Corps de décomposition d'un polynôme réductible

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Corps de décomposition d’un polynôme réductible

Sébastien Orange, Guénaël Renault, Annick Valibouze

To cite this version:

Sébastien Orange, Guénaël Renault, Annick Valibouze. Corps de décomposition d’un polynôme

ré-ductible. [Rapport de recherche] lip6.2003.004, LIP6. 2003. �hal-02545651�

S.ORANGE,G.RENAULT,A.VALIBOUZE

Resume

Dans cet article,nous exploitonslareductibilite d'unpolyn^omed'une vari-able pourcalculereÆcacement soncorps de decomposition.

Abstract

In this paper, we use reducibility of an univariate polynomial in order to compute eÆciently itssplittingeld.

Introduction

Dans [4 ], l'auteur calcule le centre du groupe de Galois d'un polyn^ome de Z[x] an de determiner s'il est abelien. Dans le cas ou le polyn^ome est reductible etou le groupe de Galois de chacun de ses facteurs est abelien, l'auteur calcule alors son corps de decomposition avec eÆcacite. Dans cet article, estdecrite unemethode generalepourcalculereÆcacement lecorps de decompositiond'unpolyn^omereductiblequelconquedont lescoeÆcients appartiennent aun corps parfait.

L'algorithme GaloisIdeal de [8 ] calcule le corps de decomposition K d'un polyn^ome d'une variable f a coeÆcients dans un corps parfait k. Le polyn^ome f est suppose separable et de degre n. Plus precisement, l'algorithmeGaloisIdealretourne unensembletriangulaireengendrantun ideal maximalM de k[x

1 ;:::;x

n

], appele ideal des relations. Le corps K est isomorphe a l'anneau quotient k[x

1 ;:::;x n ]=M (ou x 1 ;:::;x n sont des variablesalgebriquement independantes).

La methode utilisee par l'algorithmeGaloisIdealconsiste a de construire une cha^ne ascendante d'ideaux triangulaires, appeles ideaux de Galois du polyn^ome f,: I 1 I 2 


I s =M (1) ouI 1

estpardefautl'idealdesrelationssymetriquesengendreparl'ensemble triangulaire forme par les modules de Cauchy (voir [3] ou [7 ]). Le calcul d'un idealI

i+1 

apartir de I i

impose de conna^treun ensemble triangulaire engendrantI i etunstabilisateurL i deI i

quiestunsous-ensembledugroupe

Date:20mai2003.

2000 Mathematics SubjectClassication. Primary12F10; Secondary12Y05,11Y40. Key wordsand phrases. Galois group,Galois ideal ,reducibleunivariate polynomial, splittingeld.

symetriqueS n

(lestabilisateurdeMestungroupeisomorpheaugroupede Galois de K sur k). La complexite de ce calcul depend du cardinalde L

i 

egal a celuide lavariete aÆne V(I i

)de l'idealI i

. Lorsque I 1

estl'ideal des relations symetriquessonstabilisateurest legroupeS

n

,de cardinaln!.

C'est le calculco^uteuxdu debut de lacha^ne (1) que nous pourronseviter lorsquelepolyn^omef sefactorisesurkens>1facteursdedegresrespectifs d

1 ;:::;d

s

. En eet, avec le Theoreme 2.4, il est possible de prendre pour I

1

un ideal de Galois dont le stabilisateur est de cardinal compris entre m 1 !m 2 !:::m s ! et d 1 !d 2 !:::d s ! ou m i

est le cardinal du groupe de Galois sur k du i-ieme facteursur k du polyn^omef.

Lesparagraphes1comportedesrappelsdesarticles[8 ]et [2]concernantles ideauxdeGalois. Leparagraphe2comporteleTheoremeprincipalquenous illustreronspar desexemples. Le paragraphe 3 donnera uneapplicationdu theoreme 2.4.

1. Rappelssur les id

eaux de Galois

1.1. Ideal des relations et groupe de Galois. Notons

^

k unecl^oturealgebriqueducorpsk. Posons =( 1 ;:::; n )2 ^ k n , un n-upletdesracines supposeesdistinctesdu polyn^ome f.

Dans k[x 1

;:::;x n

], l'ideal des -relations

M=fR2k[x 1 ;:::;x n ] j R ( 1 ;:::; n )=0g

est engendre par un ensemble triangulaire de polyn^omes appeles modules fondamentaux dans[7 ]. Le corps dedecompositionK =k(

1 ;:::;

n ) de f est isomorphea l'anneau quotient k[x

1 ;:::;x

n

]=M. Le calcul des modules fondamentauxrevient donca calculerlecorps K. Le groupe

Gal k ( )=f2S n j (8R2M) R ( (1) ;:::; (n) )=0g

est appele le groupe de Galois de  sur k ; il est isormorphea Gal k

1.2. Ideaux de Galois, Stabilisateurs et varietes. SoitL unepartiede S

n

contenant l'identite. L'ideal radicalI denitpar:

I =fR2k[x 1 ;:::;x n ] j (82L) R ( (1) ;:::; (n) )=0g

est appele l'(;L)-ideal de Galois (sur k) ou, de maniere plusgenerale, un ideal de Galois du polyn^ome f (sur k). L'( ;S

n

)-idealde Galois est appele l'ideal des relations symetriques (entre les racines de f) et l'ideal des -relations Mest l'(;I

n

)-ideal de Galoisquenous noteronsaussiI 

.

Le stabilisateur de I relatif a  estl'ensemble:

Stab(I;)=f2S n j (8R2I) R ( (1) ;::: (n) )=0g :

Puisque l'ideal I est aussi l'(;Stab(I;))-ideal de Galois, nous pouvons l'appeler l'  -ideal de Galois de stabilisateur Stab(I;) (relatif a ). Ce stabilisateurse deduitdel'ensembleL parlaformulesuivante:

Stab(I;) = Gal k ( )L=fgl j g2Gal k (); l2Lg : (2)

En particulier,LStab(I; ), Gal k ( )Stab(I; ) et Stab(I;) = Gal k ( )Stab (I; ) : (3)

Lorsque Stab(I; ) estun groupe,il est independantdu choixde  dans la variete de I. Nousl'appelonslestabilisateur de I.

Remarque 1. L'idealdes  -relationsestl'-idealde Galoisde stabilisateur le groupe de Galois Gal

k

() et l' ideal des relations symetriques entre les racinesde f estl'-idealde GaloisdestabilisateurlegroupesymetriqueS

n .

La variete aÆne V(I) = f 2 ^ k n j (8R 2 I) R ( 1 ; 2 ;:::; n ) =0g de I dans ^ k n

estdonnee par:

V(I)=f( ;::: ) j  2Stab(I; )g : (4)

1.3. Ideaux de Galois triangulaires. Un sous-ensemble T de n polyn^omes de k[x

1 ;:::;x

n

] est dit triangulaire si T = ff 1 (x 1 );f 2 (x 1 ;x 2 );:::;f n (x 1 ;:::;x n

)g ou le i-ieme polyn^ome f i

est unitaire en tant que polyn^ome en x

i avec deg(f i ;x i ) > 0. Cet ensemble triangulaireestditseparablesichaquepolyn^omef

i de T verielacondition suivante : 8( 1 ;:::; n )2 ^ k n tel que8j 2[1;n],f j ( 1 ;:::; n

)=0,lepolyn^omed'une

variable f i ( 1 ;:::; i 1

;x)n'apasde racine multipledans ^ k.

Si un ideal est engendre par un ensemble triangulaire separable, il est dit triangulaire.

Lorsquelestabilisateurd'unidealdeGaloisestungroupe,cetidealestalors triangulaire(voir[2 ]). TouslesideauxdeGaloisconstruitspardesmethodes eectivessonttriangulaires(voir[5 ] ouTheoreme 2.4decetarticle). Aucun theoreme n'a encoreatteste quetout idealde Galoisestnecessairement en-gendreparunensembletriangulairemaissic'estlecasilestnecessairement separablepuisquel'idealest radical.

2. Id 

eal de Galois de stabilisateur un groupe produit

Lorsque le polyn^ome f est reductible surk, songroupede Galois sur k est unsous-groupeduproduitdirectdesgroupesdeGaloissurk desesfacteurs surk. NousallonsmontrerquedesideauxdeGaloistriangulairesdechacun des facteurs de f nous pouvons deduire un ideal de Galois triangulaire J de f (i.e. unensembletriangulairel'engendrant ainsique sonstabilisateur) contenantstrictementl'idealdesrelationssymetriquesentrelesracinesdef. L'algorithme GaloisIdeal pourra ^etre ensuite utilise pour calculer l'ideal des -relationsa partirde I

1 =J.

Supposons dans cette partie que le polyn^ome f se factorise sur k en deux polyn^omesgeth dedegresrespectifsmetp=n m,que =(

1 ;:::;

m ) est un m-uplet des racines de g et que = (

m+1 ;:::;

n

) est un p-uplet des racinesde h.

Rappelons le resultat bien connu suivant dont nous donnons une demonstration simpleapartir desideauxde Galois.

Lemme 2.1. Gal k ()Gal k ()Gal k ( ).

Demonstration. Soit 2Gal k

( ). Nous avons naturellement I

 k[x 1 ;:::;x n ]  I 

, c'est-a-dire que toute

-relation est necessairement une -relation. Si  62 S m

S p

alors il ex-iste i 2 [1;m] tel que j = (i) 2 [m+1;n]. Comme g(x

i ) 2 I  , par denition de Gal k (), g( j

) = 0, ce qui est impossible car  j

est racine de h et f est separable. Donc  2 S

m S p et  =  0 avec  2 S m et  0 2 S p

. Par denition de Gal k

( ), pour toute -relation R nous avons R (  ;:::; (m) ;  0 (m+1) ;:::;  0 (n)

toute -relation R nousavons R (  (1) ;:::;  (m) )=0. Donc 2Gal k (), de m^eme  0 2Gal k ( ),etnalement 2Gal k ()Gal k ( ). 

Lemme 2.2. Si g et h sont k-irreductibles alors les Gal k

()-orbites de f1;:::;ng sont f1;2;:::;mg et fm+1;m+2;:::;ng.

Demonstration. Les racines  1

; 2

;:::; m

du polyn^ome g sont les  (i)

ou  parcourt Gal

k

( ) puisque g est irreductible sur k. Donc f1;2;:::;mg est l'orbite de 1 sous l'action Gal

k

(). De m^eme fm+1;m+2;:::;ng est l'orbite de m+1 sousl'actionGal

k

( ). 

Exemple 2.3. Posons m=5 et p=2. SupposonsqueGal

k

()soitlegroupe cycliqueC 5 =<(1;3;2;4;5) >etque Gal k ( ) = S 2 . Comme le groupe C 5 S 2

n'a pas de sous-groupe propre dont l'actionsurf1;2;:::;7gaituneorbitede longueur5=deg(g) et unede longueur 2=deg(h),nous avons necessairement Gal

k ( )=C 5 S 2 . SupposonsqueGal

k

()soitlegroupedihedralD 5 =< =(1;5;2;3;4); = (1;3)(2;5) > et que Gal k ( ) =S 2

. Le seul sous-groupe propre de D 5

S 2 qui aitune orbitede longueur 5 et une de longueur2 est le groupe G

2 =< ;(6;7) >. Le groupe deGalois Gal

k

( )est doncoubienD 5 S 2 oubien G 2 .

Theoreme 2.4. Soit I 1

(resp. I 2

) un -ideal (resp. -ideal) de Galois

appartenant ak[x 1 ;:::;x m ](resp. k[x m+1 ;:::;x n ])destabilisateurG(resp. H) relatif a  (resp. ). (nous avons donc GS

m

etH S p

). Supposons que les ideaux I

1 et I

2

soient engendres respectivement par des ensembles triangulaires separables T

1 dans k[x 1 ;:::;x m ] et T 2 dans k[x m+1 ;:::;x n

]. Alors l'ideal de k[x 1

;x 2

;:::;x n

] engendre par l'ensemble triangulaireT

1 [T

2

estl' -idealdeGalois de stabilisateurGH ;il verie donc : I GH  =I 1 k[x 1 ;:::;x n ]+I 2 k[x 1 ;:::;x n ] : En particulier, Card(Gal k ())Card(Gal k ( ))Card(V(J))=Card(G):Card(H)m!p!:

Demonstration. L'ideal I de k[x 1

;:::;x n

]engendre parl'ensemble triangu-laire T

1 [T

2

estnaturellement l'ideal I 1 k[x 1 ;:::;x n ]+I 2 k[x 1 ;:::;x n ].

PuisqueG(resp. H)estlestabilisateurdeI 1

(resp. I 2

),nousavonsd'apres (4) V(I 1 )=G:=f( (1) ;:::; (m) ) j  2Gg (resp. V(I 2

) = H: ). Les elements de ^ k n annulant T 1 (resp. T 2 ) sont les ( (1) ;:::; (m) ;u 1 ;:::;u p )(resp. (v 1 ;:::;v m ; (m+1) ;:::; (n) ))avec  2 G, (resp.  2 H) et u i ;v j 2 ^

k. Les racines de f etant deux a deux

distinctes, les elements de ^ k n annulant T 1 [T 2

sont les n-uplets distincts

( ;:::; ) de ^ k n

L'idealIetantengendreparl'ensembletriangulaireT 1

[T 2

,savarieteaÆne V(I) est l'ensembledeselementsde

^ k n

annulantles polyn^omes de T 1 [T 2 : V(I)=f( (1) ;:::; (n) ) j 2GHg: L'ensemble triangulaireT 1 [T 2 

etant separable,l'ideal I estradical etnous avons: I =fR2k[x 1 ;x 2 ;:::;x n ] j (82GH) R ( (1) ; (2) ;:::; (n) )=0g : Lesracines i

etantdeuxadeuxdistinctes,l'idealI estun-idealdeGalois

de stabilisateurGH. 

Remarque 2. Par induction, le theoreme precedent se generalise au cas ou f sefactoriseen plusdedeux facteurs.

Les polyn^omes des exemples ci-apres on et e pris dans la base de donnees de Jurgen Kluners et Gunter Malle disponible sur internet a l'adresse http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/compalg/minimum/.

Exemple 2.5. Soientlespolyn^omesQ irreductiblesg=x 5 x 4 4x 3 +3x 2 + 3x 1 eth =x 2

+1 et f =g:h. En conservant les notations du theoreme 2.4, nouscalculonsles ideaux desrelationsI

 et I . L'ensembletrianguaire T 1 =f x 5 1 x 4 1 4x 3 1 +3x 2 1 +3x 1 1; x 2 +x 2 1 2; x 3 x 3 1 +3x 1 ; x 4 x 4 1 +x 3 1 +3x 2 1 2x 1 1; x 5 +x 4 1 4x 2 1 +2g

engendrel'idealI 

des-relationsdestabilisateurlegroupecycliqueC 5 =< (1;3;2;4;5) >etT 2 =fx 2 6 +1;x 7 +x 6

g engendrel'ideal I

des -relations

de stabilisateur le groupe symetrique S 2 . Nous avons C 5 =Gal Q () et S 2 =Gal Q

( ). Les deux ensembles triangulairesT 1

et T 2

se calculent

rapi-dement. D'apres le Theoreme 2.4, applique a G =C 5 ,I 1 =I  ,H =S 2 et I 2 =I

,l'ideal engendre parT 1

[T 2

estl'-ideal de Galoisde stabilisateur

C 5

S 2

et, comme Gal Q

( ) =C 5

S 2

(voir Exemple 2.3), c'est l'idealI  des -relations.

Exemple 2.6. Soientlespolyn^omesQ irreductiblesg=x 5 2x 4 +2x 3 x 2 +1 et h = x 2

+1 et f = g:h. Nous procedons de m^eme que pour l'exemple precedent. L'ensembletriangulaire

T 1 =f x 5 1 2x 4 1 +2x 3 1 x 2 1 +1; x 2 2 +( x 4 1 +x 3 1 x 2 1 +x 1 1)x 2 x 1 +1; x 3 +x 2 x 4 1 +x 3 1 x 2 1 +x 1 1; x 4 x 2 x 4 1 +2x 2 x 3 1 2x 2 x 2 1 +x 2 x 1 +x 4 1 2x 3 1 +2x 2 1 x 1 ; x 5 +x 4 +x 4 x 3 +x 2 1g

engendrel'idealI 

des-relationsdestabilisateurlegroupedihedralD 5 =<  =(1;5;2;3;4); =(1;3)(2;5)>(onaGal k ()=D 5 )etT 2 =fx 2 6 +1;x 7 + x 6

gengendrel'idealI

des -relationsdestabilisateurlegroupeS 2

. D'apres le Theoreme 2.4, l'ideal I engendre par T

1 [T

2

est l'-ideal de Galois de stabilisateurD

5 S

2 .

Montronscommentl'algorithmeGaloisIdealcalculel'idealdes-relations 

a partir del'ideal I. Le groupe de Galoisde  surQ est soitG 1

=D 5

S 2 soit son sous-groupe G

2

=<;(6;7) >(voir Exemple 2.3). Le polyn^ome  donne ci-dessousverieG

2 =f 2G 1 j :=g:  = x 2 1 x 2 x 6 +x 2 1 x 3 x 7 +x 1 x 2 2 x 7 +x 1 x 2 3 x 6 +x 2 2 x 4 x 6 +x 2 x 2 4 x 7 +x 2 3 x 5 x 7 +x 3 x 2 5 x 6 +x 2 4 x 5 x 6 +x 4 x 2 5 x 7 : Nous avons G 1 = G 2 +G 2 ; le polyn^ome R = (x ( ))(x :( )) s'appelleuneresolvanteG

1

-relativede  par . Sicette resolvante possede un facteur simple, alors le groupe de Galois de  sur k est contenu dans G

2

(voir, parexemple, [6 ]); c'estdonc G 2

. L'ensemble triangulaireT 1

[T 2 engendrantl'ideal I permet decalculercette resolvante (voir [2]) :

R=x 2

47 :

Comme elle est irreductible sur Q, le groupe de Galois Gal Q ( ) est G 1 . L'idealI 

des-relations estdoncl'idealI.

Remarque 3. Silaresolvante R avaiteu un facteurlineaire simpleu(x) sur Q alorson auraiteu Gal

Q ( )=G 2 et I  =I+u()Q[x 1 ;:::;x n ](voir[8 ]). Le calcul desmodulesfondamentaux f

1 ;:::;f

7

engendrant l'idealI 

aurait 

eterapidepuisque,lesdegresdechaquepolyn^omef i enx i sontcalculablesa partirdeG 2

(voir[2 ]). NoussavonsainsiquesinousavionseuGal Q ( )=G 2 alors aurionsff 1 ;:::;f 5 g=T 1 , f 7 =x 7 +x 6 etf 6 dedegre 1 enx 6 .

Exemple 2.7. Soitlepolyn^omef(x)=x 6

+x 4

+x 2

+1quisefactorisesurQ en deuxfacteursirreductiblesg=x

4 +1 eth=y 2 +1. L'ensemble triangu-laireT 1 =fx 4 1 +1;x 2 +x 1 ;x 3 x 3 1 ;x 4 +x 3 1

gengendrel'ideall'idealI 

des

-relationsdestabilisateurlegroupeV 4 =<(1;2)(3;4) >(doncGal Q ()=V 4 ) etT 2 =fx 2 5 +1;x 6 +x 5

g engendrel'ideal I

des -relationsde stabilisateur le groupe S

2

. D'apres le Theoreme 2.4, l'ideal I engendre par T 1

[T 2

est l'-ideal de Galois de stabilisateur V

4 S

2

. En factorisant le polyn^ome h dans k(

1

), nous trouvons que 1  2 1 = 2 + 2 1

= 0. Donc l'ideal des -relations est engendre parl'ensemble triangulaireT

1 [fx 5 x 2 1 ;x 6 +x 2 1 g et son stabilisateur (de cardinal 4) est le groupe de Galois Gal

Q

( ) =< (1;2)(3;4);(5;6)( 1;2)( 3;4) >quiestleseulsous-groupepropredansV

4 S

2 pouvant ^etre le groupe de Galois de  (voir Lemme 2.2). Ici, pour simpli-er lapresentationnousn'avonspasutilisel'algorithmeGaloisIdealpour calculer un idealmaximal des relations. Unefactorisation de h dansk(

1 ) suÆtpuisquek()=k(

1

)etquehestun polyn^omededegre2. Maisc'est uncasparticulier. Engeneral,ilestpluseÆcaced'utiliserGaloisIdealque de factoriser dans des extensions algebriques dont les degres sont d'autant

3. Application

Dans [5 ], il est construitdes ideaux de Galois triangulairesdes facteurs de f dans une extension algebrique K de k. Les stabilisateurs de ces ideaux sontegalementcalcules. Letheoreme 2.4appliqueacesideauxpermetd'en deduireunidealdeGaloisI

0

def surKainsiqu'undesesstabilisateursL 0

. Dans l'article sus-cite, a partir de l'ensemble triangulaire engendrant I

0 ,il est deduitun ensembletriangulaire T engendrantun ideal deGaloisI de f sur k et de L

0

, un stabilisateur L de I. Il est ensuite possible d'appliquer l'algorithmeGaloisIdealavec I

1

=I andecalculerunidealdesrelations M.

References

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LIP6,

Universit

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