Etude de l’existence de solutions et de la stabilité pour certaines équations différentielles fonctionnelles integro -différentielles a retard par la technique de point fixe

ETUDE DE L’EXISTENCE DE SOLUTIONS ET DE LA

STABILITE POUR CERTAINES EQUATIONS

DIFFERENTIELLES FONCTIONNELLES

INTEGRO-DIFFERENTIELLES A RETARD PAR LA TECHNIQUE DE

POINT FIXE

ةرازو

ميلعتلا

لياعلا

ثحبلاو

يملعلا

ةعماج

يجاب

راتخم

-ةبانع

-U

B

M

A

U

B

M

A

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

THÈSE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de Doctorat

Option : Equations différentielles et applications

Par:

Gabsi Hocine

ENCADREUR :

DJOUDI Ahcène

Prof

U.B.M. ANNABA

Co. ENCADREUR :

ARDJOUNI Abdelouaheb

MCA

U.M.M. SOUK-AHRAS

Devant le jury

PRESIDENT:

KELAIAIA Smail

Prof

U.B.M. ANNABA

EXAMINATEURS :

BENTRAD Ali

Prof

U. REIMS, FRANCE

SELMI Abdelouahab

MCA

U.B.M. ANNABA

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier certaines propriétés

quantitatives et qualitatives de larges classes de systèmes et

d'équations intégro-différentielles non linéaires à retard

fonctionnel de type neutre et de présenter des extensions de

résultats antérieurs. Ces extensions s’appliquent à des classes

plus étendues d’équations à retard fonctionnel non borné. Les

techniques de point fixe et du degré de coïncidence de

Mawhin sont utilisés pour établir des résultats de stabilité

asymptotique et d'existence de solutions périodiques et

positives pour certains systèmes à retard. Des exemples

d'applications sont fournis pour illustrer les travaux établis

dans cette thèse.

Mots clés : Equations différentielles à retard. Point fixe. Degré

Topologie

Abstract

The purpose of this thesis is to study some quantitative and

qualitative properties of large classes of systems and nonlinear

intégro-differential equations with functional delay of neutral

type in the hope to establish extensions of some anterior

results for a large class of equations and systems with

unbounded functional delay. The technique of fixed point

theory and the degree of coincidence due to Mawhin are

mainly used to establish asymptotic stability results and

existence of positive and periodic solutions of certain system

of equation with delay. Examples are given to illustrate our

claims.

Key words: Differential time equations. Fixed point. Degree

Topology

صخلم

ةيمكلاو ةيعونلا صئاصخلا ضعب ةسارد وه ةحورطأل هذه نم فدهلا

ل

ةلمج

تالداعم

ةيلضافت

ضعبو

اث ريغ رخأت تاذ ةيطخلا ريغلا لماكتلا طمن نم ةيلضافتلا تالداعم

ةب

يف ةصالخلا نمكتو

اهقيبطت نكمي اهيلع لصحتملا جئاتنلا هذه . طورشلا ضعب نيسحتو ديدمت

اعملا ىلع عسوأ لكشب

تالد

ةيلضافتلا

ريغ رخأت تاذ

.دودحم

ىلع دامتعا

ةطقنلا ةينقت

و ةتباثلا

ايجولوبطلا ةجرد

نهربن

تملا رارقتسالا ةيرظن

ق

را

ب

يرظنو

ة

لا

دوجو

لل

لولح

لا

ةيرود

ةبجوملا

ل

ةلداعم ةلمج

تاذ ةيلضافتلا

ت

خأ

ر

حيضوتل ةلثمأ مدقن اريخأو .

.انجئاتن

ةيحاتفملا تاملكلا

:

لا

افتلا تالداعم

رخأت تاذ ةيلض

ايجولوبطلا ةجرد .ةباثلا طقنلا .

I Préliminaires 8

I.1 Outils et notions fondamentales . . . 8

I.1.1 Distances et normes . . . 8

I.2 Théorèmes de point fixe . . . 11

I.2.1 Le principe de l’application contractante . . . 12

I.2.2 Compacité et applications compactes . . . 12

I.2.3 Théorème de point fixe de Schauder . . . 14

I.2.4 Théorème de point fixe de Krasnoselskii . . . 15

I.3 Degré topologique . . . 15

I.3.1 Homotopie . . . 15

I.3.2 Degré de Mawhin . . . 16

I.3.3 Théorème de continuation de Mawhin . . . 18

I.4 Équations différentielles à retard et de type neutre . . . 19

I.4.1 Equations différentielles à retard . . . 19

I.4.2 Equations différentielles de type neutre . . . 22

I.5 Stabilité de solutions pour des équations à retard . . . 24

I.6 Résolution d’une équation à retard . . . 26

I.6.1 La méthode des étapes . . . 27

I.6.2 La Méthode d’équations caractéristiques . . . 28

I.7 Quelques modèles d’équations à retard . . . 29

I.7.1 Un modèle en logistique . . . 29

I.7.2 Réaction chimique avec recirculation . . . 30

I.7.3 Contrôle d’un Bateau (Minorsky) . . . 31

I.7.4 Contre-réaction (système contrôlé par boucle fermée) . . . 31

I.8 Stabilité par la méthode de point fixe . . . 32

II Existence de solution périodique positive pour un système d’équations di fféren-tielles non linéaire de type neutre à retard, 34 II.1 Le système et un peu d’histoire . . . 34

II.2 Degré de coïncidence Périodicité et positivité pour l’Eq(II.1) . . . 36

II.3 Point fixe, Périodicité et positivité pour l’Eq (II.2) . . . 41

III Stabilité asymptotique d’une classe d’équations non linéaires intégro-différentielles

à retard de type Liénard 48

III.1 Inversion et transformation de l’équation . . . 50 III.2 Bornitude et stabilité asymptotique de solutions . . . 57 IV Existence de solutions périodiques d’une équation différentielle à retard de

se-cond ordre 73

IV.1 Introduction à l’étude d’existence . . . 73 IV.2 Inversion et transformation de l’équation . . . 74 IV.3 Existence d’une solution périodique . . . 77

Conclusion et Perspectives 82

Les premiers travaux sur la stabilité ne retenaient, des équations différentielles ordi-naires (EDO), que leurs approximations linéaires du premier ordre. Il a fallu attendre quelques années pour que Lyapunov justifie et étend les propriétés locales déduites du modèle linéarisé. L’un des résultats principaux est la première méthode de Lyapunov qui s’énonce

-si l’origine est asymptotiquement stable pour le système linéarisé alors il est locale-ment asymptotiquelocale-ment stable pour le système non linéaire.

Cependant il ne donne aucun renseignement quantitatif sur le domaine de stabilité asymptotique. Cette lacune fut contournée par l’introduction des fonctions ou fonction-nelles de Lyapunov. C’était là la seconde méthode de Lyapunov connu sous le nom de la méthode directe de Lyapounov. D’autre part, ces fonctions ont une relation directe avec la physique des systèmes puisque très souvent elles ne sont rien de plus que l’expression de l’énergie totale du système qui, s’il est dissipatif, décroît au cours du temps afin que le système rejoigne une configuration à énergie minimale.

Les premiers résultats sont apparus avec Lyapunov à la fin du 19èmesiècle et au début du 20ème siècle. Il donne alors une condition suffisante pour la stabilité des systèmes non linéaires. Chetaev, quant à lui, démontra un théorème d’instabilité en 1934. Puis, Massera établi une condition nécessaire et suffisante de stabilité. Hahn et Lefschetz achèveront alors dans les années 1960 cette théorie.

Ces dernières années, la théorie de point fixe a été introduite par les investigateurs et elle s’est révélée un outil puissant pour la plupart des études de l’existence de so-lutions périodiques, stabilité et stabilité asymptotique de la solution de certains pro-blèmes linéaires ou non linéaires associés à des équations différentielles et/ou intégro– différentielles à retard fonctionnel non borné. La technique de point fixe a montré aussi d’autres avantages sur celle de Lyapounov, les conditions de la première méthode sont en moyenne, cependant celles de Lyapounov sont ponctuelles. Dans plusieurs études la méthode de point fixe s’est montré viable et incontournable.

Toutes les équations considérées dans ce projet sont des équations à retard. Dans la description mathématique d’un grand nombre de phénomènes, en biologie, en médecine, en chimie, en physique, en technologie, et en sciences économiques, ... etc, on a l’habitude de supposer que l’évolution du système dépend uniquement de son état actuel. Mais il existe des situations où l’évolution d’un processus dépend non seulement de son état ac-tuel, mais aussi des états antérieurs. On rencontre de tels phénomènes dans de nombreux domaines, en particulier dans des systèmes de dynamique de population. Parmi les mo-dèles mathématiques qui peuvent décrire de telles situations, on rencontre des équations

différentielles à retard, et des équations de type neutre. On trouve alors des équations dont les termes temporels sont, d’une manière générale, des termes non locaux, faisant inter-venir les valeurs de l’état à des instants antérieurs, discrets ou distribués. Ces termes non locaux sont soit d’ordre 0 (équations à retard), soit d’ordre 1 (équations de type neutre). Enfin, les problèmes étudiés peuvent se placer dans des domaines spatiaux ou autres et se modélisent sous forme d’équations aux dérivées partielles. D’une manière générale, les retards apparaissent à cause du temps nécessaire pour que le système réponde à une cer-taine évolution, ou parce qu’un certain seuil doit être atteint avant que le système ne soit activé. L’introduction des retards dans les modèles entraîne l’apparition de fluctuations avec des phases d’explosion, suivies de phases latentes ou même des phases d’extinctions. On peut grossièrement situer les équations à retard comme étant à mi-chemin entre les équations ordinaires et les équations aux dérivées partielles. La différence avec les équa-tions ordinaires est que les données initiales sont elles mêmes des foncéqua-tions. Ceci nécessite une étude mathématique plus élaborée que pour les équations différentielles ordinaires. La nature du retard (discret, continu, infini, dépendant de l’état, . . . ) complique potentiel-lement l’étude de l’équation.

De manière générale, les équations à retard apparaissent de plus en plus fréquem-ment dans la modélisation de l’évolution des populations. Les phénomènes à " retard " s’observent également en physique, en mécanique des matériaux, dans la modélisation des chocs de particules, ... etc. Dans la plupart des situations de la physique ou de la mé-canique, le retard est considéré comme petit et estimé sans effet qualitatif, il est donc le plus souvent ignoré. Dans l’étude des populations vivantes, la nécessité de tenir compte du retard s’est imposée progressivement. Elle est introduite en écologie par V. Volterra, elle a été étendue dans les années 70 à la biologie (prolifération de certains constituants du sang, Glass et Mackey [72]), production cellulaire, Arino et Kimmel [13], à la théorie des épidémies Yorke [92] et Cooke [31] et a, peu à peu, fait son chemin dans ces domaines. Dans le contexte des dynamiques des populations et de la biologie mathématique en général, nous citons le livre de Bellman et Cooke [16] dans lequel nous pouvons trouver les motivations pour étudier les systèmes à retard. Des motivations biologiques, pour mo-déliser et étudier théoriquement les systèmes à retard, peuvent être trouvées aussi dans les livres de May [73], Smith [74] et de Pielou [80]. Des exemples concrets de modèles à retard en biologie mathématiques sont contenus dans les livres de Cushing [32], Mac Donald [71] et Gopalsamy [50]. Nous citons aussi le livre de Hale [54, 87] et Yang Kuang [63] qui ont poussé l’étude des équations à retard à un niveau très avancé, motivé par une application biologique.

Volterra considéra en 1928 dans [89] le modèle suivant

x0(t) = Z t

t−r

a(t − s)x(s)ds. (1)

avec un retard constant r > 0. Volterra a proposé une méthode pour construire une fonc-tionnelle de Liapunov pour cette équation et son œuvre a servi pour plateforme pour tous les investigateurs venus après lui. En 1963, motivé par les remarques de Volterra, Levin [65] a construit une fonctionnelle de Liapunov pour l’analogue non linéaire de (1). Il

ré-x0(t) = − Z t

t−r

a(t, s)g (x(s)) ds (2) avec la valeur initiale

x (t) = ψ (t) sur I

On observe que si t = 0 l’équation (2) devient

x0(0) = − Z 0

−_r

a(0, s)g (x(s)) ds.

Ceci nécessite la donnée initiale d’une fonction définie sur tout l’intervalle [−r, 0] de R. Lorsque I = [−r, 0], il s’agit là d’équations différentielles à retard fini auquel cas l’es-pace de phase Cr est l’espace des fonctions continues de [−r, 0] dans R muni de la

conver-gence uniforme. Donc la solution x de (2) doit dépendre d’un retard fonctionnel telle que

x (t) = ψ (t), t ∈ [−r, 0]. Lorsque ψ : (−∞, 0] → R et x (t) = ψ (t), t ∈ (−∞, 0], alors pour

ré-soudre l’équation (2) pour t ≥ 0, nous allons lui associer un retard fonctionnel infini qui n’est pas nécessairement constant. On observe que lorsque le retard est non borné, on par-lera d’équations différentielles à retard infini et cette propriété a permis de développer une théorie complète des équations différentielles à retard sur des espaces multi dimen-sionnels. Néanmoins, l’investigation des équations avec retard infini sur de tels espaces exige et nécessite le développement d’autres outils d’analyse fonctionnelle pour faire face aux problèmes liés à l’aspect qualitatif des solutions. Les EDR et EIDR ont des applications dans une très grande variété de domaines. Nous donnerons quelques exemples d’EDR et EIDR appliquées à la biologie et à l’écologie ainsi à l’électricité. D’autres exemples peuvent se trouver dans la littérature foisonnante de ce domaine des mathématiques.

Dans le premier chapitre de cette thèse nous rappelons quelques outils de base et nous présentons quelques résultats préliminaires essentiels pour ce travail. Nous donnons en particulier quelques résultats fondamentaux sur la théorie de la point fixe et degré topologique pris en majorité du fameux livres [86] et [75] . Un rappel sur les équations différentielles à retard et les équations différentielles de type neutre est donné et pour de amples détails on renvoi aux références [50, 52, 53, 54, 63, 87].

Dans le deuxième chapitre, nous allons étudier l’existence d’une solution périodique positive pour un système d’équations différentielles non linéaire de type neutre à retard donné sous la forme

               dx dt = ±x (t) [G (t, x (t − τ1(t)) , ..., x (t − τn(t))) − ϕ (t) x 0 (t − r (t))] , du dt = a (t) u (t) − λb (t) f (t, u (t − δ (t))) − c (t) x (t − σ (t)) , (3) Avec, G (t, x1, ..., xn) ∈ C  Rn+1, R  , G (t + ω, x1, ..., xn) = G (t, x1, ..., xn) et f : R × R+ → R,

∈_{C (R, R}+_{), ϕ, a, b, c ∈ C (R, R}+_{), r, σ , δ, τi} ∈_{C (R, R) pour i = 1, n. sont des fonctions} conti-nues ω–périodiques et ω > 0 est une constante de R. Où λ > 0 est un paramètre de R. L’étude des systèmes à retard appartenant au type neutre ne sera pas abordée.

Cepen-dant, il est important de signaler la différence avec le type retardé. En effet, pour ce type, les arguments du champ de vecteurs G font intervenir la dérivée de l’état xt et par

consé-quent des dérivées retardées.

Dans le troisième chapitre nous allons étudier une équation intégro-différentielle non linéaire de type neutre à retards, τj(t) ≥ 0 j = 1, N . Elle s’identifie à la forme

¨ x + f (t, x, ˙x) ˙x + N X j=1 Z t t−τj(t) aj(t, s)gj(s, x (s)) ds + N X j=1 bj(t)x 0 t − τj(t)  = 0. (4)

Ainsi, nous associons à cette équation une condition initiale,

x (t) = ψ (t) , t ∈ [m(t0), t0], où ψ ∈ C([m(t0), t0], R), mj(t0) = inf{t − τj(t), t ≥ t0}, m(t0) = min n mj(t0) | 1 ≤ j ≤ N o , et τj: R+−→ R+, bj: R+ −→ R

sont des fonctions différentiables avec t − τj(t) −→ ∞, j = 1, N lorsque t −→ ∞ et aj :

R+×[m(t₀), ∞) −→ R, sont des fonctions continues.

Beaucoup d’investigateurs des cas particuliers de (4) ont étudié la bornitude et la sta-bilité de l’équation (4) par la technique de point fixe, Par exemple, T.A. Burton dans [18] et D.Pi dans [79]

La notion de stabilité constitue une problématique centrale de la théorie du contrôle. Souvent liée à la façon d’appréhender un système, la stabilité possède un large éventail de définitions. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons à quelques notions particulières de stabilité. En particulier, on cite la stabilité au sens de Lyapunov. Les résultats que nous dé-velopperons de ce Chapitre s’appuierons sur ces concepts pour démontrer des propriétés de stabilité des systèmes à retards étudiés.

Dans le dernier chapitre nous considérons l’équation intégro-différentielle de second ordre non linéaire à retard variable τ(t) > 0.

x00(t) + p (t) x0(t) + q (t) x3(t) = Z t

−∞

D (t, s) f (s, x (s − τ (s))) ds, (5) et nous allons proposer des conditions pour qu’une solution périodiques puisse exister. L’idée consiste à faire une analyse sur les fonctions p, q de sorte que l’équation (5) admette l’inversion pour produire une nouvelle, mais équivalente, équation intégrale ayant les mêmes propriétés. Cette nouvelle équation se met sous forme d’une somme de deux ap-plications, la première est une contraction et l’autre continue à image compact. Un choix convenable des hypothèses permet de valider les conditions de ce dernier théorème de sorte qu’une solution périodique du problème étudié est conclue. Malheureusement, les conditions qui permettent d’aboutir à l’unicité de cette solution restent encore à trouver.

quanti-périodiques. Nous nous intéressons à la stabilité asymptotique de la solution zéro. Dans un premier temps on va présenter sommairement la théorie de la stabilité des équations intégro-différentielles à retard fonctionnel de type neutre. Dans une deuxième étape on présente deux exemples d’équations intégro-différentielles, la première étant linéaire et l’autre non linéaire. Ces exemples font parties des problèmes qui ont résisté à l’étude par la méthode de Lyapounov.

Les résultats établis dans ce projet de thèse constituent, ce que l’on souhaite, une étape avancée dans ce domaine de recherche car l’étude que nous proposons ici prend en charge des équations intégro-différentielles totalement non linéaires de type neutre non traitées jusqu’ici. En outre notre méthode de point fixe améliore nettement les résultats antérieurs particulièrement ceux de Becker et Burton [15, 17] avec beaucoup moins de restrictions et avec plus de rigueurs.

La méthode de point fixe utilisée pour des fins de stabilité a été utilisé dans un certain nombre de travaux récents comme [1]–[11], [15], [17]–[27], [35]–[38], [40], [45]–[44], [56]– [58], [77]–[79], [81]–[83], [95, 96]. Cette méthode repose sur trois éléments fondamentaux. A savoir,

* une application de point fixe,

* un espace fonctionnel convenable apte à contenir les solutions souhaitables, * un théorème de point fixe convenable.

Cette méthode a montré des avantages significatifs sur celle de Liapunov. En particu-lier lorsque les coefficients sont non bornés et/ou si le retard est non borné la méthode directe de Liapunov a montré ses limites contrairement à celle du point fixe. De plus, les conditions de la méthode de point fixe sont en moyenne par contre celles de la deuxième sont toujours ponctuelles.

Mots clés.

Point Fixe, Krasnoselskii, Contraction large, Degré topologique, Équation à retard. Le but de ce premier chapitre est de présenter et rappeler un certain nombre d’outils d’analyse, comme la théorie de point fixe, et degré topologique, les équations différen-tielles à retard fonctionnel ainsi que l’essentiel des éléments qui seront utilisés dans ce manuscrit. Nous en profiterons également pour introduire les principales notations. Nous donnerons aussi la définition de la stabilité d’équations à retard. Pour de plus amples dé-tails nous renvoyons le lecteur par exemple aux documents suivants [14, 16, 31, 32, 33, 39, 50, 52, 53, 54, 63, 71, 74, 76, 86, 87] et pour degré topologique nous citons ici quelques références dans ce contexte [42], [43], [49], [75].

Outils et notions fondamentales

I.1

Les définitions peuvent être données pour des fonctions à valeurs complexes. Mais, dans notre contexte, on parlera seulement des fonctions à valeurs réelles.

I.1.1

Distances et normes

Le couple (S, ρ) est dit un espace métrique si S un ensemble arbitraire non vide et ρ : S × S −→ R+ une application vérifiant pour tout x, y et z de S,

(ρ1) ρ(x; y) ≥ 0, ρ(x, x) = 0, ρ(x, y) = 0 =⇒ x = y, (ρ2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (symétrie) et

(ρ3) ρ(x, y) ≤ ρ(y, z) + ρ(z, y) (inégalité triangulaire).

Définition 1

Un espace métrique (S, ρ) est dit complet si toute suite de Cauchy de points de S est convergente dans S.

Dans un espace métrique (S, ρ), toute suite convergente est une suite de Cauchy.

Proposition 3

Soit S un espace vectoriel. On appelle norme sur S toute application de S dans R+ habi-tuellement notée k·k vérifiant pour tout x, y ∈ S et tout λ ∈ k,

n1 kλxk = |λ| kxk , (homogénéité), n2 kxk = 0 si et seulement si x = 0 et n3 x + y ≤ kxk + y (inégalité triangulaire). Définition 4

Soient X = C([a, b], Rn) l’espace vectoriel des fonctions continues définies sur [0, 1] et

Y = C1([a, b], Rn) le sous espace de C([a, b], Rn) des fonctions continument différentiables. Alors, le nombre kf k∞= maxt∈[0,1]|f (t)| où |·| est une quelconque norme sur Rn, constitue

une norme sur X mais elle ne l’est pas sur Y . Cependant, les nombres k_{f k}

0 = kf 0_k

∞+ |f (0)| et kf k₁= |f (0)| + R

[0,1]|f (t)| dt, définissent des normes sur Y .

Exemple 5

Un espace vectoriel normé est un couple (S, k·k) où S est un espace vectoriel sur K (= R ou C) et k·k est une norme sur S.

Définition 6

Si (S, k·k) est un espace vectoriel normé alors ρ(x, y) := x−y

définit une distance sur Sdite la métrique associée à cette norme.

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé (S, k·k) complet pour la métrique as-sociée à cette norme.

Définition 7

Muni de la norme kf k = max

t∈[a,b]

|_{f (t)|, C([a, b], R}n_{) est un espace de Banach. On peut} égale-ment vérifier que C1([a, b], Rn) est un Banach lorsqu’il est muni d’une des normes k·k0 ou k·k_{1qui sont en fait équivalentes sur C}1_{([a, b], R}n_).

Un sous espace fermé d’un espace de Banach est lui–même de Banach.

Théorème 9

Soit h : R+→_{]0, ∞[ une fonction continue donnée (un "poids "). Considérons} S_h=

(

f : R+→ C_{telles que sup}

x∈R+

{_{h (x) |f (x)|} < ∞} )

muni de la norme kf k∞_,h= sup

x∈R+

{_{h (x) |f (x)|}. Alors, Shest un espace de Banach pour cette} norme.

Exemple 10

Soit ψ : [a, b] −→ Rnune fonction continue donnée avec a, b ∈ R. Soit S l’espace de fonctions continues et bornées f : [a, ∞) −→ Rn, telles que f (t) = ψ(t) pour a ≤ t ≤ b. Pour f , g ∈ S,

on pose

ρ(f , g) = sup t∈[a,∞)

|_{f (t) − g(t)| = kf − gk∞.} Alors, (S, ρ) est un espace métrique complet.

Dénotons par C := C (S1, S2) l’espace de fonctions continues allant de S1à S2. Posons M:= {ϕ : [0, ∞) −→ R | ϕ ∈C, |ϕ(t)| ≤ 1, ϕ(t) −→ 0 lorsque t −→ ∞} ,

et

Q:= {ϕ : [0, ∞) → R | ϕ ∈ C, |ϕ(t)| ≤ 1}

Soit k·k la norme du supremum et soit |·|_h une norme poids définie par la donnée d’une fonction h : [0, ∞) −→ [1, ∞), h(0) = 1, h(t) −→ ∞ pour ϕ ∈ M ou Q comme suit

|_ϕ|

h:= sup |ϕ(t)| t≥0

/ |h(t)| .

Exemple 11

(M, k·k) est un espace de Banach.

(Q, |·|h) est un espace de Banach.

Exemple 13

(M, |·|_h) n’est pas un espace de Banach.

Exemple 14

Preuve.Soit {φn}la suite de fonctions continue définie par

φn(t) = 1, 0 ≤ t ≤ n, φn(t) = 0, n + 1 ≤ t < ∞, φnest linéaire et continue sur [n, n + 1].

Soit ε > 0 un nombre choisi arbitrairement. On doit trouver un indice N tel que n, m ≥

N et t ∈ R implique que   φn(t) − φm(t)    < εh (t) . (I.1) Choisissons T tel que εh (T ) > 2. De toute évidence, pour tout n, m et pour tout t ≥ T on a (I.1). Le choix de N > T implique que pour n, m ≥ N et 0 ≤ t ≤ N on aura φn(t) = φm(t) = 1

de sorte que (I.1) est valide. Cela démontre que la suite de, en effet, est Cauchy. Cependant pour un t fixé on a φn(t) −→ 1 lorsque n −→ ∞, or 1 n’est pas un élément de M. D’ou la

conclusion.

Théorèmes de point fixe

I.2

Dans ce paragraphe on rappelle les théorèmes de point fixe qu’on va utiliser dans ce travail. Pour plus de détails sur les théorèmes de point fixe on réfère au fameux livre de Smart [86].

Soit P une application d’un ensemble S dans lui–même. On appelle point fixe de P tout point u tel que P u = u. Si un tel u existe on dit que P possède un point fixe. Il est clair que la recherche d’un point fixe pour P est équivalent à la recherche d’un u ∈ S tel que

P u − u = 0.

Si f : [a, b] −→ [a, b] est une fonction continue alors f admet un point fixe au moins sur [a, b].

Exemple 16

Pour résoudre un problème de point fixe relativement compliqué, on doit identifier trois éléments fondamentaux, à savoir,

1. Un ensemble convenable S apte à contenir les solutions du problème ;

2. Une application P : S −→ S ayant la particularité qu’un point fixe est solution du problème ;

3. Un théorème de point fixe qui assure l’existence d’un tel point fixe de P sur S. Il est donc naturel d’introduire des théorèmes de points fixe. La théorie de point fixe aujourd’hui à pris des dimensions considérables. Ici, on va se contenter des théorèmes utiles pour notre analyse.

I.2.1

Le principe de l’application contractante

En 1922 Stefan Banach établi un théorème qui s’applique aux fonctions contractantes définies sur des espaces métriques complets. Ce théorème a fait preuve d’une grande utilité en analyse. En particulier il a donné des résultats concluant dans le domaine de l’existence de solutions et le calcul approché pour de nombreux problèmes émanant de l’analyse non linéaire. Ici on va découvrir une autre dimension de ce théorème de Banach.

Soit (S, d) un espace métrique complet non vide et soit f : S −→ S une contraction i.e., il existe une constante 0 ≤ k < 1 telle que d (f x, f y) ≤ kd (x, y) , pour tout x, y ∈ S. Alors f admet un et seul point fixe x∗∈ S_{( f x}∗_{= x}∗_).

Théorème 17 (Principe de l’application contractante)

1) L’hypothèse ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y) n’implique pas que f est une contraction.

2) L’hypothèse S complet est fondamentale. Par exemple, si S =]0, 1] et f (x) = x/2, alors f est contractante et n’a pas de point fixe dans S.

Remarque 18

I.2.2

Compacité et applications compactes

Soit (S, d) un espace métrique. Un sous ensemble M de S est dit compact ssi de tout recouvrement ouvert de M on peut extraire un sous recouvrement fini. D’une manière équivalente, un sous ensemble M de S est compact si et seulement si tout suite de M admet une sous suite convergeant dans M.

ensemble fini de points x1, x2, ..., xndans S tels que M ⊆ ∪n_i=1B(xi).

1) Tout sous ensemble d’un ensemble totalement borné est totalement borné.

2) Tout ensemble totalement borné est borné. Cependant, un sous ensemble borné n’est pas totalement borné en général.

Remarque 19

Soit S un espace métrique. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes, i) S est compact.

ii) Toute suite de S admet une sous suite convergente. iii) S est complet et totalement borné.

Proposition 20

Soit M un sous ensemble d’un espace métrique complet S. Alors, a) M est compact si et seulement si M est fermé et totalement borné. b) M est compact si et seulement si M est totallement borné.

Proposition 21

Un sous ensemble M d’un espace métrique est dit relativement compact si son adhé-rence est compacte, i.e., M est compact. En particulier, on a la proposition suivante.

Soit M un sous ensemble fermé d’un espace métrique complet. Alors, M est compact ssi il est relativement compact.

Proposition 22

Soit {fn}suite de fonctions réelles fn: [a, b] → R, a, b ∈ R.

a) {fn}est uniformément bornée sur [a, b] s’il existe un l > 0 tel que |fn(t)| ≤ l pour tout n

et tout t ∈ [a, b].

b) {fn}est équicontinue si pour tout  > 0 il existe un δ > 0 tel que t1, t2∈[a, b] et |t1−t2|< δ implique |fn(t1) − fn(t2)| <  pour tout n.

Définition 23

Le théorème suivant fourni la meilleure méthode pour prouver la compacité dans les espaces de fonctions continues.

(d’Ascoli-Arzela) Soit {fn}n une suite de fonctions réelles uniformément bornée et

équi-continue sur [a, b]. Alors, il existe une sous-suitenfnk

o

k de {fn}net une fonction f continue

dans [a, b] telles quenfnk

o

k converge uniformément vers f dans [a, b].

Théorème 24

Il existe une version qui étend ce dernier théorème d’Ascoli Arzelà lorsque on travaille sur des intervalles non compacts. Cette extension se trouve dans ([28], Théorèm 1.2.2 p. 20) dont l’énoncé est comme suit.

Soit q : R+ → R _{une fonction continue telle que q (t) → 0 quand t → +∞. Si {ϕn(t))}}

n

une suite équicontinue de fonction de R+ dans RN avec |ϕn(t))| ≤ q (t) pour t ∈ R+, alors

il existe une sous suite qui converge uniformément sur R+ vers une fonction ϕ (t) avec |_{ϕ(t))| ≤ q (t) pour t ∈ R}+_{, où |·| dénote la norme Euclidienne sur R}m_.

Théorème 25

Soit X et Y deux espaces vectoriels normés et Ω un sous ensemble de X.

Une application continue T : X → Y est dite compacte si lorsque Ω est borné implique

T (Ω) est relativement compact i.e.,T (Ω) est compact. C’est à dire si pour toute suite

bor-née {xn}dans X, la suite T (xn) possède une sous suite convergeant dans Y . T est dite complètement continue si elle est compacte et continue.

Définition 26

I.2.3

Théorème de point fixe de Schauder

[86] Soit M un sous ensemble non vide, fermé, borné et convexe d’un espace de Banach (S, k·k). Alors, toute application complètement continue T : M → M admet un point fixe.

Théorème 27 (Schauder)

Le théorème de Schauder s’applique en particulier aux équations différentielles non linéaires. Cependant, le théorème ne garantit pas l’unicité de la solution lorsque celle-ci existe. Il existe beaucoup de problèmes pour lesquels on peut conclure l’unicelle-cité de la solution obtenue par le théorème de Schauder avec des conditions moins restrictives que des conditions de Lipschitz.

I.2.4

Théorème de point fixe de Krasnoselskii

Nous rappelons ici le théorème hybride de point fixe due à Krasnoselskii dont la preuve peut être cherchée dans (voir [86]).

Soit (S, k·k) un espace de Banach et soit M une partie non vide, convexe, bornée et fermée de S. Si A, B : M −→ S sont deux applications satisfaisant,

i) Ax + By ∈ M, ∀x, y ∈ M,

ii) A est coplètement continue et

iii) B est une contraction de constante α < 1.

alors, il existe un point x ∈ M solution de l’équation Ax + Bx = x.

Théorème 28

Indiquons enfin un lemme très utile lorsque l’on cherche à prouver que l’existence et la positivité d’une solution d’un problème périodique.

Soit X un espace de Banach,et K est un cône de X. on suppose que Ω1,Ω2, sont des ouverts de X avec 0 ∈ Ω1, Ω1⊆ Ω2 et soit A : K ∩



Ω2− Ω1 

→_{K est un opérateur complètement} continue tel que

(i) kAxk ≤ kxk pour x ∈ K ∩ ∂Ω1 et kAxk ≥ kxk pour x ∈ K ∩ ∂Ω2 ou (ii) kAxk ≥ kxk pour x ∈ K ∩ ∂Ω1 et kAxk ≤ kxk pour x ∈ K ∩ ∂Ω2. Alors A admet au moins un point fixe dans K ∩Ω2− Ω1

 .

Lemme 29

Degré topologique

I.3

Les éléments qu’on va exposer ci-dessous ont été cueilli de plusieurs ouvrages de l’ana-lyse et certains livres de spécialisés sur Degré topologique et la plupart se trouve dans la bibliographie suivante [75, 49, 42]

I.3.1

Homotopie

L’homotopie est une notion de topologie algébrique. Elle formalise la notion de dé-formation continue d’un objet a un autre. Deux lacets sont dits homotopes lorsqu’il est possible de passer continument de l’un a l’autre. Ce concept se généralise à bien d’autres objets que des lacets.

L’homotopie fournit des informations sur la nature topologique d’un espace. Une bande circulaire d’un plan ne peut être équivalente, au sens de l’homéomorphisme, a un disque. Dans un disque, tout lacet est homotope a un point. Dans une bande circulaire, ce n’est pas le cas. Cette remarque est source de démonstrations, comme celles du théorème de

d’Alembert-Gauss, du point fixe de Brouwer, de Borsuk-Ulam ou encore celle du théo-rème du sandwich au jambon qui précise par exemple que, trois solides mesurables et de mesures finies de l’espace usuel étant donnes, il existe un plan qui sépare chacun des solides en deux parties de mesures égales.

Soient X, Y deux espaces topologiques et f , g : X → Y deux applications continues. On dit que f et homotope à g s’il existe une application continue Ψ : [0; 1] × X → Y telle que

∀ ∈_{x ∈ X, Ψ (0, x) = f (x) et Ψ (1, x) = g(x)} On dit alors que Ψ une homotopie de f à g.

Définition 30 (Applications homotopes)

De manière imagée, en représentant le segment [0; 1] verticalement, la tranche infé-rieure donne f , la tranche supéinfé-rieure donne g et les tranches intermédiaires des fonctions qui font passer continûment de f à g. On définit même une notion un peu plus générale Invariance par homotopie.

Soit X un espace de Banach. Si Ψ est une application compacte de [0; 1] × ¯Ω, avec Ω un sous-ensemble ouvert de X, soit y < Ψ (∂Ω, [0, 1]), on a alors

d(Ψ (·, θ), y) = d(Ψ (·, 0), Ω, y) pour tout 0 ≤ θ ≤ 1.

Définition 31 (Invariance par homotopie)

I.3.2

Degré de Mawhin

Ici X, Z sont des espaces vectoriels normés. On s’intéressera par l’étude des équations opérationnelles de la forme

Lx = N x (I.2)

où L : D (L) ⊂ X → Z est un opérateur linéaire et N : X → Z est une application non nécessairement linéaire. L’équation (I.2) représente une grande classe de problèmes, y compris des équations différentielles non linéaires à retard. Il n’y a aucun problème si le noyau de la partie linéaire de cette équation ne contient que zéro, car dans ce cas L est surjective. L’équation peut être réduite à un problème de point fixe pour l’opérateur L−1N ;

et pour le résoudre, on utilisera un théorème convenable (par exemple celui de Schauder si L−1N est compact ou de Banach si L−1N est contractant et X = Z est un Banach).

Dans le cas où L−1 n’existe pas (i.e ker L , {0}) et X, Z sont des espaces de Banach. En 1972, Mawhin a répondu à cette question dans son célèbre article “Topological degree and boundary value problems for nonlinear differential equations” [75] où il a supposé que L est un opérateur de Fredholm d’indice 0. En effet, dans ce cas on a

ImP = ker L et ker Q = ImL

et un isomorphisme J : ker L → Y0 où Y0 est le supplémentaire topologique de ImL. Maw-hin a montré que l’application L + JP est bijective et que

(L + JP )−1= J−1Q + L−_P1(I − Q) avec LP = L

D(L)∩ker P, alors l’équation (I.2) prend la forme

x = (P + J1QN + L−_P1(I − Q)N )x

c’est à dire que l’équation donné, est équivalente à un problème de point fixe pour l’opé-rateur

M = P + J−1QN + L−_P1(I − Q)N ,

qui est indépendant du choix des projections P et Q. Si M est compact, alors à partir du degré de Leray- Schauder, il a développé une nouvelle théorie de degré topologique connu sous le nom de degré de coincïdence pour les couples (L, N ).

Soit X et Z deux R–espaces vectoriels normés ; on dit qu’une application linéaire L :

D (L) → Z, est de Fredholm si elle vérife les conditions suivantes

(i) ker L = L−1{_{0} est de dimension finie.}

(ii) ImL = L (D (L)) est fermé et de codimension finie.

Définition 32 (Opérateurs de Fredholm)

L’indice d’un opérateur de Fredholm L est l’entier

Ind (L) = dim ker L − co dim ImL.

Définition 33 (Indice d’un opérateur de Fredholm)

Toute application A : X → Z linéaire, continue et de rang fini telle que (L + A) : D (L) → Z soit bijective s’appelle correcteur de L.

On note par F (L) l’ensemble des correcteurs de L, d’après ce qui précède F (L) , ∅

[75] On dit que N : Ω → Z est L–compact sur Ω, s’il existe un opérateur A ∈ F (L) tel que (L + A)−1N est compact sur Ω.

Définition 35 (Opérateur L–compact)

[75] On dit que N : Ω → Z est L–compact sur Ω si est seulement si l’opérateur M =

P + J−1QN + KP ,QN est compact sur Ω.

Définition 36 (Défnition équivalente)

La définition de la L−compacité ne dépend ni du choix des projecteurs P et Q, ni de l’isomorphisme J et comme P , J−1Q sont des opérateurs linéaires continus de rang fini

alors, pour que N soit L−compact sur ¯Ω, il faut et il suffit que QN : ¯Ω → Z soit continue,

QN ¯Ωsoit borné et (I − Q) N : ¯Ω →X soit compact.

Remarque 37

I.3.3

Théorème de continuation de Mawhin

Les propriétés d’existence et d’invariance par homotopie, conduisent à des théorèmes d’existence trés importants souvent utilisés pour résoudre des problèmes non linéaires. Tous ces théorèmes sont des conséquences de la théorie du degré de Leray-Schauder. Le théorème suivant a été démontré par Gaines et Mawhin pour plus détail voir ([49], page 40). Soient X, Z deux espace vectoriels normé réels et L : D(L) ⊂ X → Z un opérateur de Fredholm.

Soit X et Z deux espaces de Banach réels, L un opérateur de Fredholm d’indice 0. On sup-pose que N : ¯Ω →Z est L–compact sur ¯Ωavec Ω un ouvert borné de X. Si les conditions suivantes sont satisfaites

(a) pour tout η ∈ (0, 1) et tout x ∈ ∂Ω ∩ DomL on a

Lx , ηN x.

(b) pour tout x ∈ ∂Ω ∩ ker L,on ait

QN x , 0,

et

deg {QN x, ∂Ω ∩ ker L, 0} , 0.

Alors l’équation Lx = N x admet au moins une solution dans ¯Ω ∩DomL.

Équations di

fférentielles à retard

et de type neutre

I.4

Une équation différentielle à retard est une équation différentielle dont la dérivée par rapport au temps présent de la solution dépend d’une donnée (de cette solution) sur un temps antérieur. Une équation différentielle à retard est un modèle spécifique d’équations différentielles fonctionnelles dans lesquelles la partie fonctionnelle de l’équation est l’éva-luation d’une fonctionnelle sur une étape antérieure (le passé) au processus ([39], [52, 53], [63]). Ce type d’équations a connu ces dernières décennies un grand intérrêt. Les investi-gateurs de toute les disciplines, physique, biologie, économie, logistiques, informatique et autres, trouvent leurs models bien exprimés par des équations à retard qu’avec des EDO.

I.4.1

Equations différentielles à retard

Étant donné un nombre r > 0. Soit C([a, b], Rn) l’espace de Banach de fonctions conti-nues définies sur l’intervalle [a, b] à valeurs dans Rn muni de la topologie de la conver-gence uniforme. Pour [a, b] = [−r, 0] on pose

C0= C([−r, 0], Rn) et on désigne la norme d’un élément ψ de C0 par

ψ = sup n  ψ(s)    ,−r ≤ s ≤ 0 o

où |·| est une quelconque norme sur Rn. Soient t0 ∈ R, σ > 0 et soit

x ∈ C([t0−r, t0+ σ ], Rn), t ∈ [t0, t0+ σ ]. Définissons la fonction xtde C0 par

xt(s) = x(t + s), s ∈ [−r, 0].

Pour tout t fixé, la fonction xtest obtenue en considérant la restriction de la fonction x sur

l’intervalle [t − r, t], translaté de [−r, 0].

Remarque 39

x(t) = t2+ 1, t0= 0, σ = 2, r = 1 alors t ∈ [0, 2] , s ∈ [−1, 0] , xt(s) = x(t + s) = (t + s)2+ 1, pour t = 1 on a xt(s) = (s + 1)2+ 1,

Soient U un ouvert de R × C0et f : U −→ Rn une fonction continue. On appelle équation différentielle fonctionnelle à retard égal r sur U une relation de la forme

x0(t) = f (t, xt) (I.3)

où

xt(s) := x(t + s), s ∈ [−r, 0] .

On la désigne parfois par EDR(f). Le nombre r est appelé le retard. En clair, le cas r = 0

correspond au cas des équations différentielles ordinaires.

Définition 41

On dit que l’équation (I.3) est autonome si la fonction f ne dépend pas de t. Dans ce cas on écrit f (u) au lieu de f (t, u).

Définition 42

Il est évident qu’une condition initiale appropriée au temps t = t0exige la détermina-tion de la foncdétermina-tion x sur tout l’intervalle [t0−r, t0], i.e.,

x (t) = ψ (t) , t ∈ [t0−r, t0],

où ψ : [t0−r, t0] −→ Rn est une fonction donnée supposée continue appelée la condition initiale de l’équation à retard (I.3). Ainsi, l’équation (I.3) peut se mettre sous la forme

x0(t) : = f (t, xt), t ≥ t0

x (t) = ψ (t) , t ∈ [t0−r, t0], (I.4) avec ψ une fonction donnée continue sur tout l’intervalle [t0−r, t0].

L’équation (I.3) est dite linéaire si f (t, ϕ) = L (t) ϕ, où L (t) est linéaire en chaque t. L’équation (I.3) est dite non homogène si f (t, ϕ) = L (t) ϕ +h (t) , où h (t) , 0. L’équation (I.3) est dite autonome si f (t, ϕ) = g (ϕ), g indépendante de t. A titre d’exemple, les équations suivantes sont des équations différentielles à retard

x0(t) = 2x (t) + 5x(t − 1), (I.5) x0(t) = a (t) x(t) + b (t) x0(t − r (t)) + h (t) , (I.6) x0(t) = Z 0 −_r x (t + s) ds, (I.7)

a (t) , b (t) , r (t) sont des fonctions continues. L’équation (I.5) représente une équation

dif-férentielle linéaire autonome à retard constant r = 1, l’équation (I.6) est une équation différentielle linéaire à retard fonctionnel non homogène non autonome et l’équation (I.7) représente une équation intégro-différentielle linéaire à retard.

Étant donnés ψ ∈ C0et t0∈ R, une solution du problème à valeur initiale

x0= f (t, xt), t ≥ t0, xt0 = ψ (I.8)

est une fonction notée x(t) telle que x(t) = ψ(t) si t ∈ [t0−r; t0] et satisfait (I.3) pour t ∈ [t0; t0+ σ ], σ > 0. Une telle fonction x(·) est dite solution de (I.3) à travers (t0, ψ) et est notée souvent par x(·) := x(·, t0, ψ).

Définition 43

Etant données une fonction ψ ∈ C0, t0 ∈ R et f (t, ψ) une fonction continue. La re-cherche d’une solution de l’équation (I.3) à travers (t0, ψ) ([52]) est équivalente à la réso-lution de l’équation intégrale

x(t) = ψ(0) +

Z t

t0

f (u, xu)du, t ≥ t0, xt0 = ψ.

Définissons l’application A par l’expression

Ax(t) : = f (t, xt), t ≥ t0,

xt0 = ψ.

Pour démontrer l’existence d’une solution de cette équation à travers (t0, ψ) ∈ R × C, on considère un nombre σ > 0, et toutes les fonctions définies sur [t0−r, t0 + σ ] qui sont continues et qui coïncident avec ψ sur [t0−r, t0] i.e., xt0= ψ. On demande que les valeurs de

ces fonctions sur [t0, t0+ σ ] répondent à la condition   x(t)−ψ(0)   ≤β. La fonction obtenue

A correspondant à l’équation intégrale est bien définie et on démontre que σ et β peuvent

être choisis de sorte que A envoie cette classe (de fonctions continues) dans elle-même, qu’elle est continue et à image compacte. Dans ce contexte, le théorème du point fixe de Schauder peut s’appliquer pour conclure l’existence d’une probable solution (pour de amples détails on renvoi aux livres ([52] et [63]).

Dans le cas où il y a unicité de la solution de (I.3) à valeur initiale ψ en t0(c-à-d. la solution du problème (I.8) celle-ci est notée par x(·) = x(·, t0, ψ).

Remarque 44

L’équation (I.3) est d’un type qui inclut aussi bien les EDO

x0= f1(t, x), que les équations différentielles à retard

avec 0 ≤ ri(t) ≤ r, i = 1, ..., n puisqu’il suffit de poser

f (t, u) = f2(t, u(0), u(−τ1(t)), ..., u(−τn(t))).

Nous rappelons, dans ce paragraphe, les théorèmes de base sur l’existence et l’unicité des solutions de l’équation (I.3).

Considérons l’équation (I.3) et supposons que Ω est un sous ensemble ouvert de R × C0 et f (t, ϕ) une application continue sur Ω. Si (t0, ψ) ∈ Ω, alors il existe une solution de l’équation (I.3) passant par (t0, ψ) .

Théorème 45 (Existence)

On dit que la fonction f (t, ϕ) est Lipschitzienne par rapport à ϕ sur un compact K de R ×C₀ s’il existe une constante k > 0 telle que, pour tout (t, ϕ_i) ∈ K, i = 1, 2 on a

|_{f (t, ϕ1) − f (t, ϕ2)| ≤ k |ϕ1}−_ϕ2|_{. (I.9)}

Définition 46

Supposons que Ω est un sous ensemble ouvert de R × C0, f : Ω −→ Rnest continue, f (t, ϕ) est Lipschitzienne par rapport à ϕ sur tout sous ensemble compact de Ω. Si (t0, ψ) ∈ Ω, alors il existe une unique solution pour l’équation (I.3) passant par (t0, ψ).

Théorème 47 (Unicité)

I.4.2

Equations di

fférentielles de type neutre

On donne ici la définition d’une équation différentielle de type neutre avec quelques exemples. Ici aussi on conseille de voir ([52] et [63]) pour plus d’informations sur ce type d’équations.

Supposons que Ω est un sous ensemble ouvert de R × C0, D : Ω −→ Rnet f : Ω −→ Rnsont deux fonctions données continues. La relation

d

dtD(t, xt) = f (t, xt) (I.10)

est dite une équation différentielle de type neutre EDTN.

Une fonction x est dite solution de l’équation (I.10) sur [t0−r, t0+ σ ], s’il existe un t0∈ R et σ > 0 tels que

x ∈ C ([t0−r, t0+ σ ] , Rn) , (t, xt) ∈ Ω, t ∈ [t0, t0+ σ ] ,

D(t, xt) est continument différentiable et satisfait (I.10) sur [t0, t0+ σ ] .

Etant donnés t0 ∈ R et ψ ∈ C0 et (t0, ψ) ∈ Ω on dit que x (t, t0, ψ) est une solution de (I.10) passant par (t0, ψ) s’il existe σ > 0 telle que x (t, t0, ψ) est une solution de (I.10) sur [t0−r, t0+ σ ] et xt0(t0, ψ) = ψ; on dit que x (t, t0, ψ) est une solution de (I.10) sur [t0−r, ∞)

si pour tout σ > 0 , x (t, t0, ψ) est une solution de (I.10) sur [t0−r, t0+ σ ] et xt0(t0, ψ) = ψ.

Définition 49

Si Ω est un sous ensemble ouvert de R × C0 et (t0, ψ) ∈ Ω, alors il existe une solution pour l’équation (I.10) passant par (t0, ψ) .

Théorème 50 (Existence)

Si Ω est un sous ensemble ouvert de R × C0 et f (t, ϕ) est Lipschitzienne sur tout sous en-semble compact Ω, alors pour tout (t0, ψ) ∈ Ω il existe une unique solution pour l’équation (I.10) passant par (t0, ψ) .

Théorème 51 (Existence et Unicité)

Les équations suivantes

x0(t) = −x0(t − 1), r (t) = 1 x0(t) = x(t − 1) + [x0(t − 3) + 1]3, r1(t) = 1, r1(t) = 1, r2(t) = 3, x00(t) = x(t 2) + x 0 (t − 1) − x00(t − 3), r1(t) = t 2, r2(t) = 1, r3(t) = 3, sont des équations différentielles à retard de type neutre.

Stabilité de solutions pour des

équations à retard

I.5

La théorie de la stabilité a été créé à la fin du XIXème siècle par Liapounov. Cette théo-rie a trouvé une large application dans divers domaines de la physique et des sciences ma-thématiques. D’un point de vue mathématique, la théorie de la stabilité présente un cas particulier de la théorie qualitative des équations différentielles. La méthode de Liapou-nov a été l’ultime objet permettant d’étudier la stabilité pour les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles. Néanmoins, cette méthode a rencontré de sérieux obstacles et il existe encore un tas de problèmes qui résistent à cette technique. Ce travail contient des résultats de stabilité pour une classe d’équations totalement non linéaires de type neutre à retard fonctionnel. Cette classe d’équations fait partie du nombre de pro-blèmes qui ont résisté à la méthode directe de Liapounov. En général l’inefficacité de la méthode de Liapounov se manifeste lorsque les fonctions utilisées dans les équations ne sont pas bornées en temps ([52, 53, 87]), si le délai n’est pas borné ou si sa dérivée n’est pas petite ( [22, 85]).

Récemment, un nombre d’investigateurs de ce domaine, comme Burton, Furumuchi, Zhang, Hatvani, Djoudi, Ardjouni et autres, se sont penchés sur le problème dans l’espoir de trouver une autre issue pour contourner ces difficultés. Ils ont constaté, en utilisant des exemples concrets, que la technique de point fixe peut servir pour alternative à la méthode directe. Ils ont remarqué aussi que cette dernière méthode ne résout pas unique-ment des problèmes qui ont jusque–là frustré les investigateurs en fréquentant la méthode directe de Liapounov, mais la méthode possède aussi d’autres avantages. En particulier, les conditions de la dernière méthode sont souvent exprimées en moyenne par contre ceux de Liapounov se présentent sous des formes ponctuelles (voir Ardjouni [2]–[11], Becker [15], Burton [17]–[27], Djoudi [35]–[38], Gabsi [45]–[44], Jin [56]–[58], Pi [77]–[79] ).

Pour r > 0, considérons C0= C([−r, 0], Rn) l’espace de fonctions continues sur [−r, 0] a valeurs dans Rn. Ce dernier espace est de Banach lorsque on le muni de la norme

ψ = sup−_r≤t≤0   ψ(t)  

 , ψ∈C0. On considère le problème à valeur initiale à retard (voir I.3 ) est

x0(t) = f (t, xt) pour t ≥ t0, (I.11)

x (t) = ψ (t) pour t0−r ≤ t ≤ t0 (I.12) où ψ : [t0−r, t0] −→ Rnest une fonction donnée, supposée continue et f : R×C0−→ Rnune fonction continue. La fonction f (t, x) est supposée satisfaire les conditions nécessaires qui garantissent l’existence de la solution x (t, t0, ψ) à travers (t0, ψ) du problème (I.11)-(I.12) et d’être continue en (t, t0, ψ) du domaine de définition de f (voir Hale [52]).

Supposons que f (t, 0) = 0 pour tout t ∈ R. La solution triviale x = 0 de (I.11) est dite stable en t0 (t0 ∈ R) si pour tout ε > 0 il existe un nombre δ = δ (ε, t0) > 0 tel que si

ψ < δ, la solution (I.11)–(I.12) existe sur [t0−r, ∞) et

x (t, t0, ψ)  

 <  pour tout t ≥ t0. Dans le cas contraire on dira que la solution est instable en t0. La solution x = 0 de (I.11) est dite uniformément stable si le nombre δ est indépendant de t0.

Définition 53

La solution triviale x = 0 de (I.11) est dite asymptotiquement stable en t0si elle est stable en t0 et s’il existe δ1 = δ1(t0) > 0 tel que toutes les fois que

ψ < δ1, la solution du problème (I.11)–(I.12) satisfait

lim x (t, t0, ψ) = 0 lorsque t −→ ∞.

La solution triviale x = 0 de (I.11) est dite uniformément asymptotiquement stable si elle est uniformément stable et si il existe un δ1 > 0 (indépendant de t0) tel que pour tout t0 et

ψ

< δ1 la solution x du problème (I.11)–(I.12) satisfait la condition x (t, t0, ψ) −→ 0 lorsque t −→ ∞ de la manière suivante : pour tout η > 0 il existe un T = T (η) > 0 tel que   x (t, t0, ψ)    < η pour t≥t0+ T . Définition 54

Considérons, pour t ≥ 1, l’équation différentielle à retard x0(t) = 1 tx (t) − 27t (t + 2)3x 3t + 2 3  = 1 tx (t) − 27t (t + 2)3x 3_{(t − τ (t)) ,}

avec τ (t) = 2₃(t − 1), avec la condition initiale x (1) = x0. On vérifie facilement que la solu-tion unique de ce problème est

x (t) = x0te −_x2

0(t−1), t ≥ 1.

Ainsi, lim

t→∞x (t) = 0 pour tout x0. Supposons que |x0|= δ, alors

     x  1 + 1 δ2      = 1 e  δ +1 δ  ≥ 2 e.

Par conséquent, pour tout δ la solution se trouve en dehors de la boule |x| = 2

e en temps t = 1 +_δ12, et la solution est donc instable.

Exemple 55

Résolution d’une équation à

re-tard

I.6

L’objet de cette partie est de proposer une introduction à l’étude des équations dif-férentielles à retard ordinaires (EDR) et de certaines équations intégro–difdif-férentielles à retard (EIDR).

Il n’y a pas de méthode générale pour calculer les solutions des EDR et EIDR. On ne sait résoudre explicitement que des types bien particuliers d’EDR, dont nous traitons ci-après les cas les plus fondamentaux. Pour les cas plus sophistiqués on renvoi par exemple à [52, 63]. Beaucoup de résultats existent dans ce domaine, il est possible de trouver des solutions explicites à ces équations, mais elles ne sont pas nombreuses. La résolution ex-plicite de la plupart des EDR et EIDR reste encore un problème ouvert. Les mathémati-ciens se sont alors tournés vers une étude plus théorique qui permettait de trouver des résultats sur les solutions (existence, unicité, stabilité par exemple,) sans les connaître explicitement. Cette partie sera un mélange des deux parce qu’il semble nécessaire de sa-voir non seulement prouver que des solutions existent et que le cas échéant elles peuvent être unique mais également être capable de résoudre “à la main” certaines EDR et EIDR classiques.

I.6.1

La méthode des étapes

i) Pour résoudre une équation différentielle à retard τ > 0. On se propose une fonction initiale ψ de C ([−τ; 0] ; R).

ii) On peut procéder de la même façon pour construire la solution sur l’intervalle [τ; 2τ] et par itération sur n’importe quel intervalle [(k − 1) τ; kτ], k > 1. L’idée est simple

et consiste alors à déterminer la solution finale en intégrant d’un intervalle à un autre, les EDOs. Cette méthode est appelée la méthode « pas-par-pas » (ou la méthode d’intégration séquentielle). La fonction x (t) ainsi construite est une fonction continue et différentiable sur chaque intervalle [t0+ (k − 1) τ; t0+ kτ], k > 1. Au point t0 seule la dérivée à droite existe.

On considère l’EDR de la forme

dx (t)

dt = −x (t − τ)

x (t) = ψ (t) = 1 sur [−τ; 0]

On a déjà remarqué que pour t ∈ [0; τ]. On obtient par simple intégration entre 0 et t

x1(t) = ψ (0) − Z t 0 x (s − τ) ds = ψ (0) − Z t−τ −_τ ψ (θ) dθ = 1 − t

On obtient une solution élémentaire x1(t) sur t ∈ [0; τ]. Et pour t ∈ [τ; 2τ],

x2(t) = x1(τ) − Z t τ x (s − τ) ds = x1(τ) − Z t−τ 0 x1(s) ds = (1 − τ) − (t − τ) +1 2(t − τ) 2 .

Ainsi de suite, on peut résoudre l’équation sur l’intervalle [2τ; 3τ] en prenant comme don-née initiale x (t) = x2(t) sur [τ; 2τ]. Par itérations successives, on peut résoudre l’équation sur R+. On suppose par exemple que τ = 1 ici on voit que la solution générale

I.6.2

La Méthode d’équations caractéristiques

On s’intéresse exclusivement la forme la plus générale d’une équation différentielle linéaire de type neutre à retard τ > 0 (ou DDENs en sigle) à coefficients constants est

n X k=0 ak d k dtkx (t) + n X k=0 bk d k dtkx (t − τ) = 0 (I.13)

où x (t) est une fonction inconnue de la variable t.

Pour résoudre l’équation (I.13), on cherche une solution sous la forme ceλt. Alors on obtient l’équation caractéristique

L’équation caractéristique du système (I.13) est définie par

n X k=0 akλk+        n X k=0 bkλk        e−λτ = 0. (I.14)

De plus, les racines de (I.14) sont appelées les valeurs propres (ou racines caractéristiques) de (I.13).

Définition 57

On considère l’équation différentielle à retard τ > 0 de la forme suivante

dx (t) dt + α

dx (t − τ)

dt + βx (t) + γx (t − τ) = 0. (I.15)

Pour l’équation (I.15) on associe l’équation caractéristique de la forme

λ + αλe−λτ+ β + γe−λτ= 0 Où α, β et γ sont des constantes.

Exemple 58

Soit

x0(t) = x (t) − x (t − 1) + x0(t − 1) , l’équation caractéristique de cette EDRN est donnée par

(λ − 1)1 − e−λ= 0.

Quelques modèles d’équations à

retard

I.7

On vient de voir que les équations différentielles à retard sont des équations différen-tielles dans lesquelles la dérivée à un moment t dépend de la fonction (et de la dérivée dans le cas des équations de type neutre) à des moments antérieurs t − τ, τ ∈ R. Autre-ment dit ces équations tiennent compte de l’effet du passé dans la prédiction du futur, pour plus de détails voir [3], [12], [54], [56], [63] et [92]. Les systèmes d’équations diffé-rentielles à retard occupent désormais une place de première importance dans tous les domaines de la science, en particulier dans la modélisation des phénomènes biologiques. Les problèmes à retard sont innombrables en littérature. Certains de ces problèmes ont connu un intérêt particulier. On a choisi dans cette thèse quelques modèles intervenant dans des domaines différents monde réel.

I.7.1

Un modèle en logistique

Le premier modèle de développement démographique est introduit par Malthus

dx

dt = λx (t) , λ > 0 (équation Malthus).

Il traduit l’accroissement exponentiel d’une population au cours du temps. Dans sa sim-plicité, il oublie en particulier que de nombreuses populations ont un plafond démogra-phique imposé par les contraintes extérieures comme l’espace, les ressources, etc.... Pour remédier à ce problème, un des moyens les plus simples est d’évaluer la capacité maxi-mum K de la population et de remplacer le taux de croissance λ par une quantité qui sera d’autant plus petite qu’elle s’approche de K. Encore une fois, le souci de simplification amène à proposer le modèle suivant :

dx dt = rx (t) 1 − x (t) K ! (équation logistique).

Même si ce modèle paraît plus réaliste, il présente encore un défaut de principe. Ainsi, il se peut que la capacité maximale soit atteinte et même dépassée (situation que le modèle ne peut pas prévoir). Cette situation ne se manifeste qu’à travers l’apparition de problèmes, tels que l’apparition des maladies, le manque d’espace, le manque des ressources, ...etc. On peut déduire au moins une remarque intéressante ; le taux de croissance de la popula-tion à l’instant t dans l’équapopula-tion logistique ne fait pas intervenir la taille de la populapopula-tion à cet instant mais il est fonction de la taille de la population précédente. Une traduction mathématique simple de ce qui précède est l’équation logistique retardée, connue aussi sous le nom de l’équation de Hutchinson suivante

dx

dt = rx (t) 1 −

x (t − τ) K

!

(équation logistique à retard).

Où r est le taux de croissance de la population, K est la capacité de charge du milieu et

L’équation de Hutchinson suppose que l’effet de régulation dépend de la population au temps t −τ plutôt qu’à l’instant t. Dans un modèle réaliste, l’effet du retard devrait être une moyenne distribuée sur tout le passé de la population ou sur une partie de ce passé (voir Kuang [63]). Ceci a comme conséquence une équation à retard distribué ou à retard infini. Le premier travail utilisant une équation à retard distribué est dû à Volterra. Ce travail fut ensuite étendu par Kostitzin [62]. Volterra [88]) a utilisé un terme intégral où il a distribué le retard pour examiner l’effet cumulatif du taux de mortalité d’une espèce. Le modèle qui a été considéré est une équation intégro-différentielle

dx dt = rx (t) 1 − 1 K Z +∞ 0 F (t − s) x (s) ds !

(logistique à retard distribué).

Où F représente le noyau retard, correspondant à une pondération du retard. Générale-ment, le noyau retard est normalisé de sorte que

Z +∞

0

F (s) ds = 1

Considérons à titre d’exemple l’évolution d’une population animale ne tenant compte que de la natalité et de la mortalité naturelles. En supposant que la mortalité est instantanée dans la population, par rapport à l’échelle de temps considérée (typiquement, la semaine ou le mois), la description de l’évolution de cette population nécessite de connaître le nombre d’individus à l’instant t, que l’on peut noter N (t), mais également le nombre d’individus à l’instant t − τ, où τ est la durée de gestation moyenne de la population. On peut alors écrire l’équation linéaire à retard discret suivante,

d

dtN (t) = −αN (t) + βN (t − τ) , t > 0 N (t) = ψ (t) t ∈ [−τ, 0]

Où α et β sont respectivement les taux de mortalité et de naissance de la population, et ψ une condition initiale, définie sur l’intervalle [−τ, 0].

I.7.2

Réaction chimique avec recirculation

On considère un réacteur chimique où se produit la réaction

A → B

Au fur et à mesure de l’avancement de la réaction, on admet à l’entrée une solution de réactif A, dont la concentration est notée A0. Si on note A (t) la concentration en le produit

A au temps, t un modèle mathématique simple s’écrit d

dtA (t) = α [A0−A (t)] − kA (t) (I.16)

où k est la constante de la réaction (I.16) et α un paramètre lié au débit d’admission. La transformation du réactif A en le produit B n’est pas instantanée, si bien qu’à la sortie du réacteur, on retrouve une partie du produit A, non transformée. Afin d’améliorer le

Le modèle (I.16) régissant l’évolution de A (t) devient

d

dtA (t) = α [(1 − λ) A0+ λA (t − τ) − A (t)] − kA (t) , (I.17)

où λ ∈ [0, 1] désigne le taux de recirculation et t le retard dû au transport dans la boucle de recirculation. Lorsque t est strictement positif, l’équation différentielle (I.17) ne relève pas de la théorie générale des équations différentielles ordinaires (EDO) car elle comporte le terme de retard A(t−τ). Toutefois, on peut utiliser les résultats sur les EDO pour étudier l’équation (I.17).

I.7.3

Contrôle d’un Bateau (Minorsky)

En 1962 Minorsky (voir [24]) a conçu un dispositif pour le contrôle automatique de la direction pour un bateau. Le modèle se décrit comme suit. Soit x (t) une position an-gulaire fixée du gouvernail de direction du bateau et supposons qu’il existe une force de frottement proportionnelle à la vitesse, c ˙x (t). On suppose qu’il existe un dispositif qui indique la direction du mouvement du bateau en temps réel et qu’il existe aussi un autre dispositif qui pointe la direction désirée. Ces deux instruments sont reliés à un appareil connecté à un moteur électrique qui produit une certaine force agissant sur le gouvernail dans le but de le faire pivoter (orienter) pour ramener le bateau sur le chemin désiré. De toute évidence il y a un décalage (retard) de magnitude r > 0 en temps entre le moment ou le moteur électrique exerce la force pour redresser le bateau et le moment ou le bateau réagit pour se réorienter. Minorsky décrit cela par l’équation suivante donnée sur x (t)

¨

x (t) + c ˙x (t) + g (x (t − r)) = 0 (I.18) où il considère que xg(x) > 0, si x = 0 et c une constante positive. L’objectif du problème est de chercher des conditions qui assurent le maintien de x (t) près de zéro de sorte que le bateau suivra étroitement son cours approprié pour arriver à sa destination fixée.

I.7.4

Contre-réaction (système contrôlé par boucle fermée)

(Dans [14] Page.88) La commande de rétroaction retardée par temps présentée par Socolar (voir [76], ETDAS) est montrée dans la couleur rouge (Fig.2). Dans les composants électricité, considérons par exemple (un circuit fermé) le schéma principal de la boucle de contre-réaction est représenté ci–dessous