Correction devoir de contrôle n°1 4ème Mathématiques Mr K Yassine 29 10 16

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 1} UNE CORRECTION POSSIBLE du devoir de contrôle n°1 de Mr K Yassine du 29 /10 / 16

Proposée par Kooli Mohamed Hechmi

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Exercice 1

1) a) ↦ est dérivable sur ℝ∗ (fonction rationnelle )

∀ ∈ ℝ∗ _{; =} + 2 ₌3 − − 2 ₌ 2 − 1 ₌2 − 1 + + 1

b)

∀ ∈ ℝ∗ _{; =} 2 − 1 + + 1

Or ∀ ∈ ℝ∗ + + 1 > 0 ∆= −3 < 0 et > 0 alors est du signe de − 1 sur ℝ∗ −∞ 0 1 +∞ − − 0 + +∞ +∞ +∞ −∞ 3 lim →#$ = lim→#$ + 2 _{= lim}

→#$ = +∞ lim→%& = lim_→%&

+ 2 _{= − ∞} lim_→%' = lim_→%' + 2 = + ∞ lim_{→ $} = lim_{→ $} + 2= lim_{→ $} = +∞ c) (−∞ , 0* = (−∞ , +∞* = ℝ *1 , +∞* = *3 , +∞*

*0 , +∞* = *3 , +∞*

2) a) 1 = 3 2 = 5 or 4 ∈ *3 , 5( et est continue sur *1 , 2( alors = 4 admet au moins une solution dans *1 , 2(

b) est continue et strictement décroissante sur *−2 , −1( −2 = 3 −1 = −1 or 0 ∈ *−1 , 3( alors = 0 admet une unique solution - dans *−2 , −1(

3) Soit la fonction . définie sur *−2 , −1( par : . = −/ ; . est dérivable sur *−2 , −1( et pour tout ∈ *−2 , −1(

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 2} . = 0 −/ 1 = −/< 0 ( car pour tout ∈ (−∞ , 0* < 0 )

. est continue et strictement décroissante sur *−2 , −1( . −2 = −2 + 1 = 4 . −1 = −1 +1_{2 = −}1_{2 or 0 ∈ 4−}1_{2 , 45}

alors . = 0 admet une unique solution dans *−2 , −1( par suite −/ = 0 admet une unique solution dans *−2 , −1( donc =/ admet une unique solution dans *−2 , −1(

Exercice 2

6 7/ =27%₃+ 8% = _{3 8}1 / = 37%+ 28₅ % =2₅ 2) 7_% < 8_% la propriété est vraie pour 9 = 0

Soit 9 ∈ ℕ supposons que 7; < 8_; , montrons que 7; / < 8_{; /}

7; / − 8; / = 27;₃+ 8;−37;₅+ 28; =107;₁₅+ 58;−97;₁₅+ 68; =7;_{15 < 0}− 8; alors ∀9 ∈ ℕ 7_{; /} < 8_{; /} conclusion ∀9 ∈ ℕ 7_; < 8_;

> 7; / − 7; = 27;₃+ 8; − 7; = −7;₃+ 8; > 0 alors la suite 7 est croissante 8; /− 8; =37;₅+ 28;− 8; =3 7;₅− 8; < 0 alors la suite 8 est décroissante 4) * On a 7; < 8_;

* La suite 7 est croissante la suite 8 est décroissante * Soit la suite G définie sur ℕ par G_; = 7_;− 8_; on a alors G; / = 7; /− 8; / = 7;_{15 =}− 8; ₁₅G;

Par suite la suite G est une suite géométrique de raison H = /

/I ( −1 < H < 1 ) alors lim

;→ ∞G; = 0 ce qui donne lim;→ ∞7;− 8; = 0 alors lim;→ ∞7; = lim;→ ∞8; Donc les suites 7 et 8 admettent une même limite -

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K L M; / = 97; / + 58; / = 9 N27;₃+ 8;O + 5 N37;₅+ 28;O

= 3 27;+ 8; + 37; + 28; = 67;+ 38;+ 37;+ 28; = 97; + 58; = M; Alors la suite M est une suite constante donc M_; = 97_%+ 58_% = 5

P M; = 5 alors lim_{;→ ∞}M; = 5 ce qui donne lim_{;→ ∞}97; + 58; = 5 alors lim_{;→ ∞}97;+ lim_{;→ ∞}58; = 5

alors 9- + 5- = 14- = 5 donc - = I /Q Exercice 3

6 L Le triangle TUV est rectangle en V ssi _WWX−WY

Z − WY est imaginaiure pur ssi_{W − W est imaginaiure pur ssi} W − W W 1 − W_{W 1 − W est imaginaiure pur}

ssi 1 − W 1 + W_{W 1 − W} est imaginaiure pur ssi1 + W_{W est imaginaiure pur}

P 1 + W_{W =} 1 + + \]_{+ \] =} 1 + + \]_{+ \] − \]}− \] = − \] + − \ ] + −\ ] + ]_{+ ]}

= + ] + − \]_{+ ]}

c) soit T un point du plan d’affixe W non nulle et différent de 1 et −1

T ∈ ^ ⇔ le triangle TUV est rectangle en V ssi1 + W_{W est imaginaiure pur} ssi + ] + − \]_{+ ]} est imaginaiure pur ssi ` + ] + = 0_{T ≠ b}

T ≠ c d ssi e

N +1_{2O + ] =} 1₄ T ≠ b

T ≠ c

d ssi T appartient au cercle de centre f 0−/ , 01 et de rayon / privé des points b et c , or le point f 0−/ , 01 est le milieu du segment *bc( et bf = /

Q donc T appartient au cercle de diamètre *bc( alors ^ est le cercle de diamètre *bc(

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 4} 2) a) . h ij klj m_/ m . m

b)0bTllllllj ,bUn 1 ≡ 0bTllllllj llllllj ,kljn 1 + 0klj ,bUn 1 *2p( ≡ −0klj ,bTllllllj n 1 + 0klj ,bUllllllj n 1 *2p( llllllj ≡ −qr. W + arg W *2p( ≡ −qr. W + 2qr. W *2p(

≡ qr. W *2p( ≡ 0klj , bTn 1 *2p( llllllj ≡ 7p_{8 *2p(}

0bUllllllj ,bVn 1 ≡ 0bUlllllj llllllj ,kljn 1 + 0klj ,bVn 1 *2p( ≡ −0klj ,bUlllllj n 1 + 0klj ,bVllllllj n 1 *2p( lllllj ≡ −arg W + arg W *2p( ≡ −2qr. W + 3qr. W *2p( ≡ qr. W *2p( ≡ 0klj , bTn 1 *2p( llllllj

≡ 7p_{8 *2p(}

bU = |WZ| = |W | = |W| = bT

c) On a T et v ont même abscisse et v ∈ b, klj donc W_w = avec < 0 donc bv = − or T ∈ ^ alors + ] + = 0 donc − = + ] et bT = x + ]

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/ Page 5} d) On a : ybU = bT

bv = bT d donc bU = bv alors U appartient au cercle m/ de centre O et de rayon bv d’autre part 0bTllllllj ,bUn 1 ≡llllllj z{

| *2p( donc U appartient à la demi droite *dbm d tel que 0bTllllllj ,bmn 1 ≡ 7plllllj _{8 *2p(}

Conclusion : U ∈ m_/∩ *dbm d

Le triangle TUV est rectangle en V donc V appartient au cercle m de diamètre *TU( d’autre part 0bUllllllj ,bVn 1 ≡lllllj z{

| *2p( donc V appartient à la demi droite *dbh d tel que 0bUllllllj ,bhn 1 ≡ 7pllllllj _{8 *2p(}