Dans cette étape le procédé utilisé est basée sur le théorème de continuation de Maw- hin. Nous donnons quelques notions et notations utilisées dans la théorie de théorème de degré de coïncidence en particulier le théorème de continuation de Mawhin (voir [42], [49] et [75]).
Pour voir l’existence de solution ω–périodique de (II.1) nécessite une préparation alors pour ω > 0, soit X l’ensemble de fonctions continues périodiques relativement à t de pé- riode ω, x : R −→ R et k · k la norme du supremum.
kxk = sup
t∈R
|x (t)| = sup
t∈[0,ω]
|x (t)| .
Alors, (X, k·k) est un espace de Banach. Soit X et Z deux espaces vectoriels normés et Ω un ouvert de X. On s’intéressera par l’étude des équations opérationnelles de la forme
Lx = ηN x, η ∈ (0, 1) , (II.5) avec L : X ∩ DomL → Z est un opérateur linéaire et η est un paramèter. Soit P et Q deux projections continues telles que
P : X ∩ DomL → ker L et Q : Z → Z/ImL.
Rappelons qu’une application linéaire L : X ∩ DomL → Z avec ker L = L−1(0) et ImL =
L (DomL), est de Fredholm si elle vérifie les conditions suivantes
(i) ker L = L−1{0} est de dimension finie.
(ii) ImL = L (Dom (L)) est fermé et de codimension finie.
Par la suite, si l’espace quotient Z/ImL est de dimension finie, on dit que le sous-espace vectoriel fermé ImL de Z est de codimension finie dans Z et on écrit
co dim ImL = dim (Z/ImL)
i.e, le codimension de ImL est le dimension de Z/ImL, anisi que l’indice d’un opérateur de Fredholm L est l’entier
Ind (L) = dim ker L − co dim ImL.
On dit qu’une application N est L–compact sur Ω si l’application QN : ¯Ω →Z est conti-
nue, QN ¯Ω est borné, et KP(I − Q) N : ¯Ω → X est compact i.e., elle est continue et KP(I − Q) N ¯Ω
est relativement compacte, avec KP : ImL → DomL ∩ ker P est l’inverse
de Lp de telle LP la restriction de L à DomL ∩ ker P , de sotre que LKP = I et KPL = I − P .
D’abord nous commençons par introduire la notation ¯ u = 1 ω Z ω 0 u (t) dt,
d’où u est une fonction continue périodique à période ω. On considère l’équation diffé- rentielle non linéaire à retard de type neutre
dx dt = −x (t) [G (t, x (t − τ1(t)) , ..., x (t − τn(t))) − ϕ (t) x 0 (t − r (t))] , (II.6) On suppose que G (t, x1, ..., xn+1) ∈ C Rn+1, R , G (t + ω, x1, ..., xn) = F (t, x1, ..., xn), r0, ϕ0 ∈ C (R, R) et r, ϕ, τi ∈ C (R, R+) pour i = 1, ..., n sont toutes des fonctions continues et ω– périodiques. nous prouvons que sous certaines conditions sur les fonctions G et ϕ, il ad- met au moins une solution positive périodique de (II.6).
En opérant le changement de variable suivant
y (t) = ln (x (t)) , (II.7) d’où on conclut que
x (t) y0(t) = x0(t) , et
x (t − r (t)) y0(t − r (t)) = x0(t − r (t)) . Alors, y satisfait l’équation suivante
dy
dt = − [G (t, x (t − τ1(t)) , ..., x (t − τn(t))) − ϕ (t) x
0
(t − r (t))]
= −hGt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))−ϕ (t) y0(t − r (t)) ey(t−r(t))i, (II.8) où
r0(t) , 1 pour t ∈ [0, ω] . (II.9) On observe que l’existence d’une solution périodique de (II.6) est équivalente à l’existence d’une solution de l’équation (II.8).
Supposons que la condition(II.9) est satisfaite. On suppose que les conditions suivantes
sont vérifiées
(i) Il existe une constante C > 0 telle que si y est une fonction continue ω–périodique et satisfait
Z ω 0
h
Gt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))idt = 0,
on ait Z ω 0 G
t, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))
dt ≤ C. (ii) Il existe une constante H > 0 telle que, quand vi ≥H, i = 1, ..., n + 1,
G (t, ev1, ..., evn) + ψ (t) evn+1 > 0, G (t, −ev1, ..., −evn) − ψ (t) evn+1 < 0,
est uniformément sur [0, ∞), avec
ψ (t) = ϕ 0 (t) (1 − r0(t)) + ϕ (t) r00(t) [1 −r0(t)]2 ! . (II.10)
est une fonction positive continue et ω–périodique. Alors l’équation (II.6) admet au moins une solution positive ω–périodique.
Lemme 60
Preuve.Il suffit donc d’appliquer le théorème 38. En effet, en prenant
X = Z := {y ∈ C (R, R) : y (t + ω) = y (t)} ,
on utilisera dans ce qui suit la norme suivante y = sup t∈R y (t) = sup t∈[0,ω] y (t) .
Alors, X et Z deux espaces de Banach sont induites par la norme k·k. Définissons les ap- plications N , L, P et Q comme suit pour y ∈ X on a
N y = −hGt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))−ϕ (t) y0(t − r (t)) ey(t−r(t))i, et Ly = y0, P y = Qy = 1 ω Z ω 0 y (t) dt, y ∈ X.
On remarque que, ker L = {y | y ∈ X, y = ξ, ξ ∈ R} et ImL =ny | y ∈ X, R0ωy (t) dt = 0o sont fermées dans X et dim ker L = co dim ImL on conclure que L est une application de Fred- holm d’indice zéro.
En outre pour y ∈ ImL on a l’inverse KP : ImL → ker P ∩ DomL de L peut s’exprimer
sous la forme KP(y) = Z t 0 y (s) ds − 1 ω Z ω 0 Z t 0 y (s) dsdt.
(QN ) (y) = −1
ω
Z ω 0
h
Gt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))−ϕ (t) y0(t − r (t)) ey(t−r(t))idt,
et le fait que − Z ω 0 ϕ (t) y0(t − r (t)) ey(t−r(t))dt = − Z ω 0 " ϕ (t) 1 − r0 (t) d dt ey(t−r(t)) # dt + Z ω 0 " ϕ0 (t) (1 − r0(t)) + ϕ (t) (r00(t)) [1 −r0 (t)]2 e y(t−r(t)) # dt = Z ω 0 ψ (t) ey(t−r(t))dt,
ce qui conduit que
(QN ) (y) = −1
ω
Z ω 0
h
Gt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))idt,
et KP (I − Q) N (y) = −1 ω Z ω 0
Gt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))dt.
+ 1 ω Z ω 0 Z t 0 h
Gs, ey(s−τ1(s)), ..., ey(s−τn(s))+ ψ (s) ey(s−r(s))idsdt
+ t ω − 1 2 Z ω 0 h
Gt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))idt.
Il est évident que QN et KP(I − Q) N sont continues et de plus QN ¯Ω
et KP(I − Q) N ¯Ω
sont relativement compactes pour tout borné Ω ⊂ X et N est L–compact sur ¯Ω. On construit facilement un sous–ensemble de X pour lequel le théorème 38 peut être ap- pliqué à l’équation (II.8). En effet, l’équation correspondant à l’équation (II.8) est donnée par
Ly = ηN y, η ∈ (0, 1)
donc on a
y0(t) = −ηhGt, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))−ϕ (t) y0(t − r (t)) ey(t−r(t))i. (II.11)
On suppose que y ∈ X est une solution de (II.11) pour un certain η ∈ (0, 1). par intégration (II.11) sur [0, ω], on obtient
Z ω 0
h
Par suite, en utilisant (II.11), (II.12) et la condition (i) on trouve Z ω 0 y 0 (t) d t ≤η Z ω 0 G
t, ey(t−τ1(t)), ..., ey(t−τn(t))+ ψ (t) ey(t−r(t))
dt ≤ C. (II.13) D’un autre coté on observe que par (II.12) et (ii) il existe un entier (fixé) i0 ∈ {1, .., n},
t∗∈[0, ω] et une constante l1> 0 telle que
yt∗−τi 0(t ∗ )< l1, y (t ∗− r (t∗)) < l1. (II.14) D’autre part si pour tout l1 > 0 et t ∈ [0, ω], on a
y (t∗−τi(t∗)) ≥ l1, i = 1, .., n and y (t − r (t)) ≥ l1.
on remarque à partie de (ii) qui représente une contradiction avec (II.12), ce qui revient à dire que (II.14) est satisfait. Notons t∗−τi
0(t
∗
) = ζ1+ kω, ζ1∈[0, ω] avec k est un nombre entier alors,
y (ζ1) < l1. (II.15) En suivant la même procédure on conclure à partie de (II.12) et (ii) que il existe i1∈ {1, .., n},
ζ1∈[0, ω] et une constante l2> 0 telle que
y (ζ2) > −l2. (II.16) Par suite de (II.13), (II.15) et (II.16) on arrive facilement à
y (t) ≤ y (ζ1) + Z ω 0 y 0 (t) d t < l1+ C, et y (t) ≥ y (ζ2) − Z ω 0 y 0 (t) d t >−(l2+ C) . alors y < max{l1+ C, l2+ C} := l. Maintenant, on définit l’ensemble
Ω=ny ∈ X | y < J o ,
avec J = max {l, H}. Il est clair que Ω est un sous-ensemble convexe, borné et non vide d’un espace de Banach X, alors Ω satisfait la condition (a) du théorème 38. Pour y ∈ ∂Ω∩ker L =
∂Ω ∩ R, y est une constante dans R avec y = J alors, (QN ) (y) = −1 ω Z ω 0 h
Ψ(θ, y) = θy + (1 − θ) QN y, 0 ≤ θ ≤ 1.
le fait que pour y ∈ ∂Ω∩R, θ ∈ [0, 1] et yΨ (θ, y) > 0 on a Ψ (θ, y) , 0, alors par la propriété d’invariance par homotopie du degré on obtient
deg {QN y, ∂Ω ∩ R, 0}
deg {Ψ (θ, y) , ∂Ω ∩ R, 0} = deg {QN y, ∂Ω ∩ R, 0} , 0.
Cela montre que toutes les hypothèses du théorème 38 sont satisfaites alors, (II.8) admet une solution ω–périodique y. Par conséquent d’après (II.7) on conclut que l’équation (II.6) est aussi admet une solution positive ω–périodique donnée par x (t) = ey(t).
On recommence la même procédure pour étudier l’équation
dx
dt = x (t) [G (t, x (t − τ1(t)) , ..., x (t − τn(t))) − ϕ (t) x
0
(t − r (t))] . (II.17) Remarquons que la déférence entre les équations (II.6) et (II.17) est seulement le signe alors le traitement est comme le premier cas. On peut conclure de manière analogue comme dans (II.6) on trouve le Lemme suivant
Sous les hypothèses du lemme 60 alors, l’équation (II.17) admet au moins une solution positive ω–périodique.
Lemme 61