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Modélisation fractionnaire et identification d'impédance d'accumulateurs électrochimiques

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

THÈSE

Pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS École nationale supérieure d'ingénieurs (Poitiers)

Laboratoire d'informatique et d'automatique pour les systèmes - LIAS (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)

École doctorale : Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges) Secteur de recherche : Automatique

Présentée par :

Achraf Nasser Eddine

Modélisation fractionnaire et identification d'impédance

d'accumulateurs électrochimiques

Directeur(s) de Thèse :

Thierry Poinot, Jean-Denis Gabano, Benoît Huard

Soutenue le 06 décembre 2019 devant le jury

Jury :

Président Serge Pélissier Directeur de recherche, IFSTTAR, Bron

Rapporteur Christophe Forgez Professeur, Université de Technologie, Compiègne Rapporteur Jocelyn Sabatier Professeur, IMS, Université de Bordeaux

Membre Thierry Poinot Professeur, LIAS, ENSIP, Université de Poitiers Membre Jean-Denis Gabano Maître de conférences, LIAS, Université de Poitiers Membre Benoît Huard Maître de conférences, LIAS, Université de Poitiers

Pour citer cette thèse :

Achraf Nasser Eddine. Modélisation fractionnaire et identification d'impédance d'accumulateurs électrochimiques [En ligne]. Thèse Automatique. Poitiers : Université de Poitiers, 2019. Disponible sur Internet

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✷ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❣é♥ér❛❧❡ ▲✬❛♠é❧✐♦r❛t✐♦♥ ❞❡s ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡s ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s r❡♣rés❡♥t❡ ❞♦♥❝ ✉♥ ❡♥❥❡✉ ♠❛✲ ❥❡✉r ❛✉❥♦✉r❞✬❤✉✐ ❡t ♥é❝❡ss✐t❡ ❞❡ r❡❝♦✉r✐r à ❞❡s ♦✉t✐❧s ❞❡ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞✬é✈❛❧✉❡r ♣ré❝✐sé♠❡♥t ❧❡✉rs ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s✳ ▲❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ ❣é♥ér❛t❡✉r é❧❡❝tr♦❝❤✐♠✐q✉❡ ❞♦✐t ♣❡r♠❡ttr❡ ❞❡ r❡♣rés❡♥t❡r ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ s❡s ♣r✐♥❝✐♣❛✉① ♣❤é✲ ♥♦♠è♥❡s ✐♥t❡r♥❡s q✉❡ s♦♥t ❧❛ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡✱ ❧❡ tr❛♥s❢❡rt ❞❡ ❝❤❛r❣❡ ❡t ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♦♥✐q✉❡✱ ♣❤é♥♦♠è♥❡s q✉✐ ❛❣✐ss❡♥t s❡❧♦♥ ❞❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s très ❞✐✛é✲ r❡♥t❡s✳ ❙❡❧♦♥ ❧❡s ❞♦♠❛✐♥❡s ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❡t ❧❡s ♦❜❥❡❝t✐❢s ❡♥✈✐s❛❣és✱ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ❜❛tt❡r✐❡ ♣❡✉✈❡♥t s✬é❝r✐r❡ ❞✐✛ér❡♠♠❡♥t✳ ▲❡s ♠♦❞è❧❡s ✉t✐❧✐sés ❡♥ é❧❡❝tr♦❝❤✐♠✐❡ s✬❛♣♣✉✐❡♥t s✉r ❧❡s ❧♦✐s ❞❡ ❧❛ ♣❤②s✐q✉❡ ❞é❝r✐✈❛♥t ❧❡s ♣r♦♣r✐étés st❛t✐q✉❡s ❡t ❞②♥❛✲ ♠✐q✉❡s ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s✳ ■❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❞ét❡r♠✐♥és à ♣❛rt✐r ❞❡s ❞♦♥♥é❡s ♠❡s✉ré❡s ❞✐s♣♦♥✐❜❧❡s q✉✐ s✬❛✛r❛♥❝❤✐ss❡♥t ❞❡s ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥ts ♣❤②✲ s✐q✉❡s ✐♥t❡r♥❡s ❞❡ ❧❛ ❜❛tt❡r✐❡✳ ❉❡s ♠♦❞è❧❡s ❜❛sés s✉r ❞❡s ❝✐r❝✉✐ts é❧❡❝tr✐q✉❡s éq✉✐✈❛❧❡♥ts s❡ s✐t✉❡♥t ❡♥tr❡ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s é❧❡❝tr♦❝❤✐♠✐q✉❡s ❡t ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ♠❛t❤é✲ ♠❛t✐q✉❡s✱ ❡t r❡♣rés❡♥t❡♥t ❛✐♥s✐ ✉♥ ❝♦♠♣r♦♠✐s ❡♥tr❡ ❧❡✉rs ❝♦♠♣❧❡①✐tés t♦✉t ❡♥ ❝♦♥s❡r✈❛♥t ✉♥❡ s✐❣♥✐✜❝❛t✐♦♥ ♣❤②s✐q✉❡✳ ▲❡s ♠♦❞è❧❡s ❜❛sés s✉r ❧❡s ❝✐r❝✉✐ts é❧❡❝tr✐q✉❡s éq✉✐✈❛❧❡♥ts ♣❡✉✈❡♥t t♦✉t ❞❡ ♠ê♠❡ ❛✈♦✐r ❞❡s ❞❡❣rés ❞❡ ❝♦♠♣❧❡①✐té ✈❛r✐és✱ ❛❧❧❛♥t ❞❡ ❧❛ s✐♠♣❧❡ rés✐st❛♥❝❡ à ✉♥ rés❡❛✉ ♣♦✉✈❛♥t ❝♦♥t❡♥✐r ✉♥ ❣r❛♥❞ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ rés✐st❛♥❝❡s ❡t ❞❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡✉rs✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ✐❧ ❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❞❡ ❧❡s sé♣❛r❡r ❡♥ ❞❡✉① ❣r❛♥❞❡s ❢❛♠✐❧❧❡s✱ ❧❡s ❝✐r❝✉✐ts ❞✬♦r❞r❡ ❡♥t✐❡r ❡t ❝❡✉① ❞✬♦r❞r❡ ♥♦♥ ❡♥t✐❡r✳ ❙✐ ❧✬✉t✐❧✐s❛t❡✉r s♦✉❤❛✐t❡ t❡♥✐r ❝♦♠♣t❡ ❞❡ ❧❛ ♣♦r♦s✐té ❞❡s é❧❡❝tr♦❞❡s✱ ❧✬✐♠♣é✲ ❞❛♥❝❡ ❞❡ tr❛♥s❢❡rt ❞❡ ❝❤❛r❣❡ s❡ ♠♦❞é❧✐s❡ ♣❛r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ tr❛♥s❢❡rt ❢❛✐s❛♥t ✐♥t❡r✈❡♥✐r ❞❡s ♦r❞r❡s ♥♦♥ ❡♥t✐❡rs✳ ❉❡ ♠ê♠❡✱ ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♦✲ ♥✐q✉❡ ❝♦♥❞✉✐t à ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ tr❛♥s❢❡rt ♥♦♥ r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s s❡❧♦♥ ❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛✉① ❧✐♠✐t❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s✳ ❉❛♥s ✉♥❡ ③♦♥❡ ❢réq✉❡♥t✐❡❧❧❡ ❝♦♥♥✉❡ s♦✉s ❧❡ ♥♦♠ ❞❡ ③♦♥❡ ❞❡ ❲❛r❜✉r❣✱ s✐t✉é❡ à ♠♦②❡♥♥❡ ❡t ❤❛✉t❡ ❢réq✉❡♥❝❡✱ ❧✬✐♠♣é❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞✐✛✉✲ s✐♦♥ s❡ ❝♦♠♣♦rt❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥ ✐♥té❣r❛t❡✉r ❞✬♦r❞r❡ ❡♥✈✐r♦♥ ✵✳✺✳ ▲❛ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ é❧❡❝tr♦♥✐q✉❡✱ ❧❡ tr❛♥s❢❡rt ❞❡ ❝❤❛r❣❡ ❡t ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✐♦♥✐q✉❡ ♣♦ssè❞❡♥t ❧❡ ♣❧✉s s♦✉✈❡♥t ❞❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s ❜✐❡♥ ❞✐st✐♥❝t❡s✳ ▲❛ ❝♦♥❞✉❝t✐♦♥ é❧❡❝✲ tr♦♥✐q✉❡ ❡st q✉❛s✐✲✐♥st❛♥t❛♥é❡ ❡t ❛❣✐t ❞♦♥❝ ❡♥ très ❤❛✉t❡ ❢réq✉❡♥❝❡ ❀ ❧❡ tr❛♥s❢❡rt ❞❡ ❝❤❛r❣❡ ❡st ✉♥ ♣❤é♥♦♠è♥❡ r❛♣✐❞❡ q✉✐ ❛❣✐t ❡♥ ❤❛✉t❡ ❢réq✉❡♥❝❡ ❀ ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡st ✉♥ ♣❤é♥♦♠è♥❡ q✉✐ ❛♣♣❛r❛✐t ❛✉① ♠♦②❡♥♥❡s ❡t ❜❛ss❡s ❢réq✉❡♥❝❡s✱ ✈♦✐r❡ ❧❡s très ❜❛ss❡s ❢réq✉❡♥❝❡s✳ ❊♥ t✐r❛♥t ♣r♦✜t ❞❡ ❝❡s ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s ❢réq✉❡♥t✐❡❧❧❡s ❛ss❡③ ❞✐st✐♥❝t❡s✱ ❞❡s ♠❡s✉r❡s ❞❡ s♣❡❝tr♦s❝♦♣✐❡ ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡ ❝❛r❛❝tér✐s❡r ❛✈❛♥t❛❣❡✉s❡♠❡♥t ❧❡s ❜❛t✲

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(16)

❈❤❛♣✐tr❡ ✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❡t ét❛t ❞❡ ❧✬❛rt s✉r ❧❛

♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s

❙♦♠♠❛✐r❡ ✶✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷ Prés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡s ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡✉rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✶ ❋♦♥❝t✐♦♥♥❡♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✷ P❤é♥♦♠è♥❡s é❧❡❝tr♦❝❤✐♠✐q✉❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸ ●r❛♥❞❡✉rs ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸✳✶ ▲❛ rés✐st❛♥❝❡ ✐♥t❡r♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸✳✷ ▲❛ t❡♥s✐♦♥ à ✈✐❞❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳✸ ▲❛ ❝❛♣❛❝✐té ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳✹ ▲✬ét❛t ❞❡ ❝❤❛r❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳✺ ▲✬ét❛t ❞❡ s❛♥té ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸✳✻ ▲❛ t❡♥✉❡ ❛✉ ❝②❝❧❛❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸✳✼ ▲✬❛✉t♦❞é❝❤❛r❣❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✹ ❈❛r❛❝tér✐s❛t✐♦♥ ❡①♣ér✐♠❡♥t❛❧❡ ❞✬✉♥ ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡✉r ✳ ✶✶ ✶✳✹✳✶ ▲❛ s♣❡❝tr♦s❝♦♣✐❡ ❞✬✐♠♣é❞❛♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✹✳✷ ▲❛ ❝❤r♦♥♦♣♦t❡♥t✐♦♠étr✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✺ ▼♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡✉rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✺✳✶ ▼♦❞è❧❡s é❧❡❝tr♦❝❤✐♠✐q✉❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✺✳✷ ▼♦❞è❧❡s ❜♦ît❡ ♥♦✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✺✳✸ ▼♦❞è❧❡s é❧❡❝tr✐q✉❡s ♦✉ ♠♦❞è❧❡s ❜♦ît❡ ❣r✐s❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✻ ▼♦❞è❧❡s ❞✬♦r❞r❡ ❡♥t✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✶✳✻✳✶ ▼♦❞è❧❡s ❛✈❡❝ ✉♥ s❡✉❧ ét❛❣❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✶✳✻✳✷ ▼♦❞è❧❡ ❞❡ ❋♦st❡r ❡t ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ❈❛✉❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✼ ▼♦❞è❧❡s ❞✬♦r❞r❡ ♥♦♥✲❡♥t✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✶✳✼✳✶ ▼♦❞è❧❡ ❛✈❡❝ ✉♥ s❡✉❧ ❈P❊ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✶✳✼✳✷ ▼♦❞è❧❡ ❞❡ ❘❛♥❞❧❡s ♠♦❞✐✜é ❛✈❡❝ ❈P❊ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✶✳✽ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶

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✻ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❡t ét❛t ❞❡ ❧✬❛rt s✉r ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s

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✽ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❡t ét❛t ❞❡ ❧✬❛rt s✉r ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❜❛tt❡r✐❡s ❉✬❛✉tr❡ ♠♦❞è❧❡s ❡①✐st❡♥t ♣♦✉r ❧❛ ♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝❛♣❛❝✐té ❞❡ ❞♦✉❜❧❡ ❝♦✉❝❤❡ ❝♦♠♠❡ ❝❡✉① ❞❡ ●♦✉②✲❈❤❛♠♣♠❛♥✱ ●♦✉②✲❈❤❛♠♣♠❛♥✲❙t❡r♥ ❡t ●r❛❤❛♠❡ ❬❉✐❛r❞ ❡t ❛❧✳✱ ✶✾✾✻❛✱❱✐♥❤✱ ✷✵✶✵❪✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ q✉❡❧ q✉❡ s♦✐t ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ✉t✐❧✐sé✱ ❧❛ ❞♦✉❜❧❡ ❝♦✉❝❤❡ ❡st ♠♦❞é❧✐sé❡ ♣❛r ✉♥ ❝♦♥❞❡♥s❛t❡✉r✳ ✶✳✷✳✷✳✷ ▲❡s ♣❤é♥♦♠è♥❡s ❞❡ tr❛♥s♣♦rt ❞❡ ♠❛t✐èr❡ ▲❡ tr❛♥s♣♦rt ❞❡ ♠❛t✐èr❡ ❞és✐❣♥❡ ❧❡ ❞é♣❧❛❝❡♠❡♥t ❞❡s ❡s♣è❝❡s ✐♦♥✐q✉❡s ❞❛♥s ❧✬é❧❡❝tr♦❧②t❡ ✈❡rs ❧❡s é❧❡❝tr♦❞❡s✳ ■❧ ❡①✐st❡ tr♦✐s ♠♦❞❡s ❞❡ tr❛♥s♣♦rt ❡♥ s♦❧✉t✐♦♥ ✿ • ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✭❞é♣❧❛❝❡♠❡♥t ✐♦♥✐q✉❡ s♦✉s ❧✬❡✛❡t ❞✬✉♥ ❣r❛❞✐❡♥t ❞❡ ❝♦♥❝❡♥✲ tr❛t✐♦♥✮✱ • ❧❛ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ✭❞é♣❧❛❝❡♠❡♥t ✐♦♥✐q✉❡ s♦✉s ❧✬❡✛❡t ❞✬✉♥ ❝❤❛♠♣ é❧❡❝tr✐q✉❡✮✱ • ❧❛ ❝♦♥✈❡❝t✐♦♥ ✭❞é♣❧❛❝❡♠❡♥t ❞❡s ❡s♣è❝❡s ♣r♦✈♦q✉é ♣❛r ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❡♥ ♠♦✉✈❡♠❡♥t✮✳ ❉❛♥s ❧❡ ❝❛❞r❡ ❞❡ ❧❛ ♠♦❞é❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❛❝❝✉♠✉❧❛t❡✉rs✱ ❧❡ tr❛♥s♣♦rt ❞❡ ♠❛t✐èr❡ ♣❛r ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡st ❧❛r❣❡♠❡♥t ♣ré❞♦♠✐♥❛♥t ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ♥é❣❧✐❣❡ ❧❡s ❞❡✉① ❛✉tr❡s ♠♦❞❡s ❞❡ tr❛♥s♣♦rt ❬❘❡❞❞②✱ ✷✵✶✶❪✳ ▲❛ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❞é❝r✐✈❛♥t ❧❡ tr❛♥s♣♦rt ♣❛r ❞✐✛✉✲ s✐♦♥ ❞❡s ❡s♣è❝❡s ✐♦♥✐q✉❡s ♣❡r♠❡t ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞✬✐♠♣é❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ q✉✐ ❞é♣❡♥❞❡♥t ❞❡s ❤②♣♦t❤ès❡s r❡t❡♥✉❡s s✉r ❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛✉① ❧✐♠✐t❡s✳ ❊♥ ❝♦♥s✐❞ér❛♥t ✉♥ ♠♦❞è❧❡ s✐♠♣❧✐✜é ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❣é♦♠étr✐❡ ✉♥✐❞✐♠❡♥s✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❛♥s ❧❛q✉❡❧❧❡ ❧✬❛❜s❝✐ss❡ x = 0 ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à ❧✬✐♥t❡r❢❛❝❡ é❧❡❝tr♦❞❡ ✴ é❧❡❝tr♦❧②t❡✱ ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ré❣✐ss❛♥t ❧❡ tr❛♥s♣♦rt ❞✬✉♥❡ ❡s♣è❝❡ s♦♥t ❞é❝r✐t❡s ♣❛r ❧❡s ♣r❡♠✐èr❡ ❡t s❡❝♦♥❞❡ ❧♦✐s ❞❡ ❋✐❝❦ ✿ Jx,t(x, t) = −D0 ∂C(x, t) ∂x ∂C(x, t) ∂t = +D0 ∂2C(x, t) ∂x2 ✭✶✳✸✮ ♦ù D0 ❡st ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡♥ ♠2s−1✳ ▲❛ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❧✐é❡s ❛✉ tr❛♥s♣♦rt ❞❡ ♠❛t✐èr❡ ♣❡r♠❡t ❞❡ ❝❛❧❝✉✲ ❧❡r ✉♥❡ ✐♠♣é❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ Zd(s)❞♦♥t ❧✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞é♣❡♥❞ ❞❡s ❤②♣♦t❤ès❡s ❢♦r♠✉❧é❡s ♣♦✉r ❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛✉① ❧✐♠✐t❡s q✉✐ ❡❧❧❡s ♠ê♠❡ ❞é♣❡♥❞❡♥t ❞❡ ❧❛ ❣é♦✲ ♠étr✐❡ ❞❡ ❧✬❛❝❝✉♠✉❧❛t❡✉r ❬❉✐❛r❞ ❡t ❛❧✳✱ ✶✾✾✻❛❪✳ ❉❡✉① ♠é❝❛♥✐s♠❡s ❛✈❡❝ tr♦✐s t②♣❡s ❞✬❤②♣♦t❤ès❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ s♦♥t ❝♦♥s✐❞érés ✿ ✶✳ ▼é❝❛♥✐s♠❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ✜♥✐❡ ✿ ❧❛ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬é❧❡❝tr♦❧②t❡ ♥✬❡st ♣❧✉s ♣❡rt✉r❜é❡ à ❞✐st❛♥❝❡ s✉✣s❛♠♠❡♥t ❣r❛♥❞❡ ❞❡s é❧❡❝tr♦❞❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❛ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡st ✜♥✐❡ ❡t ❧✬✐♠♣é❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡st ❡①♣r✐♠é❡ s❡❧♦♥ ❞❡✉① ❤②♣♦t❤ès❡s ✿

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