Conséquences macroéconomiques de l'établissement de la rente longévité

Conséquences macroéconomiques

de l’établissement de la rente longévité

Kévin Coulombe

Maîtrise en économique

Québec, Canada

Résumé

Ce mémoire évalue les conséquences macroéconomiques de l’établissement d’une rente longé-vité telle que proposée en 2013 par le Rapport du comité d’experts sur l’avenir du système de retraite québécois, communément appelé le rapport d’Amours. L’outil d’analyse développé pour cette évaluation est une extension du modèle dynamique d’équilibre général (DSGE) à générations imbriquées (OLG) de Gertler (1999). Cette extension modifie la structure démo-graphique du modèle d’origine en divisant le cycle de vie en trois stades ; le travail, la retraite active et la retraite inactive, et en attribuant une probabilité constante de décès à chacun de ces trois stades. Dans ce cadre théorique, les individus dans les deux premiers stades de vie ont la possibilité de participer au marché du travail, tandis que ceux arrivés au troisième stade ne travaillent plus et bénéficient de la rente longévité. Cette rente longévité est de type « pay-as-you-go (PAYG) » et elle est financée alternativement soit par une taxe forfaitaire, soit par un impôt proportionnel au revenu de travail. Le modèle est utilisé pour la simulation de trois scénarios de politiques : absence de rente, rente financée par une taxe forfaitaire, rente financée par un impôt sur le revenu de travail. Nos résultats suggèrent que la rente longévité occasionnerait des ajustements endogènes non négligeables. Ces ajustements devraient donc être pris en considération dans l’évaluation des coûts et des bénéfices de la proposition du rapport d’Amours.

Table des matières

Résumé iii

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Remerciements ix

Introduction 1

1 Revue de la littérature 5

2 Le modèle 9

2.1 Hypothèses . . . 10

2.2 Décisions des agents . . . 14

2.3 Production et équilibre général . . . 22

2.4 État stationnaire . . . 24

3 Expériences de politiques 27 3.1 Étalonnage des paramètres structurels . . . 27

3.2 Étalonnage des paramètres de politiques . . . 29

3.3 Conséquences de long terme de la mise en application de la rente longévité . . . 31

Conclusion 37

Bibliographie 39

A Équations agrégées du modèle 41

B Équations stationnaires du modèle 45

C Étalonnage des paramètres démographiques 47

Liste des tableaux

3.1 Paramètres structurels . . . 27

3.2 Paramètres démographiques . . . 28

3.3 Paramètres de politiques . . . 30

3.4 Résultats des variables agrégées selon le type de politique . . . 31

3.5 Résultats des variables associées aux choix individuels selon le type de politique . . 32

3.6 Calcul des richesses totales selon le type de politique . . . 33

D.1 Résultats des variables agrégées selon le type de politique . . . 49

D.2 Calcul des richesses totales selon le type de politique . . . 49

Remerciements

Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à mon directeur, M. Kevin Moran, et à mon co-directeur, M. Benoît Carmichael. Je les remercie pour leurs commentaires toujours pertinents et constructifs et pour l’aide apportée tout au long du processus : « J’ai sincèrement apprécié la réalisation de ce mémoire sous votre direction. »

J’adresse également mes remerciements à M. Luc Bissonnette, pour la révision de ce do-cument ; et aux professeurs du Département d’économique de l’Université Laval, pour leur savoir transmis avec passion.

Mes derniers remerciements vont à ma famille, à ma compagne et à mes amis, pour les bons moments passés en leur compagnie et pour leur soutien qui dépasse largement le cadre de ce projet.

Introduction

La protection offerte par le système de retraite québécois assure adéquatement la sécurité financière à la retraite des ménages à faible revenu. La situation se dégrade toutefois avec l’augmentation du revenu. La sécurité financière des ménages à revenu moyen et supérieur à la moyenne repose davantage sur leur épargne privée et cette épargne s’avère souvent insuffisante pour atteindre un taux de remplacement du revenu à la retraite compris entre 50% et 70%. Ainsi, un ménage québécois sur trois ne dispose pas d’un niveau d’épargne considéré comme suffisant pour garantir sa sécurité financière à la retraite. Cette situation préoccupante est appelée à se dégrader dans l’avenir, en raison des pressions démographiques et financières, à moins d’un réajustement des différents paliers de gouvernement.

Le gouvernement du Québec a donc réuni un comité d’experts, présidé par M. Alban d’Amours, dans le but de renforcer la sécurité financière à la retraite des Québécois. Leur analyse et leurs conclusions, formulées en sept points, ont été présentées en 2013 dans le Rapport du comité d’experts sur l’avenir du système de retraite québécois, communément appelé le rap-port d’Amours. La recommandation principale de ce raprap-port consiste en la création d’une rente longévité ; totalement capitalisée et à prestations déterminées, dont tous les travailleurs bénéficieraient à partir de 75 ans. Cette rente vise à mutualiser le risque de longévité et à amoindrir la probabilité qu’une fraction significative des Québécois survive à leurs épargnes. Elle s’ajouterait, à partir de 75 ans, aux autres revenus d’épargne sur lesquels les retraités peuvent compter, comme la pension de la Sécurité de la vieillesse et le Régime de rentes du Québec.

L’évaluation des coûts et des bénéfices de l’établissement de la rente longévité proposée dans le rapport d’Amours repose implicitement sur une analyse en équilibre partiel, c’est-à-dire que le comité fait l’hypothèse que cette rente provoquerait peu d’ajustements dans les com-portements des ménages et des entreprises et qu’elle ne changerait pas les prix, les salaires et le taux d’intérêt. Cette hypothèse permet de simplifier l’analyse et s’avère valable si les ajustements endogènes sont minimes. Elle peut toutefois mener à une mauvaise évaluation de la politique si les ajustements des ménages et des entreprises s’avèrent significatifs. Cette

hy-pothèse simplificatrice doit donc faire l’objet d’une vérification, afin de s’assurer de sa validité.

Ce mémoire a donc pour but d’évaluer l’importance quantitative des ajustements endogènes de l’économie engendrés par l’établissement d’une rente longévité. L’outil d’analyse numérique développé pour cette évaluation est un modèle dynamique d’équilibre général (DSGE) à géné-rations imbriquées (OLG). Cet outil d’analyse est une extension du modèle de Gertler (1999), lequel repose sur une innovation majeure proposée par Blanchard (1985). Cette innovation consiste à supposer que les individus d’un modèle à générations imbriquées de base ont une probabilité constante de décéder tout au long de leur vie. L’introduction de cette probabi-lité constante de décès permet de prendre en compte les effets d’une durée de vie incertaine ; même si les agents économiques du modèle de Blanchard peuvent vivre éternellement, ils ont, au cours de leur vie, une propension marginale à consommer la richesse plus élevée que ceux du modèle standard avec horizon infini. Afin d’introduire un comportement de cycle de vie dans ce cadre d’analyse, Gertler (1999) divise la population du modèle de Blanchard (1985) en deux stades de vie : le travail et la retraite. Les travailleurs font donc face, à chaque période, à une probabilité constante de transiter vers la retraite, tandis que les retraités eux font face, à chaque période, à une probabilité constante de décéder. Cette division de la population permet ainsi de prendre en compte les effets d’un cycle de vie ; les travailleurs épargnent en raison de leur probabilité constante de passer à la retraite et les retraités consomment davantage leur richesse en raison de leur probabilité constante de sortir du système.

D’autres auteurs ont eu recours à des extensions du modèle de Gertler (1999) afin d’ana-lyser une variété d’enjeux reliés aux politiques publiques qui redistribuent la richesse non humaine entre les travailleurs et les retraités [ex. : Keuschnigg et Keuschnigg (2004), Kilponen et al. (2006)]. Les extensions du modèle de Gertler (1999) présentes dans la littérature ne per-mettent toutefois pas l’analyse de politiques qui redistribuent la richesse non humaine entre les travailleurs, les retraités et les personnes très âgées, une catégorie d’individus qui disposent potentiellement de moins de ressources et qui sont ainsi plus vulnérables. Ces extensions ne permettent donc pas d’analyser les conséquences macroéconomiques de l’implantation de la rente longévité proposée dans le rapport d’Amours.

Afin d’effectuer cette analyse, le présent mémoire modifie la structure démographique du modèle de Gertler (1999) en divisant le cycle de vie de ce modèle en trois stades ; le travail, la retraite active et la retraite inactive, et en attribuant une probabilité constante de décès à chacun de ces trois stades. Les travailleurs font ainsi face, à chaque période, à une probabilité constante de transiter vers la retraite active et les retraités actifs font face, à chaque période, à une probabilité constante de transiter vers la retraite inactive. De plus, les individus à chaque stade font également face, à chaque période, à une probabilité constante de décéder, qui dépend

de leur stade de vie actuel. Dans ce cadre théorique, les individus dans les deux premiers stades de vie ont la possibilité de participer au marché du travail, tandis que ceux arrivés au troisième stade ne travaillent plus. L’ajout de ce troisième stade de vie, pendant lequel les revenus de travail sont nuls mais les besoins demeurent, permet donc d’analyser une catégorie d’agents économiques plus vieux et potentiellement plus vulnérables financièrement vers lesquels la rente longévité est dirigée. L’attribution d’une probabilité de décès à chacun des trois stades permet, quant à elle, d’introduire la possibilité pour les individus de participer au financement de la rente longévité, mais de décéder avant d’en recevoir les bénéfices. Cette rente longévité est de type « pay-as-you-go » (PAYG) et elle est financée par une taxe forfaitaire ou un impôt sur le revenu de travail. Le modèle est calibré, d’une part, de manière à conserver la comparabilité avec la littérature et d’autre part, de manière à prendre en compte la réalité propre au Québec.

Ce cadre théorique permet ainsi d’évaluer l’importance quantitative des ajustements endo-gènes de l’économie engendrés par l’établissement d’une rente longévité, grâce à la simulation de trois scénarios de politiques ; un scénario de référence pour lequel la rente longévité est absente, un scénario avec un financement neutre pour lequel la rente longévité est financée par une taxe forfaitaire et un scénario avec un financement ayant un effet de distorsion basé sur un impôt sur le revenu de travail.

Le reste de ce mémoire est organisé comme suit. Le chapitre suivant effectue une revue de la littérature concernant le modèle de Gertler (1999) et ses extensions. Le chapitre 2 explique notre outil d’analyse numérique. Le chapitre 3 discute de l’étalonnage des paramètres du mo-dèle et procède à l’analyse des résultats de la simulation des trois scénarios de politiques. Le dernier chapitre conclut.

Chapitre 1

Revue de la littérature

L’analyse des impacts macroéconomiques d’une rente longévité non capitalisée, qui redistri-bue la richesse entre différentes générations, nécessite que les générations impliquées possèdent certaines caractéristiques idiosyncrasiques en dehors de leur richesse non humaine respective. Les modèles à générations imbriqués1 _{à grande échelle [ex. : Auerbach et Kotlikoff (1987), De}

Nardi, İmrohoroğlu et Sargent (2001)], qui analysent de nombreuses générations évoluant sur de nombreuses périodes constituent un point de départ naturel pour ce type d’analyse. Dans cette catégorie de modèles, les individus d’âges différents se distinguent quant au niveau et à la composition de leur richesse totale. Faisant face à des horizons de planifications différents, ces individus se distinguent également quant à leur propension marginale à consommer. Cette hétérogénéité dans le niveau et la composition de leur richesse totale de même que dans la propension marginale à consommer augmentent la précision et la richesse de l’analyse. Cepen-dant, cette grande richesse introduit également des obstacles pratiques importants, notamment pour le calcul des fonctions de consommation et d’épargne agrégées.

Le modèle conventionnel de Diamond (1965) évite ce problème d’agrégation grâce à l’imposi-tion d’hypothèses simplificatrices très restrictives à propos de la structure démographique. En effet, les individus de ce modèle vivent seulement deux périodes : la jeunesse et la vieillesse. Cette structure démographique simplifiée élimine le besoin d’agrégation, mais limite considé-rablement la portée et la précision de l’analyse, en imposant un maximum de deux cohortes présentes à tout moment dans l’économie.

Blanchard (1985) propose une solution ingénieuse à ce problème d’agrégation, tout en conser-vant une structure démographique intéressante, en imposant l’hypothèse d’une probabilité constante de décès à chaque période. Cet horizon de vie identique pour tous les individus, peu

1. Le modèle à générations imbriquées a été proposé pour la première fois par Allais (1947) et ensuite par Samuelson (1958).

importe leur âge, implique que ces individus ont tous des propensions marginales à consommer identiques. Afin d’éliminer l’impact de l’incertitude par rapport au moment du décès engendré par cette probabilité, Blanchard (1985) suppose également la présence d’un marché d’assu-rance. L’imposition de ces hypothèses permet ainsi une agrégation simple du comportement de consommation des individus, en dépit de l’hétérogénéité au niveau de leur richesse financière. Le niveau limité d’hétérogénéité présent dans ce modèle implique toutefois un désavantage. Les individus, se distinguant uniquement quant au niveau de leur richesse financière, n’adoptent pas de comportement d’épargne pour la retraite. La solution proposée par Blanchard (1985) ne permet donc pas la prise en compte du comportement de cycle de vie décrit par Modigliani (1966), nécessaire à l’analyse de politiques publiques de redistribution.

La contribution de Gertler (1999) réintroduit le comportement de cycle de vie dans le modèle de Blanchard (1985). Pour ce faire, l’auteur divise la population du modèle de Blanchard (1985) en deux stades de vie : le travail et la retraite. Les travailleurs font donc face, chaque période, à une probabilité constante de transiter vers la retraite, tandis que les retraités eux font face à une probabilité constante de décéder. Ces horizons identiques pour tous les individus d’un stade, peu importe leur âge, impliquent des propensions marginales à consommer identiques pour tous les individus de ce stade. Afin de neutraliser l’impact du risque associé à la baisse des revenus du travail lors de la transition vers la retraite, sans éliminer le comportement de cycle de vie qu’elle génère, Gertler (1999) adopte également une classe spéciale de fonction d’utilité proposée par Farmer (1990) qui implique un comportement neutre au risque de la part des travailleurs. L’imposition de ces hypothèses permet ainsi l’obtention de fonctions de consommation et d’épargnes agrégées simples. En plus de ces modifications à la structure du modèle de Blanchard (1985), Gertler (1999) introduit une politique gouvernementale compre-nant, notamment, une taxe forfaitaire et des versements de sécurité sociale. Ce cadre théorique simple permet ainsi l’analyse de politiques qui redistribuent la richesse non humaine entre les travailleurs et les retraités, de manière à complémenter l’analyse plus détaillée effectuée à l’aide des modèles à génération imbriqués à grande échelle. Gertler (1999) propose également des extensions permettant d’étendre l’analyse à une petite économie ouverte et à un marché du travail flexible.

De nombreux auteurs ont utilisé le modèle de Gertler (1999) pour analyser une variété d’en-jeux reliés aux politiques publiques de redistribution. Par exemple, Kilponen et al. (2006) étudient l’impact du vieillissement de la population finlandaise sur la charge fiscale du gou-vernement de ce pays. Leur modèle, qui comprend un secteur public et un système de pension de type PAYG, ajoute au cadre de Gertler (1999) une variation stochastique dans l’évolu-tion démographique, une taxal’évolu-tion avec distorsion et un marché du travail imparfait. Leurs simulations indiquent que les imperfections du marché jouent un rôle important dans la

dé-termination du fardeau fiscal supplémentaire induit par le vieillissement de la population. Ces imperfections alourdissent ainsi le problème de soutenabilité fiscale. À l’aide de modèles simi-laires à celui Kilponen et al. (2006), Kilponen et Ripatti (2006) et Kinnunen (2008) étudient plusieurs options envisageables afin de réduire le fardeau fiscal du gouvernement finlandais. Les premiers montrent notamment que des réformes améliorant l’environnement compétitif du marché du travail et du marché des biens permettent d’améliorer le solde du secteur public ; alors que le second montre qu’un lissage de la taxation, grâce à l’utilisation des fonds publics, permet de réduire le fardeau fiscal supplémentaire induit par le vieillissement de la population.

Plus près du sujet de ce mémoire, une série de papiers de Keuschnigg et Keuschnigg (2004), Fisher et Keuschnigg (2010), Jaag et al. (2010) et Sánchez-Romero et al. (2013) étudient le système de pension autrichien de type PAYG et ses réformes potentielles, en parallèle au vieillissement de la population autrichienne. Le modèle de Keuschnigg et Keuschnigg (2004), à la base de cette série de papiers, comprend lui aussi un secteur public et un système de pension de type PAYG. Il permet également une variation stochastique de la structure démographique, une taxation avec distorsion et un marché du travail imparfait. Les auteurs étudient trois ré-formes potentielles visant à améliorer la soutenabilité du système de pension autrichien, soit l’augmentation de l’âge de la retraite, la réduction des bénéfices et l’augmentation du taux de contribution. Ils concluent que l’augmentation de l’âge de la retraite et la réduction des bénéfices améliorent considérablement la situation du marché du travail en induisant une aug-mentation de l’intensité de la recherche d’emploi, ce qui a pour effet de diminuer le taux de chômage, et en augmentant le nombre d’heures travaillées. Poursuivant cette série de papiers, Sánchez-Romero et al. (2013) proposent une extension comportant une structure démogra-phique plus détaillée, dont les générations sont constituées de ménages composés d’un adulte et d’enfants à charge. Ces générations de ménages varient non seulement selon leur richesse non humaine, mais également selon leur structure de ménage, leur longévité et leur niveau d’éducation. À l’aide de ce modèle plus détaillé, ils étudient les impacts sur le système de sécurité sociale et sur la croissance économique des réformes apportées au système de pension autrichien. Ils concluent que ces réformes sont positives, bien qu’elles n’éliminent pas totale-ment les distorsions du marché du travail induites par le système de pension, et proposent des politiques permettant d’augmenter l’offre de travail et la croissance économique en Autriche.

Les extensions au modèle de Gertler (1999) présentes dans la littérature ne permettent toute-fois pas l’analyse de politiques qui redistribuent la richesse non humaine entre les travailleurs, les retraités et les personnes très âgées, qui disposent potentiellement de moins de ressources et sont donc plus vulnérables. Ces extensions ne permettent donc pas de simuler les impacts macroéconomiques de la rente longévité proposée dans le rapport d’Amours.

Dans le but de permettre cette simulation tout en conservant la simplicité d’analyse, ce mé-moire affine le comportement de cycle de vie du modèle de Gertler (1999) en divisant le cycle de vie de ce modèle en trois stades ; le travail, la retraite active et la retraite inactive. Afin d’augmenter le réalisme du modèle, une probabilité constante de décès est également attribuée à chacun des trois stades de vie. Ce cadre théorique simple permet ainsi l’analyse de politiques qui redistribuent la richesse non humaine entre les travailleurs, les retraités et les personnes très âgées, de manière à complémenter l’analyse plus détaillée effectuée à l’aide des modèles à génération imbriqués à grande échelle.

Chapitre 2

Le modèle

L’outil d’analyse numérique développé dans ce mémoire est un modèle dynamique d’équilibre général (MDEG) à générations imbriquées (OLG). Les modèles dynamiques d’équilibre général constituent une branche de la modélisation macroéconomique permettant la prise en compte des comportements individuels dans la détermination des grands agrégats économiques comme la consommation, l’investissement et les dépenses gouvernementales, tout en s’assurant que ces décisions individuelles soient compatibles avec un équilibre simultané sur les différents mar-chés. La sous-catégorie des modèles à générations imbriquées analyse l’hétérogénéité dans les comportements individuels attribuable au cycle de vie des individus, élargissant ainsi la portée du cadre d’analyse. Un exemple de ce type de modélisation est représenté par la contribution de Gertler (1999), dans lequel le cycle de vie comporte deux stades : le travail et la retraite.

Ce mémoire étend le cadre d’analyse développé par Gertler (1999) en lui ajoutant un troi-sième stade de vie, celui de la retraite inactive, et en attribuant une probabilité de décès à chacun des trois stades. De plus, alors que les individus dans les deux premiers stades de vie ont la possibilité de participer au marché du travail, ceux arrivés au troisième stade ne travaillent plus. L’ajout de ce troisième stade de vie, pendant lequel les revenus de travail sont nuls mais les besoins demeurent, nous permet d’analyser une catégorie d’agents économiques plus vieux et potentiellement plus vulnérables financièrement vers lesquels la rente longévité est dirigée. La présence d’une probabilité de décès à chacun des trois stades permet, quant à elle, d’introduire la possibilité pour les individus de participer au financement de la rente longévité, mais de décéder avant d’en recevoir les bénéfices. Cette rente longévité est non capitalisée et de type « pay-as-you-go » (PAYG) et le mémoire analyse deux moyens de la financer.

2.1

Hypothèses

Trois séries d’hypothèses sous-tendent l’analyse. Ces hypothèses couvrent l’évolution démo-graphique, les véhicules d’épargne disponibles et les préférences des agents économiques, res-pectivement.

2.1.1 Évolution démographique

Les individus naissent travailleurs et traversent potentiellement jusqu’à trois étapes dans leur cycle de vie : ils sont d’abord travailleurs (i = 1), puis retraités actifs (i = 2) et retraités inactifs (i = 3). L’évolution étant chronologique à travers ces trois stades, le stade j = i + 1 succède au stade i. Les travailleurs participent pleinement au marché du travail, tandis que les retraités actifs y participent de manière moins intensive et les retraités inactifs n’y par-ticipent pas. Notons également que les individus sont mortels et leur vie peut prendre fin à chaque période, peu importe le stade de vie. Cette probabilité de décès introduit un « risque de longévité » qui fait en sorte que certains individus ne seront jamais retraités inactifs alors que d’autres pourraient demeurer à ce stade de vie pour une très longue période.

L’avenir d’un individu au stade i = 1, 2 est tributaire de trois probabilités. Il peut demeurer au même stade avec la probabilité γ_ii; et il peut transiter vers le stade suivant avec la probabilité γij. Sa probabilité de survivre à la période suivante étant de (γii+ γij), la troisième probabi-lité est donc celle d’un décès et est égale à γ_iD = 1 − (γii+ γij). Un agent arrivé au stade de retraité inactif (i = 3) ne fait face qu’à deux probabilités : il peut demeurer un retraité inac-tif avec la probabilité γ33; et sa probabilité de décéder à la période suivante est donc de 1−γ33.

Il est important de noter que cette construction démographique fait en sorte que les indi-vidus de chaque cohorte (les indiindi-vidus d’un stade donné) font tous face à la même évolution démographique future. Ces horizons identiques pour tous les individus d’un stade donné im-pliquent ainsi des propensions marginales à consommer identiques à travers ce stade et des décisions individuelles similaires quant à l’offre de travail, l’épargne et la consommation. Ces hypothèses permettent donc de réduire la difficulté opérationnelle à résoudre et simuler le modèle tout en conservant une diversité démographique intéressante.

Ces hypothèses spécifiant les transitions d’un stade à l’autre permettent de déduire les règles gouvernant la dynamique de la population agrégée en appliquant la loi des grands nombres aux probabilités individuelles décrites ci-dessus. Soit N1,t, le nombre de travailleurs au temps t et (n − γ11) N1,t, le nombre de naissances en t + 1. La dynamique de la population de travailleurs est donc donnée par :

Les hypothèses imposées au nombre de naissance et à la probabilité de demeurer travailleur permettent ainsi l’obtention d’un taux de croissance exogène brut de la force de travail égal à n, un paramètre dont la valeur numérique sera calibrée plus bas. Le nombre de retraités actifs évolue quant à lui en suivant la formulation suivante :

N2,t+1= γ12N1,t+ γ22N2,t, alors que le nombre de retraités inactifs suit plutôt :

N3,t+1= γ23N2,t+ γ33N3,t.

2.1.2 Véhicules d’épargne

Les agents économiques ont accès aux services d’un fond mutuel qui rassemble l’épargne de chaque cohorte, l’investit et en distribue les bénéfices aux détenteurs de parts. Les fonds in-vestis rapportent le rendement Rt, dont la détermination est décrite ci-dessous.

Tel que mentionné plus haut, chaque agent fait face à une probabilité de décéder de manière inopinée en laissant des actifs. Comme le présent modèle fait abstraction de considérations dynastiques ou d’héritage, nous faisons l’hypothèse que les actifs des agents décédés sont sim-plement redistribués aux agents survivants de la cohorte, au prorata de leur participation initiale1.

Le rendement effectif pour chacun des agents survivants se trouve donc bonifié par cette redistribution des actifs des agents décédés. Ainsi, une personne au statut de retraité inactif ayant cotisé à la période t et survivant jusqu’à la période t + 1 recevra un rendement de _γ33Rt sur les montants engagés2. De même chaque individu au stade de vie i = 1, 2 ayant cotisé à la période t et survivant jusqu’à la période t + 1 recevra un taux de rendement brut par dollar investi de _γii+γijRt . Cette hypothèse implique que les agents en transition vers les stades 2 et 3 profitent de cette redistribution avant de quitter vers le stade suivant.

2.1.3 Préférences

Soit di,t, le panier de consommation d’un individu au stade de vie i = 1, 2, 3 en t et soit ρ, un paramètre reflétant la substitution intertemporelle. Les préférences de l’individu sont représentées par la fonction de valeur Vi,t suivante :

Vi,t= [(di,t)ρ+ βi(Et{Vt+1|i})ρ] 1

ρ_{, (2.1)}

1. Cette manière d’organiser la disposition d’actifs laissés par des agents décédés est utilisée couramment dans la littérature, notamment par Yaari (1965), Blanchard (1985) et Gertler (1999). Nous l’étendons toutefois à l’environnement particulier de notre modèle avec les trois cohortes distinctes.

2. Cette bonification du rendement survient comme suit. Une fraction (1 − γ33) Rt des actifs se retrouve

sans propriétaire suite au décès de certains agents. Comme ces surplus sont distribués au prorata des agents survivants, cette bonification est égale à (1−γ33)Rt

γ33 , qui s’ajoute au rendement ordinaire (Rt) pour donner

Rt

où le facteur d’escompte effectif β_i, l’espérance conditionnelle de la fonction de valeur en t + 1, Et{Vi+t|i}, et le panier de consommation di,t sont spécifiés en fonction du stade de vie de l’individu à la période t.

Cette fonction d’utilité, proposée par Farmer (1990), fait partie de la famille des préférences abandonnant l’hypothèse de l’utilité espérée en faveur d’une hypothèse d’utilité non espérée. Cette formulation plus générale des préférences permet de différencier les concepts d’aversion pour le risque et de substitution intertemporelle. Sous l’hypothèse de l’utilité espérée, le coef-ficient d’aversion au risque est toujours par construction l’inverse de celui de la substitution intertemporelle lorsque les préférences sont additives dans le temps. L’hypothèse de l’utilité non espérée permet de briser ce lien étroit et de traiter indépendamment ces deux aspects conceptuellement distincts des préférences. La fonction spécifique proposée par Farmer a la particularité d’imposer la neutralité au risque, tout en permettant une élasticité de substitu-tion intertemporelle σ = _1−ρ1 différente de l’infini. L’hypothèse de neutralité au risque permet d’évacuer du modèle les effets de la dispersion des revenus causée par la transition entre les différents stades de la vie3. En d’autres mots, les choix des agents vont être influencés par les revenus espérés durant leur cycle de vie, mais pas par la dispersion de ceux-ci autour de leur espérance.

Pour simplifier la manipulation algébrique du modèle, le facteur effectif d’escompte d’un agent au stade i (βi) est modélisé comme le produit de sa probabilité de survie (γii+ γij) et du fac-teur d’escompte β commun à tous les stades de vie. Cette hypothèse mène aux formulations suivantes pour les facteurs d’escomptes effectifs des stades de vie 3, 2 et 1 :

β3 = βγ33;

β2 = β (γ22+ γ23) ; β1 = β (γ11+ γ12) .

Ces facteurs d’escompte effectifs diminuent ainsi le poids accordé au futur, par rapport à ce que nous observerions dans un modèle avec horizon infini sans probabilités de décès.

Les espérances conditionnelles se retrouvant dans l’expression (2.1), quant à elles, sont spé-cifiées en fonction du stade de vie et selon la moyenne pondérée des fonctions de valeur en

3. La perte de revenu de travail qu’un agent rencontre à mesure qu’il traverse les trois stades de vie est décrite à la section 2.3.

t + 1 : Et{Vt+1|3} = V3,t+1; Et{Vt+1|2} =  γ22 γ22+ γ23  V2,t+1+  γ23 γ22+ γ23  V3,t+1; Et{Vt+1|1} =  γ11 γ11+ γ12  V1,t+1+  γ12 γ11+ γ12  V2,t+1;

où les pondérations représentent les probabilités de demeurer au même stade et de transiter vers le stade suivant, respectivement, conditionnellement à la survie de l’individu jusqu’en t+1.

Cette spécification des préférences implique, par exemple, qu’un individu au stade 1 retire de l’utilité de son panier de consommation d_1,t à la période t. Il retire également de l’utilité de l’espérance des fonctions de valeur qu’il peut obtenir en supposant qu’il survit à la période t+1. Cette espérance est composée de la fonction de valeur V1,t+1qu’il obtiendra en supposant qu’il survit et demeure au stade 1 à la période t + 1 et de la fonction de valeur V_2,t+1 qu’il obtiendra en supposant qu’il survit et transite plutôt vers le stade 2 à la période t + 1. Puisque cet individu est mortel, son utilité future est pondérée par sa probabilité de survie (γ11+ γ12), en plus du facteur d’escompte commun β, de manière à prendre en compte sa probabilité de décéder à la période t + 1.

2.1.4 Paniers de consommation

Soit c_i,t, la consommation de biens et `_i,t, la fraction du temps alloué au loisir, pour un individu au stade de vie i = 1, 2, 3 en t. Le panier de consommation de l’individu combine les biens de consommation et le loisir4 de la manière suivante :

di,t = cυii,t(Xt`i,t)1−υi,

où l’état de la technologie est donné par Xt. La présence de ce terme dans le panier de consom-mation permet d’assurer l’existence d’un équilibre de long terme pour le loisir, en dépit de la croissance de long terme de la productivité du travail.

La part des biens de consommation dans le panier de consommation, υ_i, est spécifiée en

4. Bien que le panier de consommation retenu pour ce mémoire soit constitué de biens de consommation et de loisir, l’analyse pourrait être étendue afin d’accommoder une foule de situations. Il peut être constitué, par exemple, de deux types de biens, comme les biens de consommation et les biens de santé [voir Drapeau (2013)] ou encore les biens de consommation et les biens immobiliers. Il peut également être constitué, par exemple, de plus d’un type de bien et de loisir.

fonction du stade de vie de l’individu à la période t de la manière suivante :

d3,t = c3,t;

d2,t = cυ2,t(Xt`2,t)1−υ ; d1,t = cυ1,t(Xt`1,t)1−υ.

On voit que la part υ3 des biens de consommation dans le panier de consommation des indi-vidus au stade de vie 3 tend vers l’unité. Cette hypothèse implique que les retraités inactifs attribuent la totalité de leur panier aux biens de consommation et ne retirent aucune utilité de leur loisir. Puisque ces retraités inactifs n’ont pas la possibilité de travailler, ils sont tout de même contraints de consacrer la totalité de leur dotation en temps au loisir et n’ont donc pas de revenus du travail. De plus, la part des biens de consommation dans le panier de consom-mation des individus aux stades de vie 2 et 1 sont supposés identiques υ₂ = υ1 = υ afin de simplifier l’analyse5. Ces individus qui ont, quant à eux, la possibilité de travailler partagent leur dotation en temps entre le travail et le loisir.

2.2

Décisions des agents

Chaque individu prend ses décisions d’épargne, de consommation et de loisir en envisageant le temps sur deux périodes ; le présent et le futur. De plus, il prend ses décisions à rebours, c’est-à-dire en anticipant ses propres décisions futures et considérant comme donnée l’évolu-tion future du taux d’intérêt Rt, des salaires Wi,t, des versements de la rente longévité et de son financement.

Les problèmes de décisions des agents sont séparés en deux étapes : les décisions intertem-porelles et les décisions intratemintertem-porelles. Cette séparation des problèmes de décision, qui est réalisable en raison de la fonction d’utilité employée dans ce modèle, facilite le développe-ment d’extensions au modèle de Gertler (1999). La première étape du problème de décision de chaque agent consiste donc à déterminer la répartition intertemporelle optimale de la dé-pense. La deuxième étape du problème de décision des agents consiste ensuite à déterminer la répartition intratemporelle optimale du panier imparti entre la consommation et le loisir, de manière à minimiser son coût d’acquisition. Les décisions individuelles de l’ensemble des agents présents sont alors agrégées pour obtenir l’équilibre partiel dynamique.

5. Bien que la part identique υ des biens de consommation dans le panier de consommation des individus aux stades de vie 2 et 1 permette de simplifier l’analyse, cette part pourrait également être différenciée selon υ2 et υ1 pour une analyse plus fine.

2.2.1 Décisions intertemporelles des retraités inactifs

Chaque retraité inactif est doté d’une unité de temps, sans possibilité de travailler. Ce temps, bien qu’entièrement consacré au loisir, ne rapporte aucune utilité. Ces agents sont ceux qui bénéficient de versements de la rente longévité, financée par les travailleurs et les retraités actifs.

Soit a3,tet p3,t, les actifs au début de la période t et le prix unitaire du panier de consommation choisi par un retraité inactif en t, et faisons l’hypothèse que cet agent survit au moins jusqu’en t + 1. Chaque période, cet agent dépense d3,tp3,t pour se procurer un panier de consommation et épargne le reste de son revenu pour le futur. Il finance ces décisions de consommation et d’épargne à même ses revenus d’actifs et le versement obtenu de la rente longévité, de manière à respecter la contrainte budgétaire suivante :

a3,t+1=  Rt

γ33 

a3,t+ e3,t− d3,tp3,t, (2.2)

où _γ33Rta3,t représente la richesse financière, qui comprend le capital et les intérêts sur ce capital au début de la période t, et e3,t représente le versement obtenu de la rente longévité.

La première étape du problème de décision consiste donc à déterminer la valeur optimale du panier de consommation et de l’accumulation d’actif de manière à résoudre le problème d’optimisation suivant : V3,t = max {d3,t, a3,t+1}[(d3,t) ρ + β3(Et{Vt+1|3})ρ] 1 ρ s.c. a3,t+1=  Rt γ33  a3,t+ e3,t− d3,tp3,t.

La condition du premier ordre résulte en une équation d’Euler qui peut être représentée ainsi : d3,t+1=  p3,t p3,t+1  Rt+1β σ d3,t. (2.3)

Cette équation d’Euler donne la relation entre le panier de consommation futur d3,t+1 et ce-lui de la période courante d_3,t. Cette relation implique, par exemple, qu’une hausse du taux d’intérêt Rt+1, augmentant le coût d’opportunité de consommer à la période t, engendre une baisse du panier de consommation présent d3,t, toutes choses étant égales par ailleurs.

Afin d’obtenir une solution pour la dépense d3,tp3,t, nous postulons l’existence d’une règle de décision simple, qui suppose que cette dépense est proportionnelle à la richesse totale de l’individu6, si bien que l’on a :

6. Il sera ensuite prouvé que la forme postulée pour la règle de décision (2.4) est vraie et que cette forme simple est liée à la forme de l’utilité.

d3,tp3,t = κ3,t  Rt γ33  a3,t+ h3,t  , (2.4)

où κ_3,t et h_3,t représentent la propension marginale à consommer la richesse totale et la ri-chesse humaine du retraité inactif, respectivement. Puisqu’un retraité inactif ne travaille pas, sa richesse humaine n’inclut pas de revenus du travail et comprend uniquement les versements présents et futurs de la rente longévité. Cette richesse humaine, identique pour toutes les per-sonnes âgées, est donc la somme actualisée de tous les versements futurs de la rente longévité. Elle peut s’écrire de manière concise à l’aide de la forme récursive suivante :

h3,t = e3,t+ γ33 h3,t+1

Rt+1 .

En combinant la contrainte budgétaire (2.2), l’équation d’Euler (2.3) et la règle de décision (2.4) il est possible d’obtenir la restriction suivante sur la dynamique de la propension margi-nale à consommer κ3,t7 : κ3,t = 1 − "  p3,t p3,t+1 σ−1 Rσ−1_t+1βσγ33 # κ3,t κ3,t+1 .

Nous pouvons donc déduire que la propension marginale à consommer, commune à chaque individu au stade 3 du cycle de vie, varie uniquement en fonction du taux d’intérêt et du ratio du prix futur et du prix présent p3,t+1_p3,t , deux variables exogènes du point de vue de l’agent. Pour faciliter la comparaison avec les autres travaux de cette littérature, notamment Gertler (1999), nous dénotons les propensions marginales à consommer des agents des stades 2 et 3 comme étant proportionnelles aux propensions marginales des stades précédents. Ainsi, la propension marginale à consommer d’un agent au stade 2 est dénotée κ2,t = 1,t2,t où 1,t est la propension marginale à consommer des travailleurs et 2,t la propension marginale des retraités actifs en proportion de celle des travailleurs. De la même manière, la propension marginale à consommer d’un agent au stade 3 peut s’écrire κ3,t = κ2,t3,t = 1,t2,t3,t où 3,t est la propension marginale des retraités inactifs en proportion de celle des retraités actifs8_.

2.2.2 Décisions intertemporelles des retraités actifs et des travailleurs

Chaque individu au stade de vie i = 1, 2 dispose d’une unité de temps qui est allouée au travail ou au loisir ; ce loisir apporte maintenant de l’utilité et apparaît donc dans le panier de consommation. Des taxes forfaitaires et des impôts sur le revenu de travail sont également imposés à ces agents afin de financer les versements de la rente longévité. Comme c’était le

7. Les dérivations détaillées pour tous les calculs sont disponibles sur demande.

8. Cette notation alternative des propensions marginales à consommer la richesse (PMCR), introduite uniquement pour simplifier l’interprétation des ratios de ces variables et pour faciliter les manipulations al-gébriques, permet donc de réécrire κ3,t=1,t2,t3,t pour la PMCR d’un retraité inactif, κ2,t=1,t2,t pour la

cas plus haut, leur problème d’optimisation anticipe leurs décisions futures.

Soit Wi,t, τ Wi,t et ft le salaire, le salaire net après impôts et la taxe forfaitaire payée par un individu au stade de vie i en t et qui survit jusqu’en t + 1. Cet individu alloue ses res-sources à l’épargne et à l’achat d’un panier de consommation d_i,t, formé de biens et de temps de loisir, au prix unitaire pi,t9. L’achat de ce panier est financé à même ses revenus d’investis-sements et le revenu maximal net d’impôts10, de manière à respecter la contrainte budgétaire suivante : ai,t+1=  Rt γii+ γij 

ai,t+ τ Wi,t− ft− di,tpi,t. (2.5) Le problème de décision intertemporel consiste donc à déterminer la valeur optimale du panier de consommation et l’accumulation d’actif de manière à résoudre :

Vi,t = max

{di,t, ai,t+1}[(di,t) ρ + βi(Et{Vt+1|i})ρ] 1 ρ s.c. ai,t+1=  Rt γii+ γij 

ai,t+ τ Wi,t− ft− di,tpi,t.

La condition du premier ordre produit une équation d’Euler dont la formulation est similaire à (2.3), mais légèrement plus complexe en raison de la prise en compte par cette nouvelle formulation de la possibilité supplémentaire pour l’individu au stade i = 1, 2 en t de transiter vers le stade j en t + 1. Cette équation d’Euler peut être représentée sous la forme suivante :

 γii γii+ γij  di,t+1+  γij γii+ γij   σ 1−σ j,t+1dj,t+1 =  pi,t pi,t+1  Rt+1Ωi,t+1β σ di,t, (2.6) où le terme  σ 1−σ

j,t+1 représente le taux marginal de substitution entre le stade i et j et reflète la différence dans l’utilité marginale de la consommation à chaque stade de vie. De plus Ω_i,t+1 est un facteur de pondération du taux de rendement brut des investissements, qui est présent parce que l’individu au stade i = 1, 2 actualise le futur à un taux plus élevé que les individus arrivés au stade 3, en raison de la finitude de l’horizon du stade en cours et de son espérance de vie. La formulation de ce facteur de pondération est donnée par :

Ωi,t+1=  γii γii+ γij  +  γij γii+ γij _p i,t+1 1 1−σ j,t+1 pj,t+1 . (2.7)

Comme c’était le cas plus haut, l’existence d’une règle de décision pour la dépense de l’individu, di,tpi,t, est postulée, en supposant que cette dépense est proportionnelle à la richesse totale de l’individu :

di,tpi,t = κi,t  Rt γii+ γij  ai,t+ hi,t  . (2.8)

9. Nous décrivons la détermination de pi,tci-dessous dans le cadre du problème intratemporel.

10. Le revenu maximal net d’impôts est le revenu net d’impôts qu’il gagnerait s’il ne prenait pas la décision intratemporelle de réallouer une fraction de sa dotation en temps au loisir.

Dans cette expression, la richesse humaine de l’individu au stade i, h_i,t, est encore une fois identique pour tous les individus. Cependant, sa forme est différente de celle des retraités inactifs parce qu’elle inclut la somme actualisée de tous les revenus futurs de travail nets des taxes et impôts : hi,t = τ Wi,t− ft+ γii hi,t+1 Rt+1Ωi,t+1 + γij pi,t+1 1 1−σ j,t+1 pj,t+1 hj,t+1 Rt+1Ωi,t+1 . (2.9)

Cette formulation de la richesse humaine prend en compte la possibilité pour un individu au stade i = 1, 2 en t de transiter vers le stade j = i + 1 à la période suivante. La richesse humaine au stade suivant est donc représentée dans (2.9) grâce à la présence du terme hj,t+1, qui correspond à la richesse humaine d’un individu au stade i en t qui transite vers le stade j en t + 1.

En combinant la contrainte budgétaire (2.5), l’équation d’Euler (2.6) et la règle de décision postulée (2.8) nous pouvons parvenir à une équation décrivant l’évolution de la propension marginale à consommer κi,t :

κi,t= 1 − "  pi,t pi,t+1 σ−1 (Rt+1Ωi,t+1)σ−1βσ(γii+ γij) # κi,t κi,t+1 ,

qui est identique pour tous les individus du stade de vie i et dépend du taux d’intérêt, du fac-teur de pondération du taux d’intérêt Ωi,t+1et du ratio du prix futur au prix courant

_pi,t+1 pi,t

 .

La solution du problème de décision des individus au stade i est, elle aussi, influencée par la finitude de l’horizon de vie espéré. De plus, cette solution est influencée par la finitude de l’horizon du stade en cours. En effet, la présence de la probabilité de transition a pour consé-quence notable d’induire un comportement d’épargne pour le stade suivant, entre autres par sa présence dans Ωi,t+1> 1 (voir (2.7)), le facteur de pondération du taux d’intérêt. Ce facteur de pondération, qui varie positivement avec la probabilité conditionnelle de transition au stade suivant,

 _γij γii+γij



, et avec le ratio des propensions marginales à consommer du stade j et du stade i, j,t+1 > 1, augmente le taux d’escompte effectif de la richesse humaine, à l’image de Gertler (1999). Cette augmentation du taux d’escompte effectif réduit la valeur de la richesse humaine, comparativement au cas d’un horizon de vie infini, ce qui diminue la consommation et augmente l’épargne, et contribue ainsi à reproduire un comportement de cycle de vie.

2.2.3 Décisions intratemporelles des agents

Une fois la décision intertemporelle entre épargne et dépense courante effectuée, chaque agent (i = 1, 2, 3) détermine ensuite comment séparer cette dépense courante en demande de biens de consommation et de loisir.

Ce problème intratemporel fonctionne comme suit. Soit φ_i,t, le coût d’acquisition du panier de consommation à la période t pour un individu au stade de vie i = 1, 2, 3, déterminé par l’addition du coût d’opportunité du loisir pour cet individu, τ W_i,t`i,t, et de la quantité acquise de biens de consommation c_i,t11 :

φi,t= ci,t+ τ Wi,t`i,t. (2.10) Le problème consiste à déterminer ci,t et `i,t en minimisant le coût d’acquisition φi,t. On a donc :

min

{ci,t, `i,t}φi,t = ci,t+ τ Wi,t`i,t s.c. d_i,t = cυi_i,t(Xt`i,t)1−υi.

La combinaison des équations du premier ordre pour c_i,t et `_i,t donne la demande de biens de consommation et la demande de loisir :

ci,t= υidi,tpi,t;

`i,t= (1 − υi) di,tpi,t

τ Wi,t .

Le prix du panier de consommation de l’individu du stade de vie i, équivalent à son coût unitaire minimal en terme de biens de consommation, est ensuite donné grâce à la valeur de la fonction objectif (2.10) à l’optimum :

pi,t = 1 υiυi(1 − υi)1−υi  τ Wi,t Xt 1−υi .

Tel que décrit plus haut, la part υ3des biens de consommation dans le panier de consommation des individus au stade de vie 3 tend vers l’unité et la part des biens de consommation dans le panier de consommation des individus aux stades de vie 2 et 1 sont supposés identiques υ2 = υ1 = υ. Ces hypothèses impliquent que la demande de biens de consommation et le prix du panier de consommation d’un individu au stade de vie 3 sont :

c3,t = d3,tp3,t; p3,t = 1 ;

c.-à-d. la dépense des retraités inactifs est entièrement consacrée à l’achat de biens de consom-mation. D’autre part, ces hypothèses impliquent que la demande de biens et de loisir de même

que le prix du panier pour les individus aux stades de vie 2 et 1 sont : ci,t = υ di,tpi,t;

`i,t = (1 − υ) di,tpi,t τ Wi,t ; pi,t = 1 υυ_{(1 − υ)}1−υ  τ Wi,t Xt 1−υ .

Finalement, la demande de loisir des individus aux stades de vie 2 et 1, qui réalloue une fraction de leur dotation en temps au loisir, est utilisée pour déterminer leur offre de travail, de manière résiduelle.

2.2.4 Dépenses agrégées

La dépense agrégée de chaque cohorte est obtenue en faisant la somme des dépenses indivi-duelles des individus de la cohorte. Comme décrit ci-dessus, la dépense agrégée des retraités inactifs est entièrement consacrée à l’achat de biens de consommation. La dépense agrégée des agents au stade 1 et la dépense agrégée des agents au stade 2 sont, quant à elles, distribuées entre une dépense en biens de consommation et une dépense de loisir. Les dépenses agrégées en loisir de ces deux stades permettent ensuite de déterminer les offres agrégées de travail leur correspondant.

Ces additions sont réalisables, en dépit de l’hétérogénéité du niveau et de la composition des richesses individuelles, grâce à l’uniformité de la propension marginale à consommer, κi,t, pour tous les agents d’une même cohorte. Soit A_i,t et H_i,t, les actifs agrégés accumulés entre la période t − 1 et t, et la richesse humaine agrégée des individus du stade i = 1, 2, 3 (voir l’Annexe A), respectivement. Le rendement agrégé brut par dollar investi à ce stade n’est pas affecté par le rendement brut supplémentaire offert par chaque fond mutuel au niveau individuel, ce rendement supplémentaire provenant uniquement d’une redistribution des actifs à l’intérieur de chacune des catégories. Ce rendement agrégé brut est donc équivalent à Rt, le rendement brut du marché. Étant donné la richesse financière totale R_tAi,t, le panier de consommation agrégé Di,t et la dépense agrégée Di,tpi,t des individus au stade i sont donnés par :

Di,tpi,t = κi,t(RtAi,t+ Hi,t) .

À l’image des comportements individuels, la dépense agrégée du stade 3 est entièrement consa-crée à la dépense en biens de consommation de sorte que :

C3,t = D3,t, où nous avons imposé le résultat selon lequel :

La dépense agrégée des agents aux stades de vie i = 1, 2, quant à elle, est répartie entre biens de consommation et loisir, de sorte que :

Ci,t = υDi,tpi,t;

(τ Wi,t) `i,tNi,t = (1 − υ) Di,tpi,t; où `_i,t est la fraction du temps total N_i,t allouée au loisir à ce stade.

L’offre agrégée de travail pour chacune des deux cohortes i = 1, 2, Li,t, est finalement ob-tenue en soustrayant le temps de loisir choisi par les agents, `_i,tNi,t, de leur dotation totale en temps, de sorte que :

Li,t = (1 − `i,t) Ni,t.

2.2.5 Dynamiques des actifs agrégés

La somme des actifs détenus par les agents de chaque cohorte à une période donnée est détermi-née en répartissant l’épargne agrégée choisie par les agents pertinents à la période précédente. Cette répartition reflète les hypothèses formulées à propos de la dynamique démographique et des fonds mutuels par lesquels l’épargne se fait.

Soit E3,t les versements agrégés de la rente longévité et Ft la taxe forfaitaire totale. L’ac-tif agrégé des retraités inacL’ac-tifs en t + 1 comprend donc, d’une part, la totalité de l’épargne de cette cohorte en t ; et d’autre part, la fraction

 γ23 γ22+γ23



de l’épargne totale des retraités qui étaient actifs en t, c’est-à-dire l’épargne des retraités actifs qui ont transité vers le stade 3 entre la période t et la période t + 1. On a donc :

A3,t+1=  RtA3,t+ E3,t− D3,tp3,t  +  γ23 γ22+ γ23   RtA2,t+ τ W2,tN2,t− FtN2,t N1,t+ N2,t − D2,tp2,t  .

De manière analogue, l’actif agrégé des retraités actifs en t + 1 comprend d’abord la fraction 

γ22 γ22+γ23



de l’épargne de cette même catégorie d’agents en t, c’est-à-dire l’épargne des retraités actifs demeurant à ce stade. Il comprend également la fraction _γ11+γ12γ12  de l’épargne des travailleurs en t, c’est-à-dire l’épargne des travailleurs en t qui survivent, mais transitent vers le stade de la retraite active à la période suivante :

A2,t+1=  γ22 γ22+ γ23   RtA2,t+ τ W2,tN2,t− FtN2,t N1,t+ N2,t − D_2,tp2,t  +  γ12 γ11+ γ12   RtA1,t+ τ W1,tN1,t− FtN1,t N1,t+ N2,t − D1,tp1,t  .

Finalement, l’actif agrégé des travailleurs en t + 1 comprend simplement la fraction 

γ11 γ11+γ12



de l’épargne des travailleurs en t, correspondant à l’épargne des travailleurs qui survivent et demeurent travailleurs à la période suivante :

A1,t+1=  γ11 γ11+ γ12   RtA1,t+ τ W1,tN1,t− FtN1,t N1,t+ N2,t − D1,tp1,t  .

2.3

Production et équilibre général

L’équilibre général dynamique est obtenu en intégrant les règles de décision et d’accumulation décrites ci-dessus à une économie fermée dotée d’un secteur de production. Cette composante importante de l’analyse permet de rendre endogènes le taux d’intérêt Rt, les salaires Wi,t, et l’évolution des actifs agrégés totaux qui sera liée au stock de capital. Cette section détermine également le versement agrégé de la rente longévité E3,t, qui est financé par une taxe forfaitaire totale Ft ou par un impôt sur le revenu.

2.3.1 Production

Le secteur de production est caractérisé par une fonction de production Cobb-Douglas à ren-dements d’échelle constants. Le progrès technique accroît l’efficacité du facteur travail et il n’y a pas de coûts d’ajustements au niveau du capital12.

Soit la production agrégée Yt, le stock de capital agrégé Kt et l’état de la technologie Xt. À chaque période, le secteur de production emploie un intrant travail et loue le stock de capi-tal (qui appartient aux ménages) afin de produire un bien de consommation selon la fonction de production suivante :

Yt= (Xt(L1,t+ ξ2L2,t))αKt1−α, (2.11) où α représente la part du facteur travail et (1 − α) la part du facteur capital. On note dans (2.11) que, conformément à notre hypothèse, le temps de travail des retraités actifs (L_2,t) est moins productif que celui des travailleurs (L1,t)13: une hypothèse reflétée dans le fait qu’une unité de temps d’un retraité actif est équivalente à seulement ξ2 ∈ (0, 1) unité de temps d’un travailleur. En conséquence, l’offre agrégée effective de travail des retraités actifs est ξ₂L2,t.

La technologie s’accroit de manière exogène au taux de croissance brut de x, de sorte que : Xt+1= xXt.

12. Bien que ce mémoire modélise un seul secteur de production simple, parfaitement compétitif et sans coûts d’ajustements du capital, il est possible d’étendre le modèle pour permettre plusieurs secteurs de productions [voir Drapeau (2013)], qui peuvent inclure des coûts d’ajustements du capital et varier quant à leur degré de compétitivité [ex. : Kilponen et Ripatti (2006)].

13. Tel que décrit dans la section 3.1 ci-dessous, cette hypothèse représente une approximation des données sur la productivité selon le profil d’âge présentées par Auerbach et Kotlikoff (1987).

La fonction de production Cobb-Douglas et l’hypothèse de concurrence parfaite sur le marché du travail impliquent que le salaire des travailleurs sera égal à leur productivité marginale, de sorte que :

W1,t = α

Yt L1,t+ ξ2L2,t

.

En raison de la différence de productivité, ce même raisonnement implique également que le salaire des retraités actifs sera plus faible que celui des travailleurs, et donc égal à :

W2,t = ξ2W1,t.

À l’équilibre général, l’accumulation du capital physique est la seule forme d’épargne possible pour les trois types d’agents. Le rendement de l’épargne, c’est-à-dire le taux d’intérêt, découle donc du produit marginal du capital et de la valeur du capital non déprécié :

Rt= (1 − α) Yt Kt

+ (1 − δ) , où, δ est le taux de dépréciation du capital.

2.3.2 Rente longévité et politique fiscale.

La rente longévité de type « pay-as-you-go (PAYG) »14 décrite dans ce modèle est liée au revenu des travailleurs et n’est pas capitalisée. Cette rente longévité, dont les versements sont nuls dans le scénario de référence, est financée par une taxe forfaitaire dans le scénario avec un financement neutre, ou par un impôt sur le revenu de travail dans le scénario avec un financement ayant un effet de distorsion15_.

La rente longévité versée à chacun des retraités inactifs est par hypothèse un pourcentage µ du revenu moyen des travailleurs L1,tW1,t_N1,t . La rente agrégée E_3,t est donc donnée par l’expression : E3,t = µ  L1,tW1,t N1,t  N3,t. (2.12)

Les versements de la rente longévité sont donc identiques pour tous les retraités inactifs et pro-portionnels au revenu moyen des travailleurs. Cette formulation de la rente longévité permet de lier les versements de la rente longévité au revenu des travailleurs, dans l’esprit de la rente proposée dans le rapport d’Amours. L’hétérogénéité des historiques de revenus individuels n’est toutefois pas prise en compte par cette formulation, afin de préserver notre capacité à résoudre le modèle.

14. Nous employons le terme anglais « pay-as-you-go », qui est traduit en français par le terme « par répartition », en raison de son emploi fréquent dans la littérature, y compris dans la littérature francophone.

15. Ces différents scénarios et les spécifications des équations (2.12) et (2.13) qui leur sont associés sont décrits à la section 3.2 ci-dessous.

Le gouvernement finance le versement agrégé de la rente longévité à l’aide des sommes to-tales amassées en taxes forfaitaires F_t(dans le scénario forfaitaire), ou en impôt sur le revenu (1 − τ ) (L1,tW1,t+ L2,tW2,t) (dans le scénario avec distorsion)16. En l’absence de possibilité d’endettement, il respecte donc la contrainte budgétaire par période suivante :

E3,t = Ft+ (1 − τ ) (L1,tW1,t+ L2,tW2,t) . (2.13)

2.3.3 Équilibre de marché et contrainte de ressource

À l’échelle de la société, le seul outil d’épargne disponible dans ce modèle est le capital. La détention totale d’actifs doit donc être égale au stock de capital, si bien que :

A1,t+ A2,t+ A3,t = Kt.

L’équation dynamique du stock de capital de cette économie fermée17 est quant à elle donnée par :

Kt+1= Yt− (C1,t+ C2,t+ C3,t) + (1 − δ) Kt.

2.4

État stationnaire

Nous nous intéressons maintenant à l’état stationnaire du modèle, une situation qui survient lorsque toutes les variables endogènes du modèle croissent à un rythme constant qui, dans notre cas, va dépendre du taux de croissance brut de la population (n) et de celui de la tech-nologie (x). Dans l’analyse macroéconomique dynamique, on interprète l’état stationnaire du modèle comme un équilibre de long terme, ou tendanciel, vers lequel une économie tend à converger. Cet équilibre de long terme, qui n’est donc pas nécessairement constanten niveau, peut également s’ajuster suite à l’impact d’un choc permanent tel que l’implantation de la rente longévité ou le changement définitif de son mode de financement18.

Pour faciliter le calcul de l’état stationnaire, on normalise généralement les équations du mo-dèle pour neutraliser les différents phénomènes liés à la croissance. Si le momo-dèle est caractérisé par une croissance démographique, par exemple, on calculera des variables sous forme de ratios. Dans ce contexte, plusieurs ratios liés à la démographie sont constants à l’état stationnaire.

16. Bien que les scénarios retenus pour ce mémoire n’adoptent pas plus d’un outil fiscal par scénario, il est également possible de modéliser une rente longévité financée de manière simultanée par une taxe forfaitaire et par un impôt sur le revenu, ou encore par d’autres outils fiscaux.

17. Bien que ce mémoire modélise une économie fermée sans consommation gouvernementale, il est possible d’étendre le modèle à un secteur public et à une économie ouverte [ex. : Keuschnigg et Keuschnigg (2004), Kilponen et Ripatti (2006)].

18. L’état stationnaire sert également souvent d’ancrage aux analyses stochastiques par lesquelles les com-portements associés aux cycles économiques sont simulés : dans ce cas, on calcule les déviations des différentes variables économiques par rapport à leur valeur d’état stationnaire suite à l’impact d’un choc transitoire, par exemple à la dynamique de la population ou de la technologie.

Ainsi, même si le nombre de retraités actifs et le nombre de retraités inactifs augmentent en raison de la croissance démographique, leratio de retraités actifs par travailleur, ψ₂, et leratio de retraités inactifs par travailleurs, ψ3, sont constants et donnés par les formules suivantes19:

ψ2 = γ12 n − γ22 ; ψ3 = γ12γ23 (n − γ22) (n − γ33) .

Vu autrement, à l’état stationnaire du modèle, le nombre de travailleurs, N_1,t, le nombre de re-traités actifs, ψ2N1,t, et le nombre de retraités inactifs, ψ3N1,t, croissent tous au même rythme, si bien que les ratios entre ces différentes cohortes sont constants.

Les taux de croissance de la population et de la technologie, deux variables exogènes, im-pliquent que toutes les variables de quantité agrégées croissent à l’état stationnaire. Afin de neutraliser cette dynamique temporelle et faciliter le calcul de l’état stationnaire, chaque va-riable agrégée de quantité est normalisée par rapport à un terme qui augmente au même taux que cette dernière20. Ainsi, les variables agrégées du stade i = 1, 2, 3, {E_3,t, D_i,t, C_i,t, Hi,t, Ai,t}, la taxe forfaitaire agrégée {Ft}, et les agrégats économiques {Yt, Kt}, qui aug-mentent tous au taux de croissance du travail effectif, sont normalisées par rapport à XtNi,t, Xt(N1,t+ N2,t) et Xt(N1,t+ N2,t+ N3,t), respectivement. Le temps de travail agrégé prove-nant des travailleurs au stade i = 1, 2, {Li,t}, qui augmente au taux de croissance de la popu-lation de son stade, est normalisé par rapport à Ni,t. Finalement, le salaire des travailleurs au stade i = 1, 2, {W_i,t}, qui augmente au taux de croissance de la technologie, est normalisé par rapport à Xt. Ces normalisations permettent ainsi de réécrire le modèle sans indices de temps. Les équations réécrites sous forme stationnaire sont présentées à l’Annexe B. Les lettres minus-cules sont réutilisées afin de dénoter les variables stationnaires normalisées. L’interprétation de ces variables est tributaire de la population employée pour leur normalisation.

19. Pour obtenir ψ2, on substitue N2,t= ψ2N1,t et N1,t+1= nN1,tdans la dynamique de la population de

retraités, N2,t+1 = γ12N1,t+ γ22N2,t, et on isole ψ2 = _n−γγ12

22. Pour obtenir ψ3, on substitue N3,t = ψ3N1,t,

N2,t = ψ2N1,t, N1,t+1 = nN1,t et ψ2 = _n−γγ12

22 dans la dynamique de la population de personnes très âgées,

N3,t+1= γ23N2,t+ γ33N3,t, et on isole ψ3=_(n−γγ12γ23

22)(n−γ33).

20. Les variables normalisées conservent ainsi leur croissance sous une forme sous-jacente, sans l’éliminer. La réécriture des variables normalisées permet donc de retrouver les valeurs des variables non normalisées.

Chapitre 3

Expériences de politiques

Ce chapitre procède à l’étalonnage du modèle et à l’analyse des résultats de la simulation des trois scénarios de politiques. Deux types de paramètres doivent être calibrés. D’une part, les paramètres représentant les préférences, la structure de production et la dynamique des variables exogènes doivent être établis. D’autre part, les différentes politiques liés à la rente longévité que nous désirons analyser doivent être définies.

3.1

Étalonnage des paramètres structurels

Les valeurs des paramètres structurels directement repris de Gertler (1999) sont présentées à la Table 3.1:

Table 3.1: Paramètres structurels

Paramètres σ β δ α x n υ ξ2

Valeurs des paramètres 0,25 0,96 0,1 0,667 1,01 1,01 0,4 0,6

Les valeurs des paramètres exogènes σ = 0,25, β = 0,96, δ = 0,1, α = 0,667, x = 1,01, n = 1,01, υ = 0,4 et ξ2 = 0,6 sont directement reprises de Gertler (1999), lui-même guidé par Auerbach et Kotlikoff (1987), de manière à conserver la comparabilité avec la littérature. La valeur de l’élasticité de substitution intertemporelle σ, qui joue un rôle majeur dans la détermination de la sensibilité de l’épargne aux variations du taux d’intérêt, diverge considé-rablement dans la littérature. Cette valeur a été fixée à 0,25 par Gertler (1999), de manière à conserver la comparabilité avec Auerbach et Kotlikoff (1987) et avec les autres études de cycle de vie. Les valeurs des autres paramètres structurels sont assez standard dans la littérature sur les cycles économiques. La valeur du facteur d’escompte β commun à tous les stades de vie implique un taux d’intérêt annuel d’environ 5,3% dans l’économie de référence1. Cette

valeur du taux d’intérêt est comparable aux observations pour les valeurs des moyennes de long terme du taux d’intérêt. La valeur du taux de dépréciation du capital δ correspond à une dépréciation de 10% du capital sur une base annuelle. La valeur de la part du facteur travail α, combinée à l’hypothèse d’une concurrence parfaite sur le marché du travail, implique quant à elle que 2/3 de la valeur de la production est consacrée à la rémunération du facteur travail et donc que 1/3 de la valeur de la production est consacrée au remplacement et à la rémunération du facteur capital. Les valeurs des taux de croissance exogènes nets de la technologie x et de la force de travail n, tous deux fixés à 1% par année, impliquent un taux de croissance net de 2% par année2. Puisque ce taux annuel est inférieur au taux d’intérêt dans l’économie de référence, la dynamique de l’économie de référence est donc efficace. La valeur de la part des biens de consommation dans le panier de consommation υ, supposé identique pour les indivi-dus aux stades de vie 2 et 1, implique que ces indiviindivi-dus consacrent 40% de leur dépense pour l’acquisition de biens de consommation et 60% de leur dépense en coût d’opportunité pour l’acquisition du loisir. Finalement, la valeur du ratio de productivité du temps de travail des retraités actifs par rapport aux travailleurs ξ2a été établie à 0,6 par Gertler (1999), de manière à approximer les données sur la productivité selon le profil d’âge présentées par Auerbach et Kotlikoff (1987). La valeur de ce ratio implique donc qu’une unité de temps de travail d’un retraité actif est équivalente à seulement 0,6 unité de temps de travail d’un travailleur. Cette valeur respecte ainsi l’hypothèse selon laquelle le temps de travail des retraités actifs est moins productif que celui des travailleurs.

Les valeurs des paramètres démographiques, qui sont spécifiques à ce mémoire, sont présentées à la Table3.2:

Table 3.2: Paramètres démographiques

Paramètres γ11 γ12 γ22 γ23 γ33 Valeurs des paramètres 0,962 0,022 0,844 0,094 0,833

Le choix des valeurs des paramètres démographiques γ₁₁ = 0,962, γ12 = 0,022, γ22 = 0,844, γ23 = 0,094 et γ33 = 0,833 est guidé, d’une part, par la durée des stades du travail et de la retraite supposés par Auerbach et Kotlikoff (1987), à l’image de Gertler (1999). Ce choix est également guidé par l’espérance de vie à la naissance propre au Québec. Auerbach et Kotlikoff (1987) supposent qu’un individu type travaille de 21 à 65 ans et est à la retraite de 66 à 75 ans. Guidés par l’espérance de vie à la naissance de 81,85 ans au Québec3, nous supposons

2. Les valeurs des taux de croissance exogènes nets de la technologie x et de la force de travail n, res-pectivement fixées à 1% par année, représentent un scénario de base raisonnable qui permet de conserver la comparabilité avec la littérature. Il est toutefois relativement aisé de reproduire l’analyse avec des taux de croissance supérieurs ou inférieurs.

que cet individu type décède à 82 ans. Reflétant ces suppositions (voir l’Annexe C), les valeurs de γ₁₁ et γ₁₂ impliquent que les individus au stade 1 travaillent en moyenne durant 45 ans, conditionnellement à leur survie. Ces valeurs impliquent également que si des individus à ce stade ne transitent pas, ils vivent en moyenne durant 61 ans, avant de mourir. De manière analogue, le choix des valeurs de γ₂₂ et γ₂₃ implique que les individus au stade 2 sont à la retraite en moyenne durant 10 ans, conditionnellement à leur survie. Ces valeurs impliquent également que si des individus à ce stade ne transitent pas, ils vivent en moyenne durant 16 ans, avant de mourir. Le choix de la valeur de γ33 implique, quant à lui, que les individus au stade 3 sont très âgés en moyenne durant 6 ans, avant de mourir. Le choix de ces valeurs permet ainsi de maintenir la comparabilité du modèle proposé dans ce mémoire avec le modèle d’origine et les autres études de cycles de vie, en plus de prendre en compte la réalité propre au Québec.

3.2

Étalonnage des paramètres de politiques

Tel que mentionné, ce mémoire modélise trois politiques liées à la rente longévité non capi-talisée de type « pay-as-you-go » (PAYG) que nous désirons analyser. L’administration de la rente longévité est la seule activité du secteur gouvernemental par souci de simplicité4.

• La première politique modélisée dans ce mémoire représente l’économie de référence, dans laquelle aucune somme n’est versée en prestation de la rente longévité et aucune somme n’est prélevée à l’aide des deux outils fiscaux.

• La deuxième politique est caractérisée par des versements de la rente longévité financés par une taxe forfaitaire.

• La troisième politique est également caractérisée par des versements de la rente longévité, qui sont toutefois financés par un impôt sur le revenu de travail.

La prise en compte de ces trois politiques mène aux spécifications suivantes des équations (2.12) et (2.13) [c.-à-d. E_3,t = µL1,tW1,t_N1,t N3,t et E3,t = Ft+ (1 − τ ) (L1,tW1,t+ L2,tW2,t)] décrites à la section 2.3.2. Les valeurs spécifiées des paramètres de ces trois politiques sont présentées à la Table 3.3:

Politique 1 (référence). Cette politique représente l’économie de référence, dans laquelle aucune somme n’est versée en prestation de la rente longévité : on a donc µ = 0. Ceci im-plique également qu’aucune somme n’est prélevée à l’aide des deux outils fiscaux. Le paramètre d’impôt sur le revenu est donc fixé à τ = 1 et le paramètre de la taxe forfaitaire est fixé à f = 0.

4. Comme mentionné, il est envisageable d’étendre le modèle à un secteur gouvernemental plus complexe [ex. : Keuschnigg et Keuschnigg (2004), Kilponen et Ripatti (2006)].