Contribution à la commande non linéaire par des approches linéaires

Texte intégral

(1)Contribution à la commande non linéaire par des approches linéaires Yann Labit. To cite this version: Yann Labit. Contribution à la commande non linéaire par des approches linéaires. Mathématiques [math]. INSA de Toulouse, 2002. Français. �tel-00131792�. HAL Id: tel-00131792 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00131792 Submitted on 19 Feb 2007. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) i. Th se Pr par e au. Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systmes du CNRS en vue de l'obtention du grade. Doctorat de l'Institut National des Sciences Appliques de Toulouse Sp cialit : Syst. mes Automatiques. par. Yann LABIT. Titulaire du Diplme d'tudes Approfondies en Automatique et Informatique Industrielle. CONTRIBUTION A LA COMMANDE NON LINEAIRE PAR DES APPROCHES LINEAIRES.

(3) ii.

(4) iii. Avant-Propos Les travaux pr sent s dans ce m moire ont t eectu s au Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systmes (L.A.A.S.) du C.N.R.S., au sein du groupe M thodes et Algorithmes en Commande (M.A.C.). Je remercie MM. Jean-Claude Laprie et Augustin Martinez, respectivement actuels directeur et directeur-adjoint du L.A.A.S., de m'avoir accueilli dans ce laboratoire et pour avoir mis

(5) ma disposition les ressources n cessaires

(6) l'aboutissement de cette thse. M. Mekki Ksouri, professeur

(7) l'Institut National des Sciences Appliqu es et de Technologie (I.N.S.A.T.) de Tunis et M. Driss Mehdi, professeur

(8) l'Ecole Sup rieure des Ing nieurs de Poitiers (E.S.I.P.), ont accept de donner de leur temps pour lire ce manuscrit et en tre les rapporteurs. Qu'ils en soient tout particulirement remerci s. Ces remerciements s'adressent aussi

(9) M. Franois Kubica ing nieur de la soci t E.A.D.S. Airbus France

(10) Toulouse, pour avoir accept de participer

(11) l'examen de ce travail et en avoir assur la critique. Je tiens particulirement

(12) exprimer toute ma reconnaissance envers M. Andr Titli professeur au d partement de G nie Electrique et Informatique de l'Institut National des Sciences Appliqu es (I.N.S.A.) de Toulouse, pour avoir accept de pr sider le jury de cette thse. Les discussions que nous avons eues sur l'Automatique et en particulier sur la logique oue m'ont toujours passionn et aid

(13) y voir plus clair. Il est maintenant temps de remercier les deux personnes, qui ont t

(14) l'origine de ce travail. Tout d'abord M. Jacques Bernussou, directeur de recherche au C.N.R.S. et responsable du groupe M.A.C. et M. Germain Garcia, professeur

(15) l'I.N.S.A. de Toulouse, pour avoir encadr s ce travail et pour la conance qu'ils m'ont t moign e durant ces trois ann es et pour leurs conseils. Ils ont s ensemble, ou bien chacun

(16) leur tour (quand les contraintes taient trop fortes) me donner un peu de leur pr cieux temps pour m'expliquer, m' couter, me re-diriger quand je me dispersais et planier ma thse ainsi que ma r daction de manuscrit..

(17) iv. Il serait dommage, dans cet avant propos de ne pas parler des amis et collgues que j'ai ctoy s au sein du L.A.A.S. durant trois ans. Je ne peux les citer tous, mais je tiens tous particulirement

(18) remercier ceux avec qui j'ai partag le bureau E54. A savoir Olivier, matre de conf rences

(19) Poitiers, Vincent, matre de conf rences

(20) l'I.N.S.A. de Toulouse et qui se bat avec sa station (le degr z ro de l'informatique !), Christian , enseignant

(21) Toulouse et Pedro,

(22) qui viendra bientt le tour de la soutenance. Merci

(23) Isa, Sophie, Brigitte, Dimitri, Denis, Didier, pour leurs discussions scientiques, morales et sportives. Je remercie tous les services techniques pour leur bonne volont et sourire

(24) chaque fois que j'avais besoin d'eux, en particulier Christian el toreador Berty. Pour terminer, je tiens

(25) dire un grand merci

(26) tous les membres du groupes M.A.C. que je n'ai pas cit s, Les Tortues du L.A.A.S. sp cialement Marido, Danielle, Totof et les enseignants de l'U.P.S. et de l'I.N.S.A. et

(27) tous les amis qui m'ont soutenu durant trois ans... A ton tour Frechou....

(28) TABLE DES MATI RES. v. Table des mati res Avant-Propos Table des matires Notations et abrviations Introduction Gnrale I Contexte et motivations I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6. II. II.1 II.2 II.3. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les systmes lin aires et non lin aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1 Les systmes lin aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.2 Les systmes non lin aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilit , performances et robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1 Stabilit des systmes autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.2 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.3 Robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des approches multi-modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1 S quencement de gains (Gain Scheduling ) . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Les modles LPV et Quasi-LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.3 Les modles ous et commande oue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probl matique du m moire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 But recherch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Introduction

(29) la notion de fonctions canoniques lin aires par morceaux (CPWL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approximation systmatique de systmes non linaires. iii vii ix 1 3 4 5 5 14 16 17 24 28 30 30 31 33 37 37 38 38. 41. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Algorithme g n ral 64] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.

(30) vi. TABLE DES MATI RES. II.3.1 Modle lin aire par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . II.3.2 Modles lin aires incertains polytopiques . . . . . . . . . II.3.3 Synthses robustes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.4 Loi de commande globale par s quencement . . . . . . . II.3.5 Organigramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Problmes li s

(31) l'approche CPWL . . . . . . . . . . . . . . . II.4.1 Compromis pr cision - compl xit - faisabilit . . . . . . II.4.2 Systme

(32) comportement de type non minimum de phase II.4.3 Cne d'incertitude pour une non lin arit

(33) N-arguments II.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. III. IV. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. Synthse de lois de commande robustes squences. III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Commande par retour d' tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 Stabilisabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.2 Synthse H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.3 Synthse H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.4 Stabilisabilit et placement de ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3 Commande par retour de sortie dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.1 Stabilisabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.2 Synthse H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.3 Synthse H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.4 Stabilisabilit et placement de ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.4 Solveurs d'in galit s matricielles lin aires (LMIs) . . . . . . . . . . . . . . . III.4.1 LMI Control Toolbox 36] et SeDuMi 92] . . . . . . . . . . . . . . . III.5 CaPiLARS 1.01 v. Beta: un prototype logiciel pour l'approche CPWL 63] III.5.1 Probl matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5.2 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Applications numriques. IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . IV.2 Pendule invers . . . . . . . . . . IV.2.1 Pr sentation . . . . . . . . . IV.2.2 Mod lisation CPWL . . . . IV.2.3 Simulations . . . . . . . . . IV.3 Commande d'un panneau solaire . IV.3.1 Pr sentation . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 56 64 67 68 68 68 70 70 71. 73. 74 75 75 76 78 79 81 81 84 89 93 97 98 99 99 100 103 108. 111 112 112 112 113 115 119 119.

(34) TABLE DES MATI RES. IV.3.2 Convertisseur DC-to-DC survolteur ou Boost! . . . . . . . . IV.3.3 Panneau solaire entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4 Moteur d'a ration MTB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4.1 Pr sentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4.2 Mod lisation CPWL par deux non lin arit s

(35) un argument IV.5 Lois de commande multi-modles de la litt rature . . . . . . . . . IV.5.1 Commande s quenc e CPWL . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.5.2 Commande s quenc e par ellipso"des . . . . . . . . . . . . . IV.5.3 Commande Q-LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.5.4 Commande oue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.5.5 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Conclusion Gnrale Annexes A Initialisation de l'approximation d'une non linarit B Approche par ellipso des

(36) 67] Rfrences bibliographiques Table des gures Listes des tableaux Index. vii. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 119 125 130 130 133 136 137 138 139 141 145 147. 149 152 153 155 159 167 171 172.

(37) viii. TABLE DES MATI RES.

(38) Notations et abrviations. ix. Notations et abrviations Nous donnons ici quelques notations et les abr viations qui, outre celles qui seront ponctuellement introduites dans ce document, seront r gulirement utilis es. Notations: IR O 1I M <0 M >0 M1 < M2 (M1 > M2) MT M M ;1 jjM jj2 jjTzw jj2 jjTzw jj1 #(M ) #(M ). . Mij diag(M1 : : : Mn) s T (s) R( ) F (x u) f (x u) f(x u) r. Corps des nombres r els. Matrice nulle. Matrice identit . La matrice M est d nie n gative. La matrice M est d nie positive. La matrice M1 ; M2 est d nie n gative (resp. positive). Matrice transpos e. Matrice conjugu e. Matrice inverse de M (pour M carr e de rang plein). Norme-2 de la matrice M . Norme-H2 du transfert Tzw . Norme-H1 du transfert Tzw . Valeur propre maximale de la matrice M . Valeur propre minimale de la matrice M . Produit matriciel de Kronecker. El ment de M situ

(39) la i me ligne et

(40) la j me colonne. Matrice bloc diagonale. Variable de Laplace. Matrice de transfert en continu. R gion convexe du plan complexe. Forme g n rale d'un systme non lin aire. Partie non lin aire d'un systme non lin aire. Approximation de f (x u). Nombre d'hyperplans de la r-ime non lin arit ..

(41) x. i j k r x1 xei x1ei. Indice du nombre de modles LTI incertains (Nombre de modle LTIs incertains: N '). Indice du nombre de sommets de la matrice dynamique des modles LTIs incertains (Nombre de sommets: N ). Indice du nombre de sommets de la matrice de commande des modles LTIs incertains (Nombre de sommets: M). Indice du nombre de non lin arit s (Nombre de non lin arit s: ). Premire composante du vecteur (d' tat) x. i-me point d' quilibre pour le vecteur d' tat x - Notation dans l'espace d' tat. Valeur de la premire composante x1 du point d' quilibre xei.. Abr viations: LMI BMI LTI LPV Q-LPV CPWL CPWLF NL TP BP. In galit Matricielle Lin aire. In galit Matricielle Bilin aire. Lin aire Invariant dans le Temps. Lin aire

(42) Paramtres Variants. Quasi-Lin aire

(43) Paramtres Variants. Canonique Lin aire par Morceaux. Fonction Canonique Lin aire par Morceaux. Non lin aire / Non lin arit . Point d' quilibre (Trim Point) - Notation dans l'espace (g om trique). Point de cassure (Break Point) - Notation dans l'espace (g om trique)..

(44) Introduction Gnrale. 1. Introduction Gnrale. La commande des systmes non lin aires constitue un domaine trs actif de recherche en Automatique et, on peut dire, encore trs ouvert. La diversit des comportements des ph nomnes dynamiques qui peuvent tre observ s pour cette classe de systmes explique, au plan fondamental, la grande vari t des approches qui, depuis longtemps d j

(45) , et pour une dur e encore trs longue certainement, ont t et vont tre d velopp es. La th orie des systmes lin aires est, par contre, arriv e

(46) un aboutissement trs lev et, s'il est possible d'envisager des sujets nouveaux, ils sont pour la plupart plus ou moins en liaison avec les tentatives fates pour l'utilisation des techniques lin aires pour la maitrise des systmes non lin aires. C'est dans ce cadre que s'inscrit le travail d velopp dans ce m moire et il est

(47) inclure dans la classe des approches multi-modles utilisant la technique de s quencement des gains. Il s'agit d'une approche relativement heuristique qui consiste

(48) approximer le systme non lin aire par un ensemble de systmes lin aires pour lesquels sont d termin es des commandes via les m thodes classiques des systmes lin aires (LQ, LQG, placement de ples, H2, H1, etc). La commande globale consiste en un s quencement des gains locaux en fonction de l' tat mesur sur le systme. Nombre de ces approches, et en particulier celles d velopp es dans le cadre de la logique oue, comportent un degr d'impr cision, d'approximation assez lev . Pour ce type d'approche, l' valuation des performances et leur validation ne peut passer que par des simulations. Un moyen, qui pour tre

(49) peu prs convaincant, se doit d' tre trs lourd. L'approche propos e ici a pour ambition de proposer une synthse de commande dans un processus pas

(50) pas qui permette d'assurer un certain niveau de performances garanties, ou du moins, une m thode syst matique pour y arriver. Le premier pas dans cette direction est fourni par la technique qui permet d'approximer le systme non lin aire par un ensemble de systmes lin aires (systme lin aire par morceaux) avec un niveau de pr cision pr d ni et param tr . Le deuxime pas est l'utilisation de m thodes de commande robustes qui vont permettre d'assurer les stabilit s locales et ce, dans des domaines d'espace d' tat, non innitis maux. Ce.

(51) 2. Introduction Gnrale. dernier point va permettre de maitriser la complexit de la commande globale et des techniques de s quencement en permettant l'obtention d'une cardinalit raisonnable pour l'ensemble des systmes lin aires approximant. Ce m moire est organis de la faon suivante: $ Le premier chapitre pr sente les concepts de base n cessaires

(52) la bonne compr hension du m moire. Cela permet d'aborder les notions de systmes lin aires et non lin aires, d'incertitudes, de stabilit , de performances, de robustesse et enn, quelques id es sur des approches multi-modles. Ces concepts seront

(53) la base des techniques propos es dans ce m moire. $ Le second chapitre d veloppe l'approche CPWL, m thode mise au point au cours de cette thse. Bas e sur les fonctions canoniques lin aires par morceaux (CPWLF) et sur l'aspect syst matisation de l'approche, cette m thode permet de faire la synthse robuste s quenc e d'une certaine classe de systmes non lin aires, des systmes ayant des non lin arit s

(54) un ou deux arguments. Les arguments sont les variables d' tats et les commandes. $ Le troisime chapitre d veloppe la dernire partie de l'approche CPWL, aprs l'approximation des non lin arit s et la recherche de modles LTI incertains polytopiques, l' tape de synthse robuste. Cette m thode permet la synthse de compensateurs par retour d' tat et de sortie dynamique en tenant compte de plus ou moins de performances, c'est

(55) -dire en garantissant un rejet de perturbation H2, H1 ou un placement de ples dans une r gion convexe du plan complexe. Pour r pondre au critre de syst matisation, la dernire partie de ce chapitre est consacr e

(56) la pr sentation du premire version du prototype logiciel CaPiLARS issue de l'approche CPWL. $ Le quatrime et dernier chapitre est consacr

(57) l'application de l'approche CPWL sur plusieurs systmes non lin aires. Les premires applications permettent d'illustrer directement et simplement la m thode. Dans un second temps, nous essayerons de situer l'approche CPWL parmi les approches pr sent es dans ce m moire en recherchant les forces et les faiblesses de chacune et plus particulirement pour l'approche propos e et ainsi mettre en vidence les caract ristiques communes et propores de cette dernire. Nous terminerons ce m moire par une conclusion g n rale mettant l'accent sur la contribution de cette m thode quant

(58) la r solution de problmes de commande robuste s quenc e pour des systmes non lin aires, ainsi que sur les volutions possibles et les recherches ult rieures, qui permettront de prolonger les travaux..

(59) Chapitre I Contexte et motivations L'objectif de ce premier chapitre est de replacer le travail de cette thse dans le cadre de l'Automatique et plus particulirement de la commande des systmes non lin aires. Des rappels sur les diverses repr sentations possibles des systmes lin aires et non lin aires y sont r pertori s et ont pour but d'exhiber le choix de mod lisation adopt e dans cette thse. Une brve introduction aux concepts de stabilit , de robustesse et de performance permet d'eectuer un inventaire des possibilit s existantes concernant l' tude des systmes lin aires et non lin aires. Quelques approches quali es de multi-modles sont d crites aussi dans ce chapitre an d'exhiber les di%cult s possibles pour chacune d'elles et les pistes de travail envisageables. Ceci nous a conduit,

(60) la suite de ces approches,

(61) pr ciser les objectifs qui ont motiv le travail pr sent dans ce m moire.. Se donner du mal pour les petites choses, c'est parvenir aux grandes, avec le temps. Samuel Beckett, Extrait de Molloy ]. 3.

(62) 4. Chapitre I. Contexte et motivations. I.1 Introduction Un des objectifs de l'Automatique est d'analyser le comportement de processus ou systmes (gure I.1.a), dynamiques, continus ou discrets, en boucle ouverte (sans correction) ou ferm e. Pour atteindre cet objectif, l'utilisation de modles est n cessaire. Il faudra penser avant tout aux caract ristiques du systme physique an d' tablir le modle le plus satisfaisant possible. C'est ce que l'on appelle la phase de mod lisation. Il est possible d'eectuer une phase d'identication 9, 69]

(63) partir du comportement entr e-sortie du processus comme le montre la gure I.1.b. u(t). Entrées. Processus (ou système). Sorties. Processus. y(t) Algorithme. Modèle. d’identification. (a). (b). Fig. I.1 Identication partir du comportement entre-sortie.. D'un point de vue pratique, nous nous int resserons aux systmes causaux le plus souvent strictement o& les grandeurs de sortie d pendent des valeurs pr sentes et pass es des grandeurs d'entr es. La d termination d'un modle du processus d pend de l'utilisation pr vue de ce modle, modle qui peut- tre trs di rent d'un autre en fonction des hypothses propos es et des approximations eectu es. Citons le cas des modles lin aires, continus ou discrets, invariants ou variants dans le temps, qui repr sentent une grande famille de modles. La deuxime famille est celle des modles non lin aires, qui repr sentent la majorit des systmes physiques que nous pouvons rencontrer. Par lin arisation locale, il est connu qu'il est possible d'aborder, dans le cas de non lin arit s faibles et continues, l' tude de systmes non lin aires au moyen de techniques lin aires. Toutefois, il existe une grande vari t de comportements qui chappent

(64) toutes tentatives de repr sentations et d' tudes lin aires. C'est pourquoi, il existe une branche de l'Automatique non lin aire qui s'est d velopp e autour d'approches dites multi-modles. C'est dans ce cadre que cette thse s'est inscrite. Il existe de nombreux exemples de telles approches et parmi celles proches de notre travail: le s quencement de gains (Gain Scheduling 83, 87, 88]), la commande lin aire

(65) paramtres variants (LPV/Quasi-LPV 89, 7, 74, 71, 20]) ou encore la commande oue (Fuzzy Control 28, 10, 94]), etc. Enn, rappelons qu'il est courant de ne pas connatre parfaitement les caract ristiques des processus, ce qui se traduit par des incertitudes de mod lisation. Ces incertitudes seront prises en compte dans la mod lisation et auront une inuence sur la d termination de la loi de commande. C'est la commande robuste. Ce chapitre est organis de la manire suivante: aprs avoir d crit les deux familles de.

(66) I.2. Les systmes linaires et non linaires. 5. modles, lin aires et non lin aires, avec leurs caract ristiques respectives, nous pr senterons quelques l ments compl mentaires qui favoriseront la bonne compr hension du m moire, c'est

(67) -dire les notions de stabilit , de robustesse et de performance. Puis, nous nous attacherons

(68) sp cier des m thodes utilisant une famille de modles an de repr senter le modle non lin aire au moyen de celle-ci. Nous y pr senterons dans un premier temps, la m thode dite de s quencement de gain avec son champ d'applications, puis dans un second temps, l'approche LPV/Q-LPV sera introduite pour enn terminer, avec ces approches multi-modles, par la commande oue. Chaque m thode apporte son lot d'avantages et d'inconv nients, et a orient cette thse vers une approche qui semble tre valable pour la commande d'une classe particulire de systmes non lin aires. Par cons quent,

(69) la suite de ces pr sentations et pour conclure ce chapitre, nous d crirons les fondements, les objectifs et les motivations de cette thse.. I.2 Les syst mes linaires et non linaires Le caractre lin aire est g n ralement une id alisation car la plupart des systmes physiques sont en r alit non lin aires. Pour des raisons de simplicit , le modle ayant servi pour la conception de la loi de commande ne tient pas toujours compte de certains ph nomnes, tels que des perturbations, des frottements, des dynamiques rapides, etc. Il est possible, quand les non lin arit s le permettent, de lin ariser un modle non lin aire autour de points de fonctionnement et de travailler avec des modles lin aires valables localement. Le modle lin aire r sulte alors d'une approximation du modle non lin aire. L'approximation d'un modle non lin aire par un modle lin aire unique peut produire

(70) un comportement bien loign du comportement r el: un moyen pour pallier cela, consiste

(71) utiliser une famille de modles lin aires pour repr senter le systme r el. Cette famille de modles peut tre constitu e sur la base d'un modle nominal et d'un domaine param trique d'incertitude. Dans cette section nous allons rappeler les d nitions des deux classes de modles avec leurs caract ristiques respectives.. I.2.1 Les systmes linaires Dnition. Les systmes lin aires se caract risent principalement par deux propri t s, la proportionnalit et l'additivit , qui se r sument par le principe de superposition dont la d nition est la suivante:. Dnition I.1 : Soit z1(t) et z2(t) les volutions respectives d'un processus P pour les entres u1(t) et u2(t). Il est dit linaire si pour:. u(t) = 1u1(t) + 2u2(t). (I.1).

(72) 6. Chapitre I. Contexte et motivations. avec 1, 2 2 IR, alors, il est possible d'crire la sortie z (t),. z(t) = 1z1(t) + 2z2(t). (I.2). Les systmes dynamiques lin aires peuvent tre class s en plusieurs cat gories, par exemples: $

(73) temps continu /

(74) temps discret, $ invariant dans le temps / variant dans le temps, $ monovariable / multivariable. Dans le cadre de cette thse, nous nous int resserons particulirement aux systmes lin aires et non lin aires, continus invariants dans le temps. Il existe des repr sentations qui permettent de d crire le comportement d'un systme dynamique lin aire dans le domaine temporel ou dans le domaine fr quentiel. Pour le domaine fr quentiel, il s'agit des repr sentations par les fonctions ou matrices de transfert, en continu et en discret. Et, pour le domaine temporel, la principale repr sentation est la repr sentation d' tat qui repose sur les quations di rentielles. Dans le cadre de notre tude, nous nous limiterons

(75) la repr sentation d' tat des modles lin aires et non lin aires. Pour plus de d tails sur les repr sentations fr quentielles et temporelles, le lecteur pourra consulter 9].. Reprsentations. La repr sentation d' tat constitue une alternative int ressante pour la mod lisation car elle permet de mettre en vidence des informations internes du processus qui n'apparaissent pas n cessairement dans la repr sentation par fonction (ou matrice) de transfert. Dans le cas g n ral des systmes dynamiques lin aires, un systme est d crit par les quations suivantes: 8 > x_ (t) = A(t)x(t) + B1(t)w(t) + B2(t)u(t) > > < z(t) = C1(t)x(t) + D11(t)w(t) + D12(t)u(t) (I.3) y(t) = C2(t)x(t) + D21(t)w(t) + D22(t)u(t) > n m q > > : xw 22 IRIRl zu 22 IRIRp 8yt 2 IR0 o& x, u, w sont respectivement les vecteurs d' tat, de commande, de perturbation et z, y sont respectivement les sorties contrl es et mesur es. Le systme pr c dent est continu lin aire

(76) temps variant (LTV). Plus simplement, et s'il n'existe pas de perturbation w et que les sorties mesur es y s'identient aux sorties contrl es z, cette repr sentation g n rale se r crit de.

(77) I.2. Les systmes linaires et non linaires. manire suivante:. 7. 8 > > < xy_ ((tt)) == CA2((tt))xx((tt)) ++ BD222(t)(ut)(ut)(t) > x 2 IRn u 2 IRm > : y 2 IRq 8 t 0. (I.4). 8 > > < yx_ ((tt)) == CAx2x((tt)) ++ BD222u(ut)(t) > x 2 IRn u 2 IRm > : y 2 IRq 8 t 0. (I.5). Les matrices A, B2, C2 et D22, appel es respectivement matrice dynamique, matrice d'entr e, matrice de sortie et matrice de transmission directe, sont des matrices r elles de dimensions appropri es. Le modle est lin aire invariant dans le temps (LTI) si ses matrices ne d pendent pas explicitement du temps t:. Remarque I.1 : Pour viter la surcharge au niveau des critures, nous omettrons, dans les. chapitres suivants, de spcier la dpendance avec le temps t pour les variables d'tat, de commande, de sorties et de perturbations. Pour le syst me LTI prcdent, nous crirons. 8 > > < xy_ == CAx2x ++ BD222uu > x 2 IRn u 2 IRm > : y 2 IRq 8 t 0. (I.6) N. Pour le cas des systmes discrets, la repr sentation d' tat est compos e d' quations r currentes qui, dans le cas g n ral, s' crivent:. 8 > x +1 = A x + B1 w + B2 u > > < z = C1 x + D11 w + D12 u > yx =2 CIR2n x +u D221IRwm + Dy 222uRq > : w 2 IRl z 2 IRp 8 t 0. (I.7). et dans le cas de systmes discrets LTI. 8 x +1 = Ax + B2u < : yx =2 IRC2nx +u D222uIRm y 2 IRq. (I.8).

(78) 8. Chapitre I. Contexte et motivations. Les variables x, u et y recouvrent les m mes signications que dans le cas continu, mais ne sont cette fois d nies qu'aux instants t 0.. Remarque I.2 : i) Il est possible de passer de la reprsentation dans l'espace d'tat celle par. fonction de transfert. On vrie aisment que la fonction de transfert de U ( ) Y ( ) est alors donne par T ( ) = D22 + C2( 1I ; A);1B2 (I.9) 1I tant la matrice identit et reprsente respectivement s et z dans les cas continu et discret. Alors, (A B2 C2 D22 ) est appele ralisation de T (s). Celle-ci n'est pas unique puisque pour n'importe quelle matrice inversible V telle que: A~ = V ;1AV B~2 = V ;1B2 C~2 = C2V D~ 22 = D22 (I.10). ~ B~2 C~2 D~ 22) est aussi une ralisation de T (s). (A ii) Ces di

(79) rentes reprsentations conviennent aux syst mes monovariables (une seule entre, une seule sortie, dits SISO) et dans ce cas, on parle de fonction de transfert, mais aussi aux syst mes multivariables (plusieurs entres, plusieurs sorties, dits MIMO). N. Pour plus de d tails sur les diverses repr sentations de modles, le lecteur pourra consulter les ouvrages 24, 55, 8].. Incertitudes. La connaissance exacte des modles n'est pas v ri e dans tous les cas, ce qui engendre des incertitudes de mod lisation. Il faut donc assurer une certaine robustesse aux imperfections du modle en question, c'est-

(80) -dire garantir les propri t s d sir es pour toute une famille de systmes autour d'un modle de r f rence. Les imperfections des techniques de mod lisation et l'impossibilit de conserver des modles d'ordre lev conduisent

(81) deux types d'incertitudes distincts: $ L'incertitude non structur e 13]. Ces incertitudes sont par exemple les dynamiques n glig es ou approxim es dans le modle. L'incertitude est consid r e comme un modle perturbateur se superposant au modle nominal (Tnom), ce qui s' crit dans le domaine fr quentiel:. T (s) = Tnom(s) + T (s). (I.11). o& T (s) est une fonction de transfert stable et T (s) repr sente le modle nominal (ou de r f rence). Cette incertitude, g n ralement haute fr quence, peut s' crire sous diverses.

(82) I.2. Les systmes linaires et non linaires. 9. formes: 1. Forme additive:. T (s) = Tnom (s) + a(s) avec a(jw)] jla(jw)j 8w 0. (I.12). 2. Forme multiplicative directe en entr e:. T (s) = Tnom(s)(1I + de(s)) avec de(jw)] jlde(jw)j 8w 0. (I.13). 3. Forme multiplicative inverse en entr e: T (s) = Tnom(s)(1I + ie(s));1 avec ie(jw)] jlie(jw)j 8w 0. (I.14). 4. Forme multiplicative directe en sortie:. T (s) = (1I + ds(s))Tnom(s) avec ds(jw)] jlds(jw)j 8w 0. (I.15). 5. Forme multiplicative inverse en sortie: T (s) = (1I + ds(s));1Tnom(s) avec is(jw)] jlis(jw)j 8w 0 (I.16) Toutes ces formes d'incertitudes non structur es sont illustr es sur la gure I.2. Les incertitudes

(83) l'entr e et en sortie repr sentent respectivement les erreurs ou uctuations sur les actionneurs et les capteurs. Cette incertitude est dite non structur e, au sens o& l'on ne connat rien de sa phase, et que la seule information dont on dispose est une borne de sa norme. Dans la repr sentation de l'espace d' tat (domaine temporel), un systme LTI incertain peut s' crire:. x_ = (A + A)x + (B. 2 + B2 )u y = (C2 + C2)x + (D22 + D22)u. (I.17). o& A, B2, C2 et D22 d crivant l'incertitude consid r e, traduisent essentiellement des variations param triques du modle. Dans le cas o& seule la matrice dynamique A est aect e, toutes les variations param triques sont contenues dans A et la majoration de la norme matricielle s' crit de la manire suivante: jjAjj o& est un scalaire positif et jj jj une norme g n ralement de type jj jj2 ou jj jj1..

(84) 10. Chapitre I. Contexte et motivations. ∆de(s). ∆a(s) u. +. Tnom(s). +. y. +. u. +. y. Tnom(s). (1). (2). ∆ie(s) u. +. ∆ds(s). − Tnom(s). u. y. +. +. y. Tnom(s). (3). (4). (1) − Forme additive (2) − Forme multiplicative directe en entrée. ∆is(s) u. + Tnom(s). −. (3) − Forme multiplicative inverse en entrée (4) − Forme multiplicative directe en sortie y (5) − Forme multiplicative inverse en sortie. (5). Fig. I.2 Incertitudes non structures (domaine frquentiel).. $ L'incertitude structur e. L'incertitude structur e est g n ralement li e aux inexactitudes param triques du modle, et concerne donc directement la partie mod lis e de la dynamique du systme. Contrairement au cas pr c dent, ces incertitudes ne peuvent pas tre trait es par une perturbation non structur e car elles sont plus di%ciles

(85) repr senter et

(86) prendre en compte. Pour tre prises en compte, ces perturbations doivent apparatre dans le modle dans le domaine fr quentiel (gure I.3) et dans le domaine temporel en supposant que l'on a une certaine information sur la manire dont l'incertitude aecte le systme. La repr sentation de l'incertitude structur e dans le domaine fr quentiel se fait en consid rant une matrice d'incertitude T

(87) structure bloc-diagonale (gure I.3)..

(88) I.2. Les systmes linaires et non linaires. 11. ∆T1(s). ∆T1(s) ∆Tq(s). ∆T(s) = ∆Tq(s). Tnom(s). Fig. I.3 Incertitudes structures (domaine frquentiel).. Il existe plusieurs faons de mod liser l'incertitude structur e dans l'espace d' tat (domaine temporel). Nous pouvons en num rer certaines: $ $ $ $ $. l'incertitude born e en norme 79, 100], l'incertitude born e r elle 48], l'incertitude positive r elle 46], l'incertitude polytopique 6], l'incertitude a%ne structur e 93].. Dans l'espace d' tat, un systme LTI incertain s' crit par:. x_ = (A + A)x + (B. + B2)u y = (C2 + C2)x + (D22 + D22)u 2. (I.18). Pour des raisons de simplicit , nous considrons que seule la matrice dynamique est incertaine. 1. Incertitude born e en norme 79, 100] La structure de l'incertitude A s' crit par la relation suivante:. e Ee A : = DF. (I.19). o& De 2 IRnd et Ee 2 IRln sont des matrices constantes connues, qui d nissent la structure de l'incertitude en la r partissant sur les di rents l ments de la matrice A. La matrice F 2 IRdl est la matrice d'incertitude appartenant au domaine: DF : = F 2 IRdl : F T F 1I (I.20).

(89) 12. Chapitre I. Contexte et motivations. Sous une forme plus structur e de l'incertitude 39]: N X A : = A j. (. avec. (I.21). j =1. Aj : = De j Fj Eej 8j = 1 : : : N FjT Fj 1I. (I.22). 2. Incertitude born e r elle 48] L'incertitude born e r elle est d nie par:. e (1I ; De0 F );1Ee A : = DF. (I.23). 1I ; De0T De0 > 0. (I.24). o& De 2 IRnd et Ee 2 IRln sont des matrices connues qui d nissent la structure de l'incertitude. La matrice d'incertitude F 2 DF (I.20) et De0 2 IRdl est une matrice constante satisfaisant l'in galit : Sous une forme plus structur e: A : = avec. N X j =1. Aj. 8 > < TAj : = Dej Fj (1I ; De0j Fj );1Eej F F 1I > : 1I j; Dje0Tj De0j > 0. (I.25). 8j = 1 : : : N. (I.26). 3. Incertitude positive r elle 46, 41] L'incertitude positive r elle est d nie par:. e p(1I + De0Fp);1Ee A : = ;DF o& De 2 IRnd et Ee 2 IRln sont toujours des matrices constantes connues qui d nissent la structure de l'incertitude. La matrice Fp d'incertitude appartient

(90) l'ensemble DF , telle que: (I.27) DF : = Fp 2 IRdd : FpT + Fp 0 p. p. et De0 2 IRrr est une matrice constante v riant l'in galit :. De 0 + De0T > 0. (I.28).

(91) I.2. Les systmes linaires et non linaires. 13. Cette condition garantit l'existence de l'inverse de 1I + De0 Fp pour tout Fp 2 DF . Une forme plus structur e que la pr c dente revient

(92) crire: N X A : = Aj (I.29) p. j =1. avec. 8 > < TAj : = ;Dej Fpj (1I + De0j Fpj );1Eej F +F 0 > : Depj0Tj + Depj0j > 0. 8j = 1 : : : N. 4. Incertitude a%ne 7, 33, 93] L'incertitude d pend des paramtres de manire a%ne: N X A : = pj Aj avec pj 2 pj pj ] j =1. (I.30). (I.31). Les matrices Aj , r partissent l'incertitude sur les di rents l ments de la matrice A. Le domaine d ni par cette incertitude est un hyper-rectangle de dimension N dont les sommets correspondent aux valeurs extr males de p = p1 : : : pN ]T . 5. Incertitude polytopique 6, 7] L'incertitude polytopique est d nie telle que la matrice A appartienne

(93) un domaine de type polytopique: ( ) N N X X A 2 DA : = A : A = j Aj j 0 j = 1 (I.32) j =1. j =1. o& N repr sente le nombre de sommets du polydre DA . L'incertitude polytopique se rapproche de l'incertitude a%ne, mais il n'existe pas de matrice nominale A. Dans ce m moire, nous nous attacherons

(94) l'incertitude param trique de type polytopique, soit 8 N N X X > > < x_ = ( j Aj j )x + ( j B2j j )u (I.33) N N X X > > : y = ( C2j j )x + ( D12j j )u j. j. Il se pourra, par contre, que les sommets de chaque matrice de la repr sentation d' tat ne s'identie pas avec le m me indice (dans ce cas (I.33), l'indice est le m me pour toutes les matrices: j )..

(95) 14. Chapitre I. Contexte et motivations. Nous pouvons num rer d'autres mod lisation d'incertitudes comme les incertitudes de type

(96) !, etc. Le lecteur pourra appr cier la section d taill e

(97) ce sujet dans 30]. Les deux types d'incertitudes (structur es et non structur es), qui sont compl mentaires, s'expriment dans des cadres distincts. On peut s'attendre

(98) des di%cult s lorsqu'il s'agira de les prendre en compte simultan ment dans les proc dures de synthse.. I.2.2 Les systmes non linaires. A contrario des systmes lin aires, les systmes non lin aires ne v rient plus le principe de superposition, et donc les conditions de proportionnalit et d'additivit ne s'appliquent plus

(99) cette classe de systmes.. Reprsentations. Dans l' tude des systmes non lin aires, on se heurte

(100) plusieurs di%cult s: $ L'analyse par les fonctions de transfert est impossible, $ La notion de ples disparat, $ Un systme non lin aire possde en g n ral plusieurs points d' quilibre et l' tude de leur stabilit est plus complexe que dans le cas lin aire pour lequel le concept de stabilit est global.. La repr sentation la plus courante, dans l'espace d' tat IRn (n correspondant

(101) l'ordre du systme) s' crit: 8 > > < xy_ ((tt)) == GF ((xx((tt)) uu((tt)) tt)) (I.34) n m > x 2 IR u 2 IR > : y 2 IRq 8 t 0 Une solution x(t) des quations pr c dentes correspond g n ralement

(102) une courbe de l'espace d' tat, quand t varie de 0

(103) 1, appel e une trajectoire d' tat. La non lin arit d'un systme peut- tre intrinsque ou peut tre isol e, c'est-

(104) -dire que l'on peut avoir une association d' l ments

(105) caract ristiques non lin aires associ e

(106) un systme pour lequel un modle est lin aire (gure I.4) e. Non linéarité N. u=N(e). Système linéaire. Fig. I.4 Syst me non linarit sparable.. y.

(107) I.2. Les systmes linaires et non linaires. 15. Comme pour les systmes lin aires, il est possible de distinguer aussi les modles non lin aires par les caractres suivants: $

(108) temps continu /

(109) temps discret, $ invariant dans le temps / variant dans le temps, $ monovariable / multivariable, etc.. Dnition I.2 : Le syst me non linaire I.34 est dit autonome si F et G ne dpendent pas explicitement du temps t, c'est--dire, si le syst me peut s'crire par. 8 x_ (t) = F (x(t) u(t)) < : yx(t2) =IRnG(x(ut)2u(IRt))l y 2 IRm. (I.35). Sinon, le syst me I.35 est dit non autonome.. Dans le cas non autonome, si les variations des caract ristiques sont lentes dans le temps, on pourra approximer le systme par une s quence de systmes autonomes. Comme nous l'avons cit pr c demment, les systmes non lin aires forment la classe des systmes la plus g n rale: un cas particulier de cette classe est le systme lin aire.Un systme lin aire invariant (LTI) n'a, en g n ral, qu'un seul point d' quilibre, alors qu'un systme non lin aire a plusieurs points d' quilibre.. Dnition I.3 : Un tat xei est un tat d'quilibre (ou point d'quilibre) du syst me I.35 si 0 = F (xei 0). (I.36). Un syst me linaire invariant (LTI) a pour tat d'quilibre l'origine, si sa matrice dynamique est non singuli re.. Linarisation autour d'un point d'quilibre. Soit un processus admettant la repr sentation d' tat suivante:. 8 x_ = F (x u) < : yx =2 IRG(nx u)u 2 IRm y 2 IRq. (I.37).

(110) 16. Chapitre I. Contexte et motivations. avec plusieurs points d' quilibre not s (xei uei) 8i = 1 ::: N 0. Si le vecteur d' tat volue dans le voisinage d'un point d' quilibre xei uei avec 1 i N 0, alors, il est possible de lin ariser le modle non lin aire: x = xei + x u = uei + u (I.38) d ( x) = F (x u ) x + F (x u ) u + (jj xjj jj ujj) (I.39) x ei ei u ei ei dt avec Fx(xei uei), Fu(xei uei) les matrices Jacobiennes: ?? ?? @F ( x u ) @F ( x u ) Fx(xei uei) = @x ?x=x u=u Fu(xei uei) = @u ?x=x u=u (I.40) En n gligeant les termes d'ordre sup rieur

(111) un, c'est-

(112) -dire (jj xjj jj ujj), le modle est lin aire invariant et valable localement autour du point d' quilibre (xei uei). ei. ei. ei. ei. Les lois de commande auxquelles nous nous int resserons seront continues invariantes dans le temps du type: $ retour d' tat,. u(t) = Kx(t) $ retour de sortie dynamique,. (I.41). x_ (t) = A x (t) + B y(t) c. u(t) =. c c Ccxc(t) :. c. (I.42). avec les dimensions appropri es. Pour plus d'informations concernant les classes de systmes non lin aires (et lin aires), le lecteur pourra se r ferrer

(113) 59, 91, 96].. I.3 Stabilit, performances et robustesse Dans cette partie, nous nous attachons

(114) sp cier dans un premier temps et trs brivement quelques propri t s de stabilit que peuvent v rier les modles d' tat autonomes pr c demment pr sent s. Il s'agit l

(115) de propri t s que doit imp rativement v rier un systme command sous peine de voir sa (ses) sortie(s) diverger irr m diablement sous l'eet d'une perturbation. Une plus ample information sur ses problmes de stabilit peut tre trouv e en consultant l'ouvrage de Jury 53]. Cependant, la stabilit est une performance minimale pour le systme et reste bien souvent insu%sante pour assurer le comportement souhait : c'est pourquoi, nous voquerons les notions de perfomance et de robustesse par la suite..

(116) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 17. I.3.1 Stabilit des systmes autonomes. Le cas lin aire tant un cas particulier du cas non lin aire, les r sultats sur la stabilit au sens de Lyapunov des systmes non lin aires s'appliquent aussi pour les systmes lin aires. Consid rons la fonction F localement lipschitzienne 2] sur le domaine ouvert S tel que S IRn et d nie par: S ! IRn F : x 7;! F (x) (I.43) et le systme non lin aire autonome stationnaire suivant: x_ (t) = F (x(t)) x 2 IRn x(t0) = x0 (condition initiale) (I.44) Supposons que xe est un point d' quilibre d ni par la d nition I.3 pour le systme non lin aire I.44.. Stabilit au sens de Lyapunov Dnition I.4 : Stabilit simple: La trajectoire d'quilibre xe est dite simplement stable, si 8t0 > 0 et scalaire positif, il existe un scalaire positif ( t0), tel que : jjx0 ; xe jj < ) jjx(t x0 t0) ; xe jj < 8t t0 (I.45) Ce concept est illustr avec la gure I.5.a. La condition d'attractivit s'exprime par la converx. x. ε. ε x(t). η xe η. t t0. η xe η. x(t) t T. t0. ε. ε. (a). (b). Fig. I.5 Stabilit simple (a) et attractivit (b).. gence obligatoire de la trajectoire d' volution au bout un certain temps, mais pendant le transitoire, la trajectoire peut voluer de manire libre! (gure I.5.b).. Dnition I.5 : Attractivit: 8 > 0, il existe T ( x0 t0) tel que : jjx0 ; xejj < ) jjx(t x0 t0) ; xejj < 8t t0 + T. (I.46).

(117) 18. Chapitre I. Contexte et motivations. Dnition I.6 : Stabilit asymptotique: La stabilit asymptotique se vrie si le point d'quilibre tudi est simplement stable et attractif.. Dnition I.7 : Stabilit exponentielle: La trajectoire d'quilibre xe est dite exponentiellement stable, s'il existe deux rels strictement positifs k et tels que 8t t0 jjx(t x0 t0) ; xejj kjjx0 ; xejje;t. (I.47). La stabilit exponentielle implique, en plus de la stabilit simple, que la convergence de la trajectoire d' volution vers le point d' quilibre est exponentielle d croissante. Dnition I.8 : Stabilit uniforme: La trajectoire d'quilibre xe est dite uniformment stable, si 8t > 0 et scalaire positif, il existe un scalaire positif (), tel que : jjx0 ; xe jj < ) jjx(t x0 t0) ; xejj < 8t t0 (I.48) La caract risation de la stabilit est fortement li e

(118) la notion de voisinage du point d' quilibre. Par cons quent, nous allons d nir la notion de bassin d'attraction d'un point d' quilibre, l'origine par exemple: Dnition I.9 : Bassin d'attraction: Le bassin d'attraction Da de l'origine est l'ensemle constitu de l'origine et des condition initiales x0 , telles que les trajectoires x(t x0) du syst me non linaire I.44 convergent vers l'origine. A partir de cette d nition du bassin d'attraction, nous pouvons caract riser la stabilit asymptotique globale et locale. Dnition I.10 : Stabilit asymptotique locale: La stabilit asymptotique sera dite locale si le bassin d'attraction est strictement inclus dans IRn: Da

(119) IRn .. Dnition I.11 : Stabilit asymptotique globale: A contrario de la stabilit asymptotique locale, la stabilit asymptotique globale est obtenue si le bassin d'attraction est l'espace d'tat tout entier: Da = IRn.. Pour les systmes lin aires, les concepts de stabilit sont toujours globaux. Deux manires d' tudier un systme non lin aire de faon locale et/ou globale sont les m thodes indirecte (stabilit locale) et directe (stabilit s locale et globale) de Lyapunov..

(120) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 19. Mthode indirecte de Lyapunov. Rappelons nous la lin arisation autour d'un point d' quilibre (par exemple l'origine) introduite pr c demment et appliquons la au systme non lin aire I.44:. x_ (t) = F (x(t)) x 2 IRn x(t0) = x0 (condition initiale). (I.49). Le d veloppement de I.49 est tel que. ?? @F x_ = @x ?x=0x + (x) (I.50) o& (x) fait intervenir les termes d'ordre sup rieur en x. On notera la matrice Jacobienne de f ?? (I.51) A = @F @x ?x=0 alors, le systme d ni par d ( x) = A x (I.52) dt est le systme lin aris autour du point d' quilibre (l'origine). Le r sultat fondamental de la m thode indirecte est donn dans le th orme suivant: Thorme I.1 : Soit la matrice jacobienne A du syst me linaris de I.49 autour de x = 0.. Si la matrice A a toutes ses valeurs propres parties relles strictement ngatives, alors le point d'quilibre du syst me non linaire est localement asymptotiquement stable. Si la matrice A admet au moins une valeur propre partie relle positive, alors le point d'quilibre du syst me non linaire est instable. Si la matrice A a des valeurs propres parties relles ngatives ou nulles, avec au moins une nulle, on ne peut rien conclure sur la stabilit du point d'quilibre du syst me non linaire, on se trouve alors dans un cas critique. Il peut tre stable, asymptotiquement stable ou mme instable. . Mthode directe de Lyapunov 72]. La m thode directe de Lyapunov se base sur le signe d'une fonction (de Lyapunov) et celui de sa d riv e. Pour cela, d nissons d'abord la fonction de Lyapunov.. Dnition I.12 : Fonction dnie positive: La fonction scalaire V (x) est dite globalement dnie positive si V (0) = 0 et que V (x) > 0 pour tout x = 6 0..

(121) 20. Chapitre I. Contexte et motivations. Dnition I.13 : Fonction de Lyapunov candidate: La fonction V (x) : W IRn ! IR+ est une fonction de Lyapunov candidate, si elle satisfait les deux conditions suivantes:. @V (x) , pour tout k = 1 :::n, existent et sont V (x) est continue et ses drives partielles v @x(kv) continues, V (x) est dnie positive.. Nous noterons comme suit: La fonction de Lyapunov: V (x) avec V (0) = 0 V (x) ! 1, lorsque jjxjj ! 1. La d riv e de la fonction de Lyapunov: V_ (x) = dVdt(x) La recherche du signe de V (x) et V_ (x) donne une information sur la stabilit du systme

(122) tudier. Pr sentons d'abord, gr'ce

(123) l'existence d'une fonction de Lyapunov candidate, la stabilit locale puis dans un second temps, la stabilit globale pour un point d' quilibre.. Thorme I.2 : Stabilit locale: Dans le voisinage W

(124) IRn , l'quilibre x = 0 est: localement stable, s'il existe une fonction de Lyapunov candidate, V (x) : W ! IR+ telle que V_ (x) 0, pour tout x 2 W . localement asymptotiquement stable, s'il existe une fonction de Lyapunov candidate, V (x) : W ! IR+ telle que V_ (x) < 0, pour tout x 2 W . . Thorme I.3 : Stabilit globale: L'quilibre x = 0 est globalement asymptotiquement stable s'il existe une fonction de Lyapunov candidate V (x) : IRn ! IR+ telle que: V_ (x) < 0, 8 x 2 IRn n f0g, jjxjj ! 1, lim V (x) ! 1. . Une classe int ressante de fonctions de Lyapunov est celle des fonctions de Lyapunov quadratiques qui s' crivent de la manire suivante:. V (x) = xT Px P = P T > 0. (I.53).

(125) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 21. Cette fonction est d nie positive si P est une matrice d nie positive. Dans le cas d'un systme lin aire autonome, x_ (t) = Ax(t) x(t0) = x0 (I.54) il est possible d' crire: ;. V_ (x) = xT AT P + PA x (I.55) Si la d riv e est d nie n gative alors l'origine est asymptotiquement stable. Nous avons le th orme de Lyapunov suivant qui est fondamental dans l' tude des systmes lin aires. Thorme I.4 : Le syst me linaire I.54 est asymptotiquement stable si et seulement si pour toute matrice Q dnie positive, l'unique solution de P de l'quation matricielle. AT P + PA + Q = 0. (I.56). est dnie positive. . Dans le cadre des systmes incertains, l'extension de ces r sultats a donn lieu

(126) ce qu'on appelle l'approche quadratique qui consiste pour un systme lin aire incertain

(127) rechercher une matrice de Lyapunov unique P satisfaisant I.56 pour toute volution dans son domaine d'incertitude. Cette approche fournit des conditions su%santes de stabilit qui recherchent une fonction de Lyapunov unique pour une famille de modles incertains. On pourra consulter les travaux 79, 6, 43, 23, 40] pour connaitre plus de pr cisions sur la stabilit quadratique appliqu e pour di rents types incertitudes.. Stabilit absolue. Il s'agit d'un concept appliqu

(128) un problme non lin aire particulier o& est pr sente une non lin arit s parable satisfaisant des conditions de secteur. Consid rons le sch ma de la gure I.6, alors u(t) = ; (t y) (I.57) d nie par: (IR+ IRm) ! IRm : (t y) 7! (t y) (I.58). o& est une application non lin aire continue par morceaux en t, localement lipschitzienne en y, sans m moire pour le systme I.59. 8 > > < xy_ ((tt)) == CAx2x((tt)) + B2u(t) > > : ux(t2) IR= n; (ytuy)2 IRm. (I.59).

(129) 22. Chapitre I. Contexte et motivations Φ (y) Kmaxy. u. Kmin y. y T(s). − y. Φ. (a). (b). Fig. I.6 Structure de syst me pour la stabilit absolue(a) et non lina-. rit de secteur pour Kmin et Kmax scalaires(b).. Donc: Supposons que:. T (s) = C2 s1I ; A];1B2. (I.60). $ la paire (A B2) est commandable, $ la paire (A C2) est observable.. Dnition I.14 : Condition de secteur: Soient deux matrices diagonales Kmin et Kmax , telles que K = Kmin ; Kmax soit dnie positive. Alors (t y ) appartient au secteur (Kmin Kmax ) si elle vrie:. (t y) ; Kmin y]T (t y) ; Kmax y] 0 8t 0 et 8 y 2 S IRm. (I.61). Si S est strictement inclus dans IRm , la condition de secteur est vrie localement, et si S = IRm , elle l'est globalement.. A partir de cela, nous pouvons donner la d nition de la stabilit absolue. Dnition I.15 : Stabilit absolue: Le syst me I.59 est dit localement absolument stable, si le syst me I.59 est localement asymptotiquement stable pour toute non linarit vriant localement la condition de secteur. globalement absolument stable, si le syst me I.59 est globalement asymptotiquement stable pour toute non linarit vriant globalement la condition de secteur..

(130) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 23. Remarque I.3 : On ne se proccupe pas seulement de la proprit de stabilit d'un syst me. unique mais de la stabilit d'un ensemble de syst mes pour toutes les non linarits, d'o le terme de stabilit absolue. N Pour d terminer la stabilit globale asymptotique pour des systmes de type I.59, il faut imposer des conditions suppl mentaires sur la partie lin aire du systme, ce qui nous amne au critre de Popov. Thorme I.5 : Critre de Popov: si le syst me dcrit par I.59 satisfait les conditions suivantes: la matrice A est Hurwitz et la paire (A B2 ) est commandable, la non linarit appartient au secteur 0 Kmax ] il existe un scalaire strictement positif tel que 8 ! 2 0 1] Re (1 + jw)T (j!)] + 1 (I.62). Kmax. pour un scalaire > 0 arbitrairement petit, alors le point 0 est globalement asymptotiquement stable. L' quation I.62 est appel e in galit de Popov. La preuve du critre est bas e sur la construction d'une fonction de Lyapunov candidate et du lemme de Kalman-Yakubovich (91]). Remarque I.4 : On peut s'apercevoir que l encore, la dicult tudier directement la stabilit globale du syst me non linaire est bien prsente. Par contre, on n'a pas cherch linariser le syst me en approximant la linarit par dveloppement l'ordre 1, mais en recherchant un secteur enveloppant la non linarit. Le travail de cette th se se dirige dans cette direction. N Enn, nous pr sentons deux notions de stabilit qui concernent plus particulirement les systmes lin aires. Dnition I.16 : Stabilit entre-sortie: Un syst me est dit stable au sens entre-sortie, si la sortie du syst me, rponse un entre d'nergie nie, est elle mme nergie nie.. Dnition I.17 : Stabilit interne: Le syst me de la gure I.2 est stable de mani re interne. si tout signal born inject en n'importe quel point de la boucle gn re une rponse borne en tout autre point..

(131) 24. Chapitre I. Contexte et motivations. I.3.2 Performances. Parmi les objectifs d'une loi de commande, outre la stabilit , il y a la satisfaction de contraintes de performances sp ci es pour le comportement en boucle ferm e. La stabilit est certes n cessaire mais pas su%sante en pratique. Donc, en plus de la notion de stabilit en boucle ferm e, on associera souvent dans ce m moire, des critres de performances, comme par exemples: $ Critre quadratique, $ Critre H2, $ Critre H1 , $ Placement de ples. Nous exprimerons les divers critres de performance pour le systme. x_ (t) = Ax(t) + B u(t) 2. y(t) = C2x(t) + D12u(t). (I.63). o& x 2 IRn , u 2 IRm sont respectivement les vecteurs d' tat et de commande et y 2 IRq la sortie command e.. Critre quadratique. Ce critre quadratique lie

(132) la fois les variables d' tat x et les commandes u par l'utilisation des matrices de pond rations Q et R qui aecteront le comportement du systme en boucle ferm e (car on utilise les commandes u). Ce critre qui s'exprime par la relation suivante: Z1 J = (xT Qx + uT Ru)dt (I.64) 0. Critre H2. Dnition I.18 : Norme H2: La norme H2 d'un syst me linaire stable, note jj jj2, correspond l'nergie de sa rponse impulsionnelle. On a donc Z 1 2 jjT (s)jj2 = 2 trace(T (j!)T (j!))d! IR. (I.65).

(133) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 25. Il est possible de calculer exactement la norme H2 en fonction des grammiens d'observabilit et de commandabilit (Lo Lc ):. jjT (s)jj22 = trace B2T Lo B2] = trace C2Lc C2T ] Les grammiens d'observabilit et de commandabilit (Lo Lc) sont solutions de: AT Lo + Lo A + C2T C2 = 0 et. (I.66) (I.67). ALc + Lc AT + B2B2T = 0. (I.68). Critre H1. Dnition I.19 : Norme H1: La norme H1 d'un syst me linaire, est nie et borne par , si ce syst me est stable, et l'nergie qu'il restitue reste infrieure, dans un rapport celle. qu'on lui apporte, c'est dire :. 8T > 0. ZT 0. yT (t)y(t)dt 2. ZT 0. uT (t)u(t)dt. Pour la norme H1 , on ne connait pas la valeur exacte, comme pour la norme H2, mais simplement une borne (34, 27, 85, 37]).. Placement de ples. Ce concept est en fait important aussi sur l' volution du systme, en particulier sur le r gime transitoire 1, 12]. Dans ce m moire, nous nous contenterons des r gions dites r gions-LMI 14, 15], car toutes les synthses seront r alis es

(134) partir de conditions d'in galit s matricielles lin aires (LMI) ou bilin aires (BMI). Le lecteur pourra consulter les travaux 44, 35, 47] pour complter les notions concernant le placement de ples.. Dnition I.20 : Rgion-LMI 15]: Un sous ensemble du plan complexe est appel rgionLMI d'ordre lr s'il existe une matrice symtrique 2 IRl l et une matrice 2 IRl l telles r. que: o. r. r. R = fz 2 C : fR(z) < 0g. (I.69). fR (z) = + z + T z. (I.70).

(135) 26. Chapitre I. Contexte et motivations. Une r gion int ressante est celle donn e par la gure III.2.4, que nous utiliserons par la suite. Elle est constitu e par l'intersection: $ du demi-plan

(136) gauche de , $ de l'int rieur du disque de centre 0 et de rayon , $ du secteur d'angle autour de l'axe des r els. Im ρ. R( α,ρ,θ ). θ Re. α. Fig. I.7 Rgion R( ). Cette condition de placement de ples pourra s'exprimer

(137) partir d'in galit s matricielles lin aires: Thorme I.6 : Soit A 2 IRnn et R( ) la rgion-LMI, reprsent par la gure III.2.4. Les valeurs propres de la matrice A sont situes dans la rgion R( ) si et seulement si il existe une matrice P 2 IRnn symtrique dnie positive telle que :. PA + AT P + 2P < 0. (I.71).

(138) ;P AT P PA ;P < 0. (I.72).

(139) cos(PA + AT P ) sin(PA ; AT P ) <0 sin(AT P ; PA) cos(PA + AT P ). (I.73) .

(140) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 27. Remarque I.5 : Il est courant d'associer plusieurs crit res de performance, on parle alors de synth se multi-objectifs 86]. Par exemple, citons le cas de la commande mixte H2 /H1 dtaille dans 60, 57, 99]. Il consiste minimiser la norme H2 (performance nominale) sous une contrainte H1 (stabilit robuste). Il existe aussi des travaux sur la commande H2 ou H1. avec une contrainte de placement de ples 15].. N. Ingalits Matricielles Linaires (IMLs ou LMIs). Nous venons de voir pour le placement de ples que les valeurs propres de la matrice dynamique doivent se situer dans la r gion convexe et que cette condition s'exprime par des in galit s matricielles lin aires. La forme de base d'une in galit matricielle lin aire est 11] N X F (x) = F0 + xj Fj > 0 (I.74) j =1. o& x est la variable et les matrices Fj = FjT 2 IRnn j = 1 2 ::: N : sont donn es. Il s'agit d'une contrainte convexe sur la variable x et sur l'ensemble. fx j F (x) > 0g. (I.75). est convexe. Certaines in galit s non lin aires peuvent tre transform es en LMI au moyen du compl ment de Schur. Q(x) S (x) R(x) > 0 > 0 () T S (x) R(x) Q(x) ; S (x)R;1(x)S T (x) > 0 Q(x) > 0 (). R(x) ; S T (x)Q;1(x)S (x) > 0. (I.76) (I.77). o& Q(x) = QT (x), R(x) = RT (x) et S (x) d pendent de manire a%ne de x. A titre d'exemple, l'in galit de Lyapunov. AT P + PA < 0. (I.78). est une LMI dont la variable est la matrice P et qui peut tre mise sous la forme de base en choisissant F0 = 0 Fj = ;AT Pj ; Pj A j = 1 2 ::: N : (I.79).

(141) 28. Chapitre I. Contexte et motivations. avec P1 ::: PN une base de matrices sym triques n n. Cette approche ore par rapport aux quations de Riccati 79] une alternative int ressante car elle peut tre utilis e pour des systmes incertains de type polytopique. C'est pour cette raison que tous les problmes de synthse voqu s dans la suite de la thse seront crits sous forme de contraintes LMIs.. Remarque I.6 : Lors de la rsolution des ingalits matricielles linaires, il se peut que l'on. rencontre des probl mes numriques lis au mauvais conditionnement d'une matrice, c'est-dire, le rapport maximal entre les valeurs propres. Pour viter cela, nous pouvons utiliser le rsultat suivant: Proposition 1.1: Soient c0 un scalaire strictement positif et P une matrice dnie positive (de dimension n). Alors, on a l'quivalence suivante:. 8 11I P #(P ) c () 9 > 0 > 0 solutions de < P 1I 0 1 2 : 2 c021 #(P ). (I.80) N. I.3.3 Robustesse On dit d'un systme qu'il est robuste, s'il conserve sa stabilit et des performances acceptables malgr la pr sence d'incertitudes. Par cons quent, il existe deux concepts de robustesse pour un systme, tre robuste en stabilit et robuste en performances. L'analyse robuste va r v ler les capacit s du systme soumis

(142) un polytope d'incertitude. La synthse robuste, appel e g n ralement commande robuste, a pour but de calculer une loi de commande qui va assurer la stabilit du systme en boucle ferm e et tenir compte des performances d sir es. Il existe un grand nombre d'approches de commande robuste mais nous n' voquerons que la stabilit et la stabilisabilit quadratique 5]. Le principe de la synthse robuste par l'approche stabilisabilit quadratique! est de trouver une fonction de Lyapunov unique pour toute une famille de systmes incertains et d'en d duire une loi de commande. Dans tout ce m moire, nous nous orienterons vers la stabilisabilit quadratique de systmes LTI incertains polytopiques par l'approche des fonctions de Lyapunov quadratiques. Concernant la stabilit quadratique d'un systme LTI incertain, nous pouvons crire:. Dnition I.21 : Stabilit quadratique: Un syst me incertain x_ = A()x(t), est quadrati-. quement stable si et seulement si il existe une matrice unique P > 0 telle que pour toutes les incertitudes : xT AT ()P + PA() ] x < 0 8x 6= 0 (I.81) La stabilit quadratique est une condition susante de stabilit robuste..

(143) I.3. Stabilit, performances et robustesse. 29. A titre indicatif, pour la synthse, soit le systme LTI incertain polytopique:. 8 < x_ = (X Aj j )x + (X B2k

(144) k )u : y = C2jx + D22u k. DA : = fA : A = DB : = fB2 : B2 = 2. N X. N X. j =1. j =1. j Aj j 0. M X k=1.

(145) k B2k

(146) k 0. (I.82). j = 1g. M X k=1.

(147) k = 1g. (I.83) (I.84). La condition de stabilisabilit quadratique pour un systme incertain avec incertitude polytopique sur la matrice dynamique A et la matrice de commande B2 est donn e par le th orme suivant sous forme LMIs: Thorme I.7 : 6]: Le syst me linaire incertain dni par (III.9) et (III.5)-(III.6) est quadratiquement stabilisable par retour d'tat u = Kx si et seulement si, il existe une matrice symtrique dnie positive S 2 IRnn et une matrice R 2 IRmn telles que:. Aj S + SATj + B2k R + RT B2Tk < 0 8j = 1 2 : : : N 8k = 1 2 : : : M et K = RS ;1 est la matrice de retour d'tat.. (I.85) . Il existe un trs grand nombre de travaux concernant l'approche stabilisabilit quadratique! pour des systmes incertains par retour d' tat et de sortie dynamique. Citons les travaux de 4, 100, 79, 6, 40, 43] sans se pr occuper des performances et 38, 41, 23, 21, 22] en tratant aussi les concepts de performances. N'oublions pas qu'il existe d'autres m thodes pour la commande robuste telles que des m thodes alg briques 61] ou fr quentielles comme la commande LQ et les approches LQG, LQG/LTR 84, 25, 3, 70], la

(148) -synthse! 26, 30] et bien d'autres (!). Remarque I.7 : L'objet de ce travail est d'illustrer les potentionnalits de synth ses robustes base de LMIs pour proposer une approche valable dans le cadre des syst mes non linaires. On a vu qu'en gnral, une reprsentation linaire ne peut tre qu'une reprsentation locale acceptable pour un syst me non linaire. Un correcteur linaire invariant unique peut rarement remplir l'ensemble des objectifs de performance et de robustesse sur la totalit du domaine de fonctionnement du syst me non linaire pour lequel il a t synthtis. Par consquent, il est ncessaire d'adopter une reprsentation multi-mod les, chaque mod le tant reprsentatif de l'volution dans un domaine de l'espace d'tat. Il existe plusieurs approche dans ce sens, nous en donnons les principales dans ce qui suit. N.

(149) 30. Chapitre I. Contexte et motivations. I.4 Des approches multi-mod les I.4.1 Squencement de gains (Gain Scheduling ) Le s quencement de gains fut trs bien accueillie par la communaut Automaticienne. Nombreuses sont les contributions concernant cette approche. Nous pouvons en mentionner quelques unes pour faire un tour d'horizon de son champ d'application. Dans 83, 87, 88], il est question de stabilit de systmes non lin aires par s quencement de gains. On peut trouver dans 74, 89], des approches pour d terminer des correcteurs pour des systmes

(150) paramtres variants. Des contrleurs ous de Takagi-Sugeno sont propos es

(151) partir du s quencement de gain dans 29, 75]. Enn, le lecteur pourra complter ses informations sur les contrleurs g n ralis s dans 50]. La technique du s quencement de gains est bas sur l'existence de plusieurs modles lin aires dont leur repr sentation n'est valable que dans une partie de l'espace d' tat. Les modles sont d nis en fonction de points op rationnels pour couvrir! tout l'espace d' tat de l' tude. Pour un systme non lin aire, les modles lin aires sont obtenus par lin arisation aux di rents points op rationnels. A partir de cela, il est possible de calculer les di rents contrleurs lin aires de chaque modle pour la synthse du systme non lin aire. Le s quencement de gains est une m thode relativement simple qui peut tre propos pour la commande de systmes non lin aires. Consid rons le systme non lin aire suivant: x_ (t) = F (x(t) u(t)) (I.86) y(t) = G(x(t)) (I.87) o& y(t) repr sente la sortie mesur e et x 2 IRn , y 2 IRq et u 2 IRm. Supposons l'existence de plusieurs points d' quilibre (xei uei) d termin s par: 0 = F (xei uei): (I.88) Pour chaque points d' quilibre, il est possible de calculer un modle lin aire local obtenu par lin arisation du modle non lin aire.. x_ (t) = A(xei uei ) x(t) + B2(xei uei) u(t) (I.89) o&. x(t) = x(t) ; xei (I.90). u(t) = u(t) ; uei (I.91). 0 @F 1 @F B @x1 : : : @xn C B ... . . . ... C C A(xei uei) = B B C @ @F @F A @x1 : : : @xn. 0 @F 1 @F B @u1 : : : @um C B ... . . . ... C C B2(xei uei) = B B C @ @F @F A @u1 : : : @um. (I.92).

(152) I.4. Des approches multi-modles. 31. On suppose que chaque modle lin aire est valable dans un sous-espace de l'espace d' tat. Un contrleur est calcul pour chacun des modles lin aires. La loi de commande robuste globale est d nie par le s quencement des lois de commande locales associ es

(153) un sch ma de s quencement bas sur la connaissance de l' tat. La m thode est certes simple mais on peut se poser deux questions importantes quant au choix des points d' quilibre et

(154) leur nombre, et

(155) la lin arisation locale du systme. Pour r pondre

(156) ces deux questions, nous pourrons nous pencher sur la qualit de la d termination de la loi de commande. Peut- tre que la lin arisation locale ne su%t pas

(157) assurer des performances, m me si la stabilisabilit est assur e. Est-ce que la transition entre chaque modle est raisonnablement douce? Toutes ces interrogations devront tre prises en compte pour la synthse du systme non lin aire.. I.4.2 Les modles LPV et Quasi-LPV Toujours dans le contexte d'interpolation de correcteurs, la commande lin aire

(158) paramtres variants, dite LPV s'est d velopp e

(159) partir de 1992 7, 20]. Les domaines d'applications 7] sont vastes et s' tendent aussi bien vers les systmes lin aires

(160) dynamique variant dans le temps que vers les systmes non lin aires. Les systmes non lin aires seront caract ris s par des modles dits Quasi-LPV. Soit le systme lin aire suivant dans l'espace d' tat:. x_ = A( )x + B ( )u. (I.93). 2. y = C2( )x + D22( )u. o& = (t) est un paramtre

(161) variations continues dans le temps. Pour l'approche LPV, il s'agit de d nir un contrleur lui m me

(162) paramtre variant dans le temps selon la m me structure de d pendance que celle du processus

(163) commander. Pour une variation polytopique! du paramtre incertain, un retour d' tat. u = K ( )x est d ni par. (. DK( ) : = K ( ) : K ( ) =. N X j =1. j ( )Kj j ( ) 0. (I.94) N X j =1. ). j ( ) = 1. et pour un retour de sortie dynamique:. x_ = A ( )x + B y c c c c. avec :. u = Ccxc. Ac( ) 2 DA ( ) c. (I.95).

(164) 32. Chapitre I. Contexte et motivations. o& :. (. DA ( ) : = Ac( ) : Ac() = c. N X j =1. j ( )Acj j ( ) 0. N X j =1. j ( ) = 1. ). o& les Kj et les Acj sont les retours d' tat et les matrices dynamiques des contrleurs calcul s sur les sommets j du polytope. Ce type de compensateur peut aisement tre tendu au cas non lin aire suivant. Consid rons le cas du systme:. 8 x_ = A(y)x + B2(y)u x(0) = x0 < : y8t=C02xy(t) 2 Py. (I.96). On note Py , le domaine d' volution des sorties mesur es. Le vecteur des paramtres 7] est confondu avec celui des sorties mesur es. Si l'on suppose que les sorties de ce systme sont born es, c'est-

(165) -dire qu'elles voluent uniquement dans Py , alors il est possible de d nir une classe de systmes que l'on nomme systmes quasi-LPV! (QLPV). Pour cette classe de systmes, le vecteurs des paramtres est d pendant des tats du systme. Il est possible d'obtenir cette forme de systme

(166) partir d'un systme non lin aire.. Thorme I.8 : 7]: Soit un syst me non linaire de la forme suivante:. 8 < x_ (t) = f (x(t)) + B2(y(t))u x(0) = x0 : y8(tt) =0Cy2(xt()t2) Py. (I.97). En respectant les hypoth ses suivantes: f (0) = 0. la non linarit de f concerne uniquement les tats mesurables:. f (x) = Anx + Bnlh(y). alors, le syst me non linaire admet la forme QLPV suivante:. avec. 8 x_ = A(y)x + B2(y)u x(0) = x0 < : y8t=C02xy(t) 2 Py. (I.98). rh(ty)dt C2. (I.99). A(y) = An + Bnl.

(167) Z 1 0. .

(168) I.4. Des approches multi-modles. Preuve : 7].. 33. . Dans le cas de systmes non lin aires incertains polytopiques, le modle QLPV nal devient 8 x_ = A( )x + B w + B v x(0) = x 1 2 0 < (I.100) : y8t=C02x (t) 2 P y(t) 2 Py avec = y],. tant le vecteur de paramtres dans la matrice dynamique An. On note P, le domaine d' volution du vecteur des paramtres . Le nouveau vecteur de paramtres s' crit = y] q avec 2 IR et y 2 IR. L'indice q repr sente le nombre de paramtres existant dans la matrice An. Cette approche permet de r soudre des problmes de commande robuste en diminuant un certain degr de conservatisme que possde l'approche quadratique classique de