Zero-inventory-ordering property in profit maximization problem

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Zero-inventory-ordering property in profit maximization

problem

Yuan Bian

To cite this version:

Yuan Bian. Zero-inventory-ordering property in profit maximization problem. [Rapport de recherche]

16/1/DAPI, Ecole des Mines de Nantes - IRCCyN. 2016. �hal-01433071�

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MAXIMIZATION PROBLEM

YUAN BIAN

Résumé. Dans ce document, nous essayons de regarder comment prouver la propriété Zéro-Stock dans le cas de la maximisation du profit en prenant en compte le coût de financement du besoin en fonds de roulement (BFR).

Cette recherche prend place dans le cadre du projet RCSM dans lequel nous essayons de proposer des méthodes d’optimisation capable de générer des plans de production maximisant le profit qui est la différence entre le revenue de ventes et l’ensemble du coût logistique et le coût de financement en fonction du BFR. Dans un premier temps, une fonction générique modélisant le BFR a été établie et validée : cette fonction permet de déterminer le BFR généré par un plan de production. Dans un second temps, un modèle basé sur le modèle de avec la fonction objectif de maximiser le profit. Le but de ce rapport de recherche est de tenter d’établir une propriété structurelle forte pour ce modèle dont pourront découler des méthodes d’optimisation efficaces.

1. Rappel de la mod´elisation

1.1. Hypothèses. Les hypothèses prises pour ce modèle sont en deux familles : de type “lot-sizing” et de type financier. Les hypothèses “lot-sizing” sont similaires que celles de l’ULS (Uncapacitated Lot-Sizing Problem). Puis, les hypothèses financières pour calculer le BFR sont présentées comme suit :

– Les coûts de lancement, de production et de stockage doivent être payés immédiatement ;

– La marge n’est pas considérée pour le calcul du BFR total car elle ne sera pas nécessairement réinvestir dans le même cycle d’exploitation ;

– Dans le calcul du BFR, les produits dans un même lot de production partagent le coût de lancement, mais ils ne partagent pas de coût de stockage d’autres produits dans le même lot.

1.2. Paramètres et variables. Dans un premier temps, nous rappelons le modèle permettant de maximiser le profit dans un cadre mono-niveau, mono-produit et à capacité illimitée. Le tableau 3 présente les paramètres utilisés par le modèle.

Dans la suite, nous supposerons que tous ces paramétres sont positifs ou nuls. Le tableau 2 définit l’ensemble des variables utilisées par le modèle.

Date: novembre 2015.

Key words and phrases. ULS, Profit, BFR, ZIO.

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Param`etre D´efinition

T Longueur de l’horizon Dt Demande pour la p´eriode t

h Coût unitaire de stockage p Coût unitaire de production s Coût fixe de lancement

a Coût unitaire d’achat de matière première v Prix unitaire de vente

rc D´elai de paiement client

rf D´elai de paiement fournisseur

α taux d’intérêt de financement (taux du coût d’opportunité) mensuel Table 1. Paramètres du modèle

Variable D´efinition

Qt Quantité produite à la période t

Xt,k Quantité produite à la période t pour satisfaire une partie

de la demande Dk

It,k Quantité stockée au début de la période t pour satisfaire

la demande de la p´eriode k I0

t Quantité stockée au début de la période t

Yt indique s’il y a eu lancement de production `a la p´eriode t

Table 2. Variables du mod`ele

1.3. Modélisation de basé du BFR. Les paramètres et les variables sont définis pour le cas mono-site, mono-niveau, mono-produit et à capacité infinie. La variables de décision, wtk, est adoptés basé sur celles de FAL(Facillity Location based)

for-mulation de l’ULS (Uncapacitated Lot-Sizing problem). Elle représente la quantité de production réalisée à la période t pour la demande de la période k. Cette va-riable nous permet d’avoir tout l’information nécessaire pour calculer le montant de paiement au fournisseur (PF) et du client (PC) et les dates associées. Dans notre modélisation, le BFR total est le BFR pour l’ensemble des activités d’achat, de lancement, de production et de stockage. Pour chaque partie du BFR, il faut calculer le montant à payer pour réaliser l’opération, puis le nombre de périodes à financer. Pour chaque Xtk, le montant à payer est fonction de le coût unitaire de

l’opération et de Xtk. Le nombre de périodes à financer est la durée entre paiement

au fournisseur et paiement du client en respectant les d´elais associ´es. Les formules se trouvent dans le tableau ci-dessous :

Coût de l’opération × Nombre de périodes Opérations Coût unitaire × Quantité × [P F - P C]

Achat a × Xt,k × [(k + rc) - (t + rf)]

Lancement sYt

Qt+(1−Yt) × Xt,k × [(k + rc) - t]

Production p × Xt,k × [(k + rc) - t]

Stockage h × It,k × [(k + rc) - t]

(4)

Avec, It,k = t−1

P

j=0

Xj,k. It,k est donc l’ensemble de produits fabriqu´es avant la

p´eriode t pour satisfaire la demande de la p´eriode k. (Donc, I_t0 =

T

P

k=t

It,k.)

1.4. Value actuelle nette (VAN) actualisée. La VAN est un indicateur qui permet de prendre la décision quant à la rentabilité ou pas d’un projet d’investis-sement. Comme pour réaliser une opération, on commence par un investissement initial qui nous permet de fabriquer les produits finis. Puis, on les vent et attendre la rentrée des gains par les PCs. La VAN est utilisée afin de comparer les gains à son investissement initial. Dans ce travail, la période où les activités lié à la pro-duction est déterminé par le plan de production. La VAN nous permet de comparer directement tous les paiements réalisés dans différentes périodes.

1.4.1. BFR en VAN. Afin d’expliquer cette mod´elisation en VAN, les coˆuts d’achat `

a financer pour une production de Xt,kde la période t à la période k−1 est présentés,

ainsi que ceux actualisés sont présentés dans le tableau 4. Notons A = a × Xt,k, le

montant `a financer sans actualisation et τ = 1

1+α, le taux d’actualisation.

Période t t+1 t+2 ... k-1 Montant à financer A A A ... A Montant à financer en VAN A × τt _{A × τ}t+1 _{A × τ}t+2 _... _{A × τ}k−1

Table 4. Les coˆuts d’achat `a financer en VAN

Donc, les composants du BFR agrégé en VAN qui est généré par les activités réalisées dans la période t est respectivement formulé comme suit :

BF Rtachat = T X k=t aXt,k   T X j=t 1 (1 + α)j+rf − T X j=k 1 (1 + α)j+rc   BF Rachat

t est formul´e comme dessus afin de mesurer correctement le BFR n´egative

quand t + rf > k + rc. Puis, pour les autres parties du BFR, comme t ≤ k + rc, ils

peuvent être formulé comme suite : De même : BF Rlanc t = T X k=t sYt Qt+ (1 − Yt) Xt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)j = T X k=t sYt Qt+ (1 − Yt) Xt,k 1 α(1 + α)(t−1) 1 − 1 (1 + α)(k+rc−t) BF Rprodt = T X k=t pXt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)j = T X k=t pXt,k 1 α(1 + α)(t−1) 1 − 1 (1 + α)(k+rc−t−rf)

(5)

BF Rstock t = T X k=t hIt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)j = T X k=t hIt,k 1 α(1 + α)(t−1) 1 − 1 (1 + α)(k+rc−t−rf)

Donc, le BFR agrégé de la période t en VAN s’écrit :

BF Raggr_t = BF Rprod+ BF Rlanc+ BF Rachat+ BF Rstock

Puis, le BFR total est

BF Rtotal= T

X

t=1

BF Raggrt

Ainsi, le coˆut de financement du BFR total est B = α × BF Rtotal.

1.4.2. Profit et coûts logistiques en VAN. D’autre part, d’autres termes pour cal-culer le profit doit être également actualisés y compris le revenu et l’ensemble des coûts logistiques . Pour le revenu et les coûts logistiques, il suffit juste de actualiser selon le nombre des périodes passées en respectant le délais de paiements au four-nisseur et du client. Revenu : R = T +rc X t=1 vDt−rc 1 (1 + α)t Coût logistique : L = T +rf X t=1 (aQt−rf + pQt+ sYt+ hI 0 t) 1 (1 + α)t

2. Mod`ele de maximisation du profit

2.1. Profit périodique. afin de formuler le profit à la période t, il faut exprimer mathématiquement le flux de trésorerie entrant et sortant qui sont présentés en

(6)

VAN ci-dessous : Entrant Revenu `a t : Rt = vDt−rc 1 (1 + α)t Sortant

Coût logistique à t : Lt = (aQt−rf + pQt+ sYt+ hI 0 t) 1 (1+α)t Coût de financement du BFR à t : Bt = α × (a t−rf−1 P j=1 T P k=t−rc−1 Xj,k+ p t−1 P j=1 T P k=t−rc−1 Xj,k + t−1 P j=1 T P k=t−rc−1 sYj Qj+(1−Yj)× Xj,k+ h t−1 P j=1 T P k=t−rc−1 It,k)_(1+α)1 t t−rf−1 P j=1 T P k=t−rc−1

Xj,krepr´esente l’ensemble des produits pour lesquels on doit

en-core financer les coûts liés à la production en respectant les délais. (Par exemple, pour X25, on doit encore financier les coûts à la période 3 avec rf = 1 et rc = 2.) De

même raison, l’ensemble du coût de stockage à financer à la période t est présenté comme dessus.

Donc, le profit `a la p´eriode t est donc P rof itt = T +r

P

t=1

(Rt− Lt− Bt) avec r =

max {rf, rc}.

2.2. Modèle complet. Le modèle est établi pour le cas de niveau, mono-produit et à capacité infinie avec un objectif de maximiser le profit. Nous adoptons la définition simple du profit de [Thomas 1970] en ajoutant le coût de financement du BFR. M aximiser P rof it = R − L − B (1) U LSP (BF R)                        Qt= T X k=t Xt,k ∀t ∈ [1, T ] (2) Xt,k≤ DkYt ∀(k, t) ∈ [1, T ] 2 (3) Yt≤ Qt ∀t ∈ [1, T ] (4) t X k=1 Xk,t= Dt ∀t ∈ [1, T ] (5) Xt,k≥ 0, Yt∈ {0, 1} ∀(k, t) ∈ [1, T ] 2 (6)

La fonction objectif (1) consiste à maximiser le profit qui est égale à la revenue moins le coût logistique total moins le coût de financement total. L’équation (2) calcule la quantité fabriquée durant une période et les équations (3) et (4) définissent lorsqu’il y a lieu de lancer en production. La relation (5) assure que la demande

(7)

sera bien servie dans les temps et les équations (6) sont les équations d’intégrité et de positivité.

3. Conjecture Z´ero-stock (ZIO)

Notation. Pour un plan de production P v´erifiant X(U LSP (BF R))_{, nous noterons}

P rof it(P ) son ´evaluation via la fonction objectif

Definition. Nous dirons qu’un plan vérifie la condition zéro-stock (ZIO) si et seule-ment s’il n’y a production qu’à stock nul. En utilisant nos notations, cela s’écrit :

Qt× "t−1 X k=1 T X l=t Xk,l !# = 0 ∀t ∈ [2, T ]

En d’autres termes, cela s’´ecrit

Qt> 0 ⇒ Xk,l= 0 ∀(k, l) ∈ [1, t − 1] × [t, T ]

Xk,l> 0 ⇒ Qt= 0 ∀t ∈ [k + 1, l]

Conjecture. Il existe un plan P∗_{∈ X}(U LSP (BF R)) _v´_{erifiant la propri´}_et´_{e z´}_ero-stock

tel que

P rof it(P∗) = max

P ∈X(U LSP (BF R))

P rof it(P )

Id´ee de preuve. On suppose qu’on a un plan (P ) ∈ X(U LSP (BF R)) _{ne v´}_erifiant

pas (ZIO) et on essaie de montrer qu’on l’am´eliore au regard de la fonction objectif en le rendant progressivement (ZIO).

Soit (P ) ∈ X(U LSP (BF R))_{ne v´}_{erifiant pas (ZIO). Notons que (t, m, n) ∈ [1, T ]}3_est

un triplet tel que m < t ≤ n et une violation de la propriété se trouve à la période t, c’est-à -dire, Qt× Xm,n> 0, (on fabrique à nouveau des produits quand le stock à

la période t n’est pas encore zéro.) De plus, on supposera que la violation de la pro-priété ZIO se trouve dans plusieurs périodes sur l’horizon de planification avec (P ).

Considérons le plan (P0) déduit de (P ) de la maniére suivante : X_k,t0 = Xk,t ∀(k, t) ∈ [1, T ]

2

− {(m, n), (t, n)} X_m,n0 = 0

Xt,n0 = Xt,n+ Xm,n

Par construction, (P0) ∈ X(U LSP (BF R)) _{et on y trouve une violation de la}

pro-priété de moins par rapport le nombre de violations trouvés dans le (P ). Maintenant, il faudrait arriver à prouver que P rof it(P ) − P rof it(P0) ≤ 0. Pour cela, raisonnons composante par composante.

Dans cette preuve, on généralise les paramètres des coûts unitaires d’achat, de lancement, de production et de stockage et du prix de vente et les considère comme des paramètres décroissants. Donc, notons, :

a0_t= a_1+α1 t

s0_t= s_1+α1 t

p0_t= p_1+α1 t

h0_t= h_1+α1 t

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D’abord, Il n’y a pas de diff´erence en profit avec ces deux plans avec la demande et le prix de vente identiques.

Revenue(P) - Revenue(P’) =0

Puis, la différence en coût logistique est examinée comme suite :

L(P ) − L(P0) = T X j=1 [a0_j(Qj− Q0j) + p0j(Qj− Q0j) + s0j(Yj− Yj0) + h0j(Ij− Ij0)] = Xm,n(a0m− a0t) + Xm,n(pm0 − p0t) + s0t(Ym− Ym0) + Xm,n t−1 X j=m h0_j ≥ 0car Ym≥ Ym0

Puis, on compare les diff´erentes parties du BFR :

BF Rprod(P ) − BF Rprod(P0) = T X t=1 T X k=t pXt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t− T X t=1 T X k=t pX_t,k0 k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t = Xm,n   k+rc−1 X j=m p0_j− k+rc−1 X j=t p0_j  = Xm,n t−1 X j=m p0_j > 0 BF Rachat(P ) − BF Rachat(P0) = T X t=1 T X k=t aXt,k   T X j=t 1 (1 + α)j+rf − T X j=k 1 (1 + α)j+rc   − T X t=1 T X k=t aX_t,k0   T X j=t 1 (1 + α)j+rf − T X j=k 1 (1 + α)j+rc   = Xm,n   T X j=m a0j− T X j=t a0j  = Xm,n t−1 X j=m a0j > 0 BF Rstock(P ) − BF Rstock(P0) = T X t=1 T X k=t hIt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t− T X t=1 T X k=t hI_t,k0 k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t = n−1 X l=m n+rc−1 X j=l h0_jIl,n− n−1 X l=m n+rc−1 X j=l h0_jI_l,n0 = n−1 X l=m n+rc−1 X j=l h0_jXm,n> 0

Ces trois composantes ne posent manifestement pas de probl`eme puisqu’elles sont positives. Puis, nous nous concentrons sur la partie “lancement” du BFR :

BF Rlanc(P ) − BF Rlanc(P0) = T X t=1 T X k=t sYtXt,k Qt+ (1 − Yt) Xt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t − T X t=1 T X k=t sYtXt,k Qt+ (1 − Yt) Xt,k k+rc−1 X j=t 1 (1 + α)t

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Comme les deux plans sont identiques pour toutes les périodes exceptées aux périodes m et t et les coûts unitaires sont constants, l’expression se simplifie comme suit : BF Rlanc(P ) − BF Rlanc(P0) = T X k=m Xm,k k+rc−1 X j=m s0 jYm Qm+ (1 − Ym) + T X k=t Xt,k k+rc−1 X j=t s0 jYt Qt+ (1 − Yt) − T X k=m X_m,k0 k+rc−1 X j=m s0_jY_m0 Q0 m+ (1 − Ym0) − T X k=t X_t,k0 k+rc−1 X j=t s0_jY_t0 Q0 t+ (1 − Yt0) = T X k=m  Xm,k k+rc−1 X j=m s0_jYm Qm+ (1 − Ym) − X_m,k0 k+rc−1 X j=m s0_jY_m0 Q0 m+ (1 − Ym0)   | {z } P artie1 + T X k=t  Xt,k k+rc−1 X j=t s0_jYt Qt+ (1 − Yt) − Xt,k0 k+rc−1 X j=t s0_jYt0 Q0t+ (1 − Yt0)   | {z } P artie2

Puis, ´evaluons la Partie 1. Deux cas peuvent se pr´esenter : Cas 1 : Q0_m= 0. Dans ce cas,

P artie1 = T X k=m Xm,k k+rc−1 X j=m s0_jYm Qm+ (1 − Ym) = T X k=m Xm,k k+rc−1 X j=m s0_j Qm > 0

Cas 2 : Q0m> 0. Dans ce cas

P artie1 = T X k=m  Xm,k k+rc−1 X j=m s0_jYm Qm+ (1 − Ym) − X_m,k0 k+rc−1 X j=m s0_jY_m0 Q0 m+ (1 − Ym0)   = T X k=m  Xm,k k+rc−1 X j=m s0_j Qm − Xm,k0 k+rc−1 X j=m s0_j Q0 m   = 1 QmQ 0 m T X k=m k+rc−1 X j=m s0_jXm,kQ 0 m− X 0 m,kQm =

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Cas 2 (suite) : 1 QmQ 0 m   n+rc−1 X j=m s0_jXm,nQ 0 m+ T X k=m,k6=n k+rc−1 X j=m s0_jX_m,k0 Q0_m− Xm,k0 Qm   = 1 QmQ 0 m   n+rc−1 X j=m s0_jXm,nQ 0 m+ T X k=m,k6=n k+rc−1 X j=m s0_jX_m,k0 Q_m0 − X_m,k0 (Q0_m+ Xm,n)   = 1 QmQ 0 m   n+rc−1 X j=m s0_jXm,nQ 0 m− T X k=m,k6=n k+rc−1 X j=m s0_jX_m,k0 Xm,n   = Xm,n QmQ 0 m   n+rc−1 X j=m s0_jQ0_m− T X k=m,k6=n k+rc−1 X j=m s0_jX_m,k0   = Xm,n QmQ 0 m   n+rc−1 X j=m s0_j t−1 X k=m X_m,k0 − t−1 X k=m k+rc−1 X j=m s0_jX_m,k0   = Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k( n+rc−1 X j=m s0_j− k+rc−1 X j=m s0_j) = Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k n+rc−1 X j=k+rc−1 s0_j > 0

Ainsi, la Partie 1 ne pose pas de probl`eme car elle est positive. ´Evaluons la Partie 2 : T X k=t  Xt,k k+rc−1 X j=t s0_jYt Qt+ (1 − Yt) − Xt,k0 k+rc−1 X j=t s0_jYt0 Q0t+ (1 − Yt0)   = T X k=t   Xt,k Qt k+rc−1 X j=t s0_j−X 0 t,k Q0 t k+rc−1 X j=t s0_j   = 1 QtQ 0 t T X k=t  Xt,kQ0t k+rc−1 X j=t s0_j− X_t,k0 Qt k+rc−1 X j=t s0_j   = 1 QtQ 0 t T X k=t  Xt,k(Qt+ Xm,n) k+rc−1 X j=t s0j− Xt,k0 Qt k+rc−1 X j=t s0j   = 1 QtQ 0 t T X k=t  Xt,kXm,n k+rc−1 X j=t s0_j− Qt(Xt,k− Xt,k0 ) k+rc−1 X j=t s0_j   = 1 QtQ 0 t   T X k=t Xt,kXm,n k+rc−1 X j=t s0_j− QtXm,n n+rc−1 X j=t s0_j   =

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ce qui va poser manifestement probl`eme est la quantit´e : Xm,n Q0_t n+rc−1 X j=t s0j

Examinons deux cas possibles :

Cas A : Q0_t≥ Qm. Nous avons donc

Xm,n Q0_t n+rc−1 X j=n s0_j< Xm,n Qm n+rc−1 X j=n s0_j

Et essayons de comparer cette quantit´e `a la Partie 1 Cas 1 : Q0_m= 0. Dans ce cas

Partie 1 = T X k=m Xm,k Qm k+rc−1 X j=m s0_j T X k=m Xm,k Qm k+rc−1 X j=m s0_j = T X k=m,k6=n Xm,k Qm k+rc−1 X j=m s0_j+Xm,n Qm n+rc−1 X j=n s0_j ≥ Xm,n Qm n+rc−1 X j=n s0j ≥ Xm,n Qm n+rc−1 X j=n s0_j

Dans ce cas, Partie 1 + Partie 2 sera une quantit´e positive. Cas 2 : Q0_m> 0. Dans ce cas

Partie 1 = Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k n+rc−1 X j=k+rc−1 s0_j

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Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k( n+rc−1 X j=m s0_j− k+rc−1 X j=m s0_j) ≥ Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k( n+rc−1 X j=m s0j− t+rc−1 X j=m s0j) ≥ Xm,n Qm ( n+rc−1 X j=m s0_j− t+rc−1 X j=m s0_j) ≥ Xm,n Q0 t ( n+rc−1 X j=m s0_j− t+rc−1 X j=m s0_j) = Xm,n Q0 t n+rc−1 X j=t+rc−1 s0_j (3.1) De plus on a : 1 QtQ 0 t T X k=t Xt,kXm,n k+rc−1 X j=t s0j ≥ Xm,n QtQ 0 t T X k=t Xt,k k+rc−1 X j=t s0_j ≥ Xm,n QtQ 0 t T X k=t Xt,k t+rc−1 X j=t s0_j ≥ Xm,n QtQ 0 t t+rc−1 X j=t s0_j T X k=t Xt,k ≥ Xm,n Q0_t t+rc−1 X j=t s0j (3.2) donc (3.1 + (3.2) = Xm,n Q0_t n+rc−1 X j=t s0_j

Dans ce cas, Partie 1 + Partie 2 sera une quantit´e positive.

Cas B : Q0_t< Qm. On distingue `a nouveau les deux cas de la partie 1 :

Cas 1 : Q0_m= 0. Impossible car m´ecaniquement Q0_t≥ Qm.

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La partie 1 s’´ecrit : Xm,n QmQ 0 m t−1 X k=m Xm,k n+rc−1 X j=k+rc−1 s0_j ≥ Xm,n QmQ 0 m n+rc−1 X j=t+rc−2 s0_j t−1 X k=m Xm,k ≥ Xm,n QmQ 0 m n+rc−1 X j=t+rc−2 s0jQ 0 m ≥ Xm,n Qm n+rc−1 X j=t+rc−2 s0_j La partie 2 s’´ecrit : 1 QtQ 0 t   T X k=t Xt,kXm,n k+rc−1 X j=t s0_j− QtXm,n n+rc−1 X j=t s0_j   = Xm,n QtQ 0 t   T X k=t Xt,k k+rc−1 X j=t s0_j− Qt n+rc−1 X j=t s0_j   ≥ Xm,n QtQ 0 t   t+rc−1 X j=t s0j T X k=t Xt,k ! − Qt n+rc−1 X j=t s0j   ≥ Xm,n QtQ 0 t   t+rc−1 X j=t s0_jQt− Qt n+rc−1 X j=t s0_j   ≥ −Xm,n Q0_t n+rc−1 X j=t+rc−1 s0j ≥ −Xm,n Qm n+rc−1 X j=t+rc−1 s0_j Ainsi, Partie 1 + Partie 2 = Xm,n Qm n+rc−1 X j=t+rc−2 s0_j−Xm,n Qm n+rc−1 X j=t+rc−1 s0_j ≥ Xm,n Qm s0_t+r_c₋₂ ≥ 0

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Résumé des cas traités : Cas A : Q0_t≥ Qm. Q0_m= 0 : Ok ! Q0m> 0 : Ok ! Cas B : Q0_t< Qm. Q0_m= 0 : Ok car impossible Q0_m> 0 : Ok !

Avec la démonstration ci-dessus, on montre que la fonction objectif est améliorée en élimination une violation de la propriété (ZIO). Pour la même raison, on peut toujours l’améliorer s’il y a encore des violations de (ZIO). Donc, on en déduit que le plan qui respecte la propriété (ZIO) est le plan optimal dans ce cas.

(Yuan Bian) Ecole des Mines de Nantes, La chantrerie, 4 rue Alfred Kastler 44307 Nantes cedex 3