Skymions q-BPS : facteurs de forme électromagnétiques

Skymions q-BPS

Facteurs de forme électromagnétiques

Mémoire Marc-Olivier Beaudoin Maîtrise en physique Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada c Marc-Olivier Beaudoin, 2013

Résumé

La recherche d’une théorie décrivant les états de hadrons à basse énergie est primordial pour la compréhension complète de la chromodynamique quantique. Dans ce domaine, les théories de Skyrme sont encore reconnues comme d’excellentes candidates. Existant depuis plus de soixante ans, plusieurs extensions ont été proposées et une d’entre elles fera l’objet de ce mémoire : l’extension quasi-BPS (Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield). L’énergie classique des configurations de ce modèle BPS est près de saturer une certaine borne qui assure que les états de la théorie ne seront presque pas liés, ce qui se rapproche grandement de l’observation expérimentale. La possibilité de réintroduire une énergie de liaison par l’ajout de perturbations ainsi que diverses contributions énergétiques ressortant de la quantification des états sera examinée. Nous verrons que cette approche est prometteuse, puisqu’elle permet d’obtenir des prédictions convaincantes sur la majorité des caractéristiques des noyaux atomiques.

Remerciements

L’écriture de ce mémoire n’aurait pu être possible sans l’aide de plusieurs personnes. J’aimerais tout d’abord exprimer ma gratitude à mon directeur de maîtrise, le professeur Luc Marleau, pour m’avoir soutenu tout au long de ce projet et pour m’avoir donné la chance de poursuivre mes études en physique théorique. J’aimerais aussi remercier les anciens et les nouveaux étudiants du groupe de physique théorique, Éric, Louis, Ludovic, Nicolas et Olivier, pour leurs suggestions, leur aide et leur entrain. Sans eux, mon passage n’aurait pas été aussi enrichissant. Finalement, je dois un remerciement particulier à mes parents et ma conjointe pour leur soutien inconditionnel.

Table des matières

Résumé iii

Remerciements v

Liste des tableaux ix

Table des figures xi

Introduction 1

1 Solitons 5

1.1 Modèle de sine-Gordon . . . 5

1.1.1 Introduction aux solitons . . . 5

1.1.2 Modèle de sine-Gordon . . . 6

1.1.3 Courant topologique . . . 9

1.2 Généralisation aux dimensions supérieures . . . 10

1.2.1 Théorème de Derrick-Hobart . . . 10

1.2.2 Vers les 3+1 dimensions . . . 11

1.3 Modèle sigma non-linéaire . . . 12

1.3.1 Symétrie chirale . . . 12

1.3.2 Modèle sigma non-linéaire . . . 14

2 Modèle de Skyrme 17 2.1 Idée et modèle de Skyrme original . . . 17

2.1.1 Introduction du lagrangien . . . 17 2.1.2 Courant topologique . . . 18 2.1.3 Solution du modèle . . . 20 2.2 Quantification . . . 26 2.3 Extensions du modèle . . . 28 2.3.1 Terme de masse . . . 29

3 Skyrmions q-BPS 33 3.1 Modèle BPS . . . 34 3.1.1 Lagrangien et symétries . . . 34 3.1.2 Borne BPS . . . 35 3.1.3 Solution . . . 36 3.1.4 Compacton . . . 38 3.2 Modèle q-BPS . . . 40 3.2.1 Quantification et rotation . . . 40 3.2.2 Contribution électromagnétique . . . 41 3.2.3 Modèle q-BPS et solutions . . . 47 3.3 Prédictions du modèle q-BPS . . . 50 3.3.1 Considérations préliminaires . . . 50 3.3.2 Résultats . . . 52 Conclusion 57 A Courant électromagnétique 59 A.1 Calcul de ˜L0 . . . 59

A.2 Calcul de la contribution GS_M,3 . . . 60

Liste des tableaux

2.1 Énergie totale, énergie de liaison et la valeur r.m.s. du rayon des cinq configurations obtenues numériquement par Braaten, Townsend et Carson. . . . 24 2.2 Polynômes associés à la symétrie des Skyrmions pour quelques valeurs de n

obtenues par Houghton, Manton et Sutcliffe [28]. . . 25 3.1 Valeurs des paramètres pour une optimisation globale de la fonction F_opt. . . . 52 3.2 Masses calculées et expérimentales pour divers noyaux dans le modèle q-BPS. . 53 3.3 Séparation de la variance autour du fer . . . 54 3.4 Moments magnétiques de quelques configurations avec les éléments de matrice

correspondants . . . 55 3.5 Valeurs des paramètres pour les fonctions F2010 et F2012. . . 56

Table des figures

1.1 Solution de type kink interpolant entre 0 et 2π. . . . 7

1.2 Densité d’énergie en fonction de x du lagrangien de sine-Gordon. . . 8

1.3 Potentiel en fonction de φ avec un kink. . . . 8

1.4 Position du champ φ selon x projeté sur l’espace interne des champs. . . . 9

2.1 _{Solution hérisson dans l’espace R}3_{. La sphère des champs π} i s’y retrouve ainsi que l’orientation du vecteur φj. La figure est tirée de [26]. . . 20

2.2 Solution asymptotique de Skyrme pour a = π et solution numérique de Liu pour le modèle de Skyrme original dans le secteur n = 1. . . 22

2.3 Solutions numériques du modèle de Skyrme original telles qu’obtenues par Braaten, Townsend et Carson dans [17]. La configuration B = 1 a un rayon de 1.1 fm, les autres solutions sont à l’échelle par rapport à celle-ci. La configuration fautive B = 6 a été retirée de l’image par l’auteur. . . . 23

3.1 Solution de type compacte dans le modèle de Skyrme purement BPS en fonction de la variable r avec x → √ 2µ 3nλr 3_{. . . 39}

3.2 Densité baryonique normalisée pour n = 1 dans le modèle de Skyrme purement BPS. . . 39

3.3 Quelques solutions du système décrit par (3.91), y compris celle du groupe d’Adam et al. . . 48

3.4 Densités baryoniques associées aux fonctions (3.92) à (3.95) . . . 49

3.5 Densités baryoniques associées aux fonctions F₂₀₁₂ et F₂₀₁₃ pour des valeurs d’enroulement de n = 1, 8, 27, 64. . . 50

3.6 Énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons avec le groupe I. La courbe en bleu représente la théorie et les points représentent les données. 53 3.7 Énergie de Coulomb pour les bosons considérés dans l’optimisation avec les paramètres du groupe I. . . 55

Introduction

Tony Hilton Roye Skyrme est un physicien anglais qui a gradué à Cambridge, en Angleterre, en 1943. Après un bref passage aux États-Unis, notamment afin d’y travailler sur le projet Manhattan, il retourne à sa terre natale en 1950 où il commence des travaux en physique atomique et nucléaire [42]. Par la publication de quelques articles sur les fluides mésoniques vers les années 1954, où il traite avec des techniques novatrices des objets non-ponctuels, il attire l’attention des physiciens du domaine. Comme il le dit lui-même, Skyrme n’a jamais apprécié la description ponctuelle des particules [45] et surtout l’utilisation de la renormalisation pour éviter les divergences que cela implique. Selon lui, la description des particules passe par une théorie non-linéaire, laquelle admet généralement des solutions étendues dans l’espace. Sur ce point, Skyrme rejoint bien Heisenberg qui, en 1953 [19], travaille sur sa théorie unifiée des champs. Par contre, ces deux physiciens sont profondément en désaccord sur la question des fermions. Comme ses travaux le démontrent, Heisenberg est plutôt partisan de ceux-ci, objets qu’il considère comme fondamentaux dans une théorie quantique. Skyrme, lui, est certain qu’ils ne sont qu’une construction mathématique utile dans certaines situations, mais sans aucun lien avec la réalité tangible. Il est d’ailleurs possible d’apprécier le genre de raisonnement qui l’a poussé à formuler une théorie bosonique de la matière nucléaire avec cette citation personnelle : « [...] it would be fun to see if I could get everything out of self-interacting boson field theory [...] »[45], soit complètement l’opposé de son homologue allemand...

Que ce soit par compétition ou par conviction, Skyrme décide de continuer sur son propre chemin. Comme beaucoup de physiciens et de mathématiciens des siècles précédents, Skyrme croit que tout phénomène doit avoir une contrepartie classique. Il n’est pas parfaitement convaincu par des théories comme la mécanique quantique, qui peinent à rejoindre la physique plus classique dans certains domaines. Étonnamment, la théorie que Skyrme a construite s’apparente en quelque sorte à la théorie des vortex de Sir William Thomson (Lord Kelvin) [49]. Ce dernier a émis l’hypothèse que les atomes ne sont pas des particules ponctuelles, mais de petits vortex baignant dans un fluide, l’éther. Le rapprochement entre les théories s’intensifie lorsque Thomson justifie la stabilité de ces vortex par la connectivité de l’espace physique. Une certaine ressemblance avec le concept de soliton topologique peut être reconnue et ce concept constitue la base de la théorie de Skyrme.

En fait, Skyrme propose un modèle fondé sur des mésons, les pions, comme théorie efficace de l’interaction forte à basse énergie. Dans le premier chapitre, il sera vu que le modèle sigma non-linéaire constitue une base particulièrement bien adaptée à la physique des pions. En effet, lorsque la brisure de symétrie chirale est appliquée sur un modèle sigma, trois bosons avec masse apparaissent dans la théorie. Ils sont généralement associés aux trois champs du pion, π+, π− et π0. Les noyaux atomiques y naissent à partir des solitons, enroulement des champs autour de l’espace, et leur interaction est décrite par l’échange de pions. Skyrme suggère d’associer la quantité topologiquement conservée par ces solitons au nombre baryonique, soit l’équivalent du nombre de masse des noyaux atomiques qui se retrouve dans la physique nucléaire. Le pion est d’ailleurs un très bon candidat comme boson de l’interaction forte résiduelle, puisqu’il possède une courte portée lorsqu’on lui confère une masse. Dans sa formulation originale, Skyrme obtient des prédictions sur les propriétés du nucléon avec une précision d’environ 30%, ce qui est acceptable pour un modèle à deux paramètres.

Quelques années après sa création, le modèle Skyrme est par contre éclipsé en grande partie par l’avènement de la chromodynamique quantique (CDQ). Toutefois, malgré les attentes et les perspectives liées à cette théorie, elle est rapidement confrontée à des problèmes de taille, tels que l’explication du confinement et de la brisure de symétrie chirale, la taille incroyable des calculs à effectuer pour obtenir des prédictions et, particulièrement, le régime à basse énergie des états liés de hadrons, constituant à lui seul un cas singulier de la théorie. Tous ces problèmes ont poussé les théoriciens à trouver une approximation efficace de la CDQ. C’est vers la fin des années 70, après les travaux de ’t Hooft [48] et de Witten [51], que la théorie de Skyrme reprend son envol. En effet, ’t Hooft propose de faire tendre le nombre de couleurs des quarks vers l’infini et d’espérer rejoindre qualitativement et si possible quantitativement la CDQ à trois couleurs. Cela permet, entre autres, de faire un développement en puissance avec le nombre de couleurs comme paramètre perturbatif, ce qui simplifie grandement la théorie. Witten pousse ensuite l’idée en prouvant que lorsque la chromodynamique quantique possède un nombre de couleurs tendant vers l’infini, elle est équivalente à une théorie efficace de mésons.

Il s’ensuit une étude détaillée du modèle de Skyrme original, qui rencontre malheureusement d’autres problèmes surtout liés à la non-intégrabilité des équations. Cette caractéristique est typique des modèles solitoniques, qui sont rarement exactement solubles en trois dimensions. Dans ce mémoire, une extension particulière de la théorie qui permet un traitement analytique complet de cette dernière sera analysée en profondeur. Cette stratégie a été établie par un groupe de recherche qui tentait de mettre au point un modèle saturant la borne BPS (Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield). Cette borne implique une inégalité sur l’énergie minimale

liée à une équation différentielle particulière. Pour des raisons qui seront détaillées un peu plus tard, la solution doit posséder une topologie non-triviale. Elle est conséquemment bien adaptée aux équations menant à des solitons topologiques.

Dans les théories de Skyrme, un modèle qui possède l’énergie exacte de la borne BPS décrit des objets n’étant pas liés entre eux. Ce type de modèle est un bon point de départ pour une description baryonique, puisque les noyaux des atomes possèdent une énergie de liaison d’environ 1% par rapport à leur énergie de masse. Le plan est donc de perturber la solution près de la borne pour créer cette faible interaction qui lie les noyaux. Cela permet, d’une part, de garder l’analycité des équations de la théorie et, d’autre part, de produire une description de la physique atomique digne d’intérêt. Une autre propriété intéressante qui sera désirable d’exploiter est la possibilité de décrire l’ensemble des noyaux avec une seule hypothèse de solution. Dans ces premières ébauches, les solutions solitoniques originales enroulaient l’espace de façon radiale. Si une hypothèse de variables séparables est admise, cela implique un seul enroulement angulaire et un recouvrement radial multiple selon la configuration étudiée. Le problème majeur de cette approche est que les équations de champs doivent être solutionnées de façon répétitive pour chaque nouvel état qui se complexifie plus le nombre baryonique augmente. L’approche du modèle quasi-BPS (q-BPS) propose d’inverser les rôles et de laisser la partie angulaire de la solution enrouler l’espace de façon très simple. Les conséquences sont qu’une seule solution est nécessaire et que la symétrie du problème devient axiale.

Dans le premier chapitre, les notions de base des solitons seront abordées. Il sera vu en détail comment générer des solutions à topologie non-triviale dans un cas particulier à 1+1 dimensions. Une généralisation aux dimensions supérieures sera présentée pour se rapprocher de notre but qui est d’obtenir une description réaliste de l’interaction forte à basse énergie. Cela se fera majoritairement par l’introduction du modèle sigma non-linéaire, pierre angulaire du modèle de Skyrme. Une analyse de la stabilité des solitons sera présentée ainsi qu’une revue d’une propriété liée à l’interaction forte, la symétrie chirale. Dans le second chapitre, le modèle de Skyrme original sera étudié dans plusieurs de ses aspects. L’hypothèse primordiale de ce modèle consiste à ajouter un terme lagrangien spécial pour stabiliser la solution du modèle sigma non-linéaire. Ces deux termes combinés constituent la forme la plus simple d’une théorie de pions de type Skyrme. Les trois approches principales menant à des solutions seront étudiées brièvement : la solution asymptotique, l’application rationnelle ainsi que la solution numérique. Dans le but de décrire la matière nucléaire, la théorie sera ensuite quantifiée pour obtenir des états de spin et d’isospin. Malgré tout, ce modèle ne parvient pas à décrire de façon satisfaisante cette matière. C’est pour cette raison que des extensions qui tentent d’améliorer les diverses prédictions seront introduites, comme l’ajout d’un terme d’ordre supérieur et d’un potentiel dans le lagrangien. Finalement, le dernier chapitre sera

consacré au modèle q-BPS, une extension unique de la théorie originale. Contrairement au modèle BPS sur lequel il se base, q-BPS décrit des états qui possèdent une énergie de liaison, puisque, entre autres, certains termes perturbatifs sont ajoutés au lagrangien. Aussi, une caractérisation de l’interaction électromagnétique des configurations chargées du modèle sera présentée par le biais des facteurs de forme. Vers la fin du chapitre, les simulations numériques ainsi que les nombreuses prédictions liées au modèle seront détaillées.

Chapitre 1

Solitons

Le concept de soliton est une notion fondamentale au sein de la théorie de Skyrme. Afin de bien cerner les diverses caractéristiques de ces solutions, l’étude du modèle sine-Gordon fera l’objet de la première section. Ce dernier est représenté par une équation dans un espace à 1+1 dimensions qui se solutionne analytiquement. Cette dernière particularité est partagée par un nombre assez restreint d’équations non-linéaires, notamment l’équation Korteweg-De Vries (KdV), mais ne l’est pas par le modèle de Skyrme. L’existence d’une telle solution permet un approfondissement de la notion de soliton tout en gardant la simplicité et l’élégance du traitement analytique.

Après cette introduction aux solitons, une généralisation naturelle du concept aux dimensions supérieures sera abordée. De plus, le théorème de Derrick-Hobart permettra de tester la stabilité des solutions solitons en fonction du nombre de dimensions d’espace-temps. Finalement, la revue du modèle non-linéaire sigma et de la symétrie chirale, qui est nécessaire à la compréhension du lagrangien, nous préparera à entrer au cœur de ce mémoire.

1.1

Modèle de sine-Gordon

1.1.1 Introduction aux solitons

Les phénomènes naturels sont en grande partie modélisés par des équations non-linéaires. En fait, la mécanique quantique est l’une des seules exceptions notables à cet énoncé. Cela entraîne une difficulté majeure, soit que de tels systèmes sont la plupart du temps difficiles à solutionner directement. Des méthodes alternatives peuvent être avancées, comme le calcul perturbatif, le calcul numérique ou l’approximation linéaire, si l’importance de la non-linéarité du phénomène est assez faible. Les difficultés mentionnées surviennent majoritairement parce qu’il est impossible de se servir du principe de superposition pour trouver des solutions analytiques aux équations qui les régissent.

Parfois, il arrive que l’effet dispersif d’une équation non-linéaire soit contrebalancé parfaitement par un effet stabilisateur au sein même de cette équation. Dans ce cas, il est possible de se retrouver face à des solutions dites solitoniques. Ces solutions sont caractérisées par trois propriétés indispensables [22] :

• Elles possèdent une forme permanente ;

• Elles sont localisées dans une région de l’espace ;

• Elles restent inchangées à la suite d’une collision avec d’autres solitons.

Il se trouve que ces trois propriétés sont aussi partagées par les particules ponctuelles. L’idée de les associer est donc tentante, d’autant plus que les particules occuperaient un volume non-nul issu de l’équation elle-même. Le type d’équation dans lequel peut se retrouver des solitons peut être décrit de façon plus rigoureuse. Voici deux mécanismes différents pouvant en générer [10], ils ne constituent pas une liste exhaustive, mais englobent les cas les plus simples et probables :

• L’intégrabilité complète (e.g. l’équation KdV) ;

• La présence d’une contrainte topologique (e.g. l’équation sine-Gordon).

La première méthode consiste à considérer les équations non-linéaires comme une série de systèmes hamiltoniens de dimension infinie. Vers la fin des années 1960, l’étude de ces systèmes a mené à de nouvelles techniques d’intégration qui généralisent la linéarisation locale et qui permettent de relier l’intégrabilité d’une équation aux solitons. La deuxième méthode, celle qui nous intéresse, fera l’objet de la prochaine section. Elle permet d’introduire le type de solitons qui ressort des théories de Skyrme.

1.1.2 Modèle de sine-Gordon

Le modèle sine-Gordon est l’un des plus simples systèmes menant à des solitons topologiques. Il se fonde sur une légère variante de l’équation de Klein-Gordon, qui est définie comme suit selon [41],



∂µ∂µ+ m2



φ = 0, (1.1)

où φ est un champ à valeur réelle dépendant de la position et du temps, et m un simple paramètre. La densité lagrangienne permettant d’obtenir cette équation est

L = 1 2(∂µφ)

2₋1

2m

2_φ2_{. (1.2)}

Pour obtenir l’équation sine-Gordon, le lagrangien doit être légèrement modifié de façon à retrouver un terme en sinus plutôt que linéaire en φ après la résolution des équations d’Euler-Lagrange. Une façon d’y arriver est d’introduire deux champs scalaires θ₁ et θ₂ soumis à la contrainte suivante

Une paramétrisation possible des deux champs qui la respecte est

θ1 = a cos φ, (1.4)

θ2 = a sin φ, (1.5)

où le champ φ représente maintenant l’angle sur un cercle de rayon a. Considérons la densité lagrangienne comprenant les deux champs ainsi qu’un couplage simple entre ceux-ci

L = 1 2(∂µθ1) 2₊1 2(∂µθ2) 2_{+ 2λθ}2 1θ22. (1.6)

En substituant la paramétrisation (1.4) et (1.5) dans l’équation (1.6), elle devient

L = a

2

2 (∂µφ)

2_{+ λa}2_{(1 − cos φ). (1.7)}

En appliquant les équations d’Euler-Lagrange, l’équation sine-Gordon est retrouvée

φtt− φxx+ λ sin φ = 0, (1.8)

où le rayon a est posé égal à un dans le but de simplifier l’équation. Notons au passage que l’équation (1.8) se réduit à l’équation (1.1) si le champ φ varie seulement à de faibles amplitudes. Une vérification permet de voir que

φ(x) = 4 arctan e±mx (1.9)

est bel et bien solution de l’équation (1.8). La solution statique, qui représente un soliton, a été choisie plutôt que celle dépendante du temps, qui est associée à un instanton. La solution avec l’argument de signe positif se nomme un kink et celle de signe négatif un antikink. La figure 1.1 montre qu’un kink interpole entre deux minima du potentiel, φ(−∞) = 0 et φ(+∞) = 2π, ce qui a une incidence importante pour la suite des choses.

Figure 1.1 – Solution de type kink interpolant entre 0 et 2π.

-4 -2 0 2 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x Φ @ Π D

Vérifions à présent que nous sommes bien en présence d’une solution solitonique. Reprenons le lagrangien (1.7) et changeons le signe du potentiel pour obtenir l’expression de la densité d’énergie statique. En insérant la solution (1.9) dans cette nouvelle équation, elle se réduit à

E(x) = sech(mx) (m + 2λ sech(mx)) . (1.10)

Une représentation graphique (voir figure 1.2), avec m = 1 et λ = 1, permet de mieux apprécier la distribution spatiale.

Figure 1.2 – Densité d’énergie en fonction de x du lagrangien de sine-Gordon.

-4 -2 0 2 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x É nergie

En plus du fait que l’indépendance temporelle empêche le soliton de se dissiper, une localisation de l’énergie de la solution est observée dans une région précise de l’espace ; un soliton est bel et bien décrit. Éclaircissons maintenant le côté topologique de cette solution. Ce dernier est dû à la présence d’un potentiel qui possède une infinité de minima à

φ = 0, 2π, 4π, ..., 2nπ. La figure 1.1 montre qu’une des solutions possibles interpole entre les

valeurs 0 et 2π. Une façon de représenter cela est donnée par la figure suivante. Figure 1.3 – Potentiel en fonction de φ avec un kink.

Kink

La configuration est contrainte entre deux minimums du potentiel. Il est d’ailleurs possible de démontrer [7] que toute une famille de solutions existe avec comme caractéristique le nombre

d’enroulements Q définit comme

Q = 1

2π(φ(∞) − φ(−∞)) . (1.11)

Cet enroulement peut être illustré dans l’espace interne des champs à l’aide de la paramétrisation (1.4) et (1.5). (a) Pour Q = 0 φ θ1 θ2 (b) Pour Q = 1 1 2

Figure 1.4 – Position du champ φ selon x projeté sur l’espace interne des champs.

D’un point de vue plus rigoureux, l’idée générale est de considérer φ comme une application entre deux espaces,

φ : R → S1. (1.12)

À chaque point x de l’espace correspond une position sur le cercle φ(x). Quand la configuration du champ est contrainte sur son espace interne et qu’elle est caractérisée par un nombre d’enroulements, il s’agit en réalité d’une mesure du premier groupe d’homotopie de la 1-sphère, qui est isomorphe aux entiers

π1(S1) ∼= Z. (1.13)

C’est le groupe qui est directement relié à l’enroulement d’une boucle autour d’un espace [38]. Finalement, l’enroulement Q = 0 est la solution triviale de cette théorie, puisque peu importe le parcours, la boucle pourra se réduire en un point.

1.1.3 Courant topologique

Tel que vu dans la précédente sous-section, pour un soliton donné, il est impossible de déformer de façon continue sa configuration de charge de telle sorte que la configuration résultante ait une charge topologique différente Q. Cela découle directement de la stabilité

du soliton et permet de considérer Q comme une quantité conservée pour un soliton donné. En d’autres mots, l’énergie du soliton diverge sous variation de la charge.

Comme dans le cas de la charge électromagnétique, la charge conservée peut être déduite de l’intégrale spatiale de la composante temporelle d’un courant conservé [40]. Cependant, cette conservation ne découle pas directement du théorème de Noether. En effet, la symétrie ne vient pas du lagrangien, mais de considérations topologiques en lien avec la solution. Le courant s’écrit

Qµ= 1 2π

µν_∂

νφ. (1.14)

Le tenseur de Levi-Civita assure la conservation, puisqu’il est antisymétrique

∂µQµ= −∂001∂1φ − ∂110∂0φ,

= −01+ 10∂0∂1φ,

= 0.

Il est facile obtenir l’expression de la charge en intégrant la composante 0 de (1.14) Z ∞ −∞ Q0dx = Z ∞ −∞ 1 2π 01_∂ 1φ dx, = 1 2π(φ(∞) − φ(−∞)) . (1.15)

Il sera vu plus loin qu’une généralisation de ce courant a une grande importance dans le modèle de Skyrme, puisqu’il est associé au courant baryonique.

1.2

Généralisation aux dimensions supérieures

La section précédente a permis d’introduire les concepts fondamentaux liés aux solitons. Maintenant, une généralisation aux dimensions supérieures, plus précisément à la troisième dimension, sera présentée. Skyrme a dû surmonter un premier obstacle avant de formuler sa théorie, soit la stabilité des solitons à plusieurs dimensions. La caractérisation complète de cette stabilité a été introduite à peu près simultanément en 1963 par R.H. Hobart [25] et en 1964 par G.H. Derrick [20] et fera l’objet de la première sous-section. Ensuite, un passage naturel vers la troisième dimension d’espace sera discuté, ce qui mènera au modèle sigma non-linéaire.

1.2.1 Théorème de Derrick-Hobart

Malgré le fait que le théorème de Derrick-Hobart a été formulé après la théorie de Skyrme, il est plus intuitif de les introduire dans l’ordre inverse. Effectivement, le cheminement de Skyrme est plus clair avec une compréhension de la stabilité des solutions solitons. Considérons une

théorie de champs classiques soumis à un potentiel V (φ) L = 1

2(∂kφ)

2_{− V (φ), (1.16)}

où φ dépend seulement de la position r et possède une contrainte non-linéaire similaire à celle développée dans la sous-section 1.1.2. L’énergie statique d’un tel système est donnée simplement par E = Z ₁ 2(∂kφ) 2 + V (φ)  d3r. (1.17)

Les conditions nécessaires à la stabilité d’une solution possédant cette énergie sont que δE = 0 et δ2E > 0. Supposons une solution φ et opérons le changement d’échelle ~r → Λ~r et φ(~r) → φ(Λ~r) sur cette dernière. En posant pour plus de clarté que

I1 = Z ₁ 2(∂kφ) 2_d3_{r, (1.18)} I2 = Z V (φ)d3r, (1.19)

l’équation (1.17) adaptée au nouveau champ est donnée par

Eλ= Z _I 1 Λ + I2 Λ3  d3r. (1.20)

Comme (1.20) est le résultat de (1.16) pour Λ = 1, les conditions de stabilité sont _dE Λ dΛ  Λ=1 = −I1− 3I2 = 0, (1.21) d2EΛ dΛ2 ! Λ=1 = 2I1+ 12I2 = −2I1 < 0. (1.22)

Puisque I₁> 0, la solution statique d’un tel système à trois dimensions sera toujours instable.

C’est le résultat de Derrick-Hobart et il peut être généralisé à une dimension arbitraire [21]. Le résultat démontre que pour D > 2, il n’existe pas de solution statique stable autre que la solution triviale.

1.2.2 Vers les 3+1 dimensions

Les résultats de la précédente sous-section empêchent de chercher des solutions solitons dans des modèles purement non-linéaires à D > 2. Skyrme a su contourner ce problème avec des hypothèses présentées au début du chapitre suivant. Pour l’instant, continuons l’étude avec une généralisation des précédents concepts à 3+1 dimensions.

d’ajouter une non-linéarité au lagrangien,

φ2 = π₁2+ π₂2+ π₃2+ σ2 = a2, (1.23) Les champs sont nommés ainsi dans le but de faire le pont avec la prochaine section. Il est important de constater que la contrainte réduit le nombre de champs indépendants de un, comme dans le cas en 1+1 dimensions. Une paramétrisation possible est donnée par

π1= a sin F sin θ sin φ, (1.24)

π2= a sin F sin θ sin φ, (1.25)

π3= a sin F cos θ, (1.26)

σ = a cos F, (1.27)

où F se trouve à être l’angle entre ~π et σ.

1.3

Modèle sigma non-linéaire

Nous sommes maintenant prêt à faire nos premiers pas vers le modèle de Skyrme. Il sera premièrement nécessaire de bien introduire la symétrie chirale de sorte à bien comprendre la base du modèle. Deuxièmement, le modèle sigma non-linéaire, qui est, comme nous le verrons, un candidat naturel comme lagrangien invariant chiral, sera étudié.

1.3.1 Symétrie chirale

La symétrie chirale est respectée seulement dans la limite où la masse des quarks est nulle [31]. Comme ce n’est évidemment pas le cas dans la nature, elle est plutôt considérée comme une symétrie approximative de la chromodynamique quantique. Un régime où la symétrie chirale est particulièrement proche d’une symétrie globale est celui des hadrons composés uniquement de quarks up et down. Les noyaux atomiques tombent dans cette catégorie et la masse d’un noyau est beaucoup plus grande que la masse d’un quark.

Une façon intuitive d’introduire la symétrie chirale est de reproduire sur l’isospin la technique de généralisation du spin vers le groupe de Lorentz [26]. Le concept d’isospin a fait son apparition dans les années succédant la découverte du neutron [50]. Les physiciens de l’époque se sont rendus compte qu’il était plus simple de considérer le proton et le neutron comme deux facettes d’une même particule, le nucléon. Pour les différencier, ils ont introduit un nouvel opérateur, l’isospin I, qui se manipule exactement comme le spin. Les deux nucléons sont alors définis comme

p →    i = 1 2, i3= 1 2  ,

n →     i = 1 2, i3= − 1 2  ,

où i et i3 sont les valeurs propres des opérateurs d’isospin I et I3. Une façon d’exprimer la

troisième composante d’isospin, notamment utile dans l’étude des noyaux atomiques, est de tout simplement faire la somme des neutrons et des protons pondérée par l’isospin respective de chacun i3 = ₁ 2Nproton− 1 2Nneutron  , (1.28)

ce qui peut être réécrit comme

i3 = Z −

n

2, (1.29)

où Z est la charge électrique et n le nombre de nucléons présents dans le noyau.

Pour faire apparaître la symétrie chirale, les transformations de Lorentz sur l’isospin

Ai, parfois appelées charges axiales, sont intégrées à la structure du groupe des opérateurs

d’isospin I_i. Possédant déjà une algèbre su(2),

[Ii, Ij] = iijkIk, (1.30)

la structure a les deux relations de commutation supplémentaires suivantes

[I_i, Aj] = iijkAk, (1.31)

[A_i, Aj] = iijkIk. (1.32)

Afin de faire ressortir une structure plus claire, deux opérateurs sont introduits, la charge chirale gauche L_i et la charge chirale droite R_i,

Ri= 1 2(Ii+ Ai), (1.33) Li= 1 2(Ii− Ai). (1.34)

En remaniant les équations (1.30), (1.31) et (1.32), les trois relations suivantes peuvent être obtenues

[R_i, Rj] = iijkRk, (1.35)

[Li, Rj] = 0, (1.36)

[Li, Lj] = iijkLk, (1.37)

où il est maintenant plus évident qu’il y a présence de deux copies indépendantes du groupe

SU (2)L. Notons aussi que Ii est pair et que Ai est impaire sous transformation de parité

P IiP−1= Ii, P AiP−1 = −Ai. (1.38)

La nécessité d’inclure un quatrième champ dans notre modèle surgit naturellement afin de compléter le quadrivecteur φ = (π₁, π2, π3, σ). Les deux opérateurs Ai et Ii agissent sur le

champ φ selon

[Ii, πj] = iijkπk, [Ii, σ] = 0, (1.39)

[Ai, πj] = −iδijσ, [Ai, σ] = iπi. (1.40)

Des relations (1.38), (1.39) et (1.40), nous déduisons que si les π_i créent des particules isovectorielles, alors σ est un champ possédant les nombres quantiques associés au vide (spin et isospin nuls et parité positive). Il s’agit de la particule du modèle sigma non-linéaire qui sera présentée à la sous-section suivante. Comme elle n’a jamais été observée expérimentalement et qu’elle correspond au vide, elle est considérée tout simplement comme la partenaire nécessaire à la symétrie chirale des champs πi.

1.3.2 Modèle sigma non-linéaire

Le groupe SU (2)_R × SU (2)_L possède la même algèbre de Lie que le groupe O(4). Si un lagrangien invariant chiral peut être construit, il doit contenir uniquement des termes ne mélangeant pas les composantes πi et le champ σ. En d’autres termes, la dépendance sur les

champs sera de type produit pseudo-scalaire. Le lagrangien le plus simple s’écrit L = Z ₁ 2(∂µφν) 2 d3x, (1.41) = Z ₁ 2  ∂µπi∂µπi+ ∂µσ∂µσ  d3x, (1.42)

et il constitue le lagrangien du modèle sigma non-linéaire. La symétrie chirale n’est toutefois pas observée dans la nature, il est donc préférable de s’en débarrasser en utilisant le mécanisme de brisure spontanée de symétrie. Une astuce efficace pour y parvenir est de définir une nouvelle paramétrisation sous la forme d’une matrice U (x) élément de SU (2). Comme l’algèbre de l’isospin est aussi décrite par su(2), il est possible de décomposer les éléments de U (x) sur les générateurs d’isospin, soit les matrices de Pauli plus l’identité [11],

U (x) = Iσ + iτiπi,

= eiτiφi _{∈ SU (2). (1.43)}

Sous transformation chirale, cette matrice se développe comme

U†(x) → RU†(x)L−1. (1.45) Le lagrangien (1.41) se réécrit L = Z ₁ 4Tr h ∂µU ∂µU† i d3x. (1.46)

Il est trivial de constater que le lagrangien reste invariant sous les transformations (1.44) et (1.45). L’état du vide de la théorie correspond à la matrice U (x) constante. Par simplicité, considérons la matrice identité. Le vide n’est donc pas invariant chiral,

LU (x)R−1 = LIR−1 6= I, (1.47) mais bien invariant sous transformation d’isospin telle que nous l’avons défini. Une brisure spontanée de la symétrie chirale est générée. Donc, selon le théorème de Goldstone [53], il y a apparition de bosons sans masse. Le nombre de bosons est égal au nombre de charges ne laissant pas invariant l’état du vide. Une copie de SU (2) est perdue lors de la brisure

SU (2)L× SU (2)R→ SU (2), (1.48)

et 3 bosons sans masse apparaissent, puisque SU (2) possède trois générateurs, donc trois charges.

Chapitre 2

Modèle de Skyrme

Le chapitre 1 a permis de poser les fondations d’une théorie de champs brisant spontanément la symétrie chirale. Il s’agit maintenant de voir comment Skyrme a su tirer avantage de tous ces outils afin de formuler une théorie des baryons à basse énergie. Une étude approfondie des ajouts et des hypothèses de Skyrme sera tout d’abord présentée. Ensuite, une quantification de la théorie sera nécessaire pour retrouver les nombres quantiques du spin et de l’isospin des états de celle-ci. Cette étape fera aussi surgir les moments d’inertie ainsi que les opérateurs très importants de moments angulaires. Les extensions et généralisations du modèle seront par la suite explorées. Comme le modèle de Skyrme a été proposé il y a environ soixante ans, plusieurs groupes de recherche ont proposé des ajouts, qui ont pris la forme de nouvelles explications ou tout simplement d’élargissements de la théorie. Quelques-uns de ceux-ci feront l’objet de la fin du chapitre 2 et finalement, un certain type d’extension retiendra particulièrement notre attention, soit le modèle de Skyrme BPS.

2.1

Idée et modèle de Skyrme original

2.1.1 Introduction du lagrangien

L’idée fondamentale de Skyrme est de construire une théorie de l’interaction forte à basse énergie basée sur la physique des mésons. Plus particulièrement, il considère un modèle sigma non-linéaire sans potentiel où les trois champs sans masse sont associés aux pions. Comme il a été vu à la sous-section 1.2.1, il doit premièrement composer avec le problème de stabilité sous changement d’échelle du soliton. La façon la plus simple de le solidifier est d’introduire un nouveau terme dans le lagrangien qui possède la dépendance inverse sous changement d’échelle de celle du terme sigma non-linéaire. En d’autres termes, l’énergie totale sous changement d’échelle est

EΛ=

Eσ

où E_σ représente l’énergie du terme sigma, E_Skyrme l’énergie du terme que Skyrme doit construire et Λ le paramètre d’échelle. Le soliton se stabilise à

Λ2 = Eσ

ESkyrme

, (2.2)

donc le problème associé au terme sigma est esquivé. De plus, si la symétrie chirale du lagrangien doit être conservée, il existe uniquement trois choix possibles pour un terme possédant cette symétrie. Avant de les introduire, il convient de définir les deux courants associés à la symétrie chirale comme

Lµ= U†∂µU, (2.3)

Rµ= U ∂µU†. (2.4)

Les trois termes possibles s’écrivent alors LSkyrme = k1Tr  [Lµ, Lν]2  + k2Tr  {Lµ, Lν}2  + k3Tr  (∂µLµ)2  . (2.5)

Skyrme a choisi le terme contenant la moins grande puissance en dérivé temporelle, soit le terme proportionnel à k₁. Cela permet une quantification par la méthode Hamiltonienne standard sans problème de stabilité [39]. En effet, comme cela arrive parfois dans une théorie des champs à plus de deux puissances de dérivées temporelles, des états fantômes à énergie négative apparaissent lors de la quantification. Dans un modèle de soliton classique, ces états sont évidemment indésirables et injustifiables. Le lagrangien du modèle de Skyrme se réduit à L = α Tr (LµLµ) + β Tr  [Lµ, Lν]2  , (2.6)

où α est lié à la constante de désintégration du pion et β à un paramètre sans dimension

α = F 2 π 4 , β = 1 32e2. (2.7) 2.1.2 Courant topologique

Avant de solutionner ce lagrangien, il est désirable de se replonger dans des considérations topologiques. Il y a toujours présence d’une contrainte non-linéaire, établie dans la sous-section 1.3.2. Celle-ci est transmise directement au terme de Skyrme par la paramétrisation du champ U (r). Une des conditions pour la finitude de l’énergie est que la dérivée du champ à l’infini doit être nulle,

U (∞) → cte. (2.8)

En imposant la valeur constante, l’espace R3 est compactifiée à S3 avec une projection stéréographique. Appliquons maintenant le traitement qu’a subi le modèle sine-Gordon à

la sous-section 1.1.2. Cette fois, la paramétrisation est une application agissant ainsi

φ : S3→ S3. (2.9)

Les solutions intéressantes sont celles recouvrant la sphère U (r) et donc caractérisées, cette fois-ci, par le troisième groupe d’homotopie de la 3-sphère

π3(S3) ∼= Z. (2.10)

Les solutions sont encore associées à un entier correspondant à une charge topologique particulière. Il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’à une dimension arbitraire, toute contrainte non-linéaire du champ φ = (φ1, φ2, ..., φi) pouvant s’exprimer comme

X

i

φ2_i = 1, (2.11)

est caractérisée par un entier, puisque

πi−1(Si−1) ∼= Z. (2.12)

Il existe un courant topologique [8] relié à la contrainte décrite à l’équation (2.9), qui s’écrit

Bµ= 1 24π2 µνρσ_Tr U†∂νU   U†∂ρU   U†∂σU  . (2.13)

Ce courant satisfait la loi de conservation

∂µBµ= 0, (2.14)

ce qui permet d’obtenir la charge conservée

B = Z B0d3x, = Z ₁ 24π2 0νρσ_{Tr (L} νLρLσ) d3x, = −  ijk 24π2 Z Tr (LiLjLk) d3x. (2.15)

Elle correspond une fois de plus au nombre d’enroulements de la configuration sur l’espace des champs. Proposée par Skyrme [43], la charge conservée est associée au nombre de particules de la théorie. De ce fait, elle est parfois nommée nombre baryonique. Ce fut un grand pas vers la description d’états de plusieurs particules tels que rencontrés en physique nucléaire à basse énergie.

2.1.3 Solution du modèle

Retournons maintenant au lagrangien (2.6). Pour le solutionner, Skyrme propose la fameuse hypothèse hérisson [43],

U (r) = eiτjφˆjF (r)_,

= cos F + iτjφˆjsin F, (2.16)

avec τj les matrices de Pauli, ˆφj la direction du vecteur champ φj et F (r) l’angle chiral.

Comme dans le cas du modèle sigma non-linéaire, pour avoir une charge topologique conservée non-nulle, S3 doit être recouverte de sorte qu’une déformation ne puisse anéantir la solution. Si U (r), tel que défini à l’équation (2.16), satisfait cette condition, le vecteur ˆφj doit recouvrir la surface de S2 peu importe la valeur de φj. Le choix le plus simple est d’associer la direction de φ au système de coordonnées cartésiennes,

ˆ

φj = ˆxj (2.17)

Figure 2.1 – Solution hérisson dans l’espace R3. La sphère des champs πi s’y retrouve ainsi

que l’orientation du vecteur φj. La figure est tirée de [26].

La représentation graphique permet de bien synthétiser cette information et de visualiser le hérisson. La symétrie sphérique de cette solution implique qu’une rotation dans l’espace d’isospin est équivalente à une rotation dans l’espace de spin. Les états hérisson quantifiés de Skyrmions ont donc nécessairement les mêmes spin et isospin.

Pour un champ indépendant du temps, le lagrangien se réduit à l’énergie statique,

Estatique = −

Z

et en insérant la solution hérisson (2.16), elle se développe comme Estatique = 4π Z ∞ 0 F2 π 8 F 02₊2 sin2F r2 ! + 1 2e2 sin2_F r2 sin2_F r2 + 2F 02 !! r2dr. (2.19)

Pour obtenir une intégrale sans unité, le changement de variable r → eF_√π

2r est proposé. L’expression (2.19) devient Estatique = 4π Fπ e Z ∞ 0 1 2 F 02 + 2 sin 2_F r2 ! +1 2 sin2F r2 sin2F r2 + 2F 02 !! r2dr. (2.20)

Pour minimiser l’énergie, l’endroit où la variation de l’intérieur de l’intégrale par rapport à l’angle chiral F (r) est nulle doit être trouvé,



r2+ sin2FF00+ 2rF0+ sin F cos F F02− 2 sin F cos F −sin

3_{F cos F}

r2 = 0. (2.21)

Cette équation doit être solutionnée avec les conditions frontières correspondant à l’état choisi. Pour l’instant, concentrons nous simplement sur le nombre baryonique qui impose un certain nombre d’enroulements. En insérant la solution hérisson dans (2.15), une relation sur les conditions frontières est obtenue,

B = 1 2π2 Z _sin2_F r2 F 0_(r)d3_r, = 2 π Z F (∞) F (0) sin2F dF,

= F (0) − F (∞) − cos (F (0)) sin (F (0)) + cos (F (∞)) sin (F (∞))

π . (2.22)

Une façon simple d’adhérer à (2.22) est

F (0) = nπ, F (∞) = 0. (2.23)

Sans surprise, l’équation différentielle (2.21) ne possède pas de solution analytique avec une borne topologique non-triviale. Il existe néanmoins plusieurs façons de surmonter cet obstacle. Tout d’abord, Skyrme, dans les années soixante, a considéré un traitement asymptotique autour de r = 0 pour le secteur n = 1. Sa solution est, selon [43],

F (r) =    0, r > a, 2π 1 −_ar
, r < a, (2.24)

et elle correspond à la droite sur la figure 2.2. Il a trouvé, à l’aide de sa solution, une borne supérieure à l’énergie et a ainsi déduit la borne inférieure à partir d’un cas limite du lagrangien. Son inégalité est

et elle recoupe la bonne valeur expérimentale. Toujours avec sa solution approximative, il a fixé ensuite les deux paramètres libres afin d’obtenir la bonne énergie pour n = 1 et il a calculé l’énergie du secteur suivant. Il a obtenu [44]

En=2≈ 2960 MeV, (2.26)

soit une valeur 1.5 fois trop grande.

Une autre alternative, qui est celle pour laquelle K.-F. Liu [32] a opté, est d’obtenir une solution numérique. Comme la figure 2.2 semble l’indiquer, sa solution ressemble beaucoup plus à une solution d’un modèle non-linéaire. Par exemple, l’angle chiral enroule bien l’espace d’un facteur nπ avec n = 1 dans ce cas-ci.

Figure 2.2 – Solution asymptotique de Skyrme pour a = π et solution numérique de Liu pour le modèle de Skyrme original dans le secteur n = 1.

0 2 4 6 8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r FH rL @Π D

Il est important de mentionner que les solutions numériques sont apparues plusieurs années après la solution approximative de Skyrme. En effet, en 1990, seulement cinq configurations étaient connues [17], soit n = 1, 2, 3, 4, 5. Étrangement, pour un modèle qui essaie de décrire la physique nucléaire, les solutions numériques possèdent des symétries très particulières comme le montre la figure 2.3 à la page 23.

En fait, la densité d’énergie maximale des solutions n’arrive jamais à r = 0, tel qu’attendu. Notons aussi que la valeur r.m.s. du rayon de la première densité (

q r2 1  = 0.64 fm) est deux fois trop petite par rapport aux données expérimentales, mais que les plus grosses configurations suivent une règle conforme à l’expérience

q hr2

Figure 2.3 – Solutions numériques du modèle de Skyrme original telles qu’obtenues par Braaten, Townsend et Carson dans [17]. La configuration B = 1 a un rayon de 1.1 fm, les autres solutions sont à l’échelle par rapport à celle-ci. La configuration fautive B = 6 a été retirée de l’image par l’auteur.

Pour l’énergie, les résultats restent dans un intervalle de confiance d’environ 16%. Toutefois, l’énergie de liaison B, donnée par la formule suivante,

B = −E +X i

Mi. (2.28)

où E est l’énergie totale et M_i la masse du constituant i du noyau, est extrêmement élevée. En résumé, le modèle présente des configurations trop petites, trop liées et n’ayant pas la bonne symétrie. Les données numériques sont présentées dans le tableau ci-dessous.

Modèle Expérience

n En Bn/n

p

hr2_{i E}

n Bn/n

– (MeV) (MeV) (fm) (MeV) (MeV)

1 852 0 0.64 938 0

2 1638 33 0.86 1876 1.1

3 2396 53 0.99 2808 2.6

4 3135 68 1.08 3727 7.1

5 3919 68 1.19 4658 —

Table 2.1 – Énergie totale, énergie de liaison et la valeur r.m.s. du rayon des cinq configurations obtenues numériquement par Braaten, Townsend et Carson.

Avant de discuter des améliorations possibles au modèle, il convient d’introduire une dernière astuce utilisée pour solutionner les équations de champs. Elle se base sur le concept d’application rationnelle utilisée dans le cas particulier de la configuration étudiée. L’idée générale [34] est de modifier l’ansatz (2.16) comme suit

U (r) = eif (r)njτj _(2.29)

où f (r) contient la dépendance radiale des champs et nj sont les composantes du vecteur ~

n = 1

1 + |R(z)|2 

R(z) + ¯R(z), −i(R(z) − ¯R(z)), 1 − |R(z)|2, (2.30)

contenant la dépendance angulaire des champs par le biais de l’application rationnelle R(z) définie comme le quotient de deux polynômes

R(z) = p(z)

q(z). (2.31)

L’équation (2.30) peut être vue comme la projection stéréographique des champs dans l’espace R3 sur S3. Précédemment, l’enroulement de l’angle chiral F (r) autour de l’espace faisait changer le secteur topologique de la solution. Avec l’application rationnelle, l’enroulement est divisé entre la dépendance angulaire des champs qui s’enroulent j fois sur S2 et f (r) qui s’enroulent k fois sur le cercle. Le nombre baryonique n se présente maintenant comme un produit

n = j · k. (2.32)

Le nombre j est associé aux puissances de la fonction z des polynômes p(z) et q(z). Cette fonction angulaire est souvent posée comme étant égale à

et g(θ) est obtenue en solutionnant l’équation angulaire des champs 1 sin θ∂θ  sin θ(∂_θz)2+ 1 sin2θ∂φφz = 0. (2.34)

Une solution possible est

z(θ, φ) = tanθ

2e

iφ_{. (2.35)}

zj enroule bien j fois la sphère S2_{à cause de l’exponentielle. Le travail à effectuer pour obtenir}

des prédictions sur l’énergie des configurations consiste à trouver la bonne symétrie angulaire et à calculer numériquement la fonction f (r). Les symétries ainsi que le quotient de polynômes

R(z) sont présentés dans le tableau 2.2.

n R(z) Symétrie

1 z O(3)

2 _−azz2−a2₊₁ O(2) × Z2

3 √ 3az2−1 z(z2₋√_3a) Tétrahédrale 4 cz4+2 √ 3iz2₊₁ z4₋₂√_3iz2₊₁ Octahédrale

6 _z2_(iazz4+ia4₊₁₎ Dihédrale 4d

Table 2.2 – Polynômes associés à la symétrie des Skyrmions pour quelques valeurs de n obtenues par Houghton, Manton et Sutcliffe [28].

L’énergie obtenue par cette méthode reste une approximation de la solution exacte, puisqu’elle suppose des symétries idéales et une séparation des variables radiale et angulaires. Les écarts avec les solutions numériques exactes, par exemple celles du tableau 2.1, sont d’environ 1% à 3%. Finalement, il est intéressant de voir qu’il est possible de décrire des particules comme des objets à plusieurs couches. Les résultats du tableau 2.2 montrent que la puissance de z est toujours égale à n pour les configurations présentées. Par contre, il est fort probable [28] que des configurations à grand n requièrent deux ou plusieurs symétries plus simples imbriquées les unes dans les autres pour obtenir l’énergie minimale plutôt qu’une symétrie complexe unique.

Les trois types de solutions étudiées sont un peu décevantes, puisqu’elles ne permettent pas une description de toute la physique nucléaire (1 ≤ n ≤ 238). En effet, le calcul numérique brut est ardu même pour les premiers noyaux et les applications rationnelles nécessitent une connaissance des symétries de la solution qui tendent à se multiplier et à se complexifier plus

2.2

Quantification

La théorie de Skyrme est un modèle classique ne possédant pas d’états de spin et d’isospin. Afin de bien décrire les différents noyaux nucléaires, une quantification de la théorie s’avère essentielle. L’approche standard ne fonctionne toutefois pas sur les solitons, puisqu’ils sont étendus dans l’espace. Historiquement, les premières tentatives de quantification furent plutôt semi-classiques et elles dépendaient des symétries propres à la configuration quantifiée. Ces symétries étaient alors identifiées à des contraintes dans l’espace d’Hilbert par un mécanisme décrit en détail dans [23]. Le problème majeur de cette approche est le manque de généralité, la quantification est différente et doit être répétée pour chaque valeur de n. Cette étape sera sautée et une quantification plus récente sera considérée, nommée la quantification des modes zéro [27].

Cette quantification se base sur l’invariance sous rotation et translation du lagrangien. Considérons une configuration du champ stable, c’est-à-dire un U (r) composé d’un angle chiral F (r) qui solutionne l’équation (2.21), et appliquons une petite variation dépendante du temps sur celui-ci

U (r) = U0(r) + δU (r, t). (2.36)

Cette variation permet de petites oscillations autour de la solution, mais elle fait aussi apparaître des modes dans le temps qui ne sont pas forcément contraints à rester à de faibles amplitudes. Il y a plusieurs modes possibles : rotationnels, translationnel, vibratoire, etc. Seulement les rotations sont considérées, puisque le but est de décrire les états quantiques de spin et d’isospin. Le mode translationnel est surtout utile pour la description d’interactions entre skyrmions et les autres pour traiter des déformations des configurations. Techniquement, la dépendance temporelle du champ est incluse dans deux matrices A(t) et B(t) et elles agiront sur le champ statique de la façon suivante

˜

U (r, t) = A(t)B(t)U (r)B†(t)A†(t), (2.37) où A et B agissent respectivement sur l’espace de l’isospin et sur celui du spin. Comme les rotations sont des symétries du lagrangien, ce dernier reste invariant et l’énergie est dégénérée. L’espace de dégénérescence se nomme l’espace des modes zéro. Les deux matrices sont reliées aux générateurs de spin, J_k= i_ijkri∂j, et d’isospin, Ik= τ₂k, par la paramétrisation suivante A(t) = e−iIkakt_{∈ SU (2), (2.38)} B(t) = e−iJkbkt_{∈ SU (2), (2.39)}

où les vecteurs ak et bk sont assimilés à la vitesse de rotation selon les trois axes du système

se divise comme

L = −Lstatique+ Lrotation, (2.40)

avec Lstatique, le lagrangien statique intégré, et Lrotation, qui est donné par Lrotation =

1

2aiUijaj− aiWijbj+ 1

2biVijbj. (2.41)

Les matrices Uij, Wij et Vij peuvent être interprétées comme les moments d’inertie de la

solution selon l’axe associé aux indices i et j (a_i → isospin ou b_i → spin). L’expression de ces moments est Uij = 1 8e3_F π Z d3r Tr (TiTj+ [Lk, Ti] [Lk, Tj]) , (2.42) Wij = i 8e3_F π Z d3r Tr (TiSj+ [Lk, Ti] [Lk, Sj]) , (2.43) Vij = − 1 8e3_F π Z d3r Tr (SiSj+ [Lk, Si] [Lk, Sj]) , (2.44)

où Ti = U†τ₂i, U et Si = ijkrjLk et ils sont tous diagonaux. En traitant les

vitesses angulaires comme des variables canoniques du lagrangien, les moments conjugués correspondants sont Ki= ∂L ∂ai = Uijaj− Wijbj, (2.45) Li= ∂L ∂bi = −W_ij†aj − Vijbj, (2.46)

qui sont associés respectivement à l’opérateur d’isospin et à celui de spin dans le repère du skyrmion. Ce repère est lié par une rotation au repère du laboratoire,

Ii = Rij(A)Kj, (2.47)

Ji = −Rij(B)†Lj. (2.48)

Sans perte de généralité, les matrices A et B seront associées à des rotations générales selon trois angles d’Euler qui se réduisent à des rotations pour passer d’un système de coordonnées à l’autre par le biais des matrices Rij. La symétrie sphérique du soliton impose la relation

suivante

(K3+ L3) |i, j, i3, j3i = 0, (2.49)

ce qui revient à dire qu’une rotation autour du troisième axe de l’espace du spin est équivalente à une rotation autour du troisième axe de l’espace d’isospin. Finalement, il est possible d’écrire l’hamiltonien général en fonction des moments et des variables canoniques,

= 1 2     L1+ W11_UK₁₁1 2 V11− W2 11 U11 +  L2+ W22_UK₂₂2 2 V22− W2 22 U22 +  L3+ W33_UK₃₃3 2 V33− W2 33 U33 + K 2 1 U11 + K 2 2 U22 + K 2 3 U33   . (2.50) Il permet d’obtenir l’énergie associée aux rotations de l’état de |i, j, i₃, j3i par ses valeurs

propres. Dans le cas précis de l’hypothèse sphérique, les moments d’inertie possèdent les symétries suivantes

U11= U22= U33, (2.51)

W_ii2 = UiiVii (2.52)

et l’équation générale (2.50) se réduit à, puisque les trois premiers termes tombent et que le spin et l’isospin sont équivalents,

H = 1

2U33

J (J + 1). (2.53)

Cette équation peut décrire, dans le cas n = 1, l’état |i = j = 1/2i du nucléon ou |i = j = 3/2i de l’isobare ∆. Par contre, l’impossibilité de décrire le proton et le neutron de façon distincte ainsi que le manque de contrainte sur le spin qui permet de prédire des états physiquement inexistants (par exemple j = 1 pour n = 1) sont problématiques.

Il y a d’autres problèmes reliés à ce type de quantification. Le soliton peut par exemple se déformer sous rotation et ainsi éloigner la configuration du champ de son minimum. Cela entraîne évidemment des problèmes sur l’hypothèse de départ ainsi que sur les symétries accordées au soliton. Une façon efficace de se débarrasser de ce problème est de proposer que le skyrmion agit comme un rotateur rigide, ce qui implique une absence complète de déformations. Les deux autres problèmes viennent de l’absence de masse des trois pions. D’une part, il n’est pas évident de savoir si une partie du soliton tourne plus vite que la vitesse de la lumière. D’autre part, il existe une grande quantité d’orbites classiquement stables, mais complètement inacceptables au point de vue de la mécanique quantique. Ces deux derniers problèmes peuvent par contre être palliés par l’ajout d’un terme qui brise la symétrie chirale et ainsi confère une masse aux pions [16].

2.3

Extensions du modèle

Les précédentes sections ont montré que le modèle de Skyrme original possède un bon pouvoir descriptif des états nucléaires. À présent, les modifications et extensions qui permettent d’améliorer ce modèle seront explorées. Le premier changement consiste à ajouter un potentiel ou terme de masse au lagrangien. L’attribution d’une masse aux pions implique la brisure explicite de la symétrie chirale de la théorie. Ensuite, un terme d’ordre supérieur en dérivées

au lagrangien sera inclus. Cette étape se veut une généralisation, puisqu’à priori, aucune restriction ne s’impose sur le nombre de termes à considérer en puissance de dérivées.

2.3.1 Terme de masse

L’ajout d’un potentiel dans le modèle a pour but de mieux représenter la physique des pions. Comme dans la chromodynamique quantique, où les masses des quarks up et down sont petites par rapport à celles des baryons, le modèle de Skyrme brise faiblement la symétrie chirale. En effet, la masse des pions est moins grande que celle des quarks.

Suivant les travaux initiés par Adkins et Nappi [5], un nouveau terme V sera introduit au lagrangien,

V = m

2

πFπ2

8 Tr (I − U ) , (2.54)

avec I la matrice identité. La première chose à vérifier est que nous obtenons le bon comportement autour du vide, défini comme la matrice U à r → ∞, c’est-à-dire la limite des champs faibles,

U (r → ∞) = I  1 + 2i Fπ τjφj+ · · ·  . (2.55)

L’équation (2.54) devient, autour du vide,

V → m

2

πφjφj

2 , (2.56)

soit le comportement attendu pour un terme de masse. L’effet sur les prédictions d’un tel ajout est présenté dans [5]. La grande majorité des prédictions du modèle sont améliorées et certaines divergences sont même levées. Rappelons aussi que lorsque les pions ont une masse non-nulle, le processus de quantification est mieux justifié et correspond à la physique réelle. Pour bien comprendre ce dernier point, remplaçons U (F ) dans (2.54) et trouvons la configuration qui minimise l’énergie,

EV = Z d3rm 2 πFπ2 8 (1 − cos F ) (2.57)

En effectuant le changement de variable z = eFπr et en gardant les premières dérivées

seulement, la variation d’énergie s’écrit

δEV δF = zF 00 + 2F0+ m 2 π e2_F2 π zF = 0. (2.58)

La solution à cette équation est, en fonction de l’ancienne variable,

F (r) = ke

−mπr

Le potentiel a un effet localisateur sur la solution autour de r = 0. Cela signifie que les régions non-physiques apparaissant dans la quantification à un rayon élevé deviennent négligeables et peuvent être ignorées sans conséquence.

Le choix du potentiel n’est pas unique. L’absence d’information de la part de CDQ sur sa forme est en soi une difficulté, mais permet aussi une certaine liberté supplémentaire dans le lagrangien. La seule contrainte à respecter pour obtenir un bon terme de masse est d’obtenir l’équation (2.56) dans la limite du vide. Une approche plus générale [35] consiste à tenter de réécrire le potentiel comme

V = CkTr  U†k+ Uk_{− 2I}, (2.60) avec Ck = m2_πF_π2 4k2 . (2.61)

Si une telle écriture est possible, nous sommes en présence d’un terme de masse valable. L’énergie statique du soliton sera alors modifiée par

EV = 4π Z r2dr 8Cksin2 _kF 2  , (2.62)

où il est maintenant plus clair que nous avons affaire à un coefficient de Fourier (Ck).

Enfin, si un potentiel plus complexe doit être obtenu, qui s’exprime comme une série de l’équation (2.60), les coefficients devront obéir à

∞ X k=1 k2Ck= m2_πf_π2 4 . (2.63)

2.3.2 Termes d’ordre supérieur

Le lagrangien étudié dans la section 2.1 s’avère être une description de la physique des pions. En ajoutant un potentiel, une masse leur est redonnée et ainsi un certain accord est retrouvé avec les données expérimentales. Toutefois, une théorie basée sur le plus léger des mésons, le pion, reste une approximation d’un modèle plus complet contenant l’interaction de tous les mésons. Dans le but de se rapprocher d’une bonne description, un terme d’ordre six en dérivées est introduit dans le lagrangien.

L’origine d’un tel terme remonte à un article [4] qui examine l’ajout du méson vecteur le plus léger, soit le ω. Les auteurs se sont aperçus que son inclusion au lagrangien rend le terme de Skyrme superflu en terme de stabilisation. En fait, le terme d’ordre six joue pratiquement ce rôle tout en décrivant en plus un nouveau méson. Avec des terme d’ordre

deux, quatre et six en dérivées, l’énergie sous changement d’échelle est donnée par EΛ,BP S = Z d3x  ΛE₂+E4 Λ + E6 Λ3  . (2.64)

Dans les cas limites, Λ → ∞ et Λ → 0, les termes dominants sont E₂ et E₆. Pour assurer la stabilité dans ces limites, il n’est donc plus nécessaire de considérer le terme de Skyrme. En utilisant cette approche, les auteurs ont obtenu encore une amélioration sur pratiquement toutes les constantes du modèle. Ce n’est qu’un peu plus tard [29] qu’une équipe le considère non pas comme un remplacement, mais comme un ajout au modèle de Skyrme. Souvent appelé le terme de Jackson, il s’écrit

L_{J ackson}= π4λ2BµBµ, (2.65)

où λ est un nouveau paramètre et Bµ le courant baryonique défini à l’équation (2.13). Si

la contrainte de stabilisation du terme de Skyrme est relâchée, il peut changer de signe et permettre la description de l’interaction des pions.

L’effort de généralisation du nombre de termes ne s’arrête pas là. Le skyrmion étant un objet étendu, le gradient de son champ reste grand dans certaines régions de l’espace. Considérer les premiers termes en dérivées devient une supposition plus ou moins justifiée, puisque le développement autour des petites puissances n’est pas souhaitable avec des objets non-ponctuels. Notons que l’une des généralisations les plus poussées fut de considérer une série infinie de termes [36] dans le lagrangien. Le problème principal de ce modèle est de déterminer la forme exacte des termes d’ordre supérieur, qui, à partir de l’ordre huit, contiennent pratiquement tous des dérivées temporelles de puissance supérieure à deux.

Chapitre 3

Skyrmions q-BPS

Les points soulevés à la fin du chapitre précédent semblent indiquer que deux chemins sont possibles pour la suite de l’étude du modèle de Skyrme. D’un côté, la généralisation complète semble améliorer le modèle, mais le complexifie grandement. D’un autre côté, la recherche d’un principe fondamental qui simplifierait les contributions à considérer pourrait être intéressant. C’est cette dernière proposition qui retiendra notre attention dans le reste de ce mémoire. L’objectif est d’analyser un certain modèle de soliton qui n’a pas d’énergie de liaison. En introduisant des perturbations autour de ce régime, nous espérons retrouver une faible liaison dans les états nucléaires et ainsi recouper la physique que tente de décrire le modèle de Skyrme depuis sa création.

L’étude du modèle BPS sera le premier sujet de ce chapitre. Ce dernier est construit autour du terme de Jackson et d’un potentiel. Comme il sera vu, le lagrangien correspondant sature la borne BPS de la théorie en plus d’être parfaitement intégrable. Cela constitue un avantage majeur sur les autres modèles, dont les solutions sont majoritairement numériques. Ensuite l’adaptation du régime BPS à une théorie plus près de la physique sera présentée avec l’introduction de perturbations et de différentes contributions énergétiques. Par la suite, le modèle sera solutionné pour trouver la valeur optimale des paramètres libres par des méthodes numériques précises. Il s’ensuivra un approfondissement détaillé de plusieurs points en lien avec les propriétés des noyaux atomiques.