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Alain Mercier
To cite this version:
Alain Mercier. L’observation biographique de l’enseignement des mathématiques. Biennale de l’Education, Apr 1994, Paris, France. �hal-01988913�
D e u x i è m e B i e n n a l e d e l ’ E d u c a t i o n e t d e l a F o r m a t i o n
Débats sur les recherches et les innovations Paris 9-12 avril 1994
ME R C I E R Alain
IREM, 670 route Léon Lachamp, Case 901, 13288 MA R S E I L L E Cedex 09
L’OBSERVATION BIOGRAPHIQUE DE L’ENSEIGNEMENT DES
MATHÉMATIQUES
P r o b l é m a t i q u e
Les travaux en didactique des mathématiques ont créé, par le moyen d’une « ingénierie didactique », les conditions d’une observation provoquée. Il s’agit ici d’observer les élèves dans le cadre d’un enseignement ordinaire, en prenant appui sur une théorie du fonctionnement didactique : CHEVALLARD (1980) montre que la temporalité de la classe de mathématiques est commandée par la succession des objets du savoir enseigné ; mais cela définit seulement la temporalité légale, un temps « pour tous » qui n’est pas le temps des apprentissages de chacun. Le maître organise la progression dans le savoir enseigné, ce qui crée pour l’élève des manques institutionnels de savoir : en effet, les objets de savoir n’existent pas isolément, et l’émergence d’un rapport à des objets nouveaux s’appuie sur les rapports à des objets anciens que l’élève a précédemment noués : des objets pertinents. Ces rapports anciens « travaillent », comme l’on dit d’une charpente que l’on met en charge et qui cherche une forme d’équilibre, et les savoirs de l’élève doivent être travaillés pour devenir les outils des apprentissages nouveaux.
M é t h o d e
L’élève apprend donc souvent après coup, à un rythme qui lui est personnel mais qui doit s’articuler avec la progression du temps didactique légal. Car l’ignorance de l’élève porte aussi sur les objets pertinents. Comprise comme l’effet d’une intention didactique, l’ignorance produite par le
fonctionnement temporel d’une classe de mathématiques crée une succession d’épisodes didactiques qui rythme la progression de l’enseigné.
Un épisode didactique s’observe par le sens qu’il prend pour un élève, qui de ce fait le montre. Ce sens est, pour l’élève, un sens biographique relatif à son apprentissage des mathématiques ou à son échec à réaliser cet apprentissage.
D o n n é e s
Soit la rencontre de l’ignorance par un élève. L’élève, ignorant de savoirs pertinents, doit se proposer d’apprendre : la situation doit donc comporter des conditions favorables à l’apprentissage nécessaire (BROUSSEAU, 1987). Nous avons tenté de montrer quelles sont ces conditions.
Nous avons étudié systématiquement les épisodes didactiques que nous avons pu identifier dans une classe de Première S, tout au long d’une année, parce que certains élèves de cette classe ont bien voulu nous montrer leurs difficultés en échange d’un suivi ou de conseils pour leur travail en mathématiques. Le montage institutionnel et ses produits sont donnés dans MERCIER (1992), mais voici un épisode didactique isolé, dans une classe de Terminale D.
Soit le contenu du cahier de mathématiques de Delphine sur le calcul des limites infinies. Sans préjuger des intentions du maître ni d’une réalité de la classe qui n’aurait pas trouvé de trace dans ce cahier, observons comment l’enseignant de cette classe organise la reprise du rapport ancien à la
factorisation des expressions polynomiales par le moyen des exemples donnés à
voir, puis des exercices donnés à faire. C’est une gestion tout entière implicite, et l’injonction didactique se fait par l’introduction d’un objet nouveau qui n’a pas d’autre usage : la recherche de limites de fonctions non polynômes, formées
à partir de fonctions polynômes.
Lorsque l’on demandait à un élève de « Factoriser une expression polynomiale » comme 3x3 - 10x + 7, cela signifiait « Écrire cette expression
sous la forme du produit du plus grand nombre possible de facteurs polynomiaux de degré minimum, (0 ou 1 ou 2) » et réaliser des transformations standard, mais une réponse du type : 3x3 - 10x + 7 = x3(3 - 10
x2 + 7
x3 ) aurait été refusée, parce que l’expression entre parenthèses n’est pas polynomiale. Pourtant, cette réponse est maintenant attendue : tous les exercices sur les
limites que les élèves ont à résoudre font appel à ce savoir et pour que nul autre savoir ne permette de répondre, les fonctions concernées ne sont pas rationnelles.
Ainsi, par sa permanence globale, le contrat didactique permet d’assurer le fonctionnement implicite de la relation didactique « on doit apprendre les techniques de résolution des exercices » ; par ses ruptures ponctuelles, le contrat didactique permet de montrer qu’il y a quelque chose à apprendre « on doit apprendre la factorisation du terme de plus haut degré dans les parties polynomiales des expressions non polynomiales, qui sert dans le calcul des limites ».
R é s u l t a t s
C’est d’être, à chaque moment, déclaré ignorant, qu'un élève peut être
enseigné. Par là, l’objet de l’étude lui est désigné ; l’ignorance qu’il a dépassée
est alors le déterminant principal de la biographie d'un élève relativement au savoir. Avec l’école, l’élève rencontre matériellement l’ignorance. En l’absence d’intention didactique à leur endroit, des objets inconnus n’ont pas d’existence supposée avant d’avoir été rencontrés mais à l’Ecole une intention didactique produit des injonctions didactiques parce que l’existence du savoir est connue
de l'élève sans qu'il puisse montrer immédiatement qu’il connaît le savoir.
L’ignorance institutionnelle devenue manque éprouvé par un élève désigne à l’élève le savoir qu’il doit apprendre : nous sommes en cela plus proches de l’idée platonicienne de l’aporie que de la position de FILLOUX (1974) qui est amenée à attribuer à l’élève un désir de savoir « spontané ».
Il y a en effet dans le didactique une dissymétrie fonctionnelle dont les caractères sont maintenant bien identifiés, entre celui qui vient dans le lieu marqué de l’intention d’apprendre - l’élève - et celui qui vient dans le lieu marqué de l’intention d’enseigner - le professeur. Ce dernier est supposé savoir, le premier est supposé ignorer, mais tous deux sont supposés savoir …ce qui fera l’enjeu de la relation didactique qui s’établit. Le fonctionnement temporel de l’enseignement des mathématiques résout ce paradoxe Sophiste auquel s’opposait la théorie platonicienne de la connaissance : « On ne peut chercher ni ce qu’on connaît, ni ce qu’on ne connaît pas : ce qu’on connaît parce que, le connaissant, on n’a pas besoin de le chercher ; ce qu’on ne connaît pas, parce qu’on ne sait même pas ce qu’on doit chercher. » Nos observations montrent comment l’Ecole moderne, dans la classe de mathématiques, permet en principe
- par l’évolution temporelle du contrat didactique - au professeur et à l’élève de s’entendre sur les enjeux de savoir des injonctions didactiques que porte le professeur, et que l’élève doit reprendre à son compte. Cela suppose bien sûr qu’un contrat ait été préalablement construit, et qu’il soit idoine.
L’idonéité du contrat est alors la clé de tout enseignement effectif, mais l’étude de la manière dont il s’établit et des formes qu’il peut prendre n’est pas le problème traité ici.
R é f é r e n c e s
Brousseau, G.: 1986, Théorisation des phénomènes d’enseignement des mathématiques. Thèse d’Etat, Université Bordeaux I.
Chevallard, Y.: 1980, La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné. Cours donné à la Première Ecole d’Eté de Didactique des Mathématiques. (1985) et (1991), Grenoble, La Pensée Sauvage. Filloux, J.: 1974, Du contrat pédagogique. Paris, Dunod.
Mercier, A.: 1992, L’élève et les contraintes temporelles de l’enseignement, un cas en calcul algébrique. Thèse d’Université, Université Bordeaux I. Platon: v.428-v.348 av J.C., Ménon (80 e). Texte établi et traduit par Alfred
