Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS UFR des sciences fondamentales et appliquées
Laboratoire de mathématiques et applications - LMA (Poitiers) (Diplôme National - Arrêté du 25 mai 2016)
École doctorale : Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques - S2IM (Poitiers) Secteur de recherche : Mathématique
Présentée par :
Ahmad Makki
Étude de modèles en séparation de phase tenant compte d'effets d'anisotropie
Directeur(s) de Thèse : Alain Miranville
Soutenue le 14 octobre 2016 devant le jury Jury :
Président François Jauberteau Professeur des Universités, Université de Nantes
Rapporteur Olivier Goubet Professeur des Universités, Université de Picardie Jules Verne Rapporteur Stefania Gatti Professore, Università di Modena, Italia
Membre Alain Miranville Professeur des Universités, Université de Poitiers Membre Madalina Petcu Maître de conférences, Université de Poitiers Membre Laurence Cherfils Maître de conférences, Université de La Rochelle
Pour citer cette thèse :
Ahmad Makki. Étude de modèles en séparation de phase tenant compte d'effets d'anisotropie [En ligne]. Thèse Mathématique. Poitiers : Université de Poitiers, 2016. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS ´
Ecole Doctorale Sciences et Ing´enierie pour l’Information, Math´ematiques
Diplˆome National - Arrˆet´e du 6 Aoˆut 2006 SPECIALITE : Math´ematique
Pr´esent´ee par
Ahmad MAKKI
´
Etude de mod`
eles en s´
eparation de phase tenant compte
d’effets d’anisotropie.
Directeur de Th`ese : Alain MIRANVILLE
Pr´esent´ee et soutenue publiquement le 14 Octobre 2016
COMPOSITION DU JURY
Rapporteurs : Olivier Goubet Professeur, Universit´e de Picardie Jules Verne Stefania Gatti Professeur, Universit´e de Mod`ene, italie Examinateurs : Francois Jauberteau Professeur, Universit´e de Nantes
Alain Miranville Professeur, Universit´e de Poitiers (Directeur)
Laurence Cherfils Maˆıtre de conf´erence (HDR), Universit´e de La Rochelle Madalina Petcu Maˆıtre de conf´erence (HDR), Universit´e de Poitiers
à ma grande-mère Fawziyeh, à mes oncles (Ali, Hussein, Abbass), à mes tantes (Amal et Nada) qu’ils trouvent tous dans ce mémoire le fruit de
leurs sacrifices et le témoignage de ma gratitude et de mon
af-fection en espérant que je réaliserai toujours
leurs espoirs. ♡
La présente étude n’aurait pas été possible sans le bienveillant soutien de certaines per-sonnes. Et je ne suis pas non plus capable de dire dans les mots qui suivent, le rôle qu’elles ont pu jouer à mes côtés pour en arriver là. Cependant, je voudrais les prier d’accueillir ici tous mes sentiments de gratitude qui viennent du fond de mon coeur, en acceptant mes remerciements.
Je tiens tout d’abord à remercier le directeur de cette thèse, Alain Miranville, pour m’avoir fait confiance, pour m’avoir guidé, encouragé et accompagné tout au long de ma thèse. Sa dis-ponibilté et son généreux secours lors de moments difficiles ont été d’une très grande qualité et d’un immense reconfort.
Je voudrais aussi remercier les Professeurs Olivier Goubet et Stefania Gatti pour avoir eu l’extrême gentillesse d’être rapporteurs de cette thèse. Je suis très fier que vous ayez accepté de rapporter ce travail et votre avis m’est très précieux. Je remercie également Laurence Cherfils, Francois Jauberteau et Madalina Pectu pour avoir accepté de faire partie de mon jury.
Le laboratoire de Mathématiques et Applications (L.M.A) est un lieu convivial rempli de femmes et d’hommes formidables. Je pense notamment à Pol Vanhaecke l’ancien directeur du L.M.A, à Alessandra Sarti la nouvelle directrice et à Samuel Boissière le directeur de l’École Doctorale pour leur excellent accueil et leur soutien. Je voudrais aussi remercier le personnel ita/biatss du département et du laboratoire : Jocelyne Attab à la Infographie et à la bibliothéque, Nathalie Marlet à la bibliothèque, Brigitte Brault au secrétériat, Nathalie Mongin à la comptabi-lité et Benoît Métrot au service informatique, pour leur disponibicomptabi-lité et tous les services rendus. Je ne veux pas oublier tous mes enseignants de l’université Libanaise. En particulier, je vou-drais remercier Pr. Raafat Talhouk, le directeur du laboratoire de mathématiques à l’université libanaise ; il m’a été d’un excellent conseil afin d’éffectuer cette thèse.
Les mots les plus simples étant les plus forts, j’adresse toute mon affection à ma famille. Ma famille, malgré mon éloignement depuis de nombreuses années, votre confiance, votre ten-dresse, votre amour et votre soutien me portent et me guident tous les jours.
Je souhaite exprimer mon amour et ma gratitude à mon frère qui était, malgré la distance, si proche et si présent en moi. Sans ton soutien Ali, ce travail n’aurait pas pu voir le jour et ce passage du néant à la résurrection n’aurait pas pu être possible.
Enfin, les remerciements vont amicalement à l’endroit de tous les collègues doctorants, et particulièrement à Nada El Berdan qui a été pour moi une soeur en France et m’a encouragée pendant les moments les plus difficiles.
dèles en séparation de phase qui tiennent compte d’effets d’anisotropie. Ceci est pertinent, par exemple, pour l’évolution de cristaux dans leur matrice liquide pour lesquels ces effets d’aniso-tropie son très forts. On étudie l’existence, l’unicité et la régularité de la solution des équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn ainsi que son comportement asymptotique en terme d’exis-tence d’un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne certains modèles de séparation de phase qui, en particulier, décrivent la formation de motifs den-dritiques. D’abord, on étudie les équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn qui prennent en compte les effets d’anisotropie forts en dimension un avec des conditions de type Neumann sur le bord et une non linéarité régulière de type polynomial. En particulier, ces modèles contiennent un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore. Ensuite, on étudie ces modèles avec des conditions de type périodique (respectivement, Dirichlet) sur le bord pour l’équation de Cahn-Hilliard (respectivement, d’Allen-Cahn) mais en dimension spatiales plus élevées. Fi-nalement, on étudie la dynamique des équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn visqueux avec des conditions de type Neumann et Dirichlet respectivement sur le bord et une non linéa-rité régulière et en plus, la présence de simulations numériques qui montrent les effets du terme de viscosité sur l’anisotropie et l’isotropie dans l’équation de Cahn-Hilliard. Dans le dernier chapitre, on étudie le comportement en temps long en termes d’attracteurs de dimension finie, d’une classe d’équations doublement non linéaires de type Allen-Cahn avec des conditions de type Dirichlet sur le bord et une non linéarité singulière.
Mots clés : Equation de Cahn-Hilliard, équation d’Allen-Cahn, problème bien posé, attracteur global, attracteur exponentiel, attracteur exponentiel robuste, viscosité, simulations.
Abstract : This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of models in phase separation which take into account the anisotropic effects. This is relevant, for example, for the development of crystals in their liquid matrix for which the effects of aniso-tropy are very strong. We study the existence, uniqueness and the regularity of the solution of Cahn-Hilliard and Alen-Cahn equations and the asymptotic behavior in terms of the existence of a global attractor with finite fractal dimension. The first part of the thesis concerns some mo-dels in phase separation which, in particular, describe the formation of dendritic patterns. We start by studying the anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations in one space dimen-sion both associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In particu-lar, these two models contain an additional term called Willmore regularization. Furthermore, we study these two models with Periodic (respectively, Dirichlet) boundary conditions for the Cahn-Hilliard (respectively, Allen-Cahn) equation but in higher space dimensions. Finally, we study the dynamics of the viscous Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions respectively and a regular nonlinearity in the presence of the Willmore regularization term and we also give some numerical simulations which show the ef-fects of the viscosity term on the anisotropic and isotropic Cahn-Hilliard equations. In the last chapter, we study the long time behavior, in terms of finite dimensional attractors, of a class of doubly nonlinear Allen-Cahn equations with Dirichlet boundary conditions and singular poten-tials.
Keywords : Cahn-Hilliard equation, Allen-Cahn eqution, well-posedness, global attractor, ex-ponential attractor, robust exex-ponential attractor, viscosity, simulation.
Table des matières vii
1 Introduction générale 1
1.1 Sur les équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn . . . 3
1.1.1 Origine . . . 3
1.1.2 Conditions aux limites et conservation de la masse . . . 5
1.1.3 Potentiel . . . 6
1.2 Problématique . . . 8
1.3 Plan de la thèse . . . 11
2 Well-posedness for one-dimensional anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn sys-tems 15 2.1 Introduction . . . 17
2.2 Cahn-Hilliard system . . . 21
2.2.1 A priori estimates . . . 21
2.2.2 Existence and uniqueness of solutions . . . 25
2.3 Allen-Cahn system . . . 29
2.3.1 A priori estimates . . . 29
2.3.2 Existence and uniqueness of solutions . . . 31
3 Existence of solutions for anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems in higher space dimensions 33 3.1 Introduction . . . 35
3.2 Preliminaries . . . 37
3.3 Cahn-Hilliard system . . . 41
3.3.1 A priori estimates. . . 42
3.3.2 The dissipative semigroup. . . 46
3.4 Allen-Cahn system . . . 50
3.4.1 A priori estimates. . . 51
4 On the Viscous Allen-Cahn and Cahn-Hilliard Systems with Willmore
Regulariza-tion 55
4.1 Introduction . . . 57
4.2 Viscous Allen-Cahn System . . . 62
4.2.1 A priori estimates . . . 62
4.2.2 Well-posedness and existence of the global attractor . . . 66
4.2.3 Robust exponential attractors . . . 72
4.3 Viscous Cahn-Hilliard system . . . 77
4.3.1 A priori estimates . . . 78
4.3.2 The dissipative semigroup . . . 81
4.4 Numerical Simulations . . . 86
4.4.1 Isotropic case with Willmore regularization . . . 86
4.4.2 Anisotropic case with Willmore regularization . . . 88
5 On the anisotropic doubly nonlinear Allen-Cahn equation with singular poten-tials 91 5.1 Introduction . . . 93
5.2 Separation property . . . 96
5.3 A priori estimates . . . 98
5.4 The dissipative semigroup . . . 101
5.5 Regularity of the global attractor . . . 102
5.6 The L2-setting . . . 104
5.7 Existence of an exponential attractor . . . 107
1.1
Sur les équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn
1.1.1
Origine
L’équation de Cahn-Hilliard a été proposée en 1958 dans [17, 18], comme un modèle pour décrire la séparation de phase spontanée d’un mélange de deux fluides. Le mélange dans lequel les deux composants sont initialement présents de manière uniforme dans le domaine considéré, subit un refroidissement rapide en dessous de la température critique et l’état homogène devient instable.
Par conséquent, une séparation de phase se produit et le domaine se divise en zones qui sont riches dans composant et faible dans l’autre. Cette formation de micro-structures se produit sur une échelle de temps trés rapide, et est appelé décomposition spinodale. Plus tard, l’échelle de longueur dominant de la microstructure se développe dans un processus connu sous le nom coalescence.
Ce modèle est apparu dans de nombreux autres contextes allant de la dynamique de micro-films, la dynamique de polymère, ainsi que dans la formation de biomicro-films, la dynamique des populations [30], la formation du lit d’une rivière, et le traitement d’images [24, 25, 26]. Plus récemment, il se manifeste dans la nano-technologie, dans les modèles pour la dynamique stel-laire, ainsi que dans la théorie de la formation de galaxies comme un modèle pour l’évolution des deux composantes du matériau inter-galactique [13]. Par conséquent, l’équation de Cahn-Hilliard apparaît non seulement dans le contexte de la modélisation de très petites structures telles que les alliages binaires et les bio-films, mais aussi dans la modélisation de très grandes structures, telles que certaines caractéristiques des anneaux de Saturne [53].
Un autre modèle en séparation de phase est l’équation Allen-Cahn qui a été initialement suggérée par Allen et Cahn dans [1] afin de décrire l’ordannancement des atomes lors de la séparation de phase (voir [60]).
Récemment, l’équation Allen-Cahn a été largement utilisée pour modéliser des différents phénomènes, par exemple, le débit moyen de courbure [48, 66], la segmentation d’images [10] et de nombreux problèmes en sciences des matériaux.
Une caractéristique importante spécifique aux équations d’Allen-Cahn et de Cahn-Hilliard est qu’elles peuvent être considérées comme le flux de gradient de l’énergie libre de Ginzburg-Landau suivante E(ρ) = ∫ Ω (ε2 2 |∇ρ| 2+ F(ρ)) dx, (1.1)
dans L2et H−1, respectivement. Ici, ρ est le paramètre d’ordre (une densité d’atomes, en
parti-culier, si le matériau est constitué de deux espèces A et B avec des densités ρA et ρB telles que
ρA +ρB = 1, alors, par exemple, ρ = ρA) pour la théorie de Cahn-Hilliard. De plus, Ω ⊂ RN
est le domaine occupé par l matériau, ε|∇ρ|2 est la densité d’énergie libre supplémentaire si le
matériau est dans une transition entre deux états stables CA et CB, ε représent l’epaisseur de
l’interface diffuse et F est une énergie libre : c’est un potentiel à deux puits. On a, formellement et pour une petite variation
δE(ρ) = ∫
Ω
où f (ρ) = F′(ρ). Par conséquent, nous obtenons (formellement) la dérivée variationnelle de
E(ρ) par rapport à ρ,
δE(ρ)
δρ = f(ρ) − ε
2
∆ρ. (1.3)
Notant que l’équilibre est obtenu lorsque (1.3) s’annule, à savoir, δE
δρ = 0, on postule pour l’équation d’Allen-Cahn, une dynamique de relaxation,
α∂ρ ∂t =−
δE
δρ. (1.4)
Combinant les équations (1.3) et (1.4), on obtient l’équation de Ginzburg-Landau ou d’Allen-Cahn
α∂ρ ∂t − ε
2
∆ρ + f(ρ) = 0. (1.5) Pour plus de détails, le lecteur peut consulter les références citées [1, 73].
Le point de départ dans l’équation de Cahn-Hilliard est le bilan de masse ∂ρ
∂t =− div h, (1.6)
où h est le flux de masse qui est lié au potentiel chimique µ (si ρ = ρA, alors µ est un potentiel
chimique généralisé défini par µ = µA− µB) par l’équation constitutive postulée suivante :
h =−κ∇µ, (1.7)
où κ est la mobilité (on suppose généralement qu’elle est une constante strictement positive ; elle peut plus généralement dépendre du paramètre d’ordre ρ et dégénérer). Or, le potentiel chimique est généralement défini comme la dérivée de l’énergie libre par rapport au paramètre d’ordre. Dans ce contexte, une telle définition est incompatible avec la présence de ∇ρ dans l’énergie libre. Ainsi, cette définition doit être adaptée et, à la place, µ est défini comme la dérivée variationnelle de l’énergie libre (1.1) par rapport à ρ, ce qui donne
µ = f(ρ) − ε2∆ρ. (1.8) On en déduit enfin des relations (1.6)-(1.8) l’équation de Cahn-Hilliard
∂ρ ∂t +κε
2∆2
ρ− κ∆ f (ρ) = 0. (1.9) Nous renvoyons le lecteur intéressé à [18], [17] et [60] pour plus de détails ; voir aussi [17, 23, 44, 70, 74, 77, 78, 96].
Ces équations a étaient bien étudiées et on a maintenant des résultats assez complets et satisfaisants sur le caract`re bien posé et le comportement assymptotiqques des solutions cf, par exemple, [44], [84] et [95].
Actuellement, les équations d’Allen-Cahn et Cahn-Hilliard ont été employées d’une façon remarquable dans de nombreux problèmes d’interface complexes en science des matériaux et
en dynamique des fluides grâce à une approche champ de phase (cf, par exemple, [3, 19, 20, 36, 75, 76, 122, 123]).
Un modèle un peu plus compliqué est basé sur une nouvelle loi d’équilibre pour les micro-forces et prend en compte le travail des micromicro-forces internes. Elle a été introduite dans [60] (on peut noter que microforces décrivent les forces qui sont associées à des configurations micro-scopiques des atomes, alors que les forces classiques sont associées à des échelles de longueur macroscopique, si bien que l’on considère des lois d’équilibre séparées pour les microforces et les forces au sens usuel). Pour un matériau isotrope, on est conduit à la généralisation des équations de (1.5) et (1.9) suivantes : α∂ ∂t(ρ + ξ(−∆)ρ) − ε 2∆ρ + f(ρ) = 0 (1.10) et, ∂ρ ∂t − ξ∆ ∂ρ ∂t +κε 2∆2 ρ− κ∆ f (ρ) = 0. (1.11) où ξ est un (petit) paramètre positif et ξ∂tρ décrit l’influence des microforces internes. Ces
équations peuvent également être considérées comme des équations d’Allen-Cahn et de Cahn-Hilliard visqueuses, voir par exemple [6, 97, 60].
En particulier, l’équation de Cahn-Hilliard visqueuse a été proposée dans [97] comme un modèle de séparation de phases dans des mélanges de polymères, où les forces de frottement intermoléculaires peuvent être importantes (Voir [6, 45]).
1.1.2
Conditions aux limites et conservation de la masse
Lorsque nous désirons résoudre des équations aux dérivées partielles, il est essentiel d’ajou-ter des conditions aux limites.
En génèral, l’équation de Cahn-Hilliard est traîté avec des conditions de type Neumann homogène ou périodiques.
Dans le cas de conditions de type Neumann, nous avons ∂ρ
∂ν =0, sur Γ, (1.12)
∂µ
∂ν =0, sur Γ, (1.13)
où ν est le vecteur normal dirigé vers l’extérieur. De manière équivalente, nous avons ∂ρ
∂ν = ∂∆ρ
∂ν =0, sur Γ. (1.14) Ensuite, nous exposons les conditions aux limites périodiques. Dans ce cas, nous supposons que Ω = ∏n
i=1]0, Li[, avec Li > 0. Les conditions aux limites périodiques pour l’équation de
Cahn-Hilliard sont données par
Notons que la condition (1.15) concerne φ et ses dérivées jusqu’à l’ordre 3.
Nous attirons l’attention que l’importance des conditions aux limites de Neumann et pé-riodiques n’appraissent pas seulement dans la décroissance de l’enérgie E mais surtout dans la conservation de masse totale, exprimée mathématiquement par :
d dt ∫ Ω ρ dx =0, (1.16) i.e. ∫ Ω ρ(t) dx = ∫ Ω ρ(0) dx = M, ∀t ≥ 0, (1.17) où M est une constante et ρ(0) représente la concentration initiale à t = 0.
1.1.3
Potentiel
Dans le traitement mathématique du problème, on utilise habituellement la variable ρ(x) = ρA(x) − ρB(x) appelé paramètre d’ordre, de sorte que ρ : Ω → [−1, 1] (A et B sont les 2
composants).
Tout d’abord, on rappelle que la fonction F (définie dans l’énergie (1.1)) est une fonction qui admet deux puits correspondants aux phases du matériau. Un potentiel thermodynamique F est la fonction logarithmique suivante :
F(s) = KBTc(1 − s2) + KBT [ (1 − s) ln(1 − s2 )+(1 + s) ln(1 + s 2 )] , s∈] − 1, 1[, où KBest la constante de Boltzmann, T est la température absolue et Tcune température critique.
A partir de cette description, on remarque que Tc joue un rôle essentiel dans le processus :
— Si T ≥ Tc, le comportement est trivial puisque F présente un minimum global pour
c = 0, et donc la minimisation de (1.1) est obtenue avec une distribution homogène c(x) = 0, ∀x ∈ Ω.
— Si T < Tc, F a deux minimas (double-puits).
On peut facilement montrer que remplacer F par λF, λ > 0 constante, n’influe pas à la descrip-tion du problème. Ainsi, l’équadescrip-tion (1.1) est inchangable si F est exprimé comme suit :
F(s) = θc 2(1 − s 2) + θ 2 [ (1 − s) ln(1 − s2 )+(1 + s) ln(1 + s 2 )] , s∈] − 1, 1[, 0 < θ < θc, (1.18) c’est-à-dire f(s) := F′(s) = −θcs + θ 2ln 1 + s 1 − s. (1.19)
En général, l’étude de l’équation de Cahn–Hilliard avec un potentiel F singulier (défini dans (1.18)) est difficile. Par conséquent, ce potentiel est souvent approché par un potentiel régulier (de type polynomial) qui permet d’éviter le fait que lim
|s|→1F(s) = +∞, F(s) = 2p ∑ k=0 aksk, a2p >0, p ∈ N, p ≥ 2, (1.20)
c’est-à-dire
f(s) =
2p−1∑ i=0
(i + 1)ai+1si, a2p >0. (1.21)
Par exemple, le choix le plus fréquent est
F(s) = 1 4(s
2
− 1)2, (1.22)
les minimas −1 et 1 correspondant aux états purs, d’où
f(s) = s3− s. (1.23)
Figure 1.1 – Cet exemple montre la différence entre un potentiel logarithmique (en bleu) et le potentiel polynomial F(s) = 1
4(s2− 1)2(en rouge)
.
D’un point de vue physique, le choix de la fonction f pour l’équation de Cahn-Hilliard proposée pour la séparation de phases consiste à avoir trois racines (réelles) a, b et une valeur intermédiaire c = a + b
2 . Plus précisément, f doit vérifier (i) f (s) = 0 si et seulement si s = a, b, c.
(ii) f′(s) > 0, s < a∗ou s > b∗,
(iii) f′(s) < 0, s ∈ (a∗, b∗), où a < a∗< c < b∗. Ces trois intervalles intermédiaires sont :
- l’intervalle métastable 1 (a, a∗) ;
- l’intervalle spinodal (a∗, b∗) ;
- l’intervalle métastable 2 (b, b∗).
Finalement, plusieurs auteurs ont considéré l’équation de Cahn-Hilliard avec un potentiel à double obstacle, 1 2(1 − s 2) si |s| ≤ 1, +∞ si |s| > 1, (1.24)
ce qui est équivalent à
où F0(s) = 1
2(1 − s
2) et I
[−1,1]représente la fonction indicatrice convexe de [−1, , 1] définie par
I[−1,1]= { 0 si |s| ≤ 1, +∞ si |s| > 1, d’où f(s) = F0′(s) + ω, ω ∈ ∂ϑ[−1,1](s), (1.26) où ∂ϑ[−1,1](s) désigne le sous-différentiel de la partie non régulière de F et ϑ[−1,1](s) :=∫ΩI[−1,1](s) ds. Pour plus de détails, voir [98, 99] ; voir également [14, 15].
1.2
Problématique
Il existe deux types d’interfaces, nettes et diffuses, comme représenté sur la figure 1.2. Pour le modèle d’interface nette, désignant l’interface par Σ, alors les équations sont données comme suit : • Energie libre E = ∫ Σ γ(θ) ds, (1.27) • Potentiel chimique µ = δE δΣ =(γ(θ) + γθθ(θ))κ, (1.28) où κ est la courbure et δE
δΣ est la dérivée variationnelle de l’énergie E par rapport à l’interface Σ.
• Diffusion de la surface (l’interface est supposé se déplacer par diffusion)
ν = ∂s(M∂sµ), (1.29)
où M est la mobilité et ν est la vitesse normale de la surface.
La forme d’équilibre pour le modèle d’interface nette est la forme de Wulff (i.e., la forme qui minimise l’énergie libre de surface sous la contrainte de volume fermé fixe) et lorsque la rigidité de surface est négative, les angles aigus donnent des problèmes mal posées. Afin de régulariser l’équation, un terme d’ordre élevé EW terme de régularisation peut être ajouté à l’énergie libre :
EW = ∫ Ω β2 2κ 2 ds, (1.30)
où β est le paramètre de régularisation. Ceci est connu sous le nom de régularisation de Willmore ou de régularisation d’angle [35, 61, 64, 110, 117]. A noter que l’effet de régularisation est très localisé à proximité des coins de l’interface et tend à lisser les coins. Pour la nouvelle énergie (somme des énergies dans les équations (1.27) et (1.30) ), le potentiel chimique devient :
µ =(γ(θ) + γθθ(θ))κ − β2(∂ssκ + κ3). (1.31)
B. Spencer [110] a fourni une solution asymptotique pour la forme d’équilibre (à savoir quand µ est constante) à proximité des coins pour le modèle d’interface nette régularisée. Sa solution a des coins ronds où le degré d’arrondi dépend de β.
Dans l’approche d’interface diffuse, les interfaces nettes sont remplacées par des couches de transition étroites et un paramètre d’ordre φ qui désigne les phases est introduit. Le paramètre d’ordre est constant (0 ou 1) dans chaque phase et à l’interface (couche de transition) φ varie de 0 à 1, voir la figure 1.2-(b). Un avantage de cette méthode est que le repérage explicite l’interface est inutile et l’évolution de l’interface est donnée par l’évolution des ensembles de niveaux de φ.
La formulation classique des équations à interface diffuse pour les systèmes anisotropes remonte à Kobayashi [69]. Le potentiel chimique dans cette formulation est donné par
E = ∫ Ω 1 2(F(φ) + ε2 2 |γ(n)∇φ| 2) dx, (1.32) µ = δE δφ = f(φ) − ε 2 ∇ · m, (1.33)
où ε est un petit paramètre qui est une mesure de l’épaisseur de l’interface, F est une énergie libre à double puit, à savoir,
F(φ) = A 4φ
2(1 − φ)2 (1.34)
définie par
m = γ2(φ) p + γ(φ) |p| P ∇nγ(φ), (1.35)
pétant le gradient de φ, n le vecteur normal et P une matrice de projection tangentielle : p = ∇φ, n = p
|p| et P = |∇φ| ∂n
∂p. (1.36)
L’évolution est supposée diminuer l’énergie, dE
dt ≤ 0. En supposant une évolution conser-vatrice, on obtient
∂φ
où M est la mobilité.
Comme dans le cas d’interface nette, lorsque l’énergie de surface est fortement anisotrope, le système de Cahn-Hilliard est mal posé [103, 119]. Pour surmonter ceci des régularisations sont introduites. Dans [43], l’énergie de surface est convexifiée. Cependant, la convexification empêche la nucléation de nouvelles facettes du système [62]. Comme alternative, des regulari-sations d’ordre eleve ont ete utilisees [120, 116]. Une approche qui a été proposée dans [103] est d’ajouter la régularisation de Willmore décrite précédemment.
Dans des travaux récents, Du et al. [37] ont développé une interface diffuse de l’énergie de régularisation de Willmore dans le contexte des énergies de surface isotropes. Cette formu-lation nécessite que l’épaisseur de l’interface soit uniforme quelles que soient les directions. Malheureusement, la formulation des énergies de surface anisotrope données ci-dessus a la pro-priété intrinsèque que l’épaisseur de l’interface varie avec l’orientation. Pour surmonter cette difficulté, une nouvelle formulation de systèmes anisotropes a été développée. Au lieu d’uti-liser l’énergie E dans l’équation (1.32), nous introduisons l’énergie alternative et le potentiel chimique E = ∫ Ω 1 εγ(n)(F(φ) + ε2 2 |∇φ| 2) dx, (1.37) µ = γ(n) f (φ) − ε2∇ · m. (1.38) Comme précédemment, nous prenons le gradient anisotrope m,
m = γ(n)p + |p|P ∇nγ, (1.39)
où p et P sont également comme que précédemment.
La différence entre l’isotropie et l’anisotropie se traduit par des choix différents de γ(n) dans (1.37). Lorsque, γ(n) ≡ 1, nous avons un système isotrope, à savoir, l’énergie libre n’a pas de préférence dans des orientations. Dans ce cas, le flux de gradient de (1.37) conduit à l’équation de Cahn-Hilliard usuelle. Dans le cas anisotrope, γ(n) dépend de n ; par exemple, nous considérons la fonction anisotrope symétrique quadruple, voir la Figure 1.3,
Figure 1.3 – L’énergie interfaciale est fonction de l’orientation cristallographique
γ(n) = 1 + α cos(4θ) = 1 + α(4
d
∑
i=1
où θ désigne l’angle à l’interface. Le paramètre α dans (1.40) décrit l’intensité de l’anisotropie quand α = 0, le système est isotropie. Lorsque l’anisotropie du système ; est suffisamment forte, à savoir, α augmente, l’énergie de surface F(φ) peuvent devenir, trop grand ou singulière sur certaines orientations. Par conséquent, l’interface à l’équilibre ne sera pas courbe lisse, mais discontinuités, voir Figure 1.4. Dans ce cas, l’équation de Cahn Hiliard correspondante est un problème mal posé et exige une régularisation, par exemple, la régularisation de non linéaire Willmore (voir [37]), sous la forme
Figure 1.4 – EW = εβ2 2 ∫ (−∆φ + f(φ) ε2 ) dx (1.41)
ajoutées (1.37) et le potentiel chimique devient
µ = γ(n) f (φ) − ε2∇ · m +εβ 2 2 (∆ 2 φ− f ′(φ)∇p ε2 ). (1.42)
1.3
Plan de la thèse
Cette thèse est basée sur les résultats obtenus dans les articles [79], [80], [81], [82].
En fait, les deux premières articles [79] et [80] sont fondées sur la modification de l’énergie libre de Ginzburg-Landau suggérée dans [69]. L’originalité de cette énergie libre est qu’elle contient un terme supplémentaire appelé régularisation de Willmore qui met l’accent sur de forts effets d’anisotropie,
Ψ = ∫ Ω [1 2|γ(n)∇u| 2+ F(u) + 1 2ω 2] dx. (1.43)
Notons que Ω est un domaine borné ouvert dans RN, γ(n) est une fonction qui décrit les effets
d’anisotropie dépendant de n qui est le vecteur normal à interface défini par n = ∇u
|∇u| et G(u) = ω2représente la régularisation non linéaire de Willmore. Une telle régularisation est pertinente, par exemple, dans la détermination de la forme d’équilibre d’un cristal dans sa propre matrice liquide, lorsque les effets d’anisotropie sont forts. Dans la suite, nous allons détailler le contenu de chaque chapitre.
1. Dans un premier temps, nous considérons le modèle de Cahn-Hilliard basé sur (1.43), dans un domaine Ω = (−L, L) ⊂ R avec L > 0. Il s’écrit sous la forme suivante :
∂u ∂t = µxx,
µ =−(h(ux))x+ f(u) + ω f′(u) − ωxx,
ω = f(u) − uxx,
(1.44)
où, h est une fonction appartenant a C0, avec h′ ∈ L∞(R), qui s’écrit sous la forme
suivante : h(s) = γ2(−1)s, s < 0, 0, s =0, γ2(1)s, s >0. (1.45)
On associe l’équation (1.44) à des conditions aux limites de type Neumann de la forme ∂u ∂x ±L = ∂µ ∂x ±L = ∂ω ∂x ±L =0. (1.46) En outre, la non linéarité f est la fonction cubique
f(s) = s3− s.
Dans ce contexte, tout d’abord nous prouvons que la fonction h est continue Lipschit-zienne. Cette régularité entraîne l’existence et l’unicité de la solution globale dans C([0, T ]; H2−ε(Ω)). Ces résultats nous permettent de définir l’opérateur de solution S (t) qui envoit la donnée initiale u0sur la solution u(t) au temps t. De plus S (t) est un semi
groupe continue et dissipatif.
D’autre part, nous travaillons également sur le modèle d’Allen-Cahn qui est aussi basé sur l’énergie (1.43) dans un domaine Ω = (−L, L) ⊂ R. Il est posé sous la forme sui-vante : ∂u ∂t − (γ(n) 2u x)x+ f(u) + ω f′(u) − ωxx = 0, ω = f(u) − uxx. (1.47)
Nous nous intéressons à l’étude de cette équation soumise à des conditions aux limites de type Neumann de la forme :
∂u ∂x ±L= ∂ω ∂x ±L= 0. (1.48)
De même, nous étudions le caractère bien posé et l’unicité de la solution globale. Par conséquent, nous arrivons à définir un semi groupe continu et dissipatif.
2. Dans le deuxième article [80], nous avons étudié les équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn mais cette fois-ci dans un espace de dimension élevé, en particulier de dimension deux. Dans ce cas, ces équations sont basés sur l’energie libre (1.43), que l’on peut écrire sous la forme
Ψ = ∫ Ω [ g(∇u) + F(u) + β 2ω 2] dx, (1.49)
où g(s) = g(s1, s2) = 1 2γ 2(s1 |s|, s2 |s| ) |s|2 si s = (s1, s2) , (0, 0), 0 si s = (s1, s2) = (0, 0). (1.50)
D’abord, nous prouvons que la fonction g est de classe C1et que g′la différentielle de g
est une fonction Lipschitzienne.
Dates le suite, nous présentons les équations de Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn associées respectivement aux conditions de type périodique et Dirichlet.
L’équation de Cahn-Hilliard s’écrit sous la forme suivante : ∂u ∂t = ∆µ,
µ =− div(g′(∇u)) + f (u) + ω f′(u) − ∆ω, ω = f(u) − ∆u.
(1.51)
De même, l’équation d’Allen-Cahn est donnée comme suit
∂u
∂t − div(g
′(∇u)) + f (u) + ω f′(u) − ∆ω = 0,
ω = f(u) − ∆u.
(1.52)
Nous démontrons le caractère bien posé et l’unicité de la solution pour ces deux équa-tions. De plus, nous pouvons définir un semi groupe S (t) qui est dissipatif et continue. 3. Le troixième article est composé de trois sections. Dans la première section, nous
trai-tons l’équation d’Allen-Cahn visqueux accompagnée d’une régularisation de Willmore sous les conditions de Dirichlet au bord, elle s’écrit
∂u ∂t +ξ(−∆) ∂u ∂t − ∆u + f (u) + ω f ′(u) − ∆ω = 0 on Ω, ω = f(u) − ∆u on Ω, (1.53)
où 0 < ξ < 1 et f est cubique.
Comme d’habitude, nous partons des résultats d’existence et d’unicité de la solution globale. Suite à cela, nous définissons une famille d’opérateur de solution qui envoie la donnée initiale u0sur la solution au temps t. Cette famille possède un attracteur globale
Aξ. Ensuite, nous construisons une famille d’attracteurs exponentieles c’est à dire, une
famille d’attracteurs continue par rapport au paramètre de perturbation.
Dans la deuxième section nous introduisons l’équation de Cahn-Hilliard visqueux avec des conditions de type Neumann,
∂u ∂t +ξ(−∆) ∂u ∂t = ∆µ,
µ = f(u) − ∆u + ω f′(u) − ∆ω, ω = f(u) − ∆u.
Dans ce cadre, nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et d’existence d’un attracteur globale.
Enfin, nous donnons des simulations numériques concernant l’équation de Cahn-Hilliard afin de discuter l’influence du paramètre de viscosité. Pour aboutir à ces ré-sultats, nous avons utilisé la méthode des élèments finis (P1) en espace.
4. Finalement, on considère l’équation d’Allen-Cahn doublement non linéaire avec un po-tentiel singulier et tenant en compte des effets d’anisotropie sous la forme suivante :
∂u
∂t − div(g(∇u)) + f (u) = 0, dans Ω, (1.55) sous les conditions de Dirichlet sur les bords et f satisfait
f ∈ C1(−1, 1) telle que lim
s→±1 f(s) = ±∞, lims→±1 f
′(s) = +∞, (1.56)
et g décrit les effets d’anisotropie.
La difficulté ici est de prouver une propriété de séparation stricte, c’est-à-dire, prouver que la solution est séparée des valeurs singulières de f .
La propriété de séparation stricte nous conduit à prouver l’existence de l’attracteur glo-bal. Nous adaptons ensuite les techniques développées dans [94] pour prouver l’exis-tence d’un attracteur exponentiel, ce qui donne, en particulier, l’exisl’exis-tence de l’attracteur global de dimension finie.
Well-posedness for one-dimensional
anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn
systems
Caractère bien posé des systèmes de Cahn-Hilliard
et d’Allen-Cahn anisotropes en dimension un
Ce chapitre est constitué de l’article Well-posedness for one-dimensional anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems, Electron. J. Diff. Eqns., 2015 (2015), No. 04, 1-15.
Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2015 (2015), No. 04, pp. 1-15. ISSN : 1072-6691. URL : http ://ejde.math.txstate.edu or http ://ejde.math.unt.edu ftp ejde.math.txstate.edu
Well-posedness for one-dimensional anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems AHMAD MAKKI AND ALAIN MIRANVILLE
Université de Poitiers,
Laboratoire de Mathématiques et Applications, UMR CNRS 7348 - SP2MI,
Boulevard Marie et Pierre Curie-Téléport 2, F-86962 Chasseneuil Futuroscope Cedex, France
Abstract : Our aim is to prove the existence and uniqueness of solutions for one-dimensional Cahn-Hilliard and Allen-Cahn type equations based on a modification of the Ginzburg-Landau free energy proposed in [68]. In particular, the free energy contains an additional term called Willmore regularization and takes into account strong anisotropy effects.
Keys words and phrases : Cahn-Hilliard equation ; Allen-Cahn equation ; well-posedness ; Willmore regularization.
2010 Mathematics Subject Classification : 35B45, 35K55.
2.1
Introduction
The original Ginzburg-Landau free energy
ΨGL = ∫ Ω (1 2|∇u| 2+ F(u)) dx (2.1)
plays a fundamental role in phase separation and transition, see, [18, 53]. Here, u is the order parameter, Ω is the domain occupied by the material (we assume that it is a bounded and regular domain of RN), F(s) = 1 4(s 2 − 1)2, (2.2) f(s) = s3− s. (2.3) In [23] (also in [114]), the authors proposed the following modification of the Ginzburg-Landau free energy which takes into account strong anisotropy effects arising during the growth and coarsening of thin films, namely,
ΨMGL = ∫ Ω ( γ(n)(1 2|∇u| 2+ F(u)) + β 2ω 2) dx, (2.4)
where
n = ∇u
|∇u|, ω = f(u) − ∆u, F
′ = f . (2.5)
Here, γ(n) accounts for anisotropy effects (we also refer the reader to, e.g., [20] for a different approach to account for anisotropy effects in phase-field models) and G(u) = ω2is called
non-linear Willmore regularization and β is a small positive regularization parameter. Such a regu-larization is relevant, e.g., in determining the equilibrium shape of a crystal in its own liquid matrix, when anisotropy effects are strong. Indeed, in that case, the equilibrium interface may not be a smooth curve, but may present facets and corners with slopes of discontinuities (see, e.g., [111]). In particular, the corresponding Cahn-Hilliard equation
∂u ∂t = ∆
DΨMGL
Du (where D
Du denotes a variational derivative) is an ill-posed problem and requires regularization.
The author in [84] proved the well-posedness for a one-dimensional Allen-Cahn system based on (2.4).
In [68], the author introduced another modification of the Ginzburg-Landau free energy, namely, ΨAMGL = ∫ Ω [1 2|γ(n)∇u| 2+ F(u) + 1 2ω 2] dx. (2.6)
This model describes dendritic pattern formations and plays an important role in crystal growth. To the best of our knowledge, there is no mathematical result concerning the Cahn-Hilliard (resp. Allen-Cahn) model associated with the free energy (2.6).
In this article, we consider the one dimensional case, i.e., taking Ω = (−L, L), (2.6) reads Ψ = ∫ Ω [1 2|γ(n)ux|2+ F(u) + 1 2ω 2] dx, (2.7) where n = ux |ux| , ω = f(u) − uxx, F′ = f . (2.8)
In [23, 118], the authors proposed efficient energy stable schemes for the Cahn-Hilliard equation based on (2.4) and (2.6) ; actually, in [23], the authors considered a slightly different problem and also considered a second regularization, based on the bi-Laplacian, and, in that case, studied the isotropic case γ(n) = 1 as well. We also mention that, in [77] (resp. [87]), the Cahn-Hilliard (resp. Allen-Cahn) equation based on the Willmore regularization is studied in the isotropic case. There, well-posedness results are obtained.
Our aim in this article is to prove the existence and uniqueness of solutions for the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems associated with the Ginzburg-Landau free energy (2.7).
Assumptions and notation
As far as the nonlinear term f is concerned, we assume more generally that f is of class C4
and that
f(0) = 0, f′(s) ⩾ −c0, c0⩾ 0, s∈ R, (2.9) f(s)s ⩾ c1F(s) − c2 ⩾−c′2, c1> 0, c2, c′2 ⩾0, s∈ R, (2.10)
where F(s) =∫0s f(τ) dτ,
s f(s) f′(s) − f (s)2⩾ c3f(s)2− c4, c3 >0, c4 ⩾0, s∈ R, (2.11) | f′(s)| ⩽ ϵ| f (s)| + c5, ∀ϵ > 0, c5⩾ 0, s ∈ R, (2.12) s f′′(s) ⩾ 0, s∈ R. (2.13) Note that these assumptions are satisfied by the cubic nonlinear term (2.3).
As far as the bounded function γ is concerned, we introduce the following functions :
g(s) = γ2(−1)s2 s <0, 0 s =0, γ2(1)s2 s >0, (2.14)
gbeing a C1-function, with g′(0) = 0, and
h(s) = γ2(−1)s s < 0, 0 s = 0, γ2(1)s s > 0. (2.15)
Thus, h is a C0-function, with h′∈ L∞(R).
Lemma 2.1.1.
The function h is Lipschitz continuous on(−L, L).
Démonstration. Let s1and s2belong to R. We have two cases, depending on the sign of s1and
s2:
— If s1and s2have the same sign (or vanish), then it is clear that
|h(s1) − h(s2)| ⩽ max{γ2(1), γ2(−1)}|s1− s2|.
— If s1and s2 have opposite signs, then, assuming that s1 > 0 and s2 < 0 (the case s1 < 0
and s2> 0 is similar),
|h(s1) − h(s2)| = γ2(1)s1− γ2(−1)s2
⩽max{γ2(1), γ2(−1)}(s1− s2) =max{γ2(1), γ2(−1)}|s1− s2|.
The result follows. □
We denote by ((·, ·)) the usual L2-scalar product, with associated norm ∥ · ∥, and we set
∥ · ∥−1 = ∥(−∆)−1/2 · ∥, where (−∆)−1 is the inverse minus Laplace operator associated with
Neumann boundary conditions and acting on functions with null average. We set, whenever it makes sense, ⟨·⟩ = 1
Vol(Ω)
∫
Ω· dx, being understood that, for φ ∈ H
−1(Ω), ⟨φ⟩ = 1
Vol(Ω)⟨φ, 1⟩H−1(Ω),H1(Ω), and we note that
is a norm on H−1(Ω) which is equivalent to the usual one.
Throughout this article, the same letter c (and sometimes c′) denotes constants which may
vary from line to line. Similarly, the same letter Q denotes monotone increasing (with respect to each argument) functions which may vary from line to line.
Remark 2.1.1.
We can write, formally, for a small variation, DΨ =
∫ L
−L
[ (γ(n)ux) D(γ(n)ux) + F′(u)Du + ωDω] dx
= ∫ L
−L
[γ(n)u
xD(γ(n)ux) + f (u)Du + ω f′(u)Du − ωxxDu]dx.
We then note that ( γ( s |s| ) s)′ =γ( s |s| ) inD′. Indeed, we have ( γ( s |s| ) s)′ = sγ′( s |s| )( s |s| )′+ γ( s |s| ) inD′. Now, it is sufficient to prove that
sγ′( s |s|
)( s |s|
)′ = 0 in D′.
To do so, we let φ∈ D(−L, L) and have ⟨( s |s| )′, φ ⟩D′,D = −⟨ s |s|, φ ′ ⟩D′,D = − ∫ L −L s |s|φ ′(s) ds = − ∫ L 0 φ′(s) ds + ∫ 0 −L φ′(s) ds = [φ(s)]0−L+[−φ(s)]L0 = 2φ(0) = 2⟨δ0, φ⟩D′,D, so that sγ′( s |s| )( s |s| )′ =2sδ 0γ′( s |s| ) inD′. Since sδ0 =0 in D′, we obtain ( γ( s |s| ) s)′ =γ( s |s| ) inD′. (2.16)
Thus, owing to(2.16), we obtain, formally, DΨ =
∫ L
−L
[
γ2(n)uxD(ux) + f (u)Du + ω f′(u)Du − ωxxDu]dx
= ∫ L
−L
[
− (γ2(n)ux)x+ f(u) + ω f′(u) − ωxx]Du dx
and the variational derivative of Ψ with respect to u reads DΨ
Du = − (h(ux))x+ f(u) + ω f
′(u) − ω xx.
2.2
Cahn-Hilliard system
The Cahn-Hilliard equation is an equation of mathematical physics which describes the evolution of different material phases via an order parameter (or multiple order parameters). The equation was initially derived as a model for spinodal decomposition in solid materials [17, 19] and has since been extended to many other physical systems.
Setting of the problem
Writing mass conservation, i.e., ∂u
∂t = −hx, where h is the mass flux which is related to
the chemical potential µ by the constitutive relation h = −µx, and that the chemical potential
is the variational derivative of Ψ with respect to u, we end up with the following sixth-order Cahn-Hilliard system
∂u
∂t = µxx, (2.17)
µ =−(h(ux))x + f(u) + ω f′(u) − ωxx, (2.18)
ω = f(u) − uxx, (2.19)
together with the Neumann boundary conditions
ux ±L= µx ±L= ωx ±L= 0 (2.20)
and the initial condition
u t=0 = u0. (2.21)
2.2.1
A priori estimates
We first note that, integrating (formally) (2.17) over Ω, we obtain the conservation of mass, namely,
⟨u(t)⟩ = ⟨u0⟩, t ⩾0. (2.22)
Multiplying (2.17) by (−∆)−1 ∂u
∂t, we have, integrating over Ω and by parts,
∥∂u∂t∥2−1 =−((µ,
∂u
∂t)). (2.23)
We then multiply (2.18) by ∂u
∂t and integrate over Ω to obtain
((µ,∂u ∂t)) = ∫ Ω h(ux) ∂ux ∂t dx + d dt ∫ Ω
F(u) dx + ((ω f′(u),∂u
∂t)) − ((ωxx, ∂u
∂t)).
(2.24)
Noting that from (2.19) it follows that
((ω f′(u), ∂u ∂t)) − ((ωxx, ∂u ∂t)) = 1 2 d dt∥ω∥ 2 , (2.25)
we have, owing to (2.14), ∫ Ω h(ux) ∂ux ∂t dx = 1 2 d dt ∫ Ω g(ux) dx. (2.26)
We finally deduce from (2.23)-(2.24) that d dt [ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2]+2∥∂u ∂t∥ 2 −1 =0. (2.27)
In particular, (2.27) yields that the free energy decreases along the trajectories, as expected. We now multiply (2.17) by (−∆)−1¯u, where ¯u = u − ⟨u⟩, and integrate over Ω. We obtain,
owing to (2.6), 1 2 d dt∥¯u∥ 2 −1=−((µ, u)) + Vol(Ω)⟨µ⟩⟨u0⟩, (2.28) where, owing to (2.18), ⟨µ⟩ = ⟨ f (u)⟩ + ⟨ f′(u)⟩. (2.29) Multiplying then (2.18) by u and integrating over Ω, we have, owing to (2.19),
((µ, u)) = ∫
Ω
g(ux) dx + (( f (u), u)) + (( f (u) f′(u), u))
− (( f′(u)uxx, u)) − (( f (u)xx, u)) + ∥uxx∥2.
(2.30)
Noting that
(( f′(u)u
xx, u)) = −(( f′(u)ux, ux)) − ((u f′′(u)ux, ux)),
(( f (u)xx, u)) = −(( f′(u)ux, ux)),
we obtain
((µ, u)) = ∫
Ω
g(ux) dx + (( f (u), u)) + ∥ω∥2+((u f′′(u)ux, ux))
+ ∫
Ω
(
f(u) f′(u)u − f2(u)) dx and finally, owing to (2.10), (2.11), (2.13) and (2.28), we obtain
d dt∥¯u∥ 2 −1+ c [ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2+∥ f (u)∥2] ⩽ 2 Vol(Ω)⟨µ⟩⟨u0⟩ + c′, c > 0. (2.31)
We now assume that
|⟨u0⟩| ⩽ M (hence, |⟨u(t)⟩| ⩽ M, t ⩾ 0), M ⩾0. (2.32)
Therefore, owing to (2.12) and (2.29),
|2 Vol(Ω)⟨u0⟩⟨µ⟩| ⩽ cM(|⟨ f (u)⟩| + |⟨ω f′(u)⟩|)
⩽ c 2 ( ∫ Ω f(u)2dx + ∫ Ω ω2dx)+ c′M, (2.33)
where c is the constant appearing in (2.31), and we deduce from (2.31) and (2.33) that d dt∥¯u∥ 2 −1+ c [ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2]⩽ c′M. (2.34) Combining (2.27) and (2.34), we have an inequality of the form
dE dt + c(E + ∥ ∂u ∂t∥ 2 −1) ⩽ c′M, (2.35) where E =∥¯u∥2−1+⟨u⟩2+ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2. (2.36) In particular, we deduce from (2.35) and Gronwall’s Lemma that
E(t) ⩽ E(0)e−ct+ c′
M, c >0, t ⩾ 0. (2.37)
Noting that, owing to (2.9),
∥ω∥2⩾ ∥ f (u)∥2+∥uxx∥2− 2c0∥ux∥2, (2.38)
we finally deduce from (2.36)-(2.38) and the boundedness of γ(n) that ∥u∥2H2(Ω)+∥ f (u)∥
2 ⩽ Q(∥u
0∥H2(Ω))e−ct+ c′M. (2.39)
Rewriting (2.17) in the equivalent form
µ =⟨µ⟩ − (−∆)−1∂u ∂t, (2.40) we obtain ∥µx∥ ⩽ c∥ ∂u ∂t∥−1. (2.41)
Noting that, proceeding as in (2.33),
|⟨µ⟩| ⩽ c(∥u∥2H2(Ω)+∥ f (u)∥ 2+1), we finally find ∥µ∥H1(Ω) ⩽c(∥ ∂u ∂t∥−1+∥u∥ 2 H2(Ω)+∥ f (u)∥ 2+1). (2.42)
Now, owing to (2.18), we have
ωxx = −(h(ux))x− µ + f (u) + ω f′(u)
and, owing to (2.12), there holds ∥ωxx∥ ⩽ c ( ∥(h(ux))x∥ + ∥ f (u)∥2+∥ω∥2+∥µ∥ ) ⩽c(∥h(ux)∥H1(Ω)+∥ f (u)∥2+∥ω∥2+∥µ∥ ) , (2.43)
where we have used the fact that { h(u x) = γ2(n)ux ∈ L2(Ω) (h(ux))′ = h′(ux)uxx ∈ L2(Ω) } ⇒ h(ux) ∈ H1(Ω).
Recall that h is Lipschitz continuous, with h(0) = 0, and note that
∥h(ux)∥H1(Ω)⩽ c∥u∥H2(Ω).
We then have, owing to (2.14) and (2.42)-(2.43),
∥ω∥H2(Ω) ⩽c
(
∥∂u∂t∥−1+∥u∥2H2(Ω)+∥ f (u)∥
2+1). (2.44)
We now multiply (2.17) by u and integrate over Ω to get 1 2 d dt∥u∥ 2 = −((µx, ux)). (2.45)
Multiplying then (2.18) by −uxx and integrating over Ω, we obtain, in view of (2.19),
((µx, ux)) =
∫
Ω
h(ux)uxxxdx +(( f′(u)ux, ux)) − ((ω f′(u), uxx))
− (( f (u)xx, uxx)) + ∥uxxx∥2.
(2.46)
We note that
|((ω f′(u), uxx))| ⩽ ∥ f′(u)∥L∞(Ω)∥ω∥∥uxx∥
⩽ 1 2∥uxx∥2+ Q ( ∥u∥H2(Ω) ) ∥ω∥2, (2.47) where Q is continuous (here, we have used the fact that H2(Ω) is continuously embedded into
C( ¯Ω)), and, proceeding similarly, (( f (u)xx, uxx)) = (( f ′(u)ux, uxxx)) ⩽ 1 2∥uxxx∥2+ Q ( ∥u∥H2(Ω) ) ∥ux∥2. (2.48) Finally, ∫ Ω
h(ux)uxxxdx ⩽ c[∥ux∥2+∥uxxx∥2]. (2.49)
It thus follows from (2.9) and (2.45)-(2.49) that d
dt∥u∥
2+
∥u∥2H3(Ω)⩽ Q(∥u∥H2(Ω))(∥u∥2H1(Ω)+∥ω∥2), (2.50)
2.2.2
Existence and uniqueness of solutions
Theorem 2.2.1.
Assume that(2.32) holds and that u0 ∈ H2(Ω), with ∂u∂x0 ±L =0. Then (2.17)-(2.21) admits a
unique (variational) solution such that
u∈ L∞(R+; H2(Ω)) ∩ L2(0, T ; H3(Ω)) ∩ C([0, T]; H2−ε(Ω)) ∀ε > 0, ∂u ∂t ∈ L
2(0, T ; H−1(Ω)),
µ∈ L2(0, T ; H1(Ω)), ω∈ L∞(R+; L2(Ω)) ∩ L2(0, T ; H2(Ω)) for all T > 0.
Démonstration. (a) Existence : The proof of existence is based on a classical Galerkin scheme and on the a priori estimates derived in the previous section. We can note that a weak (variatio-nal) formulation of (2.17)-(2.21) reads
((∂u
∂t, v)) = ((µxx, v)), ∀v ∈ H
1(Ω), (2.51)
((µ, v)) = ((h(ux), vx)) + ((ω f′(u), v)) + (( f (u), v)) − ((ωxx, v)),
∀v ∈ H1(Ω), (2.52)
((ω, v)) = (( f (u), v)) − ((uxx, v)), ∀v ∈ H1(Ω), (2.53)
u t=0 = u0. (2.54)
Let v0, v1, . . . be an orthonormal (in L2(Ω)) and orthogonal (in H1(Ω)) family associated
with the eigenvalues 0 = λ0 < λ1 ⩽ · · · of the operator −∆ associated with Neumann boundary conditions (note that v0is a constant). We set
Vm= Span{v0, v1, . . . , vm}
and consider the approximate problem :
Find (um, µm, ωm) : [0, T ] → Vm× Vm× Vmsuch that
((∂um ∂t , v)) = −((µm x, v)), ∀v ∈ Vm, (2.55) ((µm, v)) = ((h(um x), vx)) + ((ω f′(um), v)) +(( f (um), v)) − ((ωm xx, v)), ∀v ∈ Vm, (2.56) ((ωm, v)) = (( f (um), v)) − ((um xx, v)), ∀v ∈ Vm, (2.57) um t=0 = u0,m, (2.58)
where u0,m= Pmu0, Pmbeing the orthogonal projector from L2(Ω) onto Vm.
The existence of a local (in time) solution to (2.55)-(2.58) is standard. Indeed, we have to solve a Lipschitz continuous finite-dimensional system of ODE’s to find um, which yields ωm
The a priori estimates derived in the previous section, which are now justified within the Galerkin approximation, yield that the solution is global and that, up to a subsequence which we do not relabel and owing to classical Aubin-Lions compacteness results,
um→ u weak star in L∞(0, T ; H2(Ω)), strongly in C([0, T ]; H2−ε(Ω)), and a.e.,
∂um ∂t → ∂u ∂t weakly in L 2(0, T ; H−1(Ω)), µm→ µ weakly in L2(0, T ; H1(Ω)),
ωm→ ω weak star in L∞(0, T ; L2(Ω)) and weakly in L2(0, T ; H2(Ω)),
as m → +∞, ∀T > 0.
Note that, owing to (2.35), (2.37) and (2.39), we have u ∈ L∞(R+; H2(Ω)) and, consequently,
ω ∈ L∞(R+; L2(Ω)).
As far as the passage to the limit is concerned, the most delicate part is to prove that ∫ T 0 ∫ Ω (ωmf′(um) − ω f′(u))φ dx dt → 0 as m → +∞, ∫ T 0 ∫ Ω (h(um x) − h(ux))φxdx dt→ 0 as m → +∞,
for φ regular enough.
We have, say, for φ ∈ C2([0, T ] × ¯Ω) such that φ(T) = φ(0) = 0,
∫ T 0 ∫ Ω (ω mf′(um) − ω f′(u)) φ dx dt = ∫ T 0 ∫ Ω (ωm− ω) f′(u)φ dx dt + ∫ T 0 ∫ Ω ωm(f′(um) − f′(u)) φ dx dt. (2.59)
The passage to the limit in the first integral in the right-hand side of (2.59) is straightforward, while the passage to the limit in the second one follows from the above convergences which yield, in particular, the inequality
∫ T 0 ∫ Ω
ωm(f′(um) − f′(u)) φ dx dt ⩽ c∥um− u∥L2((0,T )×Ω).
Finally, recalling that h is Lipschitz continuous, we have ∫ T 0 ∫ Ω (h(u m x) − h(ux))φxdx dt ⩽ c∥um x− ux∥L2((0,T )×Ω).
(b) Uniqueness : Let (u1, µ1, ω1) and (u2, µ2, ω2) be two solutions to (2.17)-(2.20) with initial
data u1,0and u2,0, respectively, such that
We set (u, µ, ω) = (u1, µ1, ω1) − (u2, µ2, ω2) and u0 = u1,0− u2,0and have ∂u ∂t = µxx, (2.61) µ =−(h(u1 x))x+ (h(u 2 x))x+ f(u1) − f (u2) +ω1f′(u1) − ω2f′(u2) − ωxx, (2.62) ω = f(u1) − f (u2) − uxx, (2.63) ux ±L=µx ±L= ωx ±L= 0, (2.64) u t=0 = u0. (2.65)
We multiply (2.61) by (−∆)−1¯u and obtain, integrating over Ω and by parts,
1 2 d dt∥¯u∥ 2 −1= −((µ, u)) + Vol(Ω)⟨µ⟩⟨u⟩, (2.66) where, owing to (2.62), ⟨µ⟩ = ⟨ f (u1) − f (u2)⟩ + ⟨ω1f′(u1) − ω2f′(u2)⟩. (2.67)
We then multiply (2.62) by u and find, in view of (2.63),
((µ, u)) = ∫ Ω h(u1 x)uxdx− ∫ Ω h(u2 x)uxdx +(( f (u1) − f (u2), u)) + ((ω1f′(u1) − ω2f′(u2), u)) − (( f (u1) − f (u2), uxx)) + ∥uxx∥2. (2.68) We have, owing to (2.9),
(( f (u1) − f (u2), u)) = (( f′(u)u, u)) ⩾ −c0∥u∥2. (2.69)
Furthermore,
|(( f (u1) − f (u2), uxx))| ⩽
1
8∥uxx∥2+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥u∥2 (2.70)
and
((ω1f′(u1) − ω2f′(u2), u))
⩽|((ω1( f′(u1) − f′(u2)), u))| + |((ω f′(u2), u))| ⩽ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥ω1∥H2(Ω)∥u∥2
+|(( f′(u2)uxx, u))| + |(( f′(u2)( f (u1) − f (u2)), u))|
⩽ 1
8∥uxx∥2+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))(∥ω1∥H2(Ω)+1)∥u∥2.
Similarly, | Vol(Ω)⟨u⟩⟨µ⟩| ⩽c( ∫ Ω| f (u 1) − f (u2)| dx + ∫ Ω|ω 1f′(u1) − ω2f′(u2)| dx)|⟨u⟩| ⩽( ∫ Ω| f (u 1) − f (u2)|| f′(u2)| dx ) |⟨u⟩| +( ∫ Ω |ω1|| f′(u1) − f′(u2)| dx + ∫ Ω |uxx|| f′(u2)| dx)|⟨u⟩|
+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥u∥|⟨u⟩|
⩽ 1
8∥uxx∥2+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))(∥ω1∥ + 1)(∥u∥2+|⟨u⟩|2).
(2.72)
Recalling that h is Lipschitz continuous, we have
|((h(u1 x) − h(u2 x), ux))| ⩽
∫
Ω
|h(u1 x) − h(u2 x)||ux| dx ⩽ c∥ux∥2. (2.73)
We finally deduce from (2.66), (2.68)-(2.73) and the interpolation inequality
∥¯u∥ ⩽ c∥¯u∥1/2−1∥∇¯u∥1/2 ⩽c′∥¯u∥1/2−1∥∆¯u∥1/2 (2.74) that d dt(∥¯u∥ 2 −1+⟨u⟩ 2) + ∥u xx∥2
⩽ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))(1 + ∥ω1∥ + ∥ω1∥H2(Ω))(∥¯u∥2−1+|⟨u⟩|2).
(2.75)
Gronwall’s Lemma then yields, owing to (2.35), (2.39) and (2.44) (written for (u1, µ1, ω1)),
∥u(t)∥H−1(Ω) ⩽ceQ(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))t∥u0∥H−1(Ω), (2.76)
hence the uniqueness, as well as the continuous dependence with respect to the initial data in the H−1-norm.
It follows from Theorem 2.2.1 that we can define the continuous (for the H−1-norm)
semi-group
S(t) : ΦM → ΦM, u0→ u(t), t ⩾0
(i.e., S (0) = Id and S (t + s) = S (t) ◦ S (s), t, s ⩾ 0), where ΦM ={v∈ H2(Ω),∂v
∂x
±L= 0, |⟨v⟩| ⩽ M}, M ⩾0.
We then deduce from (2.39) that S (t) is dissipative, i.e., it possesses a bounded absorbing set B0 ⊂ ΦM (in the sense that, for all B ⊂ ΦM bounded, there exists t0 = t0(B) such that t ⩾ t0 ⇒
2.3
Allen-Cahn system
The Allen-Cahn equation describes important processes related with phase separation in binary alloys, namely, the ordering of atoms in a lattice (see [1]).
Assuming the relaxation dynamics∂u ∂t = −
Dψ
Du, we obtain the Allen-Cahn system
∂u
∂t − (h(ux))x+ f(u) + ω f
′(u) − ω
xx =0, (2.77)
ω = f(u) − uxx, (2.78)
together with the Neumann boundary conditions
ux ±L=ωx ±L=0 (2.79)
and the initial condition
u t=0 = u0. (2.80)
2.3.1
A priori estimates
We Multiply (2.77) by ∂u
∂t and have, integrating over Ω and by parts, ∥∂u ∂t∥ 2+∫ Ω h(ux) ∂ux ∂t dx + d dt ∫ Ω F(u) dx + ((ω f′(u) − ω xx, ∂u ∂t)) = 0, which yields, noting that it follows from (2.78) that
((ω f′(u),∂u ∂t)) − ((ωxx, ∂u ∂t)) = 1 2 d dt∥ω∥ 2
and from (2.14) that ∫
Ω h(ux) ∂ux ∂t dx = 1 2 d dt ∫ Ω g(ux) dx,
the differential equality d dt [ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2]+2∥∂u ∂t∥ 2 =0. (2.81)
In particular, it follows from (2.81) that the energy decreases along the trajectories, as expected. We then multiply (2.77) by u and obtain, owing to (2.78),
1 2 d dt∥u∥ 2+∫ Ω
g(ux) dx + (( f (u), u)) +
∫
Ω
u f(u) f′(u) dx +2(( f′(u)ux, ux)) + ((u f′′(u)ux, ux)) + ∥uxx∥2 =0,
which yields, owing to (2.78), 1 2 d dt∥u∥ 2+∫ Ω
g(ux) dx + (( f (u), u)) + ∥w∥2
+ ∫
Ω
(u f (u) f′(u) − f2(u)) dx + ((u f′′(u)u
hence, in view of (2.10), (2.11) and (2.13), d dt∥u∥ 2+ c[ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2]⩽ c′, c >0. (2.82) Summing (2.81) and (2.82), we find an inequality of the form
dE1 dt + c ( E1+∥ ∂u ∂t∥ 2)⩽ c′, c >0, (2.83) where E1 =∥u∥2+ ∫ Ω g(ux) dx + 2 ∫ Ω F(u) dx + ∥ω∥2. (2.84) In particular, it follows from (2.83) and Gronwall’s Lemma that
E1(t) ⩽ E1(0)e−ct+ c′, c >0, (2.85)
hence, in view of (2.9) (which yields that ∥ω∥2 ⩾
∥uxx∥2+∥ f (u)∥2−2c0∥ux∥2), (2.84) and classical
elliptic regularity results,
∥u(t)∥H2(Ω) ⩽Q(∥u0∥H2(Ω))e−ct+ c′, c > 0, t ⩾ 0. (2.86)
Next, we multiply (2.77) by −uxx to have
− ∫ Ω ∂u ∂tuxxdx− ∫ Ω h(ux)uxxxdx− ∫ Ω f(u)uxxdx − ∫ Ω ω f′(u)uxxdx + ∫ Ω ωxxuxxdx =0. (2.87)
It follows from (2.78) that 1 2 d dt∥ux∥ 2 − ∫ Ω h(ux)uxxxdx +(( f′(u)ux, ux))
− ((ω f′(u), uxx)) + ((( f (u))xx, uxx)) + ∥uxxx∥2 =0.
(2.88)
Now, owing to the continuous embedding H2(Ω) ⊂ C( ¯Ω) and (2.78), there holds
(( f′(u)u
x, ux)) + ((ω f′(u), uxx)) + ((( f (u))xx, uxx)) ⩽ Q(∥u∥H2(Ω))
(indeed, it follows from (2.78) that ∥ω∥ ⩽ Q(∥u∥H2(Ω))) and
∫
Ω
h(ux)uxxxdx ⩽ c[∥ux∥2+∥uxxx∥2],
hence
d dt∥ux∥
2+
2.3.2
Existence and uniqueness of solutions
Theorem 2.3.1.
Let u0 ∈ H2(Ω) ∩ H10(Ω). Then, (2.77)-(2.80) admits a unique (variational) solution such
that u∈ L∞(R+; H2(Ω) ∩ H01(Ω)) and ∂u∂t ∈ L2(0, T ; L2(Ω)). Furthermore, ω ∈ L∞(R+; L2(Ω)) ∩ L2(0, T ; H2(Ω) ∩ H01(Ω)) for all T > 0. Finally, the associated semigroup is dissipative in H2(Ω) ∩ H10(Ω).
Démonstration. (a) Uniqueness : Let u1 and u2 be two solutions to (2.77)-(2.80) with initial
data u1,0 and u2,0 respectively, where ω1 and ω2 are defined from (2.78). We set u = u1− u2,
ω = ω1− ω2, u0= u1,0− u2,0and have ∂u ∂t − (h(u1 x))x +(h(u2 x))x+ f(u1) − f (u2) +ω1f′(u1) − ω2f′(u2) − ωxx = 0, (2.90) ω = f(u1) − f (u2) − uxx, (2.91) ux ±L =ωx ±L =0, (2.92) u t=0 = u0. (2.93)
We multiply (2.90) by u and integrating over Ω, we obtain 1 2 d dt∥u∥ 2+((h(u 1 x) − h(u2 x), ux)) + (( f (u1) − f (u2), u)) +((ω1f′(u1) − ω2f′(u2), u)) − (( f (u1) − f (u2), uxx)) + ∥uxx∥2 =0. (2.94) We note that, by (2.9), (( f (u1) − f (u2), u)) ⩾ −c0∥u∥2
and that, owing to (2.91),
|((ω1f′(u1) − ω2f′(u2), u))|
⩽|((ω f′(u1), u))| + |((ω2( f′(u1) − f′(u2)), u))| ⩽Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))(∥ω∥∥u∥ + ∥ω2∥∥u∥2
L4(Ω))
⩽Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))(∥uxx∥2∥u∥ + ∥ux∥2)
⩽ 1
4∥uxx∥2+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥ux∥2
(2.95)
and
|(( f (u1) − f (u2), uxx))| ⩽
1
8∥uxx∥2+ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥u∥2. (2.96)
Recalling that h is Lipschitz continuous, we have
|((h(u1 x) − h(u2 x), ux))| ⩽
∫
Ω|h(u
1 x) − h(u2 x)||ux| dx ⩽ c∥ux∥2. (2.97)
We finally deduce from (2.94)-(2.97) and the interpolation inequality ∥ux∥ ⩽ c∥u∥1/2∥uxx∥1/2
that
d dt∥u∥
2+
∥uxx∥2 ⩽ Q(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))∥u∥2. (2.98)
Then Gronwall’s Lemma yields
∥u1(t) − u2(t)∥ ⩽ ceQ(∥u1,0∥H2(Ω),∥u2,0∥H2(Ω))t∥u0∥, (2.99)
hence the uniqueness, as well as the continuous dependence with respect to the initial data in the L2-norm.
(b) Existence : The proof of existence of solutions is based on the a priori estimates derived in the previous section and, e.g., a standard Galerkin scheme.
In particular, it follows from (2.83)-(2.84) and (2.86) that we can construct a sequence of solutions umto a proper approximated problem such that
um→ u weak star in L∞(0, T ; H2(Ω)), strongly in C([0, T ]; H2−ε(Ω)) and a.e.,
∂um
∂t → ∂u
∂t weakly in L
2(0, T ; L2(Ω)),
ωm→ ω weak star in L∞(0, T ; L2(Ω)) and weakly in L2(0, T ; H2(Ω)),
as m → +∞ for all T > 0.
The passage to the limit is then standard and can be done as in the previous section. Further-more, it follows from (2.83)-(2.84) and (2.86) that
u∈ L∞(R+; H2(Ω)), ∂u ∂t ∈ L
2(0, T ; L2(Ω)), ∀T > 0,
and, consequently, ω ∈ L∞(R+; L2(Ω)).
It follows from Theorem 2.3.1 that we can define the continuous (for the L2-norm)
semi-group
S(t) : Φ → Φ, u0 → u(t)
where Φ = H2(Ω) ∩ H1
Existence of solutions for anisotropic
Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems in
higher space dimensions
Existence de solutions pour les systèmes de
Cahn-Hilliard et d’Allen-Cahn anisotropes dans
dimension élevées
Ce chapitre est constitué de l’article Existence of solutions for anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems in higher space dimensions, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S 9(3) :759 - 775, April 2016.
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS SERIES S Volume 9, Number 3, June 2016, p.p 759 - 775.
doi :10.3934/dcdss.2016027
Existence of solutions for anisotropic Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems in higher space dimensions
AHMAD MAKKI AND ALAIN MIRANVILLE Université de Poitiers,
Laboratoire de Mathématiques et Applications, UMR CNRS 7348 - SP2MI,
Boulevard Marie et Pierre Curie-Téléport 2, F-86962 Chasseneuil Futuroscope Cedex, France
In memory of Alfredo Lorenzi
ABSTRACT : Our aim in this paper is to prove the existence and uniqueness of solutions to Cahn-Hilliard and Allen-Cahn type equations based on a modification of the Ginzburg-Landau free energy proposed in [69] (see also [79]) which takes into account strong anisotropy effects. In particular, the free energy contains a regularization term, called Willmore regularization.
Keys words and phrases : Cahn-Hilliard equation ; Allen-Cahn equation ; anisotropy, Will-more regularization, well-posedness.
2010 Mathematics Subject Classification : 35B45, 35K55.
3.1
Introduction
In [22] and [114], a modified Ginzburg-Landau free energy which takes into account strong anisotropy effects arising during the growth and coarsening of thin films is considered, namely,
ΨMGL = ∫ Ω ( γ(n)(1 2|∇u| 2+ F(u)) + β 2ω 2) dx. (3.1)
Here, u is the order parameter, n = ∇u
|∇u|, Ω is the domain occupied by the material, F(u) = 1 4(u 2 − 1)2 (3.2) and f(u) = F′(u) = u3− u. (3.3) Furthermore, γ(n) is a bounded function which describes the anisotropy effects, G(u) = ω2, ω =
parameter. Such a regularization is relevant, e.g., in determining the equilibrium shape of a crystal in its own liquid matrix, when anisotropy effects are strong. Indeed, in that case, the equilibrium interface may not be a smooth curve and may present facets and corners with slopes of discontinuities (see, e.g., [111]).
The author in [85] proved the well-posedness for a one-dimensional Allen-Cahn system based on (3.1). The analysis in [85] consists in regularizing γ. Unfortunately, the estimates obtained there are not uniform with respect to the regularization parameter, so that one is not able to pass to the limit.
We recall that the original Ginzburg-Landau free energy,
ΨGL = ∫ Ω (1 2|∇u| 2+ F(u)) dx, (3.4)
plays a fundamental role in phase separation and transition, see, e.g., [17] and [16].
Actually, in [69], the author proposed another modification of the Ginzburg-Landau free energy which takes into account anisotropy effects, namely,
ΨAMGL = ∫ Ω [1 2|γ(n)∇u| 2+ F(u) + β 2ω 2] dx. (3.5)
This model describes dendritic pattern formation for one component melt growth and plays an important role in crystal growth. Compared with (3.1), we will not have to regularize γ when studying the corresponding models. Indeed, obtaining a variational derivative (see below) of (3.1) is not clear without such a regularization.
We considered in [79] the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn systems based on (3.5) in one space dimension and proved the existence and uniqueness of solutions. We can note that, in this particular case, n only takes the values ±1, which makes the analysis easier than in higher space dimensions.
In this article, we now deal with the two-dimensional case and (3.5) can be rewritten in the form ΨAMGL = ∫ Ω [g(∇u) + F(u) + β2ω2] dx, (3.6) where g(s) = g(s1, s2) = 1 2γ 2(s1 |s|, s2 |s| ) |s|2 if s = (s1, s2) , (0, 0), 0 if s = (s1, s2) = (0, 0) (3.7) and ω = f(u) − ∆u, F′= f . (3.8) Actually, what follows can also be easily extended to the three-dimensional case (see Re-mark 3.2.4, b) below).
