L09 [V2-VàC] – Marches aléatoires

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Marches aléatoires

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Leçon n o Niveau Terminale S Prérequis aucun Références [22], [23], [24], [25], [26], [27]

9.1 Chaînes de Markov

Définition 9.1 — Chaîne de Markov I. Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn, n∈ N) qui permet de modéliser l’évolution dynamique d’un système aléatoire : Xnreprésente l’état du système à l’instant n.

Propriété 9.2— Propriété de Markov. L’évolution future du système ne dépend du passé qu’à travers de sa valeur actuelle. Autrement dit, conditionnement à Xn,(X0, . . . , Xn) et (Xn+k, k ∈ N) sont indépendantes.

Les applications des chaînes de Markov sont très nombreuses : — réseaux,

— génétique des populations, — mathématiques financières,

— gestion de stock,

— alogirthmes stochastiques d’optimisation, — simulation.

On se place maintenant sur E un espace discret, c’est-à-dire un espace au plus dénombrable muni de la topologie discrète où tous les points de E sont isolés. On considère la tribu E = P(E).

Définition 9.3 — Matrices stochastiques. Une matrice P = (P (x, y))x,y∈E est dite matrice

stochas-tique si ses coefficients sont positifs et la somme sur une ligne des coefficients est égale à1 : 1. P(x, y) ≥ 0 ;

2. Pz∈EP(x, z) = 1 ;

pour tous x, y ∈ E.

On donne une nouvelle définition des chaînes de Markov basée sur les probabilités.

Définition 9.4 — Chaîne de Markov II. Soit P une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires(Xn, n∈ N) à valeurs dans E est appelée chaîne de Markov de matrice de transition P si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a :

P(Xn+1| Xn, . . . , X0) = P (Xn+1= x | Xn) = P (Xn, x). On dit que la chaîne de Markov est issue de µ0 si la loi de X0est µ0.

R 9.5

1. Comme l’espace d’état est discret, l’équation de la définition précédente est équivalente à : pour tous x0, . . . , xn ∈ E, tels que P (Xn= xn, . . . , X0= x0) > 0 :

P(Xn+1= x | Xn = xn, . . . , X0= x0) = P (Xn+1= x | Xn= xn) = P (Xn, x).

2. Si P(X0= x) = 1, autrement dit µ0est la masse de Dirac en x on dira plus simplement que la chaîne

(2)

Proposition 9.6 La loi d’une chaîne de Markov (Xn, n ∈ N) est entièrement caractérisée par sa matrice de transition, P et la loi de X0, µ0. De plus, on a, pour tous n ∈ N∗, x0, . . . , xn∈ E,

P(X0= x0, . . . , Xn= xn) = µ0(x0) n Y k=1 P(xk−1, xk). Dv • Preuve Soit n ∈ N∗ _{et x}₀_{, . . . , xn} _{∈ E. Si P (X}₀ _{= x}₀_{, . . . , Xn} −1 = xn−1) > 0, une utilisation

successive de la formule des probabilités conditionnelles donne :

P(X0= x0, . . . , Xn = xn) = P (X0= x0)P (X1= x1| X0= x0) · · · P (Xn= xn| X0= x0, . . . , Xn−1= xn−1) = µ0(x0) n Y k=1 P(xk−1, xk). Si P(X0= x0, . . . , Xn−1 = xn−1) = 0,

— soit P(X0= x0) = 0, c’est-à-dire µ0(x0) = 0 et donc l’égalité de la proposition reste vraie ;

— soit il existe m ∈ {1, . . . , n − 1} tel que P (X0 = x0, . . . , Xm−1 = xm−1) > 0 et P (X0 =

x0, . . . , Xm = xm) = 0. Dans ce dernier cas, on peut utiliser l’égalité de la proposition avec n= m et obtenir que : 0 = P (X0= x0, . . . , Xm= xm) = µ0(x0) m Y k=1 P(xk−1, xk).

On en déduit que l’égalité de la proposition reste vraie avec les deux membres nuls. En conclusion, l’égalité de la proposition est toujours vérifiée.

On donne un exemple de chaînes de Markov qui sera le but de l’exposé.

Exemple 9.7 La marche aléatoire symétrique simple sur Z, S = (Sn, n≥ 0), est définie par : Sn= S0+

n X k=1

Zk

où Z = (Zn, n ≥ 1) est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, P (Zn = 1) = P (Zn= −1) = 1/2, et S0est une variable aléatoire à valeurs dans Z indépendante de Z.

On vérifie facilement que la marche aléatoire simple est une chaîne de Markov à valeurs dans Z de matrice de transition : P(x, y) = ( 0 si |x − y| 6= 1 1/2 si |x − y| = 1 pour x, y ∈ Z.

9.2 Chaînes de Markov au lycée

D’après un article de Louis-Marise Bonneval paru dans le bulletin APMEP no_503.

L’expression « chaîne de Markov »ne figure dans aucun libellé de programme de lycée. Mais on peut lire dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale S, sous le titre « Matrices et suites » :

(3)

9.2 Chaînes de Markov au lycée 11

Il s’agit d’étudier des exemples de processus, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices.

Exemples de problèmes

— Matrice aléatoire simple sur un graphe à deux ou trois sommets.

— Matrice aléatoire sur un tétraèdre ou un graphe à N sommets (étude asymptotique d’une marche aléatoire).

et dans le programme de la spécialité mathématiques de Terminale ES : Les graphes probabilistes permettent d’étudier des phénomènes d’évolution simples, et de faire le lien avec les suites.

Contenus : Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : matrice de transition, état stable d’un graphe probabiliste.

L’article suggère cinq problèmes permettant de mieux cerner la notion de marches aléatoires.

9.2.1 Bonus et malus en assurance automobile

Un contrat d’assurance automobile comporte trois tarifs de cotisation annuelle : bas, intermédiaire, haut.

— La première année, l’assuré paye le tarif intermédiaire.

— S’il n’a été responsable d’aucun accident pendant une année, il passe au tarif inférieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif bas, il y reste).

— S’il a été responsable d’au moins un accident au cours d’une année, il passe au tarif supérieur l’année suivante (s’il est déjà au tarif haut, il y reste).

La compagnie d’assurance estime à 10% la probabilité qu’un assuré pris au hasard soit responsable d’au moins un accident au cours d’une année.

Quelle sera à long terme la répartition des assurés entre les trois catégories de tarif ?

9.2.2 Une ronde sur un triangle

Nous sommes au XIVe_{siècle, dans le château de Poitiers. Il est triangulaire, flanqué d’une tour}

à chaque sommet : Est, Nord, Sud. Partant de la tour Est, la sentinelle fait sa ronde sur le rempart. À chaque sommet du triangle, pour tromper l’ennemi (et l’ennui), il jette une pièce : pile, il continue dans le même sens ; face, il repart en sens inverse.

Pourra-t-il assurer une surveillance comparable dans les trois directions ?

9.2.3 La collection d’autocollants

Chaque semaine, Anna achète une tablette de chocolat Cébon. Chaque tablette contient un auto-collant représentant soit une étoile, soit un cœ ur, soit un trèfle à quatre feuilles. Anna les collectionne pour décorer son journal intime.

En supposant les trois motifs équirépartis entre les tablettes,combien de tablettes suffit-il d’ache-ter pour être sûr à plus de 95% d’avoir les trois types de dessin ?

9.2.4 Pertinence d’une page web

Le réseau Internet peut être représenté comme un gigantesque graphe (non probabilisite), dont les

N sommets sont les pages, et les flèches les liens qui pointent d’une page à une autre. Un moteur de recherche, pour être utile, doit classer les pages par ordre de pertinence. Comment mesurer la pertinence d’une page ?

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9.2.5 Les urnes d’Ehrenfest

On dispose de deux urnes A et B, et de N boules numérotées de1 à N. Au début, toutes les boules sont dans l’urne A. De temps à autre, on tire au hasard un numéro entre1 et N, et on change d’urne la boule correspondante.

Au bout de combien d’étapes peut-on espérer que toutes les boules soient à nouveau dans l’urne A ?

9.2.6 Bonus : Un exercice de 1re_S

Une fourmi parcourt les côtés d’un carré ABCD en partant du sommet A et met 1 minute à parcourir un côté.

Arrivé à l’un des sommets, elle choisit au hasard l’un ou l’autre des deux côtés issus de ce sommet pour poursuivre sa marche. On dit que la fourmi a traversé le carré lorsqu’elle atteint pour la première fois le sommet C.

On observe la fourmi pendant au plus4 minutes et on note X le temps de la traversée. On pose

X = 0 si la fourmi n’a pas atteint le point C pendant l’observation.

1. Faire un schéma du carré et les déplacements possibles de la fourmi. 2. Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre.

3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

4. Quelle est la probabilité que la fourmi ait traversé le carré pendant les4 minutes.

9.3 Un cas particulier de chaîne de Markov : marches aléatoires sur

Z

9.3.1 Une activité d’introduction sur Algobox

Activité 9.8 Sur un axe horizontal, un pion placé à l’origine O du repère se déplace de la manière suivante :

— Si le lancer d’une pièce équilibrée donne Pile, on déplace le pion d’une unité vers la droite. — Si le lancer d’une pièce équilibrée donne Face, on déplace le pion d’une unité vers la gauche. Quelle est la probabilité que le pion ne revienne jamais à sa position initiale ?

Dv

On va simuler la situation de la manière suivante : on effectue un certain nombre de déplace-ments, fixé par l’utilisateur, et on teste si le pion est revenu à sa position initiale au cours de ces déplacements (on peut compter le nombre de fois où il est revenu à sa position initiale).

VARIABLES

alea EST_DU_TYPE NOMBRE X EST_DU_TYPE NOMRBE C EST_DU_TYPE NOMBRE I EST_DU_TYPE NOMRBE N EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER "Entrer le nombre de déplacements souhaités" LIRE N

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9.3 Un cas particulier de chaîne de Markov : marches aléatoires sur Z 13

TRACER_POINT (0,0) POUR I ALLANT_DE 1 A N

DEBUT_POUR

alea PREND_LA_VALEUR floor(2*random())

SI (alea==0) ALORS DEBUT_SI X PREND_LA_VALEUR X-1 FIN_SI SINON DEBUT_SINON X PREND_LA_VALEUR X+1 FIN_SINON TRACER_POINT (I,X) SI (X==0) ALORS DEBUT_SI

AFFICHER "Le pion est revenu à sa position initiale après " AFFICHER I

AFFICHER " deplacements." C PREND_LA_VALEUR C+1

FIN_SI

FIN_POUR

AFFICHER "Le pion est revenu " AFFICHER C

AFFICHER " fois à sa position initiale."

FIN_ALGORITHME

En exercice, vous expliquerez le fonctionnement de l’algorithme.

9.3.2 Nombre de chemins et probabilités

On appellera chemin de(m, a) et (n, b) une ligne brisée, c’est-à-dire une suite de segments joi-gnant les points successifs (m0, a0), (m1, a1), . . ., (mr, ar) qui commence au point (m0, a0) = (m, a) et se termine au point (mr, ar) = (m, b) et tel que, pour tout 0 ≤ i < r, on ait mi+1= mi+ 1 et ai+1 = ai+ 1 ou ai− 1.

Propriété 9.9 Soient(m, a) et (n, b) deux couples d’entiers. Si |b − a| ≤ n − m et si n − m et b − a ont même parité, alors le nombre de chemins de(m, a) et (n, b) est exactement

Cn= n_{− m} n−m 2 +b−a2 ! Dv

• Preuve — Étant donné un chemin joignant les points(m0, a0), (m1, a1), . . ., (mr, ar), il est clair que la parité de mi+1est l’inverse de la parité de mi, tout comme la parité de ai+1est l’inverse de celle de ai. Si la suite m0, m1, . . ., mr change un nombre pair de fois de parité, il en va de même pour la suite a0, a1, . . ., ar(idem dans le cas impair), et donc les extrémités(m, a) et (n, b) vérifient la propriété « n − m et b − a ont même parité ».

— De même, si |b − a| > n − m, alors pour joindre (m, a) et (n, b), il faudrait au moins |b − a| montées (ou descentes), en seulement n − m étapes.

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— Enfin, si |b − a| ≤ n − m et n − m et b − a n’ont pas même parité, alors tout chemin joignant (m, a) et (n, b) est obtenu en « montant » n−m

2 +b−a2 fois et en « descendant »n−m2 −b−a2 .

En effet, si p désigne le nombre de montées, c’est-à-dire le nombre d’indices i tels que ai+1 = ai + 1, et d le nombre de descentes, c’est-à-dire le nombre d’indices i tels que ai+1 = ai− 1 alors on a n − m = p + d (les n − m pas du chemin étant soit des montées, soit des descentes), et b− a = p − d (la progression totale est égale au nombre de fois où l’on a monté, p, multiplié par la valeur de la montée,1, plus le nomber de fois où l’on a descendu, d, multiplié par la valeur de la progression dans ce cas, −1). En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient bien p=n−m

2 +b−a2 .

Un chemin joignant(m, a) à (n, b) est alors caractérisé par l’ordre dans lequel on monte et on descend, c’est-à-dire par les indices i où l’on monte. Il s’agit donc de choisir n−m

2 +b−a2 indices parmi n − m, soit

un nombre de chemins de n−m

n−m 2 +b−a2

.

Théorème 9.10— Principe de réflexion. Soient a et b deux entiers strictement positifs, et m < n deux entiers. Alors le nombre de chemins joignant(m, a) à (n, b) et touchant l’axe des abscisses est exactement le nombre de chemins joignant(m, a) à (n, −b).

Dv

• Preuve La preuve de ce principe est assez simple : elle repose sur l’idée qu’un chemin joignant(m, a) à(n, −b) passe nécessairement par la valeur 0. On peut alors établir une correspondance bijective entre les chemins de ces deux types par symétrie d’une partie de ces chemins (à partir du moment où l’on touche l’axe des abscisses) par rapport à ce même axe.

(m, a)

(n, b)

(n, −b)

Sn

n

9.3.3 Application sur des exemples

Exemple 9.11 Au cours d’un scrutin opposant deux candidats A et B, le candidat A obtient600

voix et le candidat B en obtient400. Quelle est la probabilité pour que A ait été majoritaire (au sens

(7)

9.3 Un cas particulier de chaîne de Markov : marches aléatoires sur Z 15

Dv

Nous allons modéliser le dépouillement par un chemin dans le plan. Lors du processus de dé-pouillement, on ouvre les enveloppes une à une, chacune contenant un bulletin « A » ou un bulletin « B ». Si l’on affecte la valeur1 aux bulletins « A »et la valeur −1 aux bulletins « B », alors on peut représenter le déroulement du dépouillement par un chemin qui part du point(0, 0), va monter 600 fois et descendre400 fois, donc qui arrive au point (1000, 200). On considère que tous les ordres possibles d’apparition, au cours du dépouillement, des bulletins « A » et « B » sont équiprobables. Le nombre total de dépouillements possibles est 1000₆₀₀.

On cherche le nombre de chemins de(0, 1) à (1000, 201) qui ne touchent pas l’axe des abs-cisses. C’est le nombre total de chemins de(0, 1) à (1000, 201) (à savoir 1000

600) moins le nombre

de chemins de(0, 1) à (1000, 201) qui touchent l’axe, c’est-à-dire le nombre de chemins de (0, 1) à(1000, −201), soit 1000399.

La probabilité cherchée, sous l’hypothèse que tous les dépouillements possibles sont équipro-bables, est donc :

1000 600− 1000399 1000 600 = 1 − 1000! 399!601! 1000! 400!600! = 1 − 400 601 = 201601 '0,334

La probabilité que le candidat ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement est d’environ0,334.

Exemple 9.12 100 personnes font la queue à un guichet de cinéma. La place coûte 5 e. 60 personnes

ont un billet de5 e, tandis que les 50 autres ont des billets de 10 e. Combien faut-il prévoir de billets de5 e en caisse pour qu’avec une probabilité d’au moins 95%, tous les spectateurs soient servis, dans l’ordre dans leuel ils se présentent à la caisse.

Dv

Si l’on appelle S0 le nombre de billets de5 e dans la caisse au moment initial, et ue l’on trace

la courbe représentative du nombre de billets de 5 e dans la caisse en fonction du nombre de spectateur qui ont déjà acheté leur billet, on obtient exactement un graphe du type voulu. À chaque fois qu’un spectateur passe à la caisse, soit il a un billet de5 e et paye avec, auquel cas le nombre de billets de5 e dans la caisse augmente d’un, soit il n’a qu’un billet de 10 e, auquel cas le nombre de billets de5 e dans la caisse diminue d’un, qui correspond à la monnaie qu’on lui rend.

Au total, sur les100 spectateurs, 60 donnent un billet de 5 e et 40 en reçoivent un, et donc on a à la fin S0+ 20 billets de 5 e. La courbe tracée est donc un chemin de (0, S0) et (100, S0+ 20).

Pour que tous les spectateurs soient servis, dans l’ordre dans lequel ils se présentent à la caisse, il faut que le chemin ne traverse pas l’axe des abscisses.

Il s’agit donc de trouver le plus petit S0 pour lequel la probabilité de traverser l’axe des

abs-cisses soit inférieur à5%. Là aussi, étant donné S0, la probabilité pS0pour que le chemin traverse l’axe des abscisses est la probabilité pour qu’un chemin de (0, S0 + 1) à (100, S0+ 21) touche

l’axe des abscisses. C’est donc le rapport du nombre de chemins de(0, S0+1) à (100, −(S0+21))

au nombre de chemins de(0, S0+ 1) à (100, S0+ 21). On trouve : pS0 = 100 50−(S0+11) 100 60 = 60!40! (39 − S0)!(61 + S0)! = Q40 k=40−S0k Q61+S0 k=61 k .

(8)

On calcule les valeurs successives de pS0 lorsque S0 varie. On trouve les valeurs approchées

suivantes :

S0 0 1 2 3 4 5

pS0 0, 656 0, 412 0, 249 0, 144 0, 080 0, 042

Il faut donc5 billets au départ dans la caisse pour qu’avec une probabilité d’au moins 95%, tous les spectateurs soient servis.

9.3.4 Premier retour en 0

Lemme 9.13 La probabilité pour que S2nsoit nul est P(S2n= 0) = ( 2n

n)

22n. Dv

• Preuve En effet, le nombre de chemins de(0, 0) à (2n, 0) est exactement 2n

n

puisqu’il correspond au nombre de façon de choisir les n montées (et donc les n descentes). Comme il y a par ailleurs 22n

trajectoires possibles de longueur2n (2 choix possibles à chaque étape), et que toutes les trajectoires sont équiprobables, on a bien : P(S2n = 0) = 2n n 22n. Si E:= {n ≥ 1, Sn= 0}, notons : T0= ( inf E si card(E) < +∞ +∞sinon .

T0correspond à l’instant de premier retour en0. S’il est fini, il est nécessairement pair. Théorème 9.14 La probabilité pour que le premier retour en0 ait lieu à l’instant 2n est :

P(T0 = 2n) = ₂_2n−11 ( 2n − 2 n_{− 1} ! − 2n − 2 n_{− 2} ! ) = ₂_2n−1(2n − 2)! n!(n − 1)!. Dv

• Preuve On distingue deux cas selon que l’on a S1 = 1 ou S1 = −1. Si S1 = 1, alors il s’agit de

calculer le nombre de chemins de(1, 1) à (2n, 0) qui ne touchent pas l’axe des abscisses avant l’étape 2n. Mais le dernier pas est alors imposé : on a nécessairement S2n−1 = 1, puisque l’on cherche des chemins

qui aboutissent à la valeur0 sans avoir jamais touché l’axe des abscisses. Il s’agit donc de dénombrer le nombre de chemins de(1, 1) à (2n − 1, 1) ne touchant pas l’axe des abscisses, c’est-à-dire le nombre total de chemins moins le nombre de chemins qui touchent l’axe. D’après le principe de réflexion, ce dernier est égal au nombre de chemins de(1, 1) à (2n − 1, −1). Au total on trouve :

2n − 2 n_{− 1} −2n − 2_n − 2 .

Conditionnellement à l’hypothèse S1 = 1, on trouve donc une probabilité pour que T0 = 2n de

(2n−2

n−1)−(2n−2n−2)

22n−2 ×12. Le premier terme du produit est la probabilité pour que la marche aléatoire passe de la

valeur S1 = 1 à la valeur S2n−1 = 1 sans toucher l’axe (rapport du nombre de trajectoires favorables sur

(9)

9.4 Marches aléatoires sur Zd ₁₇

l’on a S_2n−1 _{= 1 (il faut que le dernier pas soit de −1). Lorsque S}1 = −1, la situation est totalement

symétrique, donc on trouve exactement la même probabilité. Au total, on a trouvé :

P(T0= 2n) = 2n−2 n−1 − 2n−2n−2 22n−1 .

En revenant aux expressions définissant les nombres n k on obtient : P(T0= 2n) = ₂_2n−11 _{(2n − 2)!} (n − 1)!(n − 1)! −n(2n − 2)!!(n − 2)! = ₂_2n−1(2n − 2)! n!(n − 1)!(n − (n − 1)) = (2n − 2)! 22n−1_n_{!(n − 1)!}

On remarque, enfin, que cette dernière expression nous permet d’obtenir la relation P(T0 = 2n) =

P(S_2n−2= 0) − P(S2n= 0). En effet, on a : P(S_2n−2= 0) − P(S2n= 0) = 2n−2 n−1 − 2n n 22n = ₂1_2n 4 (2n − 2)! (n − 1)!(n − 1)! −(2n)!n!n! = (2n − 2)! 22n_n_!n! (4n2− 2n(2n − 1)) = ₂_2n−1(2n − 2)! n!(n − 1)!. Ainsi : P(T0= 2n) = P (S2n−2= 0) − P(S2n= 0). 9.3.5 Modèle du joueur En exercice.

Exemple 9.15 Une personne dispose d’un capital de départ c (c entier). Elle joue à pile ou face

de manière répété une somme de 1, jusqu’à atteindre un but b qu’elle s’est fixée au départ, ou bien jusqu’à ce qu’elle ne puisse plus jouer (lorsque sa fortune atteint la valeur0). Quelle est la probabilité

pour qu’elle atteigne son objectif b ?

9.4 _{Marches aléatoires sur Z}

d

9.4.1 En deux dimensions

On considère une marche aléatoire sur le réseau plan Z2. Il y a ici quatre mouvements possibles à chaque site : en avant, en arrière, à droite, à gauche.

Pour de longues marches, la distribution de la position finale du marcheur se comporte asympto-tiquement comme une distribution gaussienne.

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FIGURE9.1 – Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau Z2

9.4.2 En trois dimensions

On considère une marche aléatoire sur le réseau cubique Z3. Il y a ici six mouvements possibles à chaque site : en avant, en arrière, à droite, à gauche, en haut et en bas.

FIGURE9.2 – Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau Z3

9.4.3 Récurrence et dimensionnalité

Récurrence

Considérons une marche aléatoire isotrope (c’est-à-dire tels que chaque mouvement, à un instant fixé, ait la même probabilité d’être choisi) sur le réseau Zd_{à d dimensions spatiales. On peut toujours} choisir de prendre le point de départ de cette marche comme origine O du système de coordonnées cartésiennes. La question de la récurrence consiste à se demander si on peut trouver au moins un instant t positif fini pour lequel la particule repasse par l’origine O.

Définition 9.16 — Marche aléatoire récurrente. La marche aléatoire sera dite récurrente si et seule-ment si la probabilité que la particule repasse à l’origine O pour un certain instant t ultérieur fini vaut1.

Théorème de Pólya

(11)

9.5 Marches aléatoires sur un groupe 19

Théorème 9.17— Théorème de Pólya. — Pour d = 1 et d = 2, la marche aléatoire isotrope est récurrente.

— Pour d ≥ 3, la marche aléatoire n’est pas récurrente ; on dit alors qu’elle est transitoire ou transient.

Dv

On sait calculer la probabilité que le marcheur, parti initialement de l’origine, revienne à l’origine, et ce pour toutes les dimensions d >2. Cette probabilité p(d) admet l’expression suivante :

p(d) = 1 − 1 u(d)

où u(d) est une intégrale à d dimensions :

u(d) = d (2π)d Z π −π· · · Z π −π dx1· · · dxd d_{− cos x}1− · · · − cos xd .

Pour d= 3, on obtient l’expression analytique suivante :

u(3) = √6

32π3Γ(241)Γ(245)Γ(247 )Γ(1124) ' 1, 516 . . .

oùΓ(x) est la fonction Gamma d’Euler.

On obtient donc en trois dimensions une probabilité de retour à l’origine :

p(3) ' 0, 3405 . . .

Des valeurs numériques pour u(d) (avec 4 ≤ d ≤ 8) ont été trouvés :

d 4 5 6 7 8

u(d) 0, 193 0, 135 0, 105 0, 0858 0, 0729

9.5 Marches aléatoires sur un groupe

Dv

On considère un groupe(G, ◦), qu’on suppose multiplicatif. On se donne une suite Y = (Yn)_n_≥1 de variables aléatoires indépendantes et de même loi (qu’on appelle ν), variables aléatoires toutes à valeurs dans (G, ◦). On se donne aussi une variable aléatoire X0 à valeurs dans (G, ◦), de loi

quelconque, et indépendante de Y = (Yn)_n_≥0. On pose alors, pour n ≥ 1 : Xn= Xn−1◦ Yn.

Définition 9.18 — Marche aléatoire sur G. La suite X = (Xn)n≥0est alors une chaîne de Markov,

et est dite marche aléatoire sur G de pas ν.

On accepte aussi comme marche aléatoire, une suite définie par la relation de récurrence :

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Pour distinguer les deux types de chaînes de Markov ainsi définies, on parle parfois de marche aléatoire droite et de marche aléatoire gauche. Le terme général pg,hde la matrice de transition de chaîne de Markov est défini, pour(g, h) ∈ G2_{, par :}

pg,h = ν(g−1◦ h) ou bien pg,h = ν(h ◦ g−1), suivant que la marche aléatoire est droite ou gauche. On peut vérifier que :

X g∈G pg,h= X g∈G ν(g−1_{◦ h) =} X g∈G ν(g−1) =X g∈G ν(g) = 1,

car g 7→ g ◦ h et g 7→ g−1_{sont des bijections de G dans G. Ainsi, une mesure uniforme sur G est}

une mesure stationnaire.

9.6 Marches aléatoires grandeur nature

Dv

Une expérience scientifique originale s’est déroulée le 16 octobre 2005 dans les rues de Toulouse. Environ 300 lycéens, partis de la place du Capitole, ont parcouru les rues de la ville, en lançant à chaque carrefour le dé pour décider de leur trajectoire (mode d’emploi distribué aux participants). Le but était de modéliser le célèbre mouvement brownien, à l’occasion du centième anniversaire de l’article d’Albert Einstein qui en établissait la théorie. Chaque participant devait relever sa position après 10, 20, 30, 40, 50, et enfin 60 carrefours. Les cartes ci-contre figurent ces différents moments de l’évolution du « nuage de participants ». L ’expérience avait bien entendu des enjeux mathématiques et physiques, disciplines où la théorie des marches aléatoires est très présente et bien connue. Mais un résultat frappant fut l’apparition de phénomènes liés à la géographie particulière de la ville. Les résultats théoriques classiques peuvent s’établir facilement dans le cas de la marche aléatoire sur un « réseau régulier à maille carrée » (certains plans de villes américaines s’approchent bien de ce modèle). On peut les résumer ainsi :

— le nuage de participants reste approximativement centré sur le point de départ

— il s’étale de façon isotrope (identique dans toutes les directions : le nuage est « rond »), suivant une loi en racine carrée du nombre de carrefours parcourus. Sur les cartes ci-contre, on a ainsi tracé des cercles englobant 90% des participants à une phase donnée de l’expérience.

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Ces résultats s’étendent aux « réseaux irréguliers homogènes », c’est-à-dire dans lesquels les quantités remarquables (la densité de carrefours, les nombres de rues par carrefours) sont globale-ment équivalentes aux différents endroits du réseau. Pour l’expérience de Toulouse, la théorie est bien respectée, à deux perturbations près :

— une zone de très faible densité de carrefours, au nord-est de la place du Capitole, a donné lieu à une faible concentration de particules, mais aussi à quelques trajectoires très longues ; — plus marquée, une sorte de « barrière » a été très peu franchie par les participants. Il s’agit d’une ligne, prolongeant la Garonne, qui contient très peu de points de franchissement. Le nuage de participants a en quelque sorte « rebondi » sur cette barrière.

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Bibliographie

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[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

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[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

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[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

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[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html