Cas où il existe une p-extension stable

Le tableau suivant se lit de gau he à droite. Ainsi, ladeuxième ase de la troixième ligne se lit: 10,

|∼

∀,P

p

⊆|∼

∃,S

p

.Elle signieque tout e quel'on peutinférerave

|∼

∀,P

p

peutêtre inféré ave

|∼

∃,S

p

,le 10indique l'itemfournissant laraison de e lien (voir i-après).

Ilest onsidérédansletableau3.2pagesuivantequ'ilexisteune p-extensionstable(don une extension stable),sinon les relations d'inféren equi ysont liéessetrivialisent.

Expli ation des liens entre les relations de p-inféren e lorsqu'il y a une p-extension stable (don uneextension stable) :

1. Dans

AF8

(g.3.6pagepré édente),

{d}

est ontenudansunep-extensionpréférée,mais dans au unep-extensionstable.

2. Dans

AF8

(g. 3.6page i- ontre),

{d}

est ontenu dansunep-extension préférée,mais n'est pas ontenu danstoutes les p-extensionspréférées.

|∼∃p,P

|∼

∃,S

p

|∼

∀,P

p

|∼

∀,S

p

|∼.,Gp

|∼∃p,P

=

1, 6⊆

2, 6⊆

3, 6⊆

4, 6⊆

|∼∃,Sp

5, ⊆

=

6, 6⊆

7, 6⊆

8, 6⊆

|∼∀p,P

9, ⊆

10, ⊆

=

11, ⊆

12, ⊆

|∼∀p,S

13, ⊆

14, ⊆

15, 6⊆

=

16, 6⊆

|∼.,Gp

17, ⊆

18, ⊆

19, 6⊆

20, ⊆

=

Tab. 3.2Lien entreles relations dep-inféren e ave p-extensionstable[CMDM06a℄.

4. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{b}

est ontenu dans une p-extension préférée, mais n'est pas ontenu danslap-extension debase de

AF8

.

5. Voir lelemme14 page 20. 6. Voir l'exemple10 page 28. 7. Voir l'exemple10 page 28. 8. Voir l'exemple10 page 28. 9. Trivial.

10. Voir lelemme14 page 20.

11. Voir le lemme 14 page 20 (on est plus restri tif lorsqu'on prend en ompte toutes les p-extensions préférées).

12. Voir orollaire7 page 24. 13. Voir lelemme14 page 20. 14. Trivial.

15. Dans

AF8

,

{c}

(g.3.6 page 24) est ontenu dans toutes les p-extensions stables,mais pasdansl'interse tion desp-extensions préférées.

16. Dans

AF8

(g.3.6page24),

{i}

estlap-extensiondebaseetilyauneuniquep-extension stable

Ep

= {i, b, c}

,

{b}

est ontenu danstoutes les p-extensions stables de

AF8

mais n'est pas ontenu danslap-extensionde base.

17. Le lemme 16 page 21 et la dénition 21 page 21 nousindiquent que lap-extension de baseestunensemblep-admissible. D'oùd'aprèslaproposition5page17,lap-extension de baseest ontenue dansunep-extension préférée.

18. D'aprèslelemme18page 21,lap-extensiondebaseestin lusedansl'extension debase. Or d'après laproposition 1 page 8,l'extension de baseest omprise dansl'interse tion des extensions omplètes. D'oùd'après le orollaire6 page 20 dansl'interse tiondes p- extensions stables.D'oùlap-extension de baseestin luse dansune p-extensionstable. 19. Dans

AF16

(g.3.8page29),

{d}

est ontenudanslap-extensiondebase,maispasdans

toutes les p-extensions préférées.

20. D'aprèslelemme18page 21,lap-extensiondebaseestin lusedansl'extension debase. Or d'après laproposition 1 page 8,l'extension de baseest omprise dansl'interse tion des extensions omplètes. D'où d'après le orollaire 6 page 20 dans l'interse tion des p-extensions stables.

3.3.1.2 Comparaison entre p-inféren es et inféren es lassiques

On onsidèredansletableau3.3qu'ilexisteunep-extensionstable(don uneextensionstable), sinonles relations d'inféren e quiysont liéesse trivialisent.

|∼∃p,P

|∼

∃,S

p

|∼

∀,P

p

|∼

∀,S

p

|∼.,Gp

|∼∃,P

_{1, 6⊆}

,

⊇

2, 6⊆

,

⊇

3, 6⊆

,

⊇

4, 6⊆

,

⊇

5, 6⊆

,

⊇

|∼∃,S

6, 6⊆

,

6⊇

7, 6⊆

,

⊇

8, 6⊆

,

⊇

9, 6⊆

,

⊇

10, 6⊆

,

⊇

|∼∀,P

_{11, ⊆}

,

6⊇

12, ⊆

,

6⊇

13, 6⊆

,

⊇

14, ⊆

,

6⊇

15, =

|∼∀,S

_{16, ⊆}

,

6⊇

17, ⊆

,

6⊇

18, 6⊆

,

⊇

19, ⊆

,

6⊇

20, 6⊆

,

⊇

|∼.,G

21, ⊆

,

6⊇

22, ⊆

,

6⊇

23, 6⊆

,

⊇

24, ⊆

,

6⊇

25, =

Tab.3.3 Lienentreles relations d'inféren e ave p-extensionstable[CMDM06a ℄.

Expli ationdesliensentrelesrelationsd'inféren eetlesrelationsdep-inféren elorsqu'ilexiste unep-extension stable.

1. Dans

AF8

(g. 3.6page 24),

{a, d}

est ontenu dans une extension préférée, maisdans au une p-extensionpréférée. Voir proposition7 page 17.

2. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{d}

est ontenu dans une extension préférée, mais dans au une p-extensionstable. Voir le orollaire 5page 20.

3. Dans

AF8

(g. 3.6page 24),

{a, d}

est ontenu dans une extension préférée, maisdans au une p-extensionpréférée. Voir proposition7 page 17.

4. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{d}

est ontenu dans une extension préférée, mais dans au une p-extensionstable. Voir le orollaire 5page 20.

5. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{a, d}

est ontenu dans une extension préférée, mais pas dans lap-extensionde base.Voir lelemme18 page 21 etlaproposition1 page 8. 6. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{a, d}

est ontenu dans une extension stable, mais dans

au une p-extension préférée. Dans

AF21

(g. 3.9 page 30),

{a}

est in lus dans une p- extension préférée, maisdansau uneextension stable.

7. Dans

AF8

(g.3.6page24),

{d}

est ontenudansuneextensionstable,maisdansau une p-extension stable.Voir lelemme13 page 20.

8. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{a, d}

est ontenu dans une extension stable, mais dans au unep-extensionpréférée.Onavudansletableau3.2page i- ontre,que

|∼

∀,P

p

⊆|∼

∃,S

p

. D'où d'aprèslelemme 13page 20

|∼

∀,P

p

⊆|∼∃,S

.

9. Dans

AF8

(g.3.6page24),

{d}

est ontenudansuneextensionstable,maisdansau une p-extension stable. Onavudansle tableau 3.2page pré édente, que

|∼

∀,S

p

⊆|∼

∃,S

p

.D'où d'après lelemme13 page 20

|∼

∀,S

p

⊆|∼∃,S

.

10. Dans

AF8

(g.3.6page24),

{a, d}

est ontenudansuneextension stable,maispasdans la p-extensionde base.Voir lelemme18 page 21 etlaproposition1 page 8.

11. Le lemme 2page 7 indiqueque

|∼

∀,P_⊆|∼∀,S

.Le lemme 13page 20 indiqueque

|∼∀,S_⊆|∼∀,S

p

. On a vu dans le tableau 3.2 page i- ontre, que

|∼

∀,S

p

⊆|∼

∃,P

p

. Comme

⊆

est transitive, on a

|∼

∀,P_⊆|∼∃,P

p

.Dans

AF8

(g. 3.6page 24),

{b}

est ontenu dans une p-extension préférée de

AF8

,mais n'est pasin lus dans toutes les extensions préférées de

AF8

.

12. Le lemme 2page 7 indiqueque

|∼

∀,P_⊆|∼∀,S

.Le lemme 13page 20 indiqueque

|∼∀,S_⊆|∼∀,S

p

.Ona vudansletableau 3.2 page 26,que

|∼

∀,S

p

⊆|∼

∃,S

p

.Comme

⊆

est tran- sitive, ona

|∼

∀,P_⊆|∼∃,S

p

.Voirexemple 10.

13. Dans

AF16

(g.3.8page i- ontre),

{d}

est ontenudanstouteslesextensionspréférées, mais pasdanstoutes les p-extensions préférées. Voir orollaire 8page 24.

14. Le lemme 2page 7 indiqueque

|∼

∀,P_⊆|∼∀,S

.Le lemme 13page 20 indiqueque

|∼∀,S_⊆|∼∀,S

p

.Comme

⊆

est transitive, ona

|∼

∀,P_⊆|∼∀,S

p

.Voir exemple 9page 24. 15. Voir laproposition10 page 24.

16. Le lemme13page 20indiqueque

|∼

∀,S_⊆|∼∀,S

p

.Onavudansletableau 3.2page26,que

|∼∀,Sp

⊆|∼∃,Pp

. Comme

⊆

est transitive, on a

|∼

∀,S_⊆|∼∃,P

p

. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{d}

est ontenu dans une p-extension préférée, mais n'est pas in lus dans toutes les extensions stablesde

AF8

.

17. Le lemme13page 20indiqueque

|∼

∀,S_⊆|∼∀,S

p

.Onavudansletableau 3.2page26,que

|∼∀,Sp

⊆|∼∃,Sp

.Comme

⊆

est transitive, ona

|∼

∀,S_⊆|∼∃,S

p

.Voirexemple 10.

18. Dans

AF16

(g. 3.8 page i- ontre),

{d}

est ontenu danstoutes les extensionsstables, mais pasdanstoutes les p-extensions préférées. Voir orollaire 8page 24.

19. Le lemme 13page 20 indiqueque

|∼

∀,S_⊆|∼∀,S

p

.Voirexemple 9 page 24.

20. Dans

AF21

(g. 3.9 page 30),

{b}

est ontenu dans toutes les extensions stables, mais pasdans lap-extensionde base. Voir lelemme18 page 21 etlaproposition1 page 8. 21. D'après la proposition 1 page 8, l'extension de base est omprise dans l'interse tion

des extensions omplètes. D'où d'après le orollaire 6 page 20 dans l'interse tion des p-extensions stables.On a vu dansle tableau 3.2 page 26, que

|∼

∀,S

p

⊆|∼

∃,P

p

.Comme

⊆

est transitive, on a

|∼

.,G_⊆|∼∃,P

p

. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{b}

est ontenu dans une p-extension préférée de

AF8

,maisn'est pasin lus dansl'extension debase

AF8

. 22. D'après la proposition 1 page 8, l'extension de base est omprise dans l'interse tion

des extensions omplètes. D'où d'après le orollaire 6 page 20 dans l'interse tion des p-extensions stables.On a vu dans le tableau 3.2 page 26,que

|∼

∀,S

p

⊆|∼

∃,S

p

. Comme

⊆

esttransitive,ona

|∼

.,G_⊆|∼∃,S

p

.Dans

AF8

(g.9page24),

{i, b, c}

est ontenudansune p-extension stable,mais n'estpas ontenu dans

{i}

l'extension debase de

AF8

.

23. Dans

AF16

(g. 3.8 page suivante),

{d}

est ontenu dansl'extension de base, maispas dans toutesles p-extensions préférées. Voirproposition 11page 24.

24. D'après la proposition 1 page 8, l'extension de base est omprise dans l'interse tion des extensions omplètes. D'où d'après le orollaire 6 page 20 dans l'interse tion des p-extensions stables. Dans

AF8

(g. 3.6 page 24),

{i, b, c}

est ontenu dans toutes les p-extensions stables,maisn'est pas ontenu dans

{i}

l'extension de basede

AF8

. 25. Voir laproposition8 page 23.

Exemple 10 Soit

AF9

= hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d}

et

R

= {(b, a), (c, b), (d, c), (c, d))}

. Le graphed'attaque de

AF9

estreprésenté gure 3.7page suivante.

∅

estl'extension debase etlap-extensiondebase de

AF9

.

E

= {c, a}

et

Ep

= {d, b}

sont les p-extensions préférées (resp. p-extensions stables, extensions préférées, extension stables) de

AF9

.

a

c

d

b

Fig. 3.7 Représentation graphique de

AF9

Ep

est ontenue dansunep-extensionpréférée(resp.p-extensionstable),maisn'estpas onte- nue danstoutes lesextensions préférées(resp.stables).

Ep

est ontenue dansunep-extensionpréférée(resp.p-extensionstable),maisn'estpas onte- nue danstoutes lesp-extensions préférées (resp.p-extensionstables).

Ep

est ontenue dansunep-extensionpréférée(resp.p-extensionstable),maisn'estpas onte- nue danslap-extensionde basede

AF9

.

Ep

est ontenue dansunep-extensionpréférée(resp.p-extensionstable),maisn'estpas onte- nue dansl'extension debase de

AF9

.

Exemple 11 Soit

AF16

= hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e}

et

R

= {(b, a), (a, b), (c, b), (d, c),

(b, e)}

.Le graphed'attaque de

AF16

estreprésentégure 3.8.

a

b

c

d

e

Fig. 3.8Représentation graphique de

AF16

E1

= {b, d}

et

E2

= {a, e, d}

sont les extensions stables de

AF16

.

E1

et

Ep

= {a, e}

sont les p-extensions préféréesde

AF16

,seule

E1

est une p-extension stable.

Eb

= {d}

estl'extension de base(resp. lap-extensionde base)de

AF16

.

Exemple 12 Soit

AF21

= hA, Ri

ave

A

= {a, b, c, d, e}

et

R

= {(b, a), (a, b), (c, b), (b, e),

(e, e), (d, c)}

.Le graphe d'attaquede

AF21

estreprésentégure 3.9page suivante.

E1

= {b, d}

est l'extension stable et la p-extension stable de

AF21

.

E2

= {a, d}

est une extension préférée de

AF21

.

Ep

= {a}

est une p-extension préférée de

AF21

.

Eb

= {d}

est l'extension debase(resp. lap-extensionde base)de

AF21

.

a

b

c

d

e

Fig. 3.9Représentation graphique de

AF21

|∼.,Gp

=|∼.,G=|∼

∀,P

|∼∀,S

|∼∃,S

|∼∃,P

|∼∀_p,P

|∼∀_p,S

|∼∃_p,S

|∼∃_p,P

✲

✲

❄

✲

✻

✲

✲

✻

✻

Fig. 3.10  Lien entre les relations d'inféren e lorsqu'il existe une p-extension stable [CMDM06a ℄

3.3.2 Cas où il n'existe pas de p-extension stable, mais où il y a une ex-

Dans le document Prise en compte des arguments controversés dans des systèmes d'argumentation bipolaires (Page 32-37)