Analyse du déglaçage d'une surface horizontale munie de fils chauffants

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Faculté de génie

Département de génie mécanique

Analyse du déglaçage d'une surface

horizontale munie de ls chauants

Mémoire de maitrise

Spécialité : génie mécanique

Pierre HENRY

Sherbrooke (Québec) Canada

JANVIER 2019

MEMBRES DU JURY

Marcel LACROIX

Directeur

Julien Sylvestre

Évaluateur

Elijah Van Houten

RÉSUMÉ

Dans les pays nordiques, les routes, les toitures, les écluses, etc. sont susceptibles de se voir recouvertes de glace. Cette dernière peut être la cause de blocage ou encore de dangers pour les utilisateurs. Il paraît donc nécessaire de retirer cette glace. L'utilisation de ls chauants parcourant la surface gelée est une des solutions. Le présent projet a pour but de mieux maîtriser cette méthode de déglaçage. Une étude analytique/numérique permettra donc d'optimiser ce processus de manière à diminuer le coût énergétique et le temps de fusion de la couche de glace. Ainsi, des recommandations techniques pourront être données pour que ce type de déglaçage soit le plus performant possible en fonction des conditions d'utilisation.

ABSTRACT

Numerical study and de-icing optimization of a at horizontal surface with heating wires

In Nordic countries, roads, roofs, locks, etc. are likely to be cover with ice. It could cause security issues for users and blockages of these systems. The removal of this ice layer seems to be necessary. Heating wires is one of the solutions to remove that ice. The purpose of this project is to better understand this kind of de-icing. An analytical/numeric study will be used to optimize this process in order to decrease energetic cost and melting time. In this way, some technical recommandations are suggested to have the most ecient de-icing method depending on operating conditions.

TABLE DES MATIÈRES

1 INTRODUCTION 1

2 ÉTAT DE L'ART 5

2.1 Les méthodes de déglaçage . . . 5

2.2 L'utilisation d'air chaud . . . 6

2.3 L'utilisation de rayonnements infrarouges . . . 7

2.4 La fusion de matériaux encapsulés . . . 8

2.5 Le déglaçage par ls chauants . . . 9

3 DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 13 3.1 Description géométrique et hypothèses de travail . . . 13

3.2 Mise en équation du problème . . . 15

3.2.1 Bilan d'énergie dans la plaque . . . 16

3.2.2 Fusion de la glace . . . 18

3.2.3 Système décrivant la fusion de la couche de glace . . . 24

4 METHODE DE RESOLUTION 25 4.1 Résolution de l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque . . . 25

4.1.1 Utilisation de la méthode des volumes de contrôle . . . 25

4.2 Résolution des équations liées à la fusion . . . 30

5 VALIDATION DU MODÈLE 33 5.1 Validation de la résolution de l'équation de diusion de chaleur dans la plaque 33 5.1.1 Validation du bilan énergétique . . . 33

5.1.2 Validation du régime permanent . . . 34

5.2 Validation de la fusion par contact direct . . . 36

5.2.1 Cas analytique : température de plaque uniforme dans l'espace et constante par rapport au temps . . . 36

5.3 Validation du modèle complet . . . 38

5.4 Conclusion de la méthode numérique . . . 40

6 ANALYSE ET RÉSULTATS 43 6.1 Analyse de la diusion de la chaleur dans une plaque non recouverte de glace 43 6.1.1 Évolution temporelle de la température dans la plaque . . . 44

6.1.2 Gradient de température en régime permanent . . . 45

6.1.3 Conclusions . . . 45

6.2 Analyse de la fusion d'une couche de glace . . . 46

6.2.1 Cas d'étude général . . . 46

6.2.2 Étude comparative des matériaux constituant la plaque . . . 47

6.2.3 Optimisation de la fusion de la couche de glace . . . 49

7 CONCLUSION 55

viii TABLE DES MATIÈRES

A Bilan d'énergie pour la plaque 57

B Détermination du coecient de convection moyen 59

LISTE DES FIGURES

1.1 Voitures recouvertes d'une épaisse couche de glace . . . 1

1.2 Entrée de garage déglacée par l'intermédiaire de ls chauants . . . 2

2.1 Schéma de la fusion d'une couche de glace avec de l'air chaud . . . 6

2.2 Mécanisme de fusion par rayonnements infrarouges . . . 7

2.3 Fusion d'un matériau encapsulé : à gauche, chaué en haut et en bas avec une température uniforme, à droite, chaué en bas avec deux températures diérentes . . . 8

2.4 Bilan des diérents échanges thermiques . . . 9

2.5 Schéma de l'expérience réalisée par H. Zhao [14] et Y.Liu [8] . . . 10

3.1 Schéma général du problème . . . 13

3.2 Schéma du problème symétrisé . . . 15

3.3 Fusion par contact direct . . . 16

3.4 Schéma explicatif de la fusion de la couche de glace . . . 18

3.5 Schéma du bilan à l'interface eau/glace . . . 23

4.1 Zoom sur 3 volumes pour la discrétisation de l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque. . . 25

4.2 Les 3 états possibles de la surface de la plaque . . . 27

4.3 Volume de contrôle pour le premier n÷ud . . . 28

4.4 Volume de contrôle pour le n÷ud M − 1 . . . 29

4.5 Schéma algorithmique pour la résolution de la fusion . . . 32

5.1 Bilan de puissance de la plaque en fonction du temps . . . 34

5.2 Comparaison des gradients de température au sein de la plaque entre la solution numérique et analytique en régime permanent . . . 35

5.3 Comparaison de l'épaisseur de glace S en fonction du temps entre la solution analytique et numérique lorsque Tp est uniforme et constante . . . 38

5.4 Inuence du nombre de n÷uds sur la précision . . . 40

6.1 Évolution de la température de la plaque en x = l/2 pour diérents αp . . 44

6.2 Évolution de le température dans la plaque en fonction du matériau . . . . 46

6.3 Évolution de l'épaisseur de glace à diérentes abscisses en fonction du temps 47 6.4 Évolution de la température de la plaque à diérentes abscisses en fonction du temps . . . 48

6.5 Temps de fusion et énergie fournie en fonction de αp . . . 49

6.6 Énergie totale dissipée dans le système en fonction du demi-espacement pour diérents matériaux . . . 50

6.7 Zoom sur l'énergie totale dissipée dans le système en fonction du demi-espacement pour αp ≥ 4, 82.10−5m2/s . . . 51

6.8 Temps de fusion en fonction du demi-espacement pour diérents matériaux 52 ix

x LISTE DES FIGURES

6.9 Demi-espacement optimal en fonction de la diusivité du matériau . . . 53

A.1 Schéma pour le bilan énergétique de la plaque . . . 57

A.2 Schéma du volume de contrôle 1 . . . 57

LISTE DES TABLEAUX

2.1 Conditions expérimentales des études de H.Zhao [14] et Y.Liu [8] . . . 10

2.2 Résultats des expériences de H.Zhao [14] et Y.Liu [8] . . . 10

3.1 Propriétés de l'eau . . . 14

3.2 Propriétés de la glace . . . 14

3.3 Récapitulatif de la mise en équation du problème . . . 24

5.1 Paramètres de la simulation . . . 33

5.2 Bilan énergétique de la plaque . . . 34

5.3 Propriétés de la simulation du cas de base . . . 37

5.4 Constantes du système . . . 39

6.1 Propriétés des simulations de la plaque dans l'air . . . 43

6.2 Propriétés des matériaux étudiés . . . 44

6.3 Propriétés des simulations de la plaque recouverte de glace . . . 48

LISTE DES SYMBOLES

Symbole Dénition

t Variable temporelle

λg Chaleur latente de fusion de la glace

ρg Masse volumique de la glace

H Épaisseur initiale de glace

L Longueur de la plaque

e Épaisseur de la plaque

W Largeur de la plaque

l Demi-espacement entre deux sources kp Conductivité thermique de la plaque

ρp Masse volumique de la plaque

Cp Capacité thermique massique de la plaque

αp Diusivité thermique de la plaque

Tp Température de la plaque

Tg Température de la glace

Tini Température de la plaque à l'instant initial

q0 Puissance dissipée par un l

ke Conductivité thermique de l'eau

ρe Masse volumique de l'eau

Ce Capacité thermique massique de l'eau

αe Diusivité thermique de l'eau

µe Viscosité dynamique de l'eau

νe Viscosité cinématique de l'eau

¯

hmoy Coecient de convection moyen dans l'air

Text Température de l'air extérieur

xg Abscisse où l'épaisseur de glace est nulle

LISTE DES ACRONYMES

Acronyme Dénition

CFHW Carbon ber heating wire MWCNT Multiwall carbon nano tube

FVM Finite volume method

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Toutes les structures placées en extérieur ne sont jamais soumises à des environnements idéaux. Dans certains cas, elles sont susceptibles d'être exposées à de basses températures comme dans les pays nordiques. C'est alors qu'une couche de glace peut se former à leurs surfaces si toutes les conditions sont réunies. Prenons l'exemple des quais, des écluses ou encore des véhicules (voir gure 1.11_{) qui peuvent se couvrir de glace lors des périodes de}

grand froid. Dans la plupart des cas, cette couche de glace est indésirable car elle peut cau-ser des interruptions d'utilisation ou même des dysfonctionnements des systèmes touchés. Il peut aussi y avoir un risque de sécurité. Par exemple, la glace qui s'accumule sur une toiture en hiver peut la fragiliser ou encore le givre sur la route qui rend la conduite dan-gereuse. Il est donc nécessaire de retirer ces couches de glace. Bien évidemment, tous les

Figure 1.1 Voitures recouvertes d'une épaisse couche de glace

systèmes ne sont pas aectés de la même manière par la glace. Prenons le cas de surfaces planes et horizontales. Il existe diérentes méthodes pour retirer cette couche de glace. Sur les surfaces en béton, on a très souvent recourt au sel. Peu cher et facile à utiliser, il cause malgré tout d'énormes dommages aux entrées de garage, préaux, trottoirs et aux carrosseries de véhicules. En plus d'être nocif, il faut de la main-d'÷uvre pour le répandre sur le sol à dégeler. Pour éviter les désavantages conséquents de ce genre de solutions,

1. Source : https ://commons.wikimedia.org par Santiago Puig Vilado

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION l'énergie thermique est une alternative intéressante. On peut diuser un ux d'air chaud sur la surface supérieure de la glace. Cette méthode n'est pas la plus employée et dépend principalement du cas de gure. C'est pour cela que le présent projet s'intéresse à une méthode de déglaçage déjà utilisée : la fusion de glace par l'intermédiaire de ls chauf-fants ns posés sur la surface. En eet, ce type de ls est disponible dans le commerce. Ils peuvent être disposés sur des places de parking, sur des voies piétonnes ou encore des escaliers (voir gure 1.22_{). Cette méthode consiste à répartir uniformément des ls}

chauf-fants sur une surface an de faire fondre la glace qui se trouve au-dessus. Ces ls dissipent une puissance par unité de longueur située entre 5 W/m et 30 W/m.

Figure 1.2 Entrée de garage déglacée par l'intermédiaire de ls chauants

De nos jours, les enjeux environnementaux sont très importants. C'est pourquoi les éco-nomies d'énergie sont vitales. L'idée est alors d'optimiser cette méthode de déglaçage. On veut que la fusion de la couche de glace se fasse avec le moins d'énergie possible dans des conditions imposées. En eet, en prenant en compte l'épaisseur de glace, le matériau de la surface et les dimensions, on va chercher s'il est possible de minimiser l'énergie utilisée. Le seul paramètre dont on a le contrôle est alors l'espacement entre chaque l. Finalement, l'optimisation consiste à trouver une répartition des ls chauants permettant de minimi-ser l'énergie totale demandée au cours de l'opération de déglaçage. D'un autre côté, si le processus de fusion est moins énergivore, cela permet aussi des économies nancières pour le particulier. Ainsi l'optimisation de cette méthode de déglaçage est primordiale surtout dans les régions très souvent frappées par la glace.

2. Source : https ://www.warmquest.com/radiant-heat-applications/snow-melting/heating-existing-surfaces

3 Les questions soulevées sont alors les suivantes : Quels sont les phénomènes de transferts présents dans le déglaçage d'une plaque plane horizontale recouverte de ls chauants ? Comment évolue la couche de glace au cours de la fusion ? Existe-t-il une répartition pour les ls minimisant l'énergie nécessaire pour déglacer entièrement la plaque ? Si oui, quelle est l'inuence des contraintes sur la répartition ? Finalement après avoir répondu à ces questions, ce système de déglaçage sera mieux compris dans l'optique de diminuer la consommation énergétique et de remplacer certains moyens plus contraignants.

Dans la prochaine partie, un résumé des diérents travaux déjà réalisés sur le sujet est exposé. Puis, la description et la mise en équation du problème sont présentées. Il convien-dra alors d'expliquer la méthode de résolution. Pour terminer, une analyse des résultats du problème aboutissant à des recommandations est réalisée.

CHAPITRE 2

ÉTAT DE L'ART

2.1 Les méthodes de déglaçage

Tout d'abord, introduisons les diérents types de déglaçage avec un exemple d'application : les éoliennes. O. Parent [9] décrit les diérentes solutions existantes pour retirer la glace des pales d'une éolienne. La critique passe en revue les moyens de détection de la glace ainsi que les solutions technologiques pour la retirer (de-icing) ou empêcher son apparition (anti-icing). Dans chacun de ces deux cas, il existe des systèmes passifs et actifs. Les solutions passives impliquent une modication des propriétés du matériau qui compose la surface concernée. On s'intéressera en particulier aux solutions actives de déglaçage (de-icing). Cela prend la forme d'énergie provenant de l'extérieur du système qui est transmise aux pales. Cela peut être de l'énergie thermique ou mécanique. La principale méthode est celle des résistances électriques implantées à l'intérieur des pales. Après un certain temps, un lm d'eau est créé entre la glace et la pale. Par l'eet de la force centrifuge, la glace est expulsée. Elle est très ecace énergétiquement car elle repose sur du contact direct i.e. la glace repose directement sur la surface chauée. Cependant, ces systèmes ne sont pas encore produits en très grandes quantités. Ce phénomène repose donc sur la conduction de la chaleur dans la pale. Une méthode utilisant la convection forcée consiste à diuser de l'air chaud dans les pales du rotor. La chaleur diusée dans la pale est conduite jusqu'à la surface où la glace s'est formée. Une nouvelle fois, un lm d'eau est créé et la glace se décrochera à l'aide de la force centrifuge. Cette solution a le désavantage d'être très énergivore lorsque les températures sont basses. Les méthodes actives peuvent aussi être utilisées avec de l'énergie mécanique. Par exemple, on peut augmenter la surface sur laquelle repose la glace. Ceci peut se faire en gonant une chambre remplie d'air. Une fois que la glace aura brisé, elle tombera par l'eet des forces extérieures. Dans le cas des éoliennes, ce système pourrait engendrer plus de trainée donc diminuer son rendement. Il est important de remarquer que les méthodes "anti-icing" devront être utilisées en parallèle avec des méthodes actives de "de-icing". Cela garantira une ecacité optimale pour faire disparaître la glace. On peut convenir que l'étude du projet présenté est alors viable. En eet, l'utilisation des transferts thermiques est relativement avantageuse par rapport à d'autres. La principale justication est l'obtention d'une solution pour le "de-icing" et le

6 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART "anti-icing" en même temps. De plus, le prol géométrique de la surface n'est pas modié donc il n'y a pas de perturbations lors du fonctionnement du système.

Il convient de rentrer dans les détails concernant les méthodes de déglaçage utilisant des transferts de chaleur. Deux méthodes de transferts thermiques ont été introduites précé-demment : la conduction et la convection. Il en existe une autre qui est le rayonnement. Par l'intermédiaire de ces trois transferts, il est possible de retirer une couche de glace se trouvant sur une paroi.

2.2 L'utilisation d'air chaud

Les recherches dans le domaine de la convection ont été alimentées par de nombreux articles de Ho et al [1], [2], [3], [4], [12]. Ces articles traitent, à eux tous, la globalité de la théorie de la fusion de glace par convection d'air. Les études portent sur le moyen de refroidir un ux d'air passant au-dessus d'une couche d'eau gelée (voir gure 2.1). Fondre une couche de glace n'est alors pas le but premier mais ces études permettent de mieux comprendre le mécanisme. Plusieurs cas de gure sont traités du plus simple au plus développé. À chaque fois, la méthode de résolution reste la même (integral boundary layer approximation). L'idée est de savoir comment évolue la température de l'air en fonction de sa vitesse, du temps, de la position sur la plaque, de la température de la glace et des dimensions du système. La température de l'air à la sortie est principalement inuencée par sa vitesse. En eet, si sa vitesse est faible, les échanges convectifs auront le temps de se réaliser le long de la plaque. Un autre paramètre joue un rôle important : la couche d'eau liquide formée au-dessus de la glace après sa fusion. Elle vient créer une isolation supplémentaire. Cela va réduire les échanges thermiques entre l'air et la glace. Il faut alors qu'elle disparaisse pour éviter ce problème. An de mieux refroidir de l'air, il faut que sa vitesse soit faible et que la glace soit la plus froide possible. Adaptons maintenant ces

2.3. L'UTILISATION DE RAYONNEMENTS INFRAROUGES 7 études à la fusion d'une couche de glace. Pour la faire fondre le plus rapidement possible, il faut que l'air ait une vitesse importante et que sa température soit élevée. Évidemment tout cela a un coût énergétique qui est relativement important. Il faut faire chauer au préalable de l'air ce qui induit une première dépense d'énergie. Ensuite, l'air chaué va aussi échanger de la chaleur avec le reste de l'environnement et pas seulement avec la couche de glace. Cette méthode peut être intéressante si la surface de contact ne peut pas être modiée.

2.3 L'utilisation de rayonnements infrarouges

Il existe un autre moyen de déglacer des structures. Il consiste en l'utilisation de rayons infrarouges. Cette méthode sera décrite juste à but informatif ainsi la liste des moyens de déglaçage sera la plus complète possible. Il se base sur le transfert de chaleur qui est le rayonnement. G. Koening [6] et T. Xie [10] ont étudié l'utilisation de ces rayons pour fondre une couche de glace. Tout d'abord, cette technique est plutôt récente donc elle n'est pas encore totalement maitrisée. Elle est le plus souvent utilisée dans le domaine de l'aviation. En eet, elle commence à remplacer les uides de déglaçage qui sont onéreux et polluants malgré leur grande ecacité. Le mécanisme repose sur le rayonnement absorbé par la glace (voir gure 2.2). Il s'avère que c'est dans un intervalle de 3 µm à 12 µm que la glace absorbe le mieux le rayonnement. Les expériences menées ont montré que plus la température augmentait plus la vitesse de fusion était grande. G.Koenig a proposé une expérience avec une plaque de glace horizontale contrairement à T. Xie. Cette diérence fait que l'eau reste sur le dessus pour Koening, ce qui va ralentir le processus de fusion. On remarque alors que ce phénomène d'eau stagnante reste un problème, peu importe le transfert de chaleur utilisé. T. Xie va légèrement plus loin en étudiant l'ecacité énergétique de cette méthode. Elle est dénie comme le rapport de l'énergie nécessaire pour faire fondre la glace

8 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART sur l'énergie électrique totale utilisée. Elle varie très peu en fonction de la température de la source et a été calculée à 0.5. Cette méthode a un grand potentiel mais peut être dommageable pour les matériaux s'ils y sont exposés trop longtemps.

2.4 La fusion de matériaux encapsulés

Certaines recherches se sont intéressées à la fusion d'un matériau encapsulé. Par exemple, le problème de fusion d'un matériau à changement de phase chaué par le dessus [5] et le problème de fusion à la fois par le dessus et le dessous [7] ont été traités. R. Kahraman étudie la fusion lorsque la surface supérieure est soumise à deux températures diérentes (voir gure 2.3). Ceci implique que de la convection naturelle entre en jeu. Le front de fusion avance ainsi plus rapidement qu'avec uniquement la conduction car il y a la convection naturelle qui s'ajoute. M. Lacroix [7], quant à lui, a négligé la convection dans la fusion du dessus car le matériau est soumis à une température uniforme. Il a été remarqué que c'est la fusion par contact direct (en bas) qui est prépondérante. Ceci est dû à la présence d'un mince lm de liquide qui est expulsé par le poids du solide. Donc la couche de liquide située en bas est plus ne que celle du haut. Aussi, certains paramètres jouent un rôle important dans la vitesse de fusion. La température de contact est un paramètre très important comme cela pouvait être prévu. Mais les dimensions du bloc ne sont pas à négliger. Ces dernières vont venir impacter l'évacuation du lm de liquide du dessous. Cela va donc ralentir ou accélérer le processus de fusion. Avec ces deux recherches, il faut être conscient que des phénomènes convectifs ne sont pas totalement négligeables si la température supérieure n'est pas uniforme. Dans ces deux articles, aucune notion d'énergie n'a été mentionnée. On ne connait pas la quantité d'énergie qui a été nécessaire pour faire fondre entièrement le volume de matière. Avec de la glace, si sa température initiale est inférieure à sa température de fusion alors, il faut de l'énergie pour qu'elle atteigne

Figure 2.3 Fusion d'un matériau encapsulé : à gauche, chaué en haut et en bas avec une température uniforme, à droite, chaué en bas avec deux températures diérentes

2.5. LE DÉGLAÇAGE PAR FILS CHAUFFANTS 9 sa température de fusion, puis de l'énergie pour la faire changer d'état. Donc l'énergie nécessaire sera forcément supérieure à mglaceλg qui correspond à l'énergie nécessaire pour

fondre une masse mglace de chaleur latente de fusion λg à sa température de fusion .

2.5 Le déglaçage par ls chauants

Abordons maintenant le sujet se rapprochant le mieux du projet présenté. Dans le génie civil, comme dans la construction de routes et de ponts, la formation de glace est un problème majeur. Elle cause de l'insécurité tant pour les conducteurs que pour les piétons. Le déglaçage actuel provoque aussi la dégradation de la chaussée à cause de l'agressivité du sel envers les sols en béton. C'est pourquoi de nouvelles méthodes sont développées comme l'utilisation de chaleur. On peut insérer des ls à l'intérieur même de la route. Un grand nombre d'échanges thermiques intervient sur la surface d'une route glacée. L'ensemble de ces échanges sont schématisés dans la gure 2.4 à partir de l'étude Y. Tu et al [11] :

 chaleur sensible (qs)

 chaleur latente de fusion (qm)

 convection (qconvec, forcée ou naturelle dépendant de la vitesse du vent)

 radiation (qrad, énergie perdue dans l'air)

 conduction (qconduc, dissipée par les tubes chauants)

 puissance fournie par les ls (q0)

Ainsi dans l'étude menée par Y. Tu, l'ensemble des tubes doit dissiper un minimum de 120 W/m2pour que la température à la surface soit supérieure à 0◦Csous une température extérieure de −3◦

C ainsi que sous d'autres conditions climatiques variables. Cette valeur sera une indication pour la suite du projet. On remarque aussi que les pertes de chaleur dues aux échanges radiatifs sont négligeables par rapport aux autres.

10 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART D'autres recherches ont été menées pour savoir comment répartir les sources de chaleur. C'est ce que Hongming Zhao et al ont fait [14]. Le groupe s'est intéressé à déterminer l'espace minimum qu'il devait y avoir entre deux ls chauants intégrés dans du béton pour la construction de chaussée. Les ls chauants utilisés sont des CFHW (Carbon Fi-ber Heating Wires) qui allient robustesse mécanique et bonne ecacité thermique grâce au carbone. Ainsi la condition à respecter sur la surface est que la diérence de tempé-rature entre deux ls devait être supérieure à 3 ◦_{C. Avec la puissance maximale pouvant}

être dissipée par les ls et une température extérieure de −25 ◦_{C, l'espacement minimal}

correspondant est de 100 mm. A partir de ces données, ils ont réalisé les expériences correspondantes (voir gure 2.5).

Figure 2.5 Schéma de l'expérience réalisée par H. Zhao [14] et Y.Liu [8]

Elles ont été menées sous plusieurs conditions météorologiques faisant ainsi varier la quan-tité de neige sur le béton. Y. Liu [8] a fait des expériences similaires avec du béton servant pour faire des pistes d'atterrissage sous d'autres conditions climatiques. Les données ex-périmentales se trouvent dans le tableau 2.1.

D (mm) eneige max (mm) hf ils (mm) kb (W/mK) Tmin(◦C) L × l × H (cm3)

Route 100 7 40 0, 86 −9, 1 100 × 200 × 25

Piste 100 11 50 N/C −4 500 × 500 × 40

Tableau 2.1 Conditions expérimentales des études de H.Zhao [14] et Y.Liu [8] Les résultats (présentés dans le tableau 2.2) sont assez cohérents. En eet, il a fallu une plus grande puissance dans le cas du béton de la route que celui de la piste d'atterrissage.

tmax (heures) Pdissipee (W/m2)

Route 5 [300 ; 800]

Piste 4 [200 ; 400]

2.5. LE DÉGLAÇAGE PAR FILS CHAUFFANTS 11 Cela s'explique par le fait que la température de l'air extérieur était plus basse. De plus il est possible que la conductivité thermique du béton de la piste soit légèrement supérieure car il est composé d'un mélange de diérents matériaux. L'article de Y. Liu va légèrement plus en détails que le précédent car il aborde la consommation d'énergie d'un tel système. On remarque que la plupart de l'énergie est dissipée dans le béton. Les quantités d'énergie pour réchauer la neige ainsi que pour la faire fondre sont très petites à côté de ce qui est perdue dans le béton. Il y a environ 3 fois plus d'énergie dissipée dans le béton que dans la neige. Ainsi on remarque qu'il est important de savoir où se dissipe l'énergie an de mieux en maîtriser la consommation. Aucune idée d'optimisation n'a été émise dans ces articles et c'est ce qui va être pallié grâce au projet actuel. De plus, l'espacement minimum qui a été trouvé reste un cas particulier. On ne connait pas l'espacement qu'on devrait imposer pour un autre type de matériau, lorsqu'il y a de la glace et non plus de la neige ou lorsqu'on dépose les ls sur la surface.

Un des problèmes récurrents dans le chauage de ce type d'infrastructure est la conducti-vité thermique du béton. Elle oscille autour de 1 − 2 W/mK ce qui est 50 fois moins que l'acier (≈ 50 W/mK). Cette faible conductivité empêche une bonne diusion de la chaleur donc une mauvaise ecacité énergétique. Pour pallier à cette lacune, le béton peut être dopé par des matériaux plus conducteurs. Il existe plusieurs variantes de ce dopage, une d'entre elles est présentée par Q. Zhang [13]. Le MWCNT (Multiwall Carbon Nano Tube) est un matériau qui se lie très bien avec du ciment traditionnel. Il possède une conducti-vité thermique d'environ 6000 W/mK. En mélangeant les deux avec 3 % de MWCNT en masse, la conductivité thermique du béton passe de 1, 58 W/mK à 2, 83 W/mK. Il sera alors intéressant d'observer les répercussions de la conductivité thermique du matériau dans le modèle qui sera créé.

Plusieurs méthodes de déglaçage existent et chacune possède ses particularités. Cependant, la littérature ne permet pas de décrire complètement le phénomène de déglaçage par ls chauants. La majorité des recherches s'est concentrée sur des ls chauants embarqués à l'intérieur de la surface. Le présent projet vise à étudier le problème lorsqu'on dépose des ls sur la surface. De plus, on a aaire à des études expérimentales ou numériques qui ne traitent que du béton. Aucune information n'est recueillie par rapport à l'utilisa-tion d'autres matériaux. Il parait donc intéressant de développer ce sujet et de l'appliquer sur diérents types de surface. De plus, la volonté d'optimiser est très rare dans la litté-rature présentée. Elle apparaît dans l'article de Hongming Zhao et al [14] en cherchant un espacement minimum des ls pour obtenir une température voulue. Pour autant, cet aspect d'optimisation n'est pas plus creusé. Le projet présenté dans ce mémoire a pour

12 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART objectif d'étoer ce domaine de recherche. Le sujet est original et il incorpore la notion d'optimisation énergétique qui prend son sens dans le contexte écologique et économique actuel.

CHAPITRE 3

DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU

PROBLÈME

An de répondre aux questions de recherche qui ont été posées dans l'introduction, il faut procéder par étapes. Tout d'abord, il faut décrire géométriquement le problème. Puis, les hypothèses de travail doivent être mises en évidence. En combinant ces deux étapes, on pourra nalement écrire les équations qui régissent la fusion d'une couche de glace recouvrant une surface munie de ls chauants.

3.1 Description géométrique et hypothèses de travail

Commençons tout d'abord par modéliser le problème dans son ensemble. On suppose qu'une couche de glace, d'épaisseur H à la température Tg = 0 ◦C, s'est déposée sur une

plaque d'une longueur L et d'une largeur W grandes devant son épaisseur e. Sur la surface de cette plaque sont disposés des ls chauants répartis sur toute la longueur L (voir gure 3.1).

Figure 3.1 Schéma général du problème

Dénissons maintenant l'ensemble des hypothèses réalisées pour mener ce projet : 13

14 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME

•

Les ls chauants sont uniformément espacés sur la plaque. Ils sont séparés d'une longueur 2l et ils sont supposés linéiques. Les ls sont allumés à l'instant t = 0 s. Ils dissipent une puissance constante (q0). La plaque possède un ensemble de propriétés

kp, Cpet ρpqui sont respectivement la conductivité thermique, la chaleur massique et

la densité du matériau qui la compose. Les propriétés de l'eau et de la glace utilisées dans tout le problème sont supposées constantes et sont données respectivement par les tableaux 3.1 et 3.2.

Masse volumique Conductivité thermique Viscosité dynamique Eau ρe = 1000 kg/m3 ke= 0, 6 W/mK µe = 1.10−3 P a.s

Tableau 3.1 Propriétés de l'eau

Masse volumique Chaleur latente de fusion Température Glace ρg = 920 kg/m3 λg = 333.103 J/kg Tg = 273 K

Tableau 3.2 Propriétés de la glace

•

Étant donné que l'épaisseur de la plaque est faible, on considère que la conduction se fait uniquement selon la direction x. Ainsi on pourra considérer que la puissance q0 aux abscisses est la même dans toute l'épaisseur de la plaque (la température de

la plaque est uniforme selon y et z).

•

Comme la plaque est supposée très grande par rapport aux autres dimensions, on peut étudier uniquement la partie entre deux ls. Et par symétrie, on peut restreindre l'étude à la moitié de la partie située entre deux sources (voir gure 3.2).

•

On considère que la plaque est isolée à sa base. Ceci empêche donc des pertes de chaleur vers le bas et on conserve ainsi un modèle 1D pour la diusion de la chaleur le long de la plaque. On peut justier cette hypothèse d'un point de vue pratique. Par exemple, un toit en tôle aura une couche d'isolant sur le dessous. De cette manière, la chaleur n'est diusée que dans la toiture.

•

Pour utiliser le modèle mathématique qui va suivre (fusion par contact direct), il faut supposer qu'il n'y a pas de glace aux abscisses où se trouvent les ls. Cette approximation est nécessaire du fait des conditions aux limites pour le champ de pression en dessous de la couche de glace. Dans ce cas, il existe un mince lm d'eau entre la glace et la plaque (gure 3.3). On considère que l'épaisseur δ de ce lm d'eau ne va dépendre que du temps. Cette approximation est réaliste car la couche de glace repose sur l'eau qui est donc expulsée de chaque côté au fur et à mesure que le temps s'écoule.

3.2. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 15

Figure 3.2 Schéma du problème symétrisé

•

Le transfert de chaleur privilégié dans l'ensemble du problème de fusion est la conduc-tion. Les mouvements convectifs qui ont lieu dans le mince lm d'eau sont négligés car sa dimension est très faible et par conséquent la chaleur est majoritairement transmise par conduction.

•

On remarque que l'extrémité gauche de la couche de glace (où se trouve le l chauf-fant) tend à fondre plus rapidement. Ceci va impliquer que la plaque va se retrouver de plus en plus exposée à l'air libre. On nommera xg l'abscisse à laquelle l'épaisseur

de glace est nulle (voir gure 3.3). La chaleur produite par les ls va donc servir à faire fondre la glace mais aussi réchauer l'air ambiant. On considèrera un coecient de convection moyen ¯hmoy correspondant à de la convection naturelle dans l'air avec

une température extérieure Text = 0 ◦C (détermination de sa valeur en annexe B).

•

On suppose alors que l'épaisseur de glace S dépend du temps et de l'espace (voir gure 3.3).

Avec l'ensemble des hypothèses énoncées précédemment, il est possible de passer à l'étape suivante qui est la mise en équation.

3.2 Mise en équation du problème

A partir de maintenant, on dispose de toutes les informations nécessaires pour décrire le problème de fusion à l'aide d'équations. Les hypothèses énoncées précédemment vont nous permettre d'écrire et de simplier ces équations an de les résoudre. Pour arriver aux

16 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME

Figure 3.3 Fusion par contact direct

équations qui nous seront utiles, on va utiliser des bilans d'énergie ainsi que des bilans macroscopiques dans les zones pertinentes.

3.2.1 Bilan d'énergie dans la plaque

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à la diusion de la chaleur dans la plaque. L'état de la surface supérieure de cette dernière évolue au cours du temps. Au départ, elle est recouverte exclusivement de glace. Au fur et à mesure que la glace fond, elle se retrouve de plus en plus exposée à l'air ambiant. A la n, la plaque est dépourvue de glace et elle est complètement à l'air libre. On va donc chercher à savoir comment évolue la température à l'intérieur de la plaque (Tp) en fonction du temps (t), de l'espace (x) et

d'autres variables du problème. Par l'intermédiaire de deux bilans énergétiques explicités en annexe A, on obtient deux équations 3.1 et 3.2 qui permettent de relier la température de la plaque avec les autres paramètres du problème.

Pour x ∈ [0 ; xg], la chaleur est transmise dans l'air :

∂2_T p ∂x2 − ¯ hmoy kpe (Tp− Text) = 1 αp ∂Tp ∂t (3.1)

Et pour x ∈ [xg ; l], la chaleur est transmise à la couche de glace à travers le lm liquide

(voir gure 3.3) : ∂2Tp ∂x2 − ke kpeδ (Tp− Tm) = 1 αp ∂Tp ∂t (3.2)

3.2. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 17 Les deux équations sont presque identiques seulement c'est le coecient devant Tp et le

coecient constant qui ne sont pas les mêmes. En eet, entre 0 et xg, la plaque est à

l'air libre donc la chaleur est transmise dans l'air d'où la présence de ¯hmoy et de Text,

représentant la convection. Entre xg et l, la chaleur est transmise par conduction à la

couche de glace d'une température Tm à travers le lm d'eau d'une épaisseur δ et de

conductivité thermique ke. Dans le cas particulier de notre problème, la température de la

glace et la température de l'air ambiant sont égales (Text= Tm). On peut alors regrouper

ces deux équations en une seule. En prenant le degré Celsius comme unité, on a :

∂2_T p ∂x2 − ¯ heq(x, t) kpe Tp = 1 αp ∂Tp ∂t (3.3)

On fait apparaître un coecient de convection équivalent ¯heq(x, t) qui vaut ¯hmoy entre 0

et xg et ke/δ entre xg et l. Dans cette équation, la dérivée seconde de la température par

rapport à l'espace correspond à la diusion de la chaleur le long de la plaque, le terme qui n'est pas dérivé correspond à la transmission de la chaleur soit dans l'air soit dans le lm d'eau et la dérivée de la température par rapport au temps correspond au stockage de chaleur à l'intérieur de la plaque. La diusivité thermique de la plaque apparaît, on la note αp, qui vaut kp/ρpCp.

Pour compléter cette équation, il faut deux conditions aux limites dans l'espace et une condition initiale dans le temps. On impose que les ls dissipent une puissance linéique valant q0

0. Cela se traduit avec la loi de Fourier en x = 0 donnant la première condition

aux limites : _ −kpe ∂Tp ∂x  x=0,t = q₀0 (W/m) (3.4)

La seconde est donnée par la condition de symétrie :  ∂Tp

∂x 

x=l

= 0 (3.5)

Enn la condition initiale est posée de la manière suivante :

18 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Il y a donc deux conditions aux limites et une condition initiale ce qui est susant pour la résolution de l'équation de la diusion de la chaleur dans la plaque 3.3. Ceci conclut donc le bilan énergétique dans la plaque.

3.2.2 Fusion de la glace

Figure 3.4 Schéma explicatif de la fusion de la couche de glace

Durant tout le processus de fusion, il existe un inme lm d'eau se situant entre la plaque et la couche de glace (voir gure 3.4). Pour ce problème, on a supposé que ce lm a une épaisseur δ variant par rapport au temps (énoncé dans les hypothèses de travail). On a aussi supposé que c'est par l'intermédiaire de la conduction dans ce lm que la chaleur de la plaque est transmise à la couche de glace. Il y a alors un gradient de température ver-tical qui va de Tp à la surface de la plaque à Tm au niveau de la glace. Le lm se retrouve

expulsé à chaque extrémité à cause de la pression exercée par le poids de la couche de glace. Avec ces explications, on remarque que le lm d'eau est un élément central dans la fusion. C'est pourquoi nous allons l'étudier an de relier l'ensemble des variables qui nous intéresse.

Dans la suite, on utilise le volume de contrôle constitué du mince lm d'eau. Étant donné que W >> H et W >> 2l, on considère que la fusion est bidimensionnelle. Donc le pro-blème est posé dans un repère cartésien en deux dimensions dans le plan (x, y) (voir le repère posé dans la gure 3.1), toutes les variables sont indépendantes de z. On suppose que la densité de l'eau est constante ρe(écoulement incompressible) ainsi que sa

conducti-vité ke, sa chaleur massique Ce et sa viscosité dynamique µe. On note le vecteur vitesse de

l'eau ~V = u v

!

avec u la composante de la vitesse de l'eau selon x et v la composante de la vitesse de l'eau selon y. Ceci permet d'écrire l'équation de continuité dans le lm d'eau qui traduit la conservation de la masse :

∂u ∂x +

∂v

3.2. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 19 A partir de l'équation obtenue, on peut étudier les ordres de grandeur an d'en savoir plus sur les variables :

U 2l +

v

δ ≈ 0 (3.8)

⇒ v << U (3.9)

On en déduit donc que la composante horizontale de la vitesse U est prépondérante par rapport à la vitesse verticale v. C'est un résultat cohérent car l'eau est expulsée par le poids de la couche de glace le long de la plaque. L'équation 3.7 nous sera utile dans la suite du raisonnement.

Comme il a été exposé auparavant, la plaque transmet de la chaleur à la couche de glace à travers le lm d'eau. On peut traduire ce transfert de chaleur à l'aide de l'équation de conservation de l'énergie interne suivante :

ρeCe  u∂Te ∂x + v ∂Te ∂y  = ke  ∂2_T e ∂x2 + ∂2_T e ∂y2  + µeΦ (3.10)

Cette équation permet de décrire la température dans le mince lm d'eau Te. Le terme de

gauche représente le transfert par convection, le terme à droite du signe égal représente le transfert par conduction et enn µeΦ représente le transfert de chaleur par dissipation

visqueuse. Cela correspond à l'énergie cinétique transformée en énergie thermique à cause des frottements du uide. Ce terme s'écrit dans le repère actuel :

Φ = 2  ∂u ∂x 2 + ∂v ∂y 2! + ∂u ∂y + ∂v ∂x 2 (3.11) En utilisant les résultats trouvés à partir de l'équation de continuité et en utilisant à nouveau les ordres de grandeur, on peut écrire l'équation 3.10 de la manière suivante :

U Tp 2l ≈ αeTp δ2 + µeU2 ρeCeδ2 (3.12) Le terme de gauche correspond à l'ordre de grandeur de la convection. Le terme à droite du signe égal correspond à l'ordre de grandeur de la conduction. On y retrouve αe qui

20 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME dissipation thermique. On peut alors négliger le terme de convection devant le terme de conduction si :  δ 2l 2 U 2l αe << 1 (3.13)

En remplaçant par les valeurs numériques suivantes : δ ≈ 10−4 _{m, 2l ≈ 10}−2 _{m, α}

e ≈ 10−7 m2/s et U ≈ 10−2 m/s, on obtient :  10−4 10−2 2 10−210−2 10−7 = 10 −3 << 1 (3.14)

En conclusion, la convection à l'intérieur du lm d'eau est négligeable par rapport au terme de conduction. On applique le même raisonnement pour comparer la dissipation visqueuse à la conduction. Ce qui donne :

µeU2

keTp

<< 1 (3.15)

Pour ce calcul, on va prendre le cas limite qui est lorsque la température de plaque est la plus faible. Ainsi le rapport de l'équation 3.15 sera maximum. La température minimum de la plaque au cours de la fusion est de 273 K. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient :

10−3(10−2)2 0, 6 273 ≈ 10

−10

<< 1 (3.16)

Les transferts thermiques par dissipation visqueuse sont négligeables par rapport aux transferts par conduction. On peut expliquer ces résultats par la nesse du lm d'eau qui réduit l'inuence de la convection et la faible vitesse de l'écoulement de l'eau qui inhibe le phénomène de dissipation visqueuse. Finalement, on note que le transfert prédominant dans la fusion de la couche de glace est la conduction à travers le lm d'eau validant ainsi l'hypothèse faite précédemment. Cette étude des ordres de grandeur de l'équation de conservation de l'énergie a permis de supprimer le terme de convection et le terme de dissipation visqueuse. L'équation 3.10 devient alors :

d2_T e

3.2. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 21 Avec les conditions Te(0) = Tp et Te(δ) = Tm, la solution est :

Te(y) =

y

δTm+ (1 − y

δ)Tp (3.18)

L'équation 3.18 permet de relier la température dans le lm d'eau Te avec la température

dans la plaque Tp et l'épaisseur du mince lm d'eau δ.

À présent, nous pouvons écrire l'équation de conservation de la quantité de mouvement pour continuer à relier les variables. Elle s'écrit dans notre repère et avec nos hypothèses :

u∂u ∂x + v ∂u ∂y = −1 ρe ∂P ∂x + µe ρe  ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2  (3.19) Le terme de gauche de l'équation représente les forces d'inertie. Le premier terme à droite représente les forces de pression s'exerçant sur le uide. Le dernier terme prend en compte les forces visqueuses. An de savoir ce qu'on peut négliger, on étudie les ordres de grandeur de cette équation : U2 2l ≈ 1 ρe ∆P 2l + µe ρe U δ2 (3.20)

Les forces d'inertie sont négligeables par rapport aux forces visqueuses si :

U2 2l << µe ρe U δ2 (3.21) ⇒ δ 2l 2_{ U 2lρ} e µe  = δ 2l 2 Re << 1 (3.22)

Avec les valeurs numériques précédentes, on a :  10−4

10−2

2

102 ≈ 10−2 << 1 (3.23)

Donc on peut négliger les forces d'inerties par rapport aux forces visqueuses. L'équation 3.19 devient :

∂P ∂x = µe

∂2_u

22 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME Par intégration successive avec les conditions u(0) = u(δ) = 0 :

u(y) = 1 2µe

∂P

∂xy(y − δ) (3.25)

Nous venons d'écrire les 3 équations de conservation (masse, énergie interne et quantité de mouvement). Elles ont permis, après simplication, d'obtenir 3.7, 3.18, 3.25. Pour terminer, on peut éliminer le gradient de pression en calculant le ux de masse de l'eau :

Q = Z δ 0 u(y)dy = −δ 3 12µe ∂P ∂x (3.26)

D'autre part en intégrant l'équation de continuité 3.7 : Z δ 0  ∂u ∂x + ∂v ∂y  dy = 0 (3.27) On obtient : ∂ ∂x Z δ 0 u(y)dy  + (v)y=δ− (v)y=0= 0 (3.28) ⇒ ∂Q ∂x − ˙S = 0 (3.29)

En injectant 3.26 dans 3.29, on obtient une équation liant la pression P à la vitesse de fusion ˙S = ∂S ∂t : −δ3 12µe ∂2P ∂x2 = ˙S (3.30)

Ensuite on peut écrire à l'aide d'un bilan à l'interface liquide/solide le changement d'état de la glace (voir gure 3.5).

Le volume de contrôle est délimité par le rectangle en pointillé. Il correspond à l'interface séparant le mince lm d'eau de la couche de glace. De la chaleur ˙Ein entre dans le volume.

3.2. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME 23

Figure 3.5 Schéma du bilan à l'interface eau/glace

dernière est stockée dans le volume sous forme de chaleur latente ˙Ec. C'est cette chaleur

latente qui permet la fusion de la glace. Ce phénomène s'écrit :

dEc dt = ˙Ein (3.31) ⇒ −λgρgS = −k˙ e  ∂T_e ∂y  y=δ (3.32)

Du côté de gauche de l'équation, on retrouve la fusion de la glace d'une masse volumique ρg et d'une chaleur latente λg. La variation de masse s'observe par ˙S qui décrit la vitesse

de fusion de la couche de glace. Du côté droit de l'équation, on écrit la loi de Fourier en y = δ. On utilise alors l'équation 3.18 décrivant le gradient de température dans le mince lm d'eau. La condition initiale pour S est S(x, t = 0) = H ce qui fait donc apparaître le signe − car ˙S < 0. On obtient nalement :

λgρgS = −k˙ e

Tp(x, t)

δ(t) (3.33)

On terminera le raisonnement en eectuant un bilan des forces qui s'exercent sur la couche d'eau. En eet, le poids de la couche de glace est supporté par la pression exercée par le lm d'eau : Z l xg P (x, t)dx = ρgg Z l xg S(x, t)dx (3.34)

24 CHAPITRE 3. DESCRIPTION ET MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME

3.2.3 Système décrivant la fusion de la couche de glace

Le tableau 3.3 permet de récapituler l'ensemble des équations décrivant le problème ainsi que les inconnus.

Équation Signication Inconnu(s)

∂2_T p ∂x2 − ¯ heq(x,t) kpe Tp = 1 αp ∂Tp

∂t Diusion de la chaleur dans la plaque Tp et δ pour x > xg

λgρgS = −k˙ eTp_δ(t)(x,t) Fusion de la glace Tp, δ et S δ3

12µe

∂2_P

∂x2 = ˙S Répartition de la pression sous la couche δ, P et S Rl

xg P (x, t)dx = ρgg Rl

xgS(x, t)dx Équilibre statique P et S

Tableau 3.3 Récapitulatif de la mise en équation du problème

Le problème de fusion de la glace reposant sur une surface munie de ls chauants se résume à 4 équations. Les inconnus sont Tp(x, t), P (x, t), S(x, t) et δ(t). Les équations

sont toutes couplées et ne sont pas linéaires. Pour pouvoir résoudre ces équations, une méthode numérique semble plus judicieuse étant donné la complexité du système.

CHAPITRE 4

METHODE DE RESOLUTION

Maintenant que les équations régissant le problème ont été posées, il est possible de com-mencer leur résolution. A la vue de la complexité et du couplage de chacune d'entre elles, c'est une méthode de résolution numérique qui va être mise en ÷uvre. Une fois fonction-nelle, il faudra la soumettre à des tests de validation an d'assurer sa abilité.

4.1 Résolution de l'équation de diusion de la chaleur

dans la plaque

4.1.1 Utilisation de la méthode des volumes de contrôle

La diusion de la chaleur dans la plaque est décrite par l'équation 3.3. C'est une équation aux dérivées partielles parabolique à laquelle on ajoute un terme de perte de chaleur dans l'air ou dans le mince lm d'eau. Pour résoudre numériquement ce type d'équation, il est possible d'utiliser la méthode des diérences nies ou la méthode des volumes de contrôle ou nite volume method en anglais (FVM). Le critère permettant de départager les deux méthodes est l'indépendance du pas de temps et d'espace dans la résolution. En eet, la fusion de la glace est un processus relativement long, il faut donc que le pas de temps soit modiable sans qu'il impacte la convergence de la méthode. La FVM permet cette indépendance, nous allons donc l'utiliser dans notre de méthode numérique permettant de résoudre l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque.

Figure 4.1 Zoom sur 3 volumes pour la discrétisation de l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque.

26 CHAPITRE 4. METHODE DE RESOLUTION An d'expliciter cette méthode, le schéma 4.1 servira de support aux explications. Le prin-cipe de la FVM est de découper le volume de contrôle principal en plusieurs sous-volumes, c'est la discrétisation. Dans notre cas le volume de contrôle principal est la plaque d'une longueur l d'épaisseur e. Elle est découpée en M − 1 volumes de longueur ∆x. Au centre de ces M − 1 volumes sont placés les n÷uds. Il y a donc M n÷uds. C'est à ces points que les températures sont calculées. Le premier et dernier volume ont une moitié à l'extérieur et l'autre moitié à l'intérieur de la plaque. Cela permet d'avoir les n÷uds 1 et M aux extrémités et ainsi de pouvoir appliquer les conditions aux limites données dans la section précédente. Ils seront traités par la suite.

Maintenant que la géométrie est discrétisée, on peut faire de même avec l'équation 3.3. La discrétisation de cette équation permet d'obtenir les températures aux n÷uds. Elle s'obtient en l'intégrant entre les points w et e, centré sur le n÷ud P d'une longueur ∆x et entre le temps t et t + ∆t : Z e w Z t+∆t t ∂2Tp ∂x2 dxdt − Z e w Z t+∆t t ¯ heq(x, t) kpe Tpdxdt = Z e w Z t+∆t t 1 αp ∂Tp ∂t (4.1)

Cette équation devient après intégration :

∆t ∂Tp ∂x  e − ∂Tp ∂x  w  − hP kpe TP∆t∆x = 1 αp (Tp− Tp0)∆x (4.2) ⇒ ∆t TE− TP ∆x  − TP − TW ∆x  − hP kpe TP∆t∆x = 1 αp (Tp− Tp0)∆x (4.3)

Après simplication, on obtient pour les n÷uds de 3 à M − 2 :

aWTW + (aP − aH)TP + aETE = −a0PT 0

4.1. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE DIFFUSION DE LA CHALEUR DANS LA PLAQUE 27 Avec : aW = aE = kp ∆x a0_P = ρpCp ∆x ∆t aP = −aW − aE− a0P aH = hP ∆x e

La température au n÷ud présent TP fait intervenir le n÷ud précédent W et le n÷ud

suivant TE. Le coecient TP0 correspond à la température du n÷ud P au pas de temps

précédent.

L'équation 3.3 fait apparaître le coecient ¯heq(x, t). Il est dépendant de x donc il faut le

discrétiser de la même manière que le volume principal. A partir de la gure 4.1, on peut introduire les coecients hW, hP et hE qui correspondent aux coecients de convection

équivalents propres à chaque sous-volume. Tout comme les températures, hP correspond

au coecient de convection équivalent du volume P de même pour le volume précédent W et le volume suivant E. On peut lier hP avec hE et hW de la manière suivante : hP = hE+h₂ W.

On distingue trois cas illustrés par la gure 4.2 :

Figure 4.2 Les 3 états possibles de la surface de la plaque

 Les n÷uds W , P et E sont à l'air libre donc hE = hW = ¯hmoy ainsi hP = ¯hmoy.

 La glace a fondu en P donc ce sous-volume se retrouve à moitié recouvert de glace et d'air. On a alors hW = ¯hmoy et hE = k_δe donc hP =

hmoy+_δ(ti)ke

2 .

 Les n÷uds W , P et E sont recouverts du mince lm d'eau donc hE = hW = ke_δ ainsi

28 CHAPITRE 4. METHODE DE RESOLUTION

Figure 4.3 Volume de contrôle pour le premier n÷ud

On poursuit le raisonnement en écrivant les quatre dernières équations aux n÷uds 1, 2, M − 1 et M qui sont diérentes à cause des conditions aux limites et de la géométrie. Pour le premier n÷ud, on impose la puissance linéique pour tout t, −kpe∂T_∂xp



x=0,t

= q₀0 (W/m). En utilisant le n÷ud 0 (voir gure 4.3), on a avec la loi de Fourier :

−kpe T2− T0 ∆x = q 0 0 (4.5) ⇒ T0 = T2+ ∆xq₀0 kpe (4.6) L'équation 4.1, entre w et e, pour le n÷ud 1, s'écrit :

∆t T2− T1 ∆x/2  − T1− T0 ∆x/2  − hP kpe T1∆t∆x = 1 αp (T1− T10)∆x (4.7)

Elle se simplie lorsqu'on remplace par la valeur de T0 :

(−aW − a0p− aH)T1+ 4aET2 = −2 q₀0 e − a 0 PT 0 1 (4.8)

Pour le n÷ud 2, on utilise les n÷uds 0 et 3 qui permettent une simplication. L'équation 4.1 s'écrit : ∆t T3− T2 ∆x  − T2− T0 ∆x  − hP kpe T2∆t∆x = 1 αp (T2− T20)∆x (4.9)

4.1. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE DIFFUSION DE LA CHALEUR DANS LA PLAQUE 29 (aE − aH − a0P)T2+ aET3 = −T20a 0 P − q₀0 e (4.10)

Figure 4.4 Volume de contrôle pour le n÷ud M − 1

Pour le n÷ud M − 1, on utilise le n÷ud M + 1 à l'extérieur de la plaque (voir gure 4.4). L'équation 4.1 s'écrit à ce n÷ud :

∆t TM +1− TM −1 ∆x  − TM −1− TM −2 ∆x  − hP kpe TM∆t∆x = 1 αp (TM −1− TM −10 )∆x (4.11) Avec la condition ∂Tp ∂x  l = 0 = TM +1−TM −1

∆x l'équation se simplie et devient :

(−aE − aH − a0P)TM −1+ aWTM −2= −a0PTM −10 (4.12)

Enn, on termine avec le n÷ud M. Il se situe à une distance de ∆x/2 des n÷uds M − 1 et M + 1. On obtient alors : ∆t TM +1− TM ∆x/2  − TM − TM −1 ∆x/2  − hP kpe TM∆t∆x = 1 αp (TM − TM0)∆x (4.13)

On sait d'après la condition en x = l que TM −1= TM +1 donc on a nalement :

4aWTM −1+ (−4aE − aH − a0P)TM = −aP0T 0

30 CHAPITRE 4. METHODE DE RESOLUTION Nous avons pris en compte les deux conditions aux limites. La condition initiale est T (x, t = 0) = Tini, elle se discrétise de la manière suivante :

∀i ∈ [[1; M ]], T0

i = Tini (4.15)

Cela traduit que la température initiale de tous les noeuds vaut Tini.

On a donc un système de M équations avec M inconnus qui sont les températures. Ce sys-tème s'écrit matriciellement AT = B. Le vecteur colonne T est composé des températures inconnues à chaque n÷ud, A est la matrice principale contenant les coecients devant les températures et enn B est le vecteur colonne des seconds membres. Ainsi à chaque pas de temps, on obtient les températures à chaque n÷ud en eectuant l'opération :

T = A−1B (4.16)

Cependant, il subsiste un inconnu qui est δ. Il faut alors le déterminer pour avoir déni-tivement les températures. C'est ce qu'on va faire dans la prochaine section.

4.2 Résolution des équations liées à la fusion

Pour compléter la résolution de la diusion de la chaleur dans la plaque, il faut maintenant résoudre les équations 3.30, 3.33 et 3.34. On rappelle le système à résoudre :

−δ3 12µe ∂2_P ∂x2 = ˙S λgρgS = −k˙ e Tp(x, t) δ(t) Z l xg P (x, t)dx = ρgg Z l xg S(x, t)dx

La résolution va permettre d'obtenir la valeur de δ et les épaisseurs de glace S(x, t) à chaque pas de temps. Pour résoudre ce système, on opte pour une stratégie numérique. Tout d'abord on injecte 3.33 dans 3.30 ce qui donne :

∂2_P

∂x2 =

−12keµe

λgρgδ4

4.2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LIÉES À LA FUSION 31 De cette équation, on pose A(t) = −12keµe

λgρgδ(t)4 et K(x, t) =

P (x,t)

A(t) . On obtient alors l'équation :

∂2_K

∂x2 = Tp(x, t) (4.18)

En se plaçant à un pas de temps ti, on peut obtenir les valeurs de K par l'intermédiaire

de la méthode des volumes de contrôle une nouvelle fois. Elle s'eectue exactement sur les mêmes volumes que l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque. Il n'y a que les conditions aux limites qui changent : P (x = 0) = K(x = 0) = 0 et ∂P

∂x
l = ∂K ∂x
l = 0.

Une fois que les valeurs de K(x, ti) sont connues, on peut déterminer numériquement δ.

On utilise l'équation 3.34 et on peut exprimer δ :

δ(ti) =   A0R_xl gK(x, ti)dx ρgg Rl xgS(x, ti)dx   1/4 (4.19) avec A0 ₌ −12keµe

λgρg . Enn, on peut calculer avec une simple diérence nie, les épaisseurs de glace aux n÷uds S(x, ti) avec 3.33 :

S(x, ti) = S(x, ti−1) − ∆t

−ke

δ(ti−1)λgρg

Tp(x, ti−1) (4.20)

An de résumer la méthode numérique permettant de décrire la fusion de la glace à l'aide de ls chauants, nous allons retenir le schéma algorithmique en gure 4.5.

1. On commence par initialiser le temps à 0 s. La température des n÷uds est prise à 10−3 ◦C pour que le processus de fusion puisse débuter et qu'il existe le mince lm d'eau. L'épaisseur initiale de la glace est de H. La frontière xg est à l'origine car il

y a de glace sur tout le long de la plaque.

2. On peut alors déterminer à partir de l'équation 4.18 et 4.19 les pressions initiales à chaque n÷ud et la valeur initiale de δ.

3. On incrémente le pas de temps.

4. On peut ainsi déterminer l'épaisseur de glace au temps suivant (équation 4.20). Cela permet de calculer les températures (par FVM), les pressions (par FVM) et enn δ (avec équation 4.19).

5. On vérie si un n÷ud se retrouve sans glace.

6. C'est à ce moment que xg est mise à jour. Si l'épaisseur de glace est nulle à un n÷ud

32 CHAPITRE 4. METHODE DE RESOLUTION plaque est à l'air libre et pour les n÷uds suivants la plaque est recouverte du mince lm d'eau.

7. La boucle s'arrête lorsque la glace au dernier n÷ud M a fondu.

CHAPITRE 5

VALIDATION DU MODÈLE

La mise en équation a permis de mettre en ÷uvre une méthode numérique an de résoudre le problème de fusion de la glace sur une surface munie de ls chauants. A présent, an d'assurer la véracité du modèle, il faut le valider. La validation consiste à exécuter des simulations et à observer les résultats an de les comparer à des cas analytiques connus .

5.1 Validation de la résolution de l'équation de

diu-sion de chaleur dans la plaque

Tout d'abord, nous allons nous assurer que la méthode numérique faite pour la diusion de la chaleur dans la plaque (voir section 4.1.1) est valide. Nous allons étudier le cas de gure d'une plaque d'acier dont la température initiale est de 0 ◦_{C soumise à de l'air à}

0◦C sans présence de glace pour le moment. L'ensemble des paramètres de la simulation est recensé dans le tableau 5.1.

ρp (kg/m3) kp (W/mK) Cp (J/kgK) q00 (W/m) hmoy (W/m2K) l (m) e (m)

Acier 7850 45 465 20 13 0, 05 0, 002

Tableau 5.1 Paramètres de la simulation

5.1.1 Validation du bilan énergétique

Pour valider le modèle on peut se reposer sur le bilan d'énergie. Ce dernier est :

E_s0 = E₀0 − E_c0 (5.1) avec : E₀0 = q0₀tf (5.2) E_s0 = Z tf 0  ρpCpe Z l 0 ∂Tp ∂t dx  dt (5.3) E_c0 = Z tf 0  ¯ hmoy Z l 0 (Tp− Text) dx  dt (5.4) 33

34 CHAPITRE 5. VALIDATION DU MODÈLE Avec E0

s l'énergie linéique stockée dans la plaque, E 0

0 l'énergie linéique dissipée en x = 0 et

E_c0 l'énergie linéique dissipée par convection. On eectue alors la simulation du chauage d'une plaque d'une longueur l dont une extrémité est soumise à une puissance linéique de 20 W/m pendant 6000 s. On retrouve le bilan de l'expérience dans le tableau 5.2 :

E_s0 (J/m) E₀0 (J/m) E_c0 (J/m) Erreur relative (%) 1, 12.104 1, 20.105 1, 08.105 0, 009

Tableau 5.2 Bilan énergétique de la plaque

On peut aussi observer l'évolution du bilan en puissance au cours du temps dans le tableau 5.1.

Figure 5.1 Bilan de puissance de la plaque en fonction du temps

A partir de la gure 5.1, on remarque que le bilan en puissance est bien respecté. En eet, à chaque pas de temps la puissance linéique qui entre dans le système en x = 0, q0

0, vaut la

somme de la puissance linéique stockée par chaleur sensible dans la plaque P0

S et de celle

dissipée dans l'air par convection P0

C. Lorsque la plaque ne peut plus stocker d'énergie

cette dernière est totalement évacuée dans l'air par convection, on entre dans le régime permanent. On observe le régime transitoire entre 0 s et ≈ 3500 s et le régime permanent au-delà.

5.1.2 Validation du régime permanent

5.1. VALIDATION DE LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE DIFFUSION DE

CHALEUR DANS LA PLAQUE 35

∂2_T p ∂x2 − ¯ hmoy kpe (Tp− Text) = 0 (5.5)

C'est la même équation que l'équation 3.3 cependant le terme temporel a disparu. La plaque est encore soumise à de l'air. Les conditions aux limites restent les mêmes (équations 3.4 et 3.5), i.e. un ux de chaleur imposé en x = 0 et la condition de symétrie en x = l. On a aaire à une équation diérentielle d'ordre 2 dont on peut déterminer la solution explicite. En posant m =q¯hmoy

kpe , la solution analytique est :

Tp(x) = q00

e−2mlemx_{+ e}−mx

kpem(1 − e−2ml) (5.6)

Figure 5.2 Comparaison des gradients de température au sein de la plaque entre la solution numérique et analytique en régime permanent

La simulation de la gure 5.2 a été faite avec M = 25 et ∆t = 50 s. On remarque la concordance entre le modèle numérique et le modèle analytique. D'un point de vue de l'erreur, on peut dénir l'erreur relative sur la température en régime permanent par :

Erelative,T =

||Tnum− Tana||

||Tana||

36 CHAPITRE 5. VALIDATION DU MODÈLE Avec Tnum le vecteur des températures en régime permanent calculé à partir de la FVM,

Tana le vecteur des températures en régime permanent calculé analytiquement et enn ||.||

la norme euclidienne. Dans le cas étudié, Erelative,T = 0, 0036%. C'est une erreur

extrême-ment faible.

Finalement, la méthode permettant de modéliser la diusion de la chaleur dans la plaque est validée lorsque la plaque est dépourvue de glace. Le modèle présente un bilan énergé-tique vérié et il converge vers la solution en régime permanent.

5.2 Validation de la fusion par contact direct

5.2.1 Cas analytique : température de plaque uniforme dans

l'es-pace et constante par rapport au temps

Il est possible de vérier la méthode numérique de la fusion par contact direct en la comparant avec le cas où la température de la plaque est uniforme et constante. En imposant une température à la plaque, l'équation de diusion de la chaleur dans la plaque disparaît du système présenté dans le tableau 3.3. Les hypothèses restent les mêmes que celles énoncées dans la section 3.1 si ce n'est que l'épaisseur de glace S devient dépendante du temps seulement. Par ailleurs, il n'existe plus de frontière donc xg = 0. Il reste alors

les équations 3.30, 3.33 et 3.34. On peut résoudre ces trois équations analytiquement. On résout dans un premier temps l'équation 3.30 par intégrations successives avec les conditions aux limites P (x = 0) = 0 et dP

dx

l = 0 :

P (x) = 6µeSx˙

δ3 (x − 2l) (5.8)

On injecte l'expression de P dans le bilan des forces de l'équation 3.34 :

Z 2l 0 P (x, t)dx = ρggS2l (5.9) ⇒ 8µeSl˙ 2 δ3 = ρggS (5.10)

5.2. VALIDATION DE LA FUSION PAR CONTACT DIRECT 37 δ = −keTp

λgρgS˙

(5.11) On injecte cette expression de δ dans l'équation 5.10 pour obtenir une équation diéren-tielle en S. En posant K = 8µel2λ3gρ2g

−k3

eTp3g , on obtient :

K ˙S4 = S (5.12)

Cette dernière se résout par séparation des variables puis par intégration :

K14S− 1 4dS = dt (5.13) ⇒ K14 Z S H S−14dS = Z t 0 dt (5.14) (5.15) Le résultat nal permettant de lier l'épaisseur de glace S en fonction du temps est :

S(t) = 3 4tK −1 4 + H 3 4 4₃ (5.16) Maintenant que l'on connait la solution analytique, on peut la comparer avec la méthode numérique pour la fusion par contact direct. On eectue une simulation dans laquelle on observe la fusion d'une couche de glace d'épaisseur initiale S(0) = H = 0, 01 m, sur une plaque d'une longueur 2l = 0, 1 m. On utilise un pas de temps ∆t de 1 s. Le pas d'espace n'a aucune inuence étant donné que la température de la plaque est uniforme et qu'il se passe la même chose en chaque point. Les paramètres sont résumés dans le tableau 5.3.

∆t (s) H (m) e (m) l (m) Tplaque (◦C)

1 0, 01 0, 02 0, 05 20

Tableau 5.3 Propriétés de la simulation du cas de base

On reprend le schéma algorithmique 4.5 sauf que l'on ne met plus à jour les températures de la plaque. La simulation permet d'obtenir la gure 5.3. On observe que l'épaisseur de glace déterminée numériquement suit exactement la tendance de la solution analytique.

38 CHAPITRE 5. VALIDATION DU MODÈLE L'erreur commise sur le temps de fusion est dénie par :

Erelative,tf =

|tf,num− tf,ana|

tf,ana

(5.17) Avec tf,num le temps de fusion déterminé numériquement et tf,ana le temps de fusion

déterminé analytiquement. On a d'après les résultats numériques : Erelative,tf =

|88 − 87, 4|

87, 4 = 0, 007 (5.18)

L'erreur sur le temps de fusion est donc de 0, 7%.

Figure 5.3 Comparaison de l'épaisseur de glace S en fonction du temps entre la solution analytique et numérique lorsque Tp est uniforme et constante

Cette comparaison permet de valider la structure du programme lorsque la diusion de la température n'est pas prise en compte.

5.3 Validation du modèle complet

A présent, il faut valider la méthode numérique complète. C'est-à-dire lorsque la diusion de la chaleur dans la plaque intervient . Pour ce faire, nous allons regarder le cas de la fusion d'une couche de glace d'épaisseur H = 0.01 m sur une plaque d'acier, à l'aide d'une

5.3. VALIDATION DU MODÈLE COMPLET 39 source de chaleur placée à chaque extrémité, avec les paramètres de simulation du tableau 5.4 :

ρp (kg/m3) kp (W/mK) Cp (J/kgK) q00 (W/m) hmoy (W/m2K) l (m) e (m)

Acier 7850 45 465 10 13 0, 05 0, 002

Tableau 5.4 Constantes du système

Cela revient donc à eectuer le schéma algorithmique de la gure 4.5 au complet. Pour observer la véracité de la simulation, nous allons la comparer à la seule valeur que l'on connait dans ce système, E0

g = λgρglH qui est l'énergie nécessaire pour faire fondre la

couche de glace d'une épaisseur H et d'une demi-longueur l. On utilisera cette valeur pour analyser la précision de la méthode. On la retrouve numériquement avec la formule :

E_g,num0 = Z tf 0 Z L xg ke δ Tp(x, t)dx ! dt (5.19)

Indépendance du pas d'espace

Fixons le pas de temps à ∆t = 20 s et faisons varier le nombre de n÷uds dans les si-mulations. La gure 5.4 décrit la précision relative de l'énergie dissipée dans la glace en fonction de M. On a donc en ordonnées la précision relative valant |E0g,num−Eg0|

E0

g × 100 et en abscisses le nombre de points M.

On remarque immédiatement que M a une très grande inuence sur la précision du ré-sultat. Elle varie de 12% pour 50 noeuds à moins de 1% pour 500 n÷uds. Cette tendance peut s'expliquer avec l'inuence de la frontière xg. La partie recouverte de glace est de

plus en plus petite ce qui réduit le nombre de n÷uds pour eectuer les calculs. Cependant, la courbe montre que le résultat numérique E0

g,num tend vers le résultat exact Eg0.

On s'intéresse aussi à l'inuence de M sur le temps de fusion. Le temps de fusion cal-culé varie de 15000 s pour 50 n÷uds à 16500 s pour 500 n÷uds. Il converge aussi autour de 17000 s soit moins de 5 h. Le point de comparaison qu'on pourrait obtenir provient des expériences de H.Zhao [14] et de Y. Liu [8]. Dans les expériences menées par ces derniers, c'est une couche de neige et non une couche de glace qui s'est déposée sur la plaque. La conséquence est qu'il faut alors moins d'énergie pour faire fondre de la neige. En eet, la masse volumique de la neige se situe entre 50 kg/m3 _{et 500 kg/m}3 _{comparé à la masse}

volumique de la glace de 920 kg/m3_{. Donc pour un même volume, il faut au minimum}