PC* - 11
Semaine du 14 au 18 décembre 2020
Intégration sur un intervalle
Soit f : [a, b[ → K une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale Zb
a
f (t) dt est convergente lorsque la limite : lim
x→bx<b
Zx
a
f (t) dt existe. Cas des intervalles ]a, b] et ]a, b[.
Pratique du changement de variable et de l’intégration par partie.
Fonctions à valeurs positives. Théorèmes de comparaison (majoration, domination, équivalence). Intégrales de référence à connaître : Z 1 0 dt tα, Z+∞ 1 dt tα, Z+∞ 0 e−αtdt.
Absolue convergence. Définition de l’absolue convergence, de la semi-convergence. Toute intégrale absolument conver-gente est converconver-gente. Notion de fonction intégrable sur un intervalle.
Exemple de l’intégrale de Dirichlet semi-convergente Z+∞ 0 sin t t dt = π 2 (valeur admise). Espaces L1et L2. On pose L1(I, K) =nf ∈Cpm0 (I, K)
f est intégrable o et L2(I, K) =nf ∈Cpm0 (I, K) f 2est intégrableo . Il s’agit de deux K-espaces vectoriels, et (f , g) ∈ L2(I, K) =⇒ f g ∈ L2(I, K).
Inégalité de Cauchy-Schwarz dans L2(I, K).
Le théorème de convergence dominée
Les deux théorèmes de cette partie sont admis.
Théorème de convergence dominée. Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs numériques, continues par morceaux sur I.
On suppose que :
– (fn) converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I ;
– il existe une fonction positive φ, continue par morceaux et intégrable sur I, telle que : ∀n ∈ N, |fn| 6 φ (hypothèse de domination).
Alors les fonctions fnet f sont intégrables sur I, et :
Z I f = lim n→+∞ Z I fn.
Intégration terme à terme d’une série de fonctions. Soit (fn) une suite de fonctions à valeurs numériques, continues par
morceaux et intégrables sur I. On suppose que la série de fonctionsXfnconverge simplement vers une fonction continue
par morceaux et que la sérieX Z
I
|fn|est convergente. Alors la fonction +∞ X
n=0
fnest intégrable sur I, et
Z I +∞ X n=0 fn= +∞ X n=0 Z I fn.
Méthode alternative pour intervertir somme et intégrale. Au lieu d’appliquer le théorème précédent on peut aussi utiliser l’égalité +∞ X n=0 fn= N X n=0
fn+ RNet appliquer le théorème de convergence dominée pour prouver que lim
N→+∞ Z
I
RN= 0.
Remarque. Pas de question de cours cette semaine, mais veillez à ce que les énoncés des théorèmes utilisés soient précis.
