Indiscrétions aux interfaces

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Indiscrétions aux interfaces

Adrien Benusiglio

To cite this version:

Adrien Benusiglio. Indiscrétions aux interfaces. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Ecole Poly-technique X, 2013. Français. �pastel-00860739�

THESE DE DOCTORAT Spécialité Mécanique

Présentée par

Adrien BENUSIGLIO

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Indiscrétions aux interfaces

Soutenance prévue le 21 juin 2013 devant le jury composé de :

M. Christophe Clanet Directeur de thèse M. Yann Doutreleau

M. Detlef Lohse

M Patrice Meunier Rapporteur

M. Frédéric Moisy Rapporteur

Table des matières

I

Explosions à la surface de l’eau

5

1 Introduction 7

1.1 Contexte . . . 7

1.2 Rappel sur les cavités . . . 8

1.2.1 Cavité d’impact dans un liquide . . . 8

1.2.2 Cavité d’impact sur un solide . . . 9

2 Explosions non confinées 11 2.1 Montage expérimental . . . 11

2.2 Résultats . . . 12

2.2.1 Résultats qualitatifs . . . 12

2.2.2 Résultats quantitatifs . . . 13

2.3 Modèle de conservation de l’énergie . . . 14

2.4 Modèle potentiel. . . 16 2.5 Ecoulement réel . . . 19 2.6 Impacts et explosions . . . 20 2.7 Conclusion . . . 23 3 Explosions confinées 25 3.1 Introduction . . . 25 3.2 Montage . . . 25 3.3 Résultats . . . 26 3.4 Modélisation . . . 27

3.5 Les tubes ou la vidange impossible, les jets. . . 31

3.6 Article . . . 33

II

Interaction d’un anneau tourbillonnaire avec une surface

51

4.1.1 Contexte . . . 53

4.1.2 Formation des tourbillons . . . 53

4.2 Tourbillons et vorticité . . . 54

4.2.1 Vitesse dans le tourbillon . . . 54

4.2.2 Vorticité . . . 55

4.3 Zone externe du tourbillon . . . 55

4.3.1 Circulation . . . 55 iii

iv TABLE DES MATIÈRES

4.3.2 Lois de conservation . . . 56

4.3.3 Analogie électromagnétique . . . 57

4.3.4 Filament de vorticité (r >> a) . . . 58

4.3.5 Interaction entre tourbillons . . . 58

4.3.6 Stabilité des tourbillons . . . 59

4.4 Coeur du tourbillon et formation de la vorticité . . . 62

4.4.1 Equation de la vorticité et théorème de Kelvin . . . 62

4.4.2 Structure des tourbillons . . . 62

4.4.3 Origine des tourbillons . . . 64

4.5 Anneaux tourbillonnaires . . . 67

4.5.1 Introduction . . . 67

4.5.2 Formation et études d’anneaux tourbillonnaires . . . 67

4.5.3 Observations . . . 68

4.5.4 Commande du piston et caractéristiques de l’anneau . . . 68

4.5.5 PIV . . . 70

4.5.6 Structure des anneaux tourbillonnaires . . . 71

5 Impact d’un anneau tourbillonnaire sur une surface 77 5.1 Introduction . . . 77 5.1.1 Contexte . . . 77 5.1.2 Interaction vortex-surface . . . 78 5.1.3 Diagramme de phase . . . 79 5.2 Montage expérimental . . . 81 5.3 Resultats expérimentaux . . . 84

5.3.1 Impacts doux dans l’éthanol . . . 84

5.3.2 Impacts doux dans l’eau . . . 87

5.3.3 Impacts forts . . . 91

5.4 Modèles et discussions . . . 92

5.4.1 Trajectoire d’un anneau tourbillonnaire à l’approche de la surface . 92 5.4.2 Trajectoires après formation d’anneaux secondaires . . . 98

5.4.3 Pincement de la surface . . . 101

5.5 Stabilité des tourbillons . . . 104

5.5.1 Observations . . . 104 5.5.2 Instabilité elliptique . . . 107 5.5.3 Instabilité de Crow . . . 108 5.6 Conclusion . . . 109 6 Bulles toroïdales 111 6.1 Introduction . . . 111 6.2 Montage expérimental . . . 112 6.3 Resultats . . . 113

6.3.1 Formation de la bulle toroïdale . . . 113

6.3.2 Trajectoires . . . 115

6.3.3 Relation volume - circulation . . . 116

6.3.4 Evolution du diamètre . . . 116

6.3.5 Evolution de la vitesse . . . 118

6.4 Entrainement à la surface . . . 119

TABLE DES MATIÈRES v

6.4.2 Bulles filles, étapes de formation . . . 119

6.4.3 Déformations 3-D . . . 120

6.4.4 Interpretation . . . 121

6.4.5 Critère de formation des bulles filles . . . 122

6.5 Conclusion . . . 123

III

Trainée de vague et sillage de surface

125

7.2 Ondes capillaro-gravitaires . . . 128

7.2.1 Dérivation de la relation de dispersion . . . 128

7.2.2 Analyse de la relation de dispersion . . . 129

7.3 Sillage de Kelvin . . . 131

7.4 Sillage d’un navire à haute vitesse . . . 133

7.5 Sillage instationnaire . . . 136 7.5.1 Expérience . . . 136 7.5.2 Simulation numérique . . . 137 7.6 Conclusion . . . 138 8 Trainée de vague 139 8.1 Introduction . . . 139

8.2 Montage expérimental de mesure de la trainée de vague . . . 141

8.3 Trainée de vague . . . 144

8.3.1 Dépendance de la trainée avec la profondeur . . . 144

8.4 Modèle et discussion . . . 145

8.4.1 Maximum de trainée . . . 145

8.4.2 Estimation via la méthode de l’image . . . 146

8.4.3 Comparaison avec les mesures . . . 146

8.5 Mesure de l’amplitude du sillage . . . 147

8.5.1 Dispersion de l’énergie par les vagues . . . 147

8.5.2 Dispositif optique . . . 148

8.5.3 Sonde à vague capacitive . . . 149

8.5.4 Profilométrie de surface . . . 149

8.6 Résultats expérimentaux . . . 150

8.6.1 Longueur d’onde . . . 150

8.6.2 Amplitude . . . 150

8.7 Modèle . . . 152

8.7.1 Modèle simple de l’amplitude . . . 152

8.7.2 Amplitude maximale . . . 153

8.7.3 Méthode de l’image . . . 154

8.7.4 Composante asymétrique du sillage . . . 154

8.8 Déviation à la théorie . . . 155

vi TABLE DES MATIÈRES

A Entrainement d’air par un périscope. 161

A.1 Introduction . . . 161

A.2 Dispositif expérimental . . . 162

A.2.1 Les bassins . . . 162

A.2.2 Les périscopes . . . 163

A.2.3 Profilometrie de surface . . . 165

A.3 Observations expérimentales . . . 165

A.3.1 Description qualitative . . . 165

A.3.2 Influence de la forme du périscope . . . 168

A.3.3 Vitesse critique d’entrainement . . . 168

A.3.4 Mesures au bassin d’essais des carènes . . . 169

A.3.5 Effet de la superhydrophobie . . . 170

A.4 Modèle théorique . . . 171

A.4.1 D < D∗ : instabilité de Rayleigh-Taylor ? . . . 171

A.4.2 D > D∗ Entrainement par un vortex unique ? . . . 174

A.5 Conclusion . . . 175

A.6 Etude d’un vortex unique . . . 176

A.6.1 Le montage . . . 176 A.6.2 Résultats . . . 177 B Ondes de Gavroche 179 B.1 Introduction . . . 179 B.2 Expérience . . . 180 B.3 Modèle . . . 181 B.3.1 Profil de l’écoulement . . . 181 B.3.2 Ondes stationnaires . . . 182 B.3.3 Ondes courbes . . . 183 B.4 Conclusion . . . 184

C Estimation du taux de croissance de l’instabilité de Crow entre deux tourbillons corotatifs asymétriques. 185 C.1 Position du problème . . . 185

C.2 Ecriture du problème . . . 186

C.3 Taux de croissance . . . 186

C.4 Solution . . . 187

D Champs de déformation de la surface par la méthode des images. 189 D.1 Introduction . . . 189

D.2 Estimation . . . 189

E Lissage de la surface par une anneau tourbillonnaire 193 E.1 Lissage de la surface . . . 193

E.1.1 Condition de suppression des vagues . . . 193

Remerciements

Pour faire une thèse il faut quelques ingrédients : un (ou deux) laboratoires, un (ou deux) chefs, une équipe, un (ou deux) clowns, un (ou deux) ateliers, et beaucoup de conseils. Il me faut maintenant écrire un (ou deux) remerciements.

Je commence par Christophe, qui m’a montré qu’il y a toujours un moyen d’avancer sur un problème si on y met de l’énergie, qu’on peut parler anglais sans l’accent, qu’écrire un article ça prend du temps, et qu’il nous fait confiance. Je continue avec David qui m’a montré qu’il y a toujours quelque chose de bien à tirer d’une mesure, qu’on peut réussir une présentation si on y met de l’énergie, qu’écrire un article ça peut être rapide, et qu’il nous fait confiance. Je les remercie tous les deux pour leur bonne humeur, leur disponibilité à des horaires incongrues, leurs invitations de dernière minute.

Un grand merci aux deux clowns (Caro et Bapt) qui ont animé ces trois ans, avec une inaltérable bonne humeur et une soif de matchs jamais épanchée.

Un grand merci aux anciens qui m’ont accueilli, même les grincheux (Jacopo), ceux qui ont la classe (Keyvan), celle qui est toujours disponible, même en pleine écriture (Marie), et celui qui est resté un peut plus longtemps que prévu pour notre plus grand bonheur (Alex). Je remercie le reste de l’équipe (Guillaume, Pascal, PBB, Dan, Raphaëlle, Anaïs, Phi-lippe), pour leur bonne humeur, leurs astuces, leur aide en usinage, la dispense de leur savoir et leur disponibilité. Je remercie les étudiants que j’ai côtoyés au cours de stages ou d’enseignements (Éline, Timothée, Louis, Simon, Benoit). Vive la coinche !

Je remercie l’équipe technique du Ladhyx (Caroline, Antoine et Dany) pour leur aide, toujours demandée à la dernière minute bien entendu.

Je remercie l’équipe technique du PMMH (Guillaume, Olivier et ceux que j’oublie) pour leur aide et ma formation accélérée à l’usinage.

Je remercie les équipes administratives du Ladhyx et du PMMH pour avoir toujours trouvé des solutions à mes demandes urgentes.

Je remercie bien entendu l’ensemble des laboratoires Ladhyx et PMMH pour leur ac-cueil.

Je dois spécialement remercier William Gilbert à Polytechnique et Ludovic Olanier à l’ESPCI, sans qui aucun montage n’aurait vu le jour.

2 TABLE DES MATIÈRES

Je remercie aussi la DGA Val de Reuil de m’avoir accueilli.

Je remercie Thomas Leweke, et Patrice Meunier pour leurs conseils, sur la théorie et sur les méthodes expérimentales. Je remercie Frédéric Moisy pour ses conseils et le prêt de ses codes.

Je remercie Élie Raphaël et Frédéric Chevy pour les longues discussions que nous avons eu.

Un grand merci à mon Jury de thèse et en particulier à mes rapporteurs.

Je remercie ma chère et tendre pour son aide tout au long de la thèse et de la rédaction.

Introduction

(a) (b) (c)

Figure 1 – (a) Explosion d’une bombe atomique sous-marine. (b) Surface de la mer lors de la plongée d’un sous-marin, vue par le périscope. (c) Sillage de surface formé lors de la traction d’une maquette de sous-marin.

Ce travail de thèse traite de trois types d’empreintes visibles à la surface de la mer, qui ont à la fois un intérêt défense et fondamental. Le premier est formé par une explosion de surface [figure 1 (a)]. On observe alors la formation d’un grand panache et d’une cavité. Les études ont jusqu’ici porté sur les explosions sous-marines, en milieu non confiné [1], près de parois solides [2], ou sur les dégâts qu’elles engendrent sur les navires à proximité [3]. Nous nous intéressons ici aux cavités formées par une explosion de surface. Nous étudions dans un premier temps les cavités formées lorsque l’explosion n’est pas confinée, et montrons dans le chapitre 2 que ces cavités ont une forme et une dynamique spécifiques. L’influence du confinement sur les explosions est traité au chapitre 3.

Le second thème concerne la furtivité des navires. Ceux-ci sont repérables au sillage qu’ils forment à la surface [4], composé d’un sillage turbulent, d’un sillage de vagues, et d’un sillage de bulles [5, 6, 7]. Ce dernier a une importance considérable pour les navires militaires dans la mesure où les bulles entrainent une modification de la vitesse du son [8], repérable par les SONAR qui équipent les torpilles. La formation et la durée de vie de ce sillage ont été étudiées en détail par François Caillé [9]. Les sillages de surface que nous étudions dans cette thèse ne sont pas formés par des navires de surface, mais par des objets sous-marins. Lorsqu’un sous-marin plonge, il forme une zone de remous visible bien après sa disparition [figure 1 (b)]. Afin de réduire la complexité du système nous étudions l’interaction d’un remous unique avec la surface. Un rappel sur les tourbillons et les an-neaux tourbillonnaires est fait au chapitre 4. Nous présentons au chapitre 5 l’interaction d’anneaux tourbillonnaires avec différents types de surfaces, avec une attention particu-lière à leur stabilité. Les trajectoires et impacts à la surface sont comparés à ceux qui sont observés avec des bulles toroïdales au chapitre 6.

4 TABLE DES MATIÈRES

Lorsque le sous-marin remonte à la surface, il forme un sillage de vague ou sillage de Kelvin [10, 11], avant même de traverser la surface [figure 1 (c)]. Ce problème fait l’objet de la troisième partie de la thèse. Le sillage est important parce qu’il rend visible l’objet sous-marin, mais aussi parce qu’il induit une force de trainée de vague [12]. Nous rappelons au chapitre 7 la construction du sillage de surface, en détaillant quelques cas particuliers. Nous mesurons au chapitre 8 la traînée de vague et le sillage de sphères immergées et montrons que les théories existantes doivent être complétées.

Même si chacune des parties "creuse" un domaine de l’hydrodynamique (cavités, dy-namique des tourbillons, ondes de surface) elles appartiennent toutes trois au domaine des haut-Reynolds incompressibles. Les équations d’Euler sous-tendent ainsi l’ensemble des analyses présentées dans ce travail.

Première partie

Explosions à la surface de l’eau

Chapitre 1

Introduction

Figure 1.1 – Explosion sous-marine d’une bombe atomique de 8 kilotonnes. Essai Hardtack Umbrella 1958, extrait de [13].

1.1

Contexte

Nous nous intéressons ici aux explosions à la surface de l’eau. La figure 1.1 présente ainsi l’explosion d’une bombe atomique placée sous la surface de l’eau lors d’un essai datant de 1958. L’explosion crée une cavité de largeur 2R surmontée par un panache d’une hauteur considérable. Un bateau placé au premier plan permet d’estimer un ordre de grandeur de R _{≈ 100 m. Une question naturelle qui se pose est la dépendance de la taille maximale de} la cavité Rmax et du temps d’ouverture de la cavité τ en fonction de l’énergie de l’explosion.

Lors d’un impact à la surface de l’eau la situtation est assez similaire. Le projectile transmet de l’énergie cinétique au fluide, ce qui crée une cavité dont la forme évolue. Dans la suite du chapitre un rappel sur les différents types de cavités est présenté, puis les résultats obtenus pour des explosions en milieu non confinées. Dans la dernière partie le rôle du confinement est abordé.

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

1.2

Rappel sur les cavités

1.2.1

Cavité d’impact dans un liquide

Les premières études sur les cavités ont été réalisées par A.M. Worthington en 1900 [14, 15], afin d’élucider le fait qu’une sphère rugueuse lâchée d’une faible hauteur puisse former une éclaboussure en entrant dans l’eau, quand une sphère lisse tombée de la même hauteur n’en forme pas. Les cavités étudiées dans la plus grande partie des travaux qui ont suivi sont formées par l’impact d’un solide (taille caractéristique R, vitesse U0, densité ρs)

dans un liquide (viscosité η, densité ρ, tension de surface γ), la densité du liquide étant plus élevée que celle de l’air (ρ/ρair >> 1). La vitesse minimale à partir de laquelle on

observe une cavité dépend de la mouillabilité du solide et de sa taille [16]. Les applications concernent les cavités formées par les impacts de balles [17] ou de torpilles [18], mais aussi la propulsion du lézard Basilic [19] ou l’entrainement d’air par les araignées d’eau [20]. Les différents types de cavités d’impact peuvent être classifiés à l’aide du diagramme de phase présenté sur la figure 1.2. Dans ce diagramme, la vitesse est adimensionalisée par η/ρR sur l’axe horizontal, et la taille par la longueur capillaire a =pγ/ρg sur l’axe vertical.

Régime inertiel Régime visqueux Régime gravitaire Régime capillaire

1

1

A

B

C

D

Figure 1.2 – Diagramme de phase des cavités d’impact. Les images présentées dans les zones A, B et C, ont été respectivement extraites de [21], [22], [23].

Lors de l’impact l’objet transfère une énergie de l’ordre de ρπR3U₀2/2 au fluide. L’axe horizontal compare l’inertie du fluide à la dissipation visqueuse, distinguant les cas pour lesquels l’énergie est dissipée par viscosité (Re < 1) ou bien conservée (Re > 1). Les forces qui entrainent la fermeture de la cavité sont soit gravitaires pour des cavités grandes devant la longueur capillaire, soit de tension de surface pour des cavités plus petites.

Ce diagramme de phase définit donc quatre types de cavités. Les cavités formées par de grands objets (par exemple des torpilles) se trouvent dans la zone A, pour laquelle le nombre de Reynolds ρRU₀/η et le nombre de Bond R/a sont grands. Ces cavités s’allongent dans la direction de pénétration puis se ferment en se pinçant à approximativement la moitié de leur hauteur. Le temps écoulé entre l’entrée de l’objet et le pincement évolue comme τ = pR/g, indépendament de la vitesse de l’objet [21, 16]. Le pincement provoque deux

1.2. RAPPEL SUR LES CAVITÉS 9 jets verticaux, dont la formation a été décrite en détail [24, 25, 26]. Pour ces cavités formées à vitesse élevée, la pression dynamique dans l’air ρairU02 peut être comparée à la pression

hydrostatique ρgU0τ par le rapport ρair_ρ

√

F r, où F r = U₀2/gR représente le nombre de Froude. Quand le nombre de Froude est grand par compré au rapport de densité eau/air, l’écoulement de l’air a une influence sur la dynamique et la fermeture de la cavité [27]. Pour des impacts formés à l’aide de plus petits objets à haut Reynolds (zone B), la tension de surface joue un rôle prepondérant pendant la fermeture de la cavité, ce qui forme des cavités ridées [28, 22]. Si le fluide est visqueux (zone C), on atteint un régime pour lequel l’objet impactant décélère avant la fermeture de la cavité [23]. Les cavités sont habituellement formées par l’impact de sphères ou de cylindres, mais d’autres géométries ont aussi été étudiées, tels les disques [29], ainsi que les impacts d’objets présentant une longueur d’onde contrôlée, qui donnent des cavités striées [30, 31].

1.2.2

Cavité d’impact sur un solide

Les cavités engendrées par l’impact de sphères sur des milieux granulaires peu denses ont des formes comparables, et se pincent en émettant un jet vertical, comme c’est le cas dans les fluides [32], [33].

Dans le reste du chapitre, nous considérerons des cavités formées non pas par un impact mais par une explosion.

Chapitre 2

Explosions non confinées

Sommaire

2.1 Montage expérimental . . . 11

2.2 Résultats . . . 12

2.3 Modèle de conservation de l’énergie . . . 14

2.4 Modèle potentiel. . . 16

2.5 Ecoulement réel . . . 19

2.6 Impacts et explosions . . . 20

2.7 Conclusion . . . 23

Nous discutons ici les cavités qui se forment quand on provoque l’explosion de pétards à la surface d’un bain d’eau. Nous nous demandons quelles sont la taille, la forme et la dynamique de la cavité en fonction de l’énergie de l’explosion.

2.1

Montage expérimental

Le montage expérimental est présenté sur la figure 2.1 (a). Les explosions ont lieu à la surface de l’eau dans une cuve transparente en Plexiglas de grande dimension (1 m de coté et 50 cm de profondeur). Le pétard est suspendu par un fil de nylon de manière à ce que son centre se trouve au niveau de la surface. Un autre montage permet de tenir la partie inerte du pétard avec une pince en bois, mais l’utilisation d’un fil réduit fortement les risques de projections de la pince dans la pièce. L’explosion est filmée de côté à la caméra rapide (Photron Fastcam SA3). On utilise des pétards du commerce de la marque Demon, qui se distinguent par leur forme plus ou moins allongée, et par la quantité de poudre qu’ils contiennent. Un pétard est constitué d’un rouleau de papier qui renferme en son centre une charge de poudre (a priori de la poudre noire, mélange de salpêtre, soufre et noir de carbone), maintenue entre deux bouchons de terre. La mèche traverse le bouchon supérieur et brûle sans apport d’oxygène, si bien qu’il est possible de faire exploser le pétard sous l’eau, en le plongeant après que la mèche a commencé à bruler dans le bouchon. On utilise les quatre types de pétards de la figure 2.1 (b), qui renferment une masse de 1, 1.3, 2 et 5 g de poudre.

L’explosion crée une brève surpression qui met l’eau en mouvement. On enregistre le son pendant l’explosion d’un pétard, en prenant soin de réduire l’écho. La figure 2.2 montre

12 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES (a)

50 cm

100 cm

(b)

Figure 2.1 – (a) Montage expérimental. (b) Les différents pétards utilisés, qui renferment, de gauche à droite, 1, 1.3, 2 et 5 g de poudre. Le trait noir représente 2 cm.

ainsi que la surpression dure moins de 1 ms.

−2 0 2 4 6 8 10 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (ms) δ P a rb it ra ry u n it s

Figure 2.2 – Enregistrement sonore de l’explosion d’un pétard de 1.3 g. La pression est présentée en unités arbitraires.

2.2

Résultats

2.2.1

Résultats qualitatifs

Les cavités obtenues sont hémisphériques, comme celle que montre la figure 2.3. L’évolution de la cavité frésultant de l’explosion d’un pétard de 1 g est présentée sur la figure 2.4. Pendant les 5 ms qui suivent la détonation, la caméra est aveuglée par le flash de l’explosion (image 1 à 2), mais on observe ensuite une cavité hémisphérique qui croit de ma-nière isotrope (image 2 à 7). L’expansion du fond de la cavité ralentit pendant que celle des bords se poursuit (image 8 et 9). Au temps Tmax, la cavité atteint sa profondeur maximale

Hmax; puis elle se referme, le fond accélérant vers le haut. La cavité prend alors une forme

2.2. RÉSULTATS 13

Figure 2.3 – Cavité formée par l’explosion d’un pétard contenant 2 g de poudre. La ligne noire indique la position de la surface, la barre noir fait 5 cm.

alors une forme générique en "w". Le jet devient bien visible lorsqu’il émerge de la surface libre de l’eau. On limite notre description à cette séquence ouverture/fermeture de la cavité.

Figure 2.4 – Chronophotographie de la cavité produite par l’explosion d’un pétard de 1 g. Les images sont espacées de 6 ms. La ligne noire représente 5 cm.

2.2.2

Résultats quantitatifs

La figure 2.5 (a) représente la profondeur de la cavité H au cours du temps, pour des cavités formées par les différents types de pétards. On observe que les courbes sont toutes similaires, avec une vitesse d’enfoncement qui décroit puis s’annule avant que la cavité ne se referme, avec une vitesse de fermeture croissante. Les essais se distinguent par un temps

14 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES Tmax plus ou moins long, qui s’accroit avec la profondeur maximale de la cavité Hmax. On

observe que les courbes sont symétriques droite/gauche par rapport à Tmax. Sur une courbe

tracée en axes logarithmiques [figure 2.5 (b)], on observe que la cavité croit suivant une loi de puissance à temps court, avec un exposant 0.41_±0.03.

(a) 0 0.05 0.1 0.15 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 t (s) H (m m ) (b) 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 t (s) H (m m ) 0.41 Hm ax Tm ax

Figure 2.5 – (a) Profondeur de la cavité H en fonction du temps, les symboles représentent les différents pétards utilisés : 1 g "_{•", 1.3 g "4", 2 g "∗" et 5 g "". (b) Profondeur de la cavité} formée par l’explosion d’un pétard de 1.3g en fonction du temps en échelle logarithmique.

2.3

Modèle de conservation de l’énergie

On propose ici un modèle de conservation de l’énergie afin de décrire la dynamique des cavités. On a montré que l’explosion crée une surpression qui met le fluide en mouvement sur un temps court devant le temps d’expansion de la cavité, puis que la pression revient à P0. On fait hypothèse que la vitesse du fluide est purement radiale à partir du centre de

l’explosion, pendant toute a phase d’expansion, donc que la cavité reste hémisphérique de rayon R(t). On évalue le nombre de Reynolds du problème à partir de nos observations : le temps d’expansion typique τ des cavités vaut 100 ms pour une profondeur de R = 10 cm ; le nombre de Reynolds correspondant Re = ρR2/τ η est donc de 105. Dans cette limite de haut nombre de Reynolds, on néglige la dissipation visqueuse.

Au moment de l’explosion une énergie E0 est transférée au bain sous forme d’énergie

cinétique. On suppose qu’au cours du temps cette énergie est ensuite conservée, et se répartit entre un terme d’énergie cinétique et un terme d’énergie potentielle.

Pour estimer l’énergie cinétique du bain il nous faut estimer la vitesse en tout point du fluide. La surface de la cavité se déplace à la vitesse ˙R, donc par conservation de la masse la vitesse du fluide à une distance r du centre de l’explosion s’écrit u(r) = R_r
2R. L’énergie˙ cinétique du fluide s’écrit donc, en utilisant les propriétés de symétrie de l’écoulement :

Ec= 4πρ Z ∞ R r2R 4 r4 R˙ 2_{dr = 4πρR}3_R˙2 _(2.1)

L’énergie potentielle est égale à l’opposé de l’énergie potentielle du fluide déplacé : Ep = 2πρg Z R 0 Z π/2 0 r2sin2θrdrdθ = π 2 8 ρgR 4 _(2.2)

2.3. MODÈLE DE CONSERVATION DE L’ÉNERGIE 15 On vérifie que l’on peut négliger la tension de surface en comparant l’énergie potentielle de la cavité Ep = π

2

8 ρgR

4 _{à son énergie de surface E}

γ = 2πR2γ. Ces énergies sont du même

ordre lorsque R = p16γ/πρg _{≈ 6 mm. Les cavités ayant toujours un rayon plus grand lors} de nos mesures, on néglige le terme de tension de surface.

En égalisant l’energie initiale E0 avec la somme Ec+ Ep, on obtient une équation de la

dynamique de la cavité : 4πρR3R˙2+π 2 8 ρgR 4 _{= E} 0 (2.3)

Aux temps courts, quand le rayon de la cavité est petit, l’énergie cinétique domine l’énergie potentielle et l’équation (2.3) se réduit à :

4πρR3R˙2 = E0 (2.4)

L’évolution du rayon de la cavité s’écrit alors : R =  E0 4πρ 1/5 t2/5 (2.5)

On vérifie sur la figure 2.5 (b) qu’aux temps courts le rayon dépend du temps à travers une loi de puissance d’exposant 0.42 proche de 2/5. Ce modèle nous permet d’estimer l’énergie E0, en ajustant le rayon de la cavité par une loi de puissance d’exposant 2/5 afin d’estimer

le préfacteur. Cette loi d’évolution en t2/5 est similaire à celle proposée par Taylor pour l’évolution de la poche de gaz chauds ("luminous globe") formée lors de l’explosion d’une bombe atomique [34].

Aux temps longs, l’énergie cinétique est transformée en énergie potentielle, l’expansion de la cavité ralentit et s’arrête. On déduit le rayon maximum de la cavité à partir de l’équation d’équilibre ( ˙R = 0 dans l’équation 2.3) :

Rmax =  8E0 π2_ρg 1/4 (2.6) Cette équation prédit que le rayon de la cavité dépend de l’énergie à la puissance 1/4. Sur la figure 2.6 (a), on trace le rayon maximum de la cavité en fonction de l’énergie à la puissance 1/4, l’énergie étant déduite en ajustant le rayon par l’équation (2.5) aux temps courts. Le rayon maximal varie bien selon la dépendance proposée, avec un préfacteur de l’ordre de 0.5. On déduit des équations (2.5) et (2.6) que Tmax dépend du rayon maximal de la cavité

suivant la relation suivante :

Tmax≈

s Rmax

g (2.7)

On peut ainsi adimensionner le temps par Tmax, et le rayon par Rmax. On trace sur la

figure 2.6 (b) le rayon adimensionné de plusieurs cavités en fonction du temps adimensionné, et on observe bien que toutes les courbes se regroupent sur une courbe maitresse.

Ce simple modèle "énergétique" prédit donc bien les dépendances du rayon maximum de la cavité et de son temps d’expansion en fonction de son énergie initiale. Mais ce modèle ne prédit pas la forme de la cavité en "w" pendant sa fermeture, ni l’apparition d’un jet, ce que nous cherchons à présent à corriger.

16 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ³ 8 E0 π2_ρg ´1 / 4 Rm a x (m ) (b) 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 tpg/Rm ax R / Rm a x

Figure 2.6 – (a) Profondeur maximale de la cavité en fonction de l’énergie initiale. (b) Profondeur adimensionnée de la cavité en fonction du temps adimensionné. "_{◦" pétard de 1 g, "+,∗" pétard} de 1.3 g, "_{4 ,∇,?" pétards de 2 g, "•" pétard de 5 g.}

2.4

Modèle potentiel.

A B

Figure 2.7 – Schéma du problème et notations utilisées.

On présente un modèle d’écoulement potentiel afin de décrire la dynamique de la cavité ainsi que sa forme, en s’inspirant du modèle proposé dans [21]. Comme estimé précédem-ment, l’écoulement se produit à haut nombre de Reynolds, et le liquide est initialement au repos. C’est pourquoi on suppose l’écoulement irrotationnel, donc décrit par un poten-tiel de vitesse φ. Afin d’estimer la vitesse d’expansion de la cavité, on écrit l’équation de Bernoulli généralisée :  ρ∂φ ∂t + ρu2 2 + p− ρgz B A = 0 (2.8)

où u = grad φ est la vitesse dans le fluide, g l’accélération de la gravité, p la pression et A et B deux points dans le fluide. Le problème est schématiquement représenté sur la figure 2.7 : le point A est choisi à la surface de la cavité [RA = R(θ)] et le point B sur la

surface libre loin de la cavité, là où la vitesse est négligeable. R(θ,t) représente la position de l’interface air/eau au cours du temps dans la direction θ. L’explosion crée une brève surpression, comme discuté précédemment, puis la pression dans l’air revient à P₀ pendant toute la durée d’expansion et de fermeture de la cavité (2.2). On néglige la tension de surface, si bien que la pression dans le liquide au niveau de l’interface est égale à P0. Avec

2.4. MODÈLE POTENTIEL. 17 ρ∂φ ∂t     A + ρu 2 A 2 − ρgzA= 0 (2.9)

On suppose que le mouvement est purement radial à partir du centre de l’explosion. Par conservation de la masse, on écrit, comme dans le modèle précédent : u(r) = R_r
2R.˙ L’équation de la dynamique de la cavité s’écrit alors, à partir de l’équation (2.9) :

R ¨R + 3 2 ˙

R2 =_−gRsinθ (2.10)

Une intégrale première de cette équation s’écrit : ρR3R˙2+1

2ρgR

4_{sinθ = E}

0 (2.11)

où la constante E0 a pour ordre de grandeur l’énergie injectée par l’explosion.

L’équa-tion (2.11) décrit donc la conversion de l’energie de l’explosion en énergie cinétique (ρR3R˙2) et potentielle (1₂ρgR4sinθ).

Á temps court, R est petit (R(t=0)=0) et l’équation (2.11) se réduit à R3R˙2 = E0/ρ, qui

ne dépend pas de θ. Comme dans le modèle présenté dans la section précédente, l’expansion est isotrope et le rayon de la cavité s’écrit R(t) =5₂pE0/ρ

2/5

t2/5.

La vitesse d’expansion ˙R(θ) décroit jusqu’à ce que le premier terme de l’équation (2.11) soit grand devant le second. Ce terme dépend de θ, ce qui introduit l’anisotropie de la ca-vité. Ce terme est maximal au fond de la cavité (θ = π/2) , et tend vers zéro sur les bords de la cavité (θ = 0 et θ = π). On en déduit que l’expansion du fond de la cavité s’arrête avant celle des bords, et qu’ensuite l’accélération de l’interface pendant la fermeture est plus importante au fond que sur les bords. Ces remarques sont en accord avec les observa-tions faites sur la figure 2.4.

Forme de la cavité

On résout l’équation (2.11) pour différents angles, et compare la forme de la cavité obtenue au cours du temps à un exemple typique sur la figure 2.8. La résolution numérique donne bien les caractéristiques de la cavité, avec une ouverture isotrope suivie par un apla-tissement et par la focalisation de l’écoulement sur l’axe de symmétrie. Notre modèle en revanche ne décrit pas l’éruption du jet lorsque l’écoulement n’est plus radial.

Figure 2.8 – Comparaison entre la forme de la cavité et la prédiction obtenue par résolution de l’équation (2.11). La chronophotographie présentée correspond à l’explosion d’un pétard de 1.3 g, les images sont espacées de 22 ms. la profondeur maximale de la cavité est de 10 cm.

18 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 ³ 2E0 ρg ´1/4 (cm) Hm a x (c m )

Figure 2.9 – Profondeur maximale de la cavité en fonction de E0. La ligne noire représente la

relation attendue par l’équation (2.12).

Ecrivant ˙R(Hmax) = 0 dans l’équation (2.11), on obtient la relation entre E0 et la

profondeur maximale de la cavité Hmax= Rmax(π/2) :

Hmax =  2E₀ ρg 1/4 (2.12) avec E0 déduit de l’équation d’expansion aux temps courts :

R(t) =  5 2 2/5 (E0/ρ)1/5t2/5 (2.13)

On trace sur la figure 2.9 la profondeur maximale de la cavité en fonction de 

2E0

ρg

1/4

et vérifie que l’on obtient une relation linéaire (avec un facteur de proportionnalité proche de l’unité), conformément à l’équation (2.12).

On déduit de l’équation (2.11) le rayon maximal de la cavité en fonction de θ : Rmax =  2E0 ρgsinθ 1/4 (2.14) Cette expression diverge lentement lorsque θ tend vers zéro, ce qui n’est pas observé expérimentalement. L’origine de la divergence vient de l’équation du mouvement pour θ = 0. Pour cet angle les particules d’eau n’acquièrent pas d’énergie potentielle ce qui induit que leur mouvement n’est jamais freiné. Dans l’écoulement réel les contraintes visqueuses entre couches de fluide font que les couches inférieures freinent puis entrainent les couches de fluide à la surface.

Adimensionalisation

On déduit de notre modèle que les dimensions naturelles du problème pour H et t sont respectivement, Hmax =  2E0 ρg 1/4 et τ = qHmax g . Ecrivant H ∗ _{= H/H} max et t∗ = t/τ .

On vérifie que les données se superposent bien sur une courbe maitresse en traçant H∗ en fonction de t∗ [figure 2.10 (a)]. On vérifie aussi que Tmax varie linéairement avec τ , avec un

coefficient proche de l’unité [figure 2.10 (c)].

Afin de vérifier que la prédiction du modèle est valable quelque soit θ (sauf pour θ_{→ 0),} on trace le rayon de la cavité au cours du temps à l’angle θ = π/4 sur la figure 2.10

2.5. ECOULEMENT RÉEL 19 (a) 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t∗ H∗ (b) 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 R (π / 4 )/ Hm a x t∗ (c) 0 0.05 0.1 0.15 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 τ (s) Tm a x (s )

Figure 2.10 – (a) Profondeur adimensionnée pour différentes explosions en fonction du temps. Les symboles représentent : "_{◦" pétard de 1 g, "+,∗" pétard de 1.3 g, "4 ,∇,?" pétard de 2 g, "} •" pétard de 5 g, "" cavité formée par l’impact d’une goutte d’eau de 54 mg à 16 m/s (Engel-1966 [35]. (b) Rayon adimensionné de la cavité pour la positionθ = π/4. (c) Tmax en fonction de

τ = pHmax/g. Les points représentent les mesures pour les explosions, les triangles les données

obtenues par Engel lors de l’impact de gouttes [35]. Le meilleur ajustementTmax = 0.65τ est tracé

en pointillé.

(b), les variables étant adimensionnalisées par les mêmes quantités. On vérifie que les courbes se regroupent sur une courbe maitresse, pour laquelle le maximum est atteint à un temps adimensionnalisé plus grand que pour le fond de la cavité, conformément au modèle proposé.

L’équation d’évolution de la cavité s’écrit en variables adimensionnalisées : ˙ R∗ =  1_{− R}∗4sin θ 2R∗3 1/2 (2.15) La résolution de l’équation (2.15) est discutée dans l’annexe de l’article placé en fin du chapitre.

2.5

Ecoulement réel

Dans la section précédente, on a proposé un modèle pour la dynamique de la cavité ainsi que sa forme. Cependant il ne permettait pas de prédire quantitativement le temps d’ouverture de la cavité. Un modèle modifié présenté dans l’annexe de l’article en fin du chapitre permet une description quantitative de la dynamique de la cavité. Il se fonde sur une équation de conservation de la masse modifiée, supposant que lorsque la surface de la cavité se déplace, une fraction α de l’eau est poussée dans le bain, tandis qu’une fraction (1_{− α) sort du bain, soit dans le panache éjecté, soit dans une vague qui se forme en} bordure de cavité. Ces hypothèses sont basées sur des observations expérimentales : il se forme un panache, et un bourrelet se forme sur le bord le la cavité, d’amplitude petite devant la profondeur de la cavité. D’autre part, en ensemençant le bain de particules illuminées avec une nappe laser, on peut estimer la vitesse de l’eau dans le bain. Sur la figure 2.11 on présente des superpositions d’images de la partie gauche de la cavité, pendant son expansion (images 1-3) puis sa fermeture (images 4 et 5). Ces superpositions d’images permettent de visualiser le chemin des particules, et donc de se représenter les lignes de courant. On observe que près de la surface, l’écoulement se produit en partie vers la surface libre pendant l’ouverture, puis en sens inverse pendant la fermeture.

20 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES

1

2

3

4

5

Figure 2.11 – Superpositions d’images pendant l’ouverture puis la fermeture de la cavité. L’eau est ensemencée en particules et éclairée par une nappe laser verticale.

Ces observations nous montrent que contrairement à ce qui est supposé dans le modèle que nous avons développé, le champ de vitesse n’est pas purement radial. Afin de prendre en compte ce fait, plusieurs solutions ont été proposées, dans le cadre de l’étude de cavités formées par l’impact de gouttes : Engel utilise le potentiel de vitesse d’un doublet dont la magnitude dépend de la vitesse d’expansion et du rayon de la cavité : ψ = R2(dR/dt) cos θ/r ([36]). Ce potentiel permet de décrire la dynamique de la cavité, cependant il ne permet pas de prédire la forme de la cavité au cours du temps. Une autre solution est proposée par Bisighini : la position du centre de la cavité est considérée variable, notée z par rapport à la surface libre. Le potentiel utilisé est la somme d’un terme source correspondant à l’expansion de la cavité de rayon a, et de l’écoulement autour d’une sphère de rayon a se déplaçant à la vitesse ˙z : ψ = _{− ˙a}a_r2 _{− ˙z}

 1_{− 2r}a33



[37]. Ce modèle permet de prédire la dynamique et la forme de la cavité, avec un paramètre d’ajustement bien choisi. Il existe donc d’autres modèles que celui que nous avons proposé qui permettent une description satisfaisante du problème. Cependant le modèle que nous avons proposé reste "physique" et permet d’expliquer pourquoi il y a moins d’énergie cinétique dans le bain que ce que l’on suppose.

2.6

Impacts et explosions

Figure 2.12 – Cavité formée par l’impact d’une goutte d’eau de 4.7 mm de diamètre sur de l’eau d’une hauteur d’environ 50 cm. Les images sont espacées de 12 ms, le trait blanc fait 1 cm.

On a vu dans l’introduction que les cavités formées par l’impact d’une sphère dense dans l’eau sont différentes de celles observées après une explosion. En revanche la cavité formée par l’impact d’une goutte d’eau à la surface de l’eau est similaire aux cavités ré-sultant d’une explosion, comme représenté sur la figure 2.12. La forme et la dynamique de ces cavités sont décrites par les mêmes équations que celles proposées ici (voir figure 2.10). Cette similitude vient du fait qu’une goutte frappant une surface liquide, transfère une partie de son énergie cinétique à l’eau, la mettant en mouvement de manière isotrope. Si la goutte apporte suffisamment d’énergie pour que la cavité soit assez grande pour négliger

2.6. IMPACTS ET EXPLOSIONS 21 la tension de surface, la cavité se comporte comme une cavité d’explosion. Engel observe que la moitié de l’énergie cinétique de la goutte est transférée au bain [35].

Il existe un autre cas pour lequel impact et explosion ont des effets similaires, qui concerne les milieux granulaires denses. Il a en effet été observé que l’impact d’une sphère sur un granulaire produit le même cratère que celui formé par une explosion souterraine proche de la surface, les énergies de l’explosif et du projectile étant choisies égales [38]. Walsh étudie des cratères formés par l’impact de sphères et observe que la profondeur et la taille du cratère dépendent de l’énergie à la puissance 1/4, une prédiction semblable à celle obtenue pour les cavités d’explosion, qui découle d’une hypothèse de conversion de l’énergie cinétique en énergie potentielle [39].

Á plus grande échelle, les cratères formés par l’impact de météorites sont comparables à ceux formés en laboratoire par explosion ou impact sur un granulaire dense. Certains cratères présentent un pic central semblable au pic que l’on observe pendant la fermeture de la cavité hémisphérique. Une explication à la forme de ces cratères est que lors de l’im-pact, la météorite transfère son énergie cinétique au substrat, et le fragilise. Il se forme alors un cratère hémisphérique par écoulement du substrat. Sous l’influence de la gravité le cratère hémisphérique se déforme, le sol se comportant comme un fluide, et un pic central peut apparaitre comme illustré sur la figure 2.14. Il est même possible de former plusieurs anneaux, suivant le nombre d’oscillations avant que le cratère ne se stabilise [40].

On observe la présence de cratères à pics centraux sur de nombreuses planètes, dont la Lune [figure 2.13 (a)] et la Terre [figure 2.13 (b)]. Cette dernière image montre le lac Manicouagan au Québec, qui occupe la corolle d’un cratère, le centre formant un pic central ayant été érodé. Il a été vérifié que la présence de cratères de ce type dépend de l’accélération de la gravité sur la planète, leur apparition n’étant possible qu’au-delà d’un certain seuil suffisant pour faire s’écouler le sol.

(a) (b)

Figure 2.13 – (a) Cratère Tycho sur la lune. Son diamètre est de 86 km et sa profondeur de 5 km. (b) Lac Annulaire Manicouagan, Québec. La barre représente 20 km.

L’explication communément proposée à l’équivalence impact-explosion est que l’impact se produit sur un temps très court pendant lequel l’énergie est transférée du projectile au substrat, un transfert d’énergie rapide comparable au transfert d’énergie induit par une

22 CHAPITRE 2. EXPLOSIONS NON CONFINÉES

Figure 2.14 – Etapes de formation d’un cratère à pic central, on représente ici deux oscillations. Extrait de [40].

explosion. Il est intéressant de noter que si l’énergie du projectile est transférée au substrat sur un temps plus long (par exemple lors de l’impact d’une bille métallique dans de l’eau, ou dans un granulaire peu dense), l’équivalence ne tient plus. L’impact d’une bille dans un granulaire peu dense produit des cavités et des jets comparables à ceux que l’on voit dans l’eau [32], [33]. Le régime intermédiaire entre cavités tubulaires et hémisphériques est observé pour des sphères de densité intermédiaire, qui ralentissent avant que la cavité ne se pince [41].

La distinction entre cavités hémisphériques et cylindriques dépend donc du temps de décélération de l’objet impactant. Ce temps dépend a priori de nombreux facteurs : den-sité de l’impactant et du substrat, vitesse de l’impactant, élasticité, viscoden-sité, facteur de résistance... Je récapitule sur le tableau 2.1 la forme de cavité obtenue au moment de l’ex-pansion maximale pour des impacts de sphère, suivant le matériau composant la sphère, et la nature du substrat. Le symbole "_{||" représente une cavité cylindrique, "∪" une} ca-vité hémisphérique. Les données pour les impacts par des sphères d’Acier, Téflon, Nylon Polypropylène sur l’eau sont interprétées à partir de l’étude de Aristoff et Bush [41]. Dans une autre étude, les deux types de cavité sont observés en faisant rebondir des balles vis-coélastiques à la surface de l’eau. On observe que suivant la coefficient de restitution de la balle, la cavité obtenue est soit allongée soit hémisphérique, ces dernières étant obtenues avec des balles de coefficient de restitution 0.2 [42].

Impactant densité (kg/dm3) Eau Granulaire Granulaire Planète Acier

peu dense dense

Météorite _{≈ 5 || || ∪ ∪} ? Acier 7.9 _{|| || ∪ ∪ ∪?} Teflon 7.3 _{|| || ∪ ∪} Nylon 1.1 _{|| || ∪ ∪} Polypropylène 0.86 _{|| || ∪ ∪} Polypropylène creux 0.2 _∪ ? _{∪ ∪} Eau 1 _∪ ? ? ?

Table 2.1 – Forme de la cavité produite par l’impact d’une bille d’une sphère d’un matériau sur un autre. Le symbole "cusp’ indique une cavité de type explosion, de forme hémisphérique, le symbole "_{||" une cavité de type impact, de forme allongée.}

Un impact peut donc créer deux types de cavités suivant les caractéristiques de l’im-pactant et de l’objet impacté. Si le projectile transfère rapidement son énergie on obtient un impact de type explosif, tandis qu’un transfère lent produit un impact pénétrant.

2.7. CONCLUSION 23

2.7

Conclusion

Les explosions à la surface en milieu non confiné forment des cavités qui croissent en gardant une forme hémisphérique avant de se refermer de façon non isotrope, un jet ap-paraissant au fond de la cavité. La conversion de l’énergie de l’explosion E₀ en énergie potentielle ρgH_max4 produit des cavités dont la taille typique est 10 cm, pour des énergies de l’ordre du Joule. La cavité se referme sous l’effet de la gravité sur un tempspHmax/g ≈

100 ms.

L’explosion présentée en introduction dégage 8 kilotonnes équivalent TNT, c’est-à-dire approximativement 33 1012 J dont on déduit d’après l’équation 2.12 une taille typique de 240 m comparable à la taille observée sur la figure 1.1. Le temps d’ouverture d’une telle cavité est de l’ordre de 10 s. Les cavités d’explosions sont similaires aux cavités observées, à plus petite échelle, lors de l’impact de gouttes, pour lesquels la densité du projectile est égale à celle du bain. Il semble que selon la densité et les propriétés viscoélastiques du projectile et du substrat, il existe toute une gamme de cavités, de formes plus ou moins allongées.

Chapitre 3

Explosions confinées

Sommaire

3.1

Introduction

Les cavités non confinées s’ouvrent de manière isotrope à temps court. Afin de forcer une ouverture anisotrope, on réalise les explosions dans des tubes verticaux. La géométrie du problème est à une dimension, les cavités se développant vers l’extrémité du tube.

3.2

Montage

50 cm

100 cm

Figure 3.1 – Montage expérimental pour les explosions confinées.

Le montage expérimental est présenté sur la figure 3.1. Les explosions sont confinées dans des tubes verticaux ouverts aux deux bouts, l’expérience étant réalisée dans la même cuve que pour les explosions non confinées, avec les mêmes pétards. Le tube est maintenu avec une pince Manfroto placée au dessus de la surface, et le pétard positionné de manière

26 CHAPITRE 3. EXPLOSIONS CONFINÉES à se trouver à la surface de l’eau lorsque le fil est tendu. Pour réaliser l’expérience on allume le pétard hors du tube puis on le laisse tomber à la bonne position. Les tubes utilisés sont en Plexiglas ou en verre, avec un diamètre de 2, 4 et 5 cm et une longueur immergée L variant entre 10 et 35 cm. Les tubes sont rigides et ne se déforment jamais sauf lors de l’utilisation de gros pétards où il est arrivé que des tubes explosent ; on a alors utilisé un tube en Plexiglas de 1 cm d’épaisseur.

3.3

Résultats

A l’inverse de nos observations en géométrie ouverte (R(t) _{∼ t}2/5), l’explosion forme une cavité qui commence par grandir à vitesse constante ˙Z0 (images 1 à 4 sur la figue 3.2).

Cette vitesse dépend à la fois de l’énergie de l’explosion et de la masse d’eau à mettre en mouvement.

On distingue dans cette partie les différents essais suivant la vitesse initiale d’expansion ˙

Z0 : modérée (figure 3.2), ou grande (figure 3.3), pour des cavités obtenues dans un tube

de diamètre D = 5 cm. Dans le premier cas, la position Z de l’interface air/eau augmente jusqu’à un maximum Zmax (images 1 à 12). L’interface accélère ensuite vers le haut et la

cavité se ferme (images 13 à 24). Finalement la surface oscille autour de la position Z = 0 avec une amplitude décroissante comme décrit par Lorenceau et al [43]. Dans le deuxième cas (grande vitesse initiale), la cavité grandit rapidement et atteint l’extrémité du tube Z = L (images 1 à 5 sur la figure 3.3). La cavité se ferme ensuite, sans jamais sortir du tube. La position de l’interface Z(t) pour ces deux cavités est tracée sur la figure 3.4 (a). La position de l’interface n’est pas symétrique par rapport au temps Tmax d’expansion

maximale : on observe que la fermeture est plus lente que l’ouverture.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Figure 3.2 – Chronophotographie de la cavité formée dans un tube de 5 cm de diamètre et 18.5 cm de long. La vitesse initiale d’expansion est de 1.3 m/s. Les images sont espacées de 15 ms.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figure 3.3 – Chronophotographie de la cavité formée dans un tube de 5 cm de diamètre et 17.3 cm de long. La vitesse initiale d’expansion est de 3.3 m/s. L’expansion s’arrête lorsque la cavité atteint le bout du tube. Les images sont espacées de 15 ms.

3.4. MODÉLISATION 27 (a) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 50 100 150 200 Z (m m ) t (s) (b)

Figure 3.4 – (a) Position de l’interface pour les cas présentés des figures 3.2 et 3.3. Les carrés représentent la cavité qui atteint le bout du tube (L = 173 mm, ligne pointillée) sans en sortir (Z _{≤ L). Les points représentent la cavité dont l’expansion cesse loin du bout du tube (L = 185} mm, ligne continue). (b) Schéma de l’expérience d’explosion confinée et notations utilisées pour le modèle.

3.4

Modélisation

Les notations sont indiquées sur la figure 3.4 (b). Le nombre de Reynolds de l’écoulement peut être déduit de la figure 3.2 : la cavité s’accroît de 75 mm en un temps Tmax = 500 ms

à l’intérieur d’un tube de 5 cm de diamètre, ce qui donne : Re = ρDZmax/Tmaxη = 7500.

On utilise une théorie d’écoulement potentiel. L’équation de Bernoulli s’écrit :  ρ∂φ ∂t + ρu2 2 + p− ρgz B A = 0 (3.1)

Pendant l’expansion, l’eau contenue dans le tube se déplace en bloc. On en déduit que dans le tube la vitesse de l’eau est égale à la vitesse de l’interface air/eau :

Vz = ˙Z (3.2)

Afin de satisfaire cette équation, on introduit le potentiel de vitesse φ = ˙Zz dont dérive Vz. On écrit l’équation (3.1) entre un point A à l’interface air/eau et un point B à la sortie

du tube, de manière à ce que les deux points soient dans le domaine dans lequel on a défini φ. Afin d’estimer la pression au point B, on remarque que l’écoulement sort du tube sous la forme d’un jet pendant l’expansion de la cavité ( ˙Z > 0). Il n’y a pas de variation de pression transverse dans un jet, donc on estime la pression au point B comme étant proche de celle mesurée au point C : PC = P0 + ρgL. L’équation (3.1) se ramène alors à :

(L_{− Z) ¨}Z =_−gZ (3.3)

Pendant la fermeture de la cavité, l’écoulement dans le bain peut être décrit par l’écoule-ment induit par un terme puits positionné à l’extrémité du tube, tant que le diamètre du tube D est petit devant sa longueur : D/L << 1. On écrit le potentiel de vitesse dans le bain φp = −Q_4πr où r désigne la distance à l’extrémité du tube. Le flux entrant dans le terme

puits est égal au flux dans le tube : Q = ˙Zπ(D/2)2, ce qui donne : φp =

˙ ZR2

28 CHAPITRE 3. EXPLOSIONS CONFINÉES Afin d’estimer la pression à la sortie du tube on écrit l’équation de Bernoulli entre la sortie du tube et un point à la surface pour lequel la vitesse est négligeable (les valeurs à la sortie du tube sont estimées à la distance r = D/2 de la sortie, parce que la vitesse théorique diverge en r = 0). On trouve, en négligeant les termes d’ordre D :

pB = p0+ ρgL− ρ

˙ Z2

32 (3.5)

ceci conduit à l’équation de fermeture de la cavité, à partir de l’équation (3.1) :

(L_{− Z) ¨}Z =_{−gZ +} ˙ Z2

32 (3.6)

L’équation (3.5) prédit que la vitesse de fermeture est plus faible que la vitesse d’ou-verture, parce que la pression qui met le liquide en mouvement pendant la fermeture, PB,

est plus petite pendant la fermeture que pendant l’ouverture, d’un facteur ρZ₃₂˙2, en accord qualitatif avec les observations faites sur la figure 3.4 (a). Le régime de fermeture est traitée par Lorenceau et al [43], on ne s’intéressera dans cette section qu’à l’expansion de la cavité. Dans la limite des petites expansions Zmax << L, l’équation (3.3) se réduit à l’équation

d’un oscillateur :

¨ Z + g

LZ = 0 (3.7)

dont la solution s’écrit :

Z = Zmaxsin(ωt) (3.8)

où ω =pg/L est la fréquence propre de la colonne de liquide. On déduit Zmaxde la vitesse

initiale d’ouverture ˙Z0 de la cavité, ˙Z0 = Zmax ω, ce qui donne Zmax = ˙Z0

p

L/g. Ecrivant cette équation en variables adimensionnées, on obtient :

Z_max∗ = Zmax L = ˙ Z0 √ gL = √ F r (3.9)

où F r est le nombre de Froude. Cette équation prédit que pour des petites vitesses initiales la profondeur maximale augmente linéairement avec la vitesse. On trace sur la figure 3.5 la profondeur maximale adimensionnée de la cavité Zmax/L en fonction du Froude ˙Z0/

√ gL. Les mesures correspondent à des expériences réalisées dans des tubes de longueur comprise entre 10 et 35 cm. La vitesse d’ouverture initiale ˙Z0 est estimée en réalisant le meilleur

ajustement linéaire de la position de l’interface Z(t) pendant les premiers instants de l’expansion, ce qui introduit une marge d’erreur. La relation linéaire attendue à faible vitesse initiale est tracée en pointillé. Seuls les points obtenus pour les plus petits nombres de Froude suivent une relation linéaire, la plupart des expériences étant réalisées dans un régime de vitesse élevées, pour lesquelles on observe que la profondeur maximale sature à la longueur du tube, même pour des nombres de Froude allant jusqu’à F r=25. On discute maintenant ce régime.

L’équation (3.3) adimensionnée par la longueur L et le temps τ =pL/g se réécrit :

(1_{− Z}∗) ¨Z∗ =_−Z∗ (3.10)

3.4. MODÉLISATION 29 1 2 d ˙Z∗2 dZ∗ = −Z∗ 1_{− Z}∗ (3.11)

Une intégrale première s’écrit : ˙ Z∗2 2 = F r 2 + Z ∗ + ln(1_{− Z}∗) (3.12)

où le nombre de Froude est la constante d’intégration (pour Z∗ = 0, on a ˙Z∗ ₌√_{F r).}

L’équation (3.12) prédit la profondeur maximale de la cavité Zmax. Quelleque soit la

valeur de ˙Z0 (quelque soit F r), l’équation ˙Z = 0 dont on déduit Zmax a toujours une

solution dans le tube. Zmax est donné par la relation suivante :

F r 2 =−Z ∗ max− ln(1 − Z ∗ max) (3.13)

On trace cette relation en ligne pleine sur la figure 3.5 sur laquelle on observe qu’elle est en accord avec les mesures. Un regard plus attentif montre que la profondeur maximale est souvent plus faible qu’attendu, ce qu’on explique par le fait que la plupart des cavités ne sont pas parfaitement 1-D, mais se développent en formant une langue à l’intérieur du tube. On aurait pu imaginer que les explosions intenses ( ˙Z0élevé), produisent des cavités capables

de sortir des tubes. Ce n’est pas le cas, parce que pour Z _{→ L, l’équation (3.3) montre que} l’accélération de l’interface diverge négativement : la cavité s’arrête nécessairement avant d’atteindre la profondeur L. La profondeur maximale Zmax peut être déduite de l’équation

(3.13) dans la limite F r >> 1 ( ˙Z0 >> √gL) : on trouve Zmax ∼ [1 − exp(−F r)] qui

tend asymptotiquement vers 1, sans jamais l’atteindre (conformément à ce qui est observé sur la figure 3.4) : la cavité reste confinée dans le tube (régime de saturation observé sur la figure 3.5). Un interprétation physique à cette observation est que lors de l’explosion, l’eau contenue dans le tube est mise en mouvement, puis l’écoulement se poursuit de manière inertielle. L’écoulement est ralenti par la pression hydrostatique à la sortie du tube. Pendant l’écoulement la pression à la sortie du tube ne varie pas alors que la masse d’eau en mouvement dans le tube décroit. Quand l’interface atteint le bout du tube, la masse tend vers zéro, l’air contenu dans le tube posséd une inertie négligeable si bien que l’expansion est stoppée par la pression hydrostatique.

30 CHAPITRE 3. EXPLOSIONS CONFINÉES 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ˙ Z0/√gL Zm a x / L

Figure 3.5 – Profondeur maximale adimensionnée en fonction de la vitesse initiale adimensionnée. L’équation (3.13) est tracée en ligne pleine, et sa limite linéaire (équation 3.9) est tracée en pointillé.

3.5. LES TUBES OU LA VIDANGE IMPOSSIBLE, LES JETS. 31

3.5

Les tubes ou la vidange impossible, les jets.

Dans la partie précédente, on a réalisé des explosions à l’intérieur de tubes. Physique-ment cela revient à donner de l’énergie cinétique au fluide contenu dans le tube ; puis, sous l’influence de la gravité et des pertes en sortie du tube, l’expansion de la cavité ralentit sans jamais pouvoir sortir du tube. Il est intéressant de remarquer qu’on peut réaliser une expé-rience similaire sans avoir besoin d’explosion pour mettre le fluide en mouvement, comme schématisé sur la figure 3.6. On remplit un tube d’eau que l’on bouche à son extrémité supérieure (a), on place cette extrémité au dessus du niveau de la surface libre et on ouvre (b). L’eau contenue dans le tube accélère sous l’effet de la gravité (c), le tube se vide, et quelque soit la longueur du tube sous le niveau de la surface libre, la vidange s’arrête bru-talement lorsque l’interface air/eau atteint la sortie du tube. Dans cette expérience comme dans le cas des explosions, la surface air/eau ne sort pas du tube (ou très peu).

Dans un deuxième temps, la surface air/eau accélère vers le haut, si le tube est maintenu bien droit on observe un jet vertical qui se forme à ce moment précis (d). Finalement le tube se remplit puis la surface position de l’interface oscille avant de se stabiliser au niveau de la surface libre.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 3.6 – Expérience de vidange de tube.

La formation d’un jet vertical est illustrée sur la figure 3.7. Dans cet exemple, le tube fait 45 cm de long, avec 37 cm hors de l’eau. Le jet obtenu monte à une trentaine de centimètres.

Figure 3.7 – Formation d’un jet pendant la vidange d’un tube. Le tube fait 2 cm de diamètre, les images sont espacées de 7 ms.

32 CHAPITRE 3. EXPLOSIONS CONFINÉES

Figure 3.8 – Formation d’un jet lors de l’accélération d’une surface courbée, tiré de [44].

Le même type de jet est obtenu dans des expériences lors desquels on accélère une surface courbée. Ainsi Antkowiak et al [44] présentent l’expérience suivante : si on laisse tomber à la verticale sur un support un tube en verre rempli d’un liquide non mouillant (angle de contact de 90◦), lorsque la tube frappe le support il ne se passe rien, la surface de liquide reste plane. Par contre si le liquide est mouillant, l’interface est initialement cour-bée, et un jet apparait lors de l’impact (figure 3.8). Si l’on forme une bulle sur une surface préalablement plane, la courbure de la surface sous la goutte entraine aussi la formation d’un jet. Le même type de jet est observé lors de l’interaction de grosses bulles dans un fluide visqueux [45]. Lors de l’accélération d’une surface courbée dans un capillaire par formation d’une bulle de cavitation, on observe même des jets supersoniques [46], [47].

Le fait qu’il y ait formation d’un jet fin et haut dans tous ces cas, alors que le jet formé lors de la fermeture des cavités d’explosion est plus large et moins rapide peut à première vue sembler surprenant. Les différences de comportement peuvent s’expliquer par deux observations : lors de la fermeture des cavités hémisphériques l’accélération est faible par rapport aux accélérations imposées dans les autres expériences. Dans les expériences de jets intenses, l’ensemble du liquide est brutalement accéléré. Si la surface est courbe cela entraine une focalisation de l’écoulement qui donne formation à un jet intense. Dans le cas des cavités d’explosion, lors du début de la fermeture le fond est accéléré vers le haut alors que les côtés de la cavité sont encore en train de s’agrandir, l’intensité du flux qui se focalise au fond de la cavité provient donc d’une zone moins étendue. si la focalisation est moins intense, le jet formé est moins éruptif. Enfin il faut mentionner que lors de nos expériences d’explosions dans les tubes, nous n’avons pas observé de jets, peut-être parce que les restes du pétard se déplacent avec l’interface et brisent la symétrie lors de la fermeture de la cavité.

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté deux types de cavités formées par des explosions à la surface de l’eau. Ces cavités sont de type inertiel, de grande taille, et se prêtent bien à une description en terme d’écoulement potentiel. Lorsque la cavité n’est pas confinée elle présente la caractéristique surprenante d’être hémisphérique aux temps courts,

contrai-3.6. ARTICLE 33 rement aux cavités formées par l’impact de solides dans des liquides. Plus généralement impact et explosion peuvent produire des effets comparables, suivant les caractéristiques de l’objet impactant et du substrat impacté.

Lorsque l’on confine les cavités dans des tubes on est surpris d’observer que les cavités ne s’échappent jamais du tube. Une partie de l’explication, vient du fait que l’inertie de l’air est négligeable devant celle de l’eau. En utilisant deux fluides de densités plus proches, on pourrait arriver à des résultats différents. Lors de l’explosion d’une bombe, une poche de gaz chauds, donc peu dense, s’étend dans un gaz froid plus dense. On peut imaginer que des structures de forme tubulaire seraient capables de confiner une partie de l’énergie d’une telle explosion.

Explosions at the surface of water

Adrien Benusiglio1_{, David Qu´er´e}2 _{and Christophe Clanet}1 _†

1_{Ladhyx, Unit´e Mixte de Recherche 7646, Centre National de la Recherche Scientifique-´Ecole}

Polytechnique, 91120 Palaiseau, France

2_{Physique et M´ecanique des Milieux H´et´erog`enes, Unit´e Mixte de Recherche 7636, Centre}

National de la Recherche Scientifique-Paris 6-Paris 7-´Ecole Sup´erieure de Physique et de Chimie Industrielles, 75005 Paris, France

(Received ?; revised ?; accepted ?. - To be entered by editorial office)

We study the shape and dynamics of cavities created by the explosion of firecrackers at the water surface in a large pool. Without confinement, the explosion generates an hemispherical air cavity which grows, reaches a maximum size and then collapses in a generic ”w” shape to form a final central jet. When a rigid open tube confines the firecracker, the explosion produces a cylindrical cavity that expands without ever escaping the free end of the tube. We discuss a potential flow model, which captures most of these different features.

1. Introduction

The first studies on entry cavities probably go back to the early work of A.M. Worthing-ton (WorthingWorthing-ton & Cole 1900; WorthingWorthing-ton 1908). The cavities are classically produced by the impact of a solid (characteristic size R, velocity U0, density ρs) on a liquid

(vis-cosity, η, density ρ, surface tension γ), with a large density ratio ρs/ρ >> 1. The critical

velocity above which a cavity appears depends on both the shape and wetting properties of the solid (Duez et al. 2007). The underlying applications include the impact of bullets (May 1952), torpedoes (May 1975), but also water walking lizard (Glasheen & McMahon 1996) and underwater spiders that rely on air bells to survive (Seymour & Hetz 2011). The different types of cavities can be classified as in the phase diagram presented in figure 1, where the velocity is rescaled by η/ρR on the horizontal axis and the size by the capillary length a =pγ/ρg on the vertical one.

This phase diagram defines four different types of cavities. The one formed by large spheres or torpedos plunging at high speed into water are in region A, where both Reynolds ρRU0/η and Bond R/a numbers are large. These cavities are elongated in

the direction of motion, and they pinch at half the distance from the interface after a characteristic time τ = pR/g independent of the velocity (Duclaux et al. 2007; Duez et al. 2007). The singularity at pinchoff was recently described in detail (Gekle et al. 2009; Gekle & Gordillo 2010; Gordillo & Gekle 2010). For these high-speed cavities, the pressure drop into the air flow ρairU02, and the hydrodynamic pressure ρgU0τ can be

compared via the ratio ρair

ρ

√

F r where F r = U2

0/gR is the Froude number. When the

Froude number is large compared to the water/air density ratio, the pressure in air im-pacts the pinchoff and surface seal of the cavities (Aristoff 2009). For smaller plunging spheres at high Reynolds (region B), surface tension has a major role on the closure and produces wavy cavities (Aristoff et al. 2008; Aristoff & Bush 2009). If viscosity is increased (region C), we reach a regime where the sphere decelerates prior to closure

Inertial regime Viscous regime Gravitational regime Capillary regime 1 1

A

B

C

D

Figure 1. Phase diagram for entry cavities. In region A, B and C, the pictures are respectively taken from Duclaux et al. (2007), Aristoff & Bush (2009), Le Goff et al. (2013).

(Le Goff et al. 2013). Low Reynolds and small Bond numbers remain to be investigated, even if we only marginally expect cavities in this regime. Apart from spheres, the impact of cylinders and discs have also been studied (Bergmann et al. 2010), as well as non axisymmetric objects (Enriquez et al. 2010, 2012).

Experiments were also conducted for drops impacting a pool, for a density ratio ρs/ρ =

1. These impacts also creates cavities, that expand radially to form hemispheres (Engel 1966). The experiments were made using drops of water in free fall at a reduced pressure to obtain high velocity of impact. The largest cavity obtained by this method had a depth equal to 27 mm, after impact of a drop of radius 5.5 mm at a velocity of 19 m/s. In the present study we inject energy in the fluid not by the mean of an impact, but with an explosion at the free surface, which generates both a large Bond number and a large Reynolds number cavity. In this case, the way energy is injected in the system is isotropic, so that we expect cavities quite different (for the shape and dynamics) of what is observed after an impact. The results are presented in section (2), and confined explosions are studied in section (3).

2. Unconfined explosion cavities

2.1. Setup

The set-up is sketched in figure 2 (a): explosions are produced in a tank of polycarbonate (100*100*50 cm) filled with water (η = 10−3 _{Pa.s, γ = 72 10}−3 _{N/m, ρ = 10}3 _kg/m3_).

We use four types of firecrackers [figure 2 (b)] that contains 1, 1.3, 2 or 5 g of powder. The firecrackers are held vertically by a small wire with their center approximately at the level of the free surface. Their characteristics are not altered as long as they do not stay more than 30 seconds in water. The explosion is recorded from the side with a high speed video camera (Photron Fastcam SA3) at 1000 frames/sec. An acoustic measurement of the overpressure created by an explosion is shown in figure 2 (c) where we observe that the explosion itself lasts less than 1 ms.

2.2. Results

Side views of the cavity created by the explosion of a 1 g-firecracker are displayed in figure 3 as a function of time. For the first 4 to 5 ms (image 1 to image 2), the light