Étude numérique et expérimentale des écoulements cavitants sur corps portants

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Sobhi Frikha

To cite this version:

Sobhi Frikha. Étude numérique et expérimentale des écoulements cavitants sur corps portants.

Mé-canique des fluides [physics.class-ph]. Arts et Métiers ParisTech, 2010. Français. �pastel-00544746�

Arts et Métiers ParisTech - Centre de Lille

Institut de Recherche de l’Ecole Navale EA3634

2010-ENAM-0039

École doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’ Ingénieur

présentée et soutenue publiquement par

Sobhi FRIKHA

le 26 Novembre 2010

Etude numérique et expérimentale des écoulements cavitants sur corps

portants

Doctorat ParisTech

T H È S E

pour obtenir le grade de docteur délivré par

l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Spécialité “ Mécanique ”

Directeur de thèse : Jacques-André ASTOLFI

Co-directeur de la thèse : Olivier COUTIER-DELGOSHA

T

H

È

S

E

Jury

M. Jean-Pierre FONTAINE,

professeur,

Polytech'Clermont-Ferrand

,

Université Blaise Pascal

Rapporteur

M. Christophe CORRE,

professeur, LEGI, ENSE3, Grenoble

Rapporteur

M. Farid BAKIR, professeur, DynFluid, Arts et Métiers ParisTech, Paris

Examinateur

Mme. Catherine COLIN, professeur, IMFT, INP, ENSEEIHT, Toulouse

Examinateur

M. Jacques-André ASTOLFI, maître de conférences

HDR, IRENav, Ecole

Navale

Examinateur

M. Olivier COUTIER-DELGOSHA, maître de conférences

HDR, LML,

Arts et Métiers

ParisTech,

Lille

Examinateur

L'ensemble des travaux de ette thèse a été réalisé à l'Institut de Re her he de l'E ole Navaleetau laboratoirede mé anique de l'ENSAM de Lille.

Jetienstoutd'abordàremer iermondire teurdethèseJa quesAndréAstol pour ses onseilss ientiques etla grande onan e qu'ilm'a a ordée.

Jeremer ie égalementOlivierCoutier-Delgoshaquia odirigé e travailpour son aide et sadisponibilitéquotidienne.

Jeremer ie ledire teurde l'IRENAV ChristopheClaramuntquim'a a ueilli au sein du laboratoire et je remer ie l'ensemble du personnel de l'Institut de Re her he de l'E ole Navale pour m'avoir oert de bonnes onditions de travail etpour leurs en ouragements.

Mes remer iements vont aussi au personnel du laboratoire de mé anique de l'ENSAMde Lillepourleura ueiletjepenseparti ulièrementàGuyCaignaert, àGérard Bois età Antoine Dazin.

Je tiens aussi a remer ier le servie informatique de l'IRENav qui m'a fourni lesmoyens informatiquespour réaliserla partie numériquede e travail.

Je remer ie Mustapha Benaoui ha, Antoine Du oin et Marie Laure Gobert ave quij'aieu l'o asionde ollaborerpour réaliser e travail.Jeremer ie égale-ment Abdelkhalek Bou hikhi età SalemBen ramdane a quij'ai eu re ours pour omprendre ertains aspe ts du traitement du signal. Je remer ie mes ollègues

ouragements. Je pense parti ulièrement à SeifeddineBen Elghali, Kais Khaldi, Karim Ouertani etEl Hadji Diop.

Jeremer ievivementmesparents,mesfrèresetmaan éequiontététoujours à mes tés etpour tout l'amour qu'ilsm'ont donné tout aulong de ette thèse.

1 LE PHÉNOMÈNE DE CAVITATION 25

1.1 Aspe ts fondamentaux . . . 25

1.2 Cavitation par po he atta hée . . . 30

1.2.1 Intera tions ou he limite- avitation . . . 30

1.2.2 Instabilitéde la avitation . . . 32

1.2.3 Modélisationde la avitation par po he . . . 35

2 MODÉLISATION DE LA CAVITATION 39 2.1 Equations du mouvement : . . . 41

2.1.1 Bilande masse dans un volume V : . . . 41

2.1.2 Bilande quantité de mouvement dans le volume V : . . . . 41

2.2 Représentation 1-uidede la avitation : . . . 42

2.3 Modèles de avitation : . . . 43

2.3.1 Introdu tion: . . . 43

2.3.2 Modèles àsuivi d'interfa e : . . . 44

2.3.5 Modèle basé sur la diéren e

P − P

v

: . . . 55

2.3.6 Modèlesbasé sur l'équationde RayleighPlesset . . . 61

3 MOYENS NUMÉRIQUES ET EXPÉRIMENTAUX 67 3.1 Moyens numériques . . . 67

3.1.1 Des ription du ode de al ul . . . 67

3.2 Moyens expérimentaux . . . 76

3.3 Tunnel de avitation de l'E oleNavale:. . . 76

3.3.1 Des ription :. . . 76

3.3.2 Des ription du foil :. . . 78

3.4 Système de mesures Rayons X de l'ENSTA : . . . 80

3.5 Con lusion : . . . 82

4 COMPARAISON DES MODÈLES DE CAVITATION 83 4.1 Comparaisonanalytique des modèlesde avitation . . . 83

4.2 Etude de la dynamiquede lapo he de avitation . . . 86

4.2.1 Etude du omportement de la po he instable sur le foil NACA 66 . . . 86

4.2.2 Etude de la Convergen e des modèles de avitation . . . . 90

4.2.3 Temps de al ul . . . 97

4.2.4 Modèlesde transport de tauxde vide . . . 99

4.2.5 Distributionsdes prolsde tauxde videmoyens sur lefoil onvexe . . . 126

avi-4.3 Etude de ladynamique de l'é oulement . . . 140

4.3.1 Analyse onditionnelledes taux de vide . . . 140

4.3.2 Etudedu jet rentrant . . . 148

4.4 Etude numérique et expérimentale des déformations du foil Na a 66 dans un é oulement avitant . . . 155

4.4.1 EtudeFluide :. . . 156

4.4.2 EtudeStru ture : . . . 156

4.4.3 Etude expérimentale et omparaison des résultats numé-riques etexpérimentaux: . . . 162

4.4.4 Con lusion : . . . 167

4.5 Traitement par dé omposition en modes empiriques . . . 168

4.5.1 Prin ipede l'algorithmede l'EMD : . . . 168

4.5.2 Appli ationde l'EMD sur les données expérimentales : . . 169

4.5.3 Appli ationde l'EMD sur les résultatsnumériques : . . . . 172

1.1 Carte de avitationsur lefoil NACA66,

Re = 800000

. . . 27

1.2 Cavitation parpo he atta hée obtenue surun foil onvexe(ENSTA) 28

1.3 Cavitation de lamentstourbillonnaires avitants. . . 29

1.4 Diérents type de avitation sur un hydrofoil, é oulement de bas en haut, NACA66,

α = 4.5

,

Re = 800000

(IRENav, [Leroux et al.,2003℄). . . 29

1.5 États de la ou he limite en fon tion de l'in iden e du prol, Re=750000. (d'après les travaux de [Du oin, 2008℄). . . 31

1.6 Evolution expérimentale de la po he de avitation sur un prol NACA66,

α = 8

,

Re = 800000

,

∆t = 5 ∗ 10

−

₃

s

, é oulement du

haut vers le bas. . . 33

2.1 Foil test du ongrès CAV2003 . . . 40

2.2 Exemples de formed'interfa e pour le al ulVOF [Mejri,2006℄ . 46

2.3 Exemple de simulationave laméthode Marker and Cell [Li,2006℄. 48

2.4 Loi d'état barotrope,

c

min

= 1.5m/s

. . . 50

3.1 Vue générale du maillage. . . 68

3.2 Maillage non ollo atif. . . 70

3.3 TunnelHydrodynamiquedel'InstitutdeRe her hedel'E oleNavale. 77 3.4 Veine du tunnel.. . . 77

3.5 Modèle CAO du foil Na a66, arrangement des apteurs et photo du Prol NACA 66instrumenté . . . 78

3.6 Droites d'étalonnage des apteurs de pression. . . 79

3.7 S héma du système de mesureRayons X . . . 81

4.1 Termes sour es pour le pro essusde vaporisation. . . 84

4.2 Termes sour es pour le pro essus ondensation. . . 84

4.3 Champdevitesse durantledéta hementde lapo hede avitation montrant la présen e d'un jet rentrant (image (6)). Loibarotrope ave

α

=8

◦

,

σ

= 1.3,

∆t = 0.018s

,

Re = 800000

,

α

=8

◦

. . . 87

4.4 Evolution de la forme de avité pendant un y le. Cal ul ave la loibarotrope:

α

=8

◦

,

σ

=1.3,

∆t = 0.018s

,

Re = 800000

,

α

=8

◦

. expérimentation :

α = 8

◦

,

σ = 1.27

,

∆t = 0.018s

,

Re = 800000

,

α = 8

◦

. . . 88

4.5 Densitéspe traledepuissan edelasommedes oe ientsde pres-sions des apteurs sur l'extrados . . . 89

4.6 Evolution temporelle de lasomme des oe ients de pression sur l'extrados. Cal ul ave la loi barotrope :

α

= 8

◦

,

σ

= 1.3,

∆t =

0.018s

,

Re = 800000

,

α

=8

◦

. expérimentation :

α = 8

◦

,

σ = 1.27

,

∆t = 0.018s

,

Re = 800000

,

α = 8

◦

. . . 89

4.7 Evolution de la forme de avité pendant un y le obtenu ave le modèle de kunz ave un terme sour e dix fois plus petit que l'ori-ginal.

α

= 8

◦

,

σ

=1.3,

∆

t =0.014s,

Re = 800000

. . . 91

4.8 Evolution de la forme de avité pendant un y le obtenu ave le modèle de kunz ave un terme sour e dix fois plus petit que l'ori-ginal.

α

= 8

◦

,

σ

=1,

∆

t =0.014 s,

Re = 800000

. . . 92

4.9 Rampepolynomialepour

n = 0.3

et

α

min

= 0.01

. . . 94

4.10 Rampepolynomialepour

m = 20

et

α

min

= 0.01

. . . 96

4.11 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Kunz;

α

= 8

◦

,

σ

=1.3,

Re = 800000

. . . 99

4.12 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Reboud;

α

=8

◦

,

σ

= 1.3,

Re = 800000

. . . 100

4.13 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Singhal;

α

= 8

◦

,

σ

=1.3,

Re = 800000

. . . 100

4.14 Evolutions des oe ients de pressions numériques et expérimen-taux . . . 102

4.15 Evolutiontemporelle des oe ients de portan e obtenusave les diérents modèles;

α

= 8

◦

,

σ

=1.3,

Re = 800000

. . . 102

4.16 Evolution temporelle des oe ients de traînée obtenus ave les diérents modèles;

α

= 8

◦

,

σ

=1.3,

Re = 800000

. . . 103

4.17 Comparaison des valeurs RMS des pressions numériques et expé-rimentales . . . 104

4.18 Comparaison des vitesses numériques moyennes à

x/c = 0.7

. . . . 105

4.19 Comparaison des valeurs RMS des vitesses numériques à

x/c = 0.7

105

4.20 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.1

,

α

= 8

◦

4.21 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.2

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 107

4.22 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.3

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 107

4.23 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.4

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 108

4.24 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.5

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 108

4.25 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.6

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 109

4.26 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.7

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 109

4.27 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.8

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 110

4.28 Evolutionstemporellesdespressionsnumériquesetexpérimentales à

x/c = 0.9

,

α

=8

◦

,

Re = 800000

. . . 110

4.29 Fréquen esdesos illationsdespo hesetnombresdestrouhal fon -tions de la longueur maximalede lapo he, Re=800000,

α

=8

◦

. . . 111

4.30 Evolution expérimentale de la forme de avité pendant un y le obtenue ave une améra rapide;

α

= 8

◦

,

V

ref

= 5.33m/s

,

∆t =

0.0025s

. . . 112

4.31 Spe tre du signal de pression au niveau du apteur C3,

V

Ref

=

5; 33m/s

,

α

=8

◦

. . . 113

4.32 Evolution expérimentale de la forme de avité pendant un y le obtenue ave une améra rapide;

α

= 8

◦

,

V

ref

= 5.33m/s

,

∆t =

0.0025s

. . . 114

4.33 Spe tre du signal de pression au niveau du apteur C4,

V

Ref

=

5; 33m/s

,

α

=8

◦

. . . 115

4.34 Spe tres des signaux de pressions,

V

Ref

= 5; 33m/s

,

α

=8

◦

. . . 115 4.35 Positiondes points de mesure des vitesses . . . 117

4.36 Evolutionde (

C

P moyen

+ σ

)en fon tion de

x

c

obtenu expérimenta-lementet numériquement,

α = 6

,

U

∞

= 8m.s

−

₁

,

Re = 800000

. . 118

4.37 Prols de tauxdevidenumériques

α

=8

◦

,

Re = 8000000

,

L/c = 0.8

.123 4.38 Prols de tauxdevidenumériques

α

=8

◦

,

Re = 8000000

,

L/c = 0.8

.125

4.39 Evolution de la forme de avité pendant un y le obtenue ave la loi d'état;

α = 4

◦

7

,

σ

= 1,Re= 900000,

∆t = 0.0125

. . . 126

4.40 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Kunz;

α = 4

◦

7

,

σ

= 1,Re= 900000,

∆t = 0.0125

. . . 127

4.41 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Reboud;

α = 4

◦

7

,

σ

= 1,Re= 900000,

∆t = 0.0125

. . 127

4.42 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Reboud;

α = 4

◦

7

,

σ

= 1,Re= 900000,

∆t = 0.0125

. . 128

4.43 Evolution de la forme de avité pendant un y le obtenue ave la loi d'état;

α = 4

◦

7

,

σ

= 0.8,

Re = 900000

,

∆t = 0.0125

. . . 128

4.44 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Kunz;

α = 4

◦

7

,

σ

= 0.8,

Re = 900000

,

∆t = 0.0125

. . 129

4.45 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Reboud;

α = 4

◦

7

,

σ

= 0.8,

Re = 900000

,

∆t = 0.0125

. 129

4.46 Evolution de laforme de avité pendant un y le obtenue ave le modèle de Singhal;

α = 4

◦

7

,

σ

=0.8,

Re = 900000

,

∆t = 0.0125

. 129

4.48 Comparaisondes prolsdetauxdevidenumériqueset expérimen-taux(L / = 0.9, Vref= 6 m/s). . . 132

4.49 Comparaisondes prolsdetauxdevidenumériqueset expérimen-taux(

L/c = 0.5

,

V

ref

= 6m/s

). . . 134

4.50 Comparaison des valeurs RMS des taux de vide numériques et expérimentales (

V

ref

= 6m/s

,

L/c = 90%

). . . 135

4.51 Comparaison des valeurs RMS des taux de vide numériques et expérimentales (

V

ref

= 6m/s

,

L/c = 50%

). . . 135

4.52 Spe tre nombre d'onde- fréquen e des pressions pariétales expéri-mentales pour

α

= 8

◦

,

σ

=1.27,

Re = 800000

. . . 137

4.53 Spe tre nombre d'onde- fréquen e des pressions pariétales expéri-mentales pour

α

= 8

◦

,

σ = 2

,

Re = 800000

. . . 138

4.54 Spe trenombred'onde-fréquen edespressionspariétalesobtenues ave une loid'état barotropepour

α

=8

◦

,

σ

= 1.3, Re=800000 . 139

4.55 Traitementdusignaldetauxdevidedu apteurN

◦

2ày=14mmet déte tiondesévénementsàhautesvarian eslo ales,

V ref = 6m/s

et

L/c = 0.9

. . . 144

4.56 Représentation temps-espa e de la moyenne onditionnelledes si-gnaux de taux de vide expérimentaux àY=14mm,

V ref = 6m/s

et

L/c = 0.9

. . . 145

4.57 Traitementdusignalde tauxdevideexpérimentaldu apteurN

◦

1 ày=29mmetdéte tiondes événementsàhautesvarian eslo ales,

V ref = 6m/s

and

L/c = 0.9

. . . 146

4.58 Représentation temps-espa e de la moyenne onditionnelledes si-gnaux de taux de vide expérimentaux Y=29mm,

V ref = 6m/s

and

L/c = 0.9

. . . 147

4.59 Prols de vitesse U sur l'extrados du foil onvexe,

V ref = 6m/s

and

L/c = 0.9

. . . 149

4.60 Maillage de la stru ture . . . 157

4.61 Inuen e du maillage sur lesdéformations du foil . . . 159

4.62 Déformation de l'hydrofoil ettension de von-Mises . . . 160

4.63 Variations temporelles du oe ient de portan e et du dépla e-ment du bord d'attaque etdu bord de fuitede l'hydrofoil etleurs densités spe trales. . . 161

4.64 Proto ole expérimental . . . 163

4.65 Mesure des dépla ementsde lase tion du foil . . . 163

4.66 Dépla ements du bord d'attaque et du bord de fuite. Résultats numériques(bleu) etexpérimentaux(rouge) . . . 165

4.67 Densité spe trale du dépla ement du bord d'attaque. Numérique (à gau he) etexpérimentale (à droite) . . . 166

4.68 Dé omposition en modes empiriques du oe ient de pression. . . 170

4.69 Spe tre des IMFs. . . 171

4.70 Evolution de la valeur RMS des IMF en fon tion du numéro de l'IMF. . . 171

4.71 Re onstru tion du signal par séparation des omposantes.. . . 172

4.72 Evolution de la valeur RMS des IMF en fon tion du numéro de l'IMF. . . 173

1.1 Ré apitulatifde quelques résultatsdu ongrèsCAV 2009 . . . 38

4.1 Aperçude quelquesmodèlesde avitationexistantdanslalittérature 85

4.2 Ré apitulatifdes tests de onvergen e . . . 95

4.3 Temps de al ul des diérentsmodèles . . . 98

4.4 Comparaisonsdes résultatsexpérimentauxetnumériquesobtenus ave diérents modèle de avitation(

α

= 8

◦

,

Re = 8000000

). . . . 101

4.5 Portan es, traînéeset nesses obtenus ave les diérents modèles . 103

4.6 Fréquen esdesos illationsdespo hesetnombresdestrouhal fon -tions de lalongueur maximale de la po he,

V

ref

= 8m/s

,

α

=8

◦

. . 114

4.7 Inuen e des onstantes empiriques sur la fréquen e d'os illation et sur la forme de la po he moyenne obtenus ave le modèle de Kunz sur lefoil NACA 66,

α

=8

◦

,

Re = 8000000

,

L/c = 0.8

. . . . 120

4.8 Prols de tauxdevidenumériques

α

=8

◦

,

Re = 8000000

,

L/c = 0.8

.121

4.9 Inuen e de l'exposant de

P − P

v

sur lafréquen e d'os illation et sur laformede lapo hemoyenne obtenusave lemodèle de Kunz sur lefoil NACA66,

α

=8

◦

4.10 Inuen e de l'exposant de

α

l

sur la fréquen e d'os illation et sur laformede lapo he moyenneobtenusave lemodèlede Kunz sur le foilNACA 66,

α

= 8

◦

,

Re = 8000000

,

L/c = 0.8

. . . 124 4.11 Comparaison des ara téristiques obtenues ave diérents

mo-dèles;

α

=4

◦

7;

V

ref

= 6m/s

,

σ = 0.8

. . . 130 4.12 Comparaison des ara téristiques obtenues ave diérents

mo-dèles;

α

=4

◦

7;

V

ref

= 6m/s

,

σ = 1

. . . 130 4.13 Spe trenombred'onde-fréquen edespressionspariétalesobtenues

ave diérentmodèlesde avitationat

α

=8

◦

,

σ = 1.3

,

Re = 800000

141 4.14 Résultats de la moyenne onditionnelle des taux de vides

numé-riques;

V

ref

= 6m/s

and

L/c = 0.9

. . . 148 4.15 Comparaisondes prolsdevitesses numériques(

L/c = 0.9

,

V

ref

=

6m/s

). . . 150

4.16 Comparaison des épaisseurs de jet rentrant numériques adimen-sionnelles(

L/c = 0.9

,

V

ref

= 6m/s

). . . 150

c

Cordedu foil

C

min

Céléritéminimaledu son dans lemélange

C

dest

Constante empiriquedans leterme sour e de ondensation

C

prod

Constante empiriquedans leterme sour e de vaporisation

C

p

Coe ientde pression,

C

p

=

P − P

ref

1

2

ρ

ref

∗ V

2

ref

f

Fréquen e des os illationsde lapo he de avitation

f

v

fra tionmassique de lavapeur

L

Longueur maximalede lapo he atta hée

L

ref

Longueur de référen e,

L

ref

= c

˙

m

+

Tauxde vaporisation

˙

m

−

Tauxde Condensation

V

v

Volume de la phase vapeur dans une ellule

P

Pressionstatique

P

v

Pression de vapeur saturante

R

b

Rayon initialde labulle

Str

Nombre de Strouhal,

Str = f ∗ L/V

ref

t

∞

,

θ

Temps ara téristiques de l'é oulement

T

s

Température de Saturation

−

→

_u

Vitesse lo ale

V

Volume Totald'une ellule

V

ref

Vitesse de référen e (Vitesse à l'entrée)

X

Abs isse le long de la orde

α

Fra tion volumique de vapeur appelée abusivement taux de vide

par la suite

α = V

v

/V

α

l

Fra tion volumique du liquide,

α

l

= 1 − α

γ

Tension de surfa e

ρ

Densité du mélange

ρ

v

Densité de lavapeur

ρ

l

Densité du liquide

ρ

ref

Densité de référen e (Densité du liquide à lasortie)

C

µ

Constante du modèle de turbulen e

σ

Nombre de avitation,

σ =

P

ref

− P v

1

2

ρ

ref

V

ref

2

.

Le phénomène de avitation a une importan e onsidérable dans la on ep-tion et le fon tionnement de nombreux omposants industriels tels que les turbines, les pompes et les propulseurs. Ce phénomène apparaît haque fois qu'un é oulement liquide traverse des zones où la pression lo ale instantanée s'abaissejusqu'au voisinage de lapression de vapeur. La avitation semanifeste le plus souvent par des eets négatifs ( hute de rendement, érosion des parois, bruit,et .)quiae tentplusoumoinsgravementlesperforman es attenduesdes systèmesindustriels. De plus, la avitation est souvent responsabled'instabilités qui ae tent es systèmes. Ces instabilités ont été étudiées expérimentalement par plusieurs auteurs dans diérentes ongurations ([Leroux etal.,2004℄, [Coutier-Delgoshaetal., 2007℄, [Callenaere etal.,2001℄), et numériquement ([Saitoet al.,2003℄, [Coutier-Delgoshaetal., 2003a℄, [Kubota etal., 1992℄), [Chenet Heister, 1995a℄.

Les é oulements avitants sont multiphasiques et sont de e fait om-plexes. De nombreuses études numériques ont été menées sur e phénomène et il est souvent di ile de prévoir et de modéliser de tels é oulements. On peut distinguer deux grandes familles de modèles : les méthodes de suivis d'interfa e ([Shenet Dimotakis,1989℄) et les modèles d'é oulements homogènes ([Merkle et al.,1998℄, [Delannoy et al.,1990℄, [Singhal etal.,2001℄,

de modèles. L'appro he " 1 uide " est alors adoptée. Cette appro he assimile les deux phases du mélangeà un uide homogène, onstitué en partiede liquide et en partie de gaz. Il en résulte pour e uide des propriétés très parti ulières, etnotammentune densitésouvent fortementvariable. Ladi ulté onsiste dans e as à modéliser orre tement es propriétés. Les équations de Navier Sto kes sont résolues pour e uide et sont ouplées soit à une équation d'état qui relie la densitéà lapression soità une équation de transport de taux de vide.

Le travailde thèse s'ins rit dans le adre des travaux de re her he appliquée qui ontlieuauLaboratoirede Mé aniquede Lilleet àl'Institutde Re her he de l'E ole NavaleàLanvéo dansdeux domaines : elui des ma hinestournantes de type turboma hines et elui des héli es marines et appendi es de type surfa es portantes équipantlesnavires (stabilisateurs,safrans...).Cettea tivité fait suite aux travaux ré ents (2002-2003) réalisés à l'ENSTA par O. Coutier-Delgosha dans le adre de son post-do torat, et à l'IRENav par Ja ques André Astol. Ces travauxont permis sur le plan expérimental d'améliorerla onnaissan edes instabilités asso iées à la avitation sur des prols en in iden e, et de mieux appréhender lastru ture de e type d'é oulement diphasique. Une ollaboration a permis d'étudier par une appro he onjointe expérimentale / numérique e type d'é oulement. Certains mé anismes d'instabilité ont ainsi pu être mieux ompris. Des la unes dans la modélisation physique mise en oeuvre ont égale-mentété déte tées,malgrélebona ordgénéralentreexpérien esetsimulations.

L'obje tif de e travail est d'implémenter et de onfronter diérents modèles de avitation entre eux et par rapport à des résultats expérimentaux issus de travaux antérieurs ou réalisés pendant la thèse dans le but d'étudier de façon détaillée les ara téristiques physiques liées aux instabilités de avitation. Pour

sont mises en oeuvre et une omparaison de es modèles est ee tuée. En parallèle,des mesures expérimentales basées sur la mesure de pression pariétale et l'a quisition vidéo sont menées dans le Tunnel de avitation de l'E ole Navale. Cette étude expérimentale est omplétée par l'étude menée par O. Coutier-Delgoshaàl'E ole NationaleSupérieure de Te hniques Avan ées àParis etquiapermis d'obtenirlesprolsde tauxde videinstantanéespar des mesures Rayon X. Enn, une analyse des résultats expérimentaux et numériques par des te hniques originales de traitement du signal de type traitement spé ique en nombre d'onde-fréquen e, analyse onditionnelle et à titre exploratoire la dé ompositionen modes empiriques(EMD) est faite.

Le premier hapitreest onsa ré àla dénition du phénomène de avitation, ses eets et les onditions d'apparition de e phénomène. Nous présentons notamment lesdiérentes formes de avitation etons'intéresse parti ulièrement à la avitation par po he qui fait l'objet de toute notre étude. Suivant sa taille, lapo he atta hée peutêtrestableouinstable.La avitationinstableestmarquée par des pulsations de la po he atta hée et des lâ hés périodiques de nuages de vapeur. Ces nuages sont onve tés puis implosent en induisant des pi s de pressions de grande intensité qui sont souvent responsables de la déstabilisation des avités. D'autresmé anismesde déstabilisationexistenttelsquelaformation d'un jet rentrant qui remonte l'é oulement et entraîne la rupture de la po he atta hée.

Le deuxième hapitre traite la modélisation de la avitation. Une revue bibliographique des modèles de avitation existants dans la littérature est présentée. Une attention parti ulière est portée aux modèles de avitation homogènes pour lesquels le mélange liquide/vapeur est onsidéré omme un

ontrlé soit par une loi d'état barotrope qui relie la densité à la pression soit paruneéquationdetransportdetauxdevideave destermessour esappropriés.

Dans le troisième hapitre, nous présentons les moyens numériques et expérimentaux mis en oeuvre dans notre étude. Les simulations numériques ont été faites ave le ode volumes nis "IZ", propriété du CNES et les mesures ont été menées dans le tunnel de avitation de l'E ole Navale. L'étude a été omplétée par les résultats expérimentaux obtenus à l'ENSTA par [Coutier-Delgoshaet al.,2006℄.

Le quatrième hapitre est onsa ré à la omparaison des modèles de avita-tion homogènes. La dynamique omplexe de la po he de avitation est étudiée numériquement sur la base de diérents modèles de avitation et pour dié-rentes onditions d'é oulement. Deux prols sont utilisés pour ette étude : un foilNACA66012etun foil onvexe.Lesrésultatsobtenusnumériquementave le foil NACA 66sont omparés auxdonnées expérimentalesissues des essais menés dans le tunnel de avitation de l'E ole Navale en terme de omportement de la po he de avitation, de longueur maximale de la po he atta hée, de fréquen es d'os illationsdes po hes etde pressions pariétales. L'étudesur le foil onvexede l'ENSTA est basée sur ladistribution des prols de tauxde vide; es prols ont été obtenusexpérimentalementave des mesures Rayons Xee tuées àl'ENSTA par [Coutier-Delgosha etal.,2006℄.

Dans e hapitre, des te hniques originales de traitement des signaux sont présentées et appliquées aux signaux (de pression, de taux de vide,...) obtenus numériquementetexpérimentalement.Unepremièrete hnique onsisteàfaireun traitement en nombre d'onde fréquen e des signaux spatio-temporels (pressions, taux de vide moyens). Cette te hnique est basé sur la transformée de fourrier

permet retrouver les fréquen es ara téristiques des os illations des po hes et de donner une ara térisation spatiale des po hes de avitation. La deuxième te hnique onsiste à faire une moyenne onditionnelle des signaux étudiées (moyenne de phase) dans le but de ara tériser le omportement instable de la po he de avitation. Les vitesses de développement de la po he, des lâ hés de nuage de vapeur et de jet rentrant ont été ainsi al ulées et omparées aux valeursobtenues expérimentalementpar Coutier-Delgoshaetal.àl'ENSTA.Une autrete hnique, basée sur ladé omposition modale des signaux (Dé omposition enModes EmpiriquesouEMD) estprésentée enannexe. Cettete hnique permet d'extrairelesfréquen es ara téristiquesdesos illationsdespo hesde avitation.

Enannexe,une étudede l'intera tionuide-stru ture est présentée. Les har-gementsen pressionobtenusnumériquement ave le ode de al uluideont été appliqués à la stru ture et un al ul solide a été fait ave CASTEM et les dé-formations numériques de la stru ture ont été omparées aux résultats obtenus expérimentalement dans le tunnel de avitation de l'E ole Navale. La prise en ompte du ouplage uide-stru ture pourra apporter une amélioration dans la modélisationdes é oulements avitants.

1

LE PHÉNOMÈNE DE CAVITATION

La avitation est un phénomène qui apparaît souvent dans les installations industriellesounavales ommelesturboma hineshydrauliques etleshéli es ma-rines. Il s'agit de l'apparition et du développement d'une phase vapeur dans les zonesd'uné oulementoùlapressionestfaible,endessousd'unepression ritique.

1.1 Aspe ts fondamentaux

Dans les é oulements liquides, la avitation se produit généralement lorsque lapression des end en dessous de la pressionde vapeur saturante; elle peut être observée dansunegrandevariétéde systèmeshydraulique ommelespompes, les inje teurset lespropulseurs marins.

L'intensité de la avitation est déterminée par le nombre de avitation qui représente l'é art entre la pression de référen e et la pression de vapeur satu-rante. L'apparition de la avitation est toujoursliéeàune dépression lo aled'un liquide, elle- ipeut résulter d'uneaugmentationde vitesse lorsd'un ontourne-mentd'obsta leoudu rétré issement delase tiondepassageduuide(venturi). La avitationpeut aussiseproduire lorsqu'unjetliquidepénètredansun liquide

ombustion) : avitation de jet. Le fort isaillement que subit la partie latérale du jet engendre la formation de mi ro-tourbillons au sein desquels la pression est très faible, et peut donner lieu à la avitation. Dans le as des pompes, la avitation peut apparaître entre le sommetdes aubes et le arter extérieur xe, l'é oulement de fuite qui passe par e jeu de la fa e en pression vers la fa e en dépression dé olle sur les arêtes vives des pales, e qui peut provoquer l'appari-tion de vapeur dans ette zone : avitation d'entrefer. La avitation peut aussi apparaître lorsque le uide est soumis à une rotationsur lui-même,il en résulte unefortedépressiondansle entre dutourbillonetpeutaboutiràlavaporisation du liquide : avitation de tourbillon.

La avitation peut être bénéque dans ertaines appli ations, omme la génération de mi ro-bulles pour le nettoyage d'objets ou en tant que atalyseur de ertaines réa tions himiques. Cependant, dans les installations industrielles ou navales, la avitation engendre une baisse des performan es et entraîne des eets indésirables omme l'érosion, le bruit et les vibrations. L'implosion des bulles est responsable de l'érosion des installations. Ces implosions engendrent des températures etdes pressions lo alementtrès élevées etelleesta ompagnée d'une génération de bruit très ara téristique. La avitation peut faire huter brutalementles performan es d'une pompe: hauteur énergétique etrendement.

Le type de avitation est déterminé par plusieurs paramètres : le nombre de avitation , l'état de la ou he limite, l'état de surfa e et la teneur en germes. La gure 1.1 obtenue par [Leroux, 2003℄ montre l'inuen e de l'in iden e et du nombre de avitation

σ

sur le type de avitationobservé : auxfaibles in iden es et à faible

σ

, la avitation est de type bulles, et aux fortes in iden es et à plus haut

σ

,la avitationestdetypepo hes.Pourdes

σ

unpeu plusfaible,despo hes pulsantes peuvent apparaître. Ces onditions sont ara térisées par laformation

d'unjetrentrantquiremontel'é oulementetquiest responsablede laformation d'un nuage de vapeur quiest onve té par l'é oulement.

Figure 1.1 Cartede avitationsurlefoilNACA66,

Re = 800000

Dans le as des surfa es portantes omme les hydrofoils, les indu teurs, les palesd'héli es oude pompes, la avitation peut apparaîtresous formede po hes atta hées; e typede avitation seproduit généralementaubordd'attaqueàdes in iden es pour lesquelles un pi de dépression apparaît sur l'extrados. (Figure 1.2).

Elle peut aussi apparaître sous formede lamentstourbillonnaires avitants. Ces laments résultentdes basses pressions engendrées dans les zones oùla vor-ti itéest fortement on entrée :zones de isaillemententre deux é oulements de vitesses d'ensemble diérentes (sillage de orpsépais oude po hes de avitation,

Figure 1.2 Cavitationparpo heatta héeobtenuesurunfoil onvexe(ENSTA)

1.3), [Fran , 1995℄.

La avitationpeut apparaître sous forme de bulles isolées; es bulles sont is-suesdegermesmi ros opiques ontenusdansleliquide.Cesbullesexplosentdans lesrégionsde basse pressionetimplosentensuitelorsqu'ellesren ontrent un gra-dientde pressionadverse. Lagure (1.4)montre diérentes formes de avitation obtenues à deux instantssur l'extradosd'uneaile. Sur ettegure oexistentdes bullesisolées,desbullesquis'organisentàpartird'unpi de rugositépourdonner un fuseau et des fuseaux quise regroupent pour former des pat hes, es pat hes sont instableset donnent naissan e àdes lâ hés de nuages [Leroux,2003℄.

Figure 1.3 Cavitationdelamentstourbillonnaires avitants.

Figure 1.4 Diérentstypede avitationsurunhydrofoil,é oulementdebasen haut,NACA66,

α = 4.5

,

Re = 800000

(IRENav,[Lerouxetal.,2003℄).

1.2 Cavitation par po he atta hée

1.2.1 Intera tions ou he limite- avitation

La avitation atta hée est ouramment ren ontrée sur les surfa es portantes ommeleshydrofoils,lesindu teurs,lespalesd'héli es oude pompes. Letypede avitation est déterminé par l'état de ou he limite. Pour un prol portant dont onfait varier l'in iden e et àReynolds de l'ordre de

10

5

à

10

6

,la stru ture de la ou helimiteévolueenfon tiondel'in iden e(Figure1.5).Afaiblein iden e(i i inférieureà

5

),la ou he limiteestlaminaire.Plus enaval,la ou he limite lami-nairedé olle;un bulbede dé ollementseforme, suivid'un re ollementturbulent puisd'undé ollementturbulentauniveauduborddefuite.onobservei isouvent une avitation par bulles, es bulles font souvent transiter la ou he limite tur-bulenteet font disparaître le bulbe de dé ollement. on peut aussi observer pour des petits germesde avitationune avitationatta hée de bord de fuite.Lorsque l'in iden e du prolaugmente, le pointde dé ollementlaminaireremontevers le bord d'attaque, il seforme un bulbede dé ollement laminaire.On a dans e as une po he atta hée. On peut aussi obtenir une po he atta hée en ou he limite toute turbulente, 'est le as des po hes atta hées observées dans notre étude. En présen e d'une ou he limite turbulente, la avitation peut apparître sous formedespots isolésquis'amalgamententre euxpourformerune po he atta hée [Du oin, 2008℄.Pour des in iden esplusélevées, lebulbede dé ollementdiminue en tailleprogressivement,jusqu'à e quele dé ollement turbulentse produiseau voisinagedu bord d'attaque : 'est le dé ro hage.

Figure 1.5 États de la ou he limite en fon tion de l'in iden e du prol, Re=750000.(d'aprèslestravauxde[Du oin,2008℄).

1.2.2 Instabilité de la avitation

Dans les premières phases du développement de la po he de avitation, la positiondupointdefermeturevariepeuetla avitéestsouvent onsidérée omme stationnaire. En revan he, quand la avité s'allonge, les variations de la zone de fermeture augmentent progressivement onduisant à des instationnarités et souvent à une déstabilisation de la avité. La po he instable os ille entre une petite et une grande avité et le pro essus de déstabilisation est a ompagné d'un lâ hé périodique de nuages de vapeur.L'implosionde es nuages induitdes pi sdepressiondehauteintensité.Cespi ssontsouventresponsablesdel'érosion du prol.

Diérents mé anismes de déstabilisation des avitésont été ités dans la lit-térature :lagénérationd'ondes de ho lorsde l'implosiondes nuagesde vapeur, la formation et l'ampli ationd'instabilités au sein de la ou he de isaillement se développant à la surfa e de la avité, la transition entre avitation partielle et super avitation, et la formation d'un jet-rentrant qui remonte vers le bord d'attaqueet entraînela rupture de lapo he etla formationde po hes de vapeur ([Jousselin et al.,1991℄, [Stutz etal.,1997℄, [Callenaere etal., 1998℄).

Lagure(1.6)montrel'évolutiontemporelledelapo hede avitationsurun prol NACA66. Ces imagessont obtenues ave une amérarapideà2000 images par se ondes. On observeun omportementinstable ara térisé par laformation et le développement de la po he (photos 1 à 5)jusqu'à une longueur de

50%

de la ordesuivieparledéveloppementd'unjetrentrant(photos6et7)responsable du déta hement de la po he et de la formation d'un nuage de vapeur (photos 8 et 9).

Lavariétéde es mé anismespossiblesvientdu faitquele omportement dy-namique de la avitation partiellefaitappelàdes ara tères plus oumoins

om-Figure 1.6 Evolution expérimentale de la po he de avitation sur un prol NACA66,

α = 8

,

Re = 800000

,

∆t = 5 ∗ 10

−3

s

,é oulementduhautverslebas.

de zones de transition, laprésen e de zones de dé ollementet de re ollement, la présen e de stru tures tourbillonnairesou laprésen e de surfa e déformable.

[Kubota etal., 1992℄montrentque la avitation de type nuage peut provenir du dé ollement et de l'enroulement de la ou he limite au bord d'attaque de la avité. Ce phénomène onduit à une instabilité de la ou he de isaillement se développant à la surfa e de la avité, instabilité qui oupe la avité en deux donnantnaissan eàlaformationd'unnuagedevapeur onve téparl'é oulement. [Leet al.,1993℄ont onstaté quel'instabilitéd'une avitéest liéeàsonépaisseur. Pour une avité épaisse, un jet rentrant peut apparaître àune ertaine longueur de avité et ontribuer au déta hement d'une grande po he de vapeur. Dans le as d'une avité min e, le ontre é oulement est réduit à une petite région près

signi ative.[ Kawanamiet al.,1997℄sesontintéressésaunuagede vapeuretont démontré qu'ilexiste un lienentre lejet rentrantetlenuage onve té.Lavitesse du jet rentrant est du même ordre de grandeur que elle de l'é oulement. Un petit obsta le pla é au niveau de la n de la avité de po he était apable de bloquer le jet rentrant empê hant de e fait la formation du nuage de vapeur. [Pahm et al.,1999℄ ont montré que les fréquen es du jet rentrant sont égales aux fréquen es du lâ her de nuage déterminées par les mesures de pression e qui montre que le lâ her de nuage est réellement onduit par le jet rentrant. [Arndt et al.,2000℄ se sont intéressés à la transition de la avitation par po he au nuage de vapeur à l'aide d'une appro he expérimentale /numérique. Ils ont onstaté quelesos illationsde portan einduitesparla avitationsontfortement périodiques etles ara téristiquesdu spe tre hangent onsidérablementsur une gammede

1 <

σ

2α

< 8.5

.Troistypesde omportementos illantsont notés.Pour

1 <

σ

2α

< 4

, un pi spe tral de forteamplitude existe à un nombre de Strouhal de 0.15 environetilest indépendant du nombre de avitation.Pour

4 <

σ

2α

< 6

, ilobtientunefréquen eplus élevée,maisun pi spe tralplus faible.Lafréquen e de e pi est presqueune fon tionlinéairedunombre de avitationet orrespond à un nombre de Strouhal onstant, basé sur la longueur de avité égal à de 0.3. Pour

6 <

σ

2α

< 8.5

, la avitation de bulles peut se produire. Ils ont aussi remarquéquepourlesvaleursélevées de

σ

2α

,laphysiquedujetrentrantdomine, alors que pour les valeurs basses de

σ

2α

, les phénomènes d'onde ho dominent. [Sakodaet al.,2001℄ontutiliséunfoiltransparentetune amérahautevitesseet ontobservéque lejetrentrant peut démarreràun point quel onquede lapo he. Deuxjetsrentrantpeuventapparaîtredansun y le.Silejetrentrantest produit en amont,savitesse estplus basseques'ilest produit en aval.[Leroux, 2003℄ont ee tué une re her he numérique et expérimentale, dont l'obje tif prin ipal est de omprendre les mé anismes des instabilités dans des é oulements avitants partiels.Deux omportementstrèsdiérentsde avitationde nuage sontobtenus

Ungrand lâ her périodique de nuage de vapeur à un nombre de Strouhalde

0.

3 a été observé pour l'angled'attaque 8, alors quele pro essus est plus omplexe et le nombre de Strouhal est sensiblement inférieur

0.08

pour l'angle d'attaque 6. Cette baisse de fréquen e est due à l'importan e de l'onde de pression due au ollapse de nuage dans le as à 6, et qui est responsable de la disparition soudaine de la avité résiduelle atta hée.

1.2.3 Modélisation de la avitation par po he

Les é oulements avitants sont des é oulements omplexes qui font interve-nir deux phases : le liquide et le gaz. La modélisation de tels é oulements doit tenir ompte de plusieurs paramètres omme la ompressibilité des uides, la turbulen e, les transferts de masse... Il paraît don très di ile de trouver une modélisation de manière appropriée qui prend en ompte tous es fa teurs. Le type de modélisation dépend de la nature de la po he de avitation. Celle- i peut être soit stable soit instable. Dans le premier as, la longueur de la po he atta hée reste pratiquement onstanteau ours du temps et les u tuations ap-paraissent seulementdans lazonede fermeturede lapo he. Lespo hes instables sont ara térisées par des longueurs de po he variables au ours du temps. Ces po hes instablessedéta hent périodiquementetdonnent naissan e à des nuages de vapeur qui sont onve tés dans le sillage des po hes. La super avitation ap-paraît lorsque la longueur de la po he dépasse la longueur du prol. Dans le as d'une po he stable, elle- i a souvent été assimilée à une grosse bulle ave une interfa e liquide/vapeur et la pression à l'intérieur de la bulle est onsidéré omme onstante et elle est égale à la pression de vapeur. Ce type de modéli-sation in lut les modèles basés sur des é oulements potentiels ([Brennen, 1969℄, [Furnesset Hutton, 1975℄, [Kinnaset Fine,1993℄, [Lemonnier etRowe, 1988℄ ). Ces modèles sont apables de prédire la forme de la po he de avitation et de

quementdans le as de po he quasi-stationnaireet àdes al uls2D.

Une stratégie alternative est de traiter les é oulements avitants omme un mé-lange homogène. On néglige le glissement possible entre le liquide et la vapeur et on onsidère le mélange omme un uide unique qui satisfait aux équations de Navier-Stokes. Un modèle de turbulen e peut être fa ilement in lus. Ave e typede modélisation,onest apablede reproduirele omportementinstabledes po hes de avitation. Le ongrès CAV 2009 qui a eu lieu à Ann Arbor dans le Mi higanmontrequelquesrésultatsobtenusave diérentsmodèlesde avitation homogènes et ave diérents modèles de turbulen e. Un ré apitulatif des dié-rentes études de e ongrès est représenté par le tableau1.1. [Wang etal., 2009℄ ontmené une étudenumérique etexpérimentale de la avitationinstable.Ils ont utiliséle modèlede avitation de Saito[Saito et al.,2003℄etlemodèlede turbu-len e

kǫRNG

. Ils ont montré que la présen e d'un gradient adverse de pression donne naissan e à un jet rentrant responsable du déta hement de la po he at-ta hée etla formation d'un nuage de vapeur. [Hoekstar et Vaz, 2009℄ ont étudié numériquement la avitation partielle sur un foil NACA 15 in liné à 6. Ils ont utilisé le modèle de avitation de Sauer [Saueret al.,2001℄. Ils ont montré que dès l'apparition de la avitation,une po he atta hée min e est formée auniveau du bord d'attaqueet elleest transporté par l'é oulementjusqu'au bord de fuite. Lorsqu'on diminue le nombre de avitation, la avité se développe et une zone de re ir ulation apparaît au niveau du bord de fuite. Si on ontinue à baisser le nombre de avitation, la zone de re ir ulation devient plus importante et le point de réatta hement se dépla e en amont à ause de l'augmentation de la taille de la po he. [Kim, 2009℄ a utilisé le modèle de Sauer et a omparé dié-rents modèles de turbulen e sur le foil NACA 15. Le omportement instable de lapo heinstableaété orre tementpréditparlesappro hes RANS,LESetDES (présen e d'un jet rentrant, déta hement de lapo he atta hée etformation d'un nuage de vapeur). Cependant, les al uls RANS manquaient de pré ision dans

portan eet de traînée.[Seo et al.,2009℄ ont étudiénumériquement la avitation partiellesur un prol NACA66. Le modèle de Saito a été utilisé et les résultats numériquesontété omparésauxrésultatsobtenupar[Leroux, 2003℄.Deux om-portementsdiérentsde la avitationontété obtenusnumériquementauxangles d'attaque6et8 onformémentà l'étudede J. B. Leroux etle jet rentrant, res-ponsable du déta hement de la po he a été observé. [Hejranfar etHesary, 2009℄ ontutilisé lemodèlede Kunz[ Kunz etal.,2003℄pourétudiernumériquementla avitationatta hée sur deux prols: un prol NACA0012 etun prol NACA66. Lesrésultatsobtenusave lepremierprol ont été omparés à eux obtenus par [Deshpande et al.,1994℄et euxobtenusave leprolNACA66ontété onfrontés auxrésultatsnumériquesde [Deshpande etal.,1994℄et auxdonnées expérimen-tales de [Shen etDimotakis,1989℄. Un a ord entre les diérents résultats a été obtenuen terme de distributiondes pressions pariétales. [Liet al.,2009℄ ont uti-lisélemodèledeSaueretontintroduitunmodèle

SST K −ω

modiépourétudier la avitation autour un foil NACA0015. Ce modèle de turbulen e fait intervenir unevis ositéturbulente

µ

t

fon tiondeladensité

ρ

paranalogieàlaformulationde [Coutier-Delgoshaetal., 2003b℄:

µ

t

= f (ρ)C

ω

k

ω

où

f (ρ) = ρ

v

+

(ρ − ρ

v

)

n

(ρ

l

− ρ

v

)

(

n − 1)

. Le modèle

SST k

ω

standard était in apable de reproduire le omportement in-stable de la po he de avitation. Lesrésultats numériques ont été omparés aux données expérimentales et un a ord a été obtenu entre es résultats en terme de fréquen e et d'évolution de la portan e et la traînée. [Peng et al.,2009℄ ont étudié numériquement et expérimentalement la avitation instable autour d'un foil NACA0012 et d'un foil NACA16012. Le modèle de avitation de Merkle a été adopté pour les simulations et un système PIV résolu dans le temps a été utilisépour lesmesures. Le omportementinstable de lapo he a été bien prédit numériquement, les fréquen es d'os illation de la po he étaient en a ord ave l'expérimentationetlejetrentrantaété misen oeuvre. Ilaété observéquelejet rentrant n'est pas onstitué uniquement de liquide mais d'un mélange liquide/

Auteur Prolétudié Modèlede avitation Objetdel'étude Wang Clark-Y Modèlede Saito Le jetrentrant

Hoeskstra NACA15 Modèlede Sauer La zone de re ir ulation Kim NACA15 Modèlede Sauer Comparaison dediérents

modèles de turbulen e Seo NACA66 Modèlede Saito Instabilitéde avitation

à 2in iden es 6et 8 Hejranfar NACA66 Modèlede Kunz La avitation atta hée

NACA0012

Li NACA0015 Modèlede Sauer Instabilitéde avitation Peng NACA0012 Modèlede Merkle Instabilitéde avitation

NACA16012

2

MODÉLISATION DE LA CAVITATION

Des études numériques de la avitation ont été poursuivies depuis plusieurs dé ennies, mais il est toujours très di ile de prévoir les é oulements avitants instableset omplexes. Cesétudespeuventêtre répartiesprin ipalementen deux atégories : les méthodes de suivis d'interfa e ([Shen etDimotakis,1989℄) et les modèlesd'é oulements homogènes([Merkle etal.,1998℄,[Delannoy etal.,1990℄, [Singhaletal., 2001℄). Dans la première atégorie, on onsidère que la pression dans la avité est onstante et égale à la pression de vapeur du liquide or-respondant, les al uls sont faits uniquement pour la phase liquide. Dans la deuxième atégorie, l'appro he 1-uide est utilisée. Les transferts de la masse et de quantité de mouvement entre les deux phases sont ontrlés soit par une loi d'état barotrope soit par une équation de transport de taux de vide. Dans la présente étude, l'attention est on entrée sur les modèles homogènes, ette atégorie a démontré pendant les 20 dernières années ses apa ités à repro-duire les ara téristiques prin ipales des é oulements avitants instables. Dié-rents termes sour esde l'équationde transport de tauxde videont été proposés dans la littérature, mais souvent, ils ont été appliquées à diérentes ongura-tions d'é oulement. Il est don di ile de faire des omparaisons dire tes entre les modèles. Néanmoins, le inquième olloque international sur la avitation

diérentsmodèles([Saito etal., 2003℄,[Qin et al.,2003℄,[Frobenius et al.,2003℄, [Coutier-Delgoshaet al.,2003a℄) appliquésauprol test (Figure2.1). Ce foil est déni par :

y

c

= a

0

r x

c

+ a

1

x

c

+ a

2

(

x

c

)

2

_{+ a}

3

(

x

c

)

3

_{+ a}

4

(

x

c

)

4

ave

a

0

= 0.11858

,

a

1

= −0.02972

,

a

2

= 0.00593

,

a

3

= −0.07272

,

a

4

= −0.02207

, sa orde est de

0.10m

et l'angle d'attaque est de

7

. L'épaisseur maximaledu foil est

12%

de la

orde et lerayonde ourbure aubord d'attaqueest de

0.703

de la orde.

Figure 2.1  Foiltestdu ongrèsCAV2003

L'étude est basée sur l'appro he 1-uide asso ié aux équations RANS (Rey-nolds Averaged Navier-Stokes) : le mélange liquide/vapeur est onsidéré omme un uideunique à densité variable.

2.1 Equations du mouvement :

Les équations de ette appro he sont ré apitulées dans [Coutier-Delgoshaetal., 2007℄et sont présentées su in tement i-dessous.

2.1.1 Bilan de masse dans un volume V :

On onsidère un volume V au sein d'un é oulement diphasique. Ce volume ontient un mélange de liquide et de vapeur qui évolue au ours du temps. On appelle

V

v

et

ρ

v

respe tivement le volume de vapeur et sa densité ,

V

l

et

ρ

l

le volume de liquide etsadensité.

L'équation de onservation de la masse de vapeur sur le volume V s'é rit :

∂α

∂t

+ ∇.(α.~

U

v

) =

A

V.ρ

v

(2.1)

Où A est un terme d'apport ou de disparition de masse de vapeur lié aux phénomènesde vaporisationet de ondensation à l'intérieur de V. C'est un ux de masse.

Etde lamême manière,onpeuté rire l'équationde onservation de lamasse de liquide sur le volumeV :

∂

∂t

(1 − α) + ∇.((1 − α).~

U

l

) = −

A

V.ρ

l

(2.2)

2.1.2 Bilan de quantité de mouvement dans le volume V :

Le bilan de Qdm pour la phase vapeur s'é rit :

∂

∂t

(α~

U

v

) + ~

∇(α~

U

v

⊗ ~

U

v

) =

α

ρ

v

~

∇π

v

+

~

B

V ρ

v

(2.3)

~

Etde lamême manière,on é rit lebilan de Qdm pour laphase liquide :

∂

∂t

((1 − α)~

U

l

) + ~

∇((1 − α)~

U

l

⊗ ~

U

l

) =

1 − α

ρ

l

~

∇π

l

−

~

B

V ρ

l

(2.4)

Le terme

B

~

est omposé d'une part des é hanges de quantité de mouvement dire tementliés aux transferts de masse dans le as de la avitation, etd'autres part des é hangesliésaux eorts exer éspar ha un des deux uidessur l'autre.

2.2 Représentation 1-uide de la avitation :

Ondénitunedensitéetune vitessemoyennedumélangediphasique ontenu dans le volume V respe tivement par

ρ = αρ

v

+ (1 − α)ρ

l

et

ρ~

U = αρ

v

U

~

v

+ (1 −

α)ρ

l

U

l

.

L'é oulement diphasiqueest don onsidéré omme un uide unique que l'on modélise à l'é helle du volume V par sa densité

ρ

, sa vitesse

U

~

et la vitesse de glissement

−−→

∆U = ~

U

v

− ~

U

l

. En supposant qu'il n'y a pas de glissement entre la phase vapeur et la phase liquide, e qui implique

U

v

= U

l

= U

et

π = π

v

= π

l

, onaboutit àun systèmede 4 équationsà 4in onnues.

Equationsdu bilan de masse :

∂ρ

∂t

+ ∇.(ρ.~

U ) = 0

(2.5)

∂α

∂t

+ ∇.(α.~

U ) =

A

ρ

v

V

= A

′

(2.6)

Equationsdu bilan de quantité de mouvement :

∂

∂(ρ~

U )

∂t

+ ∇(ρ~

U ⊗ ~

U ) =

ρ

ρ

v

(~

_{∇π −}

UA

~

V α

+

~

B

V α

)

(2.8)

Cette équationest redondanteave l'équation2.7 si

ρ

ρ

v

(~

_{∇π −}

U A

~

V α

+

~

B

V α

) = ∇π

(2.9) Enpratique,leséquations2.5et2.7(équations lassiqueRANSpourun é ou-lementà 1uide) sont ouplées soitàune équation supplémentaire de transport detauxde vide2.6 soitsimplementàune loid'étatbarotropequirelieladensité àla pressionlo ale.

2.3 Modèles de avitation :

2.3.1 Introdu tion :

Deux grandes famillesde modèles sont utilisées en avitation : une première famille omportelesmodèlesmonophasiquesàsuivid'interfa e, es modèles per-mettent un al ul externe de lapo he onsidérée omme un volume de gaz pur, son utilisationest de e fait limitéeà de simplesproblèmes.

La deuxièmegrandefamille omporte lesmodèlesde mélange, le mélangeest supposé homogène ave une masse volumique équivalente :

ρ

m

= α

l

ρ

l

+ α

v

ρ

v

.

Cette famille est omposée de deux sous-familles de modèles : les modèles à loi d'état et les modèles basés sur les équations de transport. L'ensemble de es modèles est de type 1-uide; Les modèles 2-uides sont rarement utilisés; es modèles onsidèrent la phase liquide et la phase vapeur non mis ibles et les équations de ontinuité et de quantité de mouvements sont é rites pour haque

2.3.2 Modèles à suivi d'interfa e :

Cesmodèlesne s'intéressentqu'àl'é oulementexterneetignorentlastru ture internede lapo he.Ilssontpeu adaptésauxé oulementsinstablesave lâ hésde nuage et sont utilisés en général dans le as de po hes atta hées. Ils permettent de prévoir,en fon tion du gradientde pression, la formemoyenne de po he.

La plupart des modèles emploient un pro édé itératif basé sur la ondition d'équilibre statique de l'interfa e liquide-vapeur pour une bulle : [Ait Bouziad, 2005℄

p

l

= p

g

+ p

v

−

2S

R

0

(2.10)

Sétant latension de surfa e et

R

0

lerayon initialde labulle.

Le domaine est divisé en deux régions et l'interfa e est déformée de manière itérative jusqu'à onvergen e (

p = p

v

à l'interfa e liquide-vapeur si onnéglige la tensionsuper ielleetles ontributionsdugazinerte).A haqueitérationlaforme duprolest modiéeetdomaineestainsiremaillé.Pourunnombrede avitation donné, l'épaisseur modiée de la avité au temps

t

′

= t + 1

orrespondant à

l'abs isse

ξ

le long de laligne de ourant (streamline)

η

est donné par :

~e (ξ, η, t

′

) = ~e (ξ, η, t) + λC

2

[C

p

(ξ, η, t) + σ] .~n (ξ, η, t)

(2.11)

où

~n

est leve teurnormalàl'interfa ede avitéaupoint(

ξ

,

η

,t)et

λ

estune fon tion de onnement de l'é oulement (ow onning),

C

2

est un fa teur qui dépend du oe ient de relaxation

C

1

donnépar [

C

p

(ξ, η, t) + σ

℄ et la ourbure

C

2

=

2 − 2

(1−C

1

)



1 + R (ξ, η, t)

[0 ≤ C

2

≤ 1]

C

1

= 1

si

|C

p

(ξ, η, t) + σ| > S

cp

C

2

=

2 − 2

(1−C

1

)



1 + R (ξ, η, t)

[0 ≤ C

2

≤ 1]

C

1

=

|C

p

(ξ, η, t) + σ|

S

cp

si

|C

p

(ξ, η, t) + σ| ≤ S

cp

(2.12) où

S

cp

=

s

1

L

c

Z

L

c

0

δ(ξ, η, t) − δ(ξ, η, t)

2

dξ

ave

δ (ξ, η, t) = C

p

(ξ, η, t) + σ

et

δ (η, t) =

1

L

C

Z

L

C

0

δ (ξ, η, t) dξ

Le ritèrede onvergen e peutêtredénitenxantunevaleur

ε

telque:

S

cp

<

ε

.Ilexistediérentesméthodede al uld'interfa e,onpeut iterlaméthodeVOF

(volumeofuid),laméthodeLevelSet MarkerParti les,laméthode Markerand Cell (MAC) etla méthode Surfa e-Fitting [Saueret S hnerr 2000℄.

La méthode VOF :

Considérons un é oulement ontenant deux uides non mis ibles,de densités diérentes onstantes. La méthode VOF onsiste à dénir une fon tion ara té-ristique onve tée par l'é oulement. Cette fon tion est singulière à l'interfa e et représente pour haque ellule la fra tion volumique o upée par un des deux uides:

c (t, x) = 1

dans le uide1

c (t, x) = 0

dans le uide2

[ρ (t, x) = c (t, x) ρ

1

+ (1 − c (t, x)) ρ

2

]

On al uleleséquationsdeNavier-Stokesdanstoutledomaineetoné rit l'équa-tion d'adve tion de :

∂c

∂t

+ ~u∇c = 0

(2.14) Après adve tionde ,ilfautre onstruirel'interfa edanslesmaillesoù

0 < c < 1

. Il existediérentstypesd'algorithmesde re onstru tion etladiéren eentre es algorithme onsiste dans la façon de al ulerla formegéométrique de l'interfa e dans une ellule :

-le VOF SLIC (Simple Line Interfa e al ulation) : la re onstru tion de l'in-terfa e se faitpar des segments horizontauxou verti aux)

-le VOF PLIC (Pie ewise Linear Interfa e Segments) : la re onstitution de l'interfa e se fait par des lignes droites d'in linaisons arbitraires déduites de la distribution du liquide dans les ellulesavoisinantes.

-leVOFLSM(LeastSquaresMethods) :lare onstitutiondel'interfa esefait par la méthode des moindres arrés.

La méthode Level Set Marker :

Leprin ipede etteméthode est de dénirune fon tiondistan e àl'interfa e quiest adve tée par l'é oulement :

φ (t, x) < 0

dans le uide1

φ (t, x) > 0

dans le uide2

φ (t, x) = 0

à l'interfa e

(2.15)

L'interfa e sedépla eave lesparti ulesuides etl'évolutionde

φ

est donnée par :

∂φ

∂t

+ ~u∇φ = 0

(2.16) Lamassevolumiqueetlavis ositésontsupposées onstantesdanslesdeuxuides, etdon prennent deux valeurs dépendant du signe de

Φ

:

ρ (φ) = ρ

g

+ (ρ

l

− ρ

g

) H (φ)

et

µ (φ) = µ

g

+ (µ

l

− µ

g

) H (φ)

(2.17)

H (φ)

étantla fon tion de Heaviside, déniepar :

H (φ) = 0

si

φ < 0

H (φ) =

1

2

si

φ = 0

H (φ) = 0

si

φ > 0

(2.18)

La méthode Marker and Cell (MAC) : [Li, 2006℄

Ellea été initialementdéveloppée par [Harlowet al.,1965℄ en tant que om-binaison entre une résolution eulérienne de l'é oulement etle suivi de parti ules marqueurs lagrangiennes au sein du liquide an de le distinguer du gaz. Elle a été peu utiliséeà ause de son oût (numériquement) élevé.Un des avantagesde ette méthode est sa apa ité à déte ter des formes extérieures très omplexes. Lapositionduuideestdéterminéeparunensemblede parti ulesmarqueursqui se dépla ent ave le uide.L'évolution des surfa es est al ulée en déplaçant les marqueurs selon des vitesses lo ales du uide. Lagure 2.3 montre un problème typique qui peut être résolu ave laméthode MAC.

2.3.3 Modèles à loi d'état :

Ce modèle onsidèreleuide ommeun mélangehomogèneàdensitévariable

ρ

reliéesouventàlapressionparune relationd'étatouparun diagrammed'état.

On néglige les eets thermiques et le omportement du milieu diphasique est onsidéré ommeisotherme (les variationsde température sont très faibles).

La densitéde mélangeest dénie par :

ρ = αρ

v

+ (1 − α) ρ

l

où

ρ

l

et

ρ

v

sont respe tivement lafra tionvolumique de liquideetde vapeur. Lafra tion volumiquede vapeur est reliée àla densitépar :

α

v

=

ρ − ρ

vl

ρ

v

− ρ

l

Le système est alors représenté par les équations de Navier-Stokes pour un mélangehomogène auxquelles onajouteune équationd'état reliantlapressionà ladensité.

∂ρ

∂t

+ ∇ (ρ.U) = 0

(Équationde masse du uide)

∂

∂t

(ρU) + ∇ ρU

2

_{= ∇π}

(Équation de quantité de mouvement du uide)

ρ = ρ (p)

(Loid'état du uide)

(2.19) Leuideest supposé monophasiqueave unedensitévariableselonune équa-tiond'étatbarotropebasésurlavitessedesondumélange,ellerelielesvariations de ladensité du uide aux u tuations de pression.

Loi d'état in ompressible : (Figure 2.4)

Elleaétéinitialementproposéepar[Delannoy etal., 1990℄et onsisteà onsi-dérer les zones de vapeur pure et de liquide pur (régions de l'é oulement où la

zones in ompressibles et sont représentées par des droites horizontales sur la ourbe(P,

ρ

). La zone entrale est représentée par une fon tion sinus.

ρ = ρ

v

+ ∆ρ



1 + sin

 P − P

v

∆ρc

2

min



ave

∆ρ =

ρ

l

− ρ

v

2

(2.20)

Cette équationest valable pour des valeurs de pression omprises entre

P

v

−

∆P

et

P

v

+ ∆P

,ave

∆P =

π

2

∆ρc

2

min

La pente maximale de la loi barotrope est égale à,

1

c

2

min

où

c

min

est la élérité minimale du son pour un taux de vide

α = 0, 5

. Elle est don ara téristique de la ompressibilitémaximaledu uide.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

200

400

600

800

1000

1200

P (bar)

ρ

(Kg/m

3

)

Mélange

Liquide pur

Vapeur pure

P

vap

Figure 2.4 Loid'étatbarotrope,

c

min

= 1.5m/s

.

Ladi ultémajeuredel'utilisationde etteloi onsisteàgérersimultanément dans l'é oulement des zones in ompressibles (vitesse très faibles, vitesse du son innie)etdeszonesfortement ompressiblesquipeuvent orrespondrelo alement à un é oulement transonique (vitesses toujours faibles, vitesse du son de l'ordre

Loi entièrement ompressible :

La loi initiale a été légèrement modiée, de manière à reproduire la faible ompressibilitédelavapeuretdu liquide.Lesvitessesduson nesontplusinnies dans es milieux mais plus réalistes. On applique la loi des gaz parfait pour la vapeur et laloide Tait([ Knapp etal.,1970℄) pour le liquide :

P

ρ

= Cste

(Loides gaz parfait)

ρ

ρ

ref

=

n

s

P + P

0

P

ref

+ P

0

(Loi de Tait) (2.21)

où

P

ref

et

ρ

ref

sont une pression etune densité de référen e. Pour l'eau,

P

0

= 3.108

et n=7 (Knapp et al.,1970).

Autres modèles à loi d'état :

- Modèle proposé par [S hmidt etal., 1999℄ (Figure2.5)

La élérité du son peut être exprimée par l'expression donnée par [Wallis,1969℄ :

C =

v

u

u

t

1

(α.ρ

v

+ (1 − α) .ρ

l

) .



α

ρ

v

.C

v

2

+

(1−α)

ρ

l.

C

l

2



(2.22)

C

v

et

C

l

sont les vitesses de son dans lesphases pures,

α

est le tauxde vide.

En supposant que les vitesses de son sont onstantes dans la vapeur et le liquide saturé,on peut exprimer lapression en fon tion du taux de vide :

P = P

_l

sat

+ P

vl

log



ρ

v

C

v

2

(ρ

l

+ α (ρ

v

− ρ

l

))

ρ

l

(ρ

v

C

v

2

− α (ρ

v

C

v

2

− ρ

l

C

l

2

))



(2.23)

P

vL

est une fon tion des propriétés du uide: