Prolongement des applications holomorphes

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE SCIENTIFIQUE.

UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF.

MEMOIRE

Présenté à la Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Pour L’Obtention du Diplôme de

MAGISTER

OPTION : Mathématiques Fondamentales

Par

Mr : BOUKHETOUTA Mohamed-Nadir

Prolongement des applications holomorphes

Soutenue le 18 Décembre 2014 devant le jury

Président : Mr. KADEM Abdelouahab Prof UFA Sétif 1

THEME

§ ReMeRciMeNTs §

Je suis très heureux d’exprimer ici mes sincères remerciements au Monsieur

Mostapha Krachni, Maitre de Conférence à l’université FARHAT ABBES-Sétif

qui a dirigé ce travail, et je lui exprime ma profonde gratitude pour les

conseils et les encouragements qu’il m’a donné.

Je remercie Monsieur

_{Kadem Abdalouahab}

Professeur à l’université FARHAT

ABBES-Sétif, d’avoir accepté de juger ce travail et d’en être président.

Je remercie également Monsieur

_{Badredine Toufik}

Maitre de Conférence à

l’université FARHAT ABBES-Sétif, d’avoir accepté de juger ce travail et d’en

être examinateur.

Je profite aussi de cette occasion pour remercie Monsieur

_{N. Hemci,}

Professeur à l’université FARHAT ABBES-Sétif, pour tous les encouragements

qu’il m’a donné.

Je remercie mon ami Monsieur

_{Boucherit Amine, Enseignant à l’université}

MENTOURI Mohamed-Constantine, pour tous les encouragements et les

conseils qu’il m’a donné.

§ dédicaces §

Je dédis le fruit de mon modeste travail a ma famille, qui était toujours a mes

côtés et qui ma beaucoup encouragé surtout ma mère et mon père, et bien

sûr mes frères :

_Khaled

et

Yacine

, mes sœurs :

Ahlem

et

Iméne

et ma femme

Table des matieres

1 Notions de base d'analyse complexe et de geometrie 5

1.1 Notions de base d'analyse complexe d'une seul variable . . . 6

1.1.1 De nitions et preliminaires . . . 6

1.1.2 Fonctions holomorphes . . . 7

1.1.3 Fonctions analytiques . . . 8

1.1.4 Formule integral de Cauchy . . . 10

1.2 Analyse complexe de plusieurs variables . . . 13

1.2.1 De nitions et preliminaires . . . 13

1.2.2 Fonctions holomorphes . . . 15

1.2.3 Fonctions analytiques . . . 17

1.2.4 La formule de Cauchy dans un polydisque . . . 18

1.3 Variete di erentielle . . . 23

1.3.1 Variete . . . 23

1.3.2 Applications C1 . . . 25

1.3.3 Fibre tangent . . . 26

1.4 De nitions et exemples de varietes complexes . . . 28

1.4.1 Exemples des varietes complexes . . . 29

2 Prolongement d'applications holomorphes 33 2.1 Theoreme de prolongement de Riemann . . . 34

2.2.1 De nitions et preliminaires . . . 36

2.2.2 Historique . . . 36

2.2.3 Le domaine etale . . . 39

2.3 Prolongement des applications holomorphes . . . 41

2.3.1 Varietes extensiferes . . . 41

3 Prolongement d'applications holomorphes a valeurs dans des varietes homogenes et des surfaces presque homogenes 45 3.1 Espaces homogenes quotients . . . 46

3.1.1 Actions transitives de groupes de Lie . . . 47

3.2 Prolongement a valeurs dans des varietes Homogenes et des surfaces presque Homogenes . . . 48

3.2.1 Prolongement a valeurs dans des varietes homogenes . . . 50

3.2.2 Prolongement a valeurs dans des surfaces presque homogenes com-pactes . . . 51

Introduction

Avant plus de 100 ans et jusqu'a nos jours, il y a le probleme d'existence d'applica-tions holomorphes ou meromorphes pour certains ouverts complexes. Alors il s'agit de prolonger des applications holomorphes ou meromorphes de ni sur cette ouvert.

Il existe plusieurs etudes et recherches menees sur ce sujet, en raison de son impor-tance en geometrie complexe. Par exemple dans [8] Ivashkovich montre qu'une variete k•ahlerienne X est holomorphiquement extensifere si et seulement si X ne contient pas des courbes rationnelles. Dans [4] Dloussky montre qu'un groupe de Lie complexe con-nexe et simplement concon-nexe est une variete de Stein, et donc les varietes parallelisables compactes sont holomorphiquement extensiferes.

Dans ce memoire, on va essayer de faire une synthese generale sur l'un des as-pects importants de la question de prolongement des applications holomorphes. C'est le phenomene de Hartogs pour le prolongement des applications holomorphes, le theoreme de Hartogs a rme que toute application holomorphe de T dans C se prolonge holo-morphiquement a n_{et par consequent l'enveloppe d'holomorphie de T est egale} n_{, le}

theoreme reste vrai pour les fonctions meromorphes par le theoreme de Levi-Oka. Le memoire se compose de trois chapitres. Dans le premier chapitre, on fournit un resume des points les plus importants de l'analyse complexe, la geometrie Riemannienne et la geometrie complexe, alors on donne des de nitions et des resultats d'analyse com-plexe pour une seule variable, puis pour plusieurs variables. Dans la partie de geometrie Riemannienne et la geometrie complexe on donne un bref resume des de nitions et des exemples importants sur le sujet.

Dans le second chapitre, on commence par un theoreme de prolongement des applica-tions holomorphes, c'est le theoreme de Riemann [voir 13]. Apres on va donner un bref historique du sujet, et on le soutenons par la demonstration de theoreme de Hartogs avec T _C2 _{[voir 13], puis on donne quelques exemples des etudes et des recherches menees}

Dans le troisieme chapitre, on va traiter un cas particulier sur ce sujet. C'est le cas de prolongement des applications holomorphes sur des varietes homogenes et des surfaces presque homogenes, et pour cela on va donner un resume des travaux etait fait deja par M. Krachni sur ce cas [voir 9].

Chapitre 1

Notions de base d'analyse complexe

et de geometrie

Dans ce chapitre on rassemble quelques resultats et notions de base d'analyse com-plexe et de geometrie.

Ce chapitre se compose de deux parties, la premiere partie traite l'analyse complexe d'une seule variable et de plusieurs variables, alors on donne la de nition des fonctions holo-morphes d'une seule variables [voir Def 1.3] puis de plusieurs variables [voir Def 1.7] ainsi que quelques proprietes. Aussi on donne la de nition des fonctions analytiques com-plexes d'une seule variable [voir Def 1.6] puis de plusieurs variables [voir Def 1.9] et on va donner la demonstration d'equivalence entre l'holomorphie et l'analycite [12]. Dans la deuxieme partie, on va donner la de nitions des varietes dans le cas generale [voir Def 1.12] puis dans le cas de geometrie complexe [voir Def 1.16], et on va donner aussi des exemples sur les varietes complexes, comme : la surface de Riemann, les varietes de Stein, et la surface de Hopf etc."[voir Section1:4:1].

1.1

Notions de base d'analyse complexe d'une seul

variable

1.1.1

De nitions et preliminaires

- On designe par C le corps des complexes. Soit z un element du corps des complexes C; et U C un sous-ensemble ouvert. On pose z = x + iy (x 2 R , y 2 R) et on identi e C a R2

par l'isomorphisme de R-espaces vectoriels : C ! R2

z _{! (x; y)}

- L'ensemble C sera muni de la topologie de nie par la norme z ! jzj =px2 _{+ y}2_:

- C est complet c'est a dire toute suite de Cauchy a valeur complexe converge dans C: - La boule ouverte du centre z0 et de rayon r :

B(z0; r) =fz 2 C : jz z0j < rg

Dans le plan, une boule a la forme d'un disque. On emploi donc souvent le terme disque ouvert du centre z0 et de rayon r lorsque l'on fait de la topologie dans C; et on note

D(z0; r) au lieu de B(z0; r):

- La boule fermee (ou le disque ferme) du centre z0 et de rayon r :

B(z0; r) =fz 2 C : jz z0j rg

- Un ouvert de C est une reunion de boules ouvertes de C: Par exemple : - Le premier quadrant _{fz 2 C : Re(z) > 0 et Im(z) > 0g}

- La couronne _{fz 2 C : 1 < jzj < 2g}

- Un ferme de C est le complementaire d'un ouvert de C: - Adherence et interieur d'une partie A de C :

- A est l'intersection de tous les fermes de C contenant A: - A est la reunion de tous les ouverts de C inclus dans A:

- Une partie compacte de C est une partie a la fois fermee bornee de C:

1.1.2

Fonctions holomorphes

On va commencer cette Section par la de nition des fonctions holomorphes d'une seul variable, apres on va donner quelques proprietes de ces fonctions.

De nition 1.1 _{( fonction holomorphe au sens complexe ) U est un ouvert de C et f} une fonction de U dans C: Soit z0 dans U . On dit que f est derivable en z0 si la limite

Lim

h!0

f (z0+h) f (z0)

h existe.

Dans ce cas, on note f0_(z

0) cette limite.

De nition 1.2 _{(fonction holomorphe) U est un ouvert de C et f une fonction de} U dans C: On dit que f est holomorphe sur U si f est derivable en tout point z de U et si la derivee f0 _{est continue sur U:}

- f est derivable en z0 si et seulement si :

f (z0+ h) = f (z0) + h f0(z0) + h (h) ou Lim

h!0 (h) = 0

De nition 1.3 Une fonction f (z) = u(z) + iv(z) est holomorphe dans U , si u et v sont contin^ument di erentiable et satisfont les conditions de Cauchy-Riemann :

@u @x = @v @y ; @u @y = @v @x dans U On pose : @ @z = 1 2( @ @x i @ @y) ; @ @z = 1 2( @ @x + i @ @y)

Alors il est facile de veri er que les conditions de Cauchy-Riemann sont equivalentes a l'equation unique :

Proposition 1.1 _{U est un ouvert de C; f et g deux fonctions holomorphe sur C:} 1- (_{8 2 C) ( :f)}0 _{= :f}0

2- (f + g)0 _{= f}0_{+ g}0

3- (f:g)0 _{= f}0_{:g + f:g}0

4- Si f ne s'annule pas sur U , 1 f est holomorphe sur U et (1 f )0 _{= f f}2_:

5- Si h est une fonction d'un ouvert V de C a valeurs dans U qui soit holomorphe sur V; et g holomorphe sur U; alors g h est holomorphe sur V et (g h)0 _{= (g}0 _h):h0

Corollaire 1.1 L'ensemble des fonctions holomorphes sur U est une C algebre: (pour + et ): Et on la note (U ):

1.1.3

Fonctions analytiques

Le but de cette Section est d'etudie les fonctions analytiques d'une seul variable. De nition 1.4 (serie entiere) On appelle serie entiere (anzn)n 0 la serie de fonction

(anzn)n 0 ou (an)n 0 est une suite de complexes.

De nition 1.5 (rayon de convergence) On appelle rayon de convergence de la serie entiere (anzn)n 0 la quantite :

= sup_{fr 2 [0; +1[ : la serie entiere (ja}nj rn)n 0 convergeg

est le sup d'une partie non vide de R, reel si cette partie est majoree, egal a +1 sinon.

Lemme 1.1 (Lemme d'Abel) Soient deux reels r0 > 0 et M > 0 tels que :

(_{8n 2 N) ja}nj rn0 M

Proposition 1.2 Soit une serie entiere (anzn)n 0 de rayon de convergence .

1- pour tout r < ; la serie (anzn)n 0 converge normalement sur le disque D(0; r):

2- la serie (anzn)n 0 diverge pour tout z =2 D(0; ):

3- Si _jan+1 anj_n!+1!l; le rayon de convergence de (anzn)n 0 est 1 l:

4- Soient deux series (anzn)n 0 et (bnzn)n 0 de rayon de convergence 1 et 2:

Si_janj jbnj ; alors 2 1:

Proposition 1.3 (somme et produit de series entieres) Soient (anzn)n 0 et (bnzn)n 0

deux series entieres de rayon de convergence respectif ₁ et ₂: Soit sn = an+ bn et pn =

P

p+q=napbq: Alors les series entieres (snzn)n 0 et (pnzn)n 0

ont un rayon de convergence au moins egal a min_{f 1}; _{2g et pour tout jzj < min f 1}; _2g on a : +1 X n=0 anzn+ +1 X n=0 bnzn= +1 X n=0 snzn ( +1 X n=0 anzn)( +1 X n=0 bnzn) = +1 X n=0 pnzn

De nition 1.6 (Fonction analytique) Soit z0 dans C. Soit U un voisinage de z0 et f une

fonction de U dans C: On dit que f est analytique en z0 si f est developpable en serie

entiere au voisinage de z0; i.e. s'il existe un r > 0 et une serie entiere (anzn)n 0 de rayon

de convergence r telle que :

(_{8z 2 D(z}0; r)) f (z) = +1

X

n=0

an(z z0)n

On dit que f est analytique sur U si elle est analytique en tout point de U:

Proposition 1.4 L'ensemble des fonctions analytiques sur l'ouvert U est une algebre sur C: Et on la note (U):

serie entiere de rayon de convergence > 0 et de somme f (z): Si au moins un des coe -cients anest non nul, il existe un r > 0 tel que f ne s'annule pas sur D(0; r)n f0g :

Corollaire 1.2 Une fonction analytique sur un ouvert U a un unique developpement en serie entiere au voisinage de chaque point de U:

Proposition 1.6 (serie derivee) Soit (anzn)n 0 une serie entiere de somme f (z) et

de rayon de convergence > 0: On appelle serie derivee de (anzn)n 0 la serie entiere

(nanzn 1)n 0; et derivee de f la somme P+1_n=0nanzn 1: Son rayon de convergence est

aussi.

Une fonction analytique sur U admet des derivees de tout ordre. On note f0_{(z) la somme} P+1

n=0nanzn 1:

f est la somme d'une serie entiere de rayon de convergence . Pour tout z dans D(0; ), on a :

f0(z) = Lim

h!0

f (z + h) f (z) h

Theoreme 1.1(analycite des series entieres) La somme d'une serie entiere est analytique a l'interieur de son disque de convergence. Plus precisement, soit (anzn)n 0 une serie

entiere de rayon de convergence et de somme f (z): Soit z0 dans D(z0; ). Alors :

8z 2 D(z0; jz0j) f (z) = +1 X n=0 f(n)(z0) n! (z z0) n En particulier, la serie (f(n)(z0) n! (z) n₎

n 0a un rayon de convergence au moins egal a jz0j :

1.1.4

Formule integral de Cauchy

Avant de demontrer l'equivalence entre l'holomorphie et l'analycite, on va mentionner le theoreme de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

D avec D U et tout z _{2 D; f veri e la formule suivante :} f (z) = 1 2 i Z @D f (!)d! ! z Preuve. [5]

A n de voir l'equivalence, nous xons un point z _{2 D et choisissons un petit disque} D"= D"(z) est su samment petit. Considere la 1-forme :

' = 1 2 i

f (!)d!

! z def ini dans D D":

Si f est holomorphe alors d' = 0. Donc par la formule de Stokes : Z DnD" d' = Z @D ' Z @D" ' = 0 ) Z @D ' = Z @Dk ' = 1 2 Z 2 0 f (z + "ei )d Donc : f (z + "ei )_{! f(z) lorsque " ! 0}

Alors toute fonction holomorphe satisfait la formule integrale de Cauchy.

Inversement, l'argument ci-dessus montre que pour toute fonction f _{2 C(D); la formule} suivante veri ee : f (z) = 1 2 i Z @D f (!)d! @! + 1 2 i Z D @f @! d!_{^ d!} ! z

Si la formule de Cauchy pour f veri e en U . L'integrale de la deuxieme a droite s'annule pour tout disque D avec D U . Car @f_@! = 0 dans U:

Theoreme 1.3 Une fonction f est holomorphe si et seulement si f est analytique com-plexe.

Preuve. [5]

Pour une fonction holomorphe dans U , si on xe un z0 et on considere un petit disque

D = D"(z0); on a : f (z) = 1 2 i Z @D f (!)d! ! z = 1 2 i Z @D f (!)d! (! z0)(1 _{! z}z z0₀) = 1 2 i Z @D X (z z0)n (! z0)n+1 f (!)d! =Xan(z z0)n Si an = 1 2 i Z @D f (!)d! (! z0)n+1

f peut ^etre developpe en serie absolument convergente de puissance pres de z0:

Inversement, etant donne une serie entiere absolument convergente :

f (z) =X

n 0

an(z z0)n

puisque chaque terme est holomorphe, dans la partie droite de la formule generalisee de Cauchy pour f est egal a zero. Donc f satisfait la formule de Cauchy. Donc f est holo-morphe si elle est analytique complexe, et ces deux termes seront utilises indi eremment

Corollaire 1.3 _{(Inegalite de Cauchy) Soit f holomorphe sur un ouvert U de C: Soit} z0 dans U et D(z0; r) U . Alors, pour tout entier n on a :

1 n!f (n) (z0) Sup t2[0; 2 ]jf(z 0+ reit)j rn

dans U et B(z0; r) U: Alors : +1 X n=0 f(n)_(z 0) n! r 2n = 1 2 Z 2 0 f (z0+ reit) 2 dt

Theoreme 1.4 _{(Liouville) Une fonction holomorphe sur C borne est constante sur C:}

Theoreme 1.5 (D'Alembert Gauss) Soit P un polyn^ome a coe cient complexe. Si P n'a pas de racine dans C; il est constant.

1.2

Analyse complexe de plusieurs variables

1.2.1

De nitions et preliminaires

On munit Cn _{des coordonnees z}

j , j = 1; :::; n ; on pose :

xj = Re zj ; yj = Im zj alors zj = xj+ iyj avec (xj; yj)2 R2

L'isomorphisme de R espace vectoriel : i : Cn! R2n

(z1; :::; zn)7! (x1; y1; :::; xn; yn)

Permet d'identi er Cn a R2n: R est muni de la topologie habituelle de nie par la valeur absolue, R2n

muni de la topologie produit et Cn _{muni de la topologie transportee par}

i 1.

Soit _{un ouvert de C}n

considere aussi comme un ouvert de R2n_{; on etudiera des}

fonc-tions : _{! C:}

Les fonctions coordonnees complexes zj et leurs imaginaires zj ont pour di erentielles

dans R2n, dzj = dxj + idyj ; dzj = dxj idyj , alors :

dxj =

1

2(dzj + dzj) , dyj = i

Et tout point z _{2 C}n

, le C-espace vectoriel Tz(Cn) a pour base (dxj; dyj)j=1;:::;n les

di erentielles (dzj; dzj)j=1;:::;n constituent aussi une base, car la matrice de passage a

pour determinant ( 2i)n_{. Toute forme di erentielle de degre (p; q) sur s'ecrit donc de}

facon unique, comme une somme de forme di erentielles :

! =Xaj1;:::;jp;k1;:::;kqdzj1 ^ ::: ^ dzjp^ dzk1 ^ ::: ^ dzkq

Soit f _{2 C}1( ) une fonction contin^ument di erentiable dans ; on a :

df = n X j=1 @f @xj dxj+ n X j=1 @f @yj dyj = n X k=1 @f @zk dzk+ n X k=1 @f @zk dzk avec : (1:1) @ @zk = 1 2( @ @xk i @ @yk ) et (1:2) @ @zk = 1 2( @ @xk + i @ @yk )

Il faut noter que @ @zk;

@

@zk signi ent seulement les operateurs di erentiels de nis en (1.1)

et (1.2), ce ne sont pas en general des derivations partielles par rapport aux variables zk; zk: Alors df = d0f + d00f avec : d0f = n X k=1 @f @zk dzk , d00f = n X k=1 @f @zk dzk

Les formes di erentielles d0_{f et d}00_{f sont respectivement de type (1,0) et (0,1).}

Si u une forme di erentielle, de classe C1_{; de degre (p; q), alors :}

d0u =Xd0aj1;:::;jp;k1;:::;kq ^ dzj1 ^ ::: ^ dzkq est de type (p + 1; q)

et

d00u =Xd00aj1;:::;jp;k1;:::;kq ^ dzj1 ^ ::: ^ dzkq est de type (p; q + 1):

Si u est de classe C2_{, alors l'identite ddu = 0 entra^ne que les trois composantes de}

les identites d0_d0 _{= 0 ; d}00_d00_{= 0 ; d}0_d00_{+ d}00_d0 _{= 0:}

1.2.2

Fonctions holomorphes

Dans cette Section, on va rappeler la de nition et les proprietes des fonctions holo-morphes de plusieurs variables.

De nition 1.7 Une fonction f _{2 C}1_{( ) est dite holomorphe dans si d}00_{f = 0 dans :}

La condition d00_{f = 0 est dite condition de Cauchy-Riemann, elle equivaut a : df = d}0_{f .}

L'ensemble des fonctions holomorphes sur sera designe par ( ):

Proposition 1.7

1-L'ensemble ( ) est une C algebre par l'addition, la multiplication des fonctions et la multiplication par les constantes complexes.

2-Si f _{2 ( ) et si pour tout z 2 ; f(z) 6= 0 ; alors} 1

f = f

1

2 ( ):

3-Si est connexe et si f est a valeur reelle ou si_{jfj est constante, alors f est constante.}

Preuve. [12]

d00_{est C-antilineaire et est une derivation, i.e. si f; g 2 C}1_{( ); alors : d}00_{(f g) = gd}00_{f +f d}00_g

d'ou la structure de C algebre: Si, pour tout z ₂ ; f (z) _{6= 0;} 1_f est contin^ument di erentiable et d00₍1

f) = f

2_:

Si f est reelle, pour tout k = 1; :::; n; _@x@f

k et

@f

@yk sont reelles, la condition de Cauchy

entra^ne : _@x@f k = i( @f @yk); donc @f @xk = 0 = @f

@yk; i.e. f est constante sur l'ouvert connexe

: Si _{jfj = C}ste _{constante, on a : f = C}ste_ei (z) _{avec d}00_{f = C}ste_ei (z)_id00 _{(z) = 0 donc f}

est holomorphe et reelle sur ; alors d'apres ce qui precede, f est constante sur ( ):

De nition 1.8 Soient ; 0 _{deux ouverts de C}n

et Cm _{respectivement. Une}

applica-tion g : _! 0 _{est dite holomorphe s'il existe m fonctions holomorphes g}

1; :::; gm sur

telle que : z0 _{= g(z) = (g}

Proposition 1.8 Si f est une fonction holomorphe sur 0 _{et si g est une application}

holomorphe : _! 0_{; alors f g est une fonction holomorphe sur :}

Preuve. [12]

On veri e, a partir des de nitions (1.1) et (1.2) que _@z@

k et

@

@zk satisfont au regles des

derivations partielles, alors :

( @ @zk )(f (g(z)) = m X l=1 (@f @z0 l )(@gl @zk ) + m X l=1 (@f @z0 l )(@gl @zk ) ; k = 1; :::; n mais @gl @zk = 0 et @f @z0

l = 0 pour k = 1; :::; n et l = 1; :::; m, donc d"(f g) = 0: Alors f g

est holomorphe sur :

Corollaire 1.5 La composee de deux applications holomorphes est holomorphe.

Proposition 1.9 (Theoreme des fonctions implicites) Soient fj : Cm Cn! C; j = 1; :::; m

(w; z) _{7 ! f}j(w; z)

des fonctions holomorphes dans un voisinage d'un point (w0; z0) et telle que :

fj(w0; z0) = 0 , j = 1; :::; m et det @fj @wk m j;k=1 (w0; z0)_{6= 0}

Alors les equations fj(w; z) = 0; j = 1; :::; m; ont une solution holomorphe unique w(z),

au voisinage de z0 telle que w(z0) = w0:

Corollaire 1.6_{Une application holomorphe d'ouverts de C}na une application reciproque holomorphe au voisinage de tout point ou le jacobien de l'application ne s'annule pas.

1.2.3

Fonctions analytiques

Dans cette Section, on va de nir les fonctions analytiques de plusieurs variables, ensuite on va donner quelques proprietes de ces fonctions.

De nition 1.9 (Fonctions analytique) On dit que f (z1; :::; zn) de nie sur un voisinage

(z0

1; :::; zn0) est developpable en serie entiere au point (z10; :::; zn0) s'il existe une serie entiere :

X p;q 0 a(z1 z10) p_:::(z n zn0) q telle que : f (z1; :::; zn) = X p;q 0 a(z1 z10) p_:::(z n z0n) q _{avec z} 1 z10 < 1; :::; zn z0n < n

Alors f est dite analytique.

Proprietes des fonctions analytiques :

1/ Les fonctions analytiques sur U ouvert de Cn _{forment une algebre c'est a dire :}

a/ Si f est analytique g est analytique alors : f + g et f:g sont analytiques. b/ Si f est analytique alors f est analytique _{8 2 C:}

2/ Si f est analytique sur U _Cn alors 1_f est analytique sur U _{n fz 2 C}n_{; f (z) = 0}

g : 3/ Si f est analytique alors f est C1 _{est ses derivees sont des fonctions analytiques.}

4/ La composee de deux fonctions analytiques est une fonction analytique.

5/ La somme d'une serie multiple est analytique dans son domaine de convergence. 6/ Si f et g deux fonctions analytiques et f:g = 0 alors f 0 et g 0:

1.2.4

La formule de Cauchy dans un polydisque

Dans Cn_{, on appelle polydisque (ouvert) un produit D =} n

j=1Dj de disque Dj de C

c'est-a-dire un ouvert de Cn _{de la forme :}

D = z = (z1; :::; zn)2 Cn tels que 8j; zj zj0 < rj = n_j=1D(zj0; rj)

ou z_j0 _{2 C et r}j > 0; 1 j n:

Le ferme :

@0D = z = (z1; :::zn)2 Cntels que 8j; zj zj0 = rj

S'appelle la frontiere distinguee de D. Le point z0 _{= (z}0

1; :::; z0n) s'appelle le centre du

polydisque et les nombres rj sont parfois appeles les multi-rayons du polydisque.

Proposition 1.10_{(Formule de Cauchy dans un polydisque) Soit D un polydisque de C}n

et f : D _{! C une fonction continue qui est holomorphe par rapport a chaque variable} les autres etant xees. Alors, pour tout z _{2 D on a :}

f (z) = 1 2 i nZ @0D f ( ₁; :::; _n) n j=1( j zj) d _{1 ^ ::: ^ d n}

En particulier f _{2 C}1_{(D) est holomorphe.}

Cette formule est une consequence immediate de la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes d'une variable complexe.

Corollaire 1.7 Soit _{un ouvert de C}n_{. Soit f}

2 C1_{( ) une fonction holomorphe.}

Alors f _{2 C}1_{( ) et toutes les derivees de f sont holomorphes.}

Preuve. [12]

est clairement holomorphe.

Corollaire 1.8 Soit (fk)k une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert de

Cn _{qui converge uniformement sur les compacts de vers une fonction f . Alors f est}

holomorphe dans :

Preuve. [12]

En e et, par passage a la limite, la fonction f veri e la formule de Cauchy dans tout polydisque relativement compact dans , ce qui montre qu'elle est holomorphe dans ce polydisque.

Lemme 1.2 (d'Osgood) Si une fonction f continue sur un ouvert _{de C}n _est

holo-morphe par rapport a chacune des variables z1; :::; zn, alors f est holomorphe sur :

Corollaire 1.9 (Formule de la moyenne) Soit f une fonction holomorphe dans un ou-vert _{de C}n_{. Soit z}

2 , notons (z) la distance de z au complementaire de et soit 0 < < (z), de sorte que la boule B(z; ) de centre z et de rayon est contenue dans

. Soit !2n le volume d'une boule de rayon 1 dans Cn =R2n. Alors :

f (z) = 1 2n!2n 2n 1 Z @B(z; ) f ( )d = 1 !2n 2n Z B(z; ) f ( )d (z): En particulier, pour p_{2 [1; +1[, on a :} ju(z)j 1 (!2n 2n)1=p kukL p_{(B(z; ))} Preuve. [12]

En e et, puisque f est C1, elle est harmonique, et les fonctions harmoniques sont caracterisees par la propriete de la moyenne.

Proposition 1.11 Soit _{un ouvert de C}n_{, K un compact de et ! un voisinage}

ouvert de K dans . Alors pour tout multi-indice il existe une constante C telle que, pour toute fonction f _{2 ( ); on a :}

sup_{z2Kj@ u(z)j} C _kukL1_(!):

Preuve. [12]

En e et, ceci resulte de la Proposition appliquee a un polydisque coordonnees par coor-donnees puis en recouvrant K par un nombre ni de polydisques contenus dans !.

Corollaire 1.10 Soit (fk)k une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert de

Cn. Si la suite (_jfkj)k est uniformement bornee sur les compacts de alors il existe une

sous-suite (fkp)p de la suite (fk)k qui converge uniformement sur les compacts de vers

une fonction de ( ).

Preuve. [12]

C'est une consequence immediate de la Proposition qui montre que la suite (fk)k est

equicontinue sur tout compact de et du theoreme d'Ascoli.

Proposition 1.12Soit f une fonction holomorphe dans le polydisque D =_fjzjj < rj; 1 j ng.

Alors f se developpe en serie entiere, la convergence etant uniforme sur tout compact de D : f (z) = X 2Nn @ f (0) ! z ; z 2 D Preuve. [12]

On peut supposer f continue sur D de sorte que l'on peut ecrire la formule de Cauchy de la Proposition. Alors, il su t de developper en serie entiere 1

j( j zj) et de remarquer

que la convergence est normale dans (@0D) rD; 0 < r < 1: Les coe cients @ f (0)

!

Corollaire 1.11 Soit _{un ouvert connexe de C}n. Si f est une fonction holomorphe dans qui est nulle sur un ouvert non vide de alors f est identiquement nulle.

Preuve. [12]

En e et l'ensemble des points de au voisinage desquels f est nulle est a la fois ouvert (par de nition) et ferme dans (par la Proposition, puisque toutes les derivees de f sont holomorphes donc continues).

Lemme 1.3 Si f est localement bornee alors elle est continue, et par suite holomor-phe.

Preuve. [12]

L'enonce etant local il su t de montrer que f est continue sur un polydisque contenu dans , et par translation, on peut supposer que ce polydisque est D = n

j=1D(0; rj).

On suppose donc f de nie au voisinage de D avec les proprietes de l'enonce et que jfj M sur D. Ecrivons alors, pour z et deux points de D on a :

f (z) f ( ) = n X j=1 f ( ₁; :::; _{j 1}; zj; :::; zn) f ( 1; :::; j; zj+1; :::; zn) La fonction Uj( ) = f ( 1; :::; j 1; ; :::; zn) f ( 1; :::; j; zj+1; :::; zn)

est en module majoree par 2M , et le Lemme de Schwarz applique a la fonction :

V (!) = 1 2MUj( 1 j (!)) ou j(v) = rj v j r2 j v j Donne 1 zj j

et montre la continuite de f dans D.

On fait maintenant la demonstration du Theoreme par recurrence sur la dimension n. On suppose donc le Theoreme vrai dans Cp avec p n 1 et on le demontre pour un

ouvert _{de C}n_.

Lemme 1.4 Soit D = n

jDj un polydisque ferme (i.e. les disques Dj sont fermes)

contenu dans . Soit f : _{! C une fonction veri ant les hypotheses du Theoreme.} Alors il existe des disques @Dj Dj; 1 j n, de rayon s > 0 tel que u est bornee dans D0 _{= (} n 1

j=1Dj0) Dn.

En particulier f est holomorphe dans D_0.

Preuve. [12]

Pour tout entier M posons :

EM = z0 2 n 1j=1Dj tels que :jf(z0; zn)j M pour tout zn 2 Dn

L'hypothese de recurrence montre que EM est une intersection de fermes donc EM est

ferme. De plus, comme zn 7 ! f(z0; zn) est holomorphe au voisinage de Dn, elle est

bornee, donc on a :

[1M =1EM = n 1j=1Dj

Le Theoreme de Baire implique alors que l'un des EM est d'interieur non vide ce qui

prouve le Lemme.

Proposition 1.13 (Inegalites de Cauchy) Soit f une fonction holomorphe dans le poly-disque D = _fjzjj < rj; 1 j ng. Si jfj M dans D alors, pour tout multi indice ,

on a :

C'est une consequence immediate de la formule de Cauchy.

Preuve. [12]

On considere @ U (0) dans un polydisque D0 _{= D(0; r}0_{) concentrique a D; relativement}

compact dans D ; alors f est continue sur D0 et_jfj M sur D0: On a r0 _{< r , soit :} k= r0ke i k_{; d} k = irk0e i k_d k , d _k k+1 k = i r0 k k e i k k_d k alors : j@ f(0)j = _{(2 )}1 n ! Z bD0 f ( ₁; :::; _n) n_j=1 k 1 j d 1:::d n 1 (2 )n !M (2 ) n_r0 1 1 :::r0 n n

L'inegalite etant valable pour tout r0 _{< r; on a :}

j@ f(0)j !M r

Theoreme 1.6 (d'identite) Soient f et g deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe _{de C}n_{; alors s'il existe un ouvert non vide U de tel que f}

j U = g j U, alors f = g:

Ensuite, on va rappeler des de nitions sur la geometrie Riemannienne.

1.3

Variete di erentielle

1.3.1

Variete

Une variete C1est un objet sur lequel on souhaite pouvoir faire les m^emes calculs di erentiels que sur Rn_{. Pour calculer une derivee, il su t de conna^tre la fonction dans}

heritee de celle de Rn_{. Par exemple, une courbe se recoupe en point p ce n'est pas une}

variete : en e et, un voisinage m^eme petit du point double p n'a pas la topologie d'un in-tervalle de R. Par contre une courbe est une variete si tout point admet un petit voisinage qu'on peut identi er avec un intervalle de R (remarquer a cette occasion que ceci n'est plus veri e pour les grands voisinages : il y a toujours une dialectique entre phenomenes locaux et aspects globaux qui font appara^tre la topologie ou la geometrie de la variete).

De nition 1.10 Etant donne un espace topologique M une carte (ou application de coordonnees locales)est la donnee d'un ouvert U M , d'un ouvert V _Rn _{et d'un}

homeomorphisme ' : U _{! V . L'application reciproque s'appelle une parametrisation} de U . Un atlas est une collection de cartes (U ; ' ) qui recouvrent M . La regularite de l'atlas est donnee par la regularite des applications de recollement (ou changement de cartes). Formellement, on donne la

De nition 1.11 Un atlas de classe Cp _{de M est un recouvrement de M par des}

ou-verts U sur lesquels sont de nies des cartes ' telles que : 1- M _{[ U (les U recouvrent M) ;}

2- ' : U _{! V est un homeomorphisme de U sur un ouvert V de R}n_;

3- Si U = U _{\ U 6= ; alors '} = (' ' 1₎

j' (U ) est un di eomorphisme de

classe Cp _{sur ' (U ) (ce qui a bien un sens car '}

est de nie d'un ouvert de Rn _dans

un autre ouvert de Rn_).

Deux atlas sont equivalents si leur reunion produit un nouvel atlas de m^eme classe, ce qui revient a les changements de cartes d'une carte d'un atlas vers une carte de l'autre atlas est reguliere.

De nition 1.12Une variete (C1_{) de dimension n est la donnee d'un espace topologique}

Exemple 1.1

1- Tout ouvert de Rn est une variete de dimension n, avec comme atlas l'application identitee de nie sur l'ouvert .

2- S1

= R=(2 Z) le cercle est une variete de dimension 1, avec comme atlas

U0 =f 6= 0 [2 ] g et U = f 6= [2 ] g;

les applications ' consistantes a prendre la determination de l'angle respectivement dans les intervalles ]0; 2 [ et ] ; [. Le changement de carte est une application a ne, donc C1.

3- Le tore T2

= R2

=Z2 _{est une variete de dimension 2, avec par exemple comme atlas :}

U =_{f(x; y) : x 6= 0 [1] ; y 6= 0 [1]g U} + =f(x; y) : x 6= 0 [1] ; y 6= 0; 5 [1]g

U+ =f(x; y) : x 6= 0; 5 [1] ; y 6= 0 [1]g U++ =f(x; y) : x 6= 0; 5 [1] ; y 6= 0; 5 [1]g

les applications ' consistent a prendre le representant de la classe d'equivalence de (x; y) respectivement dans les intervalles

]0; 1[ ]0; 1[ ; ]0; 1[ ]0; 5; 1; 5[ ; ]0; 5; 1; 5[ ]0; 1[ ; ]0; 5; 1; 5[ ]0; 5; 1; 5[

donc les changements de cartes sont des translations. En identi ant C a R2_{, on constate}

que T2

admet une structure complexe car les similitudes de R2 _{(ici des translations) sont}

evidemment holomorphes.

1.3.2

Applications

C

On peut etendre la notion d'application C1 _{ou holomorphe a des varietes en}

regar-dant l'expression de l'application dans les coordonnees locales donnees sur toute carte de l'atlas. En d'autres termes, on considere que les applications de coordonnees locales sont

des di eomorphismes locaux, et que les theoremes de composition restent valides dans ce contexte.

De nition 1.13 Soient M et N deux varietes de dimension m et n, munies d'atlas respectifs et ' .

Une application f de M dans N est dite C1_{si et seulement si les applications ' f} 1

sont C1_{lorsqu'elles ont un sens (rappelons que ces applications sont de nies d'un ouvert}

de Rm

dans un ouvert de Rn_).

Une bijection f entre M et N est un di eomorphisme C1 _{si f et f} 1 _{sont des}

applica-tions C1_{. En particulier, s'il existe un di eomorphisme entre M et N alors m = n.}

On note C1_{(M; N ) (resp. C}1_{(M )) l'ensemble des applications C}1 _{de M a valeur dans}

N (resp. R).

Deux atlas sont compatibles si et seulement si l'application identite est un di eomorphisme de M muni d'un des deux atlas sur elle-m^eme muni de l'autre.

1.3.3

Fibre tangent

Espace tangent

On va donner une de nition abstraite de l'espace tangent a une variete en commencant par interpreter les vecteurs de Rn _{comme des derivations de fonctions de C}1_(Rn_).

Soit f : Rn

! R une fonction C1_{dans un voisinage de m2 R}n _{et soit v}

2 Rn_{un vecteur,}

on leur associe la derivee de f selon v en m :

v(f ) = lim

t!0

f (m + tv) f (m)

t ;

soit, en coordonnees locales :

v(f ) = n X i=1 vi @f @xi (m) = dmf (v):

On peut voir l'action de v comme celle d'une fonctionnelle (que l'on note encore v) de f (en fait sur les germes de fonctions C1 _{au point m), qui veri e les proprietes de linearite}

et de Leibniz (au point m) :

v( f + g) = v(f ) + v(g) (2)

v(f g) = f (m)v(g) + g(m)v(f ): (3)

On appelle derivation une telle fonctionnelle. Reciproquement, si une derivation ' veri e les proprietes (2) et (3), alors on montre que ' s'interprete comme l'action d'un vecteur v.

On observe d'abord que '(12) = 2'(1) donc '(1) = 0 puis par linearite ' est nulle sur les constantes. Soit maintenant f : Rn

! R une fonction C1_{dans un voisinage V = B(m} 0; ")

de m0 2 Rn, posons pour m2 V : g(t) = f(m0+ t(m m0)):

La fonction g est C1 _{sur [0; 1], donc}

f (m) = g(1) = g(0) + Z 1 0 g_0(t)dt = f (m0) + n X i=1 (m m0)i Z 1 0 @f @xi (m0+ t(m m0))dt:

Donc, par linearite et en appliquant Leibniz :

'(f ) = n X i=1 '((m m0)i)f Z 1 0 @f @xi (m0 + t(m m0))dtgjm=m0: Finalement : '(f )(m0) = n X i=1 '(mi) @f @xi (m0) = v(f );

ou v a pour coordonnees '(mi) dans la base canonique.

au point m sur C1 m (M ).

Proposition 1.14 TmM est un espace vectoriel de dimension n = dimM . De plus

le bre tangent T M = _[m2Mfmg TmM , est muni canoniquement d'une structure de

variete de dimension 2n.

De nition 1.15 Soient X et Y deux varietes, soit f : X _{! Y une application C}1

dans un voisinage de x_{2 X et soit y = f(x). On de nit l'application lineaire tangente a} f en x : Txf : TxX ! TyY en posant pour v 2 TxX et g 2 Cy1(Y ) : (Txf (v))(g) = v(g f ).

On veri e en e et aisement que Txf (v) TyY .

Proposition 1.15 Txf est une application lineaire de TxX dans TyY . Lorsque f est

C1 _{de X ! Y , on peut de nir l'application tangente T f : T X ! T Y par :}

T f : (x; v)_{2 T X ! (f(x); T}xf (v))2 T Y

La linearite est evidente et le caractere C1 _{se montre en coordonnees locales. Signalons}

la propriete suivante qui resulte trivialement de la de nition.

Proposition 1.16 Si X; Y et Z sont trois varietes, et f : X _{! Y; g : Y ! Z deux} applications C1_{, on a :}

Tx(g f ) = Tf (x)g Txf:

1.4

De nitions et exemples de varietes complexes

On rappelle la de nition des varietes complexes. Grosso modo, une variete complexe est un espace topologique qui ressemble localement a un sous-ensemble de Cn pour ^etre precis, on a :

De nition 1.16 Soit M un espace topologique connexe separe possedant une base denombrable. On dit que M est une variete complexe de dimension n, s'il existe un recou-vrement _fUag indexee par un ensemble A, pour chaque a 2 A un homeomorphisme fade

Uasur un ouvert de Da Cn, tel que pour tout couple a; b dans A avec Ua;b = Ua\Ub 6= ,

le changement de carte fa fb est un biholomorphe (i.e : homeomorphisme et son inverse

holomorphe) entre fb(Ua;b) et fb(Ua;b):

Soit z = (z1; :::; zn) la coordonnee standard de Cn; et on note l'ensemble Ua un voisinage.

Nous appellerons za= z fa l'application holomorphe locale dans le voisinage Ua:

Une application ' : Mn

1 ! M2m entre deux varietes complexes est holomorphe (ou

an-alytique complexe) au point p _{2 M}1; s'il existe un voisinage holomorphe (Ua; fa) de p

dans M1 et (Vb; gb) de '(p) dans M2; telle que l'application gb ' fa1 a partir d'un

sous-ensemble ouvert de Cn

dans un sous-ensemble de Cm _{est holomorphe a f}

a(p): ' est

dit holomorphe sur M si elle est holomorphe en tout point de M1:

Une application holomorphe d'une variete complexe M en C est appelee une fonction holomorphe sur M , et on note (M ) l'ensemble de toutes les fonctions holomorphes sur M .

Si M est compact alors toute fonction holomorphe sur M est constante, puisque nous pouvons appliquer le principe de maximum a la restriction de la fonction f a un petit voisinage d'un point maximum de_{jfj, alors (M) = C si M est compact.}

D'apres la de nition, il est clair que le produit de deux varietes complexes, un sous-ensemble ouvert et connexe d'une variete complexe, sont aussi des varietes complexes.

1.4.1

Exemples des varietes complexes

Dans la partie suivante, on donne quelques exemples de varietes complexes. Exemple 1.2 (Surface de Riemann)

Une surface de Riemann est une variete complexe de dimension 1, on dit aussi une courbe complexe. Une surface de Riemann est donc un espace topologique separe M , admettant

sont des applications biholomorphes.

La plus simple des surfaces de Riemann compactes est la sphere de Riemann, con-formement equivalente a la droite projective complexe P1

(C), quotient de C2

f(0; 0)g par l'action (holomorphe) du groupe multiplicatif C par multiplication. Sa topologie est celle du compacti e d'Alexandro du plan complexe, a savoir S2

= C [ f1g : Elle est recouverte par deux cartes holomorphes, de nies respectivement sur C et C [ f1g par l'identite z _{7 ! z et l'inversion z 7 !} 1_z:

Exemple 1.3 _{(Domaine dans C}n₎

L'espace euclidien complexe Cn_{est une variete complexe de dimension n; le sous-ensemble}

ouvert connexe _Cn _{est aussi une variete complexe de dimension n: Il o re une classe}

riche d'exemples non-compactes. La boule unite :

Bn= (z1; :::; zn) jz1j2+ ::: +jznj2 < 1

est un exemple important de cette classe.

Exemple 1.4 (Sous-variete complexe)

Une sous-variete complexe d'une variete M est sous-variete di erentiable N M tel que pour chaque p _{2 N, il existe des coordonnees locales holomorphes z = (z}1; :::; zn) dans

un voisinage p_{2 N} M , avec la propriete que :

N _{\ U = fz 2 U n z}k+1 = ::: = zn = 0g

Pour chaque p _{2 N; il existe un voisinage p 2 U} M et des fonctions holomorphe ff1; :::; flg sur U tel que N \ U est a \li=1ffi = 0g :

Une sous-variete complexe fermee de Pn _{est appelee une variete complexe projective. Il}

s'avere qu'une telle variete est en fait les zeros communs d'un ensemble ni de polyn^omes homogene dans les coordonnees homogenes de Pn_{. Alors toutes varietes projectives est}

algebrique.

Exemple 1.5 (L'espace projectif complexe) L'espace projectif complexe Pn

(C) est l'ensemble des droites complexes passant par l'o-rigine dans Cn+1_{: Ce qui est l'ensemble de tous les sous-ensembles de 1-dimensionnels}

complexes lineaires de Cn+1_:

Il est egalement l'espace quotient de Cn+1

f0g par la relation d'equivalence :

(z0; :::; zn) ( z0; :::; zn) 2 C

La classe d'equivalence (z0; z1; :::; zn) sera notee [z0; :::; zn] ce qui est appele coordonnees

homogenes de Pn:

A n de voir la structure complexe, de nir les sous-ensemble U0; :::; Un de Pn par :

Ui =f[z0; :::; zn] zi 6= 0g

Geometriquement, Ui est l'ensemble des droites complexes dans Cn+1 qui passent par

l'origine et sauf_{fz 2 C}n _{: z}

i 6= 0g :

On de nit '_{i : C}n

! Ui Pn bijective par :

'_i(U1; :::; Un) = [U0 : ::: : Ui 1: 1 : Ui+1: ::: : Un]

alors il est facile de voir que cela donne une structure complexe sur Pn:

Exemple 1.6 (Le tore complexe)

On considere l'espace Euclidien complexe Cn_{: Si}

fv1; :::; v2ng l'ensemble des vecteurs dans

Cn =_R2n _{lineairement independant sur R, et notons par = Z fv}1; :::; v2ng le reseaux.

Les elements de _{agissent sur C}n

par translation, biholomorphe sur Cn_{. Le quotient}

complexe.

Notons que pour un tel reseau , la variete lisse sous-jacente de Tn est la m^eme ; c'est le tore reel T2n

R ; qui est le produit de 2n exemplaires de cercle S1. Cependant, les structures

complexes de Tn _{depend du choix de ; et pourrait ^etre tout a fait di erent.}

Exemple 1.7 (Variete de Stein)

Une variete de Stein est une sous variete complexe fermee de Cn_{; ce qui est equivalent}

a M; est une variete de Stein si M est une variete complexe analytique qui possede les proprietes suivantes :

a_{jSi pour tout compact K} M; on designe par bK l'ensemble des points z _{2 M tels que :}

jf(z)j Sup_{t2Kjf(t)j :}

Pour toute fonction f holomorphe sur M , alors bK est compact.

b_{jSi x et y sont deux points distincts de M: Il existe une fonction f holomorphe sur M} qui separe x et y c'est a dire : f (x)_{6= f(y):}

c_{jPour tout point z}0 2 M il existe des coordonnees locales donnees par des fonctions

holomorphes dans M; tout entier, c'est a dire qu'il existe un voisinage de z0 et des

fonc-tions f1; f2; :::; fn holomorphes dans M telle que z 7 ! (f1(z); f2(z); :::; fn(z)) soit un

isomorphisme analytique de ce voisinage sur un ouvert de l'espace Cn:

Exemple 1.8 (Surface de Hopf)

Une surface de Hopf est une surface compacte complexe obtenu sous forme d'un quotient de C 2 n f0g par une action libre d'un groupe discret. Le premier exemple a ete trouve par Hopf(1948), avec le groupe isomorphe discret pour les entiers, avec un generateur agissant sur C2 par la multiplication par 2, ce qui a ete le premier exemple d'une surface compacte complexe sans metrique k•ahlerienne.

Chapitre 2

Prolongement d'applications

holomorphes

Dans cette partie, on essaye d'examiner le probleme de prolongement des applications holomorphes. Puis on va donner quelques exemples.

Notre objectif est d'etudier le prolongement des applications holomorphes sur l'ouvert de Hartogs dans une variete complexe compacte. Par exemple dans [4] Dloussky montre qu'un groupe de lie complexe connexe et simplement connexe est une variete de Stein, et donc les varietes parallelisables compactes sont holomorphiquement extensiferes.

L'etude de prolongement des applications holomorphes a fait beaucoup d'etudes, on va commencer par le theoreme de prolongement de Riemann pour les fonctions holomorphes. Puis on va mentionner le theoreme de Hartogs et on le soutenons par la demonstration de prolongement des applications holomorphes de nis sur un ouvert A dans C2_{[13] : Aussi on}

va de nir le domaine etale au dessus d'une variete de Stein [voir def 2.2]. Et on termine avec un exemple particulier sur le phenomene de Hartogs, c'est le cas de prolongement des applications holomorphes a valeurs dans des varietes extensiferes.

2.1

Theoreme de prolongement de Riemann

Dans la suite, on appellera domaine de Cn tout ouvert connexe de Cn: Soit _{un domaine de C}n_{; une partie X de est dite mince si pour tout z}

2 , il existe un polydisque D(z; r) et une fonction holomorphe f dans D(z; r) non nulle telle que :

X_{\ D(z; r)} Z(f ) = _{fy 2 D(z; r); f(y) = 0g}

Z(f ) est ferme dans D(z; r) et d'interieur vide.

Soit Y une partie de ; une fonction f de nie sur _{n Y est dite localement bornee dans} si, pour tout z ₂ ; il existe un polydisque D(z; r) tel que la fonction f soit bornee sur DY = D(z; r)\ ( n Y ), cela signi e : qu'il existe une constante A > 0 telle

que _jf(y)j A pour tout y _{2 D}Y:

Theoreme 2.1 Soit X un ensemble mince d'un domaine _{de C}n et f une fonction holomorphe sur _{n X; localement bornee dans . Alors, il existe une fonction unique e}f holomorphe sur qui prolonge f .

Pour la demonstration on va utiliser la notion et les lemmes suivantes :

De nition 2.1_{Une fonction holomorphe f sur un ouvert U de C}n_{est dite reguliere}

d'or-dre k en zn au point ! = (!1; :::; !n) si la fonction de zn, f (!1; :::; !n 1; zn) holomorphe

en zn, a un zero d'ordre k au point zn = !n:

Lemme 2.1 Si f _{2 (U) est d'ordre k < 1 au point !, alors apres un changement} lineaire convenable de coordonnees dans Cn; la fonction f est reguliere d'ordre k en zn

au point zn = !n:

Lemme 2.2 Si f _{2 (D(!; r)) est reguliere d'ordre k en z}n au point !, alors il

Pour tout a0 _{= (a}

1; :::; an 1)2 D(!0; 1; :::; n 1) avec !0 = (!1; :::; !n 1):

La fonction de zn; la(zn) = f (a1; :::; an 1; zn) est exactement k zeros, compte avec leurs

multiplicites, dans D(!n; n):

Preuve du theoreme 2.1 [13]

Il su t de prouver pour = D(!; r); X = Z(g); avec g _{2 (D(!; r)) non nulle.}

Soit ! _{2 X; on choisit les coordonnees pour que g soit reguliere, d'un certain ordre k} en zn au point !(Lemme 2.1): D'apres (Lemme 2.2) ; il existe D(!; ) D(!; r) tel que,

pour (z1; :::; zn 1)2 D(!0; 0); g(z1; :::; zn) ait k zeros dans jzn !nj n et ne s'annule

pas sur _jzn !nj = n: On considere :

e f (z) = 1 2 i Z jn !nj= n ( _n zn) 1f (z1; :::; zn 1; n)d n

dans D(!0; 0); pour _{n 2 bD(!}n; n); ( n zn) 1f (z1; :::; zn 1; ); donc aussi ef est

holo-morphe en (z1; :::; zn 1) dans D(!0; 0); mais ef est holomorphe en zn; car d00znf = 0; en n

e

f est continue dans D(!; ), d'apres le lemme d'Osgood ef _{2 (D(!; r)):} Pour z0 _{= (z}

1; :::; zn 1) xe, f est holomorphe en zn dans jzn wnj < n; sauf en un

nombre ni de points d'apres les proprietes de g, mais f est localement bornee dans jzn wnj < n; alors d'apres le theoreme de prolongement en une variable, f (z0; zn) a

2.2

Le phenomene de Hartogs

2.2.1

De nitions et preliminaires

Soit z = (z1; :::; zn) un point de Cn:

On note T l'ouvert de Cn_{de ni par :}

T = T ; =fz 2 Cn:jzij < ; i = 1; :::; n 1;jznj < 1g

[ fz 2 Cn :_jzij < ; i = 1; :::; n 1; <jznj < 1g

avec 0 < < 1 et 0 < < 1:

On appellera un tel ouvert une marmite.

Le theoreme de Hartogs prouve que si f est une fonction holomorphe sur l'ouvert T alors f a une prolongement holomorphe sur l'enveloppe d'holomorphie de T:

L'enveloppe d'holomorphie de T , notee eT est egale au polydisque unite n _{tel que :}

n ₌

fz 2 Cn:_jzjj < 1; 1 j ng

2.2.2

Historique

Presque un siecle de la decouverte par Hartogs d'un phenomene d'extension forcee des fonctions holomorphes d'au moins deux variables complexes. Et a cette occasion, il nous parait utile d'en evoquer l'histoire. Si celle-ci debute sans doute quand Hurwitz annonca en 1897 qu'une fonction holomorphe sur C2

nf0g se prolonge holomorphiquement a C2_,

c'est seulement dans sa these en 1903 que Hartogs decrivit le phenomene general et en donna une demonstration rigoureuse pour ses (( marmites )) devenues celebres. Poincare donna en 1907 une autre demonstration pour les fonctions holomorphes au voisinage de la sphere unitee de C2_{, Levi produisit en 1910 une version du theoreme de Hartogs pour}

les fonctions meromorphes (invalidant ainsi l'a rmation faite par Weierstrass en 1879 que tout domaine de Cn_{, n quelconque, etait un domaine de meromorphie) et en 1924}

Osgood enonca et demontra partiellement le theoreme sous sa forme classique.

La demonstration d'Osgood achoppait en fait sur un probleme de monodromie et c'est seulement en 1936 que le theoreme fut entierement justi e par Brown gr^ace a des con-siderations topologiques. En 1939 Fueter donna une autre demonstration lorsque n = 2 puis dans le cas general en 1942 avec, ses arguments, tres di erents de ceux de Brown, etaient fondes sur une formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes d'une vari-able quaternionique ou hypercomplexe, formule obtenue en 1931 par Moisil et qu'il redecouvrit en 1935. C'est a partir de celle-ci que Martinelli ecrivit sa formule et sim-pli a la demonstration de Fueter. Dans la m^eme periode, Bochner donna une autre demonstration du theoreme de Hartogs, le generalisant m^eme a des fonctions contin-ues sur b qu'on pourrait quali er de (( holomorphes par morceaux )).

Maintenant on va donner un cas particulier d'un ouvert de Hartogs lorsque n 2: Theoreme 2.2 Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage connexe U du bord de D(0; r) dans Cn_{. Alors pour n 2, il existe une unique fonction holomorphe ef dans}

D(0; r) qui prolonge f:

C'est un cas particulier de theoreme de Hartogs. Le domaine de de nition U de f presente un trou, le theoreme signi e que le domaine de f peut ^etre etendu en bouchant ce trou.

Preuve. [13] On a bD(0; r) U; pour z _{2 D(0; r); soit :} e f (z) = 1 2 i Z jwj=rn (w zn) 1f (z1; :::; zn 1; w)dw

cette integrale a un sens parce que f (z1; :::; zn 1; w) est de nie pour jzkj < rk; avec

k = 1; :::; n 1 et _{jwj = r}n, car bD(0; r) = D(0; r0) bD(0; rn), ou D(0; r0) est le

poly-disque de centre 0 et de rayon r0 _{= (r}

1; :::; rn 1); en outre f est holomorphe en zn pour

zn, dans D(0; rn) pour z1; :::; zn 1 xes, en outre, elle est continue dans D(0; r); donc ef

est holomorphe dans D(0; r):

Si (z1; :::; zn 1) est xe, de sorte que jzkj soit assez voisin de rk; pour k = 1; :::; n 1; le

disque ferme_jznj rn est contenu dans U , alors d'apres la formule de Cauchy en zn, f et

e

f co•ncident pour_jznj rn " avec " > 0 assez petit, donc sur un ouvert de U \ D(0; r)

qui est connexe, d'apres le theoreme d'identite, ef est unique et prolonge f dans D(0; r):

Theoreme 2.3 _{On considere les deux ouverts de C}2_:

A1 = z 2 C2 :jz1j < r1;jz2j < " avec 0 < " < r1

A2 = z 2 C2 : r1 " <jz1j < r1;jz2j < r2 avec r2 > "

Soit f une fonction continue dans A = A1[ A2 holomorphe en z1 dans A1 et holomorphe

en z2 dans A2. Alors f se prolonge en une fonction holomorphe ef dans le polydisque

D(0; r) avec z = (z1; z2) et r = (r1; r2):

On appelle le domaine A de C2une marmite de Hartogs, a cause de sa forme dans l'espace R3 _{des points (z}

1;jz2j): Le theoreme signi e que le domaine de de nition de f peut ^etre

etendu a la marmite remplie.

Preuve. [13]

Soient 1; 2 2 R tels que : r1 " < 1 < r1 et " < 2 < r2:

Pour _jz2j < "; la fonction f(z1; z2) est holomorphe dans le polydisque jz1j < r1; d'apres

la formule de Cauchy en z1; f (z1; z2) = 1 2 i Z j 1j= 1 ( ₁ z1) 1f ( 1; z2)d 1 pour jz1j < 1

Pour r1 " <j 1j < r1; la fonction f ( 1; z2) est holomorphe en z2 dans le disquejz2j < r2;

d'apres la formule de Cauchy en z2;

f ( ₁; z2) = 1 2 i Z j 2j= 2 ( ₂ z2) 1f ( 1; 2)d 2 pour jz2j < 2 D'autre part, e f (z1; z2) = 1 (2 i)2 Z j1j= 1 Z j 2j= 2 ( ₁ z1) 1( 2 z2) 1f ( 1; 2)d 1d 2

est une fonction holomorphe dans D(0; ):

Alors ef est egale a f dans l'ouvert _jz1j < 1;jz2j < 2.

2.2.3

Le domaine etale

Avant d'examiner des cas sur le phenomene de Hartogs, il faut toucher un point tres important pour le sujet. C'est le domaine etale au dessus d'une variete de Stein.

De nition 2.2 Soient et M deux varietes complexes et : _{! M une application} holomorphe. On appelle ( ; ) le domaine etale au dessus de M , si est connexe et est localement biholomorphe. Soit une variete complexe X et une variete de Stein M . Pour le domaine etale ( ; ) au dessus de M et l'application f : _{! X nous appelons} le triple ( ; ; f ) un element de carte a X au dessus de M:

De nition 2.3 (Prolongement). Nous considerons l'element de carte ( ; ; f ) et ( ; ; f ) au dessus d'une variete de Stein M . On dit que ( ; ; f ) est un pro-longement de ( ; ; f ) au dessus de M , s'il existe une application : _! telle que :

f = f et =

pour chaque prolongement ( ; ; ; f ) de ( ; ; f ) au dessus de M , il existe une application : _! telle que :

= et = et f = f

Theoreme 2.4 (Malgrange). Soient X et M deux varietes complexes. Alors pour chaque prolongement ( ; ; f ) a X au dessus de M , il existe un prolongement maximal de f au dessus de M qui est unique a un isomorphisme.

Preuve. [voir11]

De nition 2.4 Soit M une variete complexe. Si un prolongement ( ; ; ; f ) pour l'element de carte ( ; ; f ) au dessus de M est maximal, l'application holomorphe (resp meromorphe) f : _{! X est appelee le prolongement maximal de f ; et} est appele le domaine maximal de la de nition de f au dessus de M:

Soit ( ; ) un domaine etale au dessus d'une variete de Stein M: Soit F = _ffi_gi2I l'ensemble des fonctions holomorphes sur . On dit que ( ; ; ; F ) est un pro-longement de ( ; ; F ), s'il existe une application : _! et une fonction holomorphe F = fi

i2I sur tel que : pour chaque i2 I; f = f et

= :

Dans ce cas. On dit que ( ; ; ; F ) est un prolongement simultane de F pour ( ; ; F ) au dessus de M:

Soit F l'ensemble des fonctions holomorphes sur un domaine etale ( ; ) sur M: Le prolongement maximal de F est un prolongement simultane de ( ; ; F ) tel que si ( ; ; ; F ) et chaque prolongement simultane de ( ; ; F ), alors il existe une application : _! telle que pour chaque i _{2 I , f = f} et = : Il s'ensuit que = :

prolongement maximal simultane (e;_{e; ) ( : ! e ,} =_e ) pour chaque fonction holomorphe dans ( ; ) est appele l'enveloppe d'holomorphie de au dessus de M:

Remarque 2.1 L'application : _{! e n'est pas forcement injective.}

Proposition 2.1Soient ( ; ) et ( ; ) deux domaines etales au dessus d'une variete de Stein. Soient (e ;_{e ;} ) et (e ;_{e ;} ) sont enveloppes d'holomorphie resp.

Soit : _! une application etalee.

Alors il existe une application etalee _e : e _{! e telle que :}

=_e :

Preuve. [11]

L'ensemble F = O ; avec O est l'ensemble des fonctions holomorphes dans . alors (e ;_{e ;} ; eF ) est un prolongement simultane de ( ; ; F ); avec F = 1(F ): Noter ici que : eF _{! F et} : O _{! F sont bijective. Etant donner que} (e ;_{e ;} ) de ( ; ; F ) est maximal. Donc il ya une fonction etalee _e : e ! e avec les proprietes exigees.

2.3

Prolongement des applications holomorphes

2.3.1

Varietes extensiferes

Au debut on va de nir les varietes extensiferes, apres on va resumer des travaux deja fait sur ce cas particulier de prolongement des applications holomorphes.

De nition 2.6 On dit qu'une variete complexe M est holomorphiquement extensifere, si toute application holomorphe de T dans M se prolonge holomorphiquement a n.

phiquement au complementaire dans n _{d'un sous-ensemble analytique de} n _de

codi-mension au moins 2. On dit que M est holomorphiquement extensifere en dehors de la codimension au moins 2.

Proposition 2.2Soit M une variete complexe. Les trois relations suivantes sont equivalentes : i p M est holomorphiquement extensifere.

ii p Pour tout domaine etale ( ; ) au dessus d'une variete de Stein M, toute application holomorphe de dans M se prolonge holomorphiquement a l'enveloppe d'holomorphie (e; e;_{e) de ( ; ):}

iii p Pour tout domaine etale ( ; ) au dessus d'une variete de Stein M, le domaine d'ex-istence holomorphe de toute application holomorphe de dans M est de Stein.

Preuve. [voir10]

Proposition 2.3 Soit M une variete holomorphiquement extensifere, si U est un ou-vert d'une variete de Stein V , et K un compact de U tel que U K soit connexe, alors toute application holomorphe f : U_{n K ! M se prolonge holomorphiquement a U.}

Preuve. [10]

Par le theoreme de Hartogs l'enveloppe d'holomorphie de U _{n K contient U:}

Proposition 2.4Si M est holomorphiquement extensifere, alors toute application meromorphe f : T _{! M est en fait holomorphe, et se prolonge holomorphiquement a} n_:

Preuve. [10]

f est holomorphe de T _{n Z dans M ou Z est la singularite de f, et se prolonge} holomor-phiquement a l'enveloppe d'holomorphie de T _{n Z qui est egal a} n_:

Maintenant on va donner un cas de varietes extensiferes, c'est les varietes parallelisables.

Les varietes parallelisables

Avant de traiter le prolongement des applications holomorphes a valeurs dans des varietes parallelisables, on va commencer par la de nition des varietes parallelisables. De nition 2.8 Une variete complexe X est dite parallelisable si son bre tangent holo-morphe est trivial. Ce qui revient a dire qu'il existe au dessus de X n champs de vecteurs holomorphes lineairement independants en tout points de X ou dimX = n.

Proposition 2.5 Soit M une variete complexe parallelisable compacte alors M est iso-morphe au quotient d'un groupe de Lie G par un sous groupe discret D.

Il est evident que le quotient d'un groupe de Lie complexe par un sous groupe discret est parallelisable.

Proposition 2.6 Un groupe de Lie complexe connexe et simplement connexe est une variete de Stein.

Proposition 2.7 Soient X et Y deux varietes complexes et (X; ; Y ) un rev^etement non rami e alors X est holomorphiquement extensifere si et seulement si Y est holomor-phiquement extensifere.

Preuve. [10]

Soit f une application holomorphe de T dans Y , T etant simplement connexe, il existe une application holomorphe g de T dans X tel que g = f , g se prolonge holomor-phiquement a n en _{eg et eg est un prolongement holomorphe de f a} n:

Inversement, soit f une application holomorphe de T dans X; f se prolonge holo-morphiquement en _{eg de} n dans Y et puisque n est simplement connexe, il existe une

Corollaire 2.1Une variete parallelisable compacte est holomorphiquement extensifere.

Proposition 2.8 Un groupe de Lie complexe est holomorphiquement extensifere.

Preuve. [10]

Le rev^etement universel d'un groupe de Lie complexe est un groupe de Lie complexe simplement connexe et on conclut par la proposition 2.7.

Chapitre 3

Prolongement d'applications

holomorphes a valeurs dans des

varietes homogenes et des surfaces

presque homogenes

Dans le chapitre precedent on a etudie le probleme du prolongement des applications holomorphes pour quelques cas particuliers.

Dans ce chapitre, on va voir que si X est une variete complexe homogene compacte, alors toute application holomorphe f : T _{! X se prolonge holomorphiquement a} n

n Z en X, ou Z est un sous-ensemble analytique de n _{de codimension au moins 2.}

Le but de ce memoire c'est d'etudier le prolongement d'application holomorphe de T a valeurs dans une surface presque homogene compacte. et pour cela on va utiliser la classi-cation de Potters pour arriver a demontre que si X une surface presque homogene com-pacte, alors toute application holomorphe de T dans X se prolonge meromorphiquement a n

n Z ou Z est un sous-ensemble analytique de n _{de codimension 2 a valeurs dans}

homogenes, on va rappeler quelques points sur les espaces homogenes.

3.1

Espaces homogenes quotients

Si H est un sous-groupe discret d'un groupe de Lie G complexe, alors H agit libre-ment et proprelibre-ment par translation a gauche sur G par di eomorphismes analytiques complexes. L'ensemble quotient H_{nG admet une unique structure de variete analytique} complexe telle que : G _{! HnG soit une submersion analytique complexe. Le but du} resultat suivant est d'etendre ceci au cas ou H est seulement suppose ^etre un sous-groupe de Lie ferme de G.

Theoreme 3.1 Soit G un groupe de Lie complexe, H un sous groupe de Lie ferme de G, et : G _{! G=H la projection canonique. Il existe une et une seule structure de} variete analytique complexe sur l'espace topologique quotient G=H, telle que soit une submersion analytique complexe. De plus,

i) l'action de G par translation a gauche sur G=H est lisse ;

ii) si en outre H est distingue, alors G=H, muni de ses structures de variete quotient et de groupe quotient, est un groupe de Lie, la projection canonique : G _{! G=H est} un morphisme de groupes de Lie, l'algebre de Lie } de H est un ideal de l'algebre de Lie g de G, et l'application lineaire de TeG=TeH dans TeH(G=H) induite par Te est un

isomorphisme de l'algebre de Lie quotient g=} dans l'algebre de Lie de G=H. Nous avons donc

iii) dim(G=H) = dimG dimH ;

iv) pour tout g dans G, l'application Tg : TgG! TgH(G=H) induit un isomorphisme

lineaire (TgG)=(Tg(gH))' TgH(G=H).

v) pour toute variete N de classe analytique complexe ou k _{2 N [ f1g, une} appli-cation f : G=H _{! N est de classe analytique complexe si et seulement si f} l'est. La structure (de variete munie d'une action lisse de G) sur G=H construite dans ce

theoreme13 s'appelle la structure d'espace homogene quotient sur G=H. C'est un espace homogene, car par l'assertion (i), l'action de G par translation a gauche sur G=H est lisse et transitive. En particulier, l'application Te induit un isomorphisme lineaire de

TeG=TeH sur TeH(G=H). La condition que H; est plonge, et cruciale.

Remarque 3.1 Soit G un groupe de Lie complexe, agissant transitivement sur un en-semble E, tel que le stabilisateur Gx d'un point x de E soit un sous-groupe de Lie ferme

de G. Alors il existe sur E une et une seule structure de variete analytique complexe telle que

i) l'action de G sur E soit de classe analytique complexe,

ii) la bijection canonique G=Gx ! E soit un di eomorphisme analytique complexe.

3.1.1

Actions transitives de groupes de Lie

La partie precedente montre en particulier qu'une variete homogene quotient G=H d'un groupe de Lie G par un sous-groupe de Lie ferme H est une variete homogene. Le but de cette partie est de montrer que, a di eomorphisme pres, toute variete homogene est de cette forme. Le resultat suivant donne en plus une condition necessaire et su sante pour qu'une orbite d'une action lisse d'un groupe de Lie soit une sous-variete, auquel cas cette orbite est un espace homogene.

Theoreme 3.2 Soit M une variete analytique complexe, munie d'une action lisse d'un groupe de Lie complexe G, et x_{2 M.}

(1) L'application canonique •x : G=Gx ! M de nie par •x(gGx) = gx est une

immersion analytique complexe injective, d'image l'orbite G x de x par G.

(2) L'orbite G x est une sous-variete analytique complexe si et seulement si elle est localement fermee.

(4) Si l'action est transitive, alors l'application canonique•x est un di eomorphisme

analytique complexe.

En particulier, si une orbite est fermee, alors c'est une sous-variete.

En appliquant ceci a M un groupe de Lie et G un sous-groupe de Lie immerge de M , un sous-groupe de Lie immerge ferme est plonge.

3.2

Prolongement a valeurs dans des varietes

Ho-mogenes et des surfaces presque HoHo-mogenes

Au debut, on va de nir les varietes homogenes et les varietes presque homogenes. De nition 3.1Une variete X est dite presque homogene si son groupe de Lie G possede une orbite ouverte. Ce qui est equivalent a G opere transitivement sur X en dehors d'un sous-ensemble analytique S.

Si le sous ensemble S est vide alors X est une variete homogene. Surface signi e une variete complexe de dimension 2.

Noter que si X est compacte G est un groupe de Lie complexe.

Avant de traiter le prolongement des applications holomorphes a valeurs dans des varietes homogenes et des surfaces presque homogenes. Il faut mentionner les deux theoreme de Mr M.Krachni.

Theoreme 2.5 Soient X et Y deux varietes complexes et ' : X _{! Y une application} holomorphe. On suppose :

a_{n Y est holomorphiquement extensifere.}

b_{n il existe un recouvrement U = (U}i)i2I de Y tel que : ' 1(Ui) est holomorphiquement

extensifere (resp. meromorphiquement extensifere). Alors X est holomorphiquement ex-tensifere (resp. meromorphiquement exex-tensifere).

Preuve. [10]

application holomorphe.

Posons g := ' f , g etant a valeurs dans Y elle se prolonge holomorphiquement en _{eg a} l'enveloppe d'holomorphie (e; e;_{e) de ( ; ): Le morphisme de domaine etale} permet de considerer comme domaine etale au dessus de la variete de Stein e: L'application f possede un domaine d'existence holomorphe au dessus de e: Il su t de montrer que ce domaine est de Stein et donc e = :

En utilisant le theoreme de Docquier-Grauert, il su t de montrer que ( ; e) est locale-ment pseudoconvexe au dessus de e:

Soit z _{2 e; par hypothese il existe un voisinage U de e}g(z) tel que : ' 1_{(U ) est}

holomor-phiquement extensifere. Soit B(z) une boule centree en z telle que :_eg(B(z)) U il su t de montrer que e(B(z)) est de Stein. On a :

f (e 1(B(z))) ' 1(U ) f ! X e # # ' e _{! Y} eg

Si e 1(B(z))_{6= ' on se restreint a e} 1(B(z)) on a le diagramme suivant : f

e 1(B(z)) _{! '} 1(U )

e # # ' B(z) _{! U}