ω) ≤ C

Pour ce faire, on remarque que vn = Aun et on a montrer que l’opérateur A est

borné, de la même manière, on se trouve

Z T

0

kvnkr

0

W−1,q0_(Ω) ≤ C

et utilisant le fait que (un) est bornée dans Lr(0, T ; W01,q(Ω)). Cela montre que la

suite (u0_n) est bornée dans Lr0_{(0, T ; W}−1,q0

(Ω)), on déduit que la suite (u0_n) est bornée dans Lr0_{(0, T ; W}−1,q0 (Ω)) + L1_(Q). On a L1(Ω) ⊂ W−1,q0(Ω) si q > N, i.e q0 < N N − 1 de sorte que L1(Q) ⊂ L1(0, T ; W−1,q0(Ω)) et Lr0(0, T ; W−1,q0(Ω)) ⊂ L1(0, T ; W−1,q0(Ω))

donc

Lr0(0, T ; W−1,q0(Ω)) + L1(Q) ⊂ L1(0, T ; W−1,q0(Ω)) Par conséquent, la suite (u0_n) est bornée dans L1_{(0, T ; W}−1,q0

(Ω)). Maintenant on a besoin du lemme suivant :

Lemme 3.7. (J.Simon[10]) Soient X, B, Y trois espaces de Banach tels que X ⊂

B ⊂ Y et l’injection X → B est compact, alors si :

• F est bornée dans Lp_{(0, T ; X) tel que 1 ≤ p < ∞, et}

• ∂F

∂t est bornée dans L

1_{(0, T ; Y ),}

Donc F est relativement compact dans Lp(0, T ; B). Il est claire que :

W₀1,q(Ω) ⊂ L1(Ω) ⊂ W−1,q0(Ω)), q0 < N N − 1.

et l’injection W₀1,q(Ω) ⊂ L1(Ω) est compact, car d’après le théorème de Rellich Kondrachov on a W₀1,q(Ω) ⊂ Lq_{(Ω) avec injection compact pour tout q, et puisque} q > 1 alors Lq_{(Ω) ⊂ L}1_{(Ω). Donc l’injection W}1,q

0 (Ω) ⊂ L1(Ω) est compact.

De plus la suite (un) est bornée dans Lr(0, T ; W01,q(Ω)), et (u0n) est bornée dans L1(0, T ; W−1,q0(Ω)), q0 < N

N − 1

Par le lemme 3.7, la suite (un) est relativement compact dans L1(0, T ; L1(Ω)).

Par conséquent, on peut extraire une sous-suite encore notée (un) qui converge

fortement vers une fonction u ∈ L1_{(Q) et presque partout dans Q.}

Lemme 3.8. Soit u la fonction donnée par (3.35), et (un) la suite des solutions approchées de (Pn). Alors la suite Tk(un) demeure dans un bornée de Lp(0, T ; W01,p(Ω))

et on a

Tk(un) * Tk(u) f aiblement dans Lp(0, T ; W01,p(Ω)), (3.36)

Tk(un) → Tk(u) f ortement dans L1(Q) et p.p dans Q. (3.37) Démonstration. Soit k > 0. En prenant comme fonction test dans (Pn) la fonction :