Prise en compte des arguments controversés dans des systèmes d'argumentation bipolaires

(1)

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systèmes d’argumentation bipolaires

Claudette Cayrol, Caroline Devred, Marie-Christine Lagasquie-Schiex

To cite this version:

Claudette Cayrol, Caroline Devred, Marie-Christine Lagasquie-Schiex. Prise en compte des arguments

controversés dans des systèmes d’argumentation bipolaires. [Rapport de recherche] IRIT-2006-01,

IRIT - Institut de recherche en informatique de Toulouse. 2006. �hal-02881325�

(2)

systèmes d'argumentations bipolaires

C. Cayrol, C. Devred, M.C. Lagasquie-S hiex 30janvier2006

Rapport interne onjoint CRILet IRIT

RapportinternetCRIL numéro : 2006003

(3)

(4)

L'argumentation est basée sur l'é hange et l'évaluation d'arguments inter-agissant. Le système d'argumentation proposé par [Dun95 ℄ donne un adre de travailtrès puissantlorsque l'intera tionentre argumentsreprésente une attaque.

Le adre de Dung présente ependant ertainsin onvénients :

lepremierin onvénient(d'ailleursidentiépar Dunglui-même)est l'exis-ten ed'arguments ontroversés;dessolutionsà eproblèmesontapportées par la prise en ompte des onits dits indire ts ( 'est-à-dire des haînes d'attaque de longueur impaire),voir [CMDM05b , CMDM06b ℄.

lese ondin onvénientrésidedanslefaitqu'unseultyped'intera tionpeut apparaître entre deux arguments : l'attaque. Or, il existe de nombreux exemples montrant qu'on peut aussi avoir un argument qui en aide un autre. La prise en omptede et aspe t a débou hé sur une extension du adre de Dung : les systèmes d'argumentation bipolaires (voir [CLS05a, CLS05b ℄).

Don , a tuellement, nous avons d'un té des systèmes d'argumentation ne tenant omptequedes attaques et apables de traiterlesarguments ontro-versés et de l'autre des systèmes d'argumentation apables de traiter deux typesd'intera tion(attaquesetappuis)maispaslesarguments ontroversés. L'objet de e rapport est don de proposer des sémantiques pour des sys-tèmes d'argumentationbipolaires résolvantaussi leproblème des arguments ontroversés.

(5)

(6)

1 Introdu tion 1

2 L'argumentation selon Dung 5

2.1 Le systèmed'argumentation unipolairede Dung. . . 5

2.2 Complexité . . . 10

3 Ranement du adre de Dung : absen e de i-attaque 13 3.1 Dénition des i- onits . . . 13

3.2 Sémantiques pour l'a eptabilité traitant les i- onits . . . 15

3.3 Les relations d'inféren e baséessur les i- onits . . . 25

3.3.1 Cas où ilexiste une p-extensionstable . . . 25

3.3.1.1 Comparaison entre p-inféren es . . . 25

3.3.1.2 Comparaison entre p-inféren esetinféren es lassiques . . . . 27

3.3.2 Casoùiln'existepasdep-extensionstable,maisoùilyauneextension stable . . . 30

3.3.2.2 Comparaison entre p-inféren eset inféren es lassiques . . . . 31

3.3.3 Cas où iln'existenip-extension stable, niextension stable . . . 33

3.3.3.2 Comparaison entre p-inféren esetinféren es lassiques . . . . 35

3.3.4 Complexité . . . 36

4 Bipolarité : l'existant 39 4.1 Dénition de base. . . 39

4.2 La relation d'appui . . . 39

4.3 Les diérentessortes derelation de ontrariété . . . 40

4.4 Les diérentessortes d'ensemble sans onit . . . 41

4.4.1 Les diérentes sortesd'ensemble sans onit interne . . . 41

4.4.2 Les diérentes sortesd'ensemble sans onit externe . . . 41

4.5 Les diérentessémantiques . . . 42

4.5.1 Notion d'admissibilité . . . 42

4.5.2 Extensions Préférées . . . 43

(7)

5 Bipolarité et i- onit 45

5.1 Les diérentessortes de i-attaques . . . 45

5.2 Les diérentessortes d'ensemble sans onit . . . 46

5.2.1 Les diérentes sortesd'ensemble sans onit interne . . . 46

5.2.2 Les diérentes sortesd'ensemble sans onit externe . . . 48

6 Les sémantiques basées sur les ensembles sans i- onit omplexe 55 6.1 Dénitionsde base . . . 55

6.2 Comparaison desrelations demp-inféren eave lesrelationsd'inféren e deDung 66 6.2.1 Cas où ilexiste une mp-extension stable . . . 66

6.2.1.1 Comparaison entre mp-inféren es . . . 66

6.2.1.2 Comparaison entre mp-inféren eset inféren es lassiques . . . 67

6.2.2 Cas où il n'existe pas de mp-extension stable, mais où il y a une p-extension stable. . . 69

6.2.3 Cas oùiln'existenimp-extension stable,nip-extensionstable,maisoù il yaune extension stable . . . 72

6.2.4 Cas où il n'existe ni mp-extension stable, ni p-extension stable, ni ex-tension stable . . . 74

6.3 Comparaison desrelations de mp-inféren eave lesrelations dep-inféren e. . . 75

6.3.1 Cas où ilexiste une mp-extension stable . . . 75

6.3.1.2 Comparaison entre mp-inféren eset p-inféren es . . . 76

6.3.2 Cas où il n'existe pas de mp-extension stable, mais où il y a une p-extension stable. . . 77

6.3.3 Cas oùiln'existenimp-extension stable,nip-extensionstable,maisoù il yaune extension stable . . . 80

6.3.4 Cas où il n'existe ni mp-extension stable, ni p-extension stable, ni ex-tension stable . . . 82

6.4 Ré apitulatif desliensentreles diérentes relations d'inféren e . . . 84

6.5 Complexité . . . 84

7 Con lusion 87

(8)

Introdu tion

[Dun95 ℄amontréquele adredel'argumentation onstitueunoutilpuissantpermettantaussi bienl'étudedenombreuxsystèmesformelsderaisonnement desens ommunqueladénition d'une sémantique pour les programmes logiques. L'argumentation est basée sur l'é hange et l'évaluation d'arguments supportant desopinions, des assertions. Ontrouve des appli ations notammentdansledomainejuridique,danslessystèmesd'aideàlaprisededé ision olle tive ou d'aide à lanégo iation.

La ara téristique fondamentale d'un systèmed'argumentation est laprésen e d'intera tions etnotammentderelationsde ontrariété entrelesargumentsavan és.Sil'argumentprendpar exemple la forme d'unepreuve logique,on peut avan er desargumentspour une proposition etdes arguments ontre ette proposition, i.e.pour laproposition ontraire.

Sionsupposequelesargumentsetles intera tions sontdonnés,lepro essusd'argumentation omportealors une étape de séle tion des arguments les plus a eptables

1 .

Ce pro essus de séle tion des arguments les plus a eptables peut prendre de nombreuses formes. Cela peut être une a eptabilité individuelle: par exemple, un argument est a epté ariln'apasde ontrariant.Mais, elapeutêtreaussiunea eptabilité onjointe:ondétermine l'a eptabilitéd'unensembled'argumentsparl'utilisationd'unesémantiqueparti ulière ( 'est-à-direlerespe tparl'ensembled'argumentsde ertainesrègles, ertaines ontraintes)asso iée éventuellement à laprise en ompte desrésultats d'uneévaluation spé ique.Ces diérentes appro hesontétéétudiéesparexempledans[Dun95 ,Amg99 ,Dou02 ,CLS05 ℄etbiend'autres. La prin ipale ritique de tous es travaux, quelle que soit l'étape du pro essus d'argumen-tation abordée, est le fait qu'il n'existe souvent qu'un seul type d'intera tion possible entre arguments. Or, il est évident que de nombreux exemples réels né essitent de pouvoir repré-senter au moins deux types d'intera tion : des arguments peuvent en attaquer d'autres et des arguments peuvent en aider d'autres. Cette notion d'aide se retrouve un peu dans la notion de défenseproposée par Dungmaisdemanière insusante ar, ladéfense n'estpas indépendante de l'attaque

2

.Or, onpeuttrès bien envisager d'avoir un argument qui aide un autre argument sans pour autant attaquer un de ses attaquants. Cet aspe t apparaît dans l'exemple suivant.

1

Éventuellement pré édée d'une étape d'évaluation de la for e relative des arguments en présen e (voir les travaux[KAEGF95 ,Par97,PS97,AC98 ℄),oud'uneévaluationbasée surles intera tions entrearguments (voir[Dun95,AC98,JV99 ,BH01 ,CLS01 ,CLS02 ,CLS05 ℄).

2

(9)

Des journalistesdis utent d'uneinformation à publier :

Argument

a

du journaliste

J

1

:

I

est une information importante, il faut la publier.

Argument

b

du journaliste

J

2

:

I

on erne une personne privée

X

etnousne pouvonspaslapubliersans l'a ordque

X

nousrefuse.

Argument

c

du journaliste

J

3

:

I

on erne un problème de santé publique,

I

est don trèsimportante.

Dans et exemple,on onstate fa ilement que

c

n'attaque absolument pas

b

,maispar ontre qu'il renfor e onsidérablement lapositionde

J

1

.

Laprise en ompte de ette notion d'appui entre arguments apparaît déjà dans ertains tra-vaux:

Dans les travaux portant sur le système HERMES (voir [KP01 ℄), l'intera tion entre des positions(oupointsdevue)permetde ompléterl'informationdisponibleenvuedeprendre une dé ision. Une nouvelle position estavan ée soit pour appuyer, soit pour apporter une obje tion surune position pré édemment avan ée.

Demême, danslesystème DEFLOG proposépar [Ver02 , Ver03 ℄, unappui ouune attaque entreassertionspeuts'exprimerdanslelangage, aumoyen d'une nouvelle assertion. La prise en ompte de es deux types d'intera tion évoque la notion de bipolarité dans la représentation et l'utilisation des intera tions entre arguments. C'est-à-dire le fait qu'il faut prendreen omptedeux élémentsindépendants, de natureopposée etreprésentant desfor es qui se repoussent. Cette idée est à la base de quelques travaux en argumentation portant aussi bien sur l'évaluation d'arguments que sur l'a eptabilité d'arguments dans le adre de systèmes d'argumentation (voir[CLS04,CLS05a , CLS05b ℄).

Notons que e n'est pas le seul aspe t de la bipolarité en argumentation puisqu'on retrouve une notion de bipolarité lors de la onstru tion des arguments et aussi lors de la phase de séle tion (voir[ACLS04℄)même si onn'utilise pasdeuxtypesd'intera tion diérents.

Ilexisteuneautre ritique on ernantlessémantiquesproposéesparDung:ellesnepermettent pastoujours d'obtenir desrésultatssatisfaisants.

Dung dit que que

a

défend indire tement

b

si il existe un hemin de longueur paire partant de

a

et arrivant en

b

. De même, il dit que

a

attaque indire tement

b

si il existe un hemin de longueur impaire partant de

a

et arrivant en

b

.Un des problèmes (d'ailleurs identié par Dung) des systèmes d'argumentation à la Dung est qu'il peut exister un argument

a

qui attaqueindire tement et qui défend indire tement un même argument

b

. Un tel argument

a

est dit ontroversé par rapport à

b

. La présen ede tels arguments peut mener parfois à des résultats peu prudents.

Étudionsl'exemple proposé par Coste-Marquis,Devredet Marquis:

Exemple 1 Soit

AF

3 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, e, n, i}

et

R

= {(b, a), (c, a), (n, c), (i, b),

(e, c), (i, e)}

. Legraphe d'attaquede

AF

3

estreprésentégure1.1 page i- ontre.

Lesa tionsdugroupeVivaldi-Uniastralont hutéde70%.Nousavonslesargumentssuivants:

a

: Le PDG du groupe a vendu un grospaquet d'a tions deuxsemaines avant la hutede la valeurdu titre.Il prétend l'avoirfait pour a heter unmanteau devison àsafemme etque

(10)

a

b

c

e

n

i

Fig. 1.1 Représentation graphique de

AF

3 b

: Bernard,le dire teurnan ier, dit qu'ilavaitprévenu le PDGdes di ultésde trésorerie potentielles dugroupe, etque 'est e qui amotivéle PDGà vendreses a tions.

c

: Carl, le dire teur de développement, dit que ette situation atastrophique provient du retard demise aupoint du baumede rajeunissement sur lequeltravaille Vivaldi-Uniastral, etque 'est equia réélesdi ultésdetrésorerie. Ilditqu'ilavaitmislePDGau ourant etque e dernierlui avaitdemandé de a herlavérité.

n

: Ni olas, un des sous-fres de Carl, indique que Carl est entièrement responsable des dif- ultés de mise au point du baume de rajeunissement et que le PDG avait mena é de le virersilasituationne s'amélioraitpas.Carln'adon pasditauPDGqueleprojetétait en retard.

e

: Émile, un nan ier, indique que Carl n'a sûrement pas prévenu le PDG du retard du baume aril aété payé par une so iété on urrente pour faire ouler Vivaldi-Uniastral.

i

: Yves, le responsable juridique, indique queÉmile et Bernard ont monté une so iété pour

ommer ialiser des arottes du Béthunois et que les ennuis de trésorerie sont dûs au fait queBernard apris de l'argent deVivaldi-Uniastralpour ompenser lespertes desapropre so iété.

Lesarguments

b

et

c

attaquentl'argument

a

surlesraisonsdelaventedesa tions.L'argument

n

attaque l'argument

c

, l'in ompéten e de Carl motivant son silen e sur l'avan ement du baume. L'argument

e

attaque l'argument

c

en motivant le silen e de Carl pour de basses raisonsnan ières. L'argument

i

attaque l'argument

b

:Bernard n'apas prévenu le PDG de l'entreprisepourqueletransfertd'argentverssatrésorerienesoitpasdé ouvert.L'argument

i

attaquel'argument

e

.Émilea useCarlandedétournerlessoupçonspesantsursonasso ié. Dans etexemple, quelleque soit lasémantique hoisie,

a

est onsidéré ommea eptable et elaalors que

i

,l'un de sesdéfenseurs obligatoires,est ontroversé par rapportà

a

. Dans es onditions dériver

a

nenoussemblepastrès prudent.

Plusieurssolutionsontétéproposéespourrésoudre eproblème(voir,parexemple,[CMDM05b , CMDM05a ,CMDM06b ℄

3

).L'unedesidéesproposées estdebannirdesextensionsa eptables les onitsindire ts (appelés i- onits).

La prise en ompte desarguments ontroversés dansun adrebipolairen'apour l'instantpas étéétudiée.Dans edo ument,nousnousproposonsdon d'exploiterle adreformelintroduit dans [CLS04 , CLS05a, CLS05b, MCLS05 ℄ qui orrespond à l'extension du adre de [Dun95 ℄ par l'ajout d'unnouveau typed'intera tion orrespondant à un appuientre arguments.

(11)

Puisdans e adre, nousdénirons de nouvelles sémantiques pour l'a eptabilité prenant en ompte à lafois lesdeuxintera tions etletraitement desarguments ontroversés.

Leplan de e do ument est lesuivant :

en hapitre2pagesuivante,nousrappelleronsle adrepourl'argumentationdénipar[Dun95 ℄; en hapitre 3 page 13, nousmontrerons omment les arguments ontroversés peuvent être

pris en ompte dansle adre deDung;

en hapitre 4 page 39, nous dé rirons les systèmes d'argumentation bipolaires et leurs sé-mantiques;

en hapitre 5 page 45, nous proposerons de nouvelles sémantiques adaptées pour prendre en ompte àlafois labipolaritéetlanotion d'arguments ontroversés;

en hapitre 6 page 55,nousétudierons lespropriétés de essémantiques; en hapitre 7 page 87,nous on lurons.

(12)

L'argumentation selon Dung

Dans e hapitre,nousallonsprésenterle adreargumentatif proposéparDungdans[Dun95 ℄.

2.1 Le système d'argumentation unipolaire de Dung

Pour Dungun système d'argumentation estune paire

hA, Ri

,où

A

représentel'ensemble des arguments et

R

la relation d'attaque entre les arguments. Dans [Dun95 ℄, il n'est fait au unerestri tionsur

A

l'ensembledesarguments.Dansnotretravail,nousferonsl'hypothèse que etensemble ontient unnombre ni

1

d'arguments. Dénition 1 [Dun95℄Un système d'argumentation ni

2

estune paire

AF

= hA, Ri

où:

A

est un ensemble ni d'objets,les arguments,

R

⊆ A × A

est une relation binaire sur

A

, la relation d'attaque. Dans e adre, onne s'o upepasde lastru ture interned'unargument.

Pour deuxarguments

b

et

c

,

b

attaque

c

suivantlarelation

R

s'é rit

bRc

ou en ore

(b, c) ∈ R

. Onditqu'unensemble

S

d'argumentsattaqueunargument

a

suivant larelation

R

,s'ilexiste unélément de

S

quiattaque

a

suivantlarelation

R

.Unargument

a

estditattaqué,s'ilexiste un argument quil'attaque suivant larelation

R

.

On peut noter que nous pouvons représenter lesystème d'argumentation

AF

= hA, Ri

sous la forme d'un graphe orienté. Les sommets représentent les arguments et les ar s gurent les attaques.

(a, b)

est un ar si et seulement si

aRb

.Le graphe orienté obtenu est appelé le graphe d'attaque de

AF

.

Exemple 2 Soit

AF

1 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d}

et

R

= {(a, b), (c, a), (d, c)}

un système d'argumentation. La gure 2.1 représente le graphe d'attaque de

AF

1

. La è he barrée qui représentel'attaquepartde l'argument quiattaque etarrive surl'argument quiest attaqué.

d

6→ c 6→ a 6→ b

Fig.2.1 Représentation graphique de

AF

1

. 1

Cequisous-entendquenotresystèmed'argumentationesttoujoursnisuivantladénitiondenitary argumentationframework.deDung.

2

(13)

On peut dénir deux sortes d'a eptabilité (voir entre autres : [Amg99 , BG04, BDKT97 , Dun95 ,EGFK93 ℄) :

1. l'a eptabilité individuelle, qui nes'o upe quede laprésen ed'attaquants dire ts, 2. l'a eptabilité olle tive,quireposesurlanotiondedéfensed'unargumentpard'autres. Dung s'intéresse à l'a eptabilité olle tive des arguments. Nous pouvons dériver

3

un ar-gument lorsqu'il appartient à un ensemble parti ulier d'arguments (une extension sous une sémantique parti ulière).

Dung va d'abord exiger que dans un ensemble donné deux éléments de l'ensemble ne s'at-taquent pas.

Dénition 2 [Dun95℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation,

S

⊆ A

est un en-semble sans onit ssi il n'existe pas

a

∈ S

et

b

∈ S

telsque

aRb

.

Il va aussi introduire une notion de défense d'un argument par un ensemble et une notion d'ensemblesedéfendant tout seul.

AF

= hA, Ri

un systèmed'argumentation,

1.

a

∈ A

est a eptable par rapport à

S

⊆ A

ssi

∀b ∈ A

: si

bRa

alors il existe

c

∈ S

tel que

cRb

,

2.

S

⊆ A

est admissible ssi

S

est sans onit et

∀a ∈ S a

est a eptable par rapportà

S

. Il proposealors une sémantique ( rédule)pour unsystèmed'argumentation :les extensions préférées

4 .

AF

= hA, Ri

unsystème d'argumentation et

S

⊆ A

un ensemble admissible.

S

est une extension préférée de

AF

ssi

∄S

′

⊆ A

tel que

S

⊂ S

′

et

S

′

est admissible.

Suite de l'exemple 2

AF

1

possèdeune extension préférée :

{a, d}

. Dungprouve lelemme suivant :

Lemme 1 (Lemme Fondamental) [Dun95℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumenta-tion,

S

⊆ A

un ensemble admissible d'arguments, et

a, b

∈ A

deux arguments a eptables par rapport à

S

. Ona :

1.

S

′

= S ∪ {a}

est admissible, 2.

b

S

′

.

Théorème 1 [Dun95℄Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation.

1. L'ensemble detousles ensemblesadmissiblesde

AF

formeunsous-ensembleindu tifde

2 A

pour l'in lusionensembliste,

2. Pour haque

S

⊆ A

admissible,ilexisteuneextensionpréférée

E

de

AF

telleque

S

⊆ E

. Dungsouligneque e théorèmeetlefaitquel'ensemblevidesoit toujoursadmissibleimplique le orollairesuivant :

3

ouen oreinférer. 4

(14)

Corollaire1 [Dun95 ℄Chaque système d'argumentation possède une extension préférée. Doutrerappelledans[Dou02 ℄queseulslessystèmesd'argumentation dontlegraphed'attaque possède un y le delongueur impaire peuventavoir

∅

ommeextension préférée.

Dénition 5 [DBC01℄ Un systèmed'argumentation

hA, Ri

est dittrivial si sa seule exten-sion préférée est l'ensemble vide.

Corollaire 2 [Dou02 ℄Seulsles systèmesd'argumentation dontlegraphe d'attaquea un y le delongueur impaire peuvent être triviaux.

Dungintroduitaussilanotion d'extension stable 5

.

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation, un ensemble sans onit

S

⊆ A

est une extension stable ssi

S

attaque haque argument qui n'appartient pas à

S

.

Nouspouvonsnoterque omme

R

estunerelation binaire,si

A

6= ∅

lesextensions stablesne sontpasvides. Mais,il n'existepastoujours d'extensionstable.

Exemple 3 Soit

AF

0 = hA, R, i

ave

A

= {a, b, c}

et

R

= {(a, b), (b, c), (c, a)}

. Le graphe d'attaquede

AF

0

est représentégure2.2.

AF

0

ne possèdepasd'extension stable.

a

b

c

AF

0

Lemme 2 [Dun95℄ Chaque extension stable est une extension préférée, mais la ré iproque n'est pas vériée.

Suitedel'exemple3Dans

AF

0

,

∅

estuneextensionpréférée,mais en'estpasuneextension stable.

Suite de l'exemple 2 Dans

AF

1

(g. 2.1 page 5)

{a, d}

est une extension stable et une extension préférée.

Lesextensions omplètes 6

sont aussiintroduites dans[Dun95 ℄.

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation.

S

⊆ A

un ensemble admissible est une extension omplète de

AF

ssi haque argument de

A

a eptable par rapport à

S

appartientà

S

.

Dungmontre que ertaines sémantiques pour l'argumentation peuvent être ara tériséespar unenotiondepointxe. Pour efaireilintroduit lafon tion ara téristiqued'unsystème d'argumentation.

5

Stable extension. 6

(15)

Dénition 8 [Dun95℄ La fon tion ara téristique d'un système d'argumentation

AF

=

hA, Ri

se dénit omme suit :

F

AF

: 2

A

−→ 2

A

F

AF

(S) = {a | a

S}

Lemme 3 [Dun95℄Soit

S

unensemble sans onit.

S

⊆ A

est admissible ssi

S

⊆ F

AF

(S)

. Lemme 4 [Dun95℄

F

AF

estmonotoneparrapportàl'in lusionensembliste,i.e.si

S

⊆ S

′

⊆ A

alors

F

AF

(S) ⊆ F

AF

(S

′

)

.

Dungdénitles extensions de base 7

à l'aidede lafon tion ara téristique.

AF

= hA, Ri

un systèmed'argumentation,l'extension de base de

AF

est le plus petit point xe de

F

AF

. Ce plus petit point xe oïn ide ave l'interse tion des extensions omplètes.

Ainsi,

AF

possède toujoursune extension de base(mêmesielle peutêtrel'ensemblevide) et ette dernière est unique. Ce iest une onséquen e de l'appli ation des théorèmes de Tarski etS ottappliqués surl'ensembledesensemblesd'argumentsquiestunsous-ensembleindu tif de

(2

A

_,

_⊆)

etsur

F

AF

qui estmonotone et ontinue. On aaussi:

S

un ensemble sans onit.

S

est une extension omplète de

AF

ssi

S

= F

AF

(S)

.

Nouspouvonsnoterquetous lespointsxesde

F

AF

nesont pasdesextensions omplètes de

AF

,maisuniquement eux quisont sans onit.

Théorème2 [Dun95℄

1. Chaque extension préférée est une extension omplète, mais la ré iproque n'est pas véri-ée.

2. L'extension de base de

AF

est la plus petite extension omplète de

AF

pour l'in lusion ensembliste.

3. Les extensions omplètes de

AF

forment un demi-treillis de

(2

A

_,

_⊆)

. Proposition 1 [BDKT97, Dun95℄

1. Touteextensionpréférée (respe tivementstable, omplète) de

AF

ontientl'extensionde base de

AF

.

2. L'extension de base d'un système d'argumentation est ontenue dans l'interse tion des extensions préférées dusystème.

Une onséquen e immédiate du se ond point de ette propriété est que l'extension de base de

AF

si et seulement si

AF

n'a qu'une seule extension préférée.

(16)

Dénition 10 [Dun95℄Un systèmed'argumentation

AF

= hA, Ri

est dit bienfondé 8

ssi il n'existe pas de suite innie d'arguments

a

0 , a

1 , . . . , a

n

, . . .

telle que

∀i ∈ N a

i+1

Ra

i

.

Ce qui revient à dire dans notre as où

A

est ni qu'un système d'argumentation est bien fondési etseulement s'il ne ontient pasde ir uit ( y le orienté).

Théorème3 [Dun95℄ Chaque système d'argumentation bien fondé a exa tement une exten-sion omplète. Cette dernière est à la fois une extension stable, une extension préférée et l'extension debase.

Cequirevient àdirequ'unsystèmed'argumentation bienfondépossèdeuneuniqueextension stable, une unique extension préférée et que es deux dernières sont onfondues ave son extension de base.

Mais e ne sont pas les seulssystèmes d'argumentation à ne posséderqu'une seule extension préférée. DunneetBen h-Capon [DBC01 ℄ont montréque euxne possédant pasde y le de longueur paire possèdentune unique extension préférée.

Proposition 2 [DBC01℄ Un systèmed'argumentation possèdeune unique extension préférée si son graphe d'attaque ne ontient pas de ir uit de longueur paire, mais la ré iproque n'est pas vériée.

Dénition 11 [Dun95℄

1. Un systèmed'argumentation

AF

= hA, Ri

est dit ohérentsi haque extensionpréférée de

AF

est une extension stable.

2. Un systèmed'argumentation

AF

= hA, Ri

est ditrelativement de base 9

si l'interse -tion de toutesles extensions préférées de

AF

oïn ideave l'extension debase.

Ilpeutarriverqu'unargumentattaqueindire tement etdéfendeindire tement unmême argu-ment, 'est-à-direqu'il existeune haînede longueurimpaire et une haînede longueur paire onduisant dupremier argument au se onddanslegraphedesattaques.Dungappelle de tels arguments :arguments ontroversés.

Dénition 12 [Dun95℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentation,

a

∈ A

et

b

∈ A

.

b

est dit ontroversé par rapport à

10

a

si

b

est undéfenseurindire t etunattaquant indire tde

a

. Un argument est ontroversé s'il est ontroversé par rapport à unargument.

Il peutexisterdessystèmes d'argumentation sans argument ontroversé. Dénition 13 [Dun95℄Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation,

1.

AF

est non ontroversé s'iln'existe pas

a

∈ A

telque

a

est ontroversé.

2.

AF

est ontroversé de manière limitée s'il n'existe pasde suite innied'arguments

a

0 , . . . , a

n

, . . .

telleque

a

i+1

est ontroversé par rapport à

a

i

.

Unsystèmenon ontroversé est unsystème ontroversé de manièrelimitée parti ulier. Théorème4 [Dun95℄ 8 Well-founded. 9 Relativelygrounded. 10

(17)

1. Chaque système d'argumentation ontroversé de manière limitée est ohérent.

2. Chaque système d'argumentation non ontroversé est ohérent et relativement de base. Doutredonneune onditionné essairemaispassusantepourobtenirunsystème ontroversé demanière limitée:l'absen e de ir uit de longueur impaire.

Théorème5 [Dou02 ℄Unsystèmed'argumentation ontroversédemanièrelimitéenepossède pas de ir uit de longueur impaire.

Ce i est dû au lemme suivant et qui souligne bien l'idée qu'un argument appartenant à un ir uit de longueur impairen'est pas unargument surlequelon peut ompter.

Lemme 6 [Dou02 ℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation. Si le graphe d'attaque de

AF

possède un y le élémentaire de longueur impaire, alors toutargument de e y le est ontroversé vis-à-vis d'un autre argument de e y le.

Lemme 7 [Dun95℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ontroversée de manière limitée. Il existe au moins une extension omplète de

AF

nonvide.

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation non ontroversé et

a

∈ A

telque

a

n'est pas attaqué par l'extension de base

GE

de

AF

et

a

6∈ GE

. Ona :

1. il existe une extension omplète

S

1

telle que

a

∈ S

1

, et 2. il existe une extension omplète

S

2

telle que

S

2

attaque

a

.

Corollaire3 [Dun95 ℄ Chaque système d'argumentation ontroversé de manière limitée pos-sèdeau moins une extension stable.

Defaçonanalogueà[Dou02 ℄,noussynthétisonslespropriétésintéressantesdansletableau2.1. Lesymbole

◦

indiqueque lapropriétéest toujoursvériée et

⊳

qu'ellepeutl'être.

Cara téristique Cohéren e

Existen eext. préféréenonvide

Uni itéext. préférée Existen eext. stable Uni itéext. stable Ext.debase nonvide sans ir uit

◦

sans ir uitimpair

◦

⊳

◦

⊳

sans ir uitpair

⊳

◦

⊳

ontroverséde manièrelimitée

◦

⊳

◦

⊳

quel onque

⊳

Tab. 2.1Propriétés intéressantes du adrede Dung.

2.2 Complexité

Dunne etBen h-Capon ré apitulent dans[DBC02 ℄ lesresultatsde omplexité entemps dans le pire des as

11

donnés dans le tableau 2.2 page suivante. Ces résultats ont été prouvés (dire tement ouindire tement dans:[DNT99 ,DT96 , DBC01 ,DBC02 ℄).

La olonne Problème identie le problème de dé ision par un nom. Lorsque e dernier est suivide paramètres entreparenthèses eux- i indiquent les entrées duproblème :

11

Ilest supposéque lele teurpossèdeles notionsdebasede lathéoriedela omplexité,spé ialement les lassesde omplexitéP,NP, oNPet

Π

P

(18)

AF

représentantunsystèmed'argumentationselonladénition1page5(i.e.

AF

= hA, Ri

),

S

⊆ A

et

a

∈ A

.

La olonneQuestionexpli iteleproblèmeenune ourtephrase,alorsquela olonne Com-plexité nousdonne la omplexité du problème.

Problème Question Complexité

ADM(AF, S)

S

est-il admissible? P

ST AB

− EXT (AF, S)

S

est-il uneextension stable? P

P REF

− EXT (AF, S)

S

est-il uneextension préférée? oNP- omplet

HAS

− ST AB(AF )

AF

a-t-il une extensionstable? NP- omplet

AF

est-il trivial? oNP- omplet

CA(AF, a)

a

appartient-ilà uneextension préférée? NP- omplet

IN

− ST AB(AF, a)

a

appartient-ilà uneextension stable? NP- omplet

ALL

− ST AB(AF, a)

a

appartient-ilà toutes lesextensions stables? oNP- omplet

SA(AF, a)

a

appartient-ilà toutes lesextensions préférées?

Π

P

2

- omplet

lorsque

AF

est ohérent oNP- omplet

lorsque

AF

possède une unique extension préférée NP- omplet

COHEREN T

(AF )

AF

est-il ohérent?

Π

P

2

- omplet Tab. 2.2Résultats de omplexité dansle adrede Dung.

(19)

(20)

Ranement du adre de Dung :

absen e de i-attaque

Dans e hapitre nous présentons les nouvelles sémantiques que Coste-Marquis, Devred et Marquis ont proposées dans[CMDM05b , CMDM06b ,CMDM06a ℄ pourrésoudre leproblème poséparlesarguments ontroversés.Cetteméthodequibannitdesextensionsles i- onitsest parailleursparti ulièrement intéressante dèslorsque l'inféren ed'ensemblesd'argumentsest onsidérée.Eneetiln'est pasfor émentraisonnabled'inférer onjointement deuxarguments lorsqu'il existe un onit indire t entre eux. Tous les exemples ités sont eux de Coste-Marquis, Devredet Marquis. De même les preuvesdes propriétés, propositions et théorèmes donnésdans ette se tionne sont pasrappeléesi i.Onpeutles trouverdans[CMDM06a ℄.

3.1 Dénition des i- onits

Exemple 4 Soit

AF

2 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e}

et

R

= {(b, a), (e, b), (c, b), (d, c)}

. Le graphe d'attaque de

AF

2

est représenté gure 3.1.

E

= {a, e, d}

est l'extension préférée (de base etstable)de

AF

2

.

a

b

c

d

e

AF

2

Ilexisteun hemindelongueurimpaireentre

d

∈ E

et

a

∈ E

,don

d

estunattaquantindire t de

a

au sens de [Dun95 ℄. Dans toute la suite de e do ument, e type d'attaque sera appelé une i-attaque :

(21)

Dénition 14 Soit

AF

= hA, Ri

unsystème d'argumentation ni.

Soit

a, b

∈ A

.

a

(hemin)i(impair)-attaque

b

sietseulement siil existe un heminde lon-gueurimpaired'attaquespartant de

a

etarrivanten

b

(onditalors que

a

estun i-attaquant de

b

).

Soit

S

⊆ A

,

b

∈ A

.

S

i-attaque

b

siet seulement si il existe

a

∈ S

tel que

a

i-attaque

b

. Cetype d'attaquen'est pasfor ément désirable au seind'une extension.Regardons e quise passelorsqu'ondonne un sensaux arguments de

AF

2

.

Plaçons-nous dans le as d'habitants d'une ommune souhaitant savoir si le réa teur de la entrale nu léaire voisinefon tionne bien. Nousavonsles inq arguments suivants:

a

: Leresponsabledela entrale indiquequeleréa teurde entrale nu léairefon tionne bien.

b

: Le surveillant de la entrale voit un voyant rouge allumé sur sonposte de ontrle et les

voyants rougesindiquent undysfon tionnement du réa teurde la entrale nu léaire.

c

: L'alarme nesonne pasetelle sonneobligatoirement siun voyant rouge s'allume.

d

: Le systèmesonore de la entrale esten panne.

e

: Le responsabledit quelesurveillant est daltonien.

L'argument

a

est un argument en faveur du bon fon tionnement du réa teur de la entrale nu léaire.

b

estunargumentindiquantledysfon tionnementduréa teur.L'argument

b

attaque don l'argument

a

. Le surveillant est daltonien, il voit don du rouge lorsqu'il y a du vert. L'argument

e

attaque don l'argument

b

(il n'y a pas de voyant rouge). L'alarme sonne lors de l'allumaged'unvoyant rouge.Si elle- inesedé len hepas, 'estqu'iln'yapasdevoyant rougeallumé. L'argument

c

attaquedon l'argument

b

.Silesystèmesonorede la entrale est en panne, alors l'alarmene peutpassedé len her. L'argument

d

attaque l'argument

c

. Un humain aurait du mal à roire que le réa teur fon tionne orre tement s'il sait que le système sonore de l'alarme ne fon tionne pas. Il est possible de roire en

{a, d, e}

, mais e n'est pas trèsprudent.

ou alors autre exemple : Un volaété ommis au Furetdu Nordde Lillemardi soir.Ali e est soupçonnéed'avoir ommis levol. Nousavonsles5 argumentssuivants:

a

: Ali en'apas ommislevol:elleétaitàlafa deLenslemardi soirpourpréparersathèse. Elle estrestée onne tée sur leréseau jusqu'àminuit.

b

: Béatri e a vuAli eà Lille mardi soir. Ali ea très bien puse onne ter, prendre letrain, ommettrelevol etsedé onne terensuite.

c

: Clémentine ditqu'elle avuBéatri e au stadeBollaert(Lens) mardi soir.

d

: Clémentine estune amieintime deAli e, elle estprête à mentirpour lasoutenir.

e

: Béatri e a jurédevant toutle laboqu'elle asserait lesreins d'Ali e.

L'argument

b

attaquel'argument

a

enarmantqu'Ali eétaitàLilleetnonàLens.L'argument

c

attaquel'argument

b

:Béatri en'apaspuvoirAli eàLillepuisqu'elleétaitaustadeBollaert deLens.L'argument

d

attaquel'argument

c

enmettantendoutel'impartialitédeClémentine. L'argument

e

attaquel'argument

b

enmettantendoutelavéra itédutémoignage deBéatri e (elle pourraitavoir témoignépour nuire àAli e).

Est-il prudentde roireenmême tempsen

a

eten

d

?Est-ilprudent de roireAli einno ente sil'on saitqu'un de sesdéfenseurs estpartial?

E

està lafoisune extensionstable, préférée,de baseet omplète, esnotions nepermettent don pasd'ex lurela présen ede i-attaque entre2 deleurs éléments.

AF

3

( f. g. 1.1page 3) est bien fondé,

E

= {i, n, a}

est l'extension debase, l'extension préférée etl'extension stablede

AF

3

.Comme

a

∈ E

,nousallonspouvoir

(22)

inférer de manière s eptique (resp. rédule)

a

. Si on retire

i

de l'ensemble des arguments de

AF

3

,

a

n'est plus défendu ontre

b

(don n'est plus a eptable). La présen e de

i

est don primordiale. Or

i

a

. Est-il prudent d'inférer

a

si sa défense se fonde sur unargument quidéfend et i-attaque

a

?

C'estpourquoi Coste-Marquis,Devred etMarquisranent la notion d'ensemble sans onit ennotion d'ensemble sans i- onit.

Dénition 15 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni.

S

⊆ A

est unensemble sans i- onitde

AF

ssi iln'existe pas

a

∈ S

et

b

∈ S

telsque

b

i-attaque

a

. Coste-Marquis,DevredetMarquisen déduisent trivialement lelemme suivant :

Lemme 9 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni et

S

⊆ A

un ensemble sans i- onit de

AF

. Il n'existe pas

a

∈ S

et

b

∈ S

tels que

a

b

.

Celemmeestimportant, arilpermetdegarantirl'absen ededeuxargumentstelsquel'unest ontroversé par rapportà l'autre danslesextensions queCoste-Marquis, DevredetMarquis dénissent.

L'absen ed'un ouple d'argumentsde

S

en ontroverse ne onstitue qu'une ondition né es-saire pour que

S

soit sans i- onit. L'exemple 4 page 13 montre qu'elle n'est passusante (i i au unargument n'est ontroversé etpourtant il existeun i- onit).

La dénitiond'ensemble sans i- onit interdit à tout élément appartenant à un ir uit de longueur impaire d'appartenir à un ensemble sans i- onit. En eet, non seulement un tel argument est ontroversé ( f. lemme 6 page 10), mais en ore un tel élément est un de ses propres i-attaquants. En revan he, rien n'empê he un élément d'un y le de longueur paire d'appartenir à un tel ensemble. En ela, Coste-Marquis, Devred et Marquis se démarquent de Baroni et Gia omin ([BG03 ℄). En eet, ils ne onsidèrent pas qu'il faille traiter de façon analogue unargument

a

appartenant à un y lede longueur paire etun argument

b

appar-tenant à un y le de longueur impaire.

a

onduit à sadéfense indire te, alors que

b

apporte enlui même uneforme d'in ohéren e.

Coste-Marquis,DevredetMarquisremarquentque,d'aprèslesdénitions14page13et15,un ensemblesans i- onit estunensemblesans onit( f.def.2page 6).Eneet,unattaquant dire td'unargument est un i-attaquant pour e même argument.

Proposition 3 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni. Si

S

⊆ A

est un ensemble sans i- onit, alors

S

est un ensemble sans onit. La ré iproque n'est pas vériée.

Suitedel'exemple 4Dans

AF

2

(g.3.1page13),

E

= {a, d, e}

estunensemblesans onit, maisn'est pasunensemblesans i- onit,puisque

d

est un i-attaquant de

a

.

3.2 Sémantiques pour l'a eptabilité traitant les i- onits Ainsi, Coste-Marquis, Devredet Marquisintroduisent ladénition d'ensemble

(23)

p(rudent)-Dénition 16 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni,

S

⊆ A

est un ensemble p-admissible de

AF

ssi

S

est sans i- onit et

∀a ∈ S a

S

.

Autantranerlanotionde onitenyin luantles i- onitsnoussemblesouhaitable,autant ranerlanotiond'argumenta eptable onduiraitàtroprestreindrel'ensembledesarguments a eptés:

Suitede l'exemple 4Sil'onposequepour êtreadmissible unensemblesans onit nedoit ontenir que des arguments défendus ontre tous leurs i-attaquants,

AF

2

(g. 3.1 page 13) ne posséderait qu'un seul ensemble admissible :

E

′

= {d, e}

.

a

6∈ E

′

, or

a

est défendu ontre

b

son unique attaquant, par

e

lui-même a eptable (et e quelle que soit la dénition vu qu'il n'est pas attaqué). Intuitivement pour qu'un argument soit a eptable, il sut qu'il soit défendu pour haque attaquant par un argument. Cela signie que seuls les arguments attaquésdire tement ont besoin d'êtredéfendus(parune attaquedire tede leurs attaquants dire ts).

Nous avons trivialement lapropositionsuivante :

Proposition 4 [CMDM06a℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentationni.Si

S

⊆ A

est unensemblep-admissible, alors

S

est unensemble admissible.Laré iproque n'estpasvériée. Suite de l'exemple 4 Dans

AF

2

(g. 3.1 page 13),

E

= {a, d, e}

est admissible, mais n'est pasp-admissible ( ar

E

n'est passans i- onit).

Coste-Marquis, DevredetMarquisétablissentle lemmesuivant :

AF

= hA, Ri

S

⊆ A

un ensemble p-admissible, et

a, b

∈ A

telsqu'il existe

c, d

∈ A

ave

cRa

et

dRb

,

a

S

et sans i- onit ave

S

, et

b

S

etsans i- onit ave

S

. Ona :

1.

S

′

= S ∪ {a}

est p-admissible, 2.

b

S

′

et sans i- onit ave

S

′

.

Notonsqu'ilestessentieldesupposerquesi

b

estattaquéalors

a

l'estaussipourquelelemme tienne. Sans ette hypothèse, l'exemple 4page 13 fournit un ontre-exemple immédiat : Suite de l'exemple 4

S

= {e}

estun ensemble p-admissible,

S

∪ {a}

et

S

∪ {d}

aussimais

S

∪ {a, d}

ne l'estpas.

AF

= hA, Ri

S

⊆ A

un ensemblep-admissible, et

a, b

∈ A

telsque

a

est nonattaqué etsans i- onit ave

S

,et

b

est nonattaqué etsans i- onit ave

S

.On a :

1.

S

′

= S ∪ {a}

est p-admissible, 2.

b

S

′

et sans i- onit ave

S

′

.

AF

= hA, Ri

S

⊆ A

un ensemble p-admissible.

S

est une p-extension préféréede

AF

ssi

∄S

′

⊆ A

tel que

S

⊂ S

′

et

S

′

est p-admissible.

(24)

AF

= hA, Ri

un systèmed'argumentation ni,

1. l'ensembledetouslesensemblesp-admissiblesde

AF

munide

⊆

(l'in lusionensembliste) forme un sous-ensemble indu tifde

(2

A

_,

_⊆)

;

2. pour haque ensemble p-admissible

S

⊆ A

, il existe au moins une p-extension préférée

E

⊆ A

telle que

S

⊆ E

.

Comme l'ensemble des arguments non-attaqués est trivialement p-admissible, nous avons le orollairesuivant :

Corollaire 4 Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni, et

S

l'ensemble des argu-mentsde

A

nonattaqués. Alors, il existe une p-extension préférée ontenant

S

.

Nous pouvons noter i i que si un ensemble p-admissible est un ensemble admissible et sans i- onit,une p-extensionpréféréen'est pasfor émentune extensionpréférée.Eneet,siune extension préférée est sans i- onit, elle onstitue une p-extension préférée, mais parmi les p-extensions préférées, il peut exister des ensembles admissibles qui ne sont pas maximaux pour

⊆

.

Comme

∅

esttoujoursunensemblep-admissible,Coste-Marquis,DevredetMarquisdéduisent de laproposition 5laproposition suivante:

Proposition 6 [CMDM06a℄ Chaque système d'argumentation ni

AF

= hA, Ri

possède au moins une p-extension préférée.

Ainsi, haque système d'argumentation ni possède au moins une extension préférée et au moinsunep-extension préférée.L'exemple 4illustre lesliensentre elles- i.

E

= {a, e, d}

AF

2

(g. 3.1 page 13), maispasune p-extension préférée de

AF

2

( ar

d

i-attaque

a

). Demême

E

′

= {a, e}

est une p-extension préférée de

AF

2

,maispas uneextension préférée de

AF

2

( ar

E

′

⊂ E

).

Proposition 7 [CMDM06a℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentation ni,pour haque p-extensionpréférée

E

p

de

AF

, il existe une extension préférée

E

de

AF

telle que

E

p

⊆ E

. Exemple 5 Soit

AF

4 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e, i, n}

et

R

= {(b, a), (a, i), (c, b), (d, c),

(e, c), (d, e), (a, d), (a, e), (i, n), (n, i)}

.

Legraphe d'attaquede

AF

4

est représenté gure3.2 page suivante.

E

1 = {a, c, n}

,

E

2 = {b, d, i}

et

E

3 = {b, d, n}

sont les troisextensionspréféréesde

AF

4

.

e

ne peut pas faire partie d'une p-extension préférée, ar son unique défenseur ontre

d

est sonattaquant dire t.

Ni

a

, ni

b

, ni

c

, ni

e

et ni

d

ne peuvent faire partie d'une p-extension préférée, ar ils ap-partiennent tous au ir uit

(a, d, e, c, b, a)

de longueur impaire. Le fait que des arguments parti ipent à un ir uit de longueur impair sut à on lure qu'ils n'appartiennent à au un ensemblep-admissible, don àau unep-extensionpréférée. Enrevan he,ilspeuvent apparte-niràdesextensions préférées(voir

E

1

,

E

2

et

E

3

).

i

ne peut pas appartenir à une p-extension préférée ar

b

son unique défenseur ontre

a

ne peutpasappartenir àune p-extensionpréférée.

(25)

a

b

c

d

e

i

n

AF

4

Cet exemple montre que haque extension préférée d'un système d'argumentation ni ne ontient pasfor ément une p-extensionpréférée.

La présen e de y le (orienté) de longueur paire n'empê he pas l'uni ité de la p-extension préférée.

Nous avons pour laproposition 7,la onséquen e suivante:

Conséquen e 1 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

unsystème d'argumentation ni. Si

AF

est possèdeune unique extensionpréférée

E

alors elle- i ontient haque p-extensionpréférée

E

p

de

AF

.

Cette propriété s'appliqueen parti ulier lorsque

AF

esttrivial, bien fondé ousans ir uit de longueur paire.

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni.

AF

est p-trivial sison unique p-extension préférée est l'ensemble vide.

Ce qui permetde donnerlelemme suivant :

AF

= hA, Ri

AF

est tri-vial,alors

AF

est p-trivial. La ré iproque n'est pas vériée.

Exemple 6 Soit

AF

5 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e}

et

R

= {(b, a), (c, b), (d, c), (e, c), (d, e),

(e, d), (a, d), (a, e)}

.Le graphed'attaque de

AF

5

est représentégure3.3page suivante.

AF

5

n'est pas trivial.

{a, c}

,

{b, d}

et

{b, e}

sont ses extensions préférées. En revan he,

AF

5

estp-trivial :au un de ses arguments ne peut faire partie d'une p-extension préférée, ar ils appartiennent tousà un y le delongueur impaire.

Une p-extensionpréféréereprésente unensemblemaximal(pour l'in lusionensembliste) d'ar-guments que l'on peut roire en même temps. Elle ex lut don de roire en même temps en un argument

a

et en un argument

b

, si

a

et

b

sont en i- onit (et en parti ulier si

a

est ontroversé parrapport à

b

).

(26)

a

b

c

d

e

AF

5

Même dans les as où la stru ture du graphe d'attaque d'un système d'argumentation ni garantissaitl'uni itéde l'extension préférée (voirthéorème 3page 9etproposition 2page 9), plusieurs p-extensionspréférées peuvent exister.

Exemple 7 Soit

AF

6 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e, n, i}

et

R

= {(b, a), (c, a), (n, c), (d, b),

(i, b), (e, c), (i, e)}

.Le graphed'attaque de

AF

6

est représentégure3.4.

a

b

c

e

n

i

d

AF

6

Il y a une seule extension préférée

E

= {a, d, i, n}

. En revan he, il y a deux p-extensions préférées

E

p1

= {a, d, n}

et

E

p2

= {d, i, n}

.

Cetexemple montre qu'unsystèmed'argumentation nibien-fondé peutposséderplusd'une p-extensionpréférée.La proposition 2page 9 etlethéorème3 page 9 nesont pas onservé. Laprésen e d'un i-attaquant d'unargument

a

n'interditpas for ément que

a

appartienne à unep-extensionpréférée:

i

i-attaque

a

,mais

a

appartientà

E

p1

p-extensionpréférée de

AF

6

. Eneet,silaprésen ed'un i-attaquantinterdisaitàl'argument i-attaquéd'apparteniràune p-extensionpréférée (plusgénéralement à unensemblep-admissible)les sémantiquesseraient trop prudentes. Cela imposerait que haque défense ontre un argument

b

d'un argument

a

réussisseet ela mêmesi une autredéfense ontre

b

réussissait.

Coste-Marquis, DevredetMarquisintroduisent un ranement desextensions stables. Dénition 19 [CMDM06a℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentation ni.Unensemble sans i- onit

S

⊆ A

est une p-extension stable ssi

S

attaque (dire tement) haque argu-ment qui n'appartientpas à

S

.

(27)

Comme pour les extensions stables, la dénition des p-extensions stables impose qu'une p-extension stablen'est jamaisvide (lorsque

A

6= ∅

).Une p-extension stableest uneextension stable etsans i- onit.En onséquen e :

Lemme 13 [CMDM06a℄ Chaque p-extension stable est une extension stable, mais la ré i-proque n'est pas vériée.

Suitede l'exemple 4

E

= {a, d, e}

est uneextension stablede

AF

2

(g. 3.1page 13),mais n'est pas unep-extension stable( ar

d

i-attaque

a

).

Lelemme 2page 7 permetd'obtenir pour lelemme13 les orollairessuivants.

Corollaire5 [CMDM06a℄Chaquep-extensionstableestuneextensionpréférée.Laré iproque n'est pas vériée.

Corollaire6 [CMDM06a℄ Chaque p-extension stable est une extension omplète. La ré i-proque n'est pas vériée.

AF

2

(g.3.1 page 13),

E

= {a, d, e}

estune extension préférée (resp. omplète),maisn'est pasune p-extension stable( ar

d

i-attaque

a

).

Onaaussi:

Lemme 14 [CMDM06a℄ Chaque p-extension stable est une p-extension préférée, mais la ré- iproque n'est pas vériée.

E

′

_{= {a, e}}

est une p-extension préférée de

AF

2

(g. 3.1 page 13), maisn'est pasunep-extension stable( ar

c

et

d

nesont pasattaqués par

E

′

).

Le théorème 3 page 9 et le orollaire 3 page 10 garantissaient la présen e d'une extension stablesous ertaines hypothèsessur

AF

(

AF

bien fondé ou ontroversé de manière limitée). Cesrésultats nes'étendent pasauxp-extensions stables.

Suite de l'exemple 7 Le système d'argumentation ni

AF

6

(g. 3.4 page pré édente) ne possède pas de p-extension stable. Cet exemple montre qu'un système d'argumentation ni bienfondé(respe tivement ontroversédemanièrelimitée)peutnepasposséderdep-extension stable.

Les extensions préférées et stables ont été dénies par Dung omme représentant le raison-nement rédule. Pour leraisonnement s eptique, il a introduit lanotion d'extension de base. Pourdénir ettedernièreilaeubesoind'introduire lanotiondefon tion ara téristique.Par ailleurs, les points xesde ettefon tion permettent ausside ara tériser d'autresextensions (e.g.lesextensionspréférées).Coste-Marquis,DevredetMarquisontintroduitàleurtourune fon tion p- ara téristique d'un système d'argumentation ni an de ara tériser les p-extensions etd'introduire une notionde p-extensionde base.

Dénition 20 [CMDM06a℄ La fon tion p- ara téristique d'un système d'argumentation ni

AF

= hA, Ri

se dénit omme suit:

F

_AF

p

: 2

A

−→ 2

A

(28)

On peut remarquer que

F

p

AF

est une restri tion de

F

AF

(dénition 8 page 8) au sens où

∀S ⊆ A, F

_AF

p

(S) ⊆ F

AF

(S)

.

Ladénition même de lafon tion p- ara téristique, permetd'énon er à l'instar de Dung,le lemmesuivant :

AF

= hA, Ri

unsystème d'argumentation niet

S

⊆ A

.

S

est p-admissible ssi

S

⊆ F

p

AF

(S)

.

La fon tion p- ara téristiquene possède pas lesmêmes propriétés quela fon tion ara téris-tiquedénieparDung[Dun95 ℄.Ainsi

F

p

AF

n'estpasmonotone,mêmesionréduitsondomaine dedénitionauxensemblesp-admissibles.C'est pourquoilesthéorèmes deTarskietdeS ott nepeuvent pasêtreutilisés.

AF

2

(g. 3.1 page 13)

F

p

AF

({e}) = {e, d, a}

et

F

p

AF

({e, d}) =

{d, e}

.Or

{e, d, a} 6⊆ {d, e}

, don

F

p

AF

n'est pasmonotone.

Ilnepeutdon pasêtredénidependantprudentdel'extensiondebaseà l'aided'unenotion de plus petit point xe de

F

p

AF

. Par ontre, quoique

F

p

AF

ne soit pasmonotone,lasuite

(F

p,i

AF

(∅))

i∈N

estmonotone (pour

⊆

) etformée d'ensembles p-admissibles.

Lemme 16 [CMDM06a℄ La suite

(F

p,i

AF

(∅))

i∈N

est monotone, et ses éléments sont des en-sembles p-admissibles.

Comme

A

estni,lasuite

(F

p,i

AF

(∅))

i∈N

eststationnaireàpartird'un ertainrang

j

et

F

p,j

AF

(∅)

estlap-extension de base de

AF

.

j

le rang à partir duquel la suite

(F

p

AF

(∅))

i∈N

est station-naire.

F

p,j

AF

(∅)

est la p-extension de base de

AF

.

Coste-Marquis, DevredetMarquis soulignent que, ommel'extension de basede Dung,la p-extension debase ontienttouslesargumentsnonattaquésde

AF

.Lap-extensionde baseest l'ensemble vide sietseulement si lesystèmed'argumentation ninepossède pasd'argument non attaqué. Ilsen déduisent alors lelemmesuivant :

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni, si le graphe d'attaque de

AF

est a y lique, alors son extension debase est nonvide.

Suitede l'exemple7 Dans

AF

6

(g.3.4page19),

E

p2

= {d, i, n}

estlap-extensiondebase de

AF

6

.

Coste-Marquis,DevredetMarquisen déduisent que:

Lemme 18 [CMDM06a℄Lap-extensiondebased'unsystèmed'argumentation nide

AF

est in luse dans l'extension debase de

AF

.

Il peut être onsidéré omme intéressant qu'une extension, omme la p-extension de base, ontienne tousles arguments nonattaqués dusystème. Or ontrairement auxextensions pré-férées de Dung, une p-extension préférée ne ontient pas for ément tous les arguments non attaqués du système d'argumentation. C'est pourquoi les p-extensions préférées qui se

(29)

dis-Dénition 22 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

et

E

⊆ A

une p-extension préférée.

E

est une p-extension préférée naturelle ssi

E

est une p-extension préférée ontenant tous les arguments de

A

qui ne sontpas attaqués.

L'existen e d'une tellep-extensionpréférée est garantie par le orollaire4 page 17.

AF

6

(g. 3.4 page 19),

E

p2

= {d, i, n}

est l'unique p-extension préférée naturellede

AF

6

.

Coste-Marquis, DevredetMarquisintroduisent une notion dep-extension omplète. Dénition 23 [CMDM06a℄ Soit

AF

= hA, Ri

un système d'argumentation ni et

S

un en-semble p-admissible.

S

est une p-extension omplète si et seulement si haque argument a eptable par rapportà

S

et sans i- onit ave

S

appartientà

S

.

Ladénition 23donne dire tement lelemme suivant :

Lemme 19 [CMDM06a℄ Un ensemble

S

est une p-extension omplète si et seulement si

F

_AF

p

(S) = S

.

Ildé oule trivialement deladénition 21page pré édentelelemme suivant :

Lemme 20 [CMDM06a℄Lap-extensiondebased'unsystèmed'argumentation nide

AF

est une p-extension omplète de

AF

.

Lemme 21 [CMDM06a℄ Chaque p-extension préférée est une p-extension omplète. La ré i-proque n'est pas vériée.

Exemple 8 Nousreprenonsle ontre-exemple de [Dun95 ℄.

AF

N

= hA, Ri

ave

A

= {a, b}

et

R

= {(a, b), (b, a)}

. Le graphe d'attaque de

AF

N

est représenté gure 3.5. Dans

AF

N

,

∅

est une p-extension omplète ( 'est même la p-extension de base de

AF

N

), mais n'est pas une p-extensionpréférée.

a

b

Fig. 3.5 Représentation graphiquede

AF

N

AF

6

,

E

p1

= {a, d, n}

et

E

p2

= {i, d, n}

sontlesseulesp-extensions omplètes.

E

p1

estune p-extension omplète,mais e n'est pasune extension omplète.

E

=

{a, d, i, n}

est l'unique extension omplète de

AF

6

, mais n'est pas une p-extension omplète de

AF

6

.Ainsi, unep-extension omplète n'estpasfor ément uneextension omplète.Et,une extension omplèten'est pasfor ément une p-extension omplète.

Cet exemple montre qu'il n'y a pasde propriété d'in lusion 1

entre l'ensembledes extensions omplètes et elui desp-extensions omplètes.

(30)

Dans le adre de Dung,lapropriété 1 page 8garantitque haque extension préférée (respe -tivementstable, omplète) de

AF

ontient l'extension debasede

AF

.C'estune propriétéqui n'est pas onservée.

AF

6

(g.3.4page19)

E

p1

= {a, d, n}

estunep-extensionpréférée etune p-extension omplète de

AF

6

et

E

p2

= {d, i, n}

est lap-extensionde base de

AF

6

.Or

E

p2

6⊆ E

p1

.Cetexemplemontrequelap-extensiondebased'unsystèmed'argumentationni n'est pas in lusedanstoutes les p-extensionspréférées (respe tivement omplètes) de

AF

. Le théorème 1 page 6 garantit que l'extension de base est in luse dans l'interse tion des extensions omplètes de

AF

,don dans l'interse tion des extensions préférées de

AF

. C'est une propriété quin'est pas onservée.

AF

6

(g. 3.4page19)

E

p1

= {a, d, n}

et

E

p2

= {d, i, n}

sont les p-extensions préférées (respe tivement omplètes) de

AF

6

.

E

p2

= {d, i, n}

est la p-extension de base de

AF

6

. Or

E

p2

6⊆ E

p1

∩ E

p2

. Cet exemple montre que la p-extension de base d'un système d'argumentation ni n'est pas toujours in luse dans l'interse tion des p-extensions préférées, don dansl'interse tion desp-extensions omplètes de

AF

.

AF

N

,

S

= ∅

est la p-extension de base, mais

S

n'est pas une p-extensionpréférée de

AF

N

.

Cetexemplenousmontrequelap-extensiondebasede

AF

n'estpasfor émentunep-extension préférée de

AF

.Enrevan he,elle esttoujours in lusedansune p-extensionpréférée( ar 'est un ensemblep-admissible).

Unepropriétéintéressanteestquelap-extensiondebaseetl'extensiondebasesont onfondues lorsqu'ilexisteune p-extension stable.

AF

= hA, Ri

un systèmed'argumentation ni. Si

AF

pos-sède une p-extension stable, alors la p-extension de base de

AF

et l'extension de base de

AF

oïn ident.

Dénition 24 [CMDM06a℄Unsystèmed'argumentationni

AF

estditp- ohérentsi haque p-extensionpréférée de

AF

est une p-extension stable.

Proposition 9 [CMDM06a℄ Un système d'argumentation ni ohérent n'est pas for ément p- ohérent.

Suite del'exemple 4

AF

2

(g.3.1page13)est ohérentmaisn'est pasp- ohérent( ar

AF

2

nepossède pasdep-extension stable).

Contrairement au adre présentédans [Dun95 ℄, nil'absen e d'argument ontroversé (ou leur présen een nombrelimité) dansun système d'argumentation ni

AF

,nile faitque

AF

soit bien-fondé n'entraînent que

AF

soit p- ohérent.

AF

2

(g. 3.1 page 13) est non ontroversé et bien-fondé, mais pas p- ohérent ( ar ilne possèdepasde p-extension stable).

AF

6

(g. 3.4 page 19) est ontroversé de manière limitée, mais pas p- ohérent ( ar ilne possèdepasde p-extension stable).

Defaçonanalogueà[Dou02 ℄,lespropriétésintéressantessontsynthétiséesdansletableau3.1page suivante.Le symbole

◦

indiquequela propriétéest toujoursvériée,

⊳

qu'ellepeutl'être.

(31)

Cara téristique Cohéren e Uni itép-ext. préférée Existen ep-ext. stable p-ext.de base nonvide sans y le

⊳

◦

sans y leimpair

⊳

sans y lepair

⊳

ontroversé de manière limitée

⊳

Tab.3.1 Quelquespropriétés du adrede Dungrané ave les i-attaques.

Exemple 9 Soit

AF

8 = hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e, i, n}

et

R

= {(i, e), (i, n), (e, n), (n, a),

(b, a), (c, a), (d, c), (b, d), (d, b)}

. Le graphed'attaque de

AF

8

estreprésenté gure3.6.

i

e

n

a

b

c

d

AF

8

Dans

AF

8

,

E

1 = {i, a, d}

et

E

2 = {i, b, c}

sont les deux seulesextensions stables (respe tive-mentpréférées)de

AF

8

.

E

′

p

= {i, d}

et

E

p

= {i, b, c}

sontlesp-extensionspréféréesde

AF

8

.

E

p

estl'unique p-extensionstable de

AF

8

.

{b}

est in lus danstoutes les p-extensions stables de

AF

8

,maispasdanstoutes lesextensionsstables(respe tivement préférées)de

AF

8

.

E

pb

= {i}

estlap-extensionde basede

AF

8

.

E

pb

estl'extension de basede

AF

8

.

AF

= hA, Ri

AF

possède une p-extension stable, alors l'interse tion des extensions préférées de

AF

et la p-extensionde base (resp. l'extension debase) de

AF

oïn ident.

AF

= hA, Ri

AF

possèdeunep-extensionstable,alorsl'interse tiondesp-extensionspréféréesde

AF

estin luse dans l'extension debase de

AF

.

Corollaire7 [CMDM06a℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentation ni.Si

AF

possède une p-extension stable, alors l'interse tion des p-extensions préférées de

AF

est in luse dans la p-extension debase de

AF

.

Corollaire8 [CMDM06a℄Soit

AF

= hA, Ri

unsystèmed'argumentation ni.Si

AF

possède une p-extension stable, alors l'interse tion des p-extensions préférées de

AF

est in luse dans l'interse tion des extensionspréférées (resp. des extensions stables)de

AF

.