Quantique

OUVERTURE AU MONDE QUANTIQUE

Images de virus bactériophages T4 obtenues en microscopie électronique à transmission et image

montrant plusieurs cellules d'E.coli (bactéries) infectées par de nombreux phages T4.

C’est grâce aux propriétés « ondulatoires » des électrons que l’on a pu obtenir ces images

impressionnantes !

«  Je crois pouvoir dire s a n s r i s q u e d e m e tromper que personne ne comprend la mécanique quantique… »

1 - Dualité onde-particule

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 2

La lumière:

onde ou particule ?

Conclusion:

✔  Les photons frappent l’écran

ce qu’indiquent les flashs à

faible intensité.

✔  Les seuls photons qui

atteignent l’écran se trouvent

dans les zones où l’onde

interfère de façon constructive.

✔  Les photons manifestent en

même temps un comportement

o n d u l a t o i r e e t u n

comportement particulaire

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1 - Dualité onde-particule

La lumière: onde et particule

Grandeurs particulaires

Grandeurs ondulatoires

f

= fréquence

λ = longueur d'onde

E

= Energie

p

= Quantité de mouvement

p = h λ

E = hf = hc λ (relation de Planck-Einstein)

Justification:

E

=

mc

1

− v c

( )

= Energie totale d'une particule de vitesse v

p

=

mv

1

− v c

( )

= quantité de mouvement d'une particule de vitesse v p ≈ mv si v ≪ c

(

)

⎫

⎬

⎪

⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⇒ E = pc

( )

+ mc

( )

Pour un photon de masse nulle v

⇒ E = pc

( )

+ 0 × c

(

)

_{= pc}

( )

_{= pc}

Avec la relation de Planck-Einstein E

= hf = hc

λ

⎫

⎬

⎪

⎭⎪

⇒ p =

h

λ

1 - Dualité onde-particule

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 4

Exercice d’application 1: Changement de masse du soleil

Chaque seconde le soleil émet d’énergie principalement sous forme de rayonnement (photons) visible, infrarouge et ultraviolet. Estimer le changement de masse du soleil par seconde résultant de cette émission d’énergie. Estimer le nombre de photons émis chaque seconde (on suppose que les photons ont une fréquence de ).

Exercice d’application 2: Rayonnement gamma absorbé issu de l’environnement

Nous sommes continuellement soumis à des rayonnements gamma de longueur d’onde issus de l’environnement, de la nourriture absorbée, du rayonnement cosmique etc… Chaque année, nous absorbons en moyenne de ces radiations par kilogramme. Estimer le nombre de photons absorbés chaque seconde pour un individu de 70 kg durant une année.

3,8 × 1026 J

1014 Hz

λ = 6 × 10−13 m

1 - Dualité onde-particule

Les électrons: onde ou particule ?

Conclusion:

✔  Les électrons, ainsi que toute particule, exhibent des propriétés ondulatoires (hypothèse de Louis

De Broglie).

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 6

1 - Dualité onde-particule

Les électrons: onde et particule ?

Grandeurs ondulatoires

Grandeurs particulaires

f

= fréquence

λ = longueur d'onde

E

= Energie

p

= Quantité de mouvement

λ = h p

f

= E h

⎫

⎬

⎭

relations de Louis de Broglie

h = constante de Planck=6,63 ×10−34 J.s

Notes:

On peut aussi écrire la relation de Louis de Broglie sous sa forme vectorielle:

avec ! ≡ h 2π = 1,0 ×10

_J.s

_et

_k

_{le vecteur d'onde tel que k}

_{= 2}

_{π λ et}

de direction la direction de propagation de l'onde (ou de la particule)

p

→

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1 - Dualité onde-particule

Exercice d’application 3: Longueur d’onde d’électrons non relativistes

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

1-Sources et effet d’un champ magnétostatique

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 8

2 - La fonction d’onde

✓

Introduction

P x

( )

≡ densité de probabilité en m

= probabilité de trouver la particule

en x à

δx près à un instant donné

=probabilité par unité de longeur

Probabilité (en x à

δx près)

=

ψ x

( )

δx = P x

( )

δx

On considère l’expérience d’interférence d’électrons de la figure

ci-contre. Le module carré de la fonction d’onde va nous renseigner sur la

probabilité de présence de l’électron en un endroit donné à un

instant donné:

✓

Interprétation physique

En physique quantique, les particules sont entièrement décrites par la

donnée d’une fonction mathématique de l’espace et du temps nommée

la fonction d’onde et universellement notée :

2 - La fonction d’onde

✓

Condition de normalisation

Considérons la figure ci-contre, la probabilité de trouver l'électron

entre x

et x

est obtenu en sommant (intégrant) la densité de probabilité

soit:

Probabilité (entre x

et x

)=

P x

( )

∫

dx

=

ψ x

( )

∫

dx

On est certain, probabilité de 1, de trouver (grâce à un détecteur)

l’électron quelque part entre – l’infini et + l’infini. Cela nous donne la

condition de normalisation à laquelle doit satisfaire toute

fonction d’onde :

Condition de normalisation:

P x

( )

∫

dx

=

ψ x

( )

∫

dx

= 1

✓

Comparaison physique classique - physique quantique

Physique classique- physique du mouvement

Physique quantique-physique probabiliste

x t

( )

est obtenue par application des lois de Newton

(cf. cours de mécanique)

Une particule est décrite par sa fonction d'onde ψ x,t

( )

Une particule est décrite par sa position x t

( )

ψ x,t

( )

est obtenue par résolution de l'équation de

2 - La fonction d’onde

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 10

Exercice d’application 4: Normalisation et interprétation de la fonction d’onde

La figure suivante montre la fonction d’onde d’une particule confinée dans une « boîte unidimensionnelle » entre x=0 nm et x=L=1,0 nm. La fonction d’onde vaut 0 au-delà.

a)  Déterminer la valeur de la constante c pour que la fonction d’onde soit normalisée. b)  Représenter graphiquement la densité de probabilité P(x).

c)  Déterminer la position x telle que l’on ait 50 % de chance de trouver la particule entre 0 et cette position. d)  Calculer la probabilité de trouver la particule à 0,01 nm près en x₁=0,05 nm, x₂=0,50 nm et x₃=0,95 nm.

3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D

On peut illustrer beaucoup de principes de la physique quantique, sans résoudre l’équation de Schrödinger, en

considérant le modèle simple d’une particule de masse m confinée dans une boîte à 1D de longueur L. Il s’agit d’un

premier modèle pour décrire un électron dans un atome, un proton dans un noyau par exemple.

La particule se trouvant dans la boîte, sa fonction d’onde doit être nulle

partout en dehors de la boîte soit:

✓

Quantification de l’énergie

ψ = 0 pour x ≤ 0 et x ≥ L

On admet que la fonction d’onde doit être continue, elle s’annule donc

aussi aux deux extrémités de la boîte. On retrouve les mêmes conditions

que pour une onde stationnaire (cf. figure ci-contre). Cela impose les

longueurs d’ondes possibles:

Condition de l'onde stationnaire

pour une particule dans une boîte de longueur L :

L

= n

λ

2

n

= 1,2,3,...

L’énergie de la particule est entièrement cinétique:

E

=

1

2

mv

₌

p

2

m

⇒ E

=

p

2

m

(

=

)

p

2

m

=

h

λ

( )

2

m

=

h

2

mλ

Avec la condition sur l’onde stationnaire, on arrive à la quantification de l’énergie :

Valeur des niveaux d'énergie (quantification)∗ :

E

= n

h

8

mL

= n

_E

1

avec E

=

h

8mL

(valeur du niveau fondamental)

L’énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes, elle est quantifiée.

A

( )

x

= A

sin

( )

k

x

n

= 1,2,3,... avec A

= cste, k

= 2

π λ

le nombre d'onde et

λ

= 2L n

3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 12

✓

Fonction d’onde stationnaire

L’amplitude des vibrations d’une corde fixe en ses deux extrémités est donnée, comme nous l’avons vu, par:

Par analogie, la fonction d’onde stationnaire est donnée par (la résolution exacte de l’équation Schrödinger donne le

même résultat) :

ψ

( )

x

= A

sin

( )

k

x

n

= 1,2,3,... avec k

= 2

π λ

= 2

π 2L n

( )

= nπ L

On peut donc écrire:

ψ

( )

x

= A

sin

n

_π

x

L

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

avec n appelé un nombre quantique

Exercice d’application 5: Utilisation de la condition de normalisation

En utilisant la condition de normalisation, montrer que:

A

=

2

3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D

Mais elle ne sera jamais là ! Par où passe-t-elle ? La notion de trajectoire classique n’a plus de sens dans le monde quantique ….

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 14

4 – Inégalités de Heisenberg

Document extrait de Physique 3, ondes, optique et physique moderne 4/E par Harris Benson aux éditions De Boeck, 2009.

Notes:

Dans la littérature, on parle indifféremment des «   inégalités

de Heisenberg   », du «   principe d’incertitude de Heisenberg » ou

du «   principe d’indétermination

de Heisenberg   ». Le mot

indétermination est cependant préférable à celui d’incertitude car ici cette «   indétermination   » est dans la nature même des choses et n’a rien à voir avec une quelconque «   incertitude   » expérimentale !

4 – Inégalités de Heisenberg

Introduction au monde quantique R. DUPERRAY Lycée F. Buisson PTSI page 16

Exercice d’application 6: Indétermination sur la position

Quelle est l’indétermination minimale sur la position de chacune des particules suivantes si le module de la vitesse est mesuré avec une indétermination de 0,1 % ? Conclure.

a)  Un électron se déplaçant à la vitesse de 4×106 _m.s-1_.

b)  Une balle de pistolet de 10 g se déplaçant à 400 m.s-1_.

Exercice d’application 7: Atome d’hydrogène

Sachant qu’un atome d’hydrogène a un diamètre de l’ordre de 0,1 nm, montrer qu’il est impossible d’attribuer à son électron une trajectoire déterminée.