Autour des surpartitions et des identités de type Rogers-Ramanujan

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Autour des surpartitions et des identités de type

Rogers-Ramanujan

Olivier Mallet

To cite this version:

Olivier Mallet. Autour des surpartitions et des identités de type Rogers-Ramanujan. Autre [cs.OH].

Université Paris-Diderot - Paris VII, 2008. Français. �tel-00366067�

UNIVERSIT´

E PARIS.DIDEROT (Paris 7)

´

Ecole doctorale de sciences math´

ematiques de Paris Centre

Th`

ese

pr´esent´ee pour l’obtention du titre de

Docteur de l’Universit´

e Paris Diderot - Paris 7

Sp´ecialit´e : Informatique

par Olivier Mallet

Autour des surpartitions et des identit´

es de

type Rogers-Ramanujan

Soutenue publiquement le 28/11/2008 devant le jury compos´e de

Directeur de th`

ese :

Jeremy Lovejoy

Rapporteurs :

Mireille Bousquet-M´

elou

Christian Krattenthaler

Examinateurs :

Jean-Paul Allouche

Gilles Schaeffer

Jiang Zeng

Jesouhaitetout d'abordremer iermon dire teurdethèse,Jeremy Lovejoy.Soné oute attentiveet ses onseilsjudi ieux m'ont ététrès utiles pendant toutela durée de ma thèse et parti ulièrement pendant laphase de réda tion.

Jen'auraispaspuentreprendre ettethèsesansSylvieCorteel,quiaen adrémonstage demaster; 'estpendant e stage quej'ai obtenu mespremiers résultats de re her he,qui ontfourni le gros de l'arti le [49℄. Je la remer ie haleureusement.

Mer i à Mireille Bousquet-Mélou  dontles remarquesont permis d'améliorer sensi-blement e manus rit  et à Christian Krattenthaler d'avoir a epté d'être rapporteurs pour ette thèse. Mer i également à Jean-Paul Allou he, Gilles S haeer et Jiang Zeng pour leur parti ipation au jury.

Mer i à Philippe Flajoletqui a éveillémon goût pourla ombinatoire, notamment par sonsuperbe oursintrodu tifdanslemoduled'analysed'algorithmes.Mer iégalementaux autres enseignantsdes ours de ombinatoire et d'analyse d'algorithmes.

Mer i à Irène Charon et Olivier Hudry, de Télé om Paris, qui ont en ouragé ma vo ation pour l'enseignement et la re her he et ont appuyé ma andidature au master d'informatiquede Paris 6.

Mer iàtousles ollèguesduLIAFAetdePPSquej'aieul'o asionde toyerpendant mes trois années de thèse, et notamment à eux qui se sont su édé dans le bureau A39. Mentionspé ialeà Claire pour ses onseils bien utiles,à Mathilde pour sesdis ussions et sesbons gâteaux et à Christophe pour ses eorts onstants d'animation du bureau.

Mer i aux initiateurs, organisateurs et ollaborateurs de ette merveilleuse tradition qu'est le gâteau du vendredi du LIAFA (auxquels les membres de PPS se sont asso iés depuis peu; qu'ils en soient remer iésaussi).

Mer iàNoëlleDelgado, àLaifaAhmadietHouyKuoy,ainsiqu'àMi hèleWassepour leur aide pré ieuse.

MATH et arXiv, à Neil Sloane pour son On-Line En y lopedia of Integer Sequen es, à Eri W. Weisstein pour MathWorld, et bien entendu à Donald Knuth et Leslie Lamport pour L

A T

E X.

Mer i à toute ma famille pour m'avoir soutenu et en ouragé même s'ils ne savaient pas for ément bien e que je pouvais faire en thèse.

Mer i à mes amis et à mes diérents olo ataires qui m'ont aidé à me sentir moins seul pendant les moments di iles que j'ai parfois pu vivre au long de es années.

Enn,jeremer ieinnimentAna, quiaurait pun'être qu'une simple olo ataire, mais qui a été beau oup plus que ela, et dont l'ae tion sans bornes a joué un rle dans l'a hèvement de ette thèse. ½Gra ias portodo, miamor!

Introdu tion générale 15

Partitionsetidentités d'Andrews-Gordon . . . 16

Surpartitions . . . 24

I Outils 29 I.1 Coe ients

q

-binomiaux . . . 31

I.2 L'identité du produit triple de Ja obi . . . 33

I.3 Paires de Bailey . . . 33

II Paires de surpartitions et séries hypergéométriques basiques 37 II.1 Introdu tion . . . 37

II.2 Les

R

k,i

(a, b; x; q)

. . . 41

II.3 Les

R

˜

k,i

(a, b; x; q)

. . . 44

II.4 Corollaires . . . 51

II.5 Chemins . . . 56

II.6 Rangs su essifs . . . 65

II.7 Disse tion de Durfee et

(k, i)

- onjugaison pour lespaires de surpartitions . 72 IIIPreuves ombinatoires 79 III.1 Chemins etséries multiples. . . 79

III.2 Étude ombinatoiredes multipli itésdans le as des surpartitions . . . 89

IVSurpartitions

n

- olorées 97 IV.1 Introdu tion . . . 97

IV.3 Surpartitions

(n + t)

- olorées. . . 111 IV.4 Symboles de Frobenius . . . 113 IV.5 Produits innis . . . 118

Con lusion générale 121

Résultats. . . 121 Perspe tives . . . 122

Table des gures 128

Index 129

Dans ette introdu tion, après quelques remarques préliminaires sur la ombinatoire baséessur [91℄, [95℄et[60℄, onprésente quelques dénitions etrésultatssur les partitions d'entiers et sur les surpartitions (qui en sont une généralisation), en insistant parti uliè-rementsur lesidentités de type Rogers-Ramanujanfaisant intervenir es objets.

Cette thèse s'ins rit dans le domaine de la ombinatoire, où l'on étudie des objets formés par un arrangement dis ret de  briques élémentaires. Plus pré isément, elle fait partie de la ombinatoire énumérative, qui her he à ompter le nombre de tels ob-jets vériant ertaines propriétés. Soit

C

une lasse ombinatoire , 'est-à-dire un en-semble sur lequel on peut dénir une taille (appli ation de

C

dans

N

) telle que pour tout

n

, le nombre d'élémentsde taille

n

est ni. Notons

c

n

e nombre; on appellera sou-vent, dans la suite, objets omptés par

c

n

 les éléments de

C

de taille

n

. On souhaite obtenir une représentation de

c

n

. La représentation la plus simple possible est une ex-pression expli ite, omme dans le as des permutations où

c

n

= n!

. Mais il n'est pas toujours possible d'obtenir une telle expression et quand 'est possible, elle est parfois très ompliquée et pas très utile pour étudier les propriétés de la séquen e

(c

n

)

. C'est pourquoi on a souvent re ours à une représentation analytique : la série génératri e (se-lon la taille) de

C

, dénie omme la série entière

P

λ∈C

q

|λ|

=

P

n>0

c

n

q

n

, où

|λ|

est la taille de

λ

. On peut dénir de même une série génératri e à plusieurs paramètres, parexemple

P

λ∈C

x

f (λ)

y

g(λ)

z

h(λ)

=

P

l>0

P

m>0

P

n>0

c(l, m, n)x

l

y

m

z

n

,où

c(l, m, n)

est le nombre d'éléments

λ

de

C

tels que

f (λ) = l

,

g(λ) = m

et

h(λ) = n

. Les séries géné-ratri es permettent d'étudier de nombreuses propriétés de leurs oe ients : propriétés statistiques, omportement asymptotique, relations de ré urren e, ongruen es... et de démontrer des identités ombinatoires. Dans ette thèse, les objets qu'on va étudierpar

binatoires très lassiques: les partitionsd'entiers.

Partitions et identités d'Andrews-Gordon

Cette se tion présente quelques notions de base sur les partitions ainsi que l'histoire des identitésde Rogers-Ramanujanetd'Andrews-Gordon.Pourplusde détails,onpourra se reporter à[9℄ et[17℄ainsi qu'aux référen es itéesdans la suite.

Unepartition d'unentierpositif

n

est unefaçond'é rire

n

ommeunesommed'entiers stri tementpositifsoùl'ordredes termesne omptepas (pour

n = 0

,on onsidère qu'ily aunepartitionde 0:lapartitionvide).L'entier

n

estappelétaille delapartition.Onnote

λ

la taille d'une partition

λ

. Par onvention, on range les termes de la somme (appelés parts de lapartition)dans l'ordre dé roissant, eton peut ainsi dénir une partitionde

n

omme une suite nie dé roissante (au sens large) d'entiers stri tement positifs dont la sommevaut

n

.Parexemple,lespartitionsde4sont

(4)

,

(3, 1)

,

(2, 2)

,

(2, 1, 1)

et

(1, 1, 1, 1)

. Selon[50, hapitre3℄, 'est dans unelettre de Leibnizà Jean Bernoulli datéede 1669 qu'ontrouvelapremièretra ed'unintérêtpourlespartitions(appelées divulsionspar Leibniz); toutefois, 'est Euler [52℄ qui a obtenu les premiersrésultats dans e domaine. Notons

p(n)

le nombre de partitions de

n

; la série génératri e des partitions est dénie par

P (q) =

∞

X

n=0

p(n)q

n

.

Euler [53℄ amontré que, pour

|q| < 1

,

P (q) =

∞

Y

i=1

1

1 − q

i

.

Euler aégalement démontré le résultatsuivant :

Théorème d'Euler. Pour tout entier positif

n

, le nombre de partitions de

n

en parts distin tes est égal au nombre de partitions de

n

en parts impaires.

On remarque que les deux lasses de partitions intervenant dans e résultat sont, d'une part, des partitions vériant des onditions sur la diéren e entre deux parts (dire que les parts sont distin tes revient à dire qu'elles dièrent d'au moins 1) et, d'autre part,

parts sont impaires revient à dire qu'elles sont ongrues à 1 modulo 2). C'est également le as pour deux identités qui omptent parmi lesrésultatsles plus élèbres de lathéorie des partitions: lesidentités de Rogers-Ramanujan.

Première identité de Rogers-Ramanujan. Le nombre de partitions de

n

en parts diérant d'au moins

2

est égal au nombre de partitions de

n

en parts ongrues à

1

ou

4

modulo

5

.

Se onde identité de Rogers-Ramanujan. Le nombre de partitions de

n

en parts dif-férantd'au moins

2

et supérieures ou égalesà

2

est égal au nombre de partitions de

n

en parts ongrues à

2

ou

3

modulo

5

.

Ces identités ont d'abord été énon ées sous forme analytique par Rogers [82℄ : pour

|q| < 1

, ona

1 +

∞

X

n=1

q

n

2

(1 − q)(1 − q

2

_{) · · · (1 − q}

n

₎

=

∞

Y

n=0

1

(1 − q

5n+1

_{)(1 − q}

5n+4

₎

(

∗

) et

1 +

∞

X

n=1

q

n

2

_+n

(1 − q)(1 − q

2

_{) · · · (1 − q}

n

₎

=

∞

Y

n=0

1

(1 − q

5n+2

_{)(1 − q}

5n+3

₎

.

(

∗∗

) Ellesont été redé ouvertes en 1913 par Ramanujan.Les travaux de Rogers étaient alors tombés dans l'oubli et Ramanujan n'a pu démontrer lui-mêmeles identités. Après avoir fait appel à Hardy et à d'autres mathémati iens qui n'ont pas réussi non plus à trouver une démonstration, Ramanujan a ni par dé ouvrir en 1917 l'arti le de Rogers onte-nant les démonstrations de (

∗

) et (

∗∗

). Entre temps, Ma Mahon [77℄ avait interprété es résultats ombinatoirement en énonçant lesdeux identités de partitions i-dessus. La orrespondan e entre Rogers et Ramanujan a permis ensuite la dé ouverte de nouvelles preuves plus simples [83, 84℄. À la même époque, S hur a redé ouvert et démontré in-dépendamment es identités [86℄. De nombreuses autres preuves ont été publiéesdepuis, analytiques omme ellesde Rogers etRamanujan, ombinatoires omme elles de S hur ou de Garsia et Milne [55℄ ou basées sur les algèbres de Lie omme elle de Lepowsky et Wilson [69, 70℄. Les identités de Rogers-Ramanujan restent parmi les plus profondes du point de vue ombinatoire, la seule preuvebije tive onnue ( elle de Garsia et Milne)

Par la suite, on a her hé à généraliser les identités de Rogers-Ramanujan. Une idée naturelleétaitde her heràdémontrerquelenombredepartitionsenpartsdiérantd'au moins

d

etsupérieuresouégalesà

m

(le as

d = m = 1

orrespondantauthéorèmed'Euler etle as

d = 2

auxidentitésdeRogers-Ramanujan)étaitégalaunombredepartitionsdont les parts appartiennent à un ertain ensemble. MaisLehmer [68℄ et Alder [7℄ ont montré qu'un tel résultat ne peut exister. Puis, en 1954, Alder [8℄ a présenté une généralisation analytique des identités de Rogers-Ramanujan basée sur une fon tion et une relation de ré urren e introduites par Selberg [88℄ mais n'a pas pu interpréter ombinatoirement ette généralisation (plus tard, Andrews [21℄ a obtenu une interprétation ombinatoire des résultats d'Alder). Enn, en 1961, Gordon [59℄ a obtenu la première généralisation ombinatoirede es identités :

Théorème de Gordon. Pourtous entiers

k

et

i

telsque

k > 2

et

1 6 i 6 k

, soit

A

k,i

(n)

le nombre de partitions de

n

en parts non ongrues à

0, ±i

modulo

2k + 1

. Soit

B

k,i

(n)

le nombre de partitions de

n

de laforme

(λ

1

, λ

2

, . . . , λ

s

)

où

λ

j

− λ

j+k−1

>

2

et au plus

i − 1

parts sont égales à

1

. Alors pour tout entier positif

n

,

A

k,i

(n) = B

k,i

(n)

.

LapremièreidentitédeRogers-Ramanujan orrespondau as

k = i = 2

de ethéorème et lase onde au as

k = 2

,

i = 1

.Le théorèmed'Euler n'est par ontre pas in lusdans le théorème de Gordon.

Ensebasantsur lestravauxdeSelberg [88℄,Andrews[11℄adémontréanalytiquement le théorème de Gordon. Lesfon tions utilisées par Andrews sont les suivantes :

J

k,i

(x; q) = H

k,i

(xq; q)

et

H

k,i

(x; q) =

∞

X

n=0

(−1)

n

_x

kn

_q

kn

2

_+n−in+

₍

n

2

)(1 − x

i

q

2ni

)

(q)

n

(xq

n

)

∞

ave lesnotations lassiques i-dessous [57℄ :

(a; q)

n

= (a)

n

=

n−1

_Y

i=0

(1 − aq

i

)

et

(a

1

, a

2

, . . . , a

k

; q)

n

= (a

1

, a

2

, . . . , a

k

)

n

= (a

1

; q)

n

(a

2

; q)

n

. . . (a

k

; q)

n

.

La démonstration du théorème de Gordon présentée dans [11℄ est basée sur le fait que es fon tions vérient ertaines équations aux

q

-diéren es et que

J

k,i

(1; q)

peut s'é rire

omme un produit inni en utilisant l'identité du produit triple de Ja obi (voir se tion I.2).

Ces fon tions ontété généralisées dans [15℄ :

H

λ,k,i

(a

1

, . . . , a

λ

; x; q) =

(xqa

−1

₁

, . . . , xqa

−1

_λ

)

∞

(xq)

∞

×

∞

X

n=0



(−1)

n(λ+1)

x

kn

q

1

2

(2k−λ+1)n

2

+

1

2

(λ+1−2i)n

(a

₁

· · · a

_λ

)

−n

×

(1 − x

i

_q

2ni

_)(x)

n

(a

1

, . . . , a

λ

)

n

(1 − x)(q)

n

(xqa

−1

1

, . . . , xqa

−1

λ

)

n



et

J

λ,k,i

(a

1

, . . . , a

λ

; x; q) =

λ

X

j=0

(−1)

j

σ

j

(a

−1

1

, . . . , a

−1

λ

)x

j

_q

j

_H

λ,k,i−j

(a

1

, . . . , a

λ

; xq; q)

où

σ

j

est la

j

e

fon tion symétriqueélémentaire:

σ

j

(X

1

, . . . , X

λ

) =

X

16i1<i2<···<ij

6

λ

X

i1

X

i2

· · · X

ij

.

Remarquons que es fon tions sont de plus en plus générales quand

λ

augmente, ar

H

λ,k,i

(a

1

, . . . , a

λ

; x; q) −−−−→

aλ→∞

H

λ−1,k,i

(a

1

, . . . , a

λ−1

; x; q)

(de même pour

J

λ,k,i

). Les fon -tions

J

k,i

et

H

k,i

de [11℄ orrespondent au as

λ = 0

. Denombreux auteursontétudiédes spé ialisationsdes

J

λ,k,i

(voirla tablede lapage suivante), mais au unn'a faitune étude ombinatoiregénérale(sans spé ialiserlesvariables

a

1

, . . . , a

λ

).De plus,le as où

λ > 1

a été trèspeuétudié. Au hapitreII, onprésentera une étude ombinatoiregénéraledu as

λ = 2

(les fon tions qu'on étudiera sont obtenues en multipliantles

J

2,k,i

par un produit inni).

Dans [20℄, Andrews a établi une généralisation analytique des identités de Rogers-Ramanujan orrespondant authéorème de Gordon:

X

n1

>n2

>

···>nk−1

>0

q

n

2

1

+···+n

2

k−1

+ni+···+nk−1

(q)

n1−n2

· · · (q)

nk−2−nk−1

(q)

nk−1

=

Y

n6≡0,±i

(mod 2k+1)

1

1 − q

n

.

Parlasuite, d'autresfamillesde partitionsontétémisesen orrespondan eave elles intervenant dans le théorème de Gordon. Les orrespondan es entre toutes es familles sont onnues sous le nom d'identités d'Andrews-Gordon.

Auteurs

J

λ,k,i

(a

1

, . . . , a

λ

; x; q)

Andrews[11℄

J

0,k,i

(x; q)

Andrews[13℄

J

0,k,i

(x

λ

_{; q}

λ

₎

Andrews[14℄

(−xq)

∞

J

0,k,i+

1

₂

(x

2

; q

2

)

Andrews[12℄

J

1,k,i

(−q; x; q

2

₎

Andrews[16℄

J

λ,k,i

(−q, −q

2

_{, . . . , −q}

λ

_{; x; q}

λ+1

₎

Andrews etSantos [28℄

1

(xq;q

2

₎

∞

J

1,k,i

(q; x; q

2

₎

Bressoud [36℄

(−xq)

∞

J

0,

k−1

₂

,

i

2

(x

2

_{; q}

2

₎

Connor[43℄

1

(xq;q

2

₎

∞

J

0,k,i

(x; −q)

CorteeletMallet[49℄

J

1,k,i

(−1/a; x; q)

Lovejoy [71℄

J

1,k,k

(−1; x; q)

J

1,k,1

(−q; x; q)

Lovejoy [72℄

1

(xq;q

2

₎

∞

J

2,k,i

(−1, q; x; q

2

₎

1

(xq;q

2

₎

∞

J

2,k,i

(−1, −q; x; q

2

₎

Lovejoy [74℄

(−xq)∞

(xq)∞

J

1,

k−1

₂

,

i

2

(−1; x

2

_{; q}

2

₎

à Ramanujan[81℄ :

p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5)

et

p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7).

Dyson a onje turé que les partitions de

5n + 4

(resp.

7n + 5

) peuvent être séparées en lasses de mêmetailleselon lavaleur du rangmodulo 5(resp.modulo 7), e quiimplique les ongruen es de Ramanujan.Ces résultatsontété démontrés parAtkinet Swinnerton-Dyer [30℄.

Par la suite, Atkin [29℄ a déni lanotion de rangs su essifs. Pour pouvoir expliquer ette notion, on va maintenant introduire ertaines représentations lassiques des parti-tions. Depuislestravauxde Sylvester [92℄,ilest habitueldereprésenter une partitionpar un diagrammede Ferrers oùune rangéede

ℓ

ases orrespond à une part de taille

ℓ

. Par

exemple,la première gure de la pagesuivante orrespond à lapartition

λ = (5, 4, 3, 3)

.

On peut dé omposer un tel diagramme en équerres ommesur la deuxièmegure de lapage suivante, où ona trois équerres.

On peut alors dénir le

i

e

rang su essif, noté

r

i

, omme la largeur de la

i

e

équerre moinssa hauteur. On note

r = (r

1

, r

2

, · · · )

.Dans notre exemple, ona

r = (1, 0, −1)

.

Une autre représentation lassique est le symbole de Frobenius [54℄. Considérons une partitionde

n

dontle diagrammede Ferrers a

N

équerres. Son symbolede Frobeniusest alors letableau àdeux lignes







a

1

a

2

· · · a

N

b

1

b

2

· · · b

N







où, pour tout

i

ompris entre 1 et

N

,

a

i

est la largeur de la

i

e

équerre moins 1 et

b

i

est lahauteur de la

i

e

équerre moins 1.Par onstru tion,les deux lignes sont des partitions en parts distin tes positives ou nulles et

n =

P

N

i=1

(a

i

+ b

i

+ 1)

. Comme la largeur de la

i

e

équerre est alors

a

i

+ 1

etque sahauteur est

b

i

+ 1

, lesrangs sont obtenus à partirdu symbole de Frobenius par une simple soustra tion :

r

i

= a

i

− b

i

pour

1 6 i 6 N

. Dans l'exemple pré édent,

N = 3

et on obtient le symbole de Frobenius







4 2 0

3 2 1







qui nous permet de retrouver

r = (1, 0, −1)

.

Andrews [18℄ a montré que si l'on note

C

k,i

(n)

le nombre de partitions de

n

dont les rangssu essifs sont omprisentre

−i + 2

et

2k − i − 1

,alors

A

k,i

(n) = B

k,i

(n) = C

k,i

(n)

. Une autre partie des identités d'Andrews-Gordon fait appel àune ertaine dé ompo-sitiondu diagrammede Ferrers d'unepartition.Le arré de Durfee d'unepartition

λ

[92℄

est leplusgrand arréentièrement ontenu danslediagramme de Ferrersde

λ

.Cette dé-nitionimplique quele oinsupérieurgau he du arré oïn ide ave eluidu diagramme, et que le té du arré de Durfee est égal au nombre d'équerres et don au nombre de olonnes du symbole de Frobenius. Sur la gure suivante, on a mis en éviden e le arré de Durfee de lapartition

(5, 4, 3, 3)

, qui est de té 3.

Unegénéralisationaété établie parAndrews [22℄.La partiedu diagramme de Ferrers située sous le arré de Durfee est elle-même le diagramme de Ferrers d'une partition : ette partition possède un arré de Durfee et ainsi de suite. On peut don dénir une suite de arrésde Durfeesu essifspour une partition.Ladisse tion deDurfee introduite par Andrews est basée sur ette idée. La

(k, i)

-disse tion de Durfee d'une partition est dénie omme suit : on détermine d'abord les

i − 1

premiers arrés de Durfee su essifs puis

k − i

re tangles maximaux dont la hauteur est égale à la largeur plus 1, situés les uns en dessous des autres. La gure suivante illustre la

(4, 2)

-disse tion de la partition

(8, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1)

.

On dit qu'une partition est

(k, i)

-admissible s'il n'y a au une part sous le dernier re tangledesa

(k, i)

-disse tiondeDurfeeetsiladernièrelignede ha undesre tanglesde ettedisse tionestunepartdelapartition( 'est-à-dires'iln'yapas de asesappartenant audiagrammeetsituéesàdroitedure tangledanslamêmeligne).Pour

i = k

,direqu'une partition est

(k, k)

-admissible revient à dire qu'elle a au plus

k − 1

arrés de Durfee su essifs, ar ily a auplus

k − 1

arrés suivisde 0re tangle etau une part en-dessous. Par exemple, la partitionde la gure pré édente n'est pas

(4, 2)

-admissible: au une des

deux onditions n'est respe tée.

Andrews [22℄ a montré que le membre de gau he de la généralisation analytique des identités de Rogers-Ramanujandémontréedans [20℄ estlasérie génératri edes partitions

(k, i)

-admissibles. Autrement dit, si l'on note

D

k,i

(n)

le nombre de partitions de

n

qui sont

(k, i)

-admissibles, on a

A

k,i

(n) = B

k,i

(n) = C

k,i

(n) = D

k,i

(n)

.

Unedernièreinterprétationest baséesur des travauxde Burge[39, 40℄.Burgeaétabli des orrespondan es entre les ensembles de partitions omptés par

B

k,i

(n)

,

C

k,i

(n)

et

D

k,i

(n)

par des méthodes ré ursives. Andrews etBressoud[27℄ ontreformulélesrésultats de Burge en utilisant des mots binaires, qui peuvent aussi être vus omme des hemins du plan. Enn, Bressoud [38℄ a exposé à son tour es résultats en utilisant des hemins légèrement diérents, qu'on va maintenant présenter plus en détail et qu'on appellera dans lasuite hemins de Bressoud-Burge.

On onsidère des hemins de longueur nie situés dans lepremier quadrant. Ces he-mins ommen entsur l'axedes ordonnées,seterminentsurl'axedes abs isses etutilisent trois types de pas :

 Nord-Est,de

(i, j)

à

(i + 1, j + 1)

;  Sud-Est,de

(i, j)

à

(i + 1, j − 1)

;

 Est, de

(i, 0)

à

(i + 1, 0)

;un pas Est ne peut apparaître que sur l'axedes abs isses. Un pi est déni omme un sommet situé sur le hemin, pré édé d'un pas Nord-Est et suivi d'un pas Sud-Est. On dénit l'indi e majeur d'un hemin omme la somme des abs issesde ses pi s.Parexemple,le hemindelaguresuivantepossèdetroispi s etson indi emajeurest

3 + 7 + 13 = 23

.

×

×

×

×

×

×

×

×

3 7 13

On ditqu'un heminvérieles

(k, i)

- onditions s'il ommen een

(0, k − i)

etsiau un de ses sommets n'est de hauteur supérieure à

k − 1

. Par exemple, le hemin de la gure pré édente vérie les

(5, 2)

- onditions. Bressoud [38℄ a montré que si l'on note

E

k,i

(n)

le nombre de hemins d'indi e majeur

n

vériant les

(k, i)

- onditions, on a

A

k,i

(n) =

D'autres résultats très pro hes des identités d'Andrews-Gordon vont égalementnous intéresser dans ette thèse.En 1979, Bressoud [36℄ aobtenu un résultattrès similaireau théorème de Gordon:

Théorème [36℄. Soit

A

˜

k,i

(n)

le nombrede partitionsde

n

en parts non ongrues à

0, ±i

modulo

2k

. Soit

B

˜

k,i

(n)

lenombre departitions de

n

delaforme

(λ

1

, λ

2

, . . . , λ

s

)

omptées par

B

k,i

(n)

ettelles ques'ilexiste

j

telque

λ

j

− λ

j+k−2

6

1

, alors

λ

j

+ · · ·+ λ

j+k−2

≡ i − 1

(mod 2)

. Alors pour tout entier positif

n

,

A

˜

k,i

(n) = ˜

B

k,i

(n)

.

Bressoudaenfaitdémontréunrésultatplusgénéralquienglobeégalementlethéorème de Gordon et elui d'Euler, mais on présente i i le théorème de Gordon et le résultat pré édentde façon séparée ar leursinterprétations ombinatoiresetleursgénéralisations sont diérentes.

Comme pour le théorème de Gordon, d'autres interprétations ombinatoires de e résultat ontété présentées par la suite. Bressoud[37℄ amontré quesi l'on note

C

˜

k,i

(n)

le nombre de partitionsdontlesrangs su essifs sont omprisentre

−i + 2

et

2k − i − 2

,on a

A

˜

k,i

(n) = ˜

B

k,i

(n) = ˜

C

k,i

(n)

.Ila aussidonnél'interprétationen termesde hemins[38℄: si

E

˜

k,i

(n)

est le nombre de hemins omptés par

E

k,i

(n)

tels que tous les pi s de hauteur

k −1

ontuneabs isse ongrueà

i−1

modulo2,ona

A

˜

k,i

(n) = ˜

B

k,i

(n) = ˜

C

k,i

(n) = ˜

E

k,i

(n)

. L'interprétationutilisantladisse tiondeDurfeeexisteaussidans e as,maiselleestplus ompliquée. Ellesera abordée au hapitreII.

Surpartitions

Unesurpartition d'un entier positif

n

est une suitenie dé roissanted'entiers stri te-ment positifs dont la somme vaut

n

et où on peut surligner la dernière o urren e d'un nombre (ou, dans une autre version de la dénition, la première o urren e). La taille d'une surpartition est dénie et notée de la même façon que pour une partition. Par exemple, lesquatorze surpartitions de 4 sont

(4), (4), (3, 1), (3, 1), (3, 1), (3, 1), (2, 2), (2, 2), (2, 1, 1),

(2, 1, 1), (2, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).

une partition ordinaire. En notant

p(n)

le nombre de surpartitions de

n

, on a la série génératri e

P (q) =

∞

X

n=0

p(n)q

n

=

∞

Y

i=1

1 + q

i

1 − q

i

=

1

ϑ

4

(0, q)

où

ϑ

4

(z, q) =

P

∞

n=−∞

(−1)

n

q

n

2

e

niz

est l'une des fon tions

ϑ

de Ja obi [65℄ (la notation utiliséeest elle de Whittakeret Watson [94℄).

Les surpartitions ont été introduites dans [46, 45℄ pour interpréter et prouver ombi-natoirement des identités analytiquestelles que lasomme

1

ψ

1

de Ramanujan[61,p. 222, équation (12.12.2)℄ et l'identité de

q

-Gauss [63℄, mais elles étaient en fait déjà apparues sous diérentes formes dans plusieurs arti les sur les séries hypergéométriques basiques (voir par exemple [66℄ ainsi que lesréféren es données dans [80℄ oùlessurpartitions sont appelées diagrammesde Ma Mahonstandard ).

Commeunepartition,unesurpartitionpeutsereprésenterde diérentesfaçons.Ainsi, lediagrammedeFerrersd'unesurpartitionest similaireà eluid'unepartition,àpartque les oins du diagramme peuvent être marqués, e qui orrespond à surligner la dernière o urren e de la part orrespondante(un oin est une ase du diagramme qui est la plus àdroite dans sa ligne et laplus en bas dans sa olonne). La gure suivante représente le diagrammede Ferrers de lasurpartition

(5, 4, 3, 3)

.

Le symbolede Frobenius d'unesurpartition [47, 73℄ est un tableau àdeux lignes







a

1

a

2

· · · a

N

b

1

b

2

· · · b

N







où

(a

1

, . . . , a

N

)

est une partition en parts distin tes positives ou nulles et

(b

1

, . . . , b

N

)

une surpartition en parts positivesou nulles où onpeut surlignerla première o urren e d'unnombre.Commepourlespartitions,lesymbolede Frobeniusd'unesurpartitionde

n

vérie

P

N

i=1

(a

i

+ b

i

+ 1) = n

.CorteeletLovejoy [47℄ont montréque es tableauxsonten bije tionave lessurpartitions.Ce résultat est plus di ileàprouverquedans le as des partitions,maislabije tionestassezsimpleàdé rire:étantdonnéunesurpartition

λ

,soit

α = (α

1

, α

2

, . . .)

la partition onstituée des parts non surlignées de

λ

et

β = (β

1

, β

2

, . . .)

la partitionen parts distin tes onstituée des parts surlignées. Tantque

α

ou

β

n'est pas vide, onajouteune olonneausymbolede Frobeniusde lafaçonsuivante. Si

α

1

> β

1

(ou si

β

est vide),onajouteausymbolela olonne







α

1

l(α) − 1







,où

l(α)

estlenombrede parts de

α

, et on supprime la première équerre de

α

. Sinon, on ajoute au symbole la olonne







β

1

l(α)







, on diminue de 1 toutes lesparts de

α

et onsupprime laplus grandepart de

β

. Enn, quand on a terminé d'ajouter des olonnes, on diminue de 1 toutes les parts de la première ligne du symboleobtenu.Par exemple,

λ = (8, 7, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 1)

nous donne

α = (7, 5, 5, 4, 3, 1)

et

β = (8, 5, 3)

,et onobtientle symbole de Frobenius







7 5 4 2 0

6 4 4 3 1





 .

S'il n'y a pas de parts surlignées,

β

est vide et la ligne du bas est une surpartition où toutes les parts sontsurlignées, e qui est équivalentà une partitionen parts distin tes : on retrouve bien le as des partitions.

On peut dénir le rang d'une surpartition en transposant la dénition de Dyson. Lovejoy[73℄amontréque erangpeutaussiêtredéniàpartirdusymboledeFrobenius: lerangd'unesurpartition,ave lesnotationspré édentes,estégalà

a

1

−b

1

moinslenombre de parts non surlignées dans l'ensemble

{b

2

, . . . , b

N

}

.

Il n'existe pas d'analogue du théorème de Gordon pour les surpartitions pour tous

k

et

i

: on peut dénir un analogue des

B

k,i

(n)

, mais la série génératri e orrespondante n'est pas un produit innidans le as généraletne peut don pas s'interpréter ommela série génératri e d'une lassede partitionsoude surpartitions vériantdes onditions de ongruen e. Toutefois, il existe deux analogues partiels des identités d'Andrews-Gordon, qui onstituent la motivation initiale de ette thèse. En 2003, Lovejoy [71℄ a obtenu le résultat suivant:

Théorème de Gordon pour les surpartitions. Soit

A

k

(n)

le nombre de surpartitions de

n

en parts nondivisibles par

k

. Soit

B

k

(n)

lenombrede surpartitionsde

n

de laforme

λ = (λ

1

, λ

2

, · · · , λ

ℓ

)

où

λ

j

− λ

j+k−1

>

1

si

λ

j+k−1

est surlignée et

λ

j

− λ

j+k−1

>

2

sinon. Alors

A

k

(n) = B

k

(n)

.

On remarque que dans le as où il n'y a pas de parts surlignées, les onditions qui dénissent

B

k

(n)

seréduisent aux onditionsqui dénissent

B

k,k

(n)

dans lethéorème de Gordon.

Un autre résultat a été démontré par Corteel et Lovejoy [47℄. On dénit la partition asso iée d'une partition

λ

en parts distin tes positives ou nulles omme la partition ob-tenue en enlevant 0 à la plus petite part de

λ

, 1 à la deuxième plus petite part de

λ

et ainsi de suite. Par exemple, lapartitionasso iée de

(7, 6, 5, 2, 0)

est

(3, 3, 3, 1, 0)

.

Théorème [47, théorème 1.6℄. Soit

D

k

(n)

le nombre de surpartitions de

n

telles que la partition asso iée de la première ligne du symbole de Frobenius a au plus

k − 2

arrés de Durfee. Alors

A

k

(n) = D

k

(n)

.

Stru ture de ette thèse

Le hapitre I est un prolongement de l'introdu tionqui présente quelques outils ana-lytiques indispensables. Le orps de ette thèse est onstitué des hapitres II, III et IV. Le hapitre II présente une généralisationdes identités d'Andrews-Gordon (et des résul-tats analoguesbasés sur le théorème de Bressoud)aux pairesde surpartitions,quiseront dénies dans e hapitre. Le hapitre III présente des preuves supplémentaires de er-tainsrésultatsdu hapitreII.Enn, au hapitreIV,onprésenteen détaild'autres objets, lessurpartitions

n

- olorées, et on lesutilise pour interpréter ombinatoirement ertaines séries multiples.

Outils

Dans e hapitre,onvaintroduire ertainsoutilsanalytiquesutilespourl'énumération des objets qui seront étudiés dans les hapitres suivants. Ces outils appartiennent au domainedes séries hypergéométriquesbasiques, également appelées

q

-séries.

Unesériehypergéométriquebasique debase

q

estunesériedelaforme

P

c

n

où

c

n+1

/c

n

est une fon tion rationnelle de

q

n

à oe ients dans

C

,

q

étant un paramètre xé qui vérie généralement

|q| < 1

pour des raisons de onvergen e. Commel'indique l'ouvrage de référen e de Gasper et Rahman sur le sujet [57℄, l'histoire de es séries a ommen é ave les travaux d'Euler [53℄ qui a étudié le produit inni

(q)

−1

∞

(lasérie génératri e des partitions), mais elles ont vraiment pris leur essor ave Heine [62, 63, 64℄ qui a étudié la série

2

φ

1

(a, b; c; q, z) =

∞

X

n=0

(a)

n

(b)

n

(q)

n

(c)

n

z

n

.

Les séries hypergéométriques basiques sont intimementliées àl'énumération des par-titions.Commeon l'adéjà mentionné,lasérie génératri edes partitionsest donnée par

∞

X

n=0

p(n)q

n

=

∞

Y

i=1

1

1 − q

i

=

1

(q)

∞

.

En notant

p

dist

(n)

le nombre de partitions de

n

en parts distin tes, la série génératri e des partitionsen parts distin tes s'é rit

∞

X

n=0

p

dist

(n)q

n

= (−q)

∞

.

génératri e des partitions en parts inférieuresou égales à

N

s'é rit

∞

X

n=0

p

6N

(n)q

n

=

1

(q)

N

.

C'est également la série génératri e des partitions en au plus

N

parts; e résultat est très fa ile à démontrer en utilisant une bije tion lassique, la onjugaison. Le onjugué d'une partition

λ

est la partition

λ

′

dont le diagramme de Ferrers est le symétrique du diagramme de Ferrersde

λ

par rapport à sadiagonaleprin ipale (voirgure I.1).

Fig. I.1 : Diagrammes de Ferrers de la partition

λ = (5, 4, 3, 3)

et de son onjugué

λ

′

_{= (4, 4, 4, 2, 1)}

.

Il est lair que la onjugaison est involutive et qu'elle préserve la taille: le onjugué d'unepartitionde

n

estune partitionde

n

.Commeladiagonaleprin ipaledu diagramme n'est pas modiée par la symétrie, la onjugaison préserve aussi le nombre de olonnes du symbole de Frobenius. Elle s'exprimed'ailleursde façontrès simple en utilisant ette représentation : omme une équerre de largeur

a

et de hauteur

b

est transformée par la onjugaison en uneéquerre de largeur

b

etde hauteur

a

,le onjuguéde lapartitionayant pour symbole de Frobenius







a

1

a

2

· · · a

N

b

1

b

2

· · · b

N







est lapartitionayant pour symbole de Frobenius







b

1

b

2

· · · b

N

a

1

a

2

· · · a

N





 .

sym-I.1: Coe ients

q

-binomiaux 31 I.1 Coe ients

q

-binomiaux

Les oe ients

q

-binomiaux, également appelés polynmes gaussiens ar ils ont été introduits par Gauss [58℄, sont dénispar



n

k



q

=

(q)

n

(q)

k

(q)

n−k

.

Leurnomvientdufaitqu'ilssontdes

q

-analoguesdes oe ientsbinomiaux lassiques



n

k



=

n!

k!(n − k)!

,

e qui signie que les oe ients binomiaux sont la limite des oe ients

q

-binomiaux quand

q

tend vers 1. Eneet, pour

q 6= 1

,



n

k



q

=

(q)

n

(q)

k

(q)

n−k

=

(q)n

(1−q)

n

(q)k

(1−q)

k

(q)n−k

(1−q)

n−k

=

1−q

1−q

1−q

2

1−q

· · ·

1−q

n

1−q

1−q

1−q

1−q

2

1−q

· · ·

1−q

k

1−q

×

1−q

1−q

1−q

2

1−q

· · ·

1−q

n−k

1−q

=

1 · (1 + q) · · · (1 + q + · · · + q

n−1

₎

1 · (1 + q) · · · (1 + q + · · · + q

k−1

_{) × 1 · (1 + q) · · · (1 + q + · · · + q}

n−k−1

₎

q→1

−−→

1 · 2 · · · n

1 · 2 · · · k × 1 · 2 · · · (n − k)

=

n!

k!(n − k)!

=



n

k



.

Les oe ients

q

-binomiaux ont une interprétation ombinatoire simple qui est don-née par le théorème suivant, dont on donne la démonstration pour illustrer l'utilisation d'équationsaux

q

-diéren es(

q

-analoguesdeséquationsauxdiéren es lassiques, omme par exemple(I.2)) dans ladémonstrationde résultats d'énumération; de telles équations seront abondamment utiliséesau hapitre II.

ThéorèmeI.1 (Sylvester[92℄). Le oe ient

q

-binomial



n

k



q

est lasériegénératri e des partitionsen au plus

k

parts qui sont toutes inférieures ou égalesà

n − k

, ou, en d'autres termes, lasérie génératri e des partitionsdont le diagrammede Ferrers est ontenu dans un re tangle de longueur

n − k

et de largeur

k

.

Démonstration. On reprend la présentation d'Andrews [25℄. On observe d'abord que



n

0



q

=



n

n



q

= 1

(I.1) et que



n

k



q

−



n − 1

k − 1



q

=

(q)

n−1

(q)

k

(q)

n−k

(1 − q

n

) − (1 − q

k

)

=

(q)

n−1

(q)

k

(q)

n−k

q

k

_{(1 − q}

n−k

)

= q

k

(q)

n−1

(q)

k

(q)

n−k−1

= q

k



n − 1

k



q

.

(I.2)

On remarqueensuiteque (I.1)et(I.2) dénissent de manièreunique



n

k



q

pour tous

n

et

k

positifs ou nuls. Par ailleurs, es deux relations permettent de montrer par ré urren e que les oe ients

q

-binomiauxsont des polynmes.

D'autre part, en notant

p(n − k, k, ℓ)

lenombre de partitionsde

ℓ

en au plus

k

parts qui sont toutes inférieuresou égalesà

n − k

, ona

p(n − k, 0, ℓ) =











1

si

n − k = ℓ = 0

0

sinon (I.3) et

p(0, k, ℓ) =











1

si

k = ℓ = 0

0

sinon (I.4) ar la partition vide, qui est de taille 0, est la seule partition dont au une part n'est stri tement positive et la seule partition dont le nombre de parts n'est pas stri tement positif.

Sion note

F (n, k) =

P

ℓ>0

p(n − k, k, ℓ)q

ℓ

,(I.3) et(I.4) impliquent que

F (n, 0) = F (n, n) = 1.

(I.5) De plus,

p(n − k, k, ℓ) − p(n − k, k − 1, ℓ)

ompte les partitionsde

l

en exa tement

k

partsquisonttoutesinférieuresouégalesà

n−k

.Ontransforme ha unede es partitions

Les partitions obtenues sont de taille

ℓ − k

, elles ont au plus

k

parts et haque part est inférieure ou égale à

n − k − 1

. Notre transformation est lairement une bije tion entre les partitions omptées par

p(n − k, k, ℓ) − p(n − k, k − 1, ℓ)

et elles omptées par

p(n − k − 1, k, ℓ − k)

. On a don

p(n − k, k, ℓ) − p(n − k, k − 1, ℓ) = p(n − k − 1, k, ℓ − k),

(I.6) e qui setraduit sur la série génératri e par

F (n, k) − F (n − 1, k − 1) = q

k

F (n − 1, k).

(I.7) Don , omme



n

k



q

et

F (n, k)

vérient les mêmes onditions initiales (respe tivement (I.1)et (I.5))et lamême équationde ré urren e (respe tivement (I.2)et (I.7)), es deux quantités sontégales et lethéorème I.1 est démontré.

I.2 L'identité du produit triple de Ja obi

Ja obi [65℄ a démontré le résultat suivant, que Gauss avait en fait déjà obtenu dans un manus ritnon publié(voir[80℄):

Théorème I.2 (Identité du produit triplede Ja obi).

∞

X

n=−∞

z

n

q

n

2

_{= (−zq, −q/z, q}

2

; q

2

)

∞

.

(I.8)

L'identité du produit triple de Ja obi permet de démontrer des identités analytiques de type Rogers-Ramanujan,oùl'un des deux membres est une sérieetl'autre un produit inni. Elle est par exemple utilisée dans la démonstration analytique du théorème de Gordondue à Andrews [11℄.

I.3 Paires de Bailey

Le but de ette se tion n'est pas d'exposer en détail la théorie des paires de Bailey, mais seulement de présenter quelques notions utilisées dans les hapitres suivants. Pour une présentation de la théoriedes paires de Bailey, de son histoire et de ses appli ations

Soit

a ∈ C

.UnepairedeBaileyparrapportà

a

estun ouple

(α, β)

desuitesvériant, pour tout

n > 0

,

β

n

=

n

X

r=0

α

r

(q)

n−r

(aq)

n+r

.

Les paires de Bailey ont été introduites dans [31, 32℄. Elles permettent, à l'aide de l'identité duproduit triplede Ja obi, dedémontrer lesidentités de Rogers-Ramanujanet d'autres identités dumêmetype.Slater[89, 90℄aainsiobtenu130identités de e typeen utilisantles paires de Bailey.

Il est possible d'obtenir une paire de Bailey àpartir d'uneautre paire déjà onnue en utilisantle théorème suivant,dû àAndrews [23, 24℄ :

Théorème I.3 (Andrews). Soit

(α, β)

une pairede Baileypar rapport à

a

. Alors

(α

′

_{, β}

′

₎

, où

α

′

_n

=

(ρ)

n

(σ)

n

(aq/ρσ)

n

(aq/ρ)

n

(aq/σ)

n

α

n

et

β

′

n

=

n

X

r=0

(ρ)

r

(σ)

r

(aq/ρσ)

r

(aq/ρσ)

n−r

(aq/ρ)

n

(aq/σ)

n

(q)

n−r

β

r

,

est aussiune pairede Baileypar rapport à

a

pour tous

ρ

et

σ

telsquelesséries onvergent absolument.

Enfaisant tendre

n

,

ρ

et

σ

vers l'innidans l'identité liantles

β

′

n

et les

α

′

r

quirésulte de e théorème, on obtient quesi

(α, β)

est une paire de Bailey par rapportà

a

, ona

∞

X

r=0

a

r

q

r

2

β

r

=

1

(aq)

∞

∞

X

r=0

a

r

q

r

2

α

r

.

(I.9) La première identité de Rogers-Ramanujanest obtenue en utilisant(I.9)ave lapaire de Bailey par rapportà 1 suivante [83℄ :

α

n

=











1

si

n = 0

(−1)

n

_q

n(3n−1)

₂

_{(1 + q}

n

₎

sinon et

β

n

=

1

(q)

n

et en appliquant l'identité du produit triple de Ja obi. La deuxième identité de Rogers-Ramanujanest obtenue de même ave la paire de Bailey par rapportà

q

suivante[83℄:

α

n

= (−1)

n

q

n(3n+1)

2

1 − q

2n+1

1 − q

et

β

n

=

1

(q)

n

.

En appliquant le théorème I.3 itérativement,on peut, à partir d'une paire de Bailey, obtenir une suite innie de paires appelée haîne de Bailey. Les haînes de Bailey

per-dansle as parti ulieroù

i = 1

ou

i = k

, maisne susent pas pour traiterle as général. Onabesoinpour ela d'unoutilplus puissant:letreillisde Bailey.L'idéeest de pouvoir passerd'unepairedeBailey àune autrepairequine soitpas relativeaumêmeparamètre

a

, e qui est rendu possible par le lemmesuivant.

Lemme I.4 (Agarwal, Andrews et Bressoud [5℄). Soit

(α, β)

une paire de Bailey par rapport à

a

. Alors

(α

′

_{, β}

′

₎

, où

α

_n

′

=











α

0

si

n = 0

(1 − a)



ρσ

a



n

(ρ)n(σ)n

(a/ρ)n(a/σ)n



αn

1−aq

2n

−

aq

2n−2

_αn−1

1−aq

2n−2



si

n > 1

β

_n

′

=

n

X

k=0

(ρ)

k

(σ)

k

(a/ρσ)

k

(a/ρσ)

n−k

β

k

(q)

n−k

(a/ρ)

n

(a/σ)

n

est une paire de Bailey par rapport à

aq

−1

pour tous

ρ

et

σ

tels que les séries onvergent absolument.

Le théorème I.3 et le lemme I.4 permettent de démontrer le théorème suivant [5, théorème 3.1℄ :

Théorème I.5 (Agarwal, Andrews et Bressoud). Si

(α, β)

est une paire de Bailey par rapportà

a

et

0 6 i 6 k

,alors,pourtous

ρ

j

et

σ

j

telsquelesséries onvergentabsolument,

X

n>n1

>

···>nk

>

0

(ρ

1

)

n1

· · · (ρ

k

)

nk

(σ

1

)

n1

· · · (σ

k

)

nk

(q)

n−n1

· · · (q)

nk−1−nk

×

(a/ρ

1

σ

1

)

n−n1

· · · (a/ρ

i

σ

i

)

ni−1−ni

(a/ρ

1

)

n

· · · (a/ρ

i

)

ni−1

(a/σ

1

)

n

· · · (a/σ

i

)

ni−1

×

(aq/ρ

i+1

σ

i+1

)

ni−ni+1

· · · (aq/ρ

k

σ

k

)

nk−1

−nk

a

n1+···+nk

_q

ni+1+···+nk

_β

nk

(aq/ρ

i+1

)

ni

· · · (aq/ρ

k

)

nk−1

(aq/σ

i+1

)

ni

· · · (aq/σ

k

)

nk−1

(ρ

1

σ

1

)

n1

· · · (ρ

k

σ

k

)

nk

=

α

0

(q)

n

(a)

n

+

n

X

t=1

(ρ

1

)

t

(σ

1

)

t

· · · (ρ

i

)

t

(σ

i

)

t

a

it

(1 − a)

(a/ρ

1

)

t

(a/σ

1

)

t

· · · (a/ρ

i

)

t

(a/σ

i

)

t

(ρ

1

· · · ρ

i

σ

1

· · · σ

i

)

t

(q)

n−t

(a)

n+t

×



(ρ

i+1

)

t

(σ

i+1

)

t

· · · (ρ

k

)

t

(σ

k

)

t

(aq)

(k−i)t

α

t

(aq/ρ

i+1

)

t

(aq/σ

i+1

)

t

· · · (aq/ρ

k

)

t

(aq/σ

k

)

t

(ρ

i+1

· · · ρ

k

σ

i+1

· · · σ

k

)

t

(1 − aq

2t

)

−

(ρ

i+1

)

t−1

(σ

i+1

)

t−1

· · · (ρ

k

)

t−1

(σ

k

)

t−1

(aq/ρ

i+1

)

t−1

(aq/σ

i+1

)

t−1

· · · (aq/ρ

k

)

t−1

(aq/σ

k

)

t−1

×

(aq)

(k−i)(t−1)

_aq

2t−2

_α

t−1

(ρ

i+1

· · · ρ

k

σ

i+1

· · · σ

k

)

t−1

(1 − aq

2t−2

)



.

En utilisant des valeurs parti ulières des paramètres

n

,

ρ

j

et

σ

j

et en faisant appel à l'identité du produit triple de Ja obi, e théorème permet de démontrer la version analytiquedu théorème de Gordon etd'autres résultatssimilaires[5℄.

Paires de surpartitions et séries hypergéométriques basiques

II.1 Introdu tion

Dans e hapitre, basé sur [76℄, on étudie deux lasses de séries hypergéométriques basiques:

R

k,i

(a, b; x; q) =

(−axq, −bxq)

∞

(xq, abxq)

∞

X

n>0

(−abx

k

₎

n

_q

kn

2

_{+(k−i+1)n−}

₍

n

2

)(−1/a, −1/b)

n

(xq)

n

(q, −axq, −bxq)

n

×



1 −

abx

i

_q

(2n+1)i−2n

_{(1 + q}

n

_{/a)(1 + q}

n

_/b)

(1 + axq

n+1

_{)(1 + bxq}

n+1

₎



(II.1) et

˜

R

k,i

(a, b; x; q) =

(−axq, −bxq)

∞

(xq, abxq)

∞

X

n>0

(−abx

k−1

₎

n

_q

kn

2

_{+(k−i)n−2}

₍

n

2

)(−1/a, −1/b)

n

(x

2

q

2

; q

2

)

n

(q

2

_{; q}

2

₎

n

(−axq, −bxq)

n

×



1 −

abx

i

_q

i(2n+1)−2n

_{(1 + q}

n

_{/a)(1 + q}

n

_/b)

(1 + axq

n+1

_{)(1 + bxq}

n+1

₎



.

(II.2) Danslapremièrepartiedu hapitre,oninterprètele oe ientde

a

s

_b

t

_x

m

_q

n

dans(II.1) et(II.2)entermesdepairesdesurpartitions.Unepairedesurpartitions de

n

estun ouple

(λ, µ)

de surpartitions tel que la somme des parts de

λ

et des parts de

µ

est égale à

n

. Par exemple,les 12paires de surpartitions de 2 sont

((2), ∅) , (2), ∅

, ((1, 1), ∅) , (1, 1), ∅

, (1), (1)

, ((1), (1)) ,

(1), (1)

, (1), (1)

, ∅, (2)

, (∅, (2)) , (∅, (1, 1)) , ∅, (1, 1)

.

Lespairesdesurpartitionsontétéintroduitesdans[46℄pourdémontrer ombinatoirement la somme

1

ψ

1

de Ramanujan:

∞

X

n=−∞

(a)

n

(b)

n

z

n

=

(b/a, q, q/az, az; q)

∞

(b, b/az, q/a, z; q)

∞

pour

|q| < 1

et





b

a



 < |z| < 1

.

Pour pouvoir dénir de façon on ise les paires de surpartitions qui nous intéressent, on dira qu'un entier

j

apparaît non atta hé dans la paire de surpartitions

(λ, µ)

s'il apparaît uniquement non surligné et uniquement dans

µ

. Par exemple, dans la paire de surpartitions

(6, 4, 4, 3), (6, 4, 4, 2, 2, 1)

,seul

1

apparaîtnon atta hé. Notons

f

j

(λ)

(resp.

f

_j

(λ)

) le nombre de parts non surlignées (resp. surlignées) d'une surpartition

λ

égales à

j

, et

O

j

(λ)

le nombre de parts surlignées de

λ

inférieures ou égales à

j

. On dénit la valuation d'unepaire de surpartitions

(λ, µ)

en

j

par

v

j

((λ, µ)) = f

j

(λ) + f

j

(λ) + f

j

(µ) + χ(j

apparaît non atta hé dans

(λ, µ)),

(II.3) où

χ

est la fon tion ara téristique usuelle :

χ(A) =











1

si

A

est vrai

0

sinon.

Par exemple, la valuation de la paire pré édente en 4 vaut 3 ar

f

4

(λ) = 2

,

f

4

(λ) = 0

,

f

₄

(µ) = 1

et4 n'apparaît pas non atta hé.

Onpeutmaintenanténon ernosdeux premiersthéorèmes.Danstout e hapitre,sauf mention ontraire, onsuppose que

k > 2

et que

1 6 i 6 k

.

Théorème II.1. Soit

r

k,i

(s, t, m, n)

lenombre de paires de surpartitions

(λ, µ)

de

n

ave

m

parts, parmi lesquelles

s

sont des parts surlignées de

λ

ou des parts non surlignées de

µ

, et

t

sont des parts de

µ

, où (i)

v

1

((λ, µ)) 6 i − 1

;

(ii) pour tout

j > 1

,

f

j

(λ) + v

j+1

((λ, µ)) 6 k − 1

. Alors

R

k,i

(a, b; x; q) =

X

s,t,m,n>0

Théorème II.2. Soit

r

˜

k,i

(s, t, m, n)

le nombre de paires de surpartitions

(λ, µ)

omptées par

r

k,i

(s, t, m, n)

tellesque s'ily a égalitédans la ondition (ii)du théorèmeII.1 pour un ertain

j > 1

, on a

jf

j

(λ) + (j + 1)v

j+1

((λ, µ)) ≡ i − 1 + O

j

(λ) + O

j

(µ) (mod 2).

(II.4) Alors

˜

R

k,i

(a, b; x; q) =

X

s,t,m,n>0

˜

r

k,i

(s, t, m, n)a

s

b

t

x

m

q

n

.

Dansle asdespartitions(

λ

n'apasdepartssurlignéeset

µ

estvide),ona

v

j

((λ, ∅)) =

f

j

(λ)

et on retrouve don les partitions vériant des onditions de multipli ités dans les théorèmes de Gordon (pour lethéorème II.1 et de Bressoud (pour le théorème II.2.

Ces théorèmes unient etgénéralisent de nombreuses famillesimportantes d'identités sur les partitions, parmi lesquelles le théorème de Gordon, le théorème analogue obtenu par Bressoud [36℄, les théorèmes de Gordon pour lessurpartitions [71℄, la généralisation d'AndrewsdesidentitésdeGöllnitz-Gordon[12℄,leuranaloguepourlessurpartitions[72℄, ainsi que des résultats plus généraux obtenus en ollaboration ave Corteel et Lovejoy [49,48℄.Lafaçondonttous es résultatsdé oulentdes théorèmesII.1etII.2vial'identité du produit triple de Ja obi sera expliquée dans la se tion II.4, et plusieurs nouvelles famillesd'identités seront présentées.

Dans ladeuxième partie du hapitre, onétudie trois autres lasses d'objets ombina-toires omptés par

R

k,i

(a, b; 1; q)

et

R

˜

k,i

(a, b; 1; q)

. Ces objets seront dénis dans la suite du hapitre. Ande pouvoirénon er lesautres résultatsde e hapitre, posons

B

k,i

(s, t, n) =

X

m>0

r

k,i

(s, t, m, n)

et

˜

B

k,i

(s, t, n) =

X

m>0

˜

r

k,i

(s, t, m, n).

Théorème II.3. Soit

C

k,i

(s, t, n)

le nombre de paires de surpartitions de

n

dont la re-présentation de Frobenius possède

s

parts non surlignées dans la ligne du bas et

t

parts non surlignées dans la ligne du haut, et dont les rangs su essifs sont dans l'intervalle

[−i + 2, 2k − i − 1]

. Soit

D

k,i

(s, t, n)

le nombre de paires de surpartitions de

n

qui sont

dans la ligne du bas et

t

parts non surlignées dans la ligne du haut. Soit

E

k,i

(s, t, n)

le nombre de hemins de Bressoud-Burge généralisés d'indi e majeur

n

vériant les

(k, i)

- onditionsimpaires,où lenombrede pi smarquéspar

a

(resp.marquéspar

b

)est

s

(resp.

t

). Alors

B

k,i

(s, t, n) = C

k,i

(s, t, n) = D

k,i

(s, t, n) = E

k,i

(s, t, n).

Théorème II.4. Soit

C

˜

k,i

(s, t, n)

le nombre de paires de surpartitions de

n

dont la re-présentation de Frobenius possède

s

parts non surlignées dans la ligne du bas et

t

parts non surlignées dans la ligne du haut, et dont les rangs su essifs sont dans l'intervalle

[−i + 2, 2k − i − 2]

. Soit

D

˜

k,i

(s, t, n)

le nombrede paires de surpartitionsde

n

auto-

(k, i)

- onjuguées dont la représentation de Frobenius possède

s

parts non surlignées dans la ligne du bas et

t

parts non surlignées dans la ligne du haut. Soit

E

˜

k,i

(s, t, n)

le nombre de hemins de Bressoud-Burge généralisés omptés par

E

k,i

(s, t, n)

qui vérient aussi les

(k, i)

- onditions paires. Alors

˜

B

k,i

(s, t, n) = ˜

C

k,i

(s, t, n) = ˜

D

k,i

(s, t, n) = ˜

E

k,i

(s, t, n).

Les théorèmes II.3 et II.4 étendent des travaux sur les surpartitions obtenus en ol-laboration ave Corteel et Lovejoy [49, 48℄, qui sont eux-mêmes une généralisation aux surpartitionsdesidentitésd'Andrews-Gordonetdesrésultatsanaloguesbaséssurle théo-rème de Bressoud.

Ce hapitre est organisé omme suit : le théorème II.1 est démontré dans la se tion II.2enutilisantleséquationsaux

q

-diéren esd'Andrews pour ertainesfamillesde séries hypergéométriques basiques [15℄. Le théorème II.2 est démontré dans la se tion II.3 de la même manière, à e i près que nous avons dû établir les équations aux

q

-diéren es né essaires. Danslase tionII.4,onprésentequelquesunes desnombreuses identités om-binatoires quidé oulentdes théorèmes II.1etII.2.Dans lesse tions II.5 àII.7,ondénit lesstru tures ombinatoiresquiapparaissentdanslesthéorèmesII.3etII.4etondémontre

II.2 : Les

R

k,i

(a, b; x; q)

41 II.2 Les

R

k,i

(a, b; x; q)

Lesfon tions

J

λ,k,i

d'Andrews [15℄ sont liées à nos fon tions par l'égalité

R

k,i

(a, b; x; q) =

1

(abxq)

∞

J

2,k,i

(−1/a, −1/b; x; q).

(II.5) En employant les équations aux

q

-diéren es pour les

J

2,k,i

et les

H

2,k,i

[15, équations (2.1)-(2.4),

λ = 2

℄,

H

2,k,i

(a, b, x; q) − H

2,k,i−1

(a, b, x; q) = x

i−1

J

2,k,k−i+1

(a, b; x; q),

(II.6)

J

2,k,i

(a, b; x; q) = H

2,k,i

(a, b; xq; q) − xq(1/a + 1/b)H

2,k,i−1

(a, b; xq; q)

+ x

2

q

2

/(ab)H

2,k,i−2

(a, b; xq; q),

(II.7)

H

2,k,−i

(a, b; x; q) = −x

−i

H

2,k,i

(a, b; x; q),

(II.8)

H

2,k,0

(a, b; x; q) = 0

(II.9) onpeut déduire queles

R

k,i

(a, b; x; q)

vérient leségalités suivantes :

Lemme II.5.

R

k,1

(a, b; x; q) = R

k,k

(a, b; xq; q),

(II.10)

R

k,2

(a, b; x; q) − R

k,1

(a, b; x; q) =

xq

1 − abxq

R

k,k−1

(a, b; xq; q)

(II.11)

+

axq

1 − abxq

R

k,k

(a, b; xq; q)

+

bxq

1 − abxq

R

k,k

(a, b; xq; q)

+

abxq

1 − abxq

R

k,k

(a, b; xq; q)

et pour

3 6 i 6 k

,

R

k,i

(a, b; x; q) − R

k,i−1

(a, b; x; q) =

(xq)

i−1

1 − abxq

R

k,k−i+1

(a, b; xq; q)

(II.12)

+

a(xq)

i−1

1 − abxq

R

k,k−i+2

(a, b; xq; q)

+

b(xq)

i−1

1 − abxq

R

k,k−i+2

(a, b; xq; q)

+

ab(xq)

i−1