Mme LE DUFF Terminale technologique STAV
Mathématiques - 1 -
I – Vers une nouvelle fonction. 1°) Définition.
Définition : Soit a un réel strictement positif. La fonction définie sur IR dont la courbe représentative admet une tangente en 0 de pente égale à 1 s’appelle la fonction exponentielle de base e. On note et on l’appellera simplement la fonction exponentielle.
Le nombre e, qui est irrationnel, s’appelle le nombre d’Euler, sa valeur approchée à est 2,718.
2°) Propriétés. Propriétés :
La fonction exponentielle est strictement positive sur IR . La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR . Pour tous réels a et b : ssi .
Pour tous réels a et b : ssi . et .
Propriétés algébriques :
Pour tous réels x et y et n entier relatif :
II – Etude approfondie. 1°) Dérivée.
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur IR et pour tout réel x
Propriété : Soient deux réels a et b, la fonction est dérivable sur IR et pour tout réel x
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Mathématiques - 2 -
2°) Limites. Propriété :
La limite de la fonction exponentielle, quand x tend vers -∞ est égale à 0,
. L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe en - .
La limite de la fonction exponentielle, quand x tend vers +∞ est égale à +∞,
. Interprétation :
Lorsque x prend des valeurs de plus en plus petites (négatives et grandes en valeur absolue), se rapproche de plus en plus de 0.
Lorsque x devient « très grand », alors devient « très grand ».