L'incorporation du contenu dans l'élaboration d'une demonstration mathématique selon l'heuristique de Lakatos

(

\

L'INCORPORATION DU CONTENU

DANS

L'ILABORATION D'UNE DEMONSTRATION MATHEMATIQUE

\

SELON

L'HEURISTIQUE DE LAKATOS

Violaine Arès

, D4ipartement de Phi losophie Université McGill

AoQt 1984

Mémoire présenté à

la raculté d'étude~ supérieures et de recherches comme exigence partielle

en vue de l'obtention du grade de Maîtrise ès Arts (M.A.)

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. .... ,,~ .-:"" ..

Imre Lakato~ estime que le formalisme, 14 méthode la plus, _,

1 ~

courante chez les mathématiciens conte~porains,,' ignor,e un

aspect ".ssèntiel de leur travail: l'.heuristique. ~ns son.

des mathématiques co~s~itue un des éléments essentiels'de leur prat îque ~ _~k4toS' élab~re une 'méthode. qui pérmet ge voi r' comment le contenu'cro.tt à chaque étape d'une 'preuve.

Pour illustrer ia'mëthode de Lakatbs nQUS donnerons un

/ ,

bref aperçu des nombreuses. modl f icat,ions QO.'~', subies. la

démonstration de la

.

r~9le de différentiation d'une 'f~nct.ion de

'

fonction. "" ' , t

, ,

D'autres philosophes et mathématici~ns, critiquent le

, ;

formalisme.' Le peintre

, :; Kandinsky lui-ma . . , '\

.

à r lutté contre le ... '~ ..

.

formalisme én peinture. Dans. ce domaine," dit-il,' "1. question'. • 1

de la - foc.. ,e.t toujours personnelle", donc r~ratiire".

, .

.

L'aspect fondamental d"un tableau, auz yeuz·de ~ndins~y, en

" ,

est le contenu. La seule raiaon'd'Itrè de la ~orme est, "de" nous révéler celui-ci.

Chez Lakatos, de mame, la d'une

-c?émonstration est secon~ire.' 1 l préférè fixer ,on at,tèntio-n . sur le con-tenu et 'la façon.,' dont il .st i'îlc'orporé 'daps une fi

dé.on.t~ation.

Nous

montrerons de quelie façoh il r'ali •• son

_.

_, entreprise et jusqu" quel poin.t il- réù •• i,t.

, /

/ ,

.

1 i' ii~ " '

Imre Lakatos claims that formalism, the approach favored

i

by contemporary mathematicians ignores an essentlal aspect of their vork,~namely heuristics.

In

his Proofs and Refutations, _...,

_....

-he shovs' that t-he vay mat-hematies evolve~ affects mathematicàl

praet iee. Lakatos devises a method whieh 8110vs us to recognize the content that bas been introduced at each step.

, \

We

vill glve seme of the main stage~ of the evolution of

the proof of' the ,ehain rule as an" illustration 'of Lakatos' method.

Net. only Lakat~,s_ but· also other .~ phi ~osQpher.s' and m,athematicians .nd eY,en the :painter

~ K~ndi~.kY· ~ve qu~stioned'

.

'~ormalism. 'In ,.rt,· . foria ia

_+"415

pe'raonal", hence relative.

~ .. _. - .

.

~. _, ' . . . ,

T' retore~, ianciinSkY claima, .th.: most "i.Dapqrtant aspect

of

il

'pai t in'g

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i

t~~ con~eht.1

: "orm "is . only tbe're to' reveal this , ,

" cont t -tp ·us._ , • r

-

_,

,S'ail.rly, inILakatos'~ vork formalization ~f a p~oof

• • " . , " • 1~ , \ .. ..

cOlles .5 cand.( _- He considéra 'the content· and how ',i t !s obtained _{. ' ,}

, ,

.

'ot inte eted into

a

proqf to he

e ••

en~ial.· aipect's' of

1 _ " ' - - , .. ~ ..

-mathema"tic: l practi.ce. We shÇ)v,how .~nis -is. acé:olDplished and

comment oh ,ts ,uçcess~ , , , 1

.

\ }

.

, '

.

,

(.

(

REJtŒRtIEMENTS

Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Monsieur le

Profes$eur Harry M. Bracken qui a accepté de diriger cette

thès~, et dont les conseils m'ont permis dt~rienter utilement

cette recherche.

Je remercie également les personnes suivantes:

l

--Monsieur le Professeur Joachim Lambek ,l gui

\ rp'a donné" de '

-ê) nombreuses indications sur les aspects trechniques de ce

tr.avail;

"

--Monsieur le Professeur Mario A. Bunge, qui m'a encouragée

tout au cours de mes étude .. à l'Université McGill;

--Monsieur le Profe •• eur Michael Herschorn, ' qui a susci té mon

intérêtCpour l'histoire de la démonstration de la règle de <.

différentiation d'une fonction de fonction, et m'a donné de

précieux renseignements à ce sujet;

,

--Monsieur et Madame William An91inj qui ont 'relu ce travail

, ,

et m'ont aidée à taïre' les cor~ections :nécessaires;'

,"" ' ._\ r

--Maaemois~ll.e Silvan.- wa.it~vll;'qUi ~ si généreusement' donné

de, son" temps af,i:n

de

m'aider à déctl'lographier ce travai 1.

~ . ' \

,Le Conseil de l~ recherehe en sciences hum.ines du Canada

•

m'â a~p~iéelpendant-une lpart~e' des tra~aùx ~réparatoir~~ à la

" -, .

rédaction de ',ce mémoire et '"je l'en remerc.ie bieri sincèrement.

.'

Mets remercie . . nts vont en particuli~r'

'à.

mes parents,

Monsieur et

Madam.

Jean Arès, dont le soutien moral .et.

"

f.

.

:;

1

1

financier m'a permis de compléter ce mémoire, que je leur dédie. " " .:' _{~ .. , ..} t ~ , \. ...: ~'" , 1 (. "

'.

-(.

1 "1.1 1.2 1.·3

TABLE DES ~~TIERES

Résumé

'.

_..

.

· . . . i i

Abstract II! • • • 111' • • • • • • • • • • • • • iU

Remerci~!!lents

. . .

Table des m~tières •

1 ntroduct i on • • 4 • •

Notes • •

.

. .

.

.

.

..

Quelques notions en jeu •

Forme •

.

.

. .

.

.

Contenu

.

.

. . .

.

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.

VI l 6, 7 '7

Le f ormal i sme _ en esthét ique; : _{• •}

·

.

.

• .. 11

• 13 ,-1.4 Le formalisme -en philosophie de's màthémat;iques • • ~ 16

--Introduction _.' • • .. • • •

1.4.2 ~ Finitisme et axiomatisme

. .

.

.

'1".4 .• 3 La, formalisation d'une théorie et ses

l.~

, ' conséqu~nc,es .: ., "

·

_.

..

. . . .

· . .

.

.

. ta notipn de ri9ue~r

·

.

, .~

.

l '1.6' La notion de profondeur

.

-.

\

.

."'.

·

.

.

.

.

• • • ..

.

• 16 17

· • • • 20

23 • • • • ~4 vi

1

~ " 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 3 .. 1 Notes"

. .

.

. . .

..

. .

.

·

.

. .

. .

pourquoi attaquer le formalisme?

Critique de la démonstration Objectif de Lakatos

.

_·

_·

_{· ·}

_·

, Objectif de Randins~y , .

_{· ·}

Intégration

_·

.

.

_{· · ·}

_{· ·}

Réali té ou illusion?

·

..

_{· ·}

_·

Notes

. .

.

_·

.

. .

-.

_·

_·

_·

_{· ·}

Méthode dé preuve et réfutations Règles heuristiqùes •

·

·

·

· ·

·

·

· ·

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·

·

_{· · ·}

·

.

. .

. .

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·

33

·

·

· ·

33

· ·

·

·

35 44

·

·

·

·

45 1 46 49 • 53 • • • • 53 3.2 Exemple: évolution de la démonstration de la

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5

règle de différentiation d'une fonction de fonction

.

. . .

.

.

.

.

. .

.

.

Notes . •

·

.

.

·

.

.

"Ls pratique des mathématiques

· · ·

.s

Reles' de la démonstration

_·

_{· ·}

_•

_·

RÔles des contre-exemples

_{· ·}

_{• •}

_·

_{· ·}

+ <\ Le problème de la rlgueur li

·

· ·

·

· ·

Le problème du contenu

·

·

·

4.4.1 Certitude et contenu

·

.

_..

· . .

\

4.4.2 La découvert~ par tâtonnements La formation des coricepts

·

. . .

Notes . .'.

·

.

.

. . . .

.

Limites de la méthode •

.

.

.

.

.

.

·

.

· • . . 55

·

.

~. • • • 65

·

· · ·

68

· · ·

68

·

·

·

· · ·

70

·

· · ·

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·

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.

• • • 84

·

. . · .

• '- 88

·

.

.

• • • 91 vi i

(,

5.1 Le danger de +a cri tique excessive _{• • •} 91

5.2 Topologie heuristique èt platonisme _• 95

1 Notes, •

.

-

·

_{• • •} 101 0 Conclusion _{• • • • • • • • • • • • •} 103 Notes _{• • • •}

.

\ _{• • • • •} • <ri 106 Bibliographie, •

·

_,

. . .

_{• • • • • •} 107

•

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lfirRoDOC'l' 1

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--,

"

-\

'Au début -de ce siècle( ·--les mathématiques, scienèe exa,c,te v •

par excellence, ont' été bouleversées par une terrible crise.

, .

Ses fondements ont été ébranlés par la découver~e d'anti~omies

"

dans la théorie des ,ensembles ,de Cantor, théor ie avec laquell~

..

on espérai t ~on'strui re tout l',édifice mathématiqué. 'On a vu appara î tre .,

troi

s écoles de mathémat ic iens': le logicisme, l' int~itionnisme. et 'le formal,isme. Chacune avait conçu une méthode qui" dévait lui permettre de prévenir toùte erreur. ~

Le logicisme se propose de réduir~.~es mathématiques.à la lÇ>gique. Frege a entrepris ce projet" qui a été poursuivi

par-0 - ,

Russell. C'est au cours de ces ttavaux >'que' Russell a

"

découvert la première antinomie. Pour' ~a résoudre, il a proposé sa théorie des types. - D~autres .-difficultés so~

.prop~es à cette méthode, notamment ce,qui a trait· à l'emploi

, .,

de' certains axiomes (1).

L'intuitionnisme a vu le jour aux Pays-Bas. Brouwer, son

-fondateur, s'inquiétait de la notron peu "intuitîve" de l'infini. Puisque' l' espri t ne pa~t ., . .,.-cern~r vraiment. ce '" ~ concept, il n'es.t.Pas étonnant gu"il ryous joue 'des tours~ l;..es

-antinomies en sont. la conséque~ce. La solution: .~ laisser l' intui't~.~ repr~ndJ;'e le dessus" _ Une, théorie mathématiQl.:1e

~ ,

porte sur (d~S .opérat ions ne sont que des'créations

mentales. Les objets mathématiques

- ,

(constructions) de

,

,(

'dîra, -un, i.ntui tio~niste: . Toute démonstration doit _r être

intùi~ivement ,acceptable, c'est-à-dire une construction de

:;- ~' l~ , A '"

l"l!spri~

p, c"ommé la

lo'~i~ue',clàSSique

est remise ,en question,

l .-: . . . ; . . . .. • " . , .. . , '

les mQy-ens .. soht plut'ôt limités (le'principe du tiers e.xclus et·

l'axiome de sont' 9é~éraleme~t rejetés) • Les

, ,

mathé~t~'que~ que l"o~' .peut ,"faire" dans un tel- systèm~ sont

"'

moins riches, en ce se,ns que, d,e 'nombreux 'théorèfi)es' ne pe~vent

- plus être démon~rês:

Le forma~isr.ie,appar.:lît d,'abord chez Hilbert. D~après' l',1i

les formelles

.) (é" èst':-â,-di,t"e' 'r,é-9ies et .

.obte'nu~s

à l' a'ide de· règles logiques) et reP9sent' UniqUement', sur des "

dm'v~lltions

'ou des

'~éf i~i

t·ions '

o

de symboles. Hilbert s'était t~acé' un progra~e dans le cadre duquel .i l . es~rai t démontrer: la èOhérence des mathémat igue,s, tout en res~ct~~lnt' les restrictions intui t-ïonnistes.~, 'Ce

1

, programme, te.! guel, !l,été détr'ui t [) à- son tour par l,es découvertes du logici'en Godel. - 'cepen'dant le formalisme ex"iste

" ,

toujours dans une forme moins

sé~ère'

qui' sera décrite plus

\ ,

- tar,d. 7

, v

" Dans

r

spn ouvrage ,Proofs ànd Refutations, Imre Lakatos . '

1 - ,

attaque -le

1 formalfsme dont -les excè&, selon lui, _ ' ~ ont enlevé

, ,

tout sens et t~ute direction aux mathématiques.

. . . " ,1 l . '~.. . . " .. "

S~lon Lakatos, ~~emploI indifférent de l'expression 1

'!métho~ô.lo9ie .. 1

qès

. mathématiques!' et du' te'rme

- 1

",métamathématique" mon~re 1 que I~ ,formalisme ne laisse aucune

\

~ ,

plac~ à ~a méthodologie en t~nt q~e l09ig~e de la découverte -. ,

(logic

!U.

,discovery·) (2). '

D'autres/~~thématicienS'et ph~lo$ophes sont 'd'accord 'avec

'

..

J

.'

-

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,

-

,

Lakatos sur ce. ~int. 'Davis et Hersh regrettent, eux aussi, le caractère artificiel de cette méthode de travail.

1 •

,L~

1

" ' /

The definition-theorem-proof approach to mathematics "",,has become almost the sole paradiqm of mathematical exposition and' advanced instruction. Of course, this .is not thé vay mathematics is, created, pr·opagated, or even understood.' Thé logical analysis of mathematics, which reduces a proof to an (in prlnciple) mechanizable procedure, is a ·,hypothetical, possibility, which is never realized in ' 'full.. Mathematics is a human activity, and the "

formal-19gical account of mathematics is only a fiction; mathematics itself is to be found in the actual praatice of'mathema.ticians: (3)

\

pelntr'e Kandinsky, qui était 7 •

aUSSl théoricien de l'art: s'est opposé au formalism~ en peinture. Sa cri tique

4 , :-- ,

.~

--

--portait sur "l'art p~ur l'art", Qui ne voyaU .dans

/ t

'

la pe~nture

paraissant 'di te abstrai te qué des formes

,que pour elles-m'mes. .

(et' des couleur s) ne

Lakatos et .Kàndinsky,' à mon' dans leurs·'

" " 1 . , . ' •

f i "

disciplines respectives, le même but: montrer i'inanitt de la . "forme sans contenu", 'et .indique'r, 'comment' le conten,\.! apparat.t dans un cas, dans '1 'élabora~ ion d'une, démoqstr~tion mathématique et ~ dans l'autre, .par l',utilisation des couleurs

.

et formes sur ~e~ plans et surfac~s d'un ~abl~au.

Dans son entreprise, Lakatos nous 'présente une classe dont .les élèves ont pour noms des' lettres grecques. _{~ ~ ~} Ceux-ci tentent dt é,laborer une, démonstt,ation t'igour,eu~e de la' ..conjecture â'Euler . et - ~e Descar,tes. Le pr~fesseur , - porte-parole J. principal 'de

Lakatos,-l , sert é9a~ement de

modérpteur au cours des débats.

, Dans la âescription diJ' projet' de Kandinsky 1 nous nous

,

\.

r

l'

. ~

.

lui ont été adressées.

Il s'agit maintenant de voir si, à l'aide. de sa méthode de preuve et de réfutations, Lakatos réussit à redonner un sens aux mathématiques.

Ce travail est fondé sur le conflit entre les notions de forme et de contenu. Dans un premier chapi tre nous

-examinerons quelques-unes des notions en jeu, soient la forme, le contenu ét le formalisme, ceci, en termes esthétiques et en

t

termes ma théma t igues. Nous montrerons également les

\

-.. c9nséguences de la' formalisation d'une théorie mathématique. Les notions de ri9u~ur et de profond~ur des démonstrations

.

sont aussi fort importantes puisqu'elles sont les critères d'éyaluation de la qualité des démonstrations.

Dans le deuxième chapitre nous verrons comment la cri t igue devient une ,partie de l'élaboration d'une démonstrat ion.

pri

montrera po,!Jrquoi on s'attaque au

\

formalisme, tant en mathématiques qu" en philosophie. Lak~tos

et Kandinsky, tous deux, aimeraient permettre une intégration

" ~

des aspects ~ormels et; "extra-formels" de leurs domaines.

Chacu~ essaie de toucher une certaine réalité, un monde peut-être inaccessible.

- ,'" '-..,~

,-; ' Dans le troisième ~hapitre, nous donnerons un bref exposé

.

des règles" de là méthode· de preuves et de réfutations de

,

" Lakato$, spivi des grandes lignes de l'évolution de la rêgle

," , '

de différentiation d'une fonction de fonction.

,

.

Nous~ j~tterons ·~nsuite" au cha'pitre quatrième, un coup

"

d'oei-l sur la pratique des mathématiques. Il Y sera question ,des rôles de la demonstration et des contre-exemples, des

"

, _,

,

'.

(

\

problèmes concernant la rigueur et le contenu, et enfln, de la

formation des concepts.

Dans le dernier chapitre nous indiquerons les limites de

'0

la méthode de Lakatos et de la éritique excessive. Il Y

.

sera

~ .également question de la "topologie heuristique" effl~uré'e

par

Lakatos et des çonséquences philosophiques que'pourrait avoir

cet te a'pproche.

, '\.

" 1

, 1 '.'

,

.

NOTES

. , ; .. ~

1. Voir Michel Combès,' ~ondements .~'mathémàtigues (p~ris:

! ~ L

,

P.U.F., 1971), à çe sujet.

_..

" "

<

(caïnb:idg~ :

2. Imre Lakatos, Proofs

-,

and Refutations

Cambridge Univ. Prèss, 1979), p. , 3. '

_..

Tout.es -lés références à cet ou"frage ~eror;lt par l'a ·sui.te incorpo.rées - au texte et données entre parenthè~es. , ,

3: .

Phifip .' J.

)

Mathematica1 Davis- et Reuben Hersh,

,Experience (8oston: Birk~user, 1980), p. 306.

.. î ,

"',

;. J î i ₁

,(

, -'

(,

, 1 ,

.

,

l,QUELQUES NOTIONS EN JEU

" 1

1 l ~ 1. FORME'

,.,Oans J'lé Vocabula'i re technigue

!1

cri tigue 'Be

_-

la

"

,philosophie, Lalande insiste, sur l'opposition courante entre

1

les, mot's' "forme"- et ."matièrf!". _ Au sens propre (A), on appelle

r

_ forme" la, f'igure, 9'ométr;ique consti tuée par les contours dt un - _objet, Con, l'0'Ppose alors à -la mat~ère dont est

flirt

ledi t

J

~ \ l ,

objet)~ Au sens' (iguré (B),' ,qui, nous intéresse 'davantage, on

dira que

',', La' forme d·une, opé-ration de l'entendement 'est la nat;ure au rappor,t qui existe entre les termes auxquels elle S'applique, abstraction faite de ce que sont ces termes en eux-mêmes; la matière (ou contenu) est ,constï tuée par ces termes, cons idérés

4ans

'leur signification propre.

On dira "ainsi de la' relation. est

J formelle :en

, . '

tant qu'èlle ,res~e vraie .po~r tous les nombtes réel's:

C~~te

der.nière ,notion' nous ,Obligera à distinguer '-

entr~

, ,

-les éléments de ,syntaxe et les éléments de séma~tique existant

en mathé~tiq~es,.' La' notiol) d,e modèle, dont il sera 9uestion

plus loin, nous. éclairera' à ce sujet • .

J'aimerai s toutefols ajouter i~i quelque~ _ sens du mot

"

forme, tel qu" i l est employé en esthétiq~e. En effet~ ils

)

permettent d'élucider l'oppos~tion entre la forme' et le

cOlltenu 'd'une,' façon,· semblable à celle qui existe en

l

(

mathématiques.

.

,

On remarquera d'abord, à la suite de Tatarkiewicz, que forma en latin devai t

, .

rendre la 'signi fication de deux mots , , grecs, s~ient, morphe et lidos. Le premier se rapportait'"

'"

essentiellement aux "formes visibles" et le second, aux _{, ,}

"for~es conèeptuell~s".

, Dans le sens de morphe (FO~ A), on ! , pense surtout' â'

l'aspect visible 4e notre' objet:, son appar~nce extérieure, en

- ,

tant qù'elle,est une conséquence de l~eidos (Lalande). Horphe

" "" :

,se dis~in9ue aussi de schema, ;18 figure externe no'n rapportée

à la ~orme (eidos)/. l '

Un ~premier sens de "forme" (Al) est ';qu~va~ent à ·la

,disposition" ,à

(Tatarkievic:} •

l'arrangement ou cl l' ordr. des P8:rties Il s'oppose alors aux éléments et parties

cOl')stit~nte's (du tableau~ par exeasple).

Un second (A2) s'applique' ce qui est directement of.fert aux sens (parr e~~l~, l,e, texte. ,d'un po''').' e~ o~sition au contenu' (le son des, mots) (idem)." ' ~

,l.

"

• 'l

Par \In troi

si...

(Al), .on entend

la

limite ou· le c,on~o~r '

' " ) .

4'un objet, qu'on opposera à la matière ou substance dont eat \ ~ , ~ ..

fai~ ledit objet (~dem). Ce dernier sens'se rapproche plutOt de celui de schema.

Hos.pers ne ç:roi t pas que ce dernier sens 5 t'applique en

, '

esthétique, ni mfme dans le dO$aine des arts visuels. A son avis, la forme a rapport avec l'ensemble' des relations ,,<réciproques des divez:!es parties c:onsti tuan,te-s, l' orgànisation ..

.

"

~

d'ensemble de 1 r oeuv,re. Les 1 imi tes et contours dt objets' n'r en -_{, ,}

~ont qu'un aspe~t., Hospers s'int'resse davantage à l t aspect, .

"

"

.

, .

,

l, 1 J,

\

1

....

, morphe. _,

On pourrait ,également parler d'un qu~trième sens (A4),

.

selon Ieqùel la-forme est un type déterminét-sur le modèle

,

duquef' on compose ,ou çonstruit~ une oeuvre d'a~t: ainsi

pense~t-on aux sonates, aux _sonnets;- ~ux po&meg en fo~~e d' acrost iche. "

Les formalistes, JetîpeT~fe} ,se sont toujoùts intéressés

. / \

à la 'forme .

d~ns l~i

deux pre \

~)èrs

sens donnés' ic i . Ils les

.

'

confondent parfor!;. Ce que 'H pers ~ppelle "for,!lle" est sans'

..

' / ~

doute' un dérivé' de ,c,ette \ con,f On pense à 'la manière /

dont lés m~ens d~expression S

i

organisés en vue d'un effet

, \

,

.esthé~iq.u~ ou de l'e.f~et pro~u~t' ~r _ ~ette or9anisati~n.

" . L • idée 'de 'Struct ure y apPa ra tt \ b'.en

q~'

elle ne' s •

~lIIpOse

pas

'avec la -m'me force que _... dan~ le se s (A4) de forme. Hospers nie que

.

la forme puisse faire \' ,8 ' 1 ~ cett, notion qe

\ '

, \

, structure, qui ne s' applique', sel~n', lui, qu' à la ,logique 'et'

J ".1' ' . . ... \ " . .

aux lIÛl~hématiques (notre~ forme ~l), \ b~en qu' il doi,v~ admettre

"

-que ~ertaines oeuvres 'd'art ont

en

commun' certaines p~opriétés

dites structurales (voir notre forme _{, . ,} A41.

But when've speak' :of tl'1e individuel vork of art, we mode of organization 'and organization that it shares

" (l') _fil

pa-r'ticular form of , 'an reter to its own unique'

not to t\le type" of

vith other warks of art.

.

,

La d_istinction tient

/1.

".l~utilisation"

de

l','oeuvre d'art;:" sa raison ,d' 'tre. Au cours de 1.' élaboration de l'oeuvre, 1 ',artiste a' dQ néanmoins tenir compte des r.r~g1.eS à suivre., "Un . cr,itiQue -évaluant ~ '.oeuvre la jûgera en f'onction du refJpect

des riglt!s, préétablies ('aspèct syntaxique du trav~·il). Cet

1

·1

j

aspect rie peut donc ê~re - néCJligé. Le' juge s' inté'resse'ra égalêment au contenu--mélodie, sons qiv'ers, ,images produites--soit l'aspect sémantique de l'oeuvre.. D'aucuns

~ ':.. i

1

critiquent l'étude formelle'de poèmes (par ex'emple}, affirmant • .. 1 .. _

..

'

-que ~ette chirurgie tue l'oeuvre artistique. Examiner' .le

1

contenu le fait di.sparaltre. ,Nous verrons plus tard que Davis et Hersh ont: un " avis semblablè en p~i~os,ophie des

1

mathématiques mais prennent,cette _{~ ,} situation comme moteur de l'évolution des mathématiques. "

Chez Platon, l:e terme. de eidos signi t'ie le contenu, _./

.

objectif ou la référenc~ de nos concepts universels, appè~e.

.. r" .... \' , i

,

forme ou idée intelligible. ,Plus tard, Aristote critique la

,

pensée platonicienne. Cette critique devient le point de -

départa.~e- sa~

logique" tondée sur l' analy,se

d~s ~roposi ~ions

J

,

I l distingue les notiol)s de sujet et de prédicat. '

Le sens de 'eidos ('FORME' B) est plutÔt un princ ipe interne d'unité. Les mot,5 latins de forma' et de: species cor,respondent

. .

chacun à un aspect de l' eidos." Fcrrma repré'sente l "idée de " caràctère COlQJJlun,' alors <Dle 'species représente celle d' esp;ce ou de classe c~~stituée par: la possession, de ce caractère

c~ommuri (Lal~nde). _ De-for" 'dé'rive l' emplo~ de ce t~rme ~n . ,

logiquè pour dé~igner oi!) ce qui règle.' ,l" exercice de 14'

'-pensée l , ou. impose d.e~ conditions i notre e,xpéri~nce ~ Par,

"

"'.'

contre ~ Henk-in' ,~ui -'mime appe~le "'fôrm'

of

~ sentence" (~2)'

, '

(

"

.:. the pattern wh.reby ,the sèntence is built up' from i ta el.mentary componetfts--nouns, ~ verbs, .. etc .. --and, the dist;rihution vi thin. .the sentence of certain key.logicar words, such as' "and", "not", and "aIl". (2)

..

" f ' > 1 1

!

~ ~ ~ i i " ~

(

A partir de' cette définition, ,ii donnera celle de conséquence logique. Cette explication n'est ~peut-être qu'une version

, , (

pl,us claire de 'la première (Bl) ~

également beauté:

\

formelle d'une démonstration mathématique ,tient un

'''<

1:.a beauté

~ .

peu des deux sens -(A et B) de forme. (On lira à ce su~et la

,

'section "The Aesthetic Component" de, ~ Mathematical , ,

,

Experience, . par Davis et Hersh.) Mais elle est indissociable

,

du contenù (ou matière ~u raisonnement), puisqutelle dépendra

,

de la simplicité de la preuve, de la facilité avec. laquelle

elJe

nous Pérmettra-d'a~oir une vue d'ensemble des,notions'qui

, ) Y::'t10nt liées • .. ~:,

..

, __ : ' ~~.-q- {r ~...r",:> ... : ~ 4~ , ~I • '<.

Aux forl'J;les A e~ B, on ,peut oppo.ser "deux sens du mot,

èontenu~ A la forme A, forme "extérieure", on ,opposera 'un'

... 1 .

contenu "intérieur", qu~ la' forme recèle. Il s'agit du seps ' . . des mots d'un 'poème, des images que celui-ci évoque et des

... ... ~

sentiments _., qu~ il évèille' en nous. Il' ,en sera Ide même dans un .

~ 1

tableau. C'est la par~ie vivante "'On 'pourrai t

, co~parer le'contenu à une mani'êrè d'idées platonicien'nes,"en

n'oubliant pas

,.

,

que notre contenu, 'lui., , _, t n'est "p!! .

irnuiuable'-.

.,. , ...

(Platon, parls,i t de différents "niveaux" d'idées rnte.lli9ibles .. '

)' 1 ~ ~

.

Peut-être .sommes·nous à'l'étage immédiatement' en-;dessous des "vraies" ~dées!) Ce contenu est donc (pr.esqu~) pur'eidos~ Il

est donc fo'rme (B) , mais pas. dans _{le sens ctitiqué par}

~

s'apparente " ' ~

Lakatos. Il .à la~ _{compréhension'}

_çe$

_{termes 'et}

, 0

,

1

o ,

.

; 12 . ,

part~ge ic~ avec nous les proprié~és\de ce's termes, en "les faisant sur~ir ~an~ notre imagination.

A là .forme _, B, pr inc i'p~ , "i nter,ne ~, _. on opposera un contenu ", "e~térieur", corresl?ondant à des .notions n.' ~yant de prim~,

· ,abord rAien à voir- avec la forme '(B

f,

mp~'s qui, n'remplissent'''·

\

,

les espaces. h Ce contenu s'apparente , , ~lutôt'à l'e~tension des

1

concepts. Ces npt ions- sont· -toutefois ,clairement "

reconnaissa~les par

,

,

leur expression {forme A} ~

,

Leur nature b

'se,ra appe17 -contenu au sens A. Mà i~, l' appor~ lui-même 'à la

1 ,

forme (B), est ,un contenu au sens B (cé que Lalande appelle

, • cr·

matière ou' contenu comme ,nous avons vu p~us haut).

En lOg'ique classique, distingue~ l'e_tension \- (ou

,

dénotation) de la compréhension (ou 1 conno~a,t l • on, -ou, en

ang1:ais, i,ntension) ~nou~ 91t prior. ,L"ex.ten,sion d'un'terme

, '

· est l'ensemble des individus auxque~s s'appli~ue ce terme. La

.

.

compréh~nsion ést' VenselDble,des attributs qu'.un individu doit

, "

· P9sséd~r afin que ,le 'terme, 'un 'nom' commun', puisse 's'y

. ,

appl,iquer. "

La compréhension est donc l ' grosso ,modo,' le sens dû '

"

..----terme. .,

A mon avis, la ra!son pour ,1~qu~lle 'la, forme et l~

conte~u semblent-: se confonçre vient- ,de, ce' Que. ~ertàines

,

1 distinctions

, , ,

importantes ~'apparaisSent ,pas clairement dans

r

',ouvrage notamment. entre- l'extension' et{6, la

-"

~.

, v~\.. Il , . ' J ....

,i -; ....

~

entre ~es ,domaines de , l~ J

de, Lakatos:

, - ,

compréhension {;oi~ 2~2},'mai~ aussi

, ,

méthode et de. l' ontologi'e,.

.. .. r. ~~ ('- ____ \

Le eontenu d'~ne

-démonstr~tion-, , 1

mat héri\a tique diffère dont 'on la découvre, et

, ~

"réalise. De-. mime, le C9ntènu d"une .peinture abstraite .est

diff~rent de la façon dont elle ,a èté ,co~çue et. ex~cut.~ *

\ 1 _ '" J

, ,

-

"

If , , , .! , 1 . , ( , . ,

.

.

13 1.3 LE FORMALISME EN ESTHETIQUE _,

En peintu~e, on appelle formalisme, la tendance 'à ~rendre

-

-la forme comme ,unigu& critère de ,valeur , ' . . . -' esthétique. Dans le

.

'cadre de -la théorie \ . formal:iste, -leS é-lémqnt~ de représentati_on" d'ém,otion,s et 'd'idées ne sont' pas pertinen't-s à,

, .

l'appréciat"ion de la'

val~ur"esthé:tiqu~

çje l.'oeuyre. En arts· .visuels, par exemple, se'ules :impor~,ent les- couleuré, _{, .... '.} les

, '

e.t 'les combinaisdns' -de cel,les:ci en plans . . et . en" ,surfaces (Hospers).· Laland~ appelle également formalisme la·

~ -1 / • • " ~

• tt'

Considération exclusive

'du

point de vue, 'formel, :conpuisant 'à.nie,r l'e.xistence 'ou l'importance' de

l J élément matériel' dans 'un or~re' .de c.onnaissa-née9" :

. 'S' appl igue spéc.ialement,' ~en estqét igue, à . la' , 'd,octrine de l! art- pour -1' art. ',"

On verra dans ce travai1 gue ,C,' est ce ~etq:'e d'attitude

'que' le peintre Kandinsky et ~e philoSçPhe, ~akatos combattent avec énergie. Kandinsky' donne beaucoup d'importance' à ce, .q~e

,-1 ... l ' ~ \ ...

,Ho;;pe~s .a~pelle· '-'''valeurs d~ ~ie" (·life values): ,:"these ',ar~~

• \ ~

4-hot contained'

in

the' medium but are conveyed" t;hrough' ,the, medium" (3) ! '1 l! ,s t a~i t des '. éléments de représent.:'ât ;on-, d·' émot ion's ou' de sentiments, :d' idj!es. ' Qua:nt , (" :

.

a Lakato~, 11

'. veut rendre son importance au, contenu (ou matière): des

mathématiques~

M. Marsal '. r_emarq~e à ,la sui té de l'art icle de Lalandè, -. ,

que l'opposition.ent't;e la forme et la matière donne lieu à, des

- 1 _ - t (

équi voqùes,' La. dê-f,i~ i t ïon n'.Y é,chappe pas.

'~' éc~le de l' at:t -pour' l' r art ~ toujours .' témoigné -de'

l'indifférènce pour. le '"sujet", de là rép~l~ion pour .le, sentim~nt ' et· l ~ inspiratïon; mais en . revanche le plus, grand, intérêt pour les mat'ériaùx, le "lhatêr,iel. :

.. .. ~ 1

;

o

,

, ;

, ,

- verbal, le astreignantes Lamart ine etlt matérielles.

poème à forme fixe,' les et rigides, toutes choses

volontiers négligées comme

règles qu'un trop

La confusion vient de ce qu'il n'y a pas d'entente sur ce

~

'.

qu'on veut appeler forme ou' matière. La n-mat ière d'un . raisonnement",' nous l'avons vu plus haut, est ce que Platon aurait appelé "idée intelligible" ou Aforme". Par cont~e, des

.

considérations plus terre à terre--comme par exemple le fait de s'astreindre à de.s -'règles fixés--sont, parfois appelées "matérielles": en -touchant terre, on empr i sonne son

1.

imagination qui n'a p,lus alors le loisir de planer, dans les hautes sphères de la créativité. ' , "

Diverses accusations sont ~réquemment portées contre ce mode d'expression qu'e~t' le formalisme~ Kanpinsky note les

7 ;;

sui vants dans son art ic le "Réf lex ions, sut~'-l"1~rt abstra i t" : la ~ , ~_:-'" ~ '\ ~.

--peinture abstraite serait une impasse:" ';a naturè de l'art reste à jamais' illUÎlU,able et la"

pein~ure\

abstraite ne fi'

~

conforme pas; _ elle est un travail, inte,llec.tuel, ce qui ne convient pas à une oeuvre 'd 1 art;

el~'e

-eS-t,

gé~mét'r

ique, ce

qu~,

,

.

-

~

de nouvéau, n'est pas convenable. ,

, , Ces _{reproches, '~andinsky} , _{les' 'balaie}

__ 1 l

rapidement. ~--( ' .

Le

•

premier est un cliché, déjà entendu au sujet d'autres écoles f , } ~ de peint\!re '( impres'sionnisme" cubisme, et,c.). La peinture

- .

n'est pas encore morte.

Du s~cond, il dit:

Ne m~ne' -à des' impasse.s qqe ce qui tourne le dos à

l ' esp~ i t, tandi s que c~ gui n~ î t de l ' espr i·t .et le sert, ouvre tou~es les impasses, et mène à la

l ' 1 1 f . , '

.

• r 15

dans un cas, ni dans l'autre, une manière

unique de c~pter l'essence de la mu~ique ou de la pein~ture:-t 'Af f ir'tner des . aut res modes " ,qu'ils s.ont artificiels et

conduisent â une impasse, indique que l'on n~glige l'histQir~ (de l' art, qe la mus i que). -' .

Quant au troi S.i,~~~~ Kandinsky, reconnai t qu'une part de

~ {~ --"

tra~ail intel!ectuèl est'présente, _, mais qurelle~constitue

"une-,

,'f~rce de collaboration : né~essaire"', visible

_,

an

toute· étape .de

l ' histoi r~ de l'art. . "La Ipi fondamentale qui ~é9.i t ~ là

l· mé-tPode

d.e

travail et les énergies du peintre 'avec obje~,' et'· . du pe.intre "~ans objet' est absolument la même~ (5) •

.

, ~ pu~lic '. s'était. insurgé'. paraît-il, contre l'intérêt

" accru Or, ,nous dit '

"

Kandinsky, -,les. peintres _.

, . . , ~

a~aien~ Lbe~~ii

"d'objets

, . ~ ~ , - ... di scr.et~ t h

silencieUlc".< Les figures ·9ép~~tr'iques. sori~. enc6re plu~

~ . .

silencieuses •.

facul té: celle d t ent'c'~dre lJ~ son -. "da"ns le 5 i Ience-. 'Qui: p,îu~ "

, • _, ~ , : " " - - ... J 1 _ . < - ..

, est:' 'cetté' ',faculté' '·sera i t· '! l'i ée: . à ~ [celle], en'- app~rencé

-.; - .... .. ~ - ... ~ ~ • l ' _ . . \

~ -~ ~ .. ~ ,,~ , , , ~

nouvelle qui p~rmet . à 1 "h<:>llllne, d~-, tou,èhe!", souS là

Peii:u .

d~

'la-~

Na t ure . son, ës's~nce'f .. son for~es

géométtiqu~s _pérmetten~

'donc

dé"

joi.ndre

---~n. mo~d~, :d~' ~~~timentS

-',

_ .. ~ .. \ r _ .... - . ' ,

plu.s vaste~ . . "

t • V • t> 4.

On VOlt .alnSl que

.1 _ ~

-- .. - - . . . ...:>~ - -" .. ..

le formalisme d~~'t:: i t par ,Lalande- .et~ .

.

-,/ ... ~ l ' ~... ~

a. Kanq.inskr ~ , S?n.,

~ut est au~re (~)~ _.

" ,-' '-. ' . . '

.'

_"

.

.

~ . o'

.

, .

.

-, ; , ,

•

"', , , . , ' .~ . "tw • • ~ .. , ~ , -... ,\

..

, , - ' , . , w • ~,

.

... ~

-

\ , , . , " . " ( , , '

..

'

16

1.4 vLE" FORMAtISMB IN PHILOSOPHIE DES MATHBMATrQUBS , ,

,

.

. 1.4.1 INTRODUCTION

Dans la philosophi,e ,des mat~ématiques, lë terme de

) ,

formalisme s'emploie dans deux sens distincts:

(1)' Le formalisme consiste à soutenir que les vé-rités, _, mathématiques .sont purement formelles, c'est-à-dite qu'elles

,

sont régies et ,obtenues à l'aide' de lois ou 'de règles logiques; et qu'elles reposent uniquement sur des conventions'

,

ou sur des définitions de symboles (Lalande). _, Il s'~git ici "d'une' formè. de-,conventio,nnalisme '(8) • .

.

,

(2) . Le ~6rmali~~o, t~l qu'envisa9~ par Hilbcirt, se

.' ,

.

prQpose de tout démontrer, et en particulier, de démontrer l~

c,ohérence des:' mathématiques clàssiques. (Lé. formalisme hilbertien qui se veut' un programme - 'd~ développement des .

. '

mathéma~iques', ,une méthodologie.,. se double 'd'une "ontologle"

~ornuÙ i ste, tel~e q\le' décr i te : àu paragraphe' précédent.)

En-ç'ela, S'oppose.' au ,logic.1sme -qui , " considère ~ue le,s propos'i tions ,mat'hématiq~es ont un sens ("t-h~y· ar~ 'me~nin9fui" " rapporte Dummett). Le formalisme leu~ nie cet~e qualité~

W[M]athe~atical .sentences have -only the. outward form of

declarative 'statements, but lacK any .gepu~nè content that

J

could be truly or falsely asserted" (9).

Le programme hilbertien a été sapé par le~ découvert~s de ; /'1

" ,

Godel, plus précisément par s~n second théQrème qui-démo~tre

- ' 1

l' impo'ssi~il~t~ d,aune preuve de consistance pour. les théories

suf f i sammen t, riches.

, , , '

1

(

<l

;17

Par contre, la méthode formaliste demeure, et c'est à

celle-ci que s'attaque Lakatos dans son ouvrage Proofs and Refutations:

l shall refer to the school of mathemaei~al

philosophy which tends to identify mathematics with its formaI axiomatic abstraction (and=the philosophy of mathematics with metamathematics) as the

'formalist' school (p. 1).

1.'.2 FINITISME ET AXIOMATISME

On distingue parfois la méthode de Hilbert (finitisme) de celle de Zermelo (axiomatisme), bien que les deux soient fondamentalement formalistes dans le premier sens donné ci-dessus.

Le finitisme h~lbertien est beau~oup plus exigeant:

Il s'agit ••• de garantir la valeur des résultats de la théorie, tout en admettant ce qu'il peut y avoir de fondé dans les' objections des intuitionnistes,

co~cernant les moyens par lesquels ces résultats

sont obtenus. (10

Charles Parsons lui-même divise les méthodes en deux types d'approches,

Font partie dè

~nti-platoniste,

soit le platonisme et le constructivisme. cette dernière catégorie,

radicale~ent

les intuitionnistes, les finitistes, les formalistes de tout genre. Comme le dit Combès, le formalisme privilégie un type de construction, celle des expressions qui se font sur papier. On me,t donc _, à nouveau l'accent "sur des ) objets dont s'occupe traditionnellement le logicien: les l'on construit des expressions de

expressions que sont

(

<-18

Hilbert aurait voulu aller plus loin [que Zermelo]. Si, au moyen de raisonnements se soumettant aux exigences intuitionnistes, on montrait la consistance des théories incriminées, on pourrait

l~gitimer le recours au langage de type cantorien,

même si on admettait qu'à ce langage ne corr~spond

aucune construction mathématique intellig~ puisqu'on ~urait -la garantie que les résultats du moins sont vrais. (12)

Les découvertes de Godel ont montré comment ce projet était irréalisable. "L'espoir est donc à tout jamais ruiné de prouver la consistance de l'arithmétique, et par suite aussi de la théorie des ensembles comme Hilbert voulait le faire"

(13) •

La méthode axiomatique de Zermelo a, elle aussi, ses exigences. D'après Hilbert, "elle doit prouver que dans chaque cas et sur la base du système d'axiomes posés, les contradictions sont absolument impossibles à l'intérieur du domaine scientifique" (14).

En choisissant des p~opositions premières (ou axiomes) à

,

partir desquelles on déduira tous les théorèmes de la théorie, on effectue une réduction des mathématiques à la logique. Les notions premières ne sont elles-mêmes définies que par l'emploi qui est fait d'elles dans les propositions premières

(15) •

Cette réduction s'effectue différemment de celle du logicisme, nous dit Combès. Alors que pour un logiciste, les propositions du système sont purement formelles et qu'elles sont vraies en vertu de leur forme, pour un axiomatiste, au contraire, bien que les théorèmes soient purement formels, ils ne sont pas vrais en vertu de leur forme. Seul le système

19

déductif est vrai en vertu de la forme. De plus, le langage parlant des ensembles ou des nombres est considéré comme une simple application de la logique' à une matière particulière

(16) •

Dans le système hilbertien, les expressions sont également dénuées d'un sens qui leur serait propre. Cet état de choses ne gêne nullement les formalistes, qui nous rappellent gue l'emploi de tels signes n'a rien de nouveau: les nombres imaginaires, par exemple, ont tracassé bien des esprits mais n'en ont pas moins été acceptés. Du reste, ce qui importe, c'est que le maniement de tels objets permette de parvenir à des résultats pourvus de sens (17).

Le finitisme s'est vite brisé sur l'écueil des théorèmes de Godel. L'axiomatisme de Zermelo a, lui aussi, ses limites. "Les axiomes sont tels qu'ils empêchent la naissance des antinomies connues, mais les règles qu'ils constituent revêtent un caractère arbitraire" (18). On court donc toojours le risque de trouver de nouvelles contradictions. Cela. n'empêche nullement cette méthode d'être la plus en

"

.

faveur auprès des mathématiciens.

Une telle situatio'n donne à mon avis un plus grand intérêt à des travaux comme ceux de Lakatos. Comme il est

imp~ssible d'être certain que nos résultats ne seront pas

1

contradictoires, les études d'heuristique prennent de la valeur. La façon dont on découvre les faits a une part essentielle dans le travail des' mathématiciens. L'étude de ces méthodes pourrait même éclairer sous u~ jour nouveau, et ainsi nous révéler, la nature de ce travail, ainsi que celle

(

., , 1

de ces mystérieux objets qu'on y étudie.

~

'Dorénavant, lorsqu'il sera question de méthode formaliste, il s'agira essentiellement fte celle de Zermelo, puisque c'est elle qui est en usage auj9urd'hui. Les références au formalisme hilbertien seront indiquées explicitement dans le texte.

On aimerait à présent jeter un bref coup d'oeil sur la formalisation d'une théorie et sur une de ses conséquences, la distinction entre les aspects sémantique et syntaxique de cette théorie.

1.4.3 LA FORMALISATION D'UNE THEORIE ET SES CONSEQUENCES

La formalisation d'une théorie se fait essentiellement en deux étapes:

1° on énumère les propositions de ladite théorie de manière à voir la suite des déductions, en indiquant d'abord les axiomes;

2° on indique les principes logiques qui serviront aux déductions (l9).

Bien que le programme hilbertien en tant que tel ait été détruit, son esprit inspire encore le travail des mathématiciens:

To Hilbert is due nov, first, the emphasis that strict formalization of a theory involves the total abstracticn from the meaning, the result being called a formal system or formalism (or sometimes a formal theory or formal mathematies); and second, his methôd of makin~ the formal system as a whole the object of a mathematical study called metamathematics or praof theory.i

Metamathematics includes the description or 1

l

j

(

Comme

definition of formal systems as well as

investigation of properties of formaI systems.

nous le rappelle Parsons, le but de

the

(20)

la formalisation d'une théorie est de rendre la validité des déductions indépendante du sens des termes primitifs de la

théorie en question. Il s'ensuit que la structure déterminée

par les concepts primitifs et les axiomes peuvent avoir des applications plus générales qu'ils n'en auraient eues dans la théorie donnée. Dans un tel contexte on élabore la notion de

modèle: un modèle d'une théorie axiomatisée et formalisée est

un système d'objets et de relations qui ~onstitue un ensemble

~

de référence pour les termes primitifs et qui rend les axiomes vrais (21).

On évite ainsi le problème du sens de certaines expressions

linguistiques. Quel lien y a-t-il entre ces expressions et

les objets- auxquels ils se réfèrent, et qui correspondent à

l'interprétation que nous leur avons donnée? Rien du tout,

affirme Parsons. Cette correspondance est "morte", purement

artificielle. o~ voit clairement la distinction entre la

théorie-objet et la métathéorie.

d

Mary Hesse explique "We can therefore make a distinction

between the model as exhibited by the familiar system and the

model as it is used in connection vith the theory" (22). Ce

dernier est une entité conceptuelle â laquelle on est arrjvé

en éliminant le contenu (B) afin qu'il ne nous reste que la forme (Bl; plus précisément, le sens fi9uré de ce mot donné

par Lalande). Ainsi, on a d'une part le~ cas, particulier que

(

(

être appliquée à de nombreux autres objets. La formalisation

risque de nous faire oublier le rôle du problème original, celui qui nous avait permis de découvrir le modèle dans toute

sa généralité. Lakatos s'emploie à nous rappeler l'importance

de chaque ,cas particulier, et 'son apport à la théorie

élaborée.

Dans son article "FormaI Systems and Models of FormaI

1

Systems", Henkin nous présente des systèmes relativement

simples dont--ce sont ses propres mots--la structure et le contenu sont très limités, afin d'éclairer les lecteurs au

sujet de la notion de modèle. La syntaxe (ou structure, ou

forme) du langage (ou système) est subdivisée en grammaire et en appareil déductif. Les symboles et les règles de formation (qui nous disent comment assembler les symboles et en faire

des propositi~ns (sentences) du "langage") constituent la

grammaire; les axiomes et les règles d'inférence forment

l'appareil déductif du système. Ce dernier, de même que les

notions sémantiques de modèle, -de valeur de vér~té, de

validité et de conséquence, est fondé sur la grammaire du

, système. Mais les définitions des notions sémantique~ ne

mentionnent nullement 'l'appareil déductif. Quant aux

définitions de concepts relatifs à la déduction (tels que

théorème ou déduction), elles n'indiquent rien \e leur rapport

avec les concepts sémantiques. Il existe néanmoins un rapport

.j, •

très étroit entre ces d~ux catégories d'idées: l~utilité d'un

appareil déductif vient précisément de ce que chaque fois

qu'une proposition A est déductible d'un ensemble d'hypothèses

G, A est aussi une conséquence de G dans le sens séman~ique

l'

(

(23) •

Henkin insiste sur les liens qui existent entre les aspects sémantiques et syntaxiques d'un système ou d'une théorie. Les notions de consistance et de déductibilité de même q~e celles d'implication

(satisfiability) sont intimemen·t liées:

et de satisfaction une proposition B ne

\

peut être1déduite d'un syst~me G de propositions (G~B) que si, et seulement si, le système formé par l'adjonction de ~B à G

«G,~B» est inconsistant. De même, la-proposition "Si toutes

les propositions de G sont vraies entraîne que B est vraie

(GPB)" n'est vraie que si, et seulement si (G,~B) ne peut être satisfait (c'est-à-dire si tout modèle de G est aussi un modèle de B). La question de complétude (à savoir, si Gt=.B implique GrB) est plus complexe: Godel nous a montré que bien

,

des systèmes intéressants des points de vue logique ou mathématique sont incomplets (24). l .

1.5 LA NOTION DE RIGUEUR

Que veut dire "faire preuve de rigueur" dans une démonstration? Il s'agit avant tout de l'adhésion à certaines règles de procédure que l'on reconnatt et accepte car elles permettent d'arriver à des conclusions justes (25) •

. La notion de rigue~r es~ donc relative au groupe de personnes qui veut établir certains résultats: les critères

,

ne seront pas les mêmes pour un mathématicien, un biologiste ou un historien.

1

(

r évoluent. Ce qui constituait une démonstration ~rigoureuse

l

pour Euclide contre, ces

ne l'est plus nécessairement aujourd'hui. Par normes ne deviennent pas nécessairement' plus strictes avec le temps puisque différentes cultures vivent et disparaissent. Leurs idées se perdent parfois avec elles. On doit alors refaire le cheminement à partir du début,' c'est-à-dire recréer ou remplacer les normes qui avaient existé. On, peut alors parfois "réinventer" ce que d'autres

...

avaient "su" bien avant nous.

Les normes de rigueur sont également souvent remises en question par divers spécialistes d'un même domaine à une même époque. C'est ainsi que ( les intuitionnistes critiquent l'emploi de certains axiomes (dont l'axiome de choix) et de çertaines règles d'inférence. Selon eux, ces axiomes et règles ne conduisent pas nécessairement à des conclusions correctes.

1.6 LA NOTION DE PROFONDEUR

La profondeur d'une démonstration tient à la richesse des résultats qu'elle rassemble, organise et unifie. On considère alors l'abondance et la complexité des éléments qui entrent en jeu, caractères de richesse. On dira aussi d'un résultat qu'il est "profond" (~) s'il nous permet d'entrevoir des élargissements dans le domaine concerné.

st

il a des conséquences qui nous apportent des éclaircissements sur des domaines connexes, on pensera plutôt â sa portée (scope>.

Davis et Hersh, quant à eux, proposent cette définition

1

j

Î _, i

(

de la notion de profondeur: "A mathematical theorem is called 'deep' if its proof is difficult" (26)., Selon eux, les

.

éléments à prehdr~ en considération pour la "mesure de' la profondeur" sont les suivants: "nonintuitiveness of statement pr of argument, novelty of ideas, complexity or length of _, proof-material measured from some origin which itself is not' deep" (27). A mon avis, le premier critère n'est pas essentiel. Certaines démonstrations sont dites profondes alors qu'elles ne sont pas particulièrement bizarres ou difficiles à comprendre pour les initiés. La simplicité n'est

.,

v

pas nécessairement à dédaigner, même s'ils en disent:

Now despite this hierarchical ordering, what is deep i5 in a sense undesirable, for there is a constant effort towards simplification, towards the finding of alternative ways of looking at the matter which trivialize what is deep. We all feel better when we have moved from the analytic toward the analog portion of the exper ient ial spectrum. (28)

"> La tri v i a l i té est, bien sûr, le contraire de la

profondeur comme le disent si bien Davis et Hersh. Mais de confondre banalité et simplicité ne me plaît pas. Il y a tout un art derrière le travail de simplification. Du reste, une preuve simple est parfois qualifiée de profonde. Par contre, une démonstration compliquée risque d'être obscure. Son seul intérêt est d'avoir résolu un problème: celui de démontrer un certain théorème. Il lui manque une qualité essentielle: faire apparaître les liens qui unissent les notions qui sont _, en jeu.

Des critères comme ceux de la profondeur et de la rigueur, qui sont extérieurs aux mathématiques, ne se mesurent

•

pas avec -exactitude: ils sont essentiellement esthétiques

(29). Ils servent à évaluer la beauté qu'on voudra bien attribuer à la démonstration. En tant que tels, ils ne sont susceptibles d'aucune caractérisation exacte:

..

The notion of underlying aesthetic quality remains elusive. Aesthetic judgments tend to be personal, they tend to vary vith cultures and with the generations, and philosophieal discussions of aesthetics have in recent years tended less toward the dogmatie prescription of what is beautiful than toward discussion of how aesthetic judgments operate and function. (30)

L'inévitable se produit. En mathématiques, ce genre de

d~scription est presque introuvable:

Aesthetic judgment exists in mathematics, is of importance, can be cultivated, can be passed from generation to generation •••. But there is very' little formal description of what it ia and how it

operate~. (31)

,

Afin de combler quelque peu cette lacune, Davis et Hersh-proposent aux mathématiciens d'avoir pour moteur de recherche, leur émerveillement devant leurs découvertes.

And amazement gives way to delight and delight gives way to feelings that the universe is united in a vondrous vay •

.•• In this vay, the ~ttem~t to explain (and hence to kill) the surpr1se lS converted into

pressure for nev research and understanding. (32) "

Cette explication peut à son tour être il~ustrée par une image, qui nous permettra de voir comment les divers éléments 0

se complètent.

Un théorème est alors comme une pièce d'un casse-tête. Plus il a de facettes touchant à un nombre plus ou moins grand de morceaux avoisinants, plus ce théorème est "riche" ou

l

,

'"profond".

Cette richesse ou profondeur touche

t

la fois à

.l'aspect méthodologique du travail et à son contenu. Etant en contact avec un plus grand nomb~e de pièces, il devient important puisqu'il nous permet d'avoir une meilleure image de cette région du casse-tête, puisqu'il se joint aux pièces déjà en place, et facilite dès lors l'agencement ou l'assemblage de

~

nouvelles pièces du casse-tête. Cette image peut être dans le ens de la "largeur" (scope)--lorsqu'on touche à des domaines

co~nexes:-ou de la profondeur--Iorsqu'on a une meilleure idée

\

de' l'articulation des éléments avec lesquels on joue.

< , , " NOTES 28

..

1~ John Hospers, "Problems of Aesthetics," Encycl.

21'

f.hi!.;

1972, l, 43.

2. Leon Henkin, "FormaI Systems and Models o~ FormaI "Systems," Encycl. of Philo, 1972, VIII" 61.

3. Hospers, p. 44.

4. Wassily Kandinsky, ",Réflexions sur l t art abstrai t, "

Cahiers ~'Art, Nos 7-8 (1931), p. 351.

5. Kandinsky, p. 351.

6. Kandinsky, p. '353.

7. Kandinsky s'oppose aux peintres "constructivistes" qui sont en fait les tenants de la doctrine de 1'a~t pour l'art:

-,

Dans cette loi générale de l' égali té de la SOtJ?'C-~i-: -de chaque art •.• , il exJste un~ exception . q1:l~~~~:\~--t provoqué des malentendus et des "melanges" perI) lC leux\": '<

Je parle des "constructivistes", dont la 'pl~pait~­

affirment que les impressions-émotions reçues par l'artiste du dehors sont non seulement inutiles, mais doivent être combattues.... 11s cherchent à faire 'des

, ,

8.

9.

29 "constructions calculées" et veulent supprimer le

sentime~t non seulement chez eux-mêmes, mais aussi chez

l~ spectateur, pour le libérer de la psychologie bourgeoise et pour en faire "un homme de l'actualité".

Ces artistes sont, en vérité, des mécanlclens (alors des enfants spirituellement limités de "notre siècle de la machine"), mais qui produisent d~s

mécanismes privés de mouvement, des locomotives qui ne bougent pas ou des avions qui ne volent pas. C'est de "l'art pour l'art", mais poussé à la dernière limite et même au delà.

Kandinsky, "[L'Art d'aujourd'hui est plus vivant que jamais]," Cahiers d'!!!, nos 1-4 (1935), p. 54.

Parsons décrit ainsi le conventionnalisme dans la philosophie des mathématiques:

Attempts to avoid dogmatism completely while affirming the existence of a priori u knowledge in mathematics have been made on the basis of conventionalism, the characteristic logical positivist view of a priori knowledge. This view in effect rejects the question 6f

evidence in mathematics: mathematical statements do not need evidence because they are true by fiat, by virtue of the conventions according to which we specify the meanings of the words occurring in mathematics. Mathematics is therefore "without factual content" or

" " ~)

even empty •.••

The usual conventionalist position appeals to rules specifying that certain propositions are to be true

by

convention or, more often, to rules of another sort (such as semantical rules of an interpreted formaI system), from which it can be deduced that certain statements are true, the nature of the premises being such that they can be called convent-ions governing fhe use of expressions.

Charles Parsons, "Foundations of Mathematics," Encycl. of Phil., 1972, V, 199.

Intui tionism (Oxford: Michael Dummett, Elements

_-

of

Clarendon Press, 1978), p. 3.

~1

,

•

1

(

10. Combès, p. 68. 11. Combès, pp. 87-88. 12. COmbis, p. 84 , 13. Combis, p. 79. 14. Cambis, p. 67. 15. Combès, p. 59. 16. Combis, pp. 61-62. 17. Co.bès, p. 68. 18. 19. Combès, p. 65. ..

-voici ce qu'en dit Kl •• nez

. The system of these propositions .ust· be . . de entirely explicite Not aIl of Uthe pl:opositions can be

vritten down, but rather the disciple and stude~t of the theory should be told all the conditi~ns which determine

v~t prbpositions hold in the tbeory. . As the first ~step, the propositions of the theory should be arranged deductively, some of them, from which the others are logically deducible, being specifieà as the axioms (or postulates).

This step will not be finished until all the properties of the undefined or technical terms of the theory which matter for the deduction of the theorems have been expressed by axioms. Then it should be possible to perform the deductions treating the technical terms as words in themselves vithout meaning. Par to say that they have meanings necessary to the deduction of the tbeorems, other than what they derive

, 1 i 1 ,i

_,

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