ARTheque - STEF - ENS Cachan | Essai de réponse à une question

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-ESSAI DE REPONSE A UNE QUESTION

Pour rêpondre à une question laissée sans réponse depuis notre bulletin N° Il nous publions ci-après un extrait des fiches de l'A.P.M.E.P.

sur le mot VECTEUR. (Supplément au bulletin de l'A.P.H.E.P. N° 282). Si la lecture de ces lignes n'apporte pas au lecteur non initié toute la lumière qu'il attendait, elle peut cependant lui fournir q!lelques règles d'ordre pratique pour son enseignement de technologie et que nous nous risquons à formuler.

1 '- A la suite de l'évolution subie par la notion de vecteur il faut pros-crire de notre langage les expressions : vecteur libre, vecteur lié, vecteur glissant ainsi que vecteurs équipollents.

2 - Ce qui dans l'espace physique caractérise une translation est bien un vecteur (ancien vecteur libre). Le vecteur translation (ensemble de bipoints) se représente par l'un quelconque de ses éléments c'est dire par un bipoint complété pour la circonstance par un segment allant de l'origine à l'extrémitê. (C'est le du vecteur).

3 - Une force appliquée en un point donné est par contre un pointeur, couple formé d'un point de l'espace physique, le point d'applicatIon et d'un vecteur de l'espace des forces. (Ancien vecteur lié). Notons que la nature vectorielle des forces ne peut pas être établie en classe de 4e.

Le segment fléché par lequel nous représentons sur nos schémas le pointeur force est ,apparemment identique à celui qui représente le vecteur translation précédent. On notera cependant deux différences importantes. Pour le symbole d'une force:

- l'origine du segment représentatif au lieu d'être un point quelconque se trouve nêcessairement placé au point représentatif du point d'application de la force.

-. l'extrémité du segment' occupe par contre une position qui dépend du choix de l'échelle des intensités. Ce n'est donc pas un point de l'espace phy-sique représenté sur le scbéma contrairement à ce qui est dans le cas d'un bipoint. Il paraît donc assez ÎlnPl'opl'e de parler de "bipoint" représetitant

une force, mieux vaut dire comma naguère "vecteur" ou mieux encore

"pointeur". Puisque le mot nous est enfin fourni nous l'adopterons volontiers. 4 - Une force appliquée à un solide dont le point d'application peut par

conséquent être un point quelconque de son support (pourvu qu'il soit lié au solide) constitua donc un glisseur. (Ancien vecteur glissant). Bien que cette propriété des forces agissant sur les solides puisse être mise en évidence en quatrième il n'est pas indispensable d'intro-duire ce vocable nouveau.

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-VECTEURt n. m.

.. : Racine latine ou (transporter) ; de même qu'un vûhiculet mais dans des emplois différents, un est l'iastr'..lment

d'un transport; ex. : l'anophèle est le vecteur de la malaria. A partir de là l'évolution sémantique peut se résumer ainsi:

a) Le mot apparaît en Astronomie avec valeur adjective dans l'expres-sion ]:'ayon (droite censée "porter" une planète. dans son

autour du Soleil, par exemple) ; an passe aisément de là au sens en coordonnées polaires.

b) La Géotlétr;.e aJc?te le vecteur Rvec un sens encore voisin du précédent, ('.elui de "segment de droite orienté", qui laisse des traces durables en Mécanique.

c) Actuellement le mot dés;.gne les éléments d'un espace vectoriel (ou d'un module) et en pcrticulier les translations d'un espace affine.

A la suite de cette évolution, beaucoup de locutions traditionnelles devront être abandonnées ; en particulier les locutions "vecteur lié"

et "vecteur libre" sont forteEl(:.nt déconseilléest d'autant plus qu'aujourd'hui

elles risquent de crée:: des confusions av(;c les vecteurs d'une partie liée ou d'une partie d'un espace vectoriel.

1 - Géo:.:létrie

1.1. Gêomét::'ie linéaire. La notion nujourd 'hui fondamentale est .celle à partir des "vecteurs géométriques", elle les a largement dépassés. De ce fait, le mot vecteur n'a de sens Que relativement à un espace vectoriel où l'on attl:ibue"deux rôles distincts à deux ensembles (qui peuvent éventue11enent être confondus) ; cette distinction se traduit dans le langage par les appellations "enser.1ble des vecteurs" et "ensemble des scalaires".

] .2.

...

La tendance actuelle est de construire les espaces

affines sur des espaces considérés préalablenent donnés

alors la notion de vecteur n'offre aucune an:biguIté. Toutefois on a

longtemps adopté, et on peut encore utiliser des exposés où,partant d'un

ensemble dont les sont appelés convenablement structuré

(droite!;, plans, parallélismes, ••• ), on détermine dans,/(2 une relf."tion d' équivalenca, appelée dont les classes possèderont une structure d'espace vectoriel.

D'une façon comme de l'autre, à tout espace affine on peut associer d'un vectoriel qui est celui des translations opérant sur les points de

/t.

Il est souvent utile de considérer les couples formés d'un point et d'un vecteur, qu'il est suggéré d'appeler pointeurs (anciennement "vecteurs liés"). Le pointeur (P, v) est dit d 'orig"[ne·"P- et 'de vecteur v ; deux pointeurs de même vecteur sont dits

Le point M, translaté de P par

v,

Sera noté P + v (le vecteur·'

translation peut être considéré comme une application, ce qui légitimerait une notation telle que (P), mais cette dernière notation peut avoir des inconvénients dans le ces d'espaces vectoriels dont les éléments sont déià des fonctions). on notera M-P, ou également

PM:

le

- ! ')

-Pour P fixé, l'application P + est une bijection de é sur cette bijection, qui dépend de P, peI".:let de transporter la structure d'espace vectoriel de à A • Ainsi l'ensemble des points de l'espace

peut être considéré comme espace vectoriel de multiples façons ; pour particulariser un de ces espaces, il suffit d'en préciser l'origine, c'est-à-dire l'image, P, du vecteur-translation nul. L'espace vectoriel d'origine P est canoniquement isomorphe à l'ensemble des pointeurs d'origine P, et la plupart du temps on identifiera ces deux espaces.

L'application : (P, V) (F,P +v) est une

bijection. Les éléments 2 sont usuellement nppelés bipoints ; la bijection précédente permet de traduire en termes de ce qu'on a dit au sujet des pointeur.s et réciproquement. Ainsi l'équipollence des pointeurs (P, !{··P) et (Q, N-Q) se traduit par l'équipollence des bipoints (P, '1) et (Q, N).

Eour les précédente signifiant pour eux

HP

=

N°'Qy ou

'pH ..

(se sont les classes d'équ:tpollence des bipoints qu'on appelait jadis "vecteurs libres").

'Pelativement à un même espace affine, l'espace des translations, les espaces de pointeurs attachés aux divers points et l'espace des classes.d'équipollence des pointeurs (ou des bipoints) sont des espaces vectoriels tous isomorphes entre eux.

La not .. __ ce Ile'

de bipoi.!!.!=.t ce qui restreint beaucoup 1 l.ntérêtt parfois excessif,

accordé à cette dernière. En effet la notion d'espace vectoriel attaché à un point préfigure celle d'espace vectoriel tangent en un point d'une variété différentiable (une "bonne" surface par exemple).

1.3. Géom!trie euclidienne. On appelle unitaire tout vecteur

dont ï;-ëarr!scalaire 1.

2

-2.1. Chatr,p de .• Etant donné un espace affine 1<. sur un espace vectoriel

E ,

de vecteurs sur

1:

est une application t ou d'une partie , vers • Le graphe d'un champ de vecteurs est d0nc un ensemble de pointeurs.

Etant donné un champ.f : les notions de circulation, de rotationnel t de cHvergence, de flux sont relatives au champ f , et non

aux vecteurs

V

COnmê on le dit souvent par abus de langage. 0

2.2. Glisseur. L'expression "vecteur glissant" est déconseillée, elle

tend à être remplacée Un glisseur peut être

défini comme un couple (D. formé d une droite D de l'espace affine et d'un vectaur V. cie!!lême direction, de l'espace vectoriel associé. 2.3. de pointeurs ou de En un point donné le moment d'un pointeur ou glisseur est une notion parfaitement nette alors que

le "moment d'un vecteurU _{ne signifie rien. Le moment en A d'un pointeur}

(P. y) eet le pointeur (At

At "

y) ; c'est ans$! le moment en A du glisseur (D, y) si P est un point quelconque de son support D.

- Il ..

2.4. vectoriel. Etant donné un champ

J ,

s'il existe un champ g dont

f

soit le champ de rotationnels, on dit habituellement que g est un tlpotentiel-vecteur" de

!

(tolérable dans cet eI!1ploi par-ticulier, mais potentiel semblerait préférable). Un champ n'admet en général aucun potentiel vectoriel, mais, s'il en admet un, il en admet une infinité, qui diffèrent par un gradient.

3 - linéaire

4 - Autres

4.1. Pourvu qu'on ne cherche pas à analyser cette expression toute faite, elle reste utilisable dans le domaine parti-culier où on l'emploie

4.2. Vecteur axial, vecteur polaire. Expressions encore rencontrées, mais plutôt déconseillées LAXIAL, •