Contribution à l'étude d'équations aux dérivées partielles, d'équations fonctionnelles à retard : Solutions péridiques et presque-périodiques

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

N°d’ordre: 2343

THESE DE DOCTORAT D’ETAT

Présentée par Ilias CHERTI

Discipline: Mathématiques appliquées Spécialité: Equations aux dérivées partielles.

Titre: CONTRIBUTION A L’ETUDE D’ EQUATIONS AUX DERIVEES

PARTIELLES, D’ EQUATIONS FONCTIONNELLES A RETARD. SOLUTIONS PERIODIQUES ET PRESQUE PERIODIQUES.

Soutenue le 29 juin 2007, devant le Jury

Président:

A. BOURASS P.E.S, à la faculté des Sciences, Rabat

Examinateurs

A. ALAMI IDRISSI P.E.S, Faculté des Sciences, Rabat

M. BAHAJ P.E.S, Faculté des Sciences et Techniques, Settat L. BERRAHMOUNE P.E.S, Ecole Normale Supérieure Takaddoum, Rabat S. EL HAJJI P.E.S, Faculté des Sciences, Rabat

E. HANEBALY P.E.S, Faculté des Sciences, Rabat A. INTISSAR P.E.S, Faculté des Sciences, Rabat

Avant - Propos

Les travaux présentés dans cette thèse ont été effectués, sous la direction du Professeur A. Alami Idrissi, au sein de l’équipe des équations aux dérivées partielles et géométrie spectrale du Département de Mathématique et informatique à la Faculté des sciences de Rabat.

Une collaboration a eu lieu avec le Professeur M. Bahaj, au Département de Mathématique et informatique, au sein de l’équipe de Simulation Numérique et Code de Calculs Industriels du laboratoire analyse des systèmes et de traitement de l’information de la Faculté des sciences et techniques de Settat.

Je remercie vivement Monsieur le Professeur A. Alami Idrissi qui a dirigé cette thèse. Ses conseils multiformes et la richesse de ses connaissances ainsi que ses initiatives m’ont permis de mener à bien ce travail. Cette direction s’est caractérisé par une grande patience , une

disponibilité permanante, des conseils abondants, un support et un suivi continues dans le but de mettre ce projet sous sa forme finale.

Je remercie particulièrement Monsieur le Professeur E. Hanebaly, qui a beaucoup donné au domaine des équations différentielles, pour ses suggestions et propositions très utiles pour l’amélioration de ce travail, par son soutien, son suivi et l’intêret apportés à cette thèse. Ce qui nous a permis un bon développement de certains résultats et une bonne mise au point.

Je ne saurais oublier de remercier Monsieur le Professeur M. Bahaj responsable de L’équipe de Simulation Numérique et Code de Calculs Industriels du laboratoire analyse des systèmes et de traitement de l’information de la Faculté des sciences et techniques de Settat, pour sa coopération permanente et son appui inconditionnel dans une ambiance de fraternité pour la réussite de ce projet.

Je suis flatté de l’honneur que Monsieur le Professeur A. Bourass en présidant le Jury de cette thèse. Je lui exprime ma profonde reconnaissance.

Mes sincères remerciments vont à Monsieur le Professeur L. Berrahmoune pour sa lecture passionnée du manuscrit et d’avoir accepter de présenter un rapport à ce sujet.

Mes remerciements vont aussi à Messieurs les Professeurs S. El Hajji et A. Intissar qui ont bien accepté, avec beaucoup de sympathie, de faire partie du Jury.

Finalement, les mots ne sauraient remercier les membres de ma famille pour tout ce qu’ils font pour ma réussite.

Sommaire

Sommaire...2

Introduction générale...4

1. Préliminaires 10 1.1. Fonctions propres et décomposition spectrale...11

1.2. Analyse multivoque...14

1.3. Les théorèmes du point fixe...15

1.4. Semi-groupes et applications aux équations aux dérivées partielles...21

1.5. Fonctions presque-périodiques...30

1.6. Equations à retard...35

1.7. Fonctions cosines/sines et EDP...36

2. Equations aux derivées partielles: Bornage, périodicité et presque-périodicité 38 2.1. Introduction...39

2.2. Bornage de la solution...42

2.2.1. Solution faible...42

2.2.2. Hypothèses principales...43

2.2.3. Existence d’une solution bornée...43

2.3. Périodicité et presque-périodicité de la solution...49

2.3.1. Solution périodique...49

2.3.2. Solution asymptotiquement presque-périodique...49

2.3.3. Solution presque-périodique...51

2.4. Exemples: Motivations et Equations...51

3. Equations aux derivées partielles de type neutre avec condition non locale. 58 3.1. Introduction...59

3.2. Définitions et rappels...62

3.2.2. Notion de solution faible...62

3.3. Résultats d’existence des solutions...63

3.3.1. Condition de compacité...63

3.3.2. Condition de lipschitz...69

3.4. Exemples...76

4. Equations aux derivées partielles fonctionnelles à retard de type neutre: Bornage, périodicité et presque-périodicité 78 4.1. Introduction...79

4.2. Existence de solutions bornées...81

4.2.1. Hypothèses principales...82

4.2.2. Concept de solution Y-faible...83

4.2.3. Existence de solution Y-faible...84

4.3. Solution Y-faible bornée et lipschitz...88

4.3.1. Equation sans condition initiale...88

4.3.2. Equation avec condition initiale...92

4.4. Périodicité et presque-périodicité...93

4.4.1. Solution asymptotiquement presque-périodique...93

4.4.2. Solution périodique...94

4.4.3. Solution presque-périodique...95

4.5. Application...97

5. Résultats d’existence pour les inclusions intégro-différentielles du second ordre avec conditions non locales 101 5.1. Introduction...102

5.2. Notions sur les inclusions différentielles du second ordre..103

5.2.1. Familles cosines/sines...103

5.2.2. Analyse multivoque...104

5.3. Résultats d’existence des solutions...105

Perspectives et conclusion...117

INTRODUCTION-GENERALE

Les équations aux dérivées partielles constituent aujourd’hui l’un des thèmes importants de la compréhension scientifique et sont d’une grande utilité dans la modélisation de nombreux problèmes de la physique mathématique. Ces équations peuvent être classifiées en plusieurs catégories.

Dans ce travail, nous avons étudié les hypothèses adéquates pour l’existence des solutions classiques et faibles des équations aux dérivées partielles semi linéaires, des équations aux dérivées partielles fonctionnelles de type neutre avec condition non locale, des équations aux dérivées partielles fonctionnelles à retard de type neutre et des inclusions intégro-différentielles du second ordre avec condition non locale aussi. Nous mettons en évidence les solutions bornées, presque-périodiques et asymptotiquement presque-périodiques.

Pour la première partie (chapitre 2), nous présentons des résultats d’existence de solutions classiques périodiques, presque-périodiques et asymptotiquement presque-périodiques après avoir établi l’existence de solutions faibles puis classiques bornées de l’équation semi linéaire suivante:

x′t + Axt = ft, xt 1 où A est un générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique St de classe C0 et f

satisfaisant une hypothèse de type Hölder localement. La méthode utilisée est une approche par la théorie des puissances fractionnaires d’opérateurs et un théorème du point fixe. Nous avons traité la régularité en montrant que notre solution faible est classique puis nous avons montré l’existence de solution asymptotiquement presque-périodique, presque-périodique et périodique à partir de l’existence de solution bornée.

Nous commençons par annoncer une synthèse rassemblant une quantité importante de résultats concernant l’existence des solutions périodiques et presque-périodiques.

Massera, par son approche30, 84, fut le premier à établir un lien étroit entre le bornage et l’existence de solutions périodiques:

Dans un espace de Banach X, on considère le problème de Cauchy suivant:

x′ = f t, x x0 = x0; x0 ∈ X

2 3

avec f : R ×X  X lipschitz et ω −périodique en t ω > 0 pour tout x dans X. Les conditions d’unicité sont supposées satisfaites.

Dans le cas scalaire si l’équation2 a une solution définie et bornée dans R+, alors elle a une solution ω−périodique.

Si X = Rn, et si l’équation2 est linéaire de la forme

x′ = Atx + bt; t ≥ 0 4 avec At une matrice carré d’ordre n, continue et ω−périodique en t. L’existence d’une

solution bornée sur0, +∞ implique l’existence d’une solution ω −périodique. Massera utilise implicitement l’opérateur de Poincaré.

Notons bien que la méthode de Poincaré consiste à transformer le problème d’existence de solutions périodiques en un problème du point fixe. L’opérateur de Poincaré, noté T est défini par

Tx0 = xω où xt est la solution relative à x0. Il s’en suit que la solution de l’équation2 est

ω −périodique si et seulement si , x0 = xω, ou encore x0est un point fixe de T.

En revanche, si l’équation4 n’est pas linéaire alors Massera montre, par un

contre-exemple, que l’existence d’une solution bornée sur0, +∞ n’entraine pas toujours l’existence d’une solution ω−périodique.

Dans47, les auteurs ont étudié l’existence de solutions presque-périodiques du problème de Cauchy2− 3 en remplaçant 3 par xa = x0où a ∈ R, x0 ∈ X, f est bornante,

fortement dissipative par rapport à x et supt∈R|ft, 0| < +∞ . L’équation admet d’abord une

solution bornée puis si f est presque périodique en t uniformément par rapport à x, alors cette solution est presque-périodique.

Par ailleurs, dans le cas où f est seulement dissipative, il est démontré que l’équation2 a une solution définie sura, +∞, a ∈ R et à image précompacte dans un espace strictement convexe, si et seulement si il existe une solution presque-périodique de l’équation2.

Ce résultat constitue une généralisation des équations d’évolution monotones dans un Hilbert

49. La démonstration exploite le concept des semi produits scalaires.

Dans11 ce sont des résultas d’existence sous des conditions de compacité:

Soit X un espace de Banach, on considère l’équation différentielle ordinaire de la forme1 où ft, x : R ×X  X est presque-périodique en t uniformément par rapport à x dans les compacts de X, et A est le générateur d’un semi-groupe St de classe C0satisfaisant

|St|LX ≤ Meβt, où β est un nombre négatif.

On suppose que f = f1+ f2où f1, L−lipschitz en x et f2sont continues et f2R × D est

précompact pour chaque sous ensemble borné D de X, lim|x|→+∞ f2t,x

|x| = 0, uniformément pour

t ∈ R. En utilisant le théorème du point fixe de Krasnoselskii et la théorie du semi-groupe,

l’existence d’une solution presque-périodique est alors prouvée.

Un résultat de compacité est démontré ensuite: En effet, soit A un générateur infinitésimal d’un semi-groupe compact St, t ≥ 0. Soit ft, x presque-périodique en t uniformément par rapport à x dans les compacts de X, et on suppose que lim|x|→+∞

f2t,x

|x| = 0, uniformément pour

t ∈ R. Alors l’équation de la forme 1 a au moins une solution faible presque-périodique.

Dans93 Prüss considère l’équation aux dérivées partielles de la forme 4 avec la condition initiale xt0 = x0où A génére un semi-groupeSt_t>0 , supposé compact pour tout t > 0 et f

une fonction compacte périodique en t. En utilisant la théorie du degré topologique39, l’auteur montre que le problème admet alors une solution faible ω−périodique.

Dans22, ce sont des résultats d’existence concernant les équations d’évolution non autonomes, les conditions nécessaires et suffisantes sont étudiées pour l’existence de solutions presque-périodiques du problème homogène x′t = Atxt où At est le générateur

infinitésimal d’un semi-groupe St de classe C0sur un espace de Banach X, satisfaisant une

stabilité exponentielle.

Dans104, en utilisant la théorie des semi-groupes, les auteurs étudient l’existence de solutions faibles des équations non autonomes intégro-différentielles de la forme suivante:

x′t + Atxt = Ft, xt, Wxt, t > t0

xt0 = x0

oùWxt =

∫

0 t

Kt, τgτ, xτdτ et At, t ∈ 0, T est une famille d’opérateurs linéaires

à domaine dense. F : I × Xα × Xα  X est mesurable en t et loalement lipschitz par rapport aux

autres variables. Il existe une solution α− faible.

Dans12 les auteurs ont prouvé l’existence et l’unicité des solutions presque-périodiques de l’équation aux dérivées partielles1 avec−A générateur d’ un semi-groupe analytique St_t≥0 ,

ft, x:R ×DAα  X est uniformément presque-périodique et globalement Hölder. Ces

résultats sont généralisées dans73 au cas d’ un opérateur−A qui génére un semi-groupe analytique St de classe C0admettant une exponentielle dichotomie avec

iλ : λ ∈ R ⊂ ρ−A.

Notre contribution se situe dans: l’utilisation de la théorie des puissances fractionnaires de l’opérateur A pour l’équation semi linéaire de la forme4, l’existence de solutions classiques bornées presque périodiques et asymptotiquement presque-périodiques pour ces équations semi linéaires selon que f est uniformément presque-périodique ou uniformément asymptotiquement presque-périodique respectivement.

La deuxième partie (chapitre 3) concerne l’existence de solutions faibles, sous des

conditions de compacité puis sous des hypothèses de type lipschitz, du problème de Cauchy avec condition non locale2, 20, 21, 24, 25, 31, 32, 56, 66, 80, 105 des équations aux dérivées partielles de type neutre de la forme suivante:

d

dtxt + gt, xt = Axt + ft, xt, t ∈ I = 0, b x0 = x0+ px

5 où A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu d’opérateurs

linéaires et bornésSt dans un espace de Banach X. p : CI, X  X est une fonction appropriée. f, g : I × X  X sont des fonctions données.

La condition non locale, l’impulsion et la contrôlabilité, sont des sujets d’actualité de ces dernières années. Leurs associations aux problèmes classiques a apporté beaucoup

d’amélioration au niveau de la modélisation, la rendant ainsi plus réaliste. La condition non locale jointe à l’équation principale- au lieu de la condition initiale classique- s’avère nécessaire pour bien modéliser et décrire mathématiquement, des phénomènes physiques comme en électronique, en mécanique des matériaux, ou en biomathématique de la manière la plus proche de la réalité de nombreux phénomènes dans de multiples disciplines. La condition non locale signifie que la condition initiale dépend de certains temps futurs.

Il nous parait intéressant de rappeler quelques résultats établis pour des problèmes avec équations aux dérivées partielles de type neutre puis à condition non locale.

Dans31 et 33, les premiers résultats d’existence de solutions faibles fortes et classiques pour un problème de Cauchy abstrait avec condition non locale sont établis. Il s’agit d’une équation différentielle d’évolution du premier ordre

de la forme

x′t = Axt + ft, xt, t ∈ 0, b

x0 = x0+ qt1, t2, . . . , tn, xt1, xt2, . . . , xtn,

6 où A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe St de classe C0sur un espace de

Banach X.

asymptotiquement presque-périodique pour les équations aux dérivées partielles d’évolution présentées sous la forme l’existence d’une solution presque-périodique classique.

d

dt xt + g t, xt = A xt + f t, B xt xt0 = y0

7 où A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique d’opérateurs linéaires

bornés St sur un espace de Banach X, B : DB ⊂ X  X est un opérateur linéaire fermé tel que D−Aα ⊂ DB. f et g sont des fonctions appropriées.

Dans57, l’auteur montre l’existence de solution faible borné et puis une solution classiques périodiques, suivant le principe de Massera et par étude de la régularité pour les équations aux derivées partielles fonctionnelles de type neutre avec retard

d

dtxt + Gt, xt = Axt + Ft, xt pour t > 0 avec x0 = ϕ ∈ D, où D est un espace de phase

approprié et A génére un semi-groupe analytique d’opérateurs linéaires. Le même problème est encore traité avec retard infini58, 64, 65.

Dans105, l’auteur s’est intéressé aux équations différentielles semi linéaires de la forme

6, avec la condition non locale x0 = gx + x0. A est le générateur infinitésimal d’un

semi-groupe St de classe C0d’opérateurs linéaires bornées et f : 0, b × X  X,

g : C0, b; X  X avec X un espace de Banach.

La fonction g est supposée continue, compact, bornée par M, f. , x est mesurable pour

x ∈ X, ft, .  est continue pour 0, b presque partout. De plus, ‖ft, x‖ ≤ atΩ‖x‖ avec

∫

asds ≤

∫

MN

+∞ _ds

MΩs où N = sup‖St‖, t ∈ 0, b pour tout x ∈ X et t ∈ 0, b presque

partout, avec a.  ∈ L1_{0, b, R}+_{ et Ω : R}+ _{ R}+ _{continue croissante; De plus, f est supposée}

compacte. Il existe alors au moins une solution faible de6.

En remplaçant la compaçité de g par la condition de k−lipschitziték < _N1 , il est alors démontré qu’il existe au moins une solution faible pour le problème6.

Dans80, on a travaillé sur l’existence de solutions faibles et classiques du problème de Cauchy avec condition non locale suivant:

x′t = A xt +

∫

t0

t

Ft− sxsds + ft, xt, t ∈ t0, t0+ T,

xt0 = −gt1, . . . , tp, x + x0

où A est le générateur d’un semi-groupe de classe C0sur un espace de Banach X. F, f sont des

fonctions données.

Dans20, il est prouvé l’existence de solutions faibles et fortes pour une équation intégro-différentielle de type sobolev avec condition non locale de la forme

Bxt′+ Axt = f t, xt,

∫

0 t

at, sks, xsds , t ∈ 0, b, x0 = −gt1, . . . , tp, xt1, xt2, . . . , xtp + x0

où A et B sont des opérateurs linéaires ayant leurs domaines contenus dans un espace de Banach X et leurs images contenues dans un espace de Banach Y.

Dans59 et 60 l’existence de solutions faibles et de solutions classiques est prouvé pour pour une classe d’équations aux dérivées partielles du second ordre avec conditions non locales pour x0 et x′0.

Pour notre part, nous généralisons les résultats de105 aux équations aux dérivées partielles fonctionnelles de type neutre avec condition non locale5. Nous utilisons la théorie des

puissances fractionnaires d’opérateurs, l’alternative de Leray-schauder, le théorème du point fixe de Sadovskii97 pour le cas où le semi-groupe est supposé compact à la fin du chapitre. Nous avons des résultats d’existence de solutions faibles sous des conditions de compacité puis des résultats d’existence de solutions faibles sous des conditions de type lipschitz.

La troisième partie (chapitre 4) est une contribution aux travaux sur l’existence des solutions Y−faibles bornées, périodiques, presque-périodiques et asymptotiquement

presque-périodiques des équations aux dérivées partielles fonctionnelles de type neutre à retard de la forme: d dt xt + F t, xt = A xt + G t, L xt pour t > 0 x0 = ϕ ∈ C−r, 0; Y 8 9 avec A un générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytiqueSt_t≥0sur un espace de

Banach X, Y est un espace de Banach approprié. F et G sont des fonctions continues et satisfaisant des hypothèses de type Hölder. L est un opérateur linéaire.

Durant les dernières années, beaucoup de travaux ont pu améliorer cet axe de recherche par des résultats intéressants, surtout dans le retard infini.54, 55, 61, 64, 65, 95.

Ces équations ont beaucoup d’applications dans différentes disciplines et domaines qui demandent en particulier de l’information sur leur comportement passé. ( par exemple les

épidémies, l’évolution de l’économie, et tout phénomène à mémoire. Ainsi, les équations à retard ( avec comme données certains états précédents des systèmes étudiés) sont souvent des

modélisations pour les problèmes pratiques plus réalistes comparés à eux mêmes sans retard. A ce propos voici quelques exemples qui seront une bonne introduction pour notre travail.

Dans14, les auteurs traitent une classe d’équations fonctionnelles aux dérivées partielles de type neutre à retard avec une condition non locale

d

dt xt + g t, xt, xt− τ1 + A xt = f t, xt, xt− τ2 pour t > 0 hx = Φ sur −τ, 0,

Ils étudient l’approximation de la solution de ce problème dans un espace de Hilbert séparable H, avec τ = maxτ1, τ2, τ1, τ2 > 0, −A est un opérateur linéaire qui génére un

semi-groupe analytique dans H. f et g sont des fonctions continues.

Dans57 l’auteur a établi, suivant le principe de Massera, l’existence de solutions faibles et classiques périodiques, pour les équations aux derivées partielles fonctionnelles de type neutre suivantes:

d

dtxt + Gt, xt = Axt + Ft, xt pour t > 0

x0 = ϕ ∈ D

avec D un espace de phase approprié contenant les fonctions ϕ, A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique d’opérateurs linéaires bornées St sur un espace de Banach. Dans le même sens, on a64, 65

Le cas où G ≡ 0 a été beaucoup traité 53, 55, 71, 95, 105 avec des résultats importants concernant l’existence de solutions presque-périodiques.

Dans78, les auteurs montrent l’existence des solutions périodiques positives pour des équations différentielles fonctionnelles de type neutre de la forme suivante:

d

d dt xt− c

∫

∫

∫

Notre contribution est une généralisation des résultats d’existence67 du problème 7 au cas d’équations fonctionnelles de type neutre à retard8− 9, sous des conditions de type Hölder puis de type Lipschitz. Du point de vue apport, nous établissons l’existence de solution

Y−faible bornée, de la solution Y −faible presque-périodique et de la solution Y −faible

asymptotiquement presque-périodique. Les méthodes dans57 sont prises en considération. Les résultats sont obtenus en utilisant la théorie des puissances fractionnaires d’opérateurs et le principe de contraction de Banach.

La dernière partie porte sur l’existence de solutions faibles de deux types d’inclusions intégro-différentielles du second ordre avec conditions non locales, dans les espace de Banach, présentées sous la forme:

(Pour la première inclusion)

d dtx ′_{t + gt, xt ∈ Axt +}

∫

où A est le générateur infinitésimal d’une famille cosine fortement continue d’opérateurs linéaires et bornésCt : t ∈ R sur un espace de Banach X , I = 0, b, F : I × X → 2X _est

une application multivoque fermé bornée et convexe; g : I × X → X, p, q : CI, X → X, et

K : D → R, D = t, s ∈ I × I; t ≥ s.

(Pour la deuxième inclusion)

d dtx ′_{t + gt, xt, x}′_{t ∈ Axt +}

∫

où A, K, F : I × X × X → 2X_{est une application multivoque fermée bornée et convexe}

g : I × X × X → X, p, q : CI, X × CI, X → X.

Ces problèmes recouvrent plusieurs directions: les inclusions différentielles, les équations aux dérivées partielles du second ordre, les équations intégro-différentielles ainsi que les systémes à condition non locale.

Le problème de Cauchy non local aux équations aux dérivées partielles du second ordre a été étudié, en utilisant la théorie des fonctions cosines56, 66.

Le problème de Cauchy non local pour équations différentielles fonctionelles à retard a été étudié également dans25.

Des résultats d’existence pour des inclusions intégro-différentielles et différentielles fonctionnelles de type neutre du second ordre avec conditions non locales dans les espaces de Banach sont donnés dans86 et 88.

Pour notre part, à l’aide d’ un théorème du point fixe pour applications multivoques

contractantes de Martelli, nous proposons des résultats d’existence pour les deux problèmes aux conditions non locales précédents. L’originalité du travail est dans le fait que nous évitons de mettre l’ hypothèse classique de compacité sur le semi-groupe. En revanche, nous avons des hypothèses de compacité sur les fonctions et sur des ensembles relatifs au semi-groupe.

CHAPITRE 1

PRELIMINAIRES

Dans ce chapitre, nous présentons quelques notions et résultats fondamentaux sur les équations aux dérivées partielles, sur les équations différentielles à retard, la théorie des semi-groupes, applications aux équations aux dérivées partielles et la théorie des familles cosines/sines et équations aux dérivées partielles

1.1. Fonctions propres et décomposition spectrale.

Spectre d’un opérateur compact.

Soit X un espace de Banach. On note LX l’espace de Banach des applications linéaires continues de X dans X.

Soit T ∈ LX. Définition 1.1.

On appelle ensemble résolvant l’ensemble défini par:

ρT= λ ∈ C, T − λI soit bijectif de X sur X .

Le spectre σT est le complémentaire de l’ensemble résolvant, σT = C\ρT. On dit que λ est valeur propre -et on note λ ∈ VPT- si

NT− λI ≠ 0

où NT− λI, l’espace propre associé à λ, désigne le noyau de l’opérateur T − λI.

Il est important de retenir que si λ ∈ ρT alors T − λI−1 ∈ LX grâce au théorème de l’application ouverte.

La résolvante de T est définie alors par:

Rλ, T = λI− T−1

Nous allons énoncer un résultat concernant le spectre des opérateurs linéaires continus compacts sur un espace de dimension infinie très utile dans nos applications ultérieures.

Théorème 1.1.

Soit T un opérateur linéaire continu compact sur X , X de dimension infinie, alors on a les propriétés suivantes:

a) 0 ∈ σT,

b) σT\0 = VPT\0,

c) L’une des situations suivantes est vraie: - σT = 0,

- σT\0 est fini,

- σT\0 est une suite qui tend vers 0.

Nous allons définir les opérateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert H.

On dit qu’un opérateur T ∈ LH est auto-adjoint si T∗ = T; c’est à dire que

Tu, v = u, Tv ∀u, v ∈ H

Nous énonçons un théorème de décomposition spectrale des opérateurs compacts auto-adjoints dans un espace de Hilbert.

Théorème 1.2.

Si H est séparable et T un opérateur compact auto-adjoint sur H, alors H admet une base Hilbertienne formée de vecteurs propres de T.

Nous présentons un résultat très utile dans les applications ultérieures. Théorème 1.3.

Soit Ω est un ouvert borné de RN.

Il existe une base Hilbertienneen_n≥1de L2Ω et il existe une suite λn_n≥1de réels avec

λn > 0, et λn  +∞ tels que

en ∈ H01Ω∩ C∞Ω

− Δen = λnensur Ω.

On dit que les λnsont les valeurs propres de−Δ (avec condition de Dirichlet) et que les en

sont les fonctions propres associées.

Rappelons que Δ =

∑

Si Ω est borné, il existe une constante C = CΩ > 0 telle que

∀v ∈ H01Ω, ‖v‖L2_Ω ≤ CΩ‖∇v‖_L2_Ω

Lemme 1.2. Soit Ω un ouvert borné de RN. Alors l’injection canonique de H01Ω  L2Ω

est compacte.

Preuve. Pour tout f ∈ L2_{Ω il existe u ∈ H}2_{Ω∩ H} 0

1_{Ω unique tel que:}

− Δu = f sur Ω

u = 0 sur∂Ω

1. 1 On désigne par T l’opérateur f  u considéré comme opérateur de L2_{Ω dans L}2_Ω.

Vérifions que T est auto-adjoint et compact. On a, grâce au théorème de Green,

∫

∫

Ωf. u

Ceci implique que

‖∇u‖L2

2 _{≤ ‖f‖}

L2‖u‖_L2

Il en résulte de l’inégalité de Poincaré que

‖u‖_H1 ≤ c‖f‖_L2

puis

Comme l’injection de H1_{Ω dans L}2_{Ω est compacte (puisque Ω est borné)?(lemme1.2),}

nous en concluons que T est compact de L2_{Ω dans L}2_Ω.

Montrons que T est auto-adjoint. On a

∫

∫

Ωf. Tg pour tout f, g ∈ L

2_Ω

Posons u = Tf et v = Tg ; Multiplions−Δu = f par v et −Δv = g par u. On a alors

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Positivité des valeurs propres.

∫

∫

Ωu. f =

∫

2 _{≥ 0 ∀f ∈ L}2_{Ω 1. 2}

et d’autre part NT = 0 car Tf = u = 0 implique que f = 0. D’après théorème 1.2., L2_{Ω admet une base Hilbertienne e}

n_n≥1constituée de vecteurs

propres de T associées à des valeurs propresμn_n≥1.

Nous avons μn > 0, μn  0, Ten = μnen, (voir théorème1.1.)−Δμnen = en, Δen = λnen,

μn = _λ1

n .

1. 2 donne que μn ≥ 0

NT ≠ 0 implique que μn ≠ 0

f = λnen ∈ CΩ permet d’avoir e1 ∈ C2Ω.

Remarque29 : Soit Ω⊂ RNun ouvert borné. Soient aij ∈ L∞Ω vérifiant la condition

d’ellipticité:

∑

i,j=1 N

aijxζiζj ≥ α|ζ|2 ∀x ∈ Ω, α > 0 ∀ζ = ζi ∈ RN

et a0 ∈ L∞Ω, alors il existe une base Hilbertienne en_n≥1de L2Ω et il existe une suite

λn de réels avec λn  +∞ tels que en ∈ H01Ω et

∫

∑

∫

∫

Nous rappelons cette inégalité utile dans certaines de nos preuves ultérieures.

Proposition 1.1. Soit p : a, b  X est continue et il existe des fonctions continues

μ : a, b  0, ∞ et ν : a, b  X telles que

pt ≤ νt +

∫

a t

μtpsds pour tout t ∈ a, b. alors

pt ≤ νt +

∫

∫

μrdr μsνsds pour tout t ∈ a, b. En particulier, si νt = ν0pour tout t ∈ a, b alors

pt ≤ ν0exp

∫

μrdr pour tout t ∈ a, b.

Lemme 1.3. Si f , g sont deux fonctions définies sur0, T (T une constante strictement positive), positives à valeurs dans un espace de Banach X et satisfaisant l’inégalité suivante:

ft ≤ Cgt + C

∫

∫

La preuve de ce lemme est une application élémentaire de l’inégalité de Gronwall.

1.2. Analyse multivoque.

Nous allons introduire des résultats de base sur l’analyse multivoque.

Soit X un espace de Banach et CI, X l’espace de Banach des fonctions continues de I dans X muni de la norme:

|x| =

t∈I

sup ‖xt‖.

BCCX dénote l’ensemble de tous les sous ensembles bornés fermés et convexes de X.

Une fonction mesurable x : I → X est intégrable au sens de Bochner si et seulement si |x| est Lebesgue intégrable. On peut consulter, pour plus de propriétés l’ouvrage de référence à ce sujet

107.

Exemple d’applications multivoques: 1) Application de Dualité:38, 39, 40

Soit X∗le dual topologique, d’un espace de Banach réel X, muni de sa norme habituelle notée aussi ‖. ‖.

Alors l’application J, de Dualité de X, définie sur X par:

Jx = x∗ ∈ X∗/ x∗x = ‖x‖2 = ‖x∗‖2 est multivoque.

D’après le théorème de Hahn-Banach, Jx est non vide pour tout x dans X. 2) Sous- Différentiel:

Soit ϕ : X  R une fonction convexe, alors l’application ∂ϕ : X  2X∗ _{définie par:}

∂ϕx0 = x∗ ∈ X∗/ ϕx ≥ ϕx0 + x∗x− x0 ∀x ∈ X

et appelée le sous-différentiel de ϕ au point x0est une application multivoque.

Si ϕx = 1₂‖x‖2alors∂ϕ = J où J est l’application de dualité définie au dessus.

Une application multivoque G : X → 2X_{est à valeurs convexes (fermée) si Gx est convexe}

(fermé) pour tout x ∈ X. G est bornée sur les ensembles bornés si GD =

x∈D

∪ Gx est borné

dans X, pour tout sous ensemble borné D de X, c’est à dire,

x∈D

sup

y∈Gx

Une application multivoque est dite semi continue supérieurement sur X, si pour chaque x0 ∈ X,

l’ensemble Gx0 est un sous ensemble non vide et fermé de X et si pour chaque V de X

contenant Gx0, il existe un voisinage ouvert A de x0tel que GA ⊂ V.

Une application multivoque est dite complétement continue si GD est relativement compact pour tout sous ensemble borné D dans X.

Une application multivoque G a un graphe fermé si :xn → x, yn → y, yn ∈ Gxn implique

y ∈ Gx.

Si l’application multivoque G est complétement continue avec valeurs compactes non vides, alors G est semi continue supérieurement si et seulement si G a un graphe fermé.

Une application multivoque G a un point fixe s’il existe x dans X tel que x ∈ Gx.

Une application multivoque G : I → 2X_{est dite mesurable si pour chaque x dans X, la fonction}

Y : I → R, définie par

Yt = dx, Gt = inf‖x− z‖ : z ∈ Gt

est mesurable.

Une application semi continue supérieurement G : X → 2X _{est dite "condensée" si pour tout sous}

ensemble D ⊂ X, avec αD ≠ 0 , on a

αGD < αD

où α est la mesure de non compacité Kuratowski (39, 83. Lemme 2.1.

Soit I un intervalle compact réel et X un espace de Banach. Soit F une application multivoque satisfaisant les propriètés suivantes:

F : I × X → BCCX; t, x → Ft, x est mesurable par rapport à t pour chaque x ∈ X, semi continue supérieurement par rapport à x pour chaque t ∈ I, et pour chaque

x ∈ CI, X, l’_ensemble

SF,x= y ∈ L1I, X : yt ∈ Ft, xt presque partout sur I

est non vide, et soit L une application linéaire et continue de L1_{I, X vers CI, X, alors, les}

opérateurs

L∘ SF: CI, X→ BCCCI, X, y →L∘ SFy=LSF,y

sont à graphe fermé dans CI, X × CI, X.

Pour plus de détails sur les applications multivoques, on peut consulter les ouvrages de Deimling40 et de Hu et Papageorgiou 68.

Borne supérieure essentielle.

Soit f : X  R avec X un espace mesuré. Si l’ensemble x ∈ X : fx > a est de mesure nulle, autrement dit fx ≤ a pour presque tout élément x de X, alors a est dit un presque majorant de f. La borne supérieure essentielle de cet ensemble est le plus petit des presque majorants. Si f admet un presque majorant, on peut définir de la même façon la notion de borne inférieure essentielle; Pour une fonction bornée, les différentes bornes sont reliées par

inf f ≤ inf ess f ≤ sup ess f ≤ sup f

1.3.Théorèmes du point fixe.

Théorème 3.1. (Banach)83

Soit X un espace de Banach sur un corps K K = R ou C , et soit ‖. ‖ la norme sur X. Soit D un sous ensemble fermé de X. Soit F une fonction qui applique D dans D, telle qu’il existe un

nombre γ avec 0 ≤ γ < 1 et

‖Fx − Fy‖ ≤ γ‖x − y‖ pour tout x,y ∈ D.

Alors il existe un point unique z ∈ D tel que Fz = z. De plus, si x0 ∈ D et xn = Fxn−1pour n = 1, 2, . . . alors

lim_n→∞xn = z

et on a l’estimation

‖xn− z‖ ≤ γn1− γ−1‖x1− x0‖ pour n = 1, 2, . . .

Théorème 3.2. (Schauder)

Soit D un fermé borné convexe d’un espace de Banach X.

Soit F une fonction complétement continue de D dans D, (c’est à dire qu’elle est continue et applique les sous ensembles bornés dans les sous ensembles relativement compacts). Alors, il existe un point z ∈ D tel que Fz = z.

Remarque. Dans le cas où D est compact et convexe, il suffit que F soit continue pour avoir un point fixe pour F.

Théorème 3.3. (Krasnoselskii)

Soit D un sous ensemble fermé borné et convexe de X. on suppose que les opérateurs B et C vérifient:

i Bx + Cx ∈ D pour tout x ∈ D; ii C est continu et CD compact;

iii il existe un nombre 0 ≤ γ < 1 tel que ‖Bx − By‖ ≤ γ‖x − y‖ pour tout x, y ∈ D.

Alors il existe au moins un élement z ∈ D tel que Bz + Cz = z.

Dans sa version généralisée,iii est remplaçée par la condition suivante:

iv Il existe une fonction continue à droite ϕ : 0, +∞  0, +∞ telle que ϕr ≤ ϕs

pour 0 ≤ r ≤ s, ϕr < r si r > 0, et ‖Bx − By‖ ≤ ϕ‖x − y‖ pour tout x, y ∈ D.

Remarque. Dans le théorème précédent si γ = 1 dansiii alors on n’a pas de point fixe. En effet,on a un contre-exemple83, pp119.

Soit C0R l’espace de Banach de toutes les suites réelles ξ = ξi₁∞ avec

lim

i+∞ξi = 0

et ‖ξ‖ = max|ξi| : i = 1, 2, . . . . Pour chaque ξ ∈ S0, 1 la fermeture de la boule unité, on

définit Aξ = η où η1 = 2−11 + ‖ξ‖ et ηi = 1 − 2−i−1ξi−1pour i = 2, 3, . . . . Puisque |η1| ≤ 1 et

|ηi| ≤ |ξi| ≤ 1 alors on a A : S0, 1  S0, 1. Aussi, si ξ et ξ′ sont deux éléments distincts

dans S0, 1 alors

‖Aξ − Aξ′_{‖ = max2}−1_{‖ξ‖− ‖ξ}′_{‖, max1 − 2}−i−1_|ξ

i−1 − ξi′−1| : i = 2, 3, . . . 

< ‖ξ − ξ′_‖.

Supposons qu’il existe un ξ ∈ S0, 1 tel que Aξ = ξ implique que ξ1 = 2−11 + ‖ξ‖ > 0.

|ξi| = |1− 2−i−1ξi−1| = |1− 2−i−11− 2−iξi−2| = . . . =

∏

∑

∑

Ainsi |ξi| ≥ 3₄|ξ1| > 0 pour tout i ≥ 2, ceci est impossible puisque ξi  0 quand i  +∞.

Il s’en suit que A n’a pas de point fixe.

Si on impose des hypothèses supplémentaires sur l’espace de Banach X et sur le sous

ensemble D de X, on peut étendre le théorème de point fixe de Banach comme suit au cas γ = 1. On rappelle qu’un espace de Banach est dit uniformément convexe si pour chaque  > 0 il existe un δ = δ > 0 tel que pour tout x, y ∈ X avec ‖x‖ = ‖y‖ = 1 et ‖x − y‖ ≥ , on a

‖x + y‖ ≤ 21 − δ; (propriété géométrique).

De manière équivalente, sixk₁∞ etyk₁∞ sont deux suites dans X telles que

‖xk‖ ≤ 1,‖yk‖ ≤ 1 avec lim k→+∞‖xk+ yk‖ = 2 alors lim k→+∞‖xk− yk‖ = 0. Théorème 3.4.

Supposons que X soit un espace de Banach uniformément convexe et que D soitt un sous ensemble fermé, borné et convexe de X. Supposons aussi que A soit une application de D dans D telle que:

‖Ax − Ay‖ ≤ ‖x − y‖

pour tout x, y ∈ D.

Alors l’ensemble F = z ∈ D : Az = z est fermé convexe et non vide.

Nous citons, à titre d’information, une autre version de ce théorème relative au cône: Théorème 3.5. (Krasnoselskii pour les cônes)

Soit X un espace de Banach, et soit K ⊂ X un cône dans X. Supposons que Ω1, Ω2sont deux

sous ensembles ouverts de X avec 0 ∈ Ω1, Ω1⊂ Ω2, et soit

Φ : K ∩Ω2\Ω1 K

un opérateur complétement continu qui satisfait l’une des conditions suivantes:

i ‖Φx‖ ≥ ‖x‖, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω1et ‖Φx‖ ≤ ‖x‖, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω2;

ii ‖Φx‖ ≥ ‖x‖, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω2et ‖Φx‖ ≤ ‖x‖, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω1.

Alors Φ a un point fixe dans K∩ Ω2\Ω1.

Ce théorème est utilisé dans la recherche des solutions périodiques positives. .

Mesure de non compacité. On peut consulter les ouvrages383983

Soit X un espace normé linéaires sur un corps K. δ. , α.  et β. désignent respectivement le diamétre, la mesure de non compacité de Kuratowski et la mesure de non compacité de Hausdorff (ou de la boule) sur X définies par

δΩ = sup|x − y| : x, y ∈ Ω

αΩ = inf  > 0 : Ω est recouvert par un nombre fini

d’ensembles de diamétres ≤ 

βΩ = inf  > 0 : Ω est recouvert par un nombre fini

de boules de rayons  où Ω est un sous ensemble borné de X.

En particulier, pour chaque  > αΩ il existe un nombre fini d’ensembles S1, . . . , Sn ⊂ Ω

tels que δSi ≤  et

⋃

Si = Ω. On a aussi 0 ≤ αΩ ≤ δΩ pour chaque sous ensemble borné

Ω de X.

Quelques propriétés fondamentales sont données dans ce qui suit, où γ désigne les deux mesures de non compacité.

Lemme 3.1.

Pour Ω1et Ω2deux sous ensembles bornés de X et λ ∈ K. Alors, on a:

i Ω1 ⊂ Ω2implique γΩ1 ≤ γΩ2;

ii γΩ = γΩ;

iiiγΩ1∪ Ω2= maxγΩ1, γΩ2

ivγΩ = 0 si et seulement si Ω est relativement compact c’est à dire que Ω est compact. v γλΩ = |λ|γΩ;

viγΩ1+ Ω2≤ γΩ1+γΩ2;

viiγcoΩ = γΩ, co désigne l’enveloppe convexe de Ω.

viiiγ est continue par rapport à la distance de Hausdorf ρH, définie par

ρHΩ1, Ω2 = max sup x∈Ω1

ρx, Ω2, sup x∈Ω2

ρx, Ω1 ; en particulier γΩ = γΩ.

où Ωi, i = 1, 2 sont des bornés de X, et ρx, Ω est la distance entre x un element et Ω.

Remarque:v et vi signifient que γ est une semi-norme. Opérateurs α-Lipschitz83

Soient X et Y deux espaces vectoriels normés sur le même corps K, et ‖. ‖ désigne la norme pour X et Y.

Soit D un sous ensemble de Y. Et α− LipD, X désigne la classe de toutes les applications

A : D  X continues, qui appliquent les sous ensembles bornés de D dans les sous ensembles

bornés de X et telles qu’il existe un nombre L ≥ 0 satisfaisant

αAΩ ≤ LαΩ

pour les sous ensembles bornés Ω de D.

Pour chaque A ∈ α − LipD, X, on note par |‖A‖|_α le plus petit nombre L tel que l’inégalité précédente a lieu.

Les éléments de α− LipD, X s’appellent applications α −lipschitziennes et |‖A‖|_α est la constante d’α−lipschitz de f. On va citer quelques propriétés relatives aux opérateurs

α −lipschitz:

Proposition 3.1.

si A, B ∈ α − LipD, X avec β ∈ K alors:

i|‖βA‖|_α=|β|. |‖A‖|_β;

ii|‖A + B‖|_α ≤ |‖A‖|α + |‖B‖|α; et

iii|‖A‖|_α = 0 seulement dans le cas où AΩ est précompact pour chaque sous ensemble

borné Ω de D.

On rappelle que LipD, X est la classe des éléments A de FD, X telles que

‖A‖_Lip = sup ‖Ax − Ay‖

‖x − y‖ ; x, y ∈ D, x ≠ y < +∞.

c’est à dire A ∈ LipD, X signifie qu’il existe un nombre L ≥ 0 tel que ‖Ax − Ay‖

≤ L‖x − y‖ pour tout x, y ∈ D. De plus, ‖A‖_Lipest le plus petit des nombres L.

Sur X un espace de Banach, CCD, X la classe des applications de D dans X complétement continues, qui est un sous espace linéaire de α− LipD, X et

CCD, X = A ∈ α − LipD, X : |‖A‖|_α = 0

Proposition 3.2.

i Supposons que A ∈ LipD, X Alors, A ∈ α − LipD, X et |‖A‖|α ≤ ‖A‖Lip.

iiSupposons que X soit un espace de Banach, A ∈ LipD, X, et B ∈ CCD, X. Alors

A + B ∈ α − LipD, X avec |‖A + B‖|_α ≤ ‖A‖_Lip. Lemme 3.2.

i Si X est un espace de Banach et Ω est un sous ensemble relativement compact de X. Alors

coΩ est compact.

ii Soit Ωn : n = 1, 2, . . . est une famille de sous ensembles bornés non vides de X tels

que Ωn+1 ⊂ Ωnpour n = 1, 2, . . . et lim n∞αΩn = 0 Alors

⋂

Ωnest non vide et compact.

Théorème (Ascoli).

Soient X est un espace de Banach sur K avec la norme notée ‖. ‖ et Y un espace linéaire normé avec une norme notée aussi ‖. ‖. D désigne un sous ensemble non vide de Y.

FD, X est l’espace linéaire des fonctions définies sur D à valeurs dans X CD, X est le sous espace de FD, X des fonctions continues.

C_bD, X est la classe de tous les f de CD, X, telles que

|f|_∞ = sup‖fx‖ : x ∈ D < ∞.

Il s’en suit que CbD, X est aussi un sous espace de FD, X et que |. |_∞est une norme sur

C_bD, X. De plus, puisque X est complet, l’espace normé C_bD, X est un espace de Banach.

Notons que si D est compact, alors CbD, X = CD, X.

Définition 3.1-Famille équicontinue.

Une famille M = fγ : γ ∈ Γ d’éléments de FD, X est équicontinue en x0, un élément de

D, si pour chaque  > 0 il existe un δ = δ > 0 tel que

‖fγx− fγx0‖ ≤ 

dès que γ ∈ Γ et x ∈ D avec ‖x − x0‖ ≤ δ. Notons que δ est independant de γ.

M est équicontinue si elle est équicontinue en chaque point de D; et M est uniformément

‖fγx− fγy‖ ≤ 

où γ ∈ Γ et x, y sont dans D avec ‖x − y‖ ≤ δ.

Ainsi, toute famille équicontinue uniformément est équicontinue. Si D est compact, toute famille équicontinue est équicontinue uniformément.

α.  est la mesure de non compacité sur l’espace de Banach X et α∞.  est la mesure de non

compacité sur l’espace de Banach δ∞M = supδfx : f ∈ M : x ∈ D. δ∞est le diamétre

dans CbD, X. C’est à dire que, pour M un borné de CbD, X, on a

δ∞M = supδfx : f ∈ M : x ∈ D

Si de plus D est un compact alors, pour M est un sous ensemble borné et équicontinue de

C_bD, X, on a

α∞M = supαfx : f ∈ M : x ∈ D

Théorème 3.6.(Ascoli).

Supposons que D soit un compact et M un sous ensemble de CbD, X, lors, on a les

équivalences suivantes:

i M est précompact dans CbD, X.

ii M est borné et équicontinue et l’ensemble fx : f ∈ M est précompact pour chaque x

dans D.

Nous énonçons le théorème du point fixe de Darbo, qui généralise le résultat du point fixe de Schauder (théorème 3.2).

Théorème 3.7. (Darbo)

Soit X un espace de Banach, D un fermé borné et convexe de X, et F une fonction continue de D dans D telle qu’il existe un nombre γ avec 0 < γ < 1 et

αFΩ ≤ γαΩ

pour tout borné Ω ⊂ D. Alors l’ensemble F = x ∈ D; Fz = z est non vide et compact.

Remarque. Précisons que le théorème 3.2 du point fixe de Schauder est une conséquence du théorème du point fixe de Darbo avec γ = 0. De plus, le théorème de Darbo peut être étendu, dans le cas où k = 1, au résultat qui suit et qui nous sera utile pour le chapitre 3.

Théorème 3.8. Sadovskii,97 Soit D sous ensemble fermé borné et convexe d’un espace

de Banach X. Si F : D → D est un opérateur condensé"condensing"ou α− contraction stricte; c’est à dire que, pour tout borné B de D avec αB > 0 et α la mesure de non compacité (de Kuratowski ou de Hausdorff(de la boule)) définie auparavant

αFB < αB

Alors F a un point fixe dans D.

Souvent, dans la résolution des équations aux dérivées partielles, la construction d’un ensemble convexe fermé et borné invariant par F présente des difficultés énormes. Afin de surmonter le problème, nous avons le résultat suivant appelé l’alternative de Leray Schauder.

Lemme 3.4. Schaefer,46, 98 .

Soit D un sous ensemble convexe d’un espace linéaire normé X et supposons que 0 ∈ D. Soit F : D → D une application continue et compacte, alors l’une des deux assertions suivantes, est vraie:

i l’ensemble x ∈ D : x = λFx pour un certain λ ∈ 0, 1 est borné. ii F a au moins un point fixe dans D.

Remarque. On utilise souvent dans les démonstrations l’égalité λx = Fx avec λ > 1 au lieu de x = λFx avec λ ∈ 0, 1.

Nous allons énoncer maintenant un théorème du point fixe concernant les applications multivoques.

Théorème 3.9.(Martelli)

Soit X un espace de Banach, et BCCX est l’ensemble de tous les sous ensembles fermés bornés et convexes de X. Soit T: X  BCCX une application (semi continue supérieurement) et condensée. Si l’ensemble x ∈ X : λx ∈ Tx, pour un certain λ > 1 est borné, alors T a un point fixe.

Lemme 3.5.40, pp. 310

Soit X un espace de Banach, D un fermé borné et convexe, F : X → BCCX une application multivoque semi continue supérieurement qui est une α−contraction stricte avec α la mesure de non compacité, Fx est à valeurs fermés et convexes pour chaque x ∈ X.

Si de plus FD ⊂ D alors FixF ≠ ∅.

1.4. Semi-groupes et applications aux équations

aux dérivées partielles.

Soit X un espace de Banach réel ou complexe muni d’une norme notée ‖. ‖. LX est l’espace de Banach des applications linéaires continues de X dans lui même dont la norme est

|l| = sup

x≠0

‖lx‖ ‖x‖

Définition 4.1

Une familleSt_t≥0 d’éléments St de LX, avec t positif, est dit semi-groupe fortement continue ou semi-groupe de classe C0si on a:

i S0 = I, application identité dans LX.

ii St + s = StSs pour tout s, t ≥ 0. (propriété algébrique) iii limt→0+‖Stx − x‖ = 0 pour tout x dans X.(propriété topologique)

Théorème 4.1.

PourSt_t≥0un semi-groupe de classe C0sur X, alors on a les propriétés suivantes:

i t  |St|LX est bornée sur tout intervalle compact0, t1;

ii Pour tout x dans X, la fonction t  Stx est continue sur R+_;

iii Il existe des constantes ω ∈ R et M ≥ 1 telles que:

|St|LX ≤ Meωt,∀t ∈ R+.

Définition 4.2.

L’opérateur A défini par: DA = x ∈ X : t  Stx est dérivable pour tout t ≥ 0 et Ax = lim

t→0+

Stx− x

t , pour x ∈ DA est dit générateur infinitésimal d’un semi-groupe de classe C0.

Remarque. SiSt_t≥0est un semi-groupe de classe C0d’opérateurs linéaires bornés de

Exemple d’un semi-groupe de classe C0.

Dans Lp_{R1 ≤ p ≤ +∞, la famille St}

t≥0 est définie

par:Stxs = xt + s,∀t ≥ 0, s ∈ R et x ∈ Lp_R.

On définit ensuite l’opérateur A sur Lp_{R par:}

DA = x ∈ Lp_{R : x est localement absolument continue, et x}′ _{∈ L}p_R

Ax = x′ pour tout x ∈ DA

Proposition 4.1. Propriétés d’un semi-groupe de classe C089.

i Si x ∈ DA, Stx ∈ DA, 0 ≤ t < +∞.

ii A est un opérateur linéaire fermé de domaine dense dans X DA = X ; iii Pour tout x ∈ X, t > 0 on a:

∫

Ssxds ∈ DA et A

∫

0 t

Ssxds = Stx− x

iv Si x ∈ DA, alors la fonction t → Stx est continûment différentiable de R+ _{→ X, et on} a:

d

dtStx = AStx = StAx.

v Pour λ ∈ C avec Re λ > ω et x ∈ X, l’opérateur résolvant est défini par

Rλ, Ax =

∫

0

∞

e−λtStxdt

90, théorème3. 1. (c’est la transformée de la place du semi-groupe).

Nous présentons le théorème de Hille-Yosida qui constitue une caractérisation d’un générateur d’un semi-groupe de classe C0.

Théorème 4.2. (Hille-Yosida).

La condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur A fermé à domaine dense dans X DA = X soit générateur infinitésimal d’un semi-groupe de classe C0uniqueSt_t≥0est

qu’il existe des constantes ω ∈ R et M ≥ 1 telles que

i ρA ⊃ z : z ∈ C, Rez > ω ii Rz, An

LX ≤ _RezM_{− ω}n ,∀Rez > ω, n = 1, 2. . .

La preuve de ce théorème utilise l’écriture intégrale de l’opérateur résolvant (propriètév de Proposition 4.1).

Nous donnons, dans ce qui suit, des exemples d’opérateurs avec domaines non denses: Exemple 1.

Soit

X = C0, 1 Ax = −x′

DA = C010, 1 = x ∈ X/x′existe et x0 = 0

Nous avons alors DA = C00, 1 = x ∈ X/ x0 = 0 ≠ X.

Exemple 2.

X = C0α0, 1 = x : 0, 1  X; xCα0,1 = 0≤t≤s≤1 sup ‖xt − xs‖ |t− s|α < ∞ avec ‖x‖_Cα_0,1 = ‖x‖_C0,1+ x_Cα_0,1 Ax = −x′ Puis : C1+α_{0, 1 = x : 0, 1  X; x}′ _{∈ C} 0 α_{0, 1} DA = x ∈ C1+α_{0, 1; x0 = x}′_{0 = 0}

Ceci donne que:

DA = h0α0, 1 = x : 0, 1  X; xCα0,1 = δ→0 lim 0 ≤ |t − s| ≤ δ t, s ∈ 0, 1 sup ‖xt − xs‖ |t− s|α = 0 ≠ X avec ‖x‖_hα_0,1 = ‖x‖_Cα_0,1.

Nous allons présenter essentiellement deux classes de semi-groupes: Les semi-groupes compacts et les semi-groupes analytiques.

Semi-groupe d’opérateurs compacts.

Définition 4.3.

Un semi-groupe St de classe C0est dit compact pour t > t0si pour tout t > t0, St est un

opérateur compact. St est dit compact s’il est compact pour t > 0.

Remarque. Si St est compact pour t ≥ 0, alors l’identité est compacte et X est de dimension finie. De plus, s’il existe t0 > 0 tel que St0 est compact alors St l’est aussi pour

tout t ≥ t0car St = St− t0St0 et St− t0 est borné.

Ensuite, nous rappelons un résultat intéressant concernant les semi-groupes compacts. Théorème 4.3.

Soit St un semi-groupe de classe C0. Si St est compact pour t > t0, alors St est continu

par rapport à la topologie uniforme des opérateurs pour t > t0.

Corollaire 4.1.

Soit St un semi-groupe de classe C0et soit A son générateur infinitésimal. Si Rλ, A est

compact pour un certain λ ∈ ρA et St est continue par rapport à la topologie uniforme des opérateurs pour t > t0, alors St est compact pour t > t0.

Semi-groupes analytiques

Définition 4.4.

Soit Δ = z : ϕ1 < arg z < ϕ2, ϕ1 < 0 < ϕ2 ,Sz_z∈Δune famille d’opérateurs linéaires

bornés, est dite semi-groupe analytique dans Δ, si: i) z ∈ Δ  Sz est analytique dans Δ. ii) S0 = I,

lim

z→0,z∈ΔSzx = x,

pour tout x ∈ X.

iii) Sz1+ z2 = Sz1Sz2,∀z1, z2 ∈ Δ.

Un semi-groupe est dit analytique s’il est analytique sur un secteur angulaire du type Δ contenant le demi axe réel positif.

Nous présentons un résultat général permettant le prolongement d’un semi-groupe de classe

C_0, St

t≥0en un semi-groupe analytique dans un secteur angulaire du type Δ contenant le

demi axe réel positif: Théorème 4.4.90

SoitSt_t≥0un semi-groupe de classe C0uniformément borné et A son générateur

infinitésimal. On suppose que 0 ∈ ρA.

Alors les assertions suivantes sont équivalentes:

i)St_t≥0 est prolongeable en un semi-groupe analytique dans un secteur angulaire

Δδ = z : |argz| < δ et il est uniformément borné sur tout sous secteur fermé

Δ_δ′ = z : |argz| ≤ δ′ < δ.

ii) Il existe une constante C > 0, telle que

|Rσ + iτ, A|LX ≤ C_|τ|, ∀σ > 0, τ ≠ 0. iii)Il existe M > 0, δ avec 0 < δ < π₂,telles que

ρA ⊃ Σδ = λ : |argλ| < π

2 + δ ∪ 0 |Rλ, A|LX ≤ M_|λ|, ∀λ ∈ Σδ, λ ≠ 0.

iv)St_t≥0est différentiable pour t > 0, et il existe une constante C telle que

|ASt|LX ≤ C_t , ∀t > 0

Operateurs linéaires sectoriels et leurs semi-groupes analytiques: Définition 4.5.

Un opérateur linéaire L : DL ⊂ X → X ( pas forcément à domaine dense) est dit sectoriel s’ il existe des constantes ω ∈ R, θ ∈ π₂, π , et M > 0 tels que

ρL ⊃ Sθ,ω := λ ∈ C : λ ≠ ω, |argλ − ω| < θ

|Rλ, L|_LX≤ M

|λ− ω|, λ ∈ Sθ,ω

Remarque. Si−L est sectoriel, il génére alors un semi-groupe analytique Stt≥0, qui

applique0,∞ dans l’espace des fonctions linéaires et bornées tels que M0, M1 > 0 avec

|St|LX ≤ M0eωt, t > 0

|t−L − ωISt|LX ≤ M1eωt, t > 0

Exemples d’opérateurs sectoriels.

1) Soit p ≥ 1 et Soit X = Lp_{R l’espace de Lebesgue muni de sa norme ‖. ‖}

pdéfinie par ‖ϕ‖_p =

∫

L’opérateur A est linéaire défini sur Lp_{R par:}

DA = W2,p_{R, Aϕ = ϕ" , ∀ϕ ∈ DA,}

2) Soit p ≥ 1 et Soit Ω ⊂ Rd_{un sous ensemble ouvert avec C}2_{condition de frontière∂Ω. Soit}

X = Lp_{R l’espace de Lebesgue équipé avec sa norme ‖. ‖}

pdéfinie par ‖ϕ‖_p =

∫

L’opérateur A (à domaine non dense) est défini comme suit:

DA = W2,p_{Ω∩ W} 0 1,p Ω, Aϕ = Δϕ, ∀ϕ ∈ DA, où Δ =

∑

est l’opérateur de Laplace.

3) Soient 1 ≤ p < ∞ et B : DB ⊂ Lp0, T, X  Lp0, T, X un opérateur linéaire définie par:

Bu = −u′

DB = u ∈ W1,p0, T, X, u0 = 0

Pour chaque λ ∈ C, il existe λ − B−1 = Rλ, B ∈ LLp_{0, T, X et on a pour chaque}

u ∈ Xp

Rλ, But =

∫

0 t

e−λt−susds, t ∈ 0, T.

Par l’inégalité de Young on a:

‖Rλ, B‖_{L X}

p ≤

1

Re λ pour Re λ > 0.

Par analogie dans un espace de Banach X∞ = C0, T; X on définit l’opérateur linéaire B : DB ⊂ X∞  X∞ par

Bu = −u′

DB = u ∈ C10, T, X, u0 = 0

Pour chaque λ ∈ C, il existe λ − B−1 = Rλ, B ∈ LX∞ et l’intégrale précédente avec sa

norme sont vérifiées.

Espace intermédiaire.4142 Définition 4.6.

Soit 0 < α < 1. Un espace de BanachMα, ‖. ‖_α est un espace intermédiaire entre D−L= DL et M si

DL ⊂ Mα ⊂ M

et il existe une constante C > 0 tel que

‖x‖_α ≤ C. ‖x‖1−α_‖x‖ L

α

, x ∈ DL 1. 3 où ‖x‖_L est la norme graphe de L.

Exemples de Mα :