4.5 Simplicité de SO3pRq
Références : P. Caldero, J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Tome premier, Calvage & Mounet, 2013,
D. Perrin, Cours d’Algèbre, Ellipses, 1996.
Leçons concernées : 103, 106, 108, 160, 161, 204. Théorème 1. Le groupe SO3pRq est simple.
Lemme 2. Les retournements sont tous conjugués dans SO3pRq.
Démonstration. Soit rD et rD1 deux retournements de SO3pRq de droites D et D1. Soit
sP SO3pRq la rotation qui envoie D sur D1, alors srDs´1 est d’axe spDq “ D1 et d’angle ⇡
et est donc le retournement de droite D1 i.e. r D1.
Lemme 3. Le centre de SO3pRq est trivial.
Démonstration. En effet soit u P ZpSO3pRqq. Alors pour tout retournement rD de droite
D, urDu´1“ rD est un retournement de droite upDq, ainsi u stabilise toutes les droites du
plan, et est donc une homothétie, et donc u “ id.
Démonstration (Théorème). Soit H un sous-groupe non trivial distingué dans SO3pRq. On
sait que SO3pRq est engendré par les retournements, on montre alors que H contient un
retournement. Cela suffit puisque ceux-ci sont tous conjugués dans SO3pRq et que H est
distingué.
Soit h P H différent de l’identité. On considère ' : SO3pRq Ñ R
g fiÑ Trpghg´1h´1q
qui est une application continue par continuité de la trace. Puisque tout élément de SO3pRq
s’écrit dans une certaine base comme ¨ ˝ 1 0 0 0 cosp✓q ´ sinp✓q 0 sinp✓q cosp✓q ˛ ‚,
la trace d’un élément de SO3pRq est de la forme 1 ` 2 cosp✓q. Ainsi, puisque SO3pRq est
connexe compact, son image par ' est un segment de R qui contient 'pidq “ 3, donc est de la forme ra, 3s, a § 3. Si par l’absurde a “ 3, alors @g P SO3pRq, ghg´1h´1 “ id et
donc h P ZpSO3pRqq “ tidu ce qui est absurde. Ainsi, a † 3. On a 1 ` 2 cosp⇡{nq ›Ñ nÑ`83,
donc il existe n P N˚ tel que a † 1 ` 2 cosp⇡{nq † 3. On considère alors g
n tel que
'pgnq “ Trpgnhgn´1h´1q “ 1 ` 2 cosp⇡{nq. Alors hn :“ gnhgn´1h´1 est une rotation d’angle
⇡{n de H puisque H est distingué, et donc hnnest une rotation d’angle ⇡ dans H, c’est-à-dire un retournement.
Théorème 4. Le groupe SO3pRq est connexe par arcs.
Démonstration. Soit u P SO3pRq. On va montrer que u est dans la composante connexe
par arcs de l’identité. On sait que dans une certaine base, u s’écrit U “ ¨ ˝ 10 cos0p✓q ´ sinp✓q0 0 sinp✓q cosp✓q ˛ ‚. On pose alors, pour t P r0, 1s,
Ut“ ¨ ˝ 1 0 0 0 cosp✓tq ´ sinp✓tq 0 sinp✓tq cosp✓tq ˛ ‚.
Il est clair que t fiÑ Ut est un chemin continu de SO3pRq reliant Id à U.
Théorème 5. Le groupe OnpRq est engendré par les réflexions et SOnpRq est engendré par
les retournements.
Démonstration. Soit u P OnpRq, et Fu “ tx P E, upxq “ xu l’ensemble des points fixes de
u. On raisonne par récurrence sur pu :“ n ´ dimpFuq. Si pu “ 0, u “ id et le résultat est
évident. Si maintenant pu° 0, soit x P FuKzt0u et y “ upxq. Alors x ‰ y, et y P FuKpuisque
Fu et donc FuK sont stables par u. On a alors † x ´ y, x ` y °“ 0 puisque ||x|| “ ||y||, et
donc x ´ y est orthogonal à x ` y. Soit ⌧ la réflexion d’axe x ´ y. Alors ⌧px ´ yq “ y ´ x et ⌧px ` yq “ x ` y et donc ⌧pyq “ x. Enfin, Fu Ä F⌧ u puisque x ´ y P FuK et l’inclusion est
stricte puisque x est dans F⌧ u et pas dans Fu. On applique alors l’hypothèse de récurrence
pour obtenir ⌧u “ ⌧1¨ ¨ ¨ ⌧k, d’où le résultat.
Soit maintenant u P SOnpRq, alors u “ ⌧1¨ ¨ ¨ ⌧k est produit d’un nombre pair de
ré-flexions (puisque leur déterminant est -1). Si n “ 3, ´⌧i est un renversement (considérer
les matrices), d’où le résultat.
Si n • 3, il nous faut montrer que tout produit de deux réflexions v “ ⌧1⌧2 s’écrit
comme un produit de retournements. Soient H1, H2 les hyperplans associés à ⌧1, ⌧2 et soit
F un sous-espace de dimension n ´ 3 de H1X H2. Alors v|F “ id et donc V pFKq Ä FK.
Ainsi, d’après le premier cas, v|FK est un produit 1¨ ¨ ¨ k de retournements, on prolonge
alors les i par l’identité sur V , et on obtient le résultat.
Commentaire : le développement est un peu court, on peut suivant les leçons jus-tifier la connexité par arcs de SO3pRq ou bien le fait que SO3pRq soit engendré par les
retournements.
