Les estimateurs semi-locaux de périmètre

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Les estimateurs semi-locaux de périmètre

Alain Daurat, Mohamed Tajine, Mahdi Zouaoui

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Alain Daurat, Mohamed Tajine, Mahdi Zouaoui. Les estimateurs semi-locaux de périmètre. 2011.

�hal-00576881�

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Les estimateurs semi-locaux de p´erim`etre

∗

Alain Daurat, Mohamed Tajine, Mahdi Zouaoui

LSIIT CNRS UMR 7005, Universit´e de Strasbourg,

Pˆole API, Boulevard S´ebastien Brant, 67400 Illkirch-Graffenstaden, France

tajine@unistra.fr

R´esum´e

Nous présentons dans ce papier une nouvelle classe d’estimateurs de périmètre : les esti-mateurs semi-locaux. Nous montrons que pour toute courbe C(g) correspondant à un fonction gde classe C2_{, l’estimation du périmètre de C(g) par un estimateur semi-local, `}_{a partir de la}

discrétisation de C(g) à la résolution r, converge vers la valeur exacte du périmètre de C(g) lorsque la résolution r tend vers 0. Nous introduisons aussi une sous-classe des estimateurs semi-locaux qui n’utilisent comme motifs que les motifs qui sont des segments discrets. Mots clés: Discrétisation, Estimateur semi-local, Estimateur semi-local basé sur les segments discrets, Périmètre, Motif, Segment discret, Convergence multi-grille.

1 Introduction

Nous nous interessons dans ce papier à l’estimation de périmètre de courbes à partir de leurs discrétisations. Plusieurs estimateurs de périmètre ont été proposés dans la littérature en imagerie [6, 8, 7, 12, 4, 5, 11, 1, 9, 2, 3, 10]. Dans [9], la classe des estimateurs locaux a été introduite dans un cadre général et la convergence de ces estimateurs a été étudiée et cette étude a été poursuivie dans [3, 10]. Nous avons notamment demontré dans [3, 10] que si_Cr(g) est la discrétisation à la résolution r d’une coubre C(g) d’une fonction g, alors l’estimation du périmètre de C(g) utilisant les estimateurs locaux à partir de_Cr(g) ne convergent presque jamais (au sens de la mesure de Lebesgue) vers la valeur exacte du prémètre de C(g) lorsque la résoltion de l’espace discret tend vers 0 même pour des courbes aussi simples que des morceaux de paraboles.

Nous présentons dans ce papier une nouvelle classe d’estimateurs de périmètre : les estimateurs semi-locaux. Si Cr(g) est la discrétisation à la résolution r d’une courbe continue C(g) dont on cherche à estimer le périmètre, alors aussi bien les estimateurs locaux que semi-locaux sont obte-nus en factorisant la courbe discrèteCr(g) en motifs de taille H(r) où r7→ H(r) est une fonction constante pour les estimateurs locaux, par contre cette fonction est décroissante en r et est tend vers l’infini lorsque r tend vers 0 pour les estimateurs semi-locaux. Nous montrons que sous cer-taines conditions notamment concernant l’ordre de grandeur de H(r) relativement à r, les estima-teurs semi-locaux correspondants convergent vers le périmètre exacte pour toute courbe de classe C2_{. Nous introduisons aussi une sous-classe d’estimateurs semi-locaux : la classe des estimateurs} semi-locaux basés sur les segments discrets. Les estimateurs de cette sous-classe ne prennent en compte que les motifs qui sont des segments discrets.

Ce papier est organisé de la fa¸con suivante : dans la deuxième section nous introduisons les nota-tions et les défininota-tions de bases utilisées tout au long de ce papier. Dans la troisième section nous introduisons les estimateurs locaux et nous montrons leur convergence vers la valeur exate du périmètre lors que la résoltion de l’espace discret tend vers 0 pour les courbes de classe_C2_{. Dans la}

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section quatre nous introduisons une sous-classe de la classe des estimateurs semi-locaux (les esti-mateurs semi-locaux bas´es sur les segments discrets) et nous donnons un r´esultat de convergence concernant cette sous-classe. Le papier ce termine par une conclusion.

2 D´

efinition et Notations

Dans cette section, nous introduisons les notations et les définitions de base qui vont être uti-lisées tout au long de ce papier.

Notations :

Soient a, b_{∈ Z, α, β ∈∈ R. et x ∈ R.}

• Ja, bK = {n ∈ Z | a ≤ n ≤ b} est l’intervalle discret constitué des entiers consécutifs se trouvant entre a et b. Par définition, si a > b, on a alors Ja, bK =_∅.

• ⌊x⌋ est l’entier tel que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. ⌊x⌋ est appelé la partie entière du nombre réel x. • ⌈x⌉ = −⌊−x⌋. On a donc ⌈x⌉ − 1 < x ≤ ⌈x⌉. ⌈x⌉ est appelé la partie entière supérieure du

nombre r´eel x.

• [x] = ⌊x +12⌋ est appel´e l’entier le plus proche du nombre r´eel x

• hxi = x − ⌊x⌋ est appelé la partie fractionnaire du nombre réel x. On a donc x = ⌊x⌋ + hxi. • D(α, β) = {(x, αx + β) | x ∈ R} est appelé la droite eulidienne de pente α et de phase β. • D(α, β) = {(x, ⌊αx + β⌋) | x ∈ Z} est appelé la droite discrète de pente α et de phase β.

Dans toute la suite, seules les droites euclidiennes D(α, β) et les droites discrètes _{D(α, β) pour} (α, β)_{∈ [0, 1]}2_{seront considérées. En effet, on peut toujours se ramener `}_{a ce cas par des symétries} relativement aux axes OX, OY et/ou la première bissectrice (c’est-à-dire la droite D(1, 0)) du repère.

D´efinitions 1 Soit m_{∈ N}∗_.

• Un motif est une fonction ω : J0, mK 7→ Z telle que ω(k + 1) ∈ {ω(k), ω(k) + 1} pour tout k _{∈ J0, m − 1K. Le nombre m est appel´e la taille du motif ω. Autrement dit, un motif ω de}

taille m peut-ˆetre vu comme un mot de taille m + 1 sur l’alphabet Z.

• Un motif ω de taille m est dit un segment discret de taille m, s’il existe α, β ∈ [0, 1] tels que ω(k) =_{⌊αx + β⌋ pour tout k ∈ J0, mK.}

Dans toute la suite de ce papier, nous consid´erons la fonction ϕ : R_{→ R d´efinie par} ϕ(x) =p1 + x2_.

La fonction ϕ est 1-lipschitzienne c’est-`a-dire que l’on a

∀x, y ∈ R, |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ |x − y|. La figure FIG. 1 contient la repr´esentation graphique de la fonction ϕ.

Définitions 2 Soit g : [a, b]_{7→ R où a, b sont deux nombres réels tels que a ≤ b.}

• C(g) = {(x, g(x)) | x ∈ [a, b]} est la courbe correspondant `a la fonction g. • C0_{[a, b] est l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle [a, b].}

• Soit n ∈ N∗_. _Cn_{[a, b] est l’ensemble des fonctions n fois d´erivables sur l’intervalle [a, b] et}

dont les dérivées successives jusqu’à l’orde n sont continues sur [a, b] (i.e. Autrement dit

g _{∈ C}n_{[a, b], si g}i _{∈ C}0_{[a, b] pour tout 0} _{≤ i ≤ n ). Pour g ∈ C}n_{[a, b], on note Mn(g) =} supx∈[a,b](|gn(x)|).

(4)

Fig. _{1 – Repr´esentation graphique de la fonction ϕ.} • Soit g ∈ C1_{[a, b],} Lexact(g) = Z b a ϕ(g′_(t))dt.

Lexact(g) est le p´erim`etre de la courbe C(g) relativement `a la mesure usuelle.

• Soit r > 0,

Cr(g) =_{{r(X, ⌊}g(rX)

r ⌋) | X ∈ JAr, BrK}

o`u Ar=⌈a_r⌉ et Br=⌊_rb⌋.

Cr(g) est la discr´etisation na¨ıve `a la r´esolution r de la courbe C(g).

Remarques 1 1. _{D(α, β) = C}1(g) o`u g : x_{7→ αx + β.}

2. Soit g : [a, b] _{7→ R. Alors, C}r(g) peut ˆetre vu comme un mot sur l’alphabet Z. En effet,

Consid´erons le mot ωg

r : J0, Br − Ar+ 1K 7→ Z tel que ωrg(i) = ⌊

g(r(Ar+i))

r ⌋ pour tout i_{∈ J0, B}r− Ar+ 1K. Par cons´equent,Cr(g) ={r(Ar+ i, ωgr(i))| i ∈ J0, Br− Ar+ 1K} Notations :

Soit m_{∈ N}∗_.

• Pmest l’ensemble des motifs de longueur m. • P =S

m∈N\{0}Pmest l’ensemble de tous les motifs. • Sm est l’ensemble des segments discrets de longueur m. • S =S

m∈N\{0}Smest l’ensemble de tous les segments discrets. • ωgX,r,mest le motif de longueur m deCr(g) d´efini par

ωg_X,r,m(k) =_⌊g(r(X + i)) r ⌋ − ⌊ g(rX) r ⌋, pour 0 ≤ i ≤ m. • Soit ω ∈ Sm. P I(ω) =_{{(α, β) ∈ R × [0, 1[ | ω(k) = ⌊αk + β⌋, pour 0 ≤ k ≤ m}.} P I(ω) est appel´e la pr´e-image du segment discret ω.

• La fr´equence du motif ω de longueur m dans Cr(g) est d´efinie par :

F_rg(ω) = card{k ∈ J0, ⌊ Br−Ar m ⌋ − 1K | ω g Ar+km,r,m= ω} ⌊Br−Ar m ⌋ .

(5)

Remarques 2 1. Si g_{∈ C}1_{[a, b] et M1(g) = max}

x∈[a,b]|g′(x)|, alors pour tout 0 ≤ k ≤ m |ωgX,r,m(k)| = | g(r(X + k)) r − h g(r(X + k)) r i − g(rX) r +h g(rX) r i| ≤ 1 + k|g(r(X + k))_rk − g(rX)|.

Mais d’après, le théorème des accroissements finis, on a : _|g(r(X+k))−g(rX)_rk _{| ≤ M}1(g).

Donc

|ωX,r,mg (k)| ≤ 1 + kM1(g) pour tout 0≤ k ≤ m.

2. Soient g : [a, b]_{7→ R, r > 0 et m un entier strictement positif. Alors, le mot ω}g

rcorrespondant

`

a_Cr(g) (Voir la Remarque 1) peut s’´ecrire de la fa¸con suivante : ω_rg= w0w1...wnw′

o`u n =⌊Br−Ar

m ⌋ − 1, w0, w1, ..., wn sont des motifs de taille m et w

′ _{est un motif de taille}

strictement inférieure à m sur l’alphabet Z. De plus, pour tout k∈ J0, nK, le mot wk est égal, `

a une translation pr`es, au mot ω_Ag_r+km,r,m. En effet, pour tout i∈ J0, mK, on a : wk(i) = ωgAr+km,r,m(i) +⌊

g(r(Ar+ km)) r ⌋.

Voir la figure FIG. 2 pour l’illustration de la remarque précédante en considérant les discrétisations d’une courbe à différentes résolutions r et les décompostions de ces discrétisations en motifs de différentes tailles m.

3 Les estimateurs semi-locaux

Nous introduisons dans cette section une nouvelle classe d’estimateurs de périmètre : les es-timateurs semi-locaux. Le principe des eses-timateurs semi-locaux ressemble à celui des eses-timateurs locaux, la seule différence est que, à la résolution r, la taille H(r) des motifs utilisés par un esti-mateur semi-local est une fonction décroissante en r et est tend vers l’infini lorsque r tend vers 0 alors que pour un estimateur local la taille des motifs est constante à toutes les résolution.

3.1 D´

efinition des estimateurs semi-locaux

D´efinition 1 Un estimateur semi-localest un couple (H, p) o`u

• H est une fonction de ]0, +∞[ dans N∗ _{qui `}_{a chaque r´esolution r associe une longueur de}

motif H(r) et

• p est une fonction de P dans [0, +∞[ qui `a chaque motif ω associe un poids p(ω). D´efinition 2 Soient (H, p) un estimateur semi-local, g : [a, b]_{7→ R et r > 0.}

Le périmètre L(H, p, g, r) estimé par (H, p) à la résolution r de la courbe C(g) est définie par :

L(H, p, g, r) = r ⌊Br −Ar H(r) ⌋−1 X k=0 p(ω_Ag_r_{+kH(r),r,H(r)}).

Autrement dit, comme c’est indiqu´e dans la Remarque 2, si _Cr(g) = w0w1...wnw′ tel que n = ⌊Br−Ar

m ⌋ − 1, w0, w1, ..., wn sont des motifs de taille m = H(r) w

′ _{est motif de taille strictement} inf´erieure `a H(r), alors L(H, p, g, r) = r n X k=0 p(ωg_A_r_+km,r,m)

où wk= ω_Ag_r_+km,r,m (à une translation près) pour tout k_{∈ J0, nK et où la contibution du motif ω}′_, dont la taille est strictement inférieure à H(r), a été négligée. Voir la figure FIG. 2 une illustration de la décomposition des discrétisations d’une courbe en motifs de tailles H(1) = 2, H(1₂) = 3 et H(1₄) = 5.

(6)

0 1 0 1 00 00 11 1100 00 11 11 0 0 1 10 0 1 10 0 1 1 0 0 1 101 00 1101 0 101 0 0 1 1 00 00 11 1100 00 11 11 0 1 00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1 00 11 0 0 1 1 0 0 1 1 w w’ w1 w2 w3 w1 w2 w3 w4 2 w₁ w’ w’ C y= g(x) r=1 4 r=1 2 m= 2 r= 1 m= 3 m= 5

Fig. _{2 – Discrétisation d’une courbe `}_{a différentes résolutions r et décomosition de ces} discrétisations en motifs de différentes tailles m.

3.2 Convergence dans le cas g

_{∈ C}

2

_{[a, b]}

Proposition 1 Si (H, p) est un estimateur semi-local v´erifiant les conditions suivantes : 1. rH(r)_−−−→

r→0 0

2. H(r)_−−−→

r→0 +∞

3. Il existe une fonction K : R+

7→ R+ _{telle que pour tout ω}

∈ P on a p(ω) m − s 1 + ω(m) m 2 ≤ K(m)

o`u m est la taille du motif ω et K(m)−−−−−→_m→+∞ 0.

Alors, pour toute fonction g∈ C2_{[a, b], l’estimation L(H, p, g, r) converge vers le p´erim`etre Lexact(g)}

de la courbe C(g). Si de plus, K(m) = A

m o`u A est une constante et H(r) = Θ(r −1

2), alors l’erreur d’estimation est

en O(r12).

Remarque 1 La condition 3 de la Proposition 1 est vérifiée si K(m) =_mA où A est une constante. Preuve : Soit r > 0 et X _{∈ JA}r, Br_{−H(r)K, M}1(g) = maxx∈[a,b]|g′(x)| et M2(g) = maxx∈[a,b]|g′′(x)|, on a

ωX,r,H(r)(H(r)) H(r) =

Gr(X + H(r))_{− G}r(X) H(r)

(7)

o`u Gr(X) =_⌊g(rX)_r _{⌋. Or} Gr(X + H(r))_{− G}r(X) H(r) − g ′_(rX) ≤ |Gr(X + H(r))₋g(r(X+H(r)))_r +g(rX)_r _{− G}r(X)_| H(r) + g(rX + rH(r))_{− g(rX)} rH(r) − g ′_(rX) D’apr`es la formule de Taylor-Lagrange, pour tout x, x + h_{∈ [a, b] on a}

g(x + h)_{− g(x)} h − g ′_(x) ≤ M2(g)h 2 . De plus, Gr(X + H(r))₋g(r(X+H(r)))_r _{∈] − 1, 0] et} g(rX)_r _{− G}r(X)_{∈ [0, 1[, on en d´eduit :} Gr(X + H(r))_{− G}r(X) H(r) − g ′_(rX) ≤ 1 H(r)+ M2(g)rH(r) 2 . Soit ϕ : R→ R d´efinie par ϕ(x) =√1 + x2_{. Comme ϕ est 1-lipschitzienne on a :}

|ϕ(ωX,r,H(r)(H(r))_H_(r) )_{− ϕ(g}′(rX))_{| ≤} 1 H(r)+

M2(g)rH(r) 2 . Donc d’apr`es la condition 3 on a :

|p(ωX,r,H(r)) H(r) − ϕ(g

′_(rX))

| ≤ K(H(r)) + _H(r)1 +M2(g)rH(r) 2 . Soit Lexact(g) la longueur de la courbe C. On a :

Lexact(g)_{− L(H, p, g, r) =} Z b a ϕ(g′(t))dt_{− r} ⌊Br −Ar_H(r) ⌋−1 X k=0 p(ω_Ag r+kH(r),r,H(r)). Pour t_{∈ [rX, rX + rH(r)] on a :} |ϕ(g′(t))₋p(ωX,r,H(r)) H(r) | ≤ |ϕ(g ′_(t)) − ϕ(g′(rX))_{| + |}p(ωX,r,H(r)) H(r) − ϕ(g ′_(rX)) | ≤ M2(g)rH(r) + K(H(r)) + 1 H(r)+ M2(g)rH(r) 2 = K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g)rH(r)

En int´egrant sur chaque intervalle [rX, rX + rH(r)] et en sommant pour tout X = Ar+ kH(r) avec k∈ J0, ⌊Br−Ar H(r) ⌋ − 1K, on obtient : Z r(Ar+⌊Br −ArH(r) ⌋) rAr ϕ(g′_(t))dt − rH(r) ⌊Br −Hr −Ar H(r) ⌋ X k=0 p(ωAr+kH(r),r,H(r)) H(r) ≤ rH(r)⌊Br− Ar H(r) ⌋ K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g)rH(r) ≤ rH(r)_rHb− a_(r) K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g)rH(r) = (b− a) K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g)rH(r)

(8)

On a : a_{≤ rA}r< a+ r et b− rH(r) < r(Ar+⌊B_H(r)r−Ar⌋) ≤ b, donc : Z b a ϕ(g′_(t))dt − L(H, p, g, r) ≤ (r(H(r) + 1)ϕ(M1(g)) + (b_{− a)} K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g)rH(r) ≤ (b − a) K(H(r)) + 1 H(r)+ 3 2M2(g) + ϕ(M1(g)) b_{− a} rH(r) + rϕ(M1(g)) (1) Or les conditions 1, 2 et 3 entraˆınent que le membre droit de cette in´egalit´e tend vers 0 quand r tend vers 0, donc on a bien L(H, p, g, r)_−−−→

r→0 Lexact(g). De plus, si K(m) = A

m o`u A est une constante et H(r) = Θ(r −1

2), alors la mˆeme formule montre

que_{|L(H, p, g, r) − L}exact(g)_{| = O(r}12). ₂

Remarque 2 Supposons que K(m) = A

m. La borne sup´erieure de l’erreur d’estimation donn´ee

par la formule (1) est minimale pour

H(r) = s A+ 1 3 2M2(g) + ϕ(M1(g)) b−a r−12_. Lemme 1 Soient m_{∈ N}∗_{, ω} ∈ Sm et (α, β)∈ P I(ω) et posons p(ω) = m √ 1 + α2_{. Alors} |p(ω)_m − ϕ(ω(m)_m )_{| ≤} 1 m

Preuve : Si (α, β)_{∈ P I(ω), alors ω(m) ≤ αm + β < ω(m) + 1. On en d´eduit que}

α+β− 1 m < ω(m) m ≤ α + β m. Comme β_{∈ [0, 1[ on en d´eduit que :}

α− ω(m) m ≤ 1

m, comme la fonction ϕ est 1-lipschitzienne on en d´eduit que_|p(ω)_m _{− ϕ(}ω(m)_m )_{| ≤} 1

m et donc p(ω) v´erifie la condition 3 de la proposition 1 avec K(m) = 1

m. 2

D’apr`es le Lemme 1 ci-dessus, les exemples ci-dessous v´erifient les conditions de la Proposition 1.

Exemples : Soit r > 0

• H(r) = ⌊r−1

2⌋ et ∀m ∈ N∗,∀ω ∈ Pm, p(ω) = d2((0, ω(0)), (m, ω(m)) =pm2+ ω(m)2 et par

conséquent, la Condition 3 de la Proposition 1 est vérifiée en prenant K(m) = 0 pour tout m.

• H(r) = ⌊r−1

2⌋ et ∀m ∈ N∗,∀ω ∈ Pm, p(ω) =⌊d2((0, ω(0)), (m, ω(m))⌋ = ⌊pm2+ ω(m)2⌋ et

par conséquent, la Condition 3 de la Proposition 1 est vérifiée en prenant K(m) = _m1 pour tout m.

• H(r) = ⌊r−1

2⌋ et ∀m ∈ N∗,

– ∀ω ∈ Pm\ Sm, p(ω) = d2((0, ω(0)), (m, ω(m)) =pm2_{+ ω(m)}2

– _{∀ω ∈ S}m, si (α, β)_{∈ P I(ω), alors p(ω) = m}√1 + α2 _{(i.e p(ω) est la longueur du segment}

de sommets (0, β) et (m, αm + β) ).

Par conséquent, la Condition 3 de la Proposition 1 est vérifiée en prenant K(m) = 1 m pour tout m.

• H(r) = ⌊r−1

2⌋ et ∀m ∈ N∗,

– _{∀ω ∈ P}m\ Sm, p(ω) =⌊d2((0, ω(0)), (m, ω(m))⌋ = ⌊pm2+ ω(m)2⌋.

– _{∀ω ∈ S}m, si (α, β)_{∈ P I(ω), alors p(ω) = ⌊m}√1 + α2_{⌋ (i.e p(ω) est la partie enti`ere de}

longueur du segment de sommets (0, β) et (m, αm + β) ).

Par conséquent, la Condition 3 de la Proposition 1 est vérifiée en prenant K(m) = _m2 pour tout m.

(9)

4 Les estimateurs semi-locaux bas´

es sur les segments

dis-crets

Nous introduisons dans cette section une sous-classe des estimateurs semi-locaux : les estima-teurs semi-locaux bas´es sur les segments discrets. Ce sont des estimaestima-teurs dont lesquels on ne compte pas la contibution des motifs qui ne sont pas des segments discrets.

D´efinition 3 Soient g∈ C2_{[a, b] et r > 0. La fr´equence, dans}_{Cr(g), des motifs de longueur m qui}

ne sont pas des segments discrets est d´efinie par :

F N S_r,mg =card{k ∈ J0, ⌊ Br−Ar−m m ⌋K | ω g Ar+km,r,m ∈ Pm\ Sm} ⌊Br−Ar−m m ⌋ + 1 .

D´efinition 4 Un estimateur semi-local bas´e sur les segments discretsest un couple (H, p′_{) o`}_u

– H est une fonction de ]0, +_{∞[ dans N}∗ _{qui `}_{a chaque r´esolution r associe une longueur de}

motif H(r) et

– p′ _{est une fonction de}_{S dans [0, +∞[ qui à chaque segment discret ω associe un poids p}′_(ω). Définition 5 Soient (H, p′_{) un estimateur semi-local basé sur les segments discrets, g : [a, b]}_{7→ R}

et r > 0.

La longueur L′_{(H, p}′_{, g, r) estimé par (H, p}′_{) `}_{a la résolution r de la courbe C(g) est définie par :} L′(H, p′_{, g, r) = r} X k∈J0,⌊Br −H(r)−Ar H(r) ⌋K et ω g Ar +kH(r),r,H(r)∈S p′(ω_Ag r+kH(r),r,H(r)).

Remarque 3 L’estimateur L′_{(H, p}′_{, ., r) est obtenu `}_{a partir de l’estimateur L(H, p, ., r) en n´egligeant}

dans L(H, p, ., r) les contributions des motifs qui ne sont pas des segments discrets.

La figure FIG. 3 présente des discrétisations d’une courbes à différentes résolutions contenant des motifs qui ne sont pas des segments discrets ils ne seront donc pas pris en compte par l’estimateur semi-local L′_.

Téorème 1 Soit (H, p′_{) un estimateur semi-local basé sur les segments discrets et soit g}

∈ C2_{[a, b]}

v´erifiant les conditions suivantes : 1. rH(r)_−−−→

r→0 0

2. H(r)_−−−→

r→0 +∞

3. Il existe une fonction K : R+

7→ R+ _{telle que pour tout ω}

∈ S on a p′(ω) m − s 1 + ω(m) m 2 ≤ K′(m)

o`u m est la taille du segment discret ω et K′_(m)

−−−−−→_m→+∞ 0. 4. F N S_r,H(r)g _−−−→ r→0 0. Alors, L′(H, p′, g, r)_−−−→ r→0 Lexact(g) = Z b a p1 + g′_(t)2_dt.

(10)

r = 1 m = 6

r = 2 m = 9

Fig. _{3 – Les motifs rouges ne sont pas des segments discrets, les motifs bleus sont des segments} discrets.

Preuve : Consid´erons une extension p de p′ telle que p :P 7→ R+ _{et pour tout ω} ∈ P p(ω) m − s 1 + ω(m) m 2 ≤ K(m) o`u m est la longueur de ω et K(m)−−−−−→_m→+∞ 0.

Il suffit, par exemple, de prendre pour tout m et tout ω ∈ Pm\ Sm, p(ω) = pm2_{+ ω(m)}2 _et K(m) = sup(K′_(m), 1

m). On a bien donc K(m)−−−−−→_m→+∞ 0.

Ceci implique que pour tout ω_{∈ P}m, p(ω)≤pm2+ ω(m)2+ K(m)m et d’apr`es la Remarque 2.1, si ω = ω_X,r,mg , alors|ωg X,r,m(m)| ≤ 1 + mM1(g). Donc, si ω = ω g X,r,m, alors p(ω)_{≤ m} r 1 + (M1(g) + 1 m) 2_{+ K(m)m.} |L(H, p, g, r) − L′(H, p′, g, r)_{| = r} X k∈J0,⌊Br −Ar H(r) −1⌋K et ω g Ar +kH(r),r,H(r)∈P\S p(ωg_A r+kH(r),r,H(r)). ≤ r(⌊Br− Ar H(r) ⌋F NS g r,H(r)( p H(r)2_{+ (H(r)M1(g) + 1)}2_{+ K(H(r))H(r))} ≤ ((b − a) s 1 + (M1(g) + 1 H(r)) 2_{+ K(H(r)))F N S}g r,H(r) −−−→_r→0 0

(11)

Mais comme, d’apr`es la Proposition 1, L(H, p, g, r) converge vers Lexact(g) quand r tend vers 0, alors L′_{(H, p}′_{, g, r) converge vers Lexact(g) quand r tend vers 0.}

2

Remarque 4 Si H(r) = Θ(r−1

2) et K(m) = A

m o`u A est une constante, alors |L′(H, p′, g, r)_{− L}exact(g)_{| = O(r}12) + O(F N Sg

r,H(r))

5 Conclusion

Nous avons proposé dans ce papier une nouvelle classe d’estimateurs de périmètre : les esti-mateurs semi-locaux. Nous avons notamment démontré que les estimations de périmètre basées sur les estimateurs semi-locaux converge vers la valeur exacte du périmètre pour toute courbe de classeC2_{. Nous avons ensuite introduit une sous-classe de la classe les estimateurs semi-locaux :} les estimateurs semi-locaux basés sur les segments discrets. Nous avons démontré aussi un résultat de convergence “implicite” concernant cette sous-classe d’estimateurs.

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A la mémoire d’Alain :Alain Daurat, co-auteur de ce papier, est décédé le 25 juin 2010. Cet article est dédié à sa mémoire.

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erences

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