E tu d e e x p é r im e n ta le de la fle x io n sim p le
E x l r d i t s (l’ u n mé moi re, p r é s e n t é
f x i r u n élève de
.V®H de l ’ E . N . S . K . T .
Lors (lu c h o i x d ’un sujet de méinoiro, M. Tou- i-anclieau, |)r ofesso ur à l’E.N.S.K.T., me sugî'éra l’étu d e d ’un a)) parcil did act ic|ue q u i per met tr ait d ’établir, par d es essais sy st ém a tiq u e s, le s lois fo n d a m e n t a le s de la fl e x io n simjile. Iæ s p ag e s (|ui su i v e n t m o n t r en t c|uelt|ues as p ec ts d e l ’ap pareil.
r. — P R I N C IP E d p: L’A P P A lŒ I t . : Il est basé sur l ’év a lua tio n de la c ou r b u r e et de la flèche, en un e se c t io n d o n n é e , d ’u n e po u tr e ch ar gée .
1-0
; M k . s u h k j ) k j , a c o i ' j u u t h e :(k )n s id é ro n s un e p outre re])Osant sur d e u x a p p u is et (l éc hie so u s l ’a cti on d ’u n e c h a rg e P.
N ou s n ou s ])r()])osons de m e s u r e r le r a y o n de c ou r b u r e en un |)oinf d e la d éfo rm é e. — P o u r cela, e n v is a g e o n s un jjetit é l é m e n t A l de la l o n g ue ur 1 de la p o u tr e; c e se g m e n t A 1 d é fo r m é peut être as s i m i lé à un arc de c e r c l e d o n t le r a y o n se rait a p p r o x i m a t i v e m e n t le r a y o n d e co u r b u r e au p o i n t c o n s i d é r é de l ’é l é m e n t de po utre . (On v é r i fie pa r le c a l c u l que cett e a p p r o x im a t io n e n tr a în e u ne err eu r re la ti v e p a r fa i te m e n t né glige ab le.)
M at ér ia lis ons le se gm e n t A 1 p a r d e u x t o u c h e s A et B, i m m o b il e s l’u n e par ra])port à l ’autre, et fai sant partie d ’un b o ît ie r r i g id e p or tant xui c o m p a r a t e u r au m i c r o n . Le pal])cur de ce t ap p a reil vi ent s ’ap])uyer au m i l i e u du s e g m e n t AB de ])outre a in s i m até ria lis é . Sou s l ’a c ti o n d ’une ch a rg e P, la po ulre se d é fo rm e et le c om p a i ateiu-
e n re g istre la va riation de hauteur ou ll èc he
de A 1. C o n s id é r o n s la ligure 1, q u i r e p ré sen t e très sc h ém a ti q u em en t le disp o si tif ; le ce rc le de c e n tre () et de ra y o n r est le c e r c l e d e co u rb u re e n visag é. C Fi g. 1.
Dans k ‘ Iriangk' n'ctani^ie (;I5H’ no us a v o n s la rel ation : j AI5 = (I p o s o n s j HB- = l i e i i i r il vi c- nt ; - = {'Ir 4 - 1 ) î = 2i- ^ î é t a n t p o l i t (Ic'vant r, k- t o r i i i c s- c'sl noi^li- j j c a b l e cl l a r e l a t i o n d e v i e n l ; d ’où r ir 4 8 £ A in si c e d i s p o s it if hoitier, toiiciies, c o m p a r a teur p er m e t, en ])reniière a ])pro xiniat ion, de m e surer le r ay o n de cou r b u r e d a n s une se ctio n d é te r m in é e d ’une poutre lléchie.
Par suite, la cou r b u r e
r rr
s o i t K :
L c x f l è c h e s i n d i q u r c s p u r le c o i n p u r d i e u r s o n t p r o p o r t i o n n e l l e s à lu c o u r b u r e .
(k 's mesin'cs (à un c o e l li c ie n t de jjroportion- nalité près) n o u s c o n d u i r o n t à la vé rifi c a tio n de la loi :
1 ^ >1^
r E t
t-a c o u i b u r e , en ini point de l’ax e de la p o u tre est : 1. D ir e c t e m e n t pro|K)rtionnellc au m o m e n t llé- c h is sa n t, (pii m e s u r e l ’i n l h ie n c e d es f o r c e s e x t é rieures; 2. I n v e rs em en t ]jro])ortionnelle au m o d u le d ’é la sticit é lo n g i tu d i n a le (|ui m e s u r e la r é si s tan ce du ma té riau à la d é fo rm a tio n ;
,'î. In ver sem en t ])ro])ortionnelle an m o m e n t (l’inertie de la section ]>ar rapjjort à l ’ax e neutre.
l-I : MiîsuiUî niî l a i-l k c m e :
Les Mèches coi'i’c sp o n d a n t e s aux c h a rg es et lige s c h o is ie s , da ns les c o n d i t i o n s d es c x p é
-Fi g. 2.
riolu'c's, l'iiint rolalivcMiicnt im p o r ta n te s (c a lcu ls «l’a v aiil- pro jcl), l;i Iccliirc sur un régl et, p a r l ’in- U‘rnu'“fliairc‘ «I'um in d ex inobik- lu à la ])outro. s’avérera sudisante.
On po urra a in s i vérifier les lo is des llèclies daiis q u el q u es cas p a r ti c u li e r s im p o rta n ts (pou tr e e n c a stré e, pou tr e sur d e u x a])puis av ec cliarf>e au m ilie u).
11. — DKSCHIPTIOX SOMMAIRK ; L ’id é e d ir e c tr ic e (jui a toujours p r év a lu dan s l ’e x é c u t i o n du projet a été la su iv a n te : c o n c e v o ir un a p p a r e il s i m p le , c ap ab le d ’être fac ile in e n t ré a lis é d a n s le s atel iers d ’un c o llè g e t e c h n i q u e ; — sa c h a n t ([u’un g ra nd n o m b r e de c e s c o llè g es ne p o s s è d e n t p a s de s e c t io n de fo n d er ie, j’ai cru l)on d ’é l im i n e r toute p i è c e co u lé e . — D ’antre part, d e m a n i è r e à o b te n ir un aj)])ai'eil d ’im ]>rix de re v ie n t ])eu élevé, j’ai uti li sé le plus j)ossible les le rs c o u r an ts du c o m m e r c e .
l / a p p a r e i l ])ermet l ’étu de de la ll ex io n sur des barres c a l ib r é e s d ’étiré de d ia m è tr e s ü, 7, 8, 9 m i l lim è tre s, tiges (l’a c ie r do u x, d ’a lu m in i n m et de c u iv r e rouge.
Ces tige s ])ourront être en c a st r é e s à nne e x tr é mité ou rei)oser sur d eu x a])i)uis ; le s c h a rg e s s er o n t a c c r o c h é e s d ir e c te m e n t sur le s ti ge s et n ’e x c é d e r o n t p a s ô kgp.
I.’a])])areil ])ci’mettant de m es u rer la co urb ur e, c o n f o r m é m e n t au ])rinci])e é n o n e é , a été écpii- li bré de m a n i è r e à ne pas c r ée r une ch a rg e su])- p lé m e n ta i r e se n s i b le sur les tige s d ’essai. Il est s u s p e n d u |)ar un sy s t è m e d e p o u li e s ])ermettant so n d é p la c e m e n t v er tica l et lo n g i tu d i n a l sui van t l ’a x e du socl e.
Les fl èc hes so n t m e s u r é e s à l ’a id e d ’un réglet con i])ortant u n e g r a d u ati o n au d e m i-n ii ll im è tre (on peut a>nsi ai) pr écier s e n s i b le m e n t le tpiarl de m i ll im è tr e ); c e ré g lel , su sp e n d u à im e tige, est m o b i le sur ce tte d e rn iè re su iv a n t so n axe. cett e tige étant e l le -m ê m e ])arallèle à la sur fa ce d ’ai)pui du socle.
Le bâti est co m])osé d ’iine se m e ll e ou so cle (fer à U de 80) li x ée sur une tablette d e c h ê n e
pitr l ’in t e r m é d i a ir e d e pii tt c s s o u d é e s et de vis.
Sur cette se m e ll e re])osent les s u p p o r ts in ter c h a n g e a b le s (un sn])p(n't ])om' tige e n ca st ré e et d e u x su p p o r ts ])Oin' tige re])osant sur d e u x a p p u is ). L at ér al em en t, d e u x m o n t a n t s ter m in é s par luie p o t e n c e p e r m e t te n t la fi xation des barres, assu ran t les m o u v e m e n t s p o s s i b le s de l ’ap])areil de m e s u r e de la c o i n b u r e et sou éipi ilibrage, ain s i c|ue la li a is o n du réglet.
III. — KXPKHIKNCES. — RES ULT ATS :i-0 : l'aipi.oi DU c o m p a h a t i î u h :
Le com|)ar ateiir e m p l o y é pour les m e s u r e s est un a p p a r e il p e r m e t ta n t d ’est im e r le m i c r o n ; il a subi la Ir an sf o r m a lio n snivant(> :
Il a été ])ossil)le d e su b st it u er au c ad ra n de r ap |)ar eil (c om p r en a n t !)() d i v i s i o n s l é p a r t ie s s\ii- une d e m i - c i r c o n f é r e n c e ) un c a d ra n ex té rie u r de 180 d iv i s i o n s , tran sparen t, qui n ’est autre (pi’un r a p p or te u r fixé au dos d e l ’a ppar eil par c olla g e et don t on a fait c o ï n c i d e r le s d i v i s i o n s e x tr ê m e s a v e c ce lle s du c a d r a n in tér ie u r. L’ai g uille p r i m i t i v e a été r e m p l a c é e par im e aigui lle exté r ie u re , éq u il ib r ée , et d o n t o n a ré d u it le plu s ])ossible l ’iner tie .
(jCtte su b st it u tio n p r é s e n t e d e u x a va nt age s :
(i) La se n s i b il it é (le l ’a p p a re il est d o u b lé e; h) La le c tu r e ])eut être projeté e sur un écran
afin de la r e n d r e vi sib le à foute u n e classe.
Fie. 3. — Mesure de la courbure.
I-I : Pi.A.v DF. L’iirri)!-: kxi'iciumkxtali-: en ci.assi; ;
Les e ss a is seron t p r é c é d é s |)ar r e x ]) o s é suiv an t : 1. P r é c is e r tp ia li ta ti v em en t le p h é n o m è n e (ex- l)ér ie n ce s sim])les : l’ègle ])late, r o n d in de ca o u t ch o u c) ;
2. E n o n c e r les h y p o th è s e s , bases de l ’étu de qui va su ivr e (l le x io n j)lane et sim p le ) ;
3. Montrer l ’e x i s t e n c e de fibres t e n d u e s et c o m p r im é es; a x e neu tre; d éfi n it io n ; p ositio n ;
4. P re m i è r e e x p r e s s io n de la c o n tr a i n te nor- uude en u n p o in t ; é tu d e m a t h é m a tiq u e p e r m e t tant (le définir la coiu'bure, le r a y o n de cou r b u re en un ])oint et d ’établir la loi de c o n tr a i n te :
p r e s s io n en un p o in t d ’une s e c t io n d ro it e S est d i r e c te m e n t p r o p o r t i o n n e l l e :
1. A la c o u rb u r e de l’a xe x ’x de la poutre ; 2. A la d is ta n c e p d e ce p o i n t à l ’a xe neu tre de la sec t io n ; 3. Au m o d u l e d ’é la stic it é lonj^itudinale 1\. E SSA IS 1. P r i n c i p e de la m esu r e; 2. D e s c r i p t i o n de l ’a p p a re il la g e ; 3. E t u d e s u r b a r r e s e n c a s t r é e s à une e x t r é m i t é . On m o n tre ra :
a) Que le s fo r c e s situ ée s d ’un m ê m e c ô té par ra p p o rt à la s e c t io n ét u d ié e suffisent à c a r a c té ri se r le p h é n o m è n e de fl ex io n ;
b) Que la cou r b u r e d é p e n d d es fo r c e s situées
d ’un m ê m e c ô té de la se c t io n , f o r c e s (|ui i n t e r v i e n n e n t par le ur m o m e n t; c) La p r o p o r t i o n n a li t é de la c o u rb u re au m o m en t fl éc h is sa n t; 1 k d) Le rôle des d i m e n s i o n s d e la ba rr e ( —= - r e) Le rôle du m at ériau ( Fk;. 1. A p p a r e i l é q u i p e p o u r l’étud»' (les ix iu U i's oiK'aslréi's.
D ’où la loi : K M
ï î l (éf^ale à l ’unité).On déternunei'a par le calcul la valeur de K
ESSAIS DE FLEXION
LOI r gj N*1 f 4 S ir : . Fi g. 5.G ra p h iq u es tr a d u is a n t des ré s u lta ts sur la loi 1 M
È ï L e u" 3 e st à 2 échelles
lo g arith m iq u e s : on r e m a rq u e ra la d ro ite ô de p e n te sensib lem ent égale à ^— 4
1 k . 1
( tr a d u is a n t la loi : — — ~ j î ^ — 4 log d ) et la d ro ite de référence A de p e n te 4.
Ht lid c (les fl èc h es : O n p i n b l i r a In l o i : p r 3 Kl
ESSAIS DE FLEXION
p=: - Poutre ef>caM r4«->, f.RC F k ; . ().I. l'Aude a v e c b a r r e s re p o s itu l su r d e u x iip p u is : N ou s a v o n s vu, d a n s le cas de la po u tr e en castrée, que la c o u rb u re d é p e n d a it du m o m e n t ll é c h is sa n t des fo r ce s si tu ée s d ’un m ê m e c ô té de la se c t io n , m o m e n t des fo r ce s à droit e, par e x e m p l e . N o u s a p p u y a n t sur cett e loi, on vérifie q u ’il en est de m ê m e d a n s le cas de la pou tre r e p o sa n t sur d e u x a p p u is (loi in d éi)e n d a n te des c o n d i t i o n s de l ’e x p é r i e n c e , c a r a cté risa n t b ie n le j jlién om ène de fl ex ion) .
Il suffira, étant d o n n é un m o m e n t Mt de fo r c e s à droit e par rapport à u n e se c t io n c h o is ie , et auquel c o r r e s p o n d une co u rb u re Ci d o n n é e par le con ii)arateur, de vérifiei- (|u’en d ou b la n t Mi la
n o u v ell e coiu'bure Cj = 2
FAude d e s fl è ch e s :
On pourra établir la loi ;
f PI» 48EI ( c l t a r f i c portée). IV. P au milieu de la C O N C I.r S lO N
f ie. 7. — Appareil équipé pour l’étude des poutres reposant sur deux appuis.
\ ' .l'ai pensé re n fo r ce r l ’intérêt
\ |)éda.i,'ogit|ue de ces essais en
pré-\ ' sentant les résultats sou s forme
' de graplii(|ues (s im p les ou
loga-rytlimic|ues) ; en vcnci les rai so n s :
_ -A- I. R a p i d i t é : N o u s a v o n s af
faire à des grapliit|ties li néaire s; dés lors, c|uatre p oin ts sutlisent à d élinir parfaitem ent une droite; (|tiatre ess ais sufliront don c pour m o n t re r telle lo i de p r o p o r tio nn alité;
2. P r e u v e : Un résidtat « parle » d av an ta ge aux é lè ves quand il p e u t se tr ad u ire g r a p h iq u e ment. De plus , n ’o u b li o n s p a s qu e ces élè ve s, futurs t e c h n i c i e n s , d o iv e n t se fa m il ia r i se r av ec cette m é t h o d e de tr a d u c t io n (abac|ues, le ct u re s d ’ajjrès tabl ea ux , etc.);
3. M é t h o d e e x p é r i m e n t a l e en cl as se : Sitôt les résultats r e c u e i ll is d a n s un tabl eau, tracer la coin-be les traditisant, plu tôt c|ue d e sp é c u l e r sur les cliitfres par c o m p a r a i s o n . C o m m e en gén éral les c o u r b es r e n c o n t r é e s en cl a ss e, d a n s le s e x p é r ie n ce s de m é c a n i q u e , so n t s i m p le s et co n n u e s , il est fa cile d ’en faire in t e rp ré te r le s résultats aux él èv es ; ex en q jl e ; telle c o u r b e tra d u isa n t la loi d ’un m o u v e m e n t (e s p a c e en fo n c t io n du te m ps)
a l’allure d ’une p a ra b o le d o n t l ’a x e serait
c o n f o n d u ave c c e l u i des e et qui pa ra ît ta n g en te en son s o m m e t à l ’a x e d e s t\ par suite il est à p ré vo ir c|ue la loi du m o u v e m e n t est e — v é rifions par le c a l c u l s ’il en est b ie n ai n si, c ’est-à-d ir e si le rap])ort -î est con stant...
Les résultats o b te n u s p a r a is sen t p r o b a n ts en général. Les d e u x e ss a is les pl u s lo n g s et les plu s d é li ca ts so n t c e u x (]ui ont ra p p or t a u x lo is sur les fl èch es; ils a lo u r d i s s e n t c e r t a i n e m e n t la l e ç o n , tout en p r é se n t a n t un in té rê t s e c o n d a i r e ; au ssi peut-on en vis a g er , si le te m p s fait défaut, de s u p p rim er l’un d ’en tre eux.
