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Chapitre 9 : Fonction exponentielle de base e

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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Mme LE DUFF Terminale technologique STAV

Mathématiques - 1 -

I – Vers une nouvelle fonction. 1°) Définition.

Définition : Soit a un réel strictement positif. La fonction définie sur IR dont la courbe représentative admet une tangente en 0 de pente égale à 1 s’appelle la fonction exponentielle de base e. On note et on l’appellera simplement la fonction exponentielle.

Le nombre e, qui est irrationnel, s’appelle le nombre d’Euler, sa valeur approchée à est 2,718.

2°) Propriétés. Propriétés :

 La fonction exponentielle est strictement positive sur IR .  La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR .  Pour tous réels a et b : ssi .

 Pour tous réels a et b : ssi .  et .

Propriétés algébriques :

Pour tous réels x et y et n entier relatif :

II – Etude approfondie. 1°) Dérivée.

Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur IR et pour tout réel x

Propriété : Soient deux réels a et b, la fonction est dérivable sur IR et pour tout réel x

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Mme LE DUFF Terminale technologique STAV

Mathématiques - 2 -

2°) Limites. Propriété :

 La limite de la fonction exponentielle, quand x tend vers -∞ est égale à 0,

. L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe en - .

 La limite de la fonction exponentielle, quand x tend vers +∞ est égale à +∞,

. Interprétation :

 Lorsque x prend des valeurs de plus en plus petites (négatives et grandes en valeur absolue), se rapproche de plus en plus de 0.

 Lorsque x devient « très grand », alors devient « très grand ».

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PanaMaths [2-3] Janvier 2008 Remarque : dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques