Trigonométrie 3ème Mathématiques

Trigonométrie 3

Exercice 1

Pour chacune des questions suivantes une et une seule réponse est exacte. 1) Pour tout de ℝ le réel sin 3

a) cos 2) Pour tout de ℝ le réel cos

a) sin 3) Soit un élément de ℝ le réel

a) 2 deux éléments de ℝ. Le réel cos

a) cos cos b) 5) Soit un réel ∈ , 0 tel que cos

a)

6) Dans la figure ci-contre, , ! , "!# est un repère orthonormé Les coordonnées polaires de $ sont :

a) √2 , & b) c) √2 , & d) √

Exercice 2

Sans utiliser une calculatrice calculer les expressions suivantes ' ( )* 8 )* 38 )* 58 )*

- ( ₁₂ 3₁₂ 5₁₂ / ( cos 12cos512 sin 12 sin512 0 ( )* 7 )* 514 )* 12 )*

Exercice 3

Soit un réel, montrer les identités suivantes sin 3

sin cos 3cos ( 2 ; 1 sin

Exercice 4

1) Soit ∈ ℝ\ 56 ; 6 ∈ 78 a) Montrer que : tan

;<= >( ?@=

Kooli Mohamed Hechmi

Trigonométrie 3ème Mathématiques

Pour chacune des questions suivantes une et une seule réponse est exacte. # est égale à :

b) sin c) sin & est égale à :

b) sin c) cos 2 # )* 2 # est égale à :

b) 1 c) 2 # est égale à :

sin a sin cos cos c) cos cos cos ( alors sin # est égale à : b) √ A

# est un repère orthonormé direct

√2 , & √2 , &

Sans utiliser une calculatrice calculer les expressions suivantes )* 7₈

7₁₂ 9₁₂ 11₁₂

C ( cos 12cos512 sin 12 sin512 )* 11₁₂

un réel, montrer les identités suivantes : cos

sin ( 1 cos ( tan 2 ; Dsin

?@= >

Kooli Mohamed Hechmi

_{http://mathematiques.kooli.me/}

d) cos

d) cos

d) 14) Soit et

sin sin

c) √ A

4 & (1 sin 21 sin 2

b) Montrer que : tan

;<=E _F(_?@=

2) En déduire que tan

G tan AG (

Exercice 5

Exercice 6

Pour tout réel on pose :

' # ( √3)* )* H 5_{12I )*} - # ( √3 H 5_12I 0 # ( √3 cos 2 cos H2 5_{6 I} 1) Justifier les égalités suivantes : a) ' # - # ( 2 √3 b) ' # - # ( 0 # 2) a) Montrer que pour tout réel : 0

b) En déduire les valeurs de ' # et

3) En calculant ' & de deux manières, trouver la valeur exacte de

Exercice 7

Dans la figure ci-contre on a tracer un cercle rayon 6 et un cercle / de centre et de rayon et le point - ∈ /

1) a) Donner les coordonnées polaires des points b) En déduire les coordonnées cartésiens 2) Placer le point /K0 , 3√2L.

3) a) Montrer que '#// -/#. b) Montrer que '# N -#.

c) En déduire que '/- est trapèze rectangle.

Exercice 8

1) Montrer que ∀ ∈ ℝ ; sin 2 2)* 2) Résoudre alors dans l’intervalle P0

?@=E _> 2 6 on remarquera que )* A_G et - ( _{G G} A I )* H 5_12I I H 5_12I I cos H2 5_{6 I} # ( 0 # et - #

de deux manières, trouver la valeur exacte de cos

contre on a tracer un cercle / de centre et de et de rayon 3, le point ' ∈ /

Donner les coordonnées polaires des points ' et -. cartésiens des points ' et -.

est trapèze rectangle.

)* ( 2 cos sin cos #

P , 2 R l’équation : sin 2 2)* ( 0

on remarquera que A

G ( G

A G

Exercice 9

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct , ! , "! # on donne les points ' et - de coordonnées polaires respectives 2 , & et 2 ,_S&

1) a) Placer les points ' et - b) Calculer TTTTT! , -'U & TTTTT!

c) En déduire que le triangle '- est isocèle rectangle en 2) Donner les cordonnées cartésiennes de ' et -

3) Soit le point / tel que /TTTTT! = 'TTTTT! + -TTTTT! a) Montrer que -/' est un carré b) Montrer que ! , /U & ≡TTTTT! A P2 R

c) Donner les cordonnées cartésiennes de /

4) En déduire cosA ; cos ; cosW ; cos ; sinA ; sin ; sinW ; sin

Exercice 10

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct , ! , "! # on donne les points ' et - de coordonnées polaires respectives 4 , & et 4 , &

1) a) Montrer que le triangle '- est isocèle

b) Placer dans le repère , ! , "! # les points ' et -

c) Montrer que TTTTT! , -'U & ≡ P2 R TTTTT!

2) a) Calculer les coordonnées cartésiennes des points ' et - b) En déduire que cos = √SX√ et sin =√SY√

Exercice 11

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct , ! , "! # on donne le point $ de coordonnées K2√3 , 2L 1) Donner les coordonnées polaires de $ dans le repère , ! , "! #

2) On considère le point Z tel que Z = $ et $TTTTTT! , ZU & ≡ P2 R TTTTTT! Déterminer les coordonnées polaires de Z dans le repère , ! , "! #

3) a) En utilisant les formules d’addition, calculer cos et sin

b) En déduire les coordonnées cartésiennes de Z dans , ! , "! #

4) Calculer la distance $Z et une valeur approchée à 10Y par défaut de $TTTTTT! , $ZU & TTTTTTT!

Exercice 12

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct , ! , "! # on donne les points : 'K3√3 , 3L ; -K3√3 , −3L et /K4√3 , 0L

1) a) Calculer /'TTTTT!. /-TTTTT! et \éDK/'TTTTT! , /-TTTTT!L. En déduire cos /'TTTTT! , /-U & et sin /'TTTTT! TTTTT! , /-U &. TTTTT! b) Déterminer alors la mesure principale de l’angle orienté K/'TTTTT! , /-TTTTT!L

2) a) Préciser les coordonnées polaires de A et -

b) Placer alors les points A , - et /

c) Donner la mesure principale de l’angle orienté K 'TTTTT! , -TTTTT!L

3) a) Justifier alors que les points , ', - et / appartiennent à un même cercle.

b) Tracer le cercle passant les points , ', - et / en précisant les coordonnées de son centre.

Exercice 13

1) a) Résoudre dans ℝ puis dans ^– , ` l’équation : cos − sin = 1 b) Résoudre dans ℝ l’équation : 1 − 2 sin cos = 2

2) Résoudre l’inéquation : cos >√

a) dans ℝ b) dans P0 , 2 R c) dans P− , R

3) Soit b la fonction définie par : b # = sin 3 # 2 cos − 1#. Déterminer le signe de b # sur P0 , R.

Exercice 14

1) Résoudre dans ℝ l’équation : sin cos 2 # − cos sin 2 # =√ 2) Résoudre dans P0 , 2 R l’équation : cos 2 # + 2 cos = −1 3) Résoudre dans ℝ l’inéquation : 2 sin ≥ −√3

4) Résoudre dans P− , 2 R l’inéquation : 2 cos ≤ √3 5) Résoudre dans P− , R l’inéquation : ?@= >

Y ef? >> 0

Exercice 15

1) Résoudre l’inéquation : 2 sin ≤ 1

a) dans ℝ b) dans P0 , 2 R c) dans P− , R

2) Résoudre dans ℝ puis dans P0 , 2 R l’équation : cos − √3 sin = 1 3) Résoudre dans P , 2 R l’équation : 2 sin 2 = √3

4) Soit b la fonction définie par : b # = sin + & 2 cos + 1#

a) Résoudre dans P0 , R l’équation b # = 0 b) Déterminer le signe de b # sur P0 , R

Exercice 16

Soit la fonction b # = √3 cos 2 − sin 2

1) Calculer b & ; b & ; b − & ; b & ; b A & 2) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; b + # = b #

3) a) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; b # = 2 cos 2 +

b) Montrer que : ∀ ∈ ℝ ; b # = 2 − 4 + & c) Calculer b 0# et en déduire la valeur exacte de sin 4) a) Résoudre dans ℝ l’équation : 2 cos 2 +_S& = √2 b) Résoudre dans IR l’inéquation : 2 sin 2 +

S& + 1 ≥ 0

Exercice 17

1) Montrer que ∀ ∈ ℝ ; √2 cos − √2 sin = 2 cos + & 2) Résoudre dans ℝ l’équation : √2 cos − √2 sin = 0