S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
L IONEL B ÉRARD B ERGERY
La courbure scalaire des variétés riemanniennes
Séminaire N. Bourbaki, 1981, exp. n
o556, p. 225-245
< http://www.numdam.org/item?id=SB_1979-1980__22__225_0 >
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LA COURBURE SCALAIRE DES
VARIÉTÉS
RIEMANNIENNES par LionelBÉRARD
BERGERY225 Séminaire BOURBAKI
32e
année, 1979/80, n°
556 Juin 19801 - INTRODUCTION
Cet
exposé
rassembleplusieurs
résultats(obtenus
de 1960 à1980)
sur la cour- burescalaire,
autour de laquestion
suivante :Etant donnée une variété différentiable M
(compacte connexe), quelles
fonc- tions peuvent être la courbure scalaire d’unemétrique
riemannienne g sur M ?Rappels :
Leprincipal
invariant local d’une variété riemannienne(M,g)
est sontenseur de courbure
(de Riemann)
R. Lessymétries
de ce tenseur(3,1)
montrentqu’il
estparfaitement
décrit par ses courbures sectionnelles6(X,Y) - g(R(X,Y)X,Y)
(si
En prenant des traces(par
rapport àg),
on obtient d’autres ten-seurs
(moins précis) :
le tenseur de Ricci :r(X,Y) = Z g(R(X,X.)Y,X.) (où Xi
estune base orthonormée
locale)
est(2,0)
etsymétrique ;
il est décrit par les courbu-res de Ricci :
p(X) = r(X,X) (si 1) ;
enfin la courbure scalaireest une fonction
(réelle)
sur M.On peut décrire
"géométriquement"
u en fonction de la distance et du volume définis par g, par l’une des deux formules suivantes : siB(m,r) (resp. S(m,r))
est la boule
(resp.
lasphère)
despoints
dont la distance à m est inférieure ouégale
à r(resp. égale
àr),
et sivolg désigne
le volume induit par g, alors :où
go
est lamétrique
riemanniennecanonique
de tRn(n =
dimension deM).
Remarque :
En dimension n =2,
les formulesprécédentes
sont les formules classi- ques deDiquet
et Bertrand-Puiseux(voir
parexemple [SP]). Attention,
dans ce casla courbure scalaire est
égale
à deux fois la courbure de Gauss.II - CAS DES SURFACES -
On va étudier d’abord le cas des surfaces
(n = 2)
et leur courbure de Gauss(?C = ~).
On noterax(M)
lacaractéristique
d’Euler de la surface M.1 )
Résultatgénéral
,THÉORÈME
11-1.-(J.L.
Kazdan et F.W. Warner[KW10])
Soit M une surface compacte connexe. Alors une fonction f
C
sur M est la courbure de Gauss d’unemétrique
riemannienne sur M si et seulement si elle véri- fie la condition(C)
suivante :(CI)
siXCM)
> 0(c.a.d.
M = S2 ouRP2),
f est strictementpositive
en aumoins un
point ;
(C2)
siX(M) -
0(c.a.d.
M = T2 ou la bouteille de KleinK2),
f estidentique-
ment nulle ou
prend
effectivement les deuxsignes ;
(C3)
six(M) 0,
f est strictementnégative
en au moins unpoint.
Démonstration : La nécessité de la condition
(C)
est uneconséquence
immédiate de la formule de Gauss-BonnetAttention,
l’élément de volumevg dépend
de g et cette formule ne donne pasplus
que la condition(C)
sur f.Pour démontrer la
réciproque,
on étudie directementl’application qui
à g as- socie sa courburescalaire,
dans des espaces fonctionnels convenables. On va mener cette étude en dimension nquelconque.
Soit
l’espace
des 2-tenseurssymétriques
définispositifs
sur Mqui
sont dansLP
ainsi que leurs dérivées(covariantes) premières
etsecondes ;
onrappelle
que les espacesL
définis par l’élément de volumevg
nedépendent
pasde g.
Soit U :
H2 (S2 + (14)) -~ L (M)
définie parU(g) = ug (courbure
scalaire deg). L’opérateur
différentiel U est du2e
ordre et non linéaire(mais quasi-linéai- re) ;
sa dérivéeU’(g)
en g est unopérateur
différentiellinéaire,
dont l’ad-joint
formelU’(g)*
s’écrit :(A ë
etHess g
sont leLaplacien
et le Hessien associés à g ;A g =
-trace gHessg).
Alors,
sous certaineshypothèses,
on peut montrer que le noyau deU’(g)*
estnul. Comme
U’(g)oU’(g)*
estelliptique,
on en déduit le :LEMME II-2.-
(J.P. Bourguignon [BOl],
A.E. Fischer et J.E. Marsden[FM])
Si la courbure scalaire
ug
de(M,g)
n’est pas une constante(positive
ounulle)
de la forme(n-1)03BB
où À est une valeur propre deA ,
alorsU’ (g)
est sur-jective.
Remarque :
La conclusion est fausse pour lessphères
à courbure constante(il
estpossible
que ce soit le seul cas, avec les variétésRicci-plates).
En
appliquant
le théorème d’inversion locale et le théorème derégularité ellip- tique,
on obtient :LEMME II-3.-
([KW10])
SiU’(g)
estsurjective
et p > n,quelle
que soitgo
mé-trique
riemannienneC
sur M, il existe npositif
tel que : pour tout f deLp avec !!f"Ug p
T~, il existe g dans(M))
avecU(g) =
f. Deplus
g estC°°
si f l’est.Pour passer du local au
global,
on utilise lesdifféomorphismes
de M :LEMME II-4.-
([KW8])
Soient f et u deux fonctions continues sur M de dimension n >. 2. Si inff ~ u(x) ,
sup f pour tout x de M,alors,
pour tout epositif,
, ~
M ~
Mil existe un
diffêomorphisme (p
de M tel que E , si p > n .D’après
la classification des surfaces compactes, pour tout c >0,
il existesur une surface M une
métrique
riemannienneg,
à courbure scalaire constante etégale
àcX(M).
Si la fonction f non constante vérifie(C),
il existe cpositif
réalisant la condition du lemme II.4 pour u =
cX(M) = Ugl.
Dans le casX(M) > 0,
on
perturbe légèrement g-
i engo
pour que la condition reste vérifiée maisugo
ne soit
plus
constante. Onapplique
enfin le lemmeII.4, puis
le lemme II.3.2)
Précisions(globalement)
conformesUn résultat
plus précis
avait été découvert par Kazdan et Warner avant la dé- monstration directequi précède.
DEFINITION II-5.- Deux
métriques
riemanniennesgl
etg2
sur M sont ditesglo-
balement conformes si il existe une fonction h strictement
positive
sur M et undiffêomorphisme (p
de M tel queg2 = hcp*g 1 .
THEOREME
II-6.-([KW8])
Soit(M,g)
une surface riemannienne compacte connexe.Alors une fonction f
C~
sur M est la courbure de Gauss d’unemétrique
riemannien-ne
globalement
conforme à g si et seulement si la condition(C)
du théorème II.1est vérifiée.
La démonstration est la même que celle du théorème
II.1,
àquelques aménage-
ments
près.
Grâce au :LEMME II-7.- Si n = 2 et
gl = e g,
alors ,il suffit de
remplacer
U parT :
H2 (M) ~ L (M)
défini parT(h) =
et le lemme II.2 par le :
LEMME II-8.-
([KW8]) T’(h)
est inversible pour un ouvert dense de fonctions h dansC2(M).
Enfin,
pour attraper les constantes, on utilise le théorème de lareprésenta-
tion
conforme,
sous la forme :THEOREME 11-9.- Pour toute surface riemannienne
(M,g)
compacte connexe, il existeune
métrique g. globalement
conforme à g telle que(M,g,)
soit à courbure constante.3)
Précisions(ponctuellement)
conformesDÉFINITION
II-!0.- Deuxmétriques
riemanniennesg.
etg
sur M sontponctuelle-
ment conformes si il existe une fonction h strictement
positive
sur M telle queg2
=hg 1 .
Le théorème II.9 n’est
plus
vrai si onimpose g ponctuellement
conforme à g. Ilapparaît (sauf
pourRP2)
de nouvellesobstructions,de
nature différente d’ail- leurs si)((M) est
0 ou > 0 :THEOREME 11-10.-
(J.I.
Kazdan et F.W. Warner[KW7])
1)
Si h est = 0 solution pour toutde g h harmonique sphérique
=1-fie
sur la Fsphère
dedegré canonique
1 surS~, S~.
alors2)
Si)((M)
=0,
alors une fonction f sur M est la courbure scalaire d’unemétrique
si et seulement si elle estidentiquement
nulle ou bien elleprend
effectivement les deux
signes
et vérifie 0 pour toute solution w de A w=-X .
g g
3)
Si)((M) 0,
alors une fonction f sur M est la courbure scalaire d’unemétrique
e g sur 14 si et seulement si il existe une fonction w sur M telle que -Aw Hg
-fe .En
particulier,
si f est la courbure scalaire dee g,
alors :a) l’unique
solution deRemarque : b)
n’est pas une conditionsuffisante ;
On ne sait pas sia)
l’est.Les méthodes de démonstration sont très
différentes, puisqu’on
n’aplus
lesdifféomorphismes
pour passer du local auglobal.
Ils’agit
de résoudrel’équation
en h :
A
Je 2h
g g
(g
et f étantdonnées)
et Kazdan et Warner utilisent la méthode des sur-et sous-solutions.
Démonstration de 1 : Soit X une transformation infinitésimale conforme.
Puisque l’intégrale
deDirichlet f
S
2|dh|2Vg
g est un invariant conforme on aLa
divergence
6X de X est uneharmonique sphérique
dedegré
1 surS2 (et
on les obtient toutes
ainsi),
donc 26X etEt finalement 0.
Enfin
X(f) = df,d(SX)>.
On obtient enfin d’autres résultats
positifs
par la méthode du calcul des va-riations et de
l’équation
d’Euler :THÉORÈME
II-11.-(J.
Moser[M02])
Sur leplan projectif canonique
une fonction est la courbure scalaire d’unemétrique e2hgo
si et seulement si elle eststrictement
positive
en au moins unpoint.
La démonstration utilise la détermination
(par
Moser[MOI])
de la meilleure constante dans uneinégalité
deTrudinger
sur la fonctionexponentielle [TRI].
Par des méthodes
similaires,
on a :THEOREME
II-12.-(T.
Aubin[AU5])
Pour toute fonction fC
sur lasphère S2
ca-nonique
avecJS2f v
>0,
il existeF(f) harmonique sphérique
dedegré
1 telleque Ah+1 =
(f-F(f))e2h
ait une solutionC .
THÉORÈME
II-13.-(M.S. Berger [BE2])
SiX(M) 0,
et si la fonction f sur Mest
0,
f est la courbure scalaire d’une et une seulemétrique
riemannienne ponc- tuellement conforme à g sur M.Remarques
1)
PourX(M) 0,
le théorème 11-13 donne enparticulier
une démonstration du théorème de lareprésentation
conforme. PourX(M) = 0,
celui-ci se démontre en ré-solvant
Ah = - 3C S
avec 0. PourX(M)
>0,
voir[BEI].
2)
Il y a une autre démonstration du théorème II-13 par le théorème d’inversion locale dans[KW8].
3)
Des résultatspartiels
sur les surfaces avaient été obtenus par H. Gluck([GL])
et D. Koutroufiotis([KO]) .
4) Remarques
sur la "forme de courbure"Sur une
surface,
la "forme de courbure" de g est(dans
le casorientable)
la2-forme
Je v .
A titre decomparaison,
on va voirqu’il
estbeaucoup plus
facile de caractériser les formes de courbure que les courbures scalaires.THEOREME II-14.-
(N.R.
Wallach et F.W. Warner[WW))
Soit(M,g )
une surface rie-mannienne connexe orientable. Alors une 2-forme w sur M est la forme de courbu-
re de g =
e2f go
si et seulement si2nX(M) .
Démonstration : La nécessité vient évidemment de la formule de Gauss-Bonnet. Soit maintenant la forme de courbure de
g .
Alors0,
donc par le théo-rème de
Hodge,
il existe une 2-forme a telle que Aa = . Et il suffit de pren- dre f = *a.III - DESCRIPTION
GENERALE
DES COURBURES SCALAIRES EN DIMENSIONSUPERIEURE
OUEGALE
A 3.
1)
Enoncé du théorèmegénéral
Comme on l’a vu, une
partie
de la démonstration du théorème II-1 est valable entoutes dimensions. Par contre, la formule de Gauss-Bonnet et le théorème de la re-
présentation
conforme sont propres à la dimension deux. Lapremière
seraremplacée
par des obstructions
(topologiques) -à
l’existence demétriques
riemanniennes à cour-bure scalaire
positive
ou nulle(qu’on
étudiera auparagraphe IV)
et le second par laconjecture
de Yamabe. On obtiendra commeanalogue
du théorème II-1 le :THEOREME III-1.-
(d’après [KW10])
Les variétés compactes connexes de dimensionn ?
3 peuvent serépartir
en trois classes :(A)
Il existe sur M unemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive
ou nul-le et non
identiquement
nulle.Alors toute fonction sur M est la courbure scalaire d’une
métrique
rieman- nienne.(B)
Il existe sur M unemétrique
riemannienne à courbure scalaire nulle et M~(A) .
Alors une fonction sur M est la courbure scalaire d’une
métrique
riemannienne si et seulementsi,
ou bien f estidentiquement
nulle ou bien f est stricte-ment
négative
en au moins unpoint.
(C)
Il n’existe sur M aucunemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive
ounulle.
Alors une fonction sur M est la courbure scalaire d’une
métrique
riemannienne si et seulement si f est strictementnégative
en au moins unpoint.
Exemples : S
E(A), T
E(B), T . T
E(C),
comme on le verraplus
loin.2)
Laconjecture
de YamabeOn
désigne
traditionnellement sous ce nom l’énoncé suivant :Conjecture
III-2.- Soit(M,g)
une variété riemannienne compacte connexe. Alors il existe sur M unemétrique
riemannienneponctuellement
conforme à g à courbure scalaire constante.Cette
conjecture
fut énoncée comme théorème par H. Yamabe[YA].
Puis N.S. Tru-dinger [TR2]
a trouvé une erreur dans ladémonstration, qu’il
a pu redresser sousdes
hypothèses restrictives,
celles-ci ayant été ensuite améliorées par T. Aubin[AU2,3].
Pour énoncer le résultatactuel,
on introduit un invariant :DEFINITION
III-3.-([YA])
Sur(M,g),
on notera :L’intérêt de
apparaît
parl’équation
d’Eulercorrespondante :
si f 4réalise le minimum
~(g),
alorsfn-2g
a une courbure scalaire constanteégale
àu(g).
Celui-ci a lespropriétés
suivantes :THEOREME
III-4.-(T.
Aubin[AU2])
1)
est un invariant conforme(c.a.d. p(g)).
2) ~(g) o n(n-l)w2/n
oùa) n est
le volume dela sphère canonique Sn.
3)
Pour lasphère canonique
n
Sn, p(g) =
Le meilleur résultat actuel vers la
conjecture
de Yamabe est le :THEOREME
111-5.-(T. Aubin,
N.S.Trudinger,
H.Yamabe)
Soit(M,g)
une variété rie- mannienne compacte connexe de dimension n ~ 3 et de volume 1.Si p(g) n(n-t)(jo
, il existe sur M unemétrique
riemannienneg
ponc- tuellement conforme à g, à courbure scalaire constanteégale
à et de volu-me 1. De
plus g
estunique
si est 0.Démonstration
(esquisse)4:
On a d’abord facilement le :LEMME III-6.- Si
g = fn 2g,
la courbure scalaire u deg
vérifie :Puis,
si f réalise le minimumet Mfn-2vg
= 1,alors u
est constanteéga-
le à
p(g).
Il suffit donc de montrer que est atteint pour une fonctionC .
L’idée de Yamabe a été d’étudier d’abord
l’équation :
On montre
(à
l’aide de l’inclusion compacte deH2
dansL ) qu’elle
a tou-jours
une solutionf positive,
avec 1 ;que y
tend vers si qtend vers et
qu’il
estpossible
d’extraire une sous-suite des fqui
con-verge faiblement n+2 dans
H21,
fortement dansL2
et presque partout n+2 vers f EHl,
avec
convergent
faiblement dansL2n n-2
versf
. Grâce auprincipe
dumaximum,
la limite faible f est soitidentiquement nulle,
soit strictementpositi-
ve. On élimine la
première possibilité
par une minoration àpriori
de~fq~2
utili-sant la détermination de la meilleure constante dans les
inégalités
de Sobolev due à T. Aubin[AU4].
Alors f vérifiel’équation
et elle estC grâce
au théorème derégularité elliptique ([TR2]).
Remarque :
Iln’y
a pas unicité deg
engénéral
si~(g)
>0,
mais c’est le cas si g est Einstein(c.a.d.
pconstante) ([AU2]).
Dans
l’application
au théorèmeIII-l,
on utilise la continuité de pour éviter la mauvaisevaleur,
ainsi que le :THÉORÈME
III-7.-(T.
Aubin[AU2],
A. Avez[AV],
H.Eliasson[EL])
Sur toute variété compacte M de dimension n ~3,
il existe unemétrique
riemannienne g avec0.
Démonstration : Des calculs
explicites
exhibent des déformationsgt
de g à cour-bure
totale Mugtvgt négative
pour tgrand,
et ceci bornesupérieurement
COROLLAIRE III-8.- Si M admet une
métrique
riemannienne à courbure scalaireposi-
tive ou
nulle,
elle admet unemétrique
riemannienne à courbure scalaireidentique-
ment nulle.
Pour terminer la démonstration de la
conjecture
deYamabe,
il suffirait de dé- montrer la :Conjecture
III-9.-(T. Aubin)
Si(g) = n(n-1)w2/n,
, alors(M,g)
est conforme àune
sphère canonique S a
courbure constante.T. Aubin a obtenu dans cette direction les résultats suivants :
THÉORÈME
III-10.-([AU2])
Sip(g) = n(n-1)w
, alorsa)
si n6, (M,g)
est conformémentplate (c.a.d.
localement conforme à unemétrique
riemannienne à courbure sectionnellenulle).
b)
si(M,g)
est conformémentplate
et son groupe fondamental estfini,
alors(M,g)
est conforme à lasphère canonique.
Il démontre
a)
par undéveloppement
limité sur une famille de fonctions à sup- portpetit
dans M. Pourb),
il utilise le fait queu(g),
si il estatteint,
dimi-nue strictement par un
quotient (revêtement)
fini.3)
Précisions conformesComme dans le cas des
surfaces,
on a des résultatsplus précis
dans les classes conformes.THÉORÈME
III-11.-([KW8])
Soit(M,g)
une variété riemannienne compacte connexe de dimension n ~ 3.Alors une fonction f sur M est la courbure scalaire d’une
métrique globale-
ment conforme à g si et seulement si elle vérifie la condition
(C)
suivante :(CI)
si 0 , ou si(M,g)
est conforme à lasphère canonique,
f est strictement
positive
en au moins unpoint.
(C2)
siu(g) - 0,
f estidentiquement
nulle onprend
effectivement les deux si- gnes.(C3)
si0,
f est strictementnégative quelque
part.La démonstration est voisine de celle du théorème
II.6,
enremplaçant
le théo-rème de la
représentation
conforme par laconjecture
de Yamabe.Dans le cas
ponctuellement conforme,
les résultats sontbeaucoup
moins com-plets.
Les obstructions du théorème II-Il segénéralisent :
THEOREME III-12.-
([KW7])
1)
Si f est une solution strictementpositive
desur la
sphère canonique Sn, alors J fdu,dF>v =
0 pour touteharmonique sphéri-
que F de
degré
1 surSn.
2) 4
Si(M,g)
vérifieu(g) - 0,
alors la courbure scalaireug
deg = fn 2g
estidentiquement
nulle ou bienprend
effectivement les deuxsignes
et vérifie : 0.20142014201420142014 ~ g g
3)
Si 4(M,g)
est à courbure scalaire alors la courbure scalaireao g
de
g = fn 2g
est telle quel’unique solution ~
desoit strictement
positive.
Enparticulier,
g 0.
On ne sait pas si ces conditions nécessaires sont
suffisantes ;
on a d’autre part des résultats d’existence mais leproblème général
est loin d’être résolu.THEOREME
III-13.- 2a) [AU5]
Soit uCOO
surSn,
u > 0 et vérifiant : sup u2
inf u. Alors il existe uneharmonique sphérique F(u)
dedegré
1 telle quen+2
4
(u-F(u))f
ait une solution
C~
strictementpositive
b) [KW7]
Si(M,g)
vérifie 0 et u est strictementnégative,
ilexiste une et une seule fonction f telle que u soit la courbure scalaire 4
de
3i = f n-2 g.
IV - OBSTRUCTIONS
TOPOLOGIQUES
A L’EXISTENCE DEMETRIQUES
RIEMANNIENNES A COURBURE SCALAIRE POSITIVE.Il reste à
répartir
les variétés compactes dans les classes(A), (B), (C)
du théorème IIL 1 .1) Quelques exemples
Les espaces
homogènes
compacts différents des tores sont desexemples
dans la classe(A).
On aplus généralement
dans ce sens le :THÉORÈME
IV -1.-(H.B.
Lawson et S.T. Yau[LY])
Si la variété compacte connexe M admet une S3- ouSO(3) -
action nontriviale,
il existe sur M unemétrique
rie-mannienne à courbure scalaire strictement
positive.
La démonstration utilise le
quotient
M -~M/G
et les formules de 0’Neill pour les submersions([ON]),
en remarquant que les orbitesprincipales
ont desmétriques
invariantes à courbure scalaire
positive.
Remarque :
Le théorème n’estplus
vrai pour lesS1-actions
comme le montreral’exemple
des tores.Enfin,
si M E(A),
MxN E(A).
Pour étudier la classe
(B),
on a le :THEOREME
IV-2.-(J.P. Bourguignon [B01])
Si M est dans la classe(B),
toute mé-trique
riemannienne à courbure scalaire nulle sur M est à courbure de Ricci nulle.La démonstration
procède
par variation de g,grâce
à la formule pourU’(g) (qui
contientr).
Remarque : Plus
généralement,
si~(g)
estcritique
en g et atteinte parf,
la4
métrique f g
est Enstenc.a..
p estconstante).
Mais la
réciproque
du théorème IV.2 n’est pas vraie : la"quintique"
(x5+y5+z5+t5+u5 = 0)
de CP4 est une variété compacte 1-connexe, de dimension réelle 6qui
admet à la fois unemétrique
riemannienne à courbure de Ricci nulle(grâce
à la solution de laconjecture
deCalabi,
voir[B02], [CA])
et unemétrique
riemannienne à courbure scalaire strictementpositive (Corollaire
V.4ci-après).
Par contre la
quartique
deCP3
donne unexemple
de variété compacte l-connexe de dimension 4 dans la classe(B).
Les variétés riemanniennes compactes à courbure de Ricci nulles ne sont pas encore classées. On a en
particulier parmi
elles les variétésplates (c.a.d.
à cour- bure sectionnellenulle,
comme les toresplats)
et des variétés kählériennes àcI nul("conjecture
deCalabi").
On a enfin le :THEOREME
IV-3.-(J. Cheeger
et D. Gromoll[CG])
Si M est une variété riemannienne compacte à courbure de Riccinulle,
son revêtementuniversel M
est leproduit
rie-mannien d’un espace euclidien et d’une variété riemannienne l-connexe
compacte
à courbure de Ricci nulle.Enfin la classe
(C)
contient enparticulier
les variétéshyperboliques
et les solvariétés nonplates. (voir
théorème IV -16ci-après).
2)
Une obstruction par leshypersurfaces
minimalesRappel :
Unehypersurface
N(c.a.d.
sous-variété de codimensionun)
compacte d’une variété riemannienne(M,g)
esta)
minimale si la dérivéepremière
du volume dans toute variation de N est nulle en N.b)
stable si la dérivée seconde du volume estpositive
ou nulle en N.THEOREME
IV-4.-(R.
Schoen et S.T. Yau[SY3])
Si(M,g)
est une variété rieman- nienne compacte de dimension n ~3,
à courbure scalaire strictementpositive,
et siN est une
hypersurface
compacte minimale stable-de M, alors il existe sur N unemétrique
riemannienne à courbure scalaire strictementpositive.
Démonstration : Pour la famille de déformations de N donnée par une
fonction cp
sur N, le
long
du vecteur unitaire normal n, la dérivée seconde duvolume, est
0(où
II est la2e
formefondamentale).
D’après
les formules deGauss-Codazzi,
Puisque u~
>0,
on a doncet en
particulier,
si dimM ~ 4,
est > 0.On en déduit par
exemple :
THEOREME IV-5.- Soit M une variété compacte orientable de dimension 3. Si contient un sous-groupe
isomorphe
à celui d’une surface compacte de genre ~1,
alorsM n’a pas de
métrique
riemannienne à courburepositive
ou nulle nonidentiquement
nulle.
Voir
l’exposé
récent de L. Lemaire à Bourbaki([LE])
pour la démonstration(difficile)
de l’existence de surfaces minimales stables dans ce cas.Exemple d’application :
Toutemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive
ounulle sur T3 est
plate.
En combinant les deux théorèmes
précédents
avec d’autres constructionsd’hyper-
surfaces minimales stables et les autres obstructions
ci-après,
onobtient,
pour n ‘~7,
des obstructions"par
récurrence" à l’existence demétriques
à courbure sca-laire
positive,
parexemple
pourTn (n 7).
Pour des énoncésdétaillés,
voir[SY3].
Ces méthodes ne marchent pas, pourl’instant,
si n ~ 8 à cause del’appari-
tion
possible
desingularités
intérieures dans leshypersurfaces
minimales(voir
[BI]).
Remarque :
En dimension3,
en utilisantplusieurs conjectures classiques,
il sui-vrait
du théorème IV.S que les seules variétés compactes orientables de dimension 3admettant des
métriques
riemanniennes à courbure scalairepositive
seraient les som-mes connexes finies de p
exemplaires
deS2xSl
et de qquotients
deS3
par desgroupesfinisd’isométries opérant
sanspoint
fixe(voir
Corollaire V-5ci-après).
3)
L’obstructionspinorielle
Rappel : a)
Une structurespinorielle
sur une variété riemannienne orientée(M,g)
est un revêtement à 2 feuillets du fibré
principal
tangent, dont les fibres sont le revêtementSpin (n)
deSO(n).
De telles structures existent si et seulement siw2(M) - 0
et elles sont classifiées parHl(M, Z 2 ).
b)
Sur une variétéspinorielle,
on construit le fibré desspineurs S, correspondant
à lareprésentation spinorielle (complexe)
deSpin (n).
Comme celle-ci est un espace de
représentation
del’algèbre
deClifford,
on a uneopération
na-turelle du fibre en
algèbres
de Clifford construit sur TM, sur le fibré S. On mu-nit celui-ci de la connexion D induite par la connexion de Levi-Civita et on défi-
nit
l’opérateur
de Dirac P sur S par :Ps = 03A3 X..DX.s,
où X. est une base or-i 1 i l
thonormée locale sur M. C’est un
opérateur elliptique autoadjoint
d’ordre 1. La di-mension de son noyau
dépend
de g engénéral ([HI]),
bien que ce soit un invariant conforme. En dimensionpaire,
S est naturellement la somme directe de 2 fibrésS
et S _
échangés
par P.c) J.
Milnor a défini dans[MI]
unhomomorphisme
d’anneausurjectif :
a : KO
-* (point)
tel que :(on rappelle
queA(M)
est un nombrecaractéristique (entier),
défini àpartir
desclasses de
Pontrjaguin
par des relations universelles(à
coefficientsrationnels) [HH]).
Le théorème de l’indiced’Atiyah
etSinger
nous donne pour P :THEOREME IV-6.-
([AS]
III etV) :
Si n =
4h, dim(Ker PtS+)-dim(Ker Pf-) = A(M)
Si n =
8h+1, dim(Ker P) - a(M)(mod 2)
Si n =8h+2, dim(Ker a(M)(mod 2).
Le résultat fondamental pour la courbure scalaire est le :
THEOREME IV-7.-
(A.
Lichnérowicz[LI])
Si(M,g)
est une variétéspinorielle
com- pacte connexe à courbure scalairepositive
ou nulle et nonidentiquement nulle,
alors le noyau de P est réduit à zéro.Démonstration : On a la formule :
COROLLAIRE IV-8.-
(A.
Lichnérowicz[LI],
N. Hitchin[HI])
Si la variété compacteconnexe M
spinorielle
admet unemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive,
alors
a(M) =
0.Exemple :
Il existe en dimension 8h+1 et 8h+2 dessphères exotiques
aveca(M) *
0 : elles n’admettent donc aucunemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive.
Remarque :
Si u =0,
le noyau de P est formé despineurs parallèles.
4)
Obstructionspinorielle
et fibresplats
M. Gromov et H.B. Lawson ont
remarqué (dans [GL1])
que le théorème de Lichné- rowicz est encore vrai si on tensorise le fibréspinoriel
par les fibresplats
et sion considère la famille
d’opérateurs
différentiels obtenue. Ils introduisent d’abordune
généralisation adaptée
deA(M).
Soit M une variété compacte
spinorielle
de dimension2n,
et T sa "variété de Picardréelle",
c.a.d. T est le toreHom(03C01(M),IR)/Hom(03C01(M),Z).
On a sur MxTun fibré vectoriel
complexe
de dimension un naturel défini ainsi :Sur les fibres
Mx{y}
de MxT -> T, lefibré ç
est le fibréplat
défini par y, que l’on peut tensoriser avec le fibré desspineurs
de M.L’opérateur
de Diracs’étend à ce nouveau fibré
(via
la connexionproduit tensoriel)
et on a donc une fa- milled’opérateurs Py
indexés par T.L’indice de la famille
{P}
est un élément deH*(T,Z),
que l’on calcule parle théorème de l’indice à
paramètre ([ASIV]).
On pose donc :DÉFINITION IV-9.-Â(M) = {ch ~.A[M]}[M] (où A[M]
est ici laA-classe
totale[HH]).
On a aussi une définition
plus "géométrique"
de~1(M) :
soit une base deHl (M,Z)
et la base duale deHl(T,Z).
Pour tout1 =
~il...ip}
avec2n-p =
0(mod 4),
soitMI
une sous-variété compacte deM,
à fibré normaltrivial,
duale de la classe AlorsMaintenant le théorème de Lichnérowicz se
généralise
en :THEOREME
IV-10.-(M.
Gromov et H.B. Lawson[GLI])
Si M compactespinorielle
de dimension 2n admet unemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive,
alorsÂ(M) =
0.Exemple : )
* 0(prendre
1 ={1,...,2n}
et pourMI
unpoint).
DEFINITION IV-11.- Si f : M -~ N est différentiable avec M compacte et
dim M-dim N - 0
(mod 4),
on noteA(f) = A(f 1(x))
où x est une valeurrégulière
de f.
COROLLAIRE IV-12.- Si M est compacte
spinorielle
et si il existe uneapplication
différentiable f :M n -~ Tn-4k
avecÂ(f)
*0,
alors M n’admet pas demétrique
riemannienne à courbure scalaire
positive.
Enparticulier,
c’est vrai pourTn.
5)
Obstructionspinorielle
et groupe fondamentalEn
fait,
le théorème de Lichnérowicz est encore vrai si on tensorise le fibré desspineurs
par un fibré à connexion dont la courbure est"petite"
devant la cour-bure scalaire. Pour
exploiter
cerésultat,
Gromov et Lawson introduisent dans[GL1]
la : .
DÉFINITION
IV-13.- Une variété riemannienne compacte est dite"enlargeable"
en di- mension p si pour tout e >0,
il existe un revêtement finispinoriel ME
de Met une
application
différentiable f :~ ~ SP,
e -contractante, avecA(f)
* 0.En
fait,
cette notion nedépend
que du typed’homotopie
de M . On obtientalors,
en utilisant un fibrécomplexe
E surS2p
avec c(E)
*0,
le :THEOREME
IV-14.-(M.
Gromov et H.B. Lawson[GL1])
Si M estenlargeable
en dimen- sion n, M n’a pas demétrique
riemannienne à courbure scalairepositive.
Pour construire des variétés
enlargeables,
ondispose
de la :PROPOSITION IV-15.- Si
Mn
estenlargeable
en dimension n et si il existe f : N .-~ M vérifiantw2(N) =
kf*w2 {M)
etA(f) ~ ~
$0,
alors N estenlargeable
en dimension n.Les
exemples principaux
sont donnés par le : THEOREME IV -16 . -([GL1])
a)
SiMn
compacte admet unemétrique
riemannienne à courbure sectionnelle né-gative
ounulle,
si M admet un revêtement finispinoriel
et siTIl(M)
est rési-duellement
fini,
alors M estenlargeable
en dimension n.b)
Toute solvariété compacte de dimension n estenlargeable
en dimension n.Rappels : a)
Un groupe est résiduellement fini si l’intersection de ses sous-groupesdistingués
d’indice fini est réduite à l’élément neutre.b)
Une solvariété est lequotient
d’un groupe de Lie résoluble par un sous- groupe discret.Exemple :
Si M esthyperbolique (c.a.d. j
E=-1) . compacte,
alorsnl(M)
est rési-duellement
fini
et il existe un revêtement finispinoriel.
La démonstration de
a)
utilise essentiellement l’inverse del’exponentielle
enun
point
dans le revêtement universel de M(elle
est1-contractante).
Pourb)
on raisonne par récurrence : il y atoujours
une fibrationplate
M -> SI de fibre une solvariété.V - CONSTRUCTIONS DE
METRIQUES
RIEMANNIENNES A COURBURE SCALAIRE POSITIVE1)
Utilisation deschirurgies
THEOREME
V-1.-(R.
Schoen et S.T. Yau[SY3])
SoientMi
etM2
deux variétés rie- manniennes compactes à courbure scalairepositive
de même dimension n et deux sousvariétés compactes de dimension
k ~ n-3, NI
dansMl’ N2
dans Si il existeun
difféomorphisme fibre (p
du fibre normal àNI
sur le fibré normal àN~,
alorsla variété M obtenue en enlevant des
voisinages
tubulaires deNI
etN2,
et enidentifiant
les fibres ensphères
via (p, admet unemétrique
riemannienne à courbure scalairepositive.
Démonstration : Soit
D(~) - {x
EE}.
Onchange
lamétrique
deD(g~)-D(E2) (EI
1 >EZ)
de telle sortequ’elle
nechange
pas auvoisinage
dequ’elle
devienneisométrique
auproduit
d’un intervalle par unemétrique
deau
voisinage
decelui-ci,
etqu’elle
reste à courbure scalairepositive.
C’estpossi-
ble parce que, pour epetit, 3D
est un fibré sur N de fibre unesphère
de di-mension et sa courbure scalaire est
positive (et
tend vers l’infini si£ tend vers
0).
Remarque :
Schoen et Yauprocèdent
par des déformationsconformes ;
Gromov et Lawsonont une démonstration
plus géométrique
dans[GL2] (dans
le casparticulier qui suit).
COROLLAIRE V-2.-
(R.
Schoen et S.T. Yau[SY3],
M. Gromov et H.B. Lawson[GL2])
SiM est une variété compacte à courbure scalaire
positive,
toute variété obtenue àpartir
de M par une succession dechirurgies
decodimension > 3
admet une métri-que riemannienne à courbure scalaire
positive.
Exemple :
La somme connexe de deux variétés de la classe(A)
est dans la classe(A).
2)
Le cassimplement
connexeTHEOREME
V-3.-(M.
Gromov et H.B. Lawson[GL2])
a)
Une variété compacte l-connexe nonspinorielle
de dimension n ~ 5 admetune
métrique
riemannienne à courbure scalairepositive.
b)
Si M est une variété compacte 1-connexespinorielle
de dimensionn ~ 5
avec
a(M) =
0 il existe m tel que la somme connexe de mexemplaires
de M ad-mette une
métrique
riemannienne à courbure scalairepositive.
Démonstration : Grâce à la
simple connexité,
on peut construire M par des chirur-gies
decodimension >
3 àpartir
d’ungénérateur
du cobordisme orienté dans le casa) ;
du cobordismespinoriel
dans le casb)
et on connait suffisamment cesgénéra-
teurs pour avoir le théorème.
Remarque :
Onconjecture
en faitqu’on
peutprendre
m = 1 dansb) ;
il manque pour l’instant unedescription
suffisammentexplicite
degénérateurs
de la torsion deKer a ,