Analyse dynamique d'une ligne d'arbre verticale supportée par une butée à patins oscillants

Pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées

Pôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique - PPRIMME (Poitiers)

(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)

École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique -SIMMEA (Poitiers)

Secteur de recherche : Génie mécanique, productique, transport

Présentée par :

Sébastien Denis

Analyse dynamique d'une ligne d'arbre verticale supportée

par une butée à patins oscillants

Directeur(s) de Thèse : Mihaï Arghir

Soutenue le 19 décembre 2014 devant le jury

Jury :

Président Olivier Bonneau Professeur des Universités, Université de Poitiers Rapporteur Georges Jacquet-Richardet Professeur des Universités, INSA de LYON

Rapporteur Sébastien Berger Professeur des Universités, INSA Centre Val de Loire Membre Mihaï Arghir Professeur des Universités, Université de Poitiers Membre Mathieu Hélène Ingénieur de recherche, EDF, Clamart

Membre Jean-Louis Ballester Expert diagnostic hydromécanique, EDF, Grenoble

Pour citer cette thèse :

Sébastien Denis. Analyse dynamique d'une ligne d'arbre verticale supportée par une butée à patins oscillants [En ligne]. Thèse Génie mécanique, productique, transport. Poitiers : Université de Poitiers, 2014. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>

THÈSE

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE POITIERS

Faculté des Sciences Fondamentales et “ppliquées Diplôme National - “rrêté du août

ÉCOLE DOCTOR“LE SCIENCES POUR L’INGÉNIEUR

DOM“INE DE RECHERCHE GÉNIE MÉC“NIQUE, PRODUCTIQUE, TR“NSPORT

Présentée par

Sébastien DENIS

“nalyse dynamique d’une ligne d’arbre verticale

supportée par une butée à patins oscillants

Directeur de thèse Mihaï ARGHIR Soutenue le Décembre

Devant la Commission d’Examen

JURY

Georges J“CQUET Professeur, INS“ de Lyon Rapporteur

Sébastien ”ERGER Professeur, INS“ Centre Val de Loire Rapporteur

Mihaï “RGHIR Professeur, Université de Poitiers Examinateur

Olivier ”ONNE“U Professeur, Université de Poitiers Examinateur

Jean-Louis ”“LLESTER Expert diagnostic hydromécanique, EDF DTG, Grenoble Examinateur Mathieu HELENE Ingénieur de recherche, EDF R&D, Clamart Examinateur

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Remerciements

Ce travail a été réalisé dans le cadre d’un contrat CIFRE entre le laboratoire Pprime – Département de Génie Mécanique et Systèmes Complexes – de l’Université de Poitiers et la Division Technique Générale – Comportement Mécanique des Systèmes – d’Électricité De France à Grenoble.

Je tiens tout d’abord à adresser mes plus sincères remerciements au directeur de ce e thèse, M. Mihaï “RGHIR, pour son aide, ses conseils et sa disponibilité durant ces trois an-nées. J’ai beaucoup appris à ses côtés et je suis donc ravi d’avoir travaillé en sa compagnie.

Je remercie également M. Jean-Louis ”“LLESTER, M. Thierry LOR“ RONCO et M. Franck H“RS de la Division Technique Générale sans qui ce projet n’aurait pas existé. Je les remercie donc chaleureusement pour leur con ance. Je tiens également à remercier M. “ndré PETIT, M. Pierre-Henri LETELLIER et M. Philippe ”RIL“ de s’être intéressés au sujet et d’y avoir consacrés du temps.

J’ai été souvent amené à échanger avec le département Recherche & Développement d’Électricité De France à Clamart. Merci donc à M. Mohamed “mine H“SSINI, M. Moha-med TORKH“NI et M. flavier R“UD pour leurs conseils avisés. Je remercie tout particuliè-rement mon ancien responsable de stage M. Mathieu HELENE pour tout son soutien et qui m’a donné l’occasion de faire ce e thèse.

Ces trois années ont été partagées entre le laboratoire Pprime à Poitiers et la Division Technique Générale à Grenoble. Je remercie donc chaleureusement l’ensemble de ces deux équipes pour leur accueil.

En n, et surtout, je remercie énormément ma compagne Jennifer pour sa patience, son soutien et tous ces encouragements qui m’ont permis de traverser les moments de doute inhérents à toute thèse.

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Résumé

Les problèmes vibratoires sont l’une des principales causes des maintenances effectuées sur les turbines de barrages hydroélectriques en France. Dans ce e thèse CIFRE, subvention-née par la Division Technique Générale de EDF à Grenoble, nous voulons étudier numérique-ment les phénomènes physiques liés à la dynamique du rotor et des organes de supportage. Pour cela, chaque partie composant ce type de machine tournante est modélisée la ligne d’arbre, les accouplements rigides, les paliers hydrodynamiques, la butée hydrodynamique à patins oscillants, les étanchéités et les efforts électromagnétiques. Celui du rotor est basé sur une approche classique D, prenant en compte des défauts d’accouplement rigide. Les paliers hydrodynamiques peuvent être alimentés par des rainures hélicoïdales ceci est pris en compte dans la modélisation des paliers via un changement de variable dans l’équation de Reynolds. Concernant la butée hydrodynamique à patins oscillants, l’équation de Rey-nolds est explicitée en fonction des paramètres du système rotor et patins . Un cas test est également présenté a n d’évaluer les différentes approches possibles pour l’intégration dans la modélisation du rotor et de mieux appréhender la réponse dynamique d’une butée. Les joints d’étanchéité sont modélisés en linéarisant les efforts hydrauliques gouvernés par les équations du bulk – ow et sont donc représentés par des coefficients dynamiques de masse, d’amortissement et de raideur. Les efforts électromagnétiques au niveau de l’alterna-teur sont pris en compte via une formulation analytique des forces d’a raction sur chaque paire de pôles. Cela permet de gérer, par exemple, des défauts de positionnement du stator.

La dernière partie est consacrée à l’étude d’une turbine complète. Y sont présentées diffé-rentes études de sensibilité des défauts les plus courants sur ce type de machine le but étant d’en connaître l’in uence sur le comportement dynamique de l’ensemble du rotor.

Mots clefs dynamique du rotor, turbine verticale, butée à patins oscillants, palier hydrody-namique

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Abstract

Vibration problems are one of the main causes leading to maintenances performed on the turbines of hydroelectric power generation systems in France. In this CIFRE doctoral dis-sertation, nanced by Division Technique Générale d’ Électricité de France in Grenoble, we shall numerically study the physical phenomena involved in rotordynamics and in uence of journal and tilting pads thrust bearings.

Hence, each component of this type of rotating machinery is modeled the rotor, the ri-gid coupling, the hydrodynamic bearings, the hydrodynamic tilting pad thrust bearing, the annular seals and the electromagnetic forces. The model of the rotor is based on classical D approach taking into account the defects of the rigid coupling. The hydrodynamic bearings can be fed by helicoidally grooves. This feature is taken into account in the numerical mo-del of journal bearing by applying a variable transformation to the Reynolds equation. For the tilting pad thrust bearing, the Reynolds equation takes into account the displacements and the velocities of both the pads and the rotor. “ test case is presented for evaluating the different numerical approaches of the tilting pad thrust bearing that can be integrated in a rotordynamic analysis. The annular seals are modeled by using linearized hydraulic efforts i.e. stiffness, damping and added mass dynamic coefficients modeled by the bulk ow system of equations. The electromagnetic efforts in the alternator are taken into account by using an analytic model of the forces of each pair of poles. This enables to tackle eccentricity defects of the stator.

The last part is dedicated to the numerical study of a complete turbine. Different studies dealing with sensitivity analyses of most often-encountered defects of this type of rotating machinery are presented, the goal being to underline their in uence on the dynamic behavior of the whole rotor.

Key words rotordynamic, vertical turbine, tilting pads thrust bearing, hydrodynamic bea-ring

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Table des matières

Remerciements i

Résumé iii

Introduction Le Rotor

. Modèle numérique du comportement dynamique . . . . . . Modélisation du rotor . . . . . . Intégration temporelle . . . . . Condensation des degrés de liberté du système . . . . . . Constrained normal modes . . . . . . Constraint modes . . . . . . Synthèse des modes . . . . . L’“ccouplement rigide . . . . . . Modèle numérique . . . . . . Cas test . . . . Nomenclature . . . .

La butée hydrodynamique à patins oscillants

. Description géométrique de la butée . . . . . Équations générales . . . . . . Équation de Reynolds . . . . . . Résolution par la méthode des volumes nis . . . . . . Torseur des forces uides sur la butée . . . . . Caractéristiques statiques . . . . . . La portance . . . .

. . Le couple . . . . . . Les débits . . . . . . Le bilan thermique . . . . . Comportement dynamique de la butée . . . . . . Équations du mouvement du patin . . . . . . “pproche non linéaire de la butée à patins oscillants . . . . . . “pproche linéaire sans condensation des degrés de liberté des patins . . . “pproche linéaire avec condensation des degrés de liberté des patins . . Cas test . . . . . . Présentation . . . . . . Équations du mouvement . . . . . . In uence de la norme du moment tournant “ . . . . . . In uence de la fréquence du moment tournant . . . . . . In uence de la norme du moment constant ” . . . . . . Défaut de perpendicularité du disque avec l’axe de rotation . . . . . . Conclusion . . . . Nomenclature . . . .

Les paliers hydrodynamiques

. Équations générales . . . . . . Équation de Reynolds modi ée . . . . . . Hauteur du lm lubri ant avec mésalignement . . . . . . Résolution par la méthode des volumes nis . . . . . Caractéristiques de fonctionnement . . . . . . “ction hydrodynamique . . . . . . Le couple . . . . . . Les débits . . . . . . ”ilan thermique global . . . . . In uence de l’inclinaison de la rainure d’alimentation sur le comportement

dynamique de l’arbre . . . . Nomenclature . . . .

Les joints annulaires

. Équations du bulk ow . . . . . Contraintes pariétales . . . . . Conditions aux limites . . . . . Résolution numérique des équations du « bulk ow » . . . . . Coefficients dynamiques d’un joint annulaire . . . . viii

Table des matières

Nomenclature . . . .

Forces électromagnétiques

. Modélisation des efforts électromagnétiques par la méthode pôles . . . . . . Effort électromagnétique par paire de pôles . . . . . . Saturation magnétique du matériau . . . . . . Variation de l’entrefer . . . . . . Force électromagnétique de l’alternateur . . . . Nomenclature . . . .

Étude d’un cas test

. Présentation du cas de référence . . . . . “nalyse linéaire de la turbine . . . . . . “nalyse linéaire sans prise en compte de la butée . . . . . . “nalyse linéaire avec prise en compte de la butée . . . . . Études de sensibilité . . . . . . Paramètres des paliers hydrodynamiques . . . . . . Paramètres de la butée hydrodynamique à patins oscillants . . . . . . Paramètres de l’accouplement rigide . . . . . . Paramètres de l’alternateur . . . . . . Paramètres du joint d’étanchéité de la roue . . . . . Conclusions . . . .

Conclusion générale

Table des gures Liste des tableaux Bibliographie Annexes

A

“. Le disque . . . I “. L’élément poutre . . . II ix

B

”. Centre d’inertie du patin . . . Ifl ”. Matrice d’inertie du patin . . . fl

C

C. Équation de Reynolds à l’ordre . . . flIII C. Résolution par la méthode des volumes nis . . . flV

D

D. L’algorithme de résolution vitesse - pression . . . flIfl D. . Étape de prédiction. Intégration des équations d’impulsion . . . flfl D. . Étape de correction. Intégration de l’équation de continuité . . . flflI

E

E. Dimensions des éléments nis de poutre de la turbine . . . flflV E. Coefficients dynamiques des paliers et de la butée en fonction de la vitesse . . flflVI

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Introduction

De façon générale, les machines tournantes sont souvent suje es à des problèmes vibra-toires. Ceux-ci peuvent entraîner une usure prématurée voir, dans le pire des cas, une des-truction de la machine.

Les turbines hydrauliques sont particulièrement sensibles à ces problèmes. De par leurs dimensions souvent importantes, leurs diversités et la complexité des éléments en jeu or-ganes hydrodynamiques, efforts électromagnétiques, etc. , il peut être difficile d’identi er les causes de ces vibrations et d’avantage encore d’estimer l’ordre de grandeur des correc-tions nécessaires. Pour ces raisons, les maintenances sur ce type de machine peuvent être longues et donc couteuses de par l’indisponibilité engendrée.

Ce e thèse a pour objectif le développement d’un outil numérique a n de mieux appré-hender les phénomènes physiques en jeu ainsi que les défauts pouvant être à l’origine d’un niveau vibratoire anormal.

La Figure . représente la con guration typique d’une turbine hydraulique. Elles sont généralement verticales, tournent relativement lentement et leurs éléments principaux sont

• L’alternateur il permet la transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique. C’est une partie pesant souvent plusieurs centaines de tonnes et représente donc la quasi-totalité de la masse de la turbine. C’est également à ce niveau que s’applique des efforts radiaux électromagnétiques.

• La roue de turbine c’est l’organe me ant en rotation la turbine sous l’action de l’eau. À certaines vitesses de rotation, un phénomène de torche peut apparaître. Cela entraîne des efforts radiaux non négligeables et cause des vibrations importantes. Toutefois, les roues sont généralement conçues pour limiter la torche à leur vitesse nominale. Les efforts hydrauliques sont alors principalement dans la direction axiale et peuvent être du même ordre de grandeur que le poids de la turbine ce qui surcharge d’avantage la butée.

gradient de pression dans la direction axiale, ils peuvent avoir une in uence sur le comportement dynamique de la machine.

• La butée hydrodynamique à patins oscillants elle supporte la charge verticale de l’en-semble, incluant le poids et la charge hydraulique.

• Les paliers hydrodynamiques ils assurent le guidage de la turbine. Ils sont générale-ment à géométrie xe et circulaires. De ce fait, ils peuvent être fortegénérale-ment instables et sont donc des organes importants dans le comportement dynamique de la turbine. • Les accouplements d’arbres une turbine hydraulique est souvent constituée de ou

arbres reliés par des accouplements. De par leurs fortes dimensions, ils sont supposés rigides.

Chacun de ces éléments peut jouer un rôle prépondérant sur le comportement dyna-mique de la turbine et doit donc être présent dans le modèle numérique proposé. Concernant la modélisation de la ligne d’arbre en elle même, c’est un sujet ayant été traité de nombreuses fois. L’approche la plus courante repose sur une modélisation D basée sur la théorie des poutres de d’Euler-”ernoulli ou de Timoshenko [ , ]. Des méthodes de réduction d’ordre sont également fréquemment employées [ , ], s’inspirant largement de celles utilisées dans la dynamique des structures [ ]. Toutefois, ces études ne s’intéressent généralement qu’au calcul des fréquences propres.

Les défauts d’accouplement d’arbres peuvent être une source importante de vibration d’une turbine. “l-Hussain et Redmond [ ] se sont intéressés à l’effet d’un défaut radial d’un accouplement rigide entre rotors de Jeffco . Ils ont mis en évidence l’in uence de ce type de défaut sur la réponse vibratoire synchrone. Pennacchi et al. [ ] ont également proposé un modèle pour la prise en compte de ce type de défaut et l’ont utilisé sur la modélisa-tion d’une ligne d’arbre horizontale, hyperstatique et supportée par des paliers hydrody-namiques. Ce e étude montre la présence d’effets non linéaires dans la réponse dynamique du système l’apparition de composantes sur-harmoniques et plus spécialement à fois la fréquence de rotation est l’effet le plus signi catif du mésalignement d’un accouplement rigide ce qui est con rmé par les observations expérimentales [ ]. L’auteur suppose alors que ceci est causé par la variation des efforts aux paliers. Lees [ ] a toutefois montré que les composantes sur-harmoniques pouvaient également être générées par le couplage entre les vibrations de torsion et de exion.

Les efforts électromagnétiques d’un alternateur sont également à prendre en compte, puisqu’ils peuvent générer des balourds magnétiques, des forces constantes, etc. Le dépar-tement THEMIS de la R&D du groupe EDF a développé FLUfl D, un code de calcul du ux électromagnétique basé sur la méthode des éléments nis. Plançon et Lebrun [ ], Plançon et T.H. [ ], Martinal [ , ] ont également mis au point une méthode basée sur des relations analytiques pour estimer les efforts électromagnétiques d’un alternateur de turbine hydrau-lique.

Accouplement

Rigide

Alternateur

Roue de turbine

Butée hydrodynamique

Palier hydrodynamique

La butée à patins oscillants assure le support de la totalité de la charge axiale qui est sou-vent de plusieurs centaines de tonnes. La concentration des efforts y est donc très importante, rendant le rôle de la butée primordiale. C’est toutefois un sujet relativement peu traité, par-ticulièrement en régime dynamique. ”enali et al. [ ] ont établi les équations de Reynolds pour la butée à patins oscillants en régime dynamique et se sont intéressés, entre autre, à l’in uence des différents paramètres géométriques et cinématiques sur les coefficients dy-namiques de la butée. Ils ont ainsi montré que la masse des patins n’impacte que très peu les coefficients dynamiques directs. Ils ont également mis en évidence le découplage entre le déplacement axial du grain mobile d’un rotor et la rotation de ses sections droites. Toutefois, les auteurs supposent dans ce e étude que la liaison rotule des patins est très proche de leur centre de masse. Raimondi et ”oyd [ ] ont montré que dans ce e con guration, la capacité de charge de la butée est quasi nulle à moins que les patins soient convexes. De plus, ”erger

et al. [ ], ”onneau et Frêne [ ] ont étudié l’in uence non linéaire d’une butée. Ils en ont

conclu qu’une force dynamique axiale peut exciter le premier mode de exion de l’arbre et qu’un défaut de perpendicularité entre le grain mobile et l’axe de rotation peut entraîner des vibrations radiales synchrones. Une butée peut également fonctionner avec un mésaligne-ment. San “ndrés [ ] a étudié ce phénomène dans le cas d’une butée hybride et a montré que ce défaut a une in uence importante sur le moment résultant de la butée.

Les paliers hydrodynamiques perme ent le guidage de la ligne d’arbre. Ils sont géné-ralement cylindriques et ne sont donc par chargés . Frêne et al. [ ] ont mis en évidence l’instabilité de ce type de palier. L’arbre est alors susceptible de décrire une orbite d’amplitu-de importante à la fréquence /2 où est la fréquence de rotation de l’arbre. fihite et al. [ ] se sont intéressés à ce problème en étudiant un rotor vertical de pompe guidé par paliers à patins oscillants. Ses résultats ont montré que l’augmentation du jeu radial ou la diminution de la longueur des paliers pouvait augmenter signi cativement l’instabilité de ces paliers.

Dans le Chapitre , après avoir donné une description de la modélisation du rotor, le modèle développé pour prendre en compte les défauts d’accouplement rigide est présenté. Un cas test simple est également étudié a n de me re en évidence l’in uence de ce type de défaut sur le comportement dynamique d’un rotor.

Le Chapitre est consacré à l’étude de la butée hydrodynamique à patins oscillants. L’équation de Reynolds en régime dynamique est alors explicitée et les différentes approches linéaires et non linéaire sont détaillées. Un cas test est ensuite étudié a n de comparer les dif-férentes approches possibles.

Le Chapitre est dédié au modèle de palier hydrodynamique dans lequel des rainures d’alimentation hélicoïdales sont prises en compte. L’in uence de ce paramètre sur la stabilité des paliers est également étudiée.

Dans le Chapitre est présentée la modélisation des joints d’étanchéité.

compte le phénomène de saturation électromagnétique des matériaux.

Pour chacun de ces chapitres, une nomenclature spéci que est donnée en n de partie. En n, l’étude d’un cas test basé sur une turbine réelle est présentée au Chapitre . Une analyse linéaire est tout d’abord faite a n d’estimer le comportement dynamique de ce e turbine. Des études non linéaires de sensibilité de différents défauts possible sont ensuite présentées.

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.

Le Rotor

.

Modèle numérique du comportement dynamique

. . Modélisation du rotor

La modélisation des machines tournantes est un sujet déjà traité de nombreuses fois. Pour ce e étude, le choix s’est porté vers une approche D classique reposant sur les éléments-nis de type poutre de Timoshenko [ ]. De par la nature des rotors étudiés, seule la exion est prise en compte. Chaque nœud est ainsi caractérisé par degrés de liberté déplacements et rotations voir Figure “. en “nnexe “ . “près assemblage des matrices élémentaires décrites en “nnexe “, le comportement dynamique du rotor est donné par

[� ] { } + [ ] + Ω [ ] { } + [ ] { } = { , } .

où [� ], [ ] et [ ] sont respectivement les matrices de masse, gyroscopique et de raideur du rotor en exion. { } est le vecteur des degrés de liberté en exion du rotor et { , } les actions extérieures dans le plan radial appliquées à l’arbre.Ω est la vitesse de rotation du rotor.

La matrice d’amortissement modal [ ] est obtenue à partir d’une base modale ⋯ ] dé -nie d’après les solutions de

[� ] { } + [ ] { } = �0∑ .

On peut alors dé nir la matrice diagonale d’amortissement modale sur la base modale [ ] [ ] =

⋱ 0

0 ⋱

avec

= 2� .

où sont les pulsations propres du système . .� sont les facteurs d’amortissement mo-daux, essentiellement estimés expérimentalement. Ils sont généralement de l’ordre de quel-ques pourcents. Finalement, la matrice [ ] est obtenue en repassant [ ] sur la base phy-sique

[ ] = [ ] 1[ ] ⋯ ] 1 .

Par ailleurs, les rotors étudiés étant verticaux et soutenus par une butée hydrodynamique, il est également nécessaire de suivre le déplacement axial. Pour cela, on utilise une approche simpli ée, en ne s’intéressant qu’au mouvement du centre d’inertie de l’ensemble. Les forces axiales s’appliquant au rotor sont celle de la butée , son poids et une poussée axiale hydraulique _ℎ au niveau de la roue de turbine pouvant être du même ordre de grandeur que le poids.

=_{⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟}ℎ g .

étant la masse totale du rotor. Ce e relation est intégrée au système . en étendant les matrices [� ], [ ] et [ ] précédemment dé nies. “insi, le comportement dynamique du rotor est donné par le système d’équations suivant

[ 0 0 [� ]] {{ }}+[ 0 0 0 [ ] + Ω [ ]] {{ }}+[ 0 0 0 [ ]] {{ }}={{ , }} .

Ce e dernière relation peut s’écrire

⋯�] � ∑ ( ) + ⋯ ] � ∑ ( ) + ⋯ ] � ∑ ( ) = { } ( ) . communément utilisée dans l’étude de la dynamique d’un système. Pour un rotor discréti-sé en 1 éléments, le nombre de degré de liberté est de 4 + 1. Les forces extérieures s’appliquant au rotor proviennent

• du poids de l’ensemble c’est une force statique selon 0.

• de la poussée hydraulique axiale elle provient de l’action de l’eau au niveau de la turbine. Ceci provoque une force axiale du même ordre de grandeur que le poids, in-dépendante du temps.

• des balourds mécaniques ils viennent principalement des déséquilibrages inhérents de l’arbre. Dans le cas d’un excès de masse à une distance du centre de rotation

. . Modèle numérique du comportement dynamique

de l’arbre, cela produit une force suivant et donnée par

{ } = Ω2_{c�∇ Ω_{∇i� Ω }} .

• de défauts relatifs aux accouplements rigides ces défauts sont une source importante de vibrations. Ils sont modélisés comme une force extérieure appliquée à nœuds du rotor ce qui sera présenté par la suite.

• des paliers hydrodynamiques. • des joints d’étanchéité.

• de la butée hydrodynamique.

. . Intégration temporelle

Pour connaître le comportement dynamique du rotor, l’équation . est intégrée nu-mériquement. Les schémas numériques perme ant de résoudre ce genre de problème sont nombreux, mais la méthode de Newmark est la plus couramment utilisée. Elle permet la ré-solution numérique d’équations différentielles non linéaires d’ordre . Elle est basée sur les approximations suivantes

� ∑ ( + ) = � ∑ ( ) + � ∑ ( ) + _{2 ⋯(1 2 ) � ∑ ( ) + 2 � ∑ ( + )]}2

� ∑ ( + ) = � ∑ ( ) + ⋯(1 ) � ∑ ( ) + � ∑ ( + )] .

où et sont des constantes perme ant de modi er le schéma numérique. Le plus souvent, = 1/4 et = 1/2. Le schéma est alors inconditionnellement stable. Toutefois, ce schéma étant à pas simple, il peut rencontrer des difficultés lorsque le problème est trop raide ou a des singularités.

Pour pallier à cela, l’équation . est donc intégrée numériquement par la méthode de

Gear . C’est une méthode implicite d’ordre à pas multiples linéaire perme ant la résolution

d’équations différentielles d’ordre . Le système . doit donc être réécrit

[⋯�] 00 ⋯ ]] {� ∑� ∑}+[⋯ ] ⋯ ]⋯ ] 0 ] {� ∑� ∑}={{ 0 }} . La méthode étant implicite, un système d’équations non linéaires doit être résolu à chaque pas de temps. Pour cela, on utilise la matrice jacobienne de { } obtenue par différence nie. Ce e opération peut être coûteuse en temps de calcul à cause de la prise en compte non linéaire des efforts hydrodynamiques des paliers et de la butée. Toutefois, cela permet

d’utiliser un pas de temps relativement grand et compense donc le coût de ce e étape. La méthode de Gear d’intégration temporelle est particulièrement adaptée pour la réso-lution d’équations différentielles raides qui peuvent apparaître lors des contacts dans les paliers ou sur la butée même si ce type de non linéarité n’est pas abordé dans ce e thèse, ce e implémentation laisse la possibilité d’évolution rapide pour le futur.

.

Condensation des degrés de liberté du système

Lors de la modélisation du comportement dynamique d’un système, le nombre de degrés de liberté peut être important. Les matrices utilisées sont alors conséquentes ce qui peut être gourmand en temps de calcul. Pour pallier à cela, différentes techniques ont été mises au point dans le but de réduire les degrés de libertés. L’approche la plus simple consiste à projeter le problème sur une base modale [ ]. Cependant, les coordonnées physiques de l’arbre ne sont alors plus disponibles. Pour les paliers hydrodynamiques, on doit connaître la position et la vitesse du centre de l’arbre pour le calcul du champ de pression. “vec une telle approche, il serait donc nécessaire de repasser sur la base physique à chaque instant d’une étude.

Pour contourner ce problème, on utilise la synthèse modale component mode syntesis CMS [ ]. Ce e approche repose sur une classi cation des degrés de liberté en catégo-ries les degrés de liberté maîtres, notés { } et au nombre de , qui seront conservés sur la base physique et les degrés de liberté esclaves, notés { } et au nombre de = . En réarrangeant l’ordre des degrés de liberté du système, on peut réécrire la relation . sous la forme suivante

[[� ] [� ]_{[� ] [� ] ] { }}+[[_{[ ] [ ] ] { }}] [ ] +[[_{[ ] [ ] ] { }}] [ ] ={ } . Le déplacement des degrés de liberté esclaves est représenté à l’aide de types de modes de déplacement les constrained normal modes et les constraint modes .

. . ”Constrained normal modes”

Ces modes sont obtenus en xant les degrés de liberté maîtres et en déterminant les modes de vibration libres des degrés de liberté esclaves ainsi contraints voir Figure . . Pour cela,

Nœud Maître Nœud Esclave

. . Condensation des degrés de liberté du système

on pose donc { } = �0∑. On utilise alors l’équation homogène

[� ] { } + [ ] { } = �0∑ .

pour construire les modes en question, à savoir les vecteur propres { } avec ( = 1, … , ). Ils dé nissent une matrice de passage ⋯�] vers la base modale dont les coordonnées sont notées { }. { }⏟ �1 = ⋯�]_⏟ � { }⏟_�1 . Il est alors possible de dé nir une matrice de passage [�∗] en tronquant à la matrice ⋯�] les vecteurs propres correspondant aux plus hautes valeurs propres. De ce e façon, les coordonnées physiques { } peuvent être approximées sur une base modale construite avec les fréquences propres basses du système.

{ } ⏟ �1 = ⋯�]_⏟ � { }⏟_�1 ≃ ⋯�_⏟∗_] � ∗{ ∗_} ⏟ ∗_�1 . avec1 ∗ _{. Finalement, on a} { }=[[ ]0 _[�0∗_{]] {} ∗_} . . . ”Constraint modes”

Les seconds modes utilisés sont déterminés par les déformations statiques engendrées par le déplacement unitaire de chacun des degrés de liberté maîtres à tour de rôle voir Fi-gure . . On s’intéresse donc au problème statique du système, en considérant nulles les forces appliquées aux degrés de liberté esclaves

[[_{[ ] [ ] ] { }}] [ ] ={ 0 } .

En exploitant la dernière ligne de ce e relation, on peut alors exprimer les coordonnées Nœud Maître Nœud Esclave

1 1 1

{ } en fonction de { }

{ } = [ ] 1[ ] { } = [� ] { } .

. . Synthèse des modes

Les modes dynamiques [�∗_{] et statiques [� ] sont alors combinés pour obtenir une} matrice de passage ⋯�]

{ }≃[_{[� ] [�}⋯ ] 0∗_]] ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

⋯�]

{ ∗_} .

Les déplacements des degrés de liberté esclaves sont donc considérés comme étant la su-perposition de types de modes. Le premier est d’origine statique, puisqu’il est dû aux dé-placements des degrés de liberté maîtres. Le second est d’origine dynamique, provenant des vibrations libres de ces degrés de liberté.

En substituant . dans . et en prémultipliant par ⋯�], on aboutit au système réduit suivant [�∗] � ∑ ( ) + [ ∗] � ∑ ( ) + [ ∗] � ∑ ( ) = � ∑ ( ) . avec [�∗] = ⋯�] ⋯�] ⋯�] [ ∗] = ⋯�] ⋯ ] ⋯�] [ ∗] = ⋯�] ⋯ ] ⋯�] � ∑ = { ∗ } � ∑ = ⋯�] { } .

Ce e méthode réduit la taille du système étudié tout en conservant les coordonnées phy-siques des degrés de liberté maîtres. Dans le cas considéré, ces degrés de liberté sont ceux où s’appliquent les forces extérieures. On garde ainsi

• le déplacement selon de l’ensemble.

• les déplacements suivant et aux nœuds où s’appliquent les balourds mécaniques. • les degrés de liberté pour chacun des nœuds où se trouvent un palier.

• les angles de rotation autour de et au niveau de la butée. • degrés de liberté pour chaque accouplement.

L’intérêt de ce e méthode est double. D’une part, elle permet de réduire l’ordre du sys-tème étudié et ainsi réduire le temps de calcul. De plus, l’intégration temporelle d’un syssys-tème dynamique qui contient des modes propres à haute fréquence nécessite un pas de temps très faible et peut entraîner des temps de calcul importants. Grâce à la troncature modale expliquée précédemment, il est possible d’éliminer ces hautes fréquences du système ce qui permet une intégration temporelle du système avec un pas de temps plus grand.

. . L’Accouplement rigide

.

L’Accouplement rigide

. . Modèle numérique

Les turbines hydrauliques sont, pour la plupart, composées de ou arbres assemblés par des accouplements rigides. Malgré les précautions prises lors du montage de telles ins-tallations, des défauts peuvent être présents au niveau de ces accouplements provoquant un mésalignement des arbres et donc de fortes vibrations.

Ce e partie présente une approche simpli ée pour modéliser les défauts relatifs aux ac-couplements rigides d’arbres. Ces défauts peuvent être d’ordre angulaire, radial, ou une com-binaison des voir Figure . . Pour cela, on considère arbres joints par un accouplement rigide. On note

• [� / ], [ / ] et [ / ] les matrices de masse, amortissement et raideur de l’arbre 1/2. • { 1/2} les degrés de liberté de l’arbre 1/2.

• { 1/2} les forces extérieures appliquées à l’arbre 1/2.

• “ et ” les derniers nœuds de l’arbre C et D les premiers nœuds de l’arbre .

A B C D a Défaut radial A B C D b Défaut angulaire A B C D c Défaut quelconque F . . – Différents types de défauts d’accouplement

Une méthode possible pour traiter ce problème est de modéliser l’accouplement à l’aide d’une raideur de déplacement et angulaire . Toutefois, pour modéliser un accouple-ment rigide, les valeurs de ces raideurs doivent être très grandes en comparaison des rai-deurs d’arbre. Ceci détruit le conditionnement de la matrice de raideur et peut poser des problèmes lors de l’intégration temporelle. L’approche retenue reprend l’idée de Friswell [ ] pour traîter les arbres présentant des déformations statiques on décompose alors le dépla-cement� ∑ comme la somme d’un déplacement rigide � ∑ et élastique � ∑

{ 1/2} ( ) = { 1/2} ( ) + { 1/2} ( ) . Par ailleurs, l’accouplement contraint le déplacement des nœuds ” et C. Etant supposé rigide, les déplacements élastiques { } et { } doivent être égaux. On caractérise le défaut d’accouplement rigide par ( ) = ( ) ( ). Le mouvement des arbres est alors donné par

[[� ]0 [� ]] {0 1 2}+[ [ ] 0 0 [ ]] { 1 2}+[ [ ] 0 0 [ ]] { 1 2}={ 1 2}+[ [ ] 0 0 [ ]] { 1 2} .

et

( ) = ( ) + ( ) .

On s’intéresse plus en détail a la relation . , au niveau des nœuds “, ”, C et D ⋱ [� ] [� ] [� ] [� ] 0 0 [� ] [� ]_{[� ] [� ]} ⋱ + ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ + ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ = ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ + .

En reprenant la relation . , on a également les relations liant les vitesses et accéléra-tions des nœuds ” et C

( ) = ( ) + ( )

( ) = ( ) + ( ) .

Si ces relations sont intégrées dans . , on a

⋱ [� ] [� ] [� ] [� ] 0 0 [� ] [� ]_{[� ] [� ]} ⋱ + ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ + ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ = ⋱ [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 [_[ ] [_{] [} ]_] ⋱ + 0 0 [� ] [� ] 0 0 [ ] [ ] 0 0 [ ] [ ] .

. . L’Accouplement rigide

degrés de liberté du nœud ”. Si aucun des arbres n’a de déformation permanente, on a alors ⋱ [� ] [� ] 0 [� ] [� ] + [� ] [� ] 0 [� ] [� ] ⋱ + ⋱ [ ] [ ] 0 [ ] [ ] + [ ] [ ] 0 [ ] [ ] ⋱ + ⋱ [ ] [ ] 0 [ ] [ ] + [ ] [ ] 0 [ ] [ ] ⋱ = + + _{[� ]}0 [� ] 0 [ ] [ ] 0 [ ] [ ] .

On remarque alors que les matrices de raideur, d’amortissement et de masse ainsi cons-truites correspondent à celles d’un seul arbre, sans le nœud C. Ce e approche permet donc de modéliser un accouplement rigide en considérant non plus arbres distincts, mais un seul. Si des défauts de montage sont à prendre en compte, il suffit d’appliquer une force extérieure au nœud où l’accouplement est placé ainsi qu’au suivant Figure . .

A B

C D

A B D

F . . – Modélisation équivalente des défauts d’accouplement

. . Cas test

“ n d’illustrer la modélisation présentée précédemment, on étudie un cas test. Il consiste en rotors identiques horizontaux soumis à leur propre poids en acier et liés par un accou-plement rigide, chacun étant supporté par paliers circulaires identiques.

Chaque arbre a une longueur de1 �, un diamètre de 0.2 � et l’ensemble tourne à une vi-tesse de1000 rp�. Chacun est discrétisé en éléments nis égaux. “ucune réduction modale n’est utilisée a n de retranscrire au mieux la réponse dynamique de la ligne d’arbre. L’inté-gration temporaire du problème est faite par la méthode de Gears présentée en Section . . . Les paliers sont positionnés aux nœuds , , et . Ils sont circulaires avec un jeu radial de0.2 ��, une longueur de 25 �� et sont alimentés par un lubri ant de viscosité dynamique xée à1 � 10 2_{P� ⋅ ∇. Les efforts des paliers sont calculés par résolution de l’équation de} Rey-nolds à chaque pas de temps de l’étude a n de prendre en compte les effets non linéaires qui peuvent apparaître.

”ien que le modèle puisse prendre en compte un défaut d’accouplement qui soit à la fois radial et angulaire, les combinaisons sont trop nombreuses pour être présentées. On ne

Palier 1 Palier 2 Palier 3 Palier 4 Accouplement rigide

F . . – Cas test de l’accouplement

s’intéresse donc dans la suite qu’à l’in uence des défauts d’accouplement radial et angulaire de façon découplée.

Défaut d’accouplement radial

On s’intéresse tout d’abord au défaut d’accouplement radial entre les arbres. Dans ce e con guration, on note que le déplacement de l’arbre dans les paliers et sont identiques mais présentent un déphasage de Figure . . Ce e remarque s’applique également aux paliers et et à toutes les paires de nœuds placés symétriquement par rapport à l’accou-plement Figure . . Ceci est tout à fait normal au vue de la symétrie du problème étudié et l’approche proposée pour l’accouplement retranscrit donc bien ce phénomène. Pour ce e raison, on ne s’intéressera par la suite qu’aux nœuds du rotor nœuds à . On peut

éga-4,10E-06 4,20E-06 4,30E-06 4,40E-06 4,50E-06 4,60E-06 4,70E-06 4,80E-06 4,90E-06 22 23 24 25 26 27 28 29 30 P o si ti o n s u iv a n t x0 (e n m ) Temps (en s) Palier 1 Palier 4 a Déplacement suivant 4,90E-06 5,00E-06 5,10E-06 5,20E-06 5,30E-06 5,40E-06 5,50E-06 5,60E-06 5,70E-06 5,80E-06 5,90E-06 22 23 24 25 26 27 28 29 30 P o si ti o n s u iv a n t y0 (e n m ) Temps (en s) Palier 1 Palier 4 b Déplacement suivant

F . . – Déplacement de l’arbre dans les paliers et pour un défaut d’accouplement radial de

5 � 10 6_�

a Défaut radial de1 � 10 6_{� b Défaut radial de 6 � 10} 6_{� c Défaut radial de 12 � 10} 6_�

. . L’Accouplement rigide 0,E+00 1,E-06 2,E-06 3,E-06 4,E-06 5,E-06 6,E-06 7,E-06 8,E-06

0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05

C o m p o sa n te s y n cr h o n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re ( e n m )

Défaut d'accouplement radial (en m)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement radial sur la composante synchrone du

déplace-ment de l’arbre dans les paliers et

lement souligner que le modèle retranscrit bien la discontinuité de la ligne d’arbre due au défaut d’accouplement Figure . .

La Figure . représente l’in uence du défaut d’accouplement radial sur la composante synchrone du déplacement de l’arbre au niveau des paliers et . On remarque l’augmen-tation quasi linéaire de ce e composante à mesure que le défaut d’accouplement radial aug-mente. Ceci est plus marqué pour le palier , qui est plus proche de l’accouplement.

Toutefois, on peut également noter la présence de composantes sur-harmoniques lorsque le défaut devient important et plus particulièrement la composante Ω Figure . . Là en-core, l’in uence du défaut est plus marquée sur le palier . Cependant, si on s’intéresse au rapport entre les composantes Ω et synchrone Figure . , on s’aperçoit que la composante

Ω est plus marquée sur le palier a eignant presque % de la composante synchrone. Ce ratio varie en fonction du nœud considéré et peut, pour le nœud , dépasser % la composante Ω est alors prédominante ce qui conduit à des orbites particulières Figure . .

0,0E+00 2,0E-07 4,0E-07 6,0E-07 8,0E-07 1,0E-06 1,2E-06 1,4E-06 1,6E-06

0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05

C o m p o sa n te 2 × sy n ch ro n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re ( e n m )

Défaut d'accouplement radial (en m)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement radial sur la composante Ω du déplacement de

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05

R a p p o rt e n tr e l e s co m p o sa n te s 2 × sy n ch ro n e e t s y n cr h o n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re

Défaut d'accouplement radial (en m)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement radial sur le rapport entre les composantes Ω et

synchrone du déplacement de l’arbre dans les paliers et

0.0000041 0.0000043 0.0000045 0.0000047 0.0000049

0.0000042

0.0000046

0.0000050

a Déplacement du rotor au nœud

1 6 .7 3 3 .3 5 0 .0 6 6 .7 8 3 .3 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0 3 .51 e 7 Composante 2Ω Composante Ω

b FFT du déplacement du rotor au nœud

F . . – Comportement du rotor au nœud pour un défaut radial de12 � 10 6_�

Défaut d’accouplement angulaire

Lorsque l’accouplement rigide présente un défaut angulaire, on constate tout d’abord que le mouvement de l’arbre dans chaque paire de nœuds placés symétriquement par rapport à l’accouplement est en phase Figure . . Là encore, la discontinuité de la ligne d’arbre apparaît clairement.

Par ailleurs, comme pour le défaut radial, on constate l’augmentation linéaire de la com-posante synchrone Figure . et l’apparition de la composante Ω Figure . lorsque le défaut angulaire devient important. On constate par ailleurs que l’arbre a un comportement

a Défaut ang. de10 � 10 6_{r�� b Défaut ang. de 30 � 10} 6_{r�� c Défaut ang. de 50 � 10} 6_r�� F . . – Déplacement de l’arbre pour différentes valeurs du défaut d’accouplement angulaire

. . L’Accouplement rigide 0,E+00 1,E-06 2,E-06 3,E-06 4,E-06 5,E-06 6,E-06

0,0E+00 1,0E-05 2,0E-05 3,0E-05 4,0E-05 5,0E-05

C o m p o sa n te s y n cr h o n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re ( e n m )

Défaut d'accouplement angulaire (en rad)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement angulaire sur la composanteΩ du déplacement

de l’arbre dans les paliers et

0,0E+00 2,0E-07 4,0E-07 6,0E-07 8,0E-07 1,0E-06 1,2E-06

0,0E+00 1,0E-05 2,0E-05 3,0E-05 4,0E-05 5,0E-05

C o m p o sa n te 2 × sy n ch ro n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re ( e n m )

Défaut d'accouplement angulaire (en rad)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement angulaire sur la composante Ω du déplacement

de l’arbre dans les paliers et

dynamique semblable dans les paliers ce qui n’était pas le cas avec le défaut d’accouple-ment radial.

Là encore, la composante Ω représente une part importante du déplacement de l’arbre puisqu’elle a eint presque % de la composante synchrone Figure . . Comme pour le défaut d’accouplement radial, ce rapport peut être plus important sur d’autres nœuds et conduire à des orbites particulières Figure . .

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20%

0,0E+00 1,0E-05 2,0E-05 3,0E-05 4,0E-05 5,0E-05

R a p p o rt e n tr e l e s co m p o sa n te s 2 × sy n ch ro n e e t sy n cr h o n e d u d é p la ce m e n t d e l 'a rb re

Défaut d'accouplement angulaire (en rad)

Palier 1 Palier 2

F . . – In uence du défaut d’accouplement angulaire sur le rapport entre les composantes

0 .0 0 0 0 0 3 8 0 .0 0 0 0 0 4 0 0 .0 0 0 0 0 4 2 0 .0 0 0 0 0 4 4 0 .0 0 0 0 0 4 6 0 .0 0 0 0 0 4 8 0 .0 0 0 0 0 5 0 0 .0 0 0 0 0 5 2 0 .0 0 0 0 0 5 4 0 .0 0 0 0 0 2 5 0 .0 0 0 0 0 3 0 0 .0 0 0 0 0 3 5 0 .0 0 0 0 0 4 0 0 .0 0 0 0 0 4 5 0 .0 0 0 0 0 5 0 0 .0 0 0 0 0 5 5 0 .0 0 0 0 0 6 0 0 .0 0 0 0 0 6 5 0 .0 0 0 0 0 7 0

a Déplacement du rotor au nœud

1 6 .6 7 3 3 .3 3 5 0 .0 0 6 6 .6 7 0 1 2 3 4 1 e 7 Composante Ω Composante 2Ω

b FFT du déplacement du rotor au nœud

F . . – Comportement du rotor au nœud pour un défaut angulaire de50 � 10 6_r��

Conclusion

Ce cas test a permis de me re en avant différents résultats. Tout d’abord, l’approche utili-sée permet de modéliser correctement la discontinuité de la ligne d’arbre due à un défaut d’accouplement. De ce fait, la composante synchrone du mouvement de l’arbre est la plus fortement in uencée par ce type de défaut. Lorsque le défaut devient important, les compo-santes sur-harmoniques apparaissent et plus particulièrement la composante2Ω, pouvant alors devenir la composante principale du mouvement de l’arbre. L’apparition de ce e com-posante est également présente dans d’autres modèles d’accouplement rigide [ , ]. Toutefois, ce e particularité est essentiellement due à la non linéarité des efforts hydrodynamiques des paliers.

Nomenclature

Nombre de degrés de liberté Charge verticale totale

Poussée axiale de la butée hydrodynamique ℎ Poussée axiale hydraulique

Ω Vitesse de rotation du rotor { } Force du balourd

Nomenclature

� ∑ Vecteur des degrés de liberté du rotor dans la base modale � ∑ Vecteur des degrés de liberté du rotor dans la base physique [ ] Matrice d’amortissement modale du rotor

⋯ ] Matrice d’amortissement du rotor ⋯ ] Matrice de gyroscopie du rotor ⋯ ] Matrice de raideur du rotor ⋯�] Matrice de masse du rotor

Pulsation propre du système � Facteur d’amortissement modal

Indice maître Indice esclave

Excentricité du balourd Masse du balourd Masse du rotor

..

..

.

La butée hydrodynamique à patins

oscillants

.

Description géométrique de la butée

La butée est constituée d’un disque en rotation, solidaire de l’arbre souvent appelé la

glace , supporté par patins oscillants tous identiques Figure . . Le tout est alors immergé

dans un bain d’huile pour perme re l’alimentation en lubri ant.

a ”utée hydrodynamique à patins oscillants b Schématisation d’une butée à patins oscillants

F . . – Photo et schématisation d’une butée hydrodynamique à patins oscillants

Pour étudier un tel système, différents repères sont nécessaires voir Figure .

• ₀( ₀, , , ), référentiel global du disque xe . Les axes et dé nissent le plan de référence de l’étude. Le centre du disque a pour coordonnées(0, 0, 2) dans ce système.

• ( , , , ), référentiel local du disque mobile . Il est obtenu par une translation de ₂suivant , puis rotations d’angles et autour des axes et . Le disque a une vitesse de rotationΩ autour de .

• ( , _, , � _, , ), référentiel global du patin xe . À chaque patin est associé un repère xe. Il est obtenu par une translation le long de et d’une rotation � , autour de du référentiel ₀( 0, , , ) ( , � , ) étant les coordonnées polaires de la liaison rotule _, du patin dans le plan( , ).

z0

x0

y0

z0

F . . – Repères relatifs à la butée

• , ( , , , , � , , , ), référentiel local du patin mobile . Il est obtenu par une trans-lation de _1, suivant , puis rotations d’angles et autour des axes _, et� , .

.

Équations générales

. . Équation de Reynolds

La pression dans le lm d’huile entre un patin et le disque est décrite par l’équation de Reynolds, dont la forme générale en coordonnées polaires est [ ]

ℎ3 12 + 1 � ℎ 3 12 � = 1 2 2 ℎ1+ ℎ2 + 12 2 � ℎ1+ ℎ2 + ℎ_{2 [} 1+ 2 + � 1+ 2 _{] +} 2 1 . où est la viscosité dynamique du lubri ant. Les indices1 et 2 correspondent respectivement aux parois inférieure et supérieure. Dans le cas de la butée hydrodynamique, 1 fait donc référence au patin et 2 au disque. La hauteur du lm ℎ est alors donnée par ℎ = ℎ₂ ℎ₁ où ℎ1/2 est la hauteur d’un point 1/2 de la surface du patin/disque par rapport au plan ( , ). 1/2, 1/2 et 1/2 sont les vitesses des parois en coordonnées polaires suivant ,�, respectivement des parois1/2.

Position et vitesse d’un point ₁de la surface du patin :

Soit ₁un point de la surface du patin. On note l’épaisseur du patin, et respecti-vement ses rayons intérieur et extérieur et son amplitude angulaire. Le début du patin est repéré par l’angle�0 autour de mesuré à partir de l’axe . Le point rotule est repéré par l’angle� par rapport au début du patin, et par le rayon .

. . Équations générales

Comme dit précédemment, le repère ( , , � , ), solidaire du patin, est obtenu à partir de ( , , � , ) par une translation de 1suivant , puis rotations d’angles et autour des axes et� . Le plan ( , � ), translaté de suivant dé nit donc la surface du patin. Dans ce repère, le point ₁a donc comme coordonnées

� = _{+ [ c�∇(� � ) ] + ∇i�(� � )�} .

avec ⋯ ; ] et � ⋯0; ]. Le passage du repère à se fait grâce aux relations sui-vantes

= c�∇ + ∇i� ∇i� � c�∇ ∇i� � = c�∇ � + ∇i�

= ∇i� ∇i� c�∇ � + c�∇ c�∇

. ce qui permet d’exprimer les coordonnées de ₁dans le repère

� = [ ∇i� + c�∇ c�∇(� � ) _]

+ [∇i� ∇i� c�∇(� � ) + c�∇ ∇i�(� � ) _{∇i� c�∇ ] �}

+ [ 1+ c�∇ c�∇ c�∇ ∇i� c�∇(� � ) + ∇i� ∇i�(� � )]

.

On a alors directement la hauteurℎ₁entre un point de la surface du patin et le plan de référence

ℎ₁( , �) = ₁+ c�∇ c�∇ _{c�∇ ∇i� [ c�∇(� � ) ] + ∇i� ∇i�(� � )} .

Pour exprimer la vitesse du point ₁, on note le vecteur instantané de rotation du patin. En supposant les angles et faibles, on a

= + �

≃ + � + .

alors ( ₁/ ) = ( / ) + ∧ � = ₁ + � � � �� � � � ��∧ � � � � �� + c�∇(� � ) ∇i�(� � ) c�∇(� � ) + ∇i�(� � ) = � � � � � �� [ c�∇(� � ) ] + 2 [ + c�∇(� � ) ] [ c�∇(� � ) + ∇i�(� � )] 1+ [ ∇i�(� � ) _{] [ + c�∇(� � ) ]} ( 1/ 0) = � � � � � �� [ (1 + 2) + ] c�∇(� � ) ( ) ( + _{) + [( + )c�∇(� � ) ∇i�(� � )]} 1 ( + ) + + [ ∇i�(� � ) c�∇(� � )] .

Ces vitesses sont à exprimer en coordonnées polaires, suivant( , �, ), avec = c�∇(� � ) ∇i�(� � )�

� = ∇i�(� � ) + c�∇(� � )� .

ce qui permet d’écrire nalement

1≃ c�∇2(� � ) ∇i�2(� � ) + ( + ) c�∇(� � ) ∇i�(� � ) + ( (1 + 2) + ) c�∇(� � ) ( ( + ) + ( )) ∇i�(� � ) 1≃ ( + ) c�∇2(� � ) + ( ) c�∇(� � ) ∇i�(� � ) ( ( + ) + ( )) c�∇(� � ) ( (1 + 2_{) + ) ∇i�(� � )} 1≃ 1 ( + ) + + [ ∇i�(� � ) c�∇(� � )] .

Position et vitesse d’un point ₂de la surface du disque :

Soit ₂un point de la surface du disque. Le repère ( , , , ), solidaire du disque, est obtenu à partir de ₀( ₀, , , ) par une translation de ₂ suivant , puis rotations d’angles et autour des axes et . Dans ce repère, le point ₂a donc comme coordon-nées

. . Équations générales

avec ⋯ ; ] et � ⋯0; ]. Dans le repère ₀, les axes et sont donnés par = c�∇ + ∇i� ∇i� c�∇ ∇i�

= c�∇ + ∇i� .

Le point ₂a donc pour coordonnées dans le repère ₀ � = c�∇ c�∇(� + �0)

+ [( ∇i� ∇i� ) c�∇(� + �0) + ( c�∇ ) ∇i�(� + �0)] + [2 ( c�∇ ∇i� ) c�∇(� + �0) + ( ∇i� ) ∇i�(� + �0)]

.

La hauteurℎ2entre un point de la surface du disque et le plan de référence est donc ℎ2( , �) = 2 c�∇ ∇i� c�∇(� + �0) + ∇i� ∇i�(� + �0) . On peut également exprimer ce e position en coordonnées polaires selon( , �, ) dé nis par . . En supposant les angles et faibles, on obtient

� ≃ + [2+ ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0)] .

“ n d’exprimer la vitesse de ₂, on note le vecteur instantané de rotation du disque. En supposant les angles et faibles, on a

= + + Ω

≃ + Ω + ( Ω ) + ( + Ω) .

devenant, en coordonnées polaires

≃[( + Ω )c�∇(� + �0) + ( Ω ) ∇i�(� + �0)] +[( Ω )c�∇(� + �0) ( + Ω ) ∇i�(� + �0)]� +( + Ω)

.

En utilisant la relation . , la vitesse ( 2/ 0) de 2est alors donnée en coordonnées polaires par ( 2/ 0) = ( / 0) + Ω ∧ � = 2 + � � � � �� ( + Ω ) c�∇(� + �0) + ( Ω ) ∇i�(� + �0) ( Ω ) c�∇(� + �0) ( + Ω ) ∇i�(� + �0) ( + Ω) ∧ � � � � ��0 ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0) .

D’où, nalement

2= [( Ω )c�∇(� + �0) ( + Ω ) ∇i�(� + �0)][ ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0)]

2= ( + Ω) _{[( + Ω ) c�∇(� + �}0) + ( Ω ) ∇i�(� + �0)][ ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0)]

2=2+ [( + Ω )∇i�(� + �0) ( Ω ) c�∇(� + �0)]

.

Équation de Reynolds pour la butée à patins oscillants

Les hauteursℎ1etℎ2, données par . et . perme ent alors de connaître la hauteur du lm lubri antℎ = ℎ₂ ℎ₁

ℎ = 2 1 c�∇ c�∇ c�∇ ∇i� c�∇(� + �0) + ∇i� ∇i�(� + �0)

c�∇ ∇i� c�∇(� � ) ∇i� ∇i�(� � ) .

Sous l’hypothèse des petits angles,∇i� ≃ , ∇i� ≃ et c�∇ = c�∇ ≃ 1 , on a nalement ℎ ≃ _{2 1 + [ ∇i�(� + �0}) c�∇(� + �₀) + c�∇(� � ) _{∇i�(� � )]} .

En reportant les relations de hauteurs . , . et . et de vitesses . et . dans l’équation générale de Reynolds . et après simpli cation, on a nalement

⋅ ℎ₁₂3 = Ω_{2 [ ∇i�(� + �0}) + c�∇(� + �₀) ∇i�(� � ) _{c�∇(� � )]} + [ ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0) + c�∇(� � ) ∇i�(� � )]

ℎ

2 [ + + + ] + 2 1+ ( + )

.

On peut remarquer que, en négligeant les termes , , et , la relation précédente devient nalement

⋅ ℎ₁₂3 _{= Ω2} ℎ_{� +} ℎ .

. . Résolution par la méthode des volumes nis

L’équation de Reynolds . est alors résolue par la méthode des volumes nis. Le patin est discrétisé par un maillage régulier et l’équation de Reynolds est intégrée sur un volume élémentaire� � ⋅ ℎ 3 12 d� = � Ω 2 ℎ�d� + � ℎd� .

. . Équations générales

Ω

2 ℎ� = ⋅ 2 ℎΩ , et en approximant les dérivées partielles par interpolation linéaire. Le der-nier terme est quant à lui obtenu par sa valeur moyenne au centre du volume élémentaire. Finalement, on obtient la relation

= + + + + .

avec

= ₁₂ℎ3 � = ₁₂ℎ3 _� = + + +

= ₁₂ℎ3 � = ₁₂ℎ3 _� = _{� [}Ω₂ℎ _{� +}ℎ ℎ _]

.

Les indices majuscules font référence aux valeurs au centre des cellules et les indices minus-cules aux valeurs sur les frontières Figure .

n s e w PP PS P_E P_W PN

F . . – Notations de la discrétisation du patin

La relation . est alors résolue par l’algorithme itératif Strongly Implicit Procedure SIP [ ]. Il est à noter que, les surfaces du disque et des patins étant supposées planes, il n’y a pas d’alternance de zones convergentes-divergentes. C’est pourquoi il n’y a pas de problème de cavitation et de reformation du lm lubri ant.

. . Torseur des forces uides sur la butée

Une fois le champ de pression obtenu, on peut en déduire l’action du lm d’huile sur le patin et le disque. Pour rappel, en lubri cation hydrodynamique, le tenseur de contraintes

̄ dans le repère local ( , �, ) se réduit à

̄ = 0 0 _� 0₀

0 � 0

où ₀et _{� 0}sont les contraintes de cisaillement respectivement dans les directions radiale et tangentielle, dé nit par [ ]

0( ) = = 12 [2 (ℎ1+ ℎ2)] + 2ℎ 1

� 0( ) = = 12 � [2 (ℎ1+ ℎ2)] + 2ℎ 1

. et étant les vitesses radiale et tangentielle du lubri ant.

Torseur des actions hydrodynamiques sur le patin

Pour un point ₁de la surface du patin, la normale extérieure en ce point est = � + ce qui permet d’exprimer la contrainte� en ce point

�( 1) = ̄ . ≃ + _{0 0} 1 + �0 0 ₁ = 10 1�0 1 0 . où _{0 0}

1 et �0 0 ₁ sont les contraintes de cisaillement en = ℎ1 exprimées suivant

( , � , )

0 0 ₁= c�∇(� � ) 0( = ℎ1) ∇i�(� � ) � 0( = ℎ1)

�0 0 ₁= ∇i�(� � ) 0( = ℎ1) + c�∇(� � ) � 0( = ℎ1)

. L’action hydrodynamique� du lm lubri ant sur le patin, obtenue par intégration de �( ₁) sur la surface du patin, se réduit à la force

� = �( 1)d = + _{0 0} 1 d + _{�0 0} 1 d d . et au moment en ℳ� / = � ∧ �( 1)dS ℳ₁₀ ℳ1�0 ℳ10 = [ ∇i�(� � ) ] 1�0[ + c�∇(� � ) + ∇i�(� � )] d [ + c�∇(� � )] + 10[ + c�∇(� � ) + ∇i�(� � )] d 1�0[ + c�∇(� � )] 10[ ∇i�(� � ) ] d .

. . Équations générales Torseur des actions hydrodynamiques sur le disque

La normale extérieure en un point ₂du disque est = . La contrainte� en ce point vaut donc

�( 2) = ̄ 0 = 0 0 ₂ 0 0 ₂ = 2 0 2 0 2 0 . avec _{0 0}

2et 0 0 ₂les contraintes de cisaillement en = ℎ2selon( , , ) 0 0 ₂= c�∇(� + �0) 0( = ℎ2) ∇i�(� + �0) � 0( = ℎ2) 0 0 ₂= ∇i�(� + �0) 0( = ℎ2) + c�∇(� + �0) � 0( = ℎ2)

. L’action hydrodynamique au niveau du patin sur le disque est alors obtenue en inté-grant la contrainte�( ₂) sur la surface du grain mobile et se résume à la force

� , = �( 2)d =

0 0 ₂ d 0 0 ₂ d

d

.

Le moment par rapport à correspondant, exprimé dans le repère ₀s’écrit

ℳ�, / = � ∧ �( 2)d ℳ2 0 ℳ_{2 0} ℳ2 0 = ∇i�(� + �₀) _{2 0} ∇i�(� + �₀) c�∇(� + �₀) d c�∇(� + �0) + 2 0 ∇i�(� + �0) c�∇(� + �0) d 2 0c�∇(� + �0) 2 0∇i�(� + �0) d .

L’action hydrodynamique de l’ensemble de la butée sur le rotor est nalement obtenue en sommant les relations précédentes sur les patins

� = ∑₌₁� _,

ℳ_{� / = ∑}

=1ℳ�, /

.

Caractéristiques statiques

. . La portance

La portance du patin _, est donnée par la projection de la force de l’action hydrody-namique suivant . D’après . , on a donc

, = d .

La portance totale de la butée, noté est alors obtenue en sommant les portances de chacun des patins.

= ∑₌₁ , .

. . Le couple

Le couple résistant au niveau du disque, noté� est donnée par la projection sur du moment en0 de l’action hydrodynamique. D’après . et les expressions de _{2 0} et _{2 0} données par . , on a

� = _[ c�∇(� + �0) + ∇i�(� + �0) � 0( = ℎ2)]d .

. . Les débits

Les débits sur le contour du patin sont notés , et voir Figure . . Ils sont obtenus en intégrant la vitesse du uide traversant l’épaisseur de lm sur chaque contour.

F . . – Débits de fuite sur les contours du patin

En coordonnées polaires, les vitesses radiale et tangentielle du uide et sont [ ]

= 1₂ 2 _(ℎ

1+ ℎ2) + ℎ1ℎ2 + 2_ℎ 1( ℎ1) + 1

= 1_{2 �} 2 _(ℎ

1+ ℎ2) + ℎ1ℎ2 + 2 _{ℎ (}1 ℎ1) + 1

. . Caractéristiques statiques

Les débits tangentiels et radiaux du patin sont alors donnés par = = [ ℎ3 12 � + ℎ2 1+ 2 ]₌ d = = [ ℎ3 12 � + ℎ2 1+ 2 ]₌ d = �=0[ ℎ3 12 + ℎ2 1+ 2 ]₌ d� = �=0[ ℎ3 12 + ℎ2 1+ 2 ] ₌ d� .

les vitesses _1/2et _1/2étant données par . et . .

. . Le bilan thermique

La prise en compte des effets thermiques est faite par une approche globale, perme ant de calculer une température moyenne d’huile pour chaque patin. Pour cela, on considère que l’énergie de cisaillement du uide sur un cycle obtenue en intégrant la puissance � Ω est évacuée à % par le lubri ant provoquant alors une élévation moyenne de la température du uide. L’équilibre thermique sur un cycle se traduit par

+ + = 0.85 .

où et sont respectivement la masse volumique et la chaleur spéci que du lubri ant. , , et sont les débits aux bords du patin considéré dé nis par . . , , et sont les températures du lubri ant sur les frontières. En supposant que = + 2 et

= = + , la relation . permet d’écrire

= 0.85 + +

2 + + .

La température moyenne du uide est alors donnée par + , perme ant alors d’en déduire la viscosité dynamique moyenne par la loi de Mac Coull et fialter [ ]

10 10(0.6 + ) = 10 + .

où est la viscosité cinématique, et des constantes dépendantes du lubri ant, et la température absolue.

.

Comportement dynamique de la butée

On s’intéresse maintenant à l’effet d’une butée hydrodynamique à patins oscillants sur le rotor en régime de fonctionnement dynamique. “u vu de la modélisation du rotor choisi, la butée n’agit sur l’arbre que par sa portance hydrodynamique� dé nie par . et par les momentsℳ ₀etℳ₀ de l’action hydrodynamique suivant et donnés par . .

L’arbre au niveau de la butée possède degrés de liberté son déplacement axial ₂et ses positions angulaires et autour des axes et respectivement.

Chaque patin de la butée peut avoir, au maximum, degrés de liberté un déplacement axial ₁ et positions angulaires et respectivement autour des axes et � propres à chaque patin. Toutefois, certaines butées sont équipées de patins en liaison pivot et non ro-tule. Dans ce cas, chacun d’eux n’a alors que degrés de liberté ₁ et . On se donne éga-lement la liberté de considérer le support des patins indéformable. La position axiale ₁ est alors constante.

Pour connaître le comportement dynamique de la butée, il est indispensable de prendre en compte celui des patins. Leurs équations du mouvement font donc l’objet d’une première partie. Trois approches du comportement dynamique de la butée sont ensuite présentées. La première, dite non linéaire, consiste à recalculer le champ de pression sur chacun des patins en fonction des positions et vitesses du système. Ce e solution peut être couteuse en temps de calcul mais permet de connaître précisément l’état dynamique de la butée. Les autres approches reposent sur une linéarisation des efforts de la butée, avec ou sans condensation des degrés de liberté des patins.

. . Équations du mouvement du patin

Les actions extérieures appliquées au patin sont

• � et ℳ� / l’action hydrodynamique donnée par les relations . et . . • l’action du support, modélisée par une raideur et un amortissement dans la

di-rection axiale notés et respectivement. • le poids où est la masse du patin.

Le théorème de la résultante dynamique s’écrit

( / ) = � + + .

( / ) étant l’accélération du centre d’inertie du patin dans le repère xe . Le détail des coordonnées de est donné en “nnexe ”

. . Comportement dynamique de la butée avec = 23 32 32∇i�( /2)_/2 = c�∇( /2 � ) = ∇i�( /2 � ) = /2 .

L’accélération ( / ) est donc

( / ) = � + ( + ₁) .

Par ailleurs, en notant _1, la position axiale initiale du support, la force est

= [ ( 1 1, ) 1] .

En reprenant les relations . et . , l’équation de la résultante dynamique en pro-jection sur l’axe s’écrit donc

1 = ( + 1) + 1+ ( 1 1, ) + g .

Le théorème du moment dynamique appliqué au patin au point s’écrit, dans le cas d’une rotule parfaite

�( ) = �( ) + ∧ .

avec

�( ) = d_d ̄( , / ) .

où = + � + est le vecteur instantané de rotation du patin et ̄( , / ) la matrice d’inertie du patin exprimée dans la base voir “nnexe ”

̄( , / ) = 2 ₊ 2 � � ( + ) + �( ) + " 2 ₊ 2 � ( + ) + �( ) " " .