Université Ahmed Draia Adrar Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique
MÉMOIRE
Pour l’obtention du diplôme de
MASTER
En Mathématiques
Spécialité :
Analyse Fonctionnelle et Applications
Présenté par
BELLAOUI Oum Kelthoum
Thème
Stabilité et bornitude des solutions de certains classes
d’équations différentielles du troisième ordre non
autonomes avec retard
Soutenu publiquement le 01 /07/2019 devant le jury composé de :
M. GASMI Laid Maître de conférence B Université d’Adrar Président M. RAHMANE Mebrouk Maître de conférence B Université d’Adrar Rapporteur M. FATMI Larbi Maître de conférence B Université d’Adrar Examinateur
C’est avec profonde gratitude et sincères mots, que je dédie ce modeste travail de fin d’étude à mes chers parents ; qui ont sacrifié leur vie pour mon réussite et j’ai éclairé le chemin par leurs conseils judicieux.
J’espère qu’un jour, je peux leur rendre un peu de ce qu’ils ont fait pour moi que dieu leur donne le bonheur et longue vie.
Je dédie aussi ce travail à mon frère et mes soeurs, mes famille, mes amis, à tous mes professeurs qui m’ont enseigné et à tous mes chers.
Avant tout, je remercie, Dieu tout puissant de m’avoir donné le couroge, la force, la volonté et la patience pour réaliser ce travail.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et sincère remerciement à mon encadreur M. RAHMANE Mebrouk pour le sujet intéressant qu’il m’a proposé. Je le remercie encore pour son aide, sa patience, ses conseils, ses encouragements, sa grande disponibilité et son ouverture d’esprit qui m’ont aidé à mener à bien ce travail. Sans ses idées et son expertise, réaliser ce modeste travail n’aurait pas été possible.
J’exprime mes sincères remerciements à M. GASMI Laid, pour m’avoir fait le grand honneur de présider ce jury de thèse.
Je souhaite remercier M. FATMI Larbi, et c’est un grand honneur pour moi il est partie du jury.
Mes remerciements ne seraient pas complets si je ne remerciais pas tous les professeurs de mathématiques et tous ceux qui m’ont enseigné dans ma vie universitaire.
Enfin, je remercie à toutes les personnes qui ont conribué de près ou de loin à la réalisation de ce modeste travail.
Introduction 3
1 Préliminaires 9
1.1 Rappel et quelques Notions de Base . . . 9
1.1.1 Fonctions de classe K et de classe KL . . . 11
1.1.2 Théorie de Lyapunov . . . 12
1.2 Quelques résultats sur les équations à retard . . . 23
1.2.1 Théorème d’existence et d’unicité de solution . . . 24
1.2.2 Définitions et théorèmes de stabilité et bornitude de solutions . . . 24
2 Stabilité uniforme et bornitude de certaines équations différentielles du troisième ordre à retard 26 2.1 Hypothèses et résultats principaux . . . 27
2.1.1 Stabilité . . . 27
2.1.2 Bornitude . . . 39
2.1.3 Exemples . . . 43
3 Stabilité et bornitude de solutions de certaines équations différentielles du troisième ordre non autonome avec retard 46 3.1 Hypothèses et résultats principaux . . . 47
3.1.1 Stabilité . . . 47
3.1.3 Exemples . . . 57
4 Stabilité asymptotique uniforme et la bornitude des équations différen-tielles non linéaires du troisième ordre 59 4.1 Hypothèses et résultats principaux . . . 60
4.1.1 Stabilité . . . 60
4.1.2 Bornitude . . . 70
4.1.3 Exemples . . . 72
Conclusion et Perspectives 74
Le domaine des équations différentielles est un ancien sujet qui demeure d’actualité et utile aux ingénieurs, aux scientifiques et aux mathématiciens. L’étude des équations dif-férentielles a commencé avec la naissance du calcul, qui date des années 1660. Il convient de noter que les équations différentielles sont en grande partie liées au comportement qua-litatif des solutions tel que la stabilité, l’instabilité, la convergence, la bornitude, ect. Ce sont des problèmes très importants dans la théorie et les applications des équations diffé-rentielles d’où l’intérêt de mentionner quelques-uns. Par exemple, en sciences appliquées des problèmes pratiques concernant la mécanique, l’économie, la théorie du contrôle, les sciences physiques sont associés aux équations différentielles non linéaires du deuxième, troisième, quatrième ordre et ordre supérieur. D’autre part, les équations différentielles du troisième ordre ont ètè révélées être des outils précieux dans la modélisation de nombreux phénomènes dans divers domaines de la science et de l’ingénierie. Auteurs remarquable ont étudié le comportement qualitatif des solutions des équations différentielles non li-néaires du troisième ordre tels que Ademola et. al, [3, 4, 29] sur la stabilité uniforme et bornitude des solutions, Tejumola [16] et Tunç [9] sur la bornitude des solutions.
En outre, la stabilité et la bornitude des solutions continuent d’attirer l’attention de nom-breux spécialistes et constituent l’un des problèmes les plus brûlants de la théorie du contrôle, des systèmes dynamiques, des systèmes avec retard et etc. Les systèmes d’équa-tions différentielles avec retard sont devenus d’une importance primordiale dans tous les domaines de la science et en particulier dans les sciences biologiques (par exemple, la dynamique des populations et l’épidémiologie).
Dans notre thèse on s’intèresse aux équations du type
x000+ F (t, x, x0, x00) = 0,
où plusieurs cas seront traités suivant F .
A la fin du 19 ème siècle, trois types de stabilité ont été établis pour le mouvement dans les systèmes dynamiques continus : stabilité de Lyapunov, la stabilité et la stabilité Zhukovs-kij Poincaré. Parmi elles, la stabilité de Lyapunov et la stabilité de Poincaré sont les plus connues. Jusqu’à présent, l’outil le plus efficace pour l’étude de la stabilitè et bornitude de solutions d’un système non linéaire donné est fourni par la théorie de Lyapunov [2], qui est la deuxième (ou directe) méthode de Lyapunov. La principale caractéristique de la méthode nécessite la construction d’une fonction, d’une fonctionnelle de Lyapunov [2]. Dans les soixantes dernières années, beaucoup de résultats intéressants ont été obtenus, en particulier sur les équations différentielles du troisième ordre non-linéaires avec ou sans retard. Cependant, les difficultés potentielles soulevées dans ce cas sont dues à la construc-tion de la foncconstruc-tionnelle de Lyapunov pour les équaconstruc-tions différentielles non linéaires d’ordre supérieur. Comment construire les fonctionnelles de Lyapunov ?. Jusqu’à présent, aucun auteur n’en a discuté. En fait, il n’y a pas de méthode générale pour construire de telles fonctionnelles de Lyapunov.
A ce propos, on citera quelques travaux importants concernant la stabilité et bornitude des équations différentielles du troisième ordre, dont la plupart ont été réalisés à l’aide de fonctions de Lyapunov.
• En 1959, Ezeilo [19] a étudié la bornitude, quand t 7−→ +∞, des solutions de l’équation différentielle.
x000+ ax00+ bx0+ f(x) = p(t).
• Ensuite, en 1963, Goldwyn et Narendra [21] ont discuté la stabilité globale de la solution nulle de l’équation de la forme
• Par suite, en 1968, Ponzo [26] a considéré l’équation différentielle non linéaire du troisième ordre sans retard suivante :
x000+ a(t)x00+ b(t)x0 + cx = 0.
• En outre, en 1969, Swick [20] a pris en considération les équations différentielles troisième ordre
x000+ ax00+ g(x)x0+ h(x) = e(t),
et
x000+ p(t)x00+ q(t)g (x0) + h(x) = e(t).
• Après en 1971, Hara [27] a étudié le comportement asymptotique des solutions de l’équation différentielle de la forme
x000+ a(t)x00+ b(t)x0 + c(t)x = 0,
et a montré que toutes les solutions de cette équation sont uniformément bornées et satisfont aux conditions x(t) −→ 0, x0(t) −→ 0 et x00(t) −→ 0.
• Après en 1992, Zhu [30] a considéré la stabilité des solutions nulles des deux équa-tions
x000+ ax00+ bx0+ f(x(t − r)) = p(t), (1)
et
x000 + ax00+ φ (x0(t − r)) + f(x) = p(t),
avec p(.) = 0. Il a donné des conditions suffisantes pour assurer la bornitude uniforme et la bornitude ultime uniformément des solutions de l’équation (1).
• En 1999, Mehri et Shadman [5] ont considéré l’équation différentielle non linéaire du troisiéme ordre suivante :
x000 + a(t)f (x00) + b(t)g (x0) + c(t)h(x) = 0,
et ont posé des conditions suffisantes sur a, b, c, f, g et h, pour que ses solutions soient bornées.
• Sadek [1], en 2003 x000+ ax00+ g (x0(t − r)) + f(x(t − r)) = p(t). • Tunç [12], en 2007 x000+ a1x00+ f2(x0(t − r(t))) x0+ a3x= p (t, x, x0, x(t − r(t)), x0(t − r(t)), x00) . • Yao et Meng [14], en 2008 x000 + ϕ (x00) + g (x(t − r(t)), x0(t − r(t))) + f(x(t − r(t))) = 0, et x000+ ϕ (x, x0) x00+ g (x(t − r(t)), x0(t − r(t))) x0+ f(x(t − r(t))) = 0. • Omeike [22], en 2009 x000+ a(t)x00+ b(t)g (x0) + c(t)h(x(t − r)) = p(t).
Il a discuté la stabilité des solutions de cette équation lorsque p(.) = 0 et la bornitude des solutions lorsque p(.) 6= 0.
• Aussi en 2010, Tunç [11] a examiner le comportement asymptotique des solutions de l’équation suivante :
x000+ a(t)x00+ b(t)g1(x0(t − r(t))) + g2(x0) + h(x(t − r(t)))
= p (t, x, x0, x(t − r(t)), x0(t − r(t)), x00). (2) • Plus récemment en 2011, le résultat de Zhang et Si [31] a été amélioré et étendu par Tunç [10], pour l’étude de la stabilité et bornitude de l’équation différentielle suivante du troisiéme ordre avec retard :
x000+ g (x0(t − r(t))) x00+ ψ (x0) + f (x0(t − r(t))) + h(x(t − r(t))) = p (t, x, x0, x(t − r(t)), x0(t − r(t)), x00),
lorsque p(.) = 0 et p(.) 6= 0, respectivement.
• L’équation différentielle (2) a été réétudiée en 2013 par Yuzhen et Cuixia [6] qui ont établi d’autres conditions sur la stabilité et la bornitude des solutions.
• En 2015, M. Remili et L. Oudjedi ont étudié la stabilité et la borunitude des solutions de certaines classes d’équations différentielles de trosième ordre avec retard par exemple équation suivante, ils étudient la stabilité pour e(.) = 0 et la borunitude pour e(.) 6= 0 :
Ä
q(t) (p(t)x0(t))0ä0+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = e(t).
Ce mémoire est divisé en quatre chapitres. Le premier chapitre fournit quelques définitions et résultats auxiliaires qui seront utilisé plus tard.
Le deuxième chapitre est consacré a l’étude de la stabilité uniforme asymptotique de [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = 0, (3) [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)ψ (x0(t)) x00(t) + b(t)g (x0(t)) + c(t)f(x(t − r)) = 0, (4) et la bornitude de [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = e(t), (5) [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)ψ (x0(t)) x00(t) + b(t)g (x0(t)) + c(t)f(x(t − r)) = p (t, x(t), x(t − r), x0(t), x0(t − r), x00(t)) . (6) Le troisième chapitre, est destiné à l’étude de la stabilité et la bornitude des solutions des équations de les formes suivantes :
Ä
q(t) (p(t)x0(t))0ä0+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = 0, (7)
Ä
q(t) (p(t)x0(t))0ä0+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = e(t). (8)
Les équations (7) et (8) ont été étudiés par M. Remili et L. Oudjedi dans [24] et ils ont établi la stabilité des solutions d’équation (7) et la bornitude d’équation (8) sous certains conditions. Notre contribution est d’établir la stabilité d’équation (7) et la bornitude d’équation (8) mais sous autre conditions différentes que celles trouvées par ces auteurs.
Le quatrième chapitre est consacré a l’étude de la stabilité asymptotique uniforme des équations de les formes suivantes :
Ä
[P (x(t))x0(t)]00+ a(t) (Q(x(t))x0(t))0+ b(t) (R(x(t))x0(t)) + c(t)f(x(t)) = 0, (10) et la bornitude de
[P (x(t))x0(t)]00+ a(t) (Q(x(t))x0(t))0+ b(t) (R(x(t))x0(t)) + c(t)f(x(t))
= s (t, x(t), x0(t),x00(t)) . (11)
Notre contribution dans ce chapitre est ce manifeste par l’étude de la bornitude des solu-tions d’équation (11).
Notons que les équations (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) ont été étudiés par M. Remili et L. Oudjedi dans [23, 24, 25].
Chapitre
1
Préliminaires
Dans ce chapitre, on introduit des définitions, notations, propositions et théorèmes pour la théorie de stabilité et bornitude de certaines équations différentielles non auto-nomes .
1.1 Rappel et quelques Notions de Base
U désigne toujours un ouvert non vide de Rn (n ∈ N) contenant 0 et I un intervalle
non vide de R.
Définition 1.1. Soit f : I × U −→ Rn une fonction continue. Considérons le système
non autonome suivant : x0(t) = f(t,x) ∀ t ∈ I, x(t0) = x0. (1.1)
1. La fonction x est dite solution de système (1.1) sur l’intervalle I ⊂ R si elle est définie et continûment dérivable sur I, et (t,x(t)) ∈ I × U, et x satisfait la relation (1.1).
2. On appelle courbe intégrale l’ensemble : Γ = {(t,x(t)) ∈ Rn+1/t ∈ I}.
3. On appelle orbite ou trajectoire l’ensemble des points (x(t)) où t ∈ I :{x(t)/t ∈ I} .
x: I −→ Rn. L’espace Rn (où les solutions prennent leurs valeurs) s’appelle espace
4. Un point a ∈ U est un point d’équilibre, ou un point singulier du système (1.1) si : ∀t ∈ I : f(t,a) = 0 .
On considérera toujours l’équilibre en 0. Pour le cas général, il suffit de faire une translation.
Définition 1.2. [13] On considère le système (1.1), et V : I ×U → Rnayant des dérivées
partielles sur I ×U. On définit la dérivée totale ˙V le long des trajectoires du système (1.1) par : ˙V (t,y) = ∂V ∂t(t,y) + n X i=1 ∂iV ∂xi (t,y)fi(t,y).
Définition 1.3. [15] Le point d’équilibre 0 de (1.1) est
i) Stable (S) si, pour tout ε > 0, il existe δ(ε, t0) > 0 tel que :
kx (t0)k < δ =⇒ kx(t)k < ε, ∀t ≥ t0 ≥ 0. (1.2) ii) Uniformément Stable (U.S) si, pour tout t > 0, il existe δ(ε) > 0, indépendant de
t0, tel que (1.2) soit satisfaite.
iii) Instable s’il n’est pas stable.
iv) Asymptotiquement Stable (A.S) s’il est stable et il existe une constante positive
c= c(t0) > 0 telle que x(t) −→ 0 lorsque t −→ +∞, pour tout kx(t0)k < c.
v) Uniformément Asymptotiquement Stable (U.A.S) s’il est uniformément stable et il existe une constante positive c, indépendante de t0, telle que pour toute kx(t0)k < c,
x(t) −→ 0 lorsque t −→ +∞, uniformément en t0, c’est à dire, pour tout η > 0, il
existe T = T (η) > 0 tel que :
kx(t)k < η, ∀t ≥ t0+ T (η), ∀ kx (t0)k < c.
vi) Globalement Uniformément Asymptotiquement Stable (G.U.A.S) s’il est uniformé-ment stable, δ(ε) peut être choisi pour satisfaire à la condition lim
ε−→+∞δ(ε) = +∞, et pour chaque couple de nombres positifs η et c, il existe T = T (η, c) > 0 tel que
Définition 1.4. [15] Les solutions de (1.1) sont :
• Uniformément Bornées s’il existe une constante positive c, indépendante de t0 >0, telle
que pour tout a ∈]0, c[, il existe β = β(a) > 0, indépendante de t0, satisfaisant
kx (t0)k ≤ a =⇒ kx(t)k ≤ β, ∀t ≥ t0. (1.3)
• Globalement Uniformément Bornées si (1.3) est satisfaite pour n’importe quelle valeur de a assez grande .
1.1.1 Fonctions de classe K et de classe KL
Définition 1.5. [15] Une fonction continue α : [0, a[−→ R+ est dite de classe K si elle est strictement croissante et α(0) = 0. Elle est dite de classe K∞ ( radialement borné) si
a= ∞ et α(r) −→ +∞ lorsque r −→ ∞.
Définition 1.6. [15] Une fonction continue β : [0, a] × [0, + ∞[−→ R+ est dite de classe KL si, pour tout s fixé, l’application β(r, s) est de classe K par rapport à r, et pour tout r fixé, l’application β(r,s) est décroissante par rapport à s et β(r, s) −→ 0 lorsque
s −→ +∞.
Proposition 1.1. [15] Le point d’équilibre x = 0 de (1.1) est :
1. uniformément stable si et seulement s’il existe une fonction α de classe K et une constante positive c indépendante de t0 telle que :
kx(t)k ≤ α (kx (t0)k) , ∀t ≥ t0 ≥ 0, ∀ kx (t0)k < c.
2. globalement uniformément stable si et seulement si l’inégalité précédente est satis-faite pour toute condition initiale x(t0).
Proposition 1.2. [15] Le point d’équilibre x = 0 de (1.1) est :
1. uniformément asymptotiquement stable si et seulement s’il existe une fonction β de classe KL et une constante positive c indépendante de t0 telle que :
kx(t)k ≤ β (kx (t0)k , t − t0) , ∀t ≥ t0 ≥ 0, ∀ kx (t0)k < c.
2. globalement uniformément asymptotiquement stable si et seulement si l’inégalité précédente est satisfaite pour toute condition initiale x(t0).
1.1.2 Théorie de Lyapunov
Dans ce qui suit nous donnerons quelques définitions et théorémes concernant la sta-bilité au sens de Lyapunov
Définition 1.7. On considére le système (1.1). Soit D ⊂ Rn un voisinage de 0 et
V : R+× D −→ R une fonction continue et différentiable. La fonction V est dite :
1. semi définie positive si : (a) V (t,0) = 0 ∀t ∈ R+,
(b) V (t,x) ≥ 0 ∀t ∈ R+, ∀x ∈ D. 2. définie positive si :
(a) V (t,0) = 0 ∀t ∈ R+,
(b) Il existe une fonction W1(x) définie positive (de seule variable) telle que :
W1(x) ≤ V (t, x), ∀t ∈ R+, ∀x ∈ D.
3. décrescente s’il existe une fonction W2(x) définie positive telle que :
V(t, x) ≤ W2(x), ∀t ∈ R+, ∀x ∈ D.
4. radialement non bornée si : V (t, x) −→ +∞ quand kxk −→ +∞.
V(t, x) est dite définie négative (semi-définie négative) si −V (t, x) est définie positive
(semi définie positive).
Théorème 1.3. Soient Ω = {x, kxk ≤ h} et W : Ω −→ R une fonction continue définie positive. Alors il existe deux fonctions ϕ1, ϕ2 de K telles que :
ϕ1(kxk) ≤ W(x) ≤ ϕ2(kxk). (1.4)
Démonstration. Pour tout h > 0, nous prouvons que (1.4) est vraie pour kxk ≤ h. Soit
ϕ(r) = inf
r≤kxk≤hW(x),
comme W est définie positive donc ϕ(r) > 0 pour tout r > 0, ϕ(0) = 0 et ϕ est fonction monotone (croissante) sur [0, h].
Maintenement on va montrer que ϕ est continue, puisique W est continue donc ∀ε > 0, il existe δ(ε) telle que :
ϕ(r2) − ϕ (r1) = inf r2≤kxk≤hW(x) − infr1≤kxk≤hW(x), où 0 ≤ r1 < r2 ≤ h, = inf r2≤kxk≤hW(x) − W (x0) , ≤ W (x1) − W (x0) , ≤ ε lorsque kx1− x0k ≤ r2− r1 ≤ δ(ε), où on pose x1 = x0 lorsque x0 ∈ D2 = {x| r2 ≤ kxk ≤ h}.
Lorsque x0 ∈ D1 = {x| r1 ≤ kxk ≤ r2 ≤ h}, prenez le point d’intersection du ligne Ox0 et kxk = r2 . Soit ϕ1(r) = rϕ(r) h ≤ hϕ(r) h = ϕ(r). Comme ϕ(0) = 0 donc ϕ1(0) = 0 et si 0 ≤ r1 < r2 ≤ h, il vient : ϕ1(r1) = r1ϕ(r1) h ≤ r1ϕ(r2) h < r2ϕ(r2) h = ϕ1(r2) ,
alors ϕ1 est strictemment croissante et donc ϕ1 ∈ K. Soit ψ definie par :
ψ(r) = max
kxk≤rW(x).
Comme W est définie positive donc ψ(r) > 0 pour tout r > 0, ψ(0) = 0 et ψ est fonction croissante sur [0, h].
Maintenement on va montrer que ψ est continue, puisique W est continue donc ∀ε > 0, il existe δ(ε) telle que :
ψ(r2) − ψ (r1) = max kxk≤r2W(x) − maxkxk≤r1W(x), où 0 ≤ r1 < r2 ≤ h, = W (x0) − max kxk≤r1W(x), ≤ W (x0) − W (x1) , ≤ ε lorsque kx0− x1k ≤ r2− r1 ≤ δ(ε), où on pose x1 = x0 lorsque x0 ∈ D2 = {x| kxk ≤ r1}.
Lorsque x0 ∈ D1 = {x| r1 ≤ kxk ≤ r2}, prenez le point d’intersection du ligne Ox0 et kxk = r1.(comme le montre la Figure1.1)
On choisit ϕ2(r) = ψ(r) + kr oˇu k > 0. Comme ψ(0) = 0 donc ϕ2(0) = 0 et si 0 ≤ r1 < r2 ≤ h il vient :
ϕ2(r1) = ψ (r1) + kr1 ≤ ψ (r2) + kr1 < ψ(r2) + kr2 = ϕ2(r2) . Par conséquent, ϕ2 est strictement croissante, donc ϕ2 ∈ K .
Figure 1.1 –
Les résultats ci-dessus montrent que
ϕ1(kxk) ≤ ϕ(kxk) = inf kxk≤kξk≤hW(ξ) ≤ W(x), ≤ max kxk≤kξkW(ξ) = ψ(kxk), ≤ ϕ2(kxk). Alors ϕ1(kxk) ≤ W(x) ≤ ϕ2(kxk).
Remarque 1.1. Soit V (t, x) une fonction définie positive et décrescente sur Ω. D’aprés la définition et le théorème précedent il existe des fonctions α1 et α2 de classe K telles que :
Définition 1.8 (Fonction de Lyapunov). Soit D un voisinage de 0 et V : R+×D −→ R une fonction continue et différentiable.
— On dit que V est une fonction de Lyapunov si elle vérifie les deux propriétés sui-vantes :
(i) V est définie positive.
(ii) ˙V (t, x) ≤ 0 pour tout t ∈ R+, x ∈ D.
— On dit que V est une fonction de Lyapunov stricte, si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
(i) V est défnie positive.
(ii) ˙V (t, x) < 0 pour tout t ∈ R+, x ∈ D − {0}.
Théorème 1.4 (Théorème de Lyapunov Autonome[13]). Soit f : U −→ Rn une
fonction continue. Considérons le système autonome suivant :
x0(t) = f(x), x(t0) = x0 (1.5)
Soit 0 un point d’équilibre de (1.5), s’il existe un voisinage V de 0 et une fonction
V : V −→ R+
continue, ayant des dérivées partielles continues, telle que : (1) V soit définie positive
(2) La dérivée totale ˙V le long des trajectoires du système (1.5) soit négative.
Alors 0 est stable. V s’appelle une fonction de Lyapunov. De plus si la dérivée totale ˙V le long des trajectoires du système (1.5) est définie négative, alors 0 est asymptotiquement stable. V s’appelle une fonction stricte de Lyapunov.
Démonstration. x(t, t0, x0) désigne une solution x(t) du système (1.5) 1ère partie :
Soit ε > 0 tel que B(0, ε) ⊂ U, V est continue sur
qui est compact, ainsi V y atteint ses bornes. Donc d’après (1), il existe yb∈ Cε tel que :
V(yb) = inf
y∈C
V(y) = c > 0. V étant continue sur V et comme V (0) = 0, on a :
∃δ > 0, (y ∈ V et ||y|| < δ) =⇒ V (y) < c. De plus, δ < ε d’après ce qui précède.
Soit x0 ∈ U tel que kx0k < δ, alors V (x0) < c. On s’intéresse à la solution x(t, t0, x0).
Supposons qu’il existe t1 >0 tel que kx(t1, t0, x0)k > ε. On a kx(t0, t0, x0)k = kx0k < δ < ε.
Or t −→ kx(t, t0, x0)k est une fonction continue ( d’aprés propriété de la norme ). D’aprés
le théoréme des valeurs intermédiaires, il existe tε >0 tel que kx(tε,t0, x0)k = ε et ainsi
V(x(tε, t0,x0)) ≥ c.
D’après (2), on sait que pour tout t dans un voisinage de t0 tel que x(t, t0, x0) ∈ V on a :
˙V (x (t, t0, x0)) = (DV (x (t, t0, x0)) ( ˙x (t, t0, x0)) = (DV (x (t, t0, x0)) (f (x (t, t0, x0))) ≤ 0. On en déduit que t −→ V (x(t, t0, x0)) est décroissante dans un voisinage de t0 contenant tε. Ainsi, on a tε≥ t0 donc
V (x (tε, t0, x0)) ≤ V (x (t0, t0, x0)) ,
d’où
V (x (tε, t0, x0)) ≤ V (x0) .
Or, on a V (x0) < c et V (x(tε,t0x0)) ≥ c, ce qui est une contradiction.
Ainsi :
∀t ≥ 0, kx (t, t0, x0) k ≤ ε. Donc 0 est un point d’équilibre stable.
2ème partie : Soit x0 ∈ B(0,δ) , on a V (x (t, t0, x0)) − V (x (t0, t0, x0)) = Z t t0 ˙V (x(s, t0, x0)) ds,
d’où
V (x (t, t0, x0)) − V (x0) =
Z t t0
DV (x (s, t0, x0)) f (x (s, t0, x0)) ds.
Or t −→ V (x(t, t0, x0)) est décroissante et minorée par 0 pour t dans un voisinage de t0
tel que x(t, t0, x0) ∈ V. D’après ce qui précède, x(t, t0, x0) reste dans B(0,ε) ⊂ V pour tout t ≥ t0, donc t −→ V (x(t, t0, x0)) est décroissante et minorée par 0 pour tout t ≥ t0,
ainsi :
Z ∞
t0
DV(x(s))f(x(s))ds < +∞.
Or comme ˙V est définie négative alors, DV (y)f(y) < 0 pour tout y ∈ V\{0}. On en déduit que X n≥0 DV(x(n))f(x(n)) < +∞. Ainsi, lim t→∞DV (x (t, t0, x0)) f (x (t, t0, x0)) = 0.
On sait d’après ce qui précède que x(t, t0, x0) reste dans le compact B(0,ε).
Ainsi il existe une suite (tk)k≥0 strictement croissante telle que (x(tk,t0,x0))k≥0 converge dans B(0,ε) vers a. Or on a :
lim
tk→+∞DV (x (tk, t0, x0)) f (x (tk, t0, x0)) = 0.
Par passage à la limite, il vient que DV (a)f(a) = 0. De (1) et ˙V définie négative, on déduit que a = 0. 0 est ainsi la seule valeur d’adhérence de x(t, t0, x0), ce qui montre que :
lim
t→∞x(t, t0, x0) = 0.
Donc 0 est un point d’équilibre asymptotiquement stable. Exemple 1.1. On considére le systême :
˙x1 = −x3 1 − x22, ˙x2 = x1x2− x32. Pour déterminer la stabilité de l’équilibre 0, posons
V (x1, x2) = 1
1. il est clair que V (0) = 0. 2. V (x1, x2) = 0 ⇐⇒ 12x21+ 12x22 = 0 ⇐⇒ x1 = 0. x2 = 0. donc V est définie positive .
3. La dérivée totale de V le long des trajectoires du système vaut ˙V (x1, x2) = x1Ä−x31− x22
ä
+ x2Äx1x2− x32
ä
= −Äx41+ x42ä<0
˙V est clairement définie négative.
D’après le théorème (1.4), on en déduit que 0 est asymptotiquement stable .
Théorème 1.5 (Théorème d’instabilité[13]). Soit 0 un point d’équilibre de (1.5), s’il existe un voisinage V de 0 et une fonction
W : V −→ R+,
continue, ayant des dérivées partielles continues, telle que : 1. pour tout y ∈ V\{0}, W(y) > W(0) .
2. la dérivée totale de W le long des trajectoires du système (1.5) soit définie positive alors, 0 est instable.
Démonstration. Soit δ > 0 tel que B(0, δ) ⊂ V, x0 ∈ B(0,δ) et t0 ∈ R+. On considère la solution x(t, t0, x0). Pour tout t 6= t0 dans un voisinage de t0 tel que x(t, t0, x0) ∈ V, on
a :
˙
W(t) = (DW (x (t, t0, x0)) (f (x (t, t0, x0)) > 0.
Ainsi, t −→ W(x(t, t0, x0)) est croissante dans un voisinage de t0 tel que x(t, t0, x0) ∈ V.
D’où W (x(t, t0, x0)) ≥ W(x0) pour t dans ce voisinage .
Supposons que l’on ait un ε > 0 tel que B(0,ε) ⊂ V et que pour tout t ≥ t0, kx (t, t0, x0)k ≤ ε, alors
W(x (t, t0, x0)) ≤ sup
t≥t0W(x (t, t0, x0)) = M < +∞, car W est continue sur B(0,ε), qui est compacte. On a :
W(x (t, t0, x0)) − W (x (t0, t0, x0)) =
Z t t0
˙
Il vient
W(x0) +
Z t t0
DW(x (s, t0, x0)) f (x (s, t0, x0)) ds ≤ M ∀t ≥ t0.
Par passage à la limite, on a que :
Z ∞
t0
DW(x (s, t0, x0)) f (x (s, t0, x0)) ds < +∞. D’après 2, on a DW (y)f(y) > 0 pour tout y ∈ V\{0}. On en déduit que :
lim
t→∞DW(x (t, t0, x0)) (f (x (t, t0, x0)) = 0.
Comme on a supposé que x(t, t0, x0) restait dans le compact B(0,ε), il existe (tk)k≥0 une suite strictement croissante telle que x (tk, t0, x0) →
k→∞ a avec a ∈ B(0,ε). Par continuité, il vient :
lim
k→∞DW(x (tk, t0, x0)) f (x (tk, t0, x0)) = DW (a)f(a). On en déduit de l’unicité de la limite que DW (a)f(a) = 0.
La fonction t −→ W(x(t, t0, x0)) est croissante dans un voisinage de t0 tel que x(t,t0, x0) ∈
V, et pour tout t ≥ t0 on a supposé que x(t,t0, x0) restait dans le compact B(0, ε) ⊂ V.
Ainsi, la fonction t 7−→ W(x(t, t0, x0)) est croissante pour tout t ≥ t0, donc W (x(tk, t0, x0)) ≥
W(x0) .
Par passage à la limite, on a W (a) ≥ W(x0). D’après1, W (x0) > W (0), on en déduit que
a6= 0. Donc, on ne peut pas avoir DW (a)f(a) 6= 0.
Alors le point d’équilibre de (1.5) est instable. Théorème 1.6 (Théorème de Lyapunov non autonome[13]). Soit 0 un point d’équi-libre de (1.1), s’il existe un voisinage Vt0 et une fonction V : Vt0 7−→ R+ continue, ayant des dérivées partielles continues, telle que :
(1) V soit définie positive.
(2) la dérivée totale de V le long des trajectoires du système (1.1) soit négative (res-pectivement définie négative).
Alors 0 est stable (respectivement asymptotiquement stable ). V s’appelle une fonc-tion de Lyapunov. De plus, si on a :
(3) V est décrescente .
Alors 0 est uniformément stable (respectivement uniformément asymptotiquement stable).
Démonstration. x(t, t0, x0) désigne une solution du système (1.1) . 1ère partie :
Supposons les points (1) et (2) vérifiés. On sait qu’il existe un voisinage V0
t0 ⊂ Vt0 et une fonction ϕ de classe K telle que :
V(t, y) ≥ ϕ(kyk) > 0, ∀(t, y) ∈ Vt00.
Soit x0 ∈ U et x(t, t0, x0) une solution de (1.1), pour tout t dans un voisinage de t0 tel
que x(t, t0, x0) ∈ V0
t0, on a d’après (1) et (2) :
ϕ(kx (t, t0, x0)k) ≤ V (t, x (t, t0, x0)) ≤ V (t0, x0) .
Soit ε > 0, tel que B(0, ε) ⊂ V0
t0, V étant continue en y, et V (t0,0) = 0, on peut trouver
δ(ε, t0) < ε tel que
kx0k ≤ δ(ε,t0,x0) =⇒ V (t0,x0) < ϕ(ε).
Soit x0 ∈ U tel que kx0k < δ(ε,t0), supposons qu’il existe t1 >0 tel que kx(t1, t0,x0)k > ε. On sait que t 7−→ kx(t, t0, x0)k est continue, ainsi d’après le théorème des valeurs
inter-médiaires, il existe tε >0 tel que kx(tε,t0, x0)k = ε. Pour tout t dans un voisinage de t0
tel que x(t, t0, x0) ∈ Vt00, on a :
ϕ(kx(t,t0,x0)k) ≤ V (t, x(t, t0, x0)).
Or B(0,ε) est inclus dans V0
t0. On en déduit que
ϕ(ε) = ϕ(kx(tε,t0,x0)k) ≤ V (tε, x(t, t0, x0)).
D’autre part
V(tε, x(t, t0, x0)) ≤ V (t0, x0) < ϕ(ε)
ce qui est une contradiction . Ainsi ∀t ≥ 0, kx (t, t0, x0) k ≤ ε.
Alors ce qui montre que 0 est stable. 2ème partie :
Supposons que le point (3) soit vérifié. On sait qu’il existe un voisinage V0
t0 ⊂ Vt0 et une fonction ψ de classe K telle que :
ϕ(kyk) ≤ V (t, y) ≤ ψ(kyk) ∀(t, y) ∈ Vt00.
Pour tout ε > 0, il existe δ(ε) > 0, tel que ψ(δ) < ϕ(ε).
Soit x0 ∈ U et x(t,t0, x0) une solution de (1.1) telle que kx0k < δ(ε), alors d’après la
première partie on a pour tout t ≥ t0
ϕ(ε) > ψ(δ) ≥ V (t0, x0) ≥ V (t, x(t, t0, x0)) ≥ ϕ(kx(t, t0, x0)k).
Alors
ϕ(kx(t, t0, x0)k) < ϕ(ε),
ϕ étant de classe K, ceci implique que pour tout t ≤ t0, kx(t, t0, x0)k ≤ ε .
Alors ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, kx0k < δ(ε) =⇒ kx(t,t0,x0)k ≤ ε.
La stabilité uniforme est assurée par le fait que δ(ε) est indépendant de la solution
x(t, t0, x0).
3ème partie :
On suppose maintenant que ˙V est définie négative, alors il existe un voisinage V0
t0 ⊂ Vt0 et une fonction χ de classe K telle que
˙V (t, y) ≤ −χ(kyk) < 0 (t,y) ∈ V0
t0.
Soit x0 ∈ U et x(t, t0,x0) une solution du système (1.1) telle que kx0k < δ où δ est obtenu comme dans la 2ème partie.
Soit ε une constante positive telle que 0 < ε < kx0k.
On peut encore trouver une constante positive λ = λ(ε) telle que ψ(λ) < ϕ(ε). On définit alors µ = χ(λ), et posons :
T = T (δ,ε) = ψ(δ) µ .
Supposons que kx(t, t0, x0)k > λ, pour tout t dans t0 ≤ t ≤ t0+ T , alors on a : 0 < ϕ(ε) ≤ V (t1, x(t1, t0, x0)) ≤ V (t0, x0) − Z t1 t0 χ(kx (s, t0, x0)k) ds, ≤ V (t0, x0) − Z t1 t0 χ(λ)ds ≤ V (t0, x0) − (t1− t0) µ ≤ ψ(δ) − Tµ = ψ(δ) − ψ(δ) = 0.
On obtient une contradiction, et donc il existe t2 ∈ [t0, t1] tel que kx(t2, t0, x0)k ≤ λ. Ainsi pour tout t ≥ t2
ϕ(kx (t, t0, x0)k) ≤ V (t, x (t, t0, x0)) ≤ V (t2, x(t2, t0, x0)) ≤ ψ(λ) ≤ ϕ(ε). On en déduit que
kx (t, t0, x0)k < ε ∀t ≥ t0+ T ≥ t2,
ce qui montre la stabilité uniforme asymptotique.
Exemple 1.2. On considére le système :
˙y1 = −y1 − e−2ty2, ˙y2 = y1− y2. Pour déterminer la stabilité de l’équilibre 0, posons
V(t, y) = y12+Ä1 + e−2täy22.
1. On a :
a) V (t,0) = 0, b) V (t,y) ≥ y2
1 + y22 .
Alors V est définie positive .
2. On a la dérivée de V le long des trojectoires du système ˙V (t,y) = − 2e−2ty2
2 + 2y1(−y1− e−2ty2) + 2y2(1 + e−2t)(y1 − y2), = − 2Äy12− y1y2+ y22
Ä
1 + 2e−2tää. a) ˙V (t,0) = 0,
b) ce qui montre que
˙V (t, y) ≤ −2Äy12− y1y2+ y22 ä , ≤ − (y1− y2)2− y21− y22, ≤ −Ä(y1 − y2)2+ y12+ y22 ä .
3. Montrer que V est décrescente
V(t,y) =y12+Ä1 + e−2täy22,
≤y12+ 2y22 ≤ 2kY k22.
Alors d’aprés théoréme précédent 0 est point équilbre uniformément asymptotiquement stable.
Lemme 1.7. [7](Gronwall.Bellman) Soient k un nombre réel positif et f, g deux fonctions continues sur l’intervalle [a, b], à valeurs positives telles que
f(t) ≤ k +
Z t
a g(s)f(s)ds, pour tout t ∈ [a,b].
Alors
f(t) ≤ k exp
ÇZ t
a g(s)ds
å
, pour tout t ∈ [a,b].
1.2 Quelques résultats sur les équations à retard
Pour x ∈ Rn, k.k est une norme quelconque. Pour r > 0 et H > 0, on définit
CH := {φ ∈ C([−r,0], Rn) : kφk ≤ H} avec (C, kkC) l’espace de Banach des fonctions
continues φ : [−r, 0] −→ Rn et kk
C est la norme sur C définie par :
∀φ ∈ C, kφkC = sup
θ∈[−r,0]kφ(θ)k.
Soit x : [t0− r, t0+ A] → Rn continue où t0 ≥ 0 et A > 0. Pour t fixé dans [t0, t
0+ A], on définit la fonction :
xt= x(t + θ), −r ≤ θ ≤ 0,
xt ∈ C ([−r, 0], Rn) et c’est la restriction de x à l’intervalle [t − r, t] translaté à [−r,0].
Considérons, à présent
˙x = f (t, xt) , (1.6)
où f : I × CH → Rn est une application continue, localement lipschitzienne en son second
argument et telle que f(t, 0) = 0 quel que soit t ∈ R. De plus, f satisfait à la condition : ∀H1 < H,∃L (H1) > 0, kφk < H1 ⇒ kf(t, φ)k < L (H1) .
Une fonction x(t) est dite solution de (1.6) si elle est définie et continue sur [t0− r, t0+ A] vérifie x(t) = ϕ(t) sur [t0 − r, t0], est différentiable sur [t0, t0 + A] et satisfait (1.6) sur [t0, t0+ A].
1.2.1 Théorème d’existence et d’unicité de solution
Définition 1.9. (Yoshizawa [28]p.184) Une fonction x(t0,ϕ) est dite solution du système
(1.6) avec la condition initiale ϕ ∈ CH en t = t0, t0 ≥ 0, s’il existe une constante A > 0
telle que x(t0,ϕ) est une fonction de [t0 − r, t0+ A] vers Rn avec les propriétés :
1. xt(t0, ϕ) ∈ CH pour t0 ≤ t ≤ t0+ A.
2. xt0(t0,ϕ) = ϕ.
3. x(t0,ϕ) satisfait (1.6) pour t0 ≤ t ≤ t0+ A. x(t0,t,ϕ) est la valeur de x(t0, ϕ) au point t.
Théorème 1.8. [18] Supposons la fonction f continue. Alors pour tout ϕ ∈ C, l’équation (1.6) admet au moins une solution. De plus, si la fonction f est localement lipschitzienne par rapport à xt, alors la solution est unique.
1.2.2 Définitions et théorèmes de stabilité et bornitude de
so-lutions
Définition 1.10. [17] Le point d’équilibre 0 de (1.6) est
I) Uniformément Stable (U.S) si, pour tout ε > 0, il existe δ(ε) > 0 tel que kϕkC < δ =⇒ kx (t, t0, ϕ)k < ε, ∀t ≥ t0 ≥ 0.
II) Uniformément Asymptotiquement Stable (U.A.S) s’il est Uniformément Stable et il existe une constante positive c telle que pour tout η > 0, il existe T = T (η) > 0 de telle sorte que
kϕkC < c⇒ kx (t, t0, ϕ)k < η, ∀t ≥ t0+ T (η).
III) Globalement Uniformément Asymptotiquement Stable si la condition précédente est vraie quelle que soit ϕ ∈ C.
Les définitions de stabilité et bornitude peuvent être données de la même maniére que pour les équations différentielles ordinaires, i.e, en remplçant la condition initiale x0 et la solution x(t, t0, x0) par ϕ et xt(t0,ϕ), respectivement. De même, une fonctionnelle V (.) à
valeurs dans R+× C est dite définie positive s’il existe une fonction scalaire ω vérifiant
ω(θ) > 0 pour θ > 0 et ω(0) = 0, telle que V (t, xt) ≥ ω(kx(t)k) ∀xt ∈ C, t ∈ R+ .
Théorème 1.9. [7] Soit V (t, xt) : [t0,+ ∞[×CH −→ R+ une fonctionnelle continue
satisfaisant une condition locale de Lipschitz. V (t,0) = 0, et telle que : i) W0(kx(t)k) ≤ V (t, xt) ≤ W1(kx(t)k) + W2(kxtk2) où kxtk2 = ÄRt t−rkx(s)k2ds ä1 2. ii) ˙V(1.6)(t, xt) ≤ −W3(kx(t)k),
où, Wi (i = 0, 1, 2, 3) sont de classe K. Alors la solution nulle de (1.6) est uniformément
asymptotiquement stable.
Théorème 1.10. [7] Soit V (t, xt) : [t0,+ ∞[×CH −→ R+ une fonctionnelle continue
satisfaisant une condition locale de Lipschitz. H = ∞, et telle que : i) W0(kx(t)k) ≤ V (t, xt) ≤ W1(kx(t)k) + W2 ÄRt t−rW3(kx(s)k)ds ä . ii) ˙V(1.6)(t, xt) ≤ −W3(kx(t)k) + M, pour M > 0,
où, Wi (i = 0, 1, 2, 3) sont de classe K. Alors les solutions de (1.6) est sont uniformément
Chapitre
2
Stabilité uniforme et bornitude de
certaines équations différentielles du
troisième ordre à retard
Dans ce chapitre, on se propose d’étudier la stabilité uniforme des solutions des équa-tions différentielles du troisième ordre à retard non linéaires de la forme
[h(x(t))x0(t)]00+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = 0. (2.1) [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)ψ (x0(t)) x00(t) + b(t)g (x0(t)) + c(t)f(x(t − r)) = 0, (2.2) et la bornitude de [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)x00(t) + b(t)x0(t) + c(t)f(x(t − r)) = e(t). (2.3) [h(x(t))x0(t)]00+ a(t)ψ (x0(t)) x00(t) + b(t)g (x0(t)) + c(t)f(x(t − r)) = p (t, x(t), x(t − r), x0(t), x0(t − r), x00(t)), (2.4) où r > 0, et les fonctions a(.), b(.), c(.), g(x0), h(x), ψ(x0), f(x), e(.) et t 7−→ p(t, x(t), x(t −
r), x0(t), x0(t−r), x00(t)) sont continues. En outre, il est supposé que les dérivées h0(x), f0(x), g0(y) sont continues pour tout x, y avec f(0) = g(0) = 0. En plus, il est également supposé que les fonctions t 7−→ f(x(t−r)), t 7−→ g(y(t)) et t 7−→ p(t, x(t), x(t−r), x0(t), x0(t−r), x00(t)) satisfont une condition de Lipschitz en x, x0, x(t − r), x0(t − r) et x00.
2.1 Hypothèses et résultats principaux
Nous exposons ici des hypothèses qui seront utilisées sur les fonctions qui appa-raissent dans les équations (2.1)-(2.4), et supposons qu’il existe des constantes positives
a, b, c, d, d0, d1,h0,h1,δ0,δ1,δ2 et A,B,C, L,α,β,σ, et ε, telles que : i) 0 < a ≤ a(t) ≤ A, 0 < b ≤ b(t) ≤ B, 0 < c ≤ c(t) ≤ C. ii) c(t) ≤ b(t), − L ≤ b0(t) ≤ c0(t) ≤ 0 pour t ∈ [0, ∞[.
iii) f(0) = 0,f(x)x ≥ δ0 >0 (x 6= 0), et |f0(x)| ≤ δ1 pour tout x. iv) 0 < h0 ≤ h(x) ≤ h1, R−∞+∞|h0(u)| du < ∞.
Afin de simplifier la notation dans ce qui suit, on pose
θ(t) = h0(x(t)) h2(x(t))x
0(t).
2.1.1 Stabilité
Théorème 2.1. On suppose que les hypothéses (i)à (iv) sont vérifiées. Si
C1) h1δ1 < d < a.
C2) 12da0(t) − b (d − h1δ1) ≤ −ε < 0.
Alors, la solution x(.) de (2.1) et ses dérivées x0(.) et x00(.) sont uniformément asymptoti-quement stables, à condition qu’il existe r satisfaisant
r <min ® 2(a − d) h1Cδ1 , 2h3 0ε Cδ1h21(d + dh20+ h0) ´ .
Démonstration. Notons que l’équation (2.1) est équivalente au système suivant
x0 = 1 h(x)y, y0 =z, z0 = − a(t) h(x)z+ a(t)h0(x) h3(x) y 2− b(t) h(x)y− c(t)f(x) + c(t) Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds. (2.5)
On définie la fonctionnelle U = U(t,xt,yt,zt) par
U(t,xt,yt,zt) = exp(−
γ(t)
)V (t,xt,yt,zt) = exp(−
γ(t)
où γ(t) = Z t 0 |θ(s)|ds, et V = dc(t)F (x) + c(t)f(x)y + 2h(x)b(t) y2+12z2+ d h(x)yz + 1 2 da(t) h2(x)y 2+ λZ 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds, (2.7) et F (x) = Rx
0 f(u)du, µ et λ sont des constantes positives qui seront determinées plus tard. De la définition de V dans (2.7), on constate que la fonctionnelle précédente peut être réécrite comme suite
V = V1+ V2+ λ Z 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds, avec V1 = dc(t)F (x) + c(t)f(x)y + 2h(x)b(t) y2, et V2 = 12z2+ d h(x)yz+ 1 2 da(t) h2(x)y 2.
On écrira l’expression ci-dessus comme
V2 = 12(z2+ 2d h(x)yz+ da(t) h2(x)y 2), = 12(z + d h(x)y) 2+d(a(t) − d) 2h2(x) y2. Par (i) et (C1)alors d(a(t) − d) 2h2(x) ≥ d(a − d) 2h2(x) >0. Ainsi, il existe des constantes positives telles que
V2 ≥ δ2y2+ δ3z2. (2.8)
nous obtenons V1 = dc(t)F (x) + c(t)f(x)y + 2h(x)b(t) y2, = dc(t)F (x) + c(t)f(x)y + b(t) 2h(x)y2− c2(t)f2(x)h(x) 2b(t) + c2(t)f2(x)h(x) 2b(t) , = dc(t)F (x) + 2h(x)b(t) Çy+c(t)f(x)h(x) b(t) å2 − c 2(t)f2(x)h(x) 2b(t) , ≥ dc(t)F (x) − c 2(t)f2(x)h(x) 2b(t) , ≥ dc(t)F (x) − c(t)f 2(x)h(x) 2 , car c(t) ≤ b(t), ≥ dc(t)[F (x) − h(x)f 2(x) 2d ], ≥ dc(t) Ç F(x) − h1 2df2(x) å ,
Par intérgral par partie on a
Z x 0 f 0(u)f(u)du = f2(x) −Z x 0 f 0(u)f(u)du. Il obtient f2(x) = 2 Z x 0 f 0(u)f(u)du. Alors V1 ≥ dc(t) ÇZ x 0 f(u)du − h1 d Z x 0 f 0 (u)f(u)duå, ≥ dc(t) ÇZ x 0 f(u)du − h1δ1 d Z x 0 f(u)du å , ≥ dc(t) Z x 0 (1 − h1δ1 d )f(u)du, ≥ δ4 Z x 0 f(u)du, où δ4 = dc(1 − h1δ1 d ) > dc(1 − d d) = 0.
Donc à partir de (iii) nous obtenons
V1 ≥ δ4δ0
Z x
0 udu, alors
Il est clair que, par (2.7), (2.8) et (2.9), nous avons : V ≥ δ2y2+ δ3z2+ δ4δ0 2 x2 + λ Z 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds.
Par conséquent, il est évident, d’aprés les termes contenus dans la dernière inégalité, qu’il existe une constante positive suffisamment petite k, de sorte que
V ≥ k(x2+ y2 + z2), (2.10)
car l’intégrale Rt
t+sy2(ξ)dξ est positive, et k = min{δ2,δ3,δ42δ0} . Nous observons que par (iv), nous avons
γ(t) = Z t 0 |θ(s)|ds = Z 0 t |h0(x(s))| h2(x(s))x 0(s)ds. Par un changement du variable u = x(s) alors
γ(t) = Z α2(t) α1(t) |h0(u)| h2(u)du, ≤ 1 h20 Z +∞ −∞ |h 0(u)|du ≤ N < ∞, (2.11) où α1(t) = min{x(0),x(t)} et α2(t) = max{x(0),x(t)}.
Par conséquent nous pouvons trouver une fonction continue W0(kX(t)k) avec
W0(kX(t)k) ≥ 0 et W0(kX(t)k) ≤ U (t, Xt) .
D’autre part, en utilisant les hypothèses (i), (iv) et (C2), nous obtenons
V = dc(t)F (x) + c(t)f(x)y + b(t) 2h(x)y2+ 12z2 + d h(x)yz+ 1 2 da(t) h2(x)y 2 + λZ 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds, ≤ dC Z x 0 Z u 0 f 0(ν)dνdu + CyZ x 0 f 0(u)du + B 2h0y2+12z2+ d h0yz + dA 2h2 0y 2+ (λ + 1)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, ≤ dCδ1 Z x 0 Z u 0 dνdu+ Cδ1y Z x 0 du+ B 2h0y2+12z2+ d h0yz+ dA 2h2 0y 2 + (λ + 1)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, ≤ 21dCδ1x2+ Cδ1xy+2h0B y2+ 12z2+ d h0yz+ dA 2h2 0y 2 + (λ + 1)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds.
En utilisant l’inégalité 2ab ≤ (a2+ b2), alors V ≤ 12dCδ1x2 +12Cδ1(x2+ y2) + 2h0B y2+ 12z2+ 2h0d (y2+ z2) + 2hdA2 0y 2 + (λ + 1)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, ≤ Cδ21(1 + d)x2+12(Cδ1+ B h0 + d h0 + dA h20 )y 2+1 2(1 + d h0)z 2 + (λ + 1)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, ≤ ϕ1Äx2+ y2+ z2ä+ ϕ2 Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, (2.12) où ϕ1 = 1 2max{Cδ1(1 + d),Cδ1+ hB0 + d h0 + dA h20,1 + d h0} et ϕ2 = max{1,λ}.
Donc l’existence d’une fonction continue W1(kX(t)k)+W2(kXtk2) qui satisfait l’inégalité
U(t, Xt) ≤ W1(kX(t)k) + W2
ÅÄRt
t−rkX(s)k2ds
ä1 2ã.
Par conséquent, la premiére condition du Théorème 1.9 est satisfaite.
Pour la dérivée totale de la fonctionnelle V (t, xt, yt, zt), le long des trajectoires du système
(2.5), nous avons d dtV = dc 0(t)F (x) + c0(t)f(x)y + b 0(t) 2h(x)y2+ 1 h(x) Ä d− a(t)äz2 +h0(x)x0 h2(x) Ç (a(t) − d)zy − b(t)2 y2 å +Çda0(t) + 2c(t)h(x)f2h2(x)0(x) − 2db(t)åy2+ λry2 + c(t) Ç z+ d h(x)y å Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds− λ Z t t−ry 2(ξ)dξ. En conséquence, par les hypothèses du théorème 2.1, nous obtenons
d dtV ≤ dc 0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b0(t) 2h(x)y2 + |θ(t)|Ç(A − d)|zy|+B2y2 å +Çda0(t) + 2δ12h2bh1− 2db 1 å y2 + λry2− 1 h1 Ä a0− däz2− λ Z t t−ry 2(ξ)dξ + c(t)Äz+ d h(x)y ä Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds.
d dtV ≤ dc 0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b0(t) 2h(x)y2 + |θ(t)|ñ(A − d)|zy| +B2y2 ô − Ç ε h21 − λr å y2− 1 h1(a − d)z 2 + c(t)Çz+ dy h(x) å Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds− λ Z t t−ry 2(ξ)dξ. On définie la fonction H comme
H(t,x,y) = dc0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b
0(t) 2h(x)y2, pour tout x, y et t ≥ 0 .et on vérifie que H(t,x,y) ≤ 0.
cas 1 : Si c0(t) = 0, alors
H(t,x,y) = b0(t)
2h(x)y2 ≤ 0. cas 2 : Si c0(t) < 0, alors H(t,x,y) peut être écrit comme
H(t,x,y) = dc0(t)H1(t,x,y), où H1(t,x,y) = F (x) +1 dyf(x) + b0(t) 2dh(x)c0(t)y 2, H1(t,x,y) = F (x) +1 dyf(x) + b0(t) 2dh(x)c0(t)y 2 +c0(t)h(x) db0(t) f 2(x) −c0(t)h(x) db0(t) f 2(x), H1(t,x,y) = F (x) + b 0(t) 2dh(x)c0(t) Ç y+c 0(t)h(x) b0(t) f(x) å2 −c02db(t)h(x)0(t) f2(x). D’aprés (ii) on a 0 < c0(t) b0(t) ≤ 1, ce qui implique H1(t,x,y) ≥ F(x) − c 0(t)h(x) 2db0(t) f 2(x), ≥ F (x) − h2d(x)f2(x), ≥ F (x) − h2d1f2(x), ≥ Z x 0 (1 − h1δ1 d )f(u)du, ≥ δ4 dc Z x 0 f(u)du ≥ 0.
Il en résulte immédiatement que
H(t,x,y) = dc0(t)H1(t,x,y) ≤ 0.
Par conséquent, en combinant les deux cas on a H(t,x,y) ≤ 0 pour tout t ≥ 0, x et y. En utilisant l’inégalité de Schwartz |uv|≤ 1
2(u2+ v2) nous obtenons |θ(t)| Ç (A − d)|zy|+B2y2 å ≤ |θ(t)| Ç (A − d) 2 Ä y2+ z2ä+B2y2 å , = |θ(t)|Ç(A − d + B)2 y2+A− d2 z2 å , ≤ k1|θ(t)|(y2+ z2), où k1 = (A−d+B)
2 . Puisque |f0(x)|≤ δ1 on obtient les inégalités suivantes :
dc(t) h(x)y Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds ≤ Cdδ1 2h0 Z t t−ry y(s) h(x(s))ds, ≤ Cδ2h01dry2+Cdδ1 2h3 0 Z t t−ry 2(ξ)dξ, et c(t)z Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds ≤ Cδ1 Z t t−rz y(s) h(x(s))ds, ≤ Cδ21rz2+ Cδ1 2h2 0 Z t t−ry 2(ξ)dξ. Aprés quelques réarrangements, nous obtenons
d dtV ≤ − ñ ε h21 − Ä λ+dCδ1 2h0 r äô y2 −Äa0− d h1 − Cδ1r 2 ä z2, + k1|θ(t)|Äy2+ z2ä+ Ç Cδ1 2h2 0(1 + d h0) − λ å Z t t−ry 2(ξ)dξ. Si on prend λ = Cδ1 2h2 0 Ä 1 + d h0 ä
, la dernière inégalité deviant :
d dtV ≤ − Ç ε h21 − Cδ1 2h0 Ä d+ 1 h0 + d h20 ä r å y2− Ç a0− d h1 − Cδ1r 2 å z2, + k1|θ(t)|Äy2+ z2ä.
En utilisant (2.6), (2.10) et en posant µ = k k1, nous avons d dtU = k k1|θ(t)|exp Ç −k1γ(t) k å V + exp Ç −k1γ(t) k å d dtV, = expÇ−k1γ(t) k åÇ d dtV − k1 k |θ(t)|V å , ≤ exp Ç −k1γ(t) k åñÇ − ε h21 − Cδ1 2h0(d + h10 + d h20)r å y2− Ç a0− d h1 − Cδ1r 2 å z2 ô . (2.13) D’où, si r <min ® 2(a − d) h1Cδ1 , 2h3 0ε Cδ1h21(d + dh20+ h0) ´ . l’inégalité (2.13) implique d dtU(t,xt,yt,zt) ≤ −β0exp Ç −k1N k åÄ y2+ z2ä≤ −β0Äy2+ z2ä≤ 0 pour β0 >0.
À savoir, la seule solution du système (2.5) pour le quel d
dtU(t,xt,yt,zt) = 0 est la solution
x= y = z = 0. Ainsi, en vertu de ce qui précéde, nous concluons que (x(t), y(t),z(t)) −→ 0
lorsque t −→ 0. D’où, h0 étant continue et grace à la condition (iv), on conclut que la solution x(t) de (2.1) et ses dérivées x0(.) et x00(.) sont uniformément asymptotiquement
stables.
Théorème 2.2. Sous les hypothèses énoncées ci-dessus, et les hypothèses suivantes :
H1) 1 ≤ ψ(y) ≤ β. H2) d1 ≥ g(y)y ≥ d0 >0 (y 6= 0). H3) hd10δ1 < α < a. H4) 12a0(t) ≤ δ2 < b(αd0αβ−δ1h1). r <min ® 2(a − d) h1Cδ1| , 2σh3 0 Cδ1h21(α + αh20 + h0) ´ , où αδ2β+ b (δ1h1− αd0) = −σ < 0.
Démonstration. Nous écrivons l’équation (2.2) sous la forme du système : x0 = 1 h(x)y, y0 = z, z0 = −a(t) h(x)zψ Ç y h(x) å + a(t)h0(x) h3(x) y 2ψÇ y h(x) å − b(t)g Ç y h(x) å − c(t)f(x) + c(t) Z t t−r y(s) h(x(s))f 0(x(s))ds. (2.14)
Considérons la fonction U = U(t, xt, yt, zt) définie par
U(t, xt, yt, zt) = exp Ç −1 µ Z t 0 |θ(s)|ds å V, (2.15) où V = αc(t)F (x) + c(t)f(x)y + b(t)h(x)G Ç y h(x) å + 1 2z2+ α h(x)yz + αa(t)Z y h(x) 0 ψ(u)udu + λ Z 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds, (2.16) tel que F (x) = Rx
0 f(u)du et G(y) = R0yg(u)du, µ et λ sont des constantes positives qui seront précisées plus tard. Nous pouvons réécrire (2.16), comme suit
V = αa(t) Z y h(x) 0 ñ ψ(u) − α a(t) ô udu+ 1 2 Ç z+ α h(x)y å2 + c(t)ñαF(x) + b(t)h(x) c(t) G Ç y h(x) å + f(x)yô + λZ 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds. D’aprés (H2), on obtient G( y h(x)) = Z y h(x) 0 g(u)du, ≤ Z y h(x) 0 d1ydu= d1 h(x)y 2.
V ≥ αa(t) Z y h(x) 0 Ä 1 −αaäudu+ 1 2 Ç z+ α h(x)y å2 + c(t)ÇαF(x) + b(t)h(x) c(t) d0y2 h2(x) + f(x)y å + λZ 0 −r Z t t+sy 2(ξ)dξds, ≥ αa Å 1 − αaã2hy22(x)+12 Ç z+ α h(x)y å2 + c(t)h(x)2d0 Ç d0y h(x)+ f(x) å2 + αcZ x 0 Ç 1 − δ1h1 αd0 å f(s)ds + λ Z t −r Z t t+sy 2(ξ)dξds. Puisque l’intégrale λRt −r Rt t+sy2(ξ)dξds est positive on a V ≥ αa Å 1 − αaã2hy22(x)+12 Ç z+ α h(x)y å2 + c(t)h(x)2d0 Ç d0y h(x)+ f(x) å2 +δ32δ0x2, où δ3 = αcÄ1 −n1δ1 αd0 ä > αcÄ1 − ααä= 0.
D’où, il existe une constante positive k, suffisamment petite de telle sorte que
V ≥ kÄx2+ y2 + z2ä. (2.17)
Vu l’inégalité (2.11), nous pouvons trouver une fonction continue W0(kX(t)k) avec
W0(kX(t)k) ≥ 0 et W0(kX(t)k) ≤ U (t, Xt) .
D’autre part, en utilisant les hypothèses (i), (iii) et (iv), (H1), (H2) et puis inégalité
ab≤ 12(a2+ b2), devient V = αc(t)F (x) + c(t)f(x)y + b(t)h(x)G Ç y h(x) å +12z2+ α h(x)yz + αa(t)Z y h(x) 0 ψ(u)udu, ≤ αC Z x 0 Z u 0 f 0(ξ)dξ + CyZ x 0 f 0(u)du + Bh1d0 h20 y 2+ 1 2z2+ α h0yz + αAZ y h(x) 0 βudu+ λ Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds +Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds,
V ≤ 12ÄαCδ1 + Cδ1äx2+12ÄCδ1 +Bh1d0 h20 + α h0 + αAβ h20 ä y2+1 2 Ä 1 + α h0 ä z2 + (1 + λ)Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, ≤ σ1(x2+ y2+ z2) + σ2Z 0 −r Z t t+s Ä x2(ξ) + y2(ξ) + z2(ξ)ädξds, où σ1 = 1 2max{αCδ1+ Cδ1,Cδ1+ Bhh120d0 + α h0 + αAβ h20 ,1 + α h0} et σ2 = max{1,λ}. Comme R+∞ −∞ |h0(u)|du < ∞ alors θ(t)µ ≤ N µ nous avons η2 Ä x2+ y2+ z2ä≤ exp Ç −Nµ å V ≤ U = exp Ç −θ(t)µ å V ≤ V, où η2 = k exp−N µ .
Donc l’existence d’une fonction continue W1(kX(t)k)+W2(kXtk2) qui satisfait l’inégalité
U(t, Xt) ≤ W1(kX(t)k) + W2 ÑÇZ t t−rkX(s)k 2dså 1 2 é .
Pour la dérivée totale de la fonctionnelle V (t, xt, yt, zt), le long des trajectoires du système
(2.14), nous avons : d dtV(2.14) =αc 0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b0(t)h(x)G Ç y h(x) å + α h(x)z 2 − a(t) z 2 h(x)Ψ Ç y h(x) å − αb(t)h(x)y g Ç y h(x) å + αa0(t)Z y h(x) 0 Ψ(u)udu + c(t)f0(x) h(x) y 2+ λry2 + θ(t)ñb(t)h2(x)G Ç y h(x) å − b(t)yh(x)g Ç y h(x) å +Ça(t)Ψ Ç y h(x) å − α å zy ô + c(t)Ç αy h(x)+ z å Z t t−ry(s) f0(x(s)) h(x(s))ds− λ Z t t−ry 2(ξ)dξ. En utilisant l’inégalité de Schwartz |uv| ≤ 1
2(u2+ v2) et |f0(x)| ≤ δ1, nous obtenons les inégalités suivantes αc(t) h(x)y Z t t−r y(s) h(x(s))f 0(x(s))ds ≤ Cδ1αr 2h0 y2+ Cαδ1 2h3 0 Z t t−ry 2(ξ)dξ, et c(t)z Z t y(s) (x(s))f0(x(s))ds ≤ Cδ1r 2 z2+ Cδ1 2h2 Z t y2(ξ)dξ.
En utilisant les conditions du Théorème 2.2 et les inégalités précédentes, on a d dtV(2.14) ≤ αc 0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b0(t)h(x)G Ç y h(x) å − ñ a− α h1 − Cδ1r 2 ô z2+ ñ αδ2β+ b (δ1h1− αd0) h21 ô y2 + |θ(t)|ï32d1By2+ (Aβ − α)|zy| ò +Çλ+αCδ1 2h0 å ry2 +ñCδ2h21 0 Ç 1 + α h0 å − λ ô Z t t−ry 2(ξ)dξ. Nous affirmons que
Q(t, x, y) = αc0(t)F (x) + c0(t)yf(x) + b0(t)h(x)G Ç y h(x) å ≤ 0, pour tout x, y et t ≥ 0. Il y a deux cas : c0(t) = 0 et c0(t) < 0.
Cas 1 : c0(t) = 0, alors Q(t, x, y) = d0b0(t)
2h(x)y2 ≤ 0. Cas 2 : : c0(t) < 0, on observe que (H2) implique que
G(y) ≥ 1 2d0y2, d’où Q(t, x, y) ≤ αc0(t) ñ F(x) + 1 αyf(x) + d0b0(t) 2αh(x)c0(t)y 2ô, ≤ αc0(t) " F(x) + d0b0(t) 2αh(x)c0(t) Ç y+ c0(t)h(x)f(x) d0b0(t) å2 − c0(t)h(x)f 2(x) 2αd0b0(t) # .
Il est nécessaire que c0(t)
b0(t) ≤ 1 par (ii), alors
Q(t, x, y) ≤ αc0(t) Z x 0 Ç 1 − h1δ1 αd0 å f(u)du, ≤ c0(t)δ3 cF(x) ≤ 0.
Dans les deux cas, on a Q(t, x, y) ≤ 0 pour tout t ≥ 0, x et y. Comme 2|uv| ≤ (u2+ v2), on obtient
|θ(t)| ñ3d1 2 By2 + (Aβ − α)|zy| ô ≤ 12|θ(t)|î3d1By2+ (Aβ − α)(y2+ z2)ó. ≤ k1|θ(t)|Äy2 + zä,