Identification des paramètres du modèle élastique plastique parfait à partir d'essais pressiométriques dans les sols injectés

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Identification des paramètres du modèle élastique

plastique parfait à partir d’essais pressiométriques dans

les sols injectés

Christophe Dano, Pierre Yves Hicher, Sylvie Tailliez

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Christophe Dano, Pierre Yves Hicher, Sylvie Tailliez. Identification des paramètres du modèle élastique plastique parfait à partir d’essais pressiométriques dans les sols injectés. Forum des Associations AFGC/AUGC/IREX, 2002, Toulouse, France. �hal-01008270�

IDENTIFICATION DES PARAMETRES DU MODELE ELASTIQUE PLASTIQUE PARFAIT A PARTIR D’ESSAIS PRESSIOMETRIQUES DANS LES SOLS INJECTES

Christophe Dano(1), Pierre-Yves Hicher(1), Sylvie Tailliez(2)

(1)

Laboratoire de Génie Civil de Nantes Saint-Nazaire Ecole Centrale de Nantes, BP 92101, 44321 NANTES cedex 3

(2)

Coyne et Bellier, 9 allée des Barbanniers, 92632 GENNEVILIERS

1. INTRODUCTION

Les paramètres des modèles de comportement, introduits dans les codes de calcul numériques, sont classiquement déterminés au moyen d’essais de laboratoire. Leur identification à partir d’essais in situ est également envisageable pour limiter l’effet du remaniement induit par les prélèvements de sol [1,2,3]. Cependant, les essais in situ, et l’essai pressiométrique en particulier, sont des essais non homogènes. Par conséquent, les paramètres, qui ne sont pas directement accessibles à la mesure, doivent être déterminés à partir des grandeurs mesurables, par analyse inverse. Cette technique a déjà été appliquée aux sols purement frottants [1,3]. On l’étend au cas des sols frottants et cohérents tels que les sols injectés. Les particularités du comportement de ces sols, décrits dans [4,5,6], sont exploitées pour identifier les paramètres du modèle élastique plastique parfait (Fig. 1).

2. PRINCIPE DE L’ANALYSE INVERSE – EXPRESSION DE LA COURBE

PRESSIOMETRIQUE

2.1. Expression de la courbe pressiométrique

L’essai pressiométrique Ménard consiste à dilater une sonde cylindrique introduite, à la profondeur souhaitée, dans un forage réalisé au préalable. La courbe pressiométrique résultant de l’essai relie la pression p qui s’exerce radialement sur la paroi du forage à la déformation Ua/a de cette même paroi

(Ua désigne le déplacement de la paroi du forage, a le rayon initial du forage) [7,8].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 D é v ia te u r q Déformation déviatoire ε d Module élastique E (c, ϕ) pic (c, ϕ) pp α_e = dk / dε d p Réduction de la résistance Paramètre β

Modèle plastique parfait

Modèle plastique radoucissant 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 D é fo rm a ti o n v o lu m iq u e ε v Déformation déviatoire ε d Identification de ψ Domaine élastique Identification deν (Identification de χ) Modèle plastique parfait Modèle plastique radoucissant Domaine plastique

Figure 1. Modèles de comportement élastique plastique parfait et radoucissant.

D’un point de vue mécanique, il s’agit de résoudre le problème d’expansion d’une cavité cylindrique dans un milieu semi-infini. L’hypothèse de déformation plane, justifiée par l’utilisation de cellules de garde de part et d’autre de la cellule de mesure, est généralement admise. Le milieu est également supposé homogène et isotrope. Son comportement est représenté par le modèle élastique (loi de Hooke) plastique parfait avec un critère de plasticité de Mohr-Coulomb non associé (Fig. 1). Ce modèle est donc caractérisé par cinq paramètres (le module élastique E, le coefficient de Poisson ν,

l’angle de frottement interne ϕ’, la cohésion c’ et l’angle de dilatance ψ) auxquels il convient d’ajouter la pression des terres au repos p’0.

Le problème mécanique est résolu par combinaison des équations d’équilibre, des conditions aux limites, des relations de compatibilité reliant les déformations aux déplacements et le modèle de comportement. Pour de faibles incréments de pression, on admet l’existence d’un domaine élastique dans lequel la courbe pressiométrique a pour expression :

G 2 ' p p a U_a − ₀ = avec

_{( )}

Un anneau plastique se développe concentriquement au forage dès que la pression à la paroi atteint la pression ppl telle que :

(

)

Dans le domaine plastique, on adopte l’expression de la courbe pressiométrique donnée par [9] formulée en grandes déformations. Cette expression se distingue des solutions en petites déformations par le calcul, à chaque incrément de pression, d’une série entière dont les cinq premiers termes assurent la convergence. L’équation (1) et l’expression donnée par [9] sont implantées dans un tableur pourvu d’un outil d’optimisation basé sur l’algorithme de Newton-Gauss.

2.2. Principe de l’analyse inverse

Un problème direct consiste à calculer la réponse R d’un système P à un chargement C (Fig. 2). Le système P comprend la donnée de la géométrie du problème, des conditions initiales et des conditions aux limites et du modèle de comportement. Dans le cas du problème inverse, le système P n’est que partiellement défini. Pour reconstituer l’information manquante (les valeurs des paramètres du modèle préalablement choisi), on dispose d’une donnée complémentaire : la réponse expérimentale Rexp

définie de manière discontinue par les couples (Ua/a ; p) de la courbe pressiométrique.

Quand la modélisation du problème physique est posée, la résolution du problème inverse consiste à comparer la réponse expérimentale Rexp et les prédictions du calcul Rcal obtenues à partir du

chargement C et d’un jeu de paramètres J. L’algorithme de Newton-Gauss est ensuite utilisé pour minimiser l’écart entre les données expérimentales et les prédictions du calcul par itérations successives des valeurs du jeu de paramètres J.

Chargement C

Réponse R

PROBLEME DIRECT

PROBLEME INVERSE

SYSTEME P

- géométrie ;

- conditions initiales ;

- conditions aux limites ;

- modèle de comportement.

Réponse R

Figure 2. Principe de l’analyse inverse

Deux inconvénients majeurs caractérisent l’analyse inverse [10] : d’une part, l’origine expérimentale de l’information complémentaire qui rend le problème inverse extrêmement sensible aux incertitudes et erreurs de mesure et, d’autre part, le mauvais conditionnement des problèmes inverses dans la mesure où l’existence et l’unicité de la solution ne sont pas assurées. Aussi, plutôt que de rechercher de manière exhaustive toutes les solutions admissibles, il est préférable de régulariser le problème inverse en réduisant le nombre de paramètres à identifier et en introduisant des contraintes liées à la physique du problème.

3. PROCEDURE D’IDENTIFICATION DES PARAMETRES

La procédure retenue pour l’identification des paramètres utilise pleinement les résultats de la littérature et les propriétés déduites de la comparaison des sols vierges de tout traitement et des sols injectés [4,5,6]. Elle nécessite également la réalisation de deux séries d’essais pressiométriques comprenant au moins un cycle de décharge – rechargement. La première série est exécutée dans le sol vierge (paramètres indicés V) avant injection, la seconde dans le sol injecté (paramètres indicés I).

3.1. Pression des terres au repos p’0

La valeur de la pression des terres au repos p’0 est conventionnellement déterminée à l’origine du

palier pseudo-élastique de la courbe pressiométrique. Mais elle est souvent entachée d’erreur en raison du remaniement induit par l’exécution du forage. Aussi, si la phase de reconnaissance géotechnique ne procure pas de données fiables pour la valeur de ce paramètre, on la calcule de la manière suivante :

∑γ × × = σ × = i i I V , i 0 v 0 I V , 0 K ' K ' z ' p [Eq. 3]

où σ’v est la contrainte verticale effective, γ’i le poids volumique déjaugé de la couche de sol i, zi

l’épaisseur de la couche de sol i et K0 le coefficient de pression des terres au repos. La formulation

proposée par [9] suppose un état de contraintes initial isotrope (soit K0 = 1). Bien que cette condition

soit pratiquement rarement vérifiée, on la supposera réalisée. Par ailleurs, le début des courbes pressiométriques est généralement perturbée par le forage. Aussi, comme préconisé dans [1], la procédure d’optimisation ne s’applique qu’aux déformations à la paroi Ua/a supérieures à 1,5 %.

3.2. Coefficient de Poisson ν

Une étude de sensibilité de la courbe pressiométrique aux paramètres du modèle a permis de mettre en évidence l’effet négligeable du coefficient de Poisson [3]. Ce paramètre ne peut donc être significativement optimisé. Sa valeur est donc fixée à 0,25, tant pour les sols vierges que pour les sols injectés, conformément aux résultats d’essais triaxiaux en laboratoire [4,5,6].

3.3. Module élastique E

On détermine dans un premier temps la valeur du module de cisaillement Gcycle sur le cycle de

décharge – recharge sur lequel la réponse est en première approximation linéaire :

(

)

p ,

Gcycle VI =∆ ∆ a [Eq. 4]

Pour obtenir la valeur du module de cisaillement du sol G0 au début de l’essai pressiométrique, le

module Gcycle doit être corrigé de l’effet des contraintes et des déformations puisque le comportement

du sol est en général fortement non linéaire. On retient l’expression proposée dans [11] qui s’applique aux matériaux purement frottants :

(

)

(

)

[

]

où σ’h0 est la contrainte horizontale moyenne à l’état initial ; p’c la pression dans la sonde au moment

du déchargement ; αb et n deux facteurs respectivement égaux à 0,2 et 0,5 pour les sols vierges. Dans

le cas des sols injectés par un coulis faiblement dosé (traitement d’étanchéité), une correction similaire est appliquée. Par contre, dans le cas des sols injectés par du coulis plus fortement dosé (traitement de renforcement), les travaux expérimentaux montrent la faible dépendance du module de cisaillement avec la contrainte moyenne. Aussi, dans ce cas, aucune correction n’est appliquée sur la valeur du module Gcycle du sol injecté(G0,I = Gcycle,I). Le module élastique E0 dérive alors de la valeur du module

de cisaillement G0 par la relation (1).

3.4. Angle de dilatance ψ

Pour l’interprétation des essais pressiométriques dans les sables vierges, l’angle de dilatance ψ est corrélé à l’angle de frottement interne ϕ’ par la relation suivante, représentative de nombreux sables :

° − ϕ =

ψV 'V 30 [Eq. 6]

Dans le cas des sols injectés, la valeur de l’angle de dilatance est optimisée en même temps que la cohésion. On impose toutefois, conformément aux observations expérimentales [4,5,6], que l’angle de dilatance du sol injecté est supérieur ou égal à l’angle de dilatance du sol vierge (ψI≥ψV).

3.5. Cohésion c’

On suppose que les sols vierges de tout traitement, sauf information contraire, sont purement frottants. Par conséquent, la cohésion c’V est considérée comme nulle (c’V = 0).

Dans le cas des sols injectés, la cohésion c’I est optimisée simultanément à l’angle de dilatance ψI.

Plusieurs calculs, avec des jeu de paramètres initiaux très différents, sont en général nécessaires pour s’assurer de la convergence vers une solution unique. On s’aidera également des résultats expérimentaux qui révèlent que la valeur de la cohésion dépend principalement de la teneur en liant du coulis, de la granulométrie et de la densité du squelette granulaire. A titre indicatif, les valeurs de la cohésion sont comprises entre 200 et 500 kPa pour une injection de renforcement mécanique et sont proches de 100 kPa pour une injection d’étanchéité.

3.6. Angle de frottement interne ϕ’

Les valeurs des autres paramètres étant fixées ou corrélées, l’angle de frottement interne ϕ’V reste la

seule variable à optimiser pour caractériser le comportement du sable vierge. On contraint également cette variable à être comprise entre 25 et 50 degrés, valeurs couramment acceptées en géotechnique. Les essais de laboratoire ont par ailleurs montré que la valeur de l’angle de frottement interne n’est pratiquement pas modifiée par une imprégnation de coulis, l’injection se produisant sans densification du squelette granulaire. Par conséquent, l’angle de frottement interne du sol injecté est égal à l’angle de frottement interne du sol vierge (ϕ’I = ϕ’V).

3.7. Vérifications des calculs d’optimisation

On procède finalement à deux vérifications élémentaires. D’une part, on s’assure de la convergence des calculs d’optimisation vers une solution unique en réitérant les calculs avec des jeux de paramètres initiaux différents. D’autre part, on s’assure que la valeur de la pression ppl (Eq. 2) n’est pas trop

affectée par l’optimisation des valeurs de l’angle de frottement interne ou de la cohésion, auquel cas les calculs doivent être repris et affinés.

4. APPLICATIONS 4.1. Calculs d’optimisation

Cette procédure d’identification est appliquée à des essais pressiométriques réalisés sur le site du Port Autonome de Dunkerque dans un sable fin et homogène (D50 = 230 µm ; Cu = 2,7) injecté, à des fins

d’étanchéité, par un coulis minéral [4,5]. Quatre essais pressiométriques, notés SP1-8 et SP2-8 pour les essais réalisés à 8 mètres de profondeur avant injection et notés SP1P-8 et SP2P-8 pour les essais réalisés à 8 mètres de profondeur après injection, sont représentés sur la figure 3.

Les valeurs des paramètres sont reportées dans le tableau 1. Les valeurs de la pression des terres au repos sont calculées à partir de la relation (3) en supposant un coefficient de pression des terres égal à l’unité et des poids volumiques respectifs de 19,6 kN/m3 et 21 kN/m3 pour le sol vierge et le sol injecté. La nappe phréatique est située à 5 mètres de profondeur.

Tableau 1. Valeurs des paramètres du modèle élastique plastique parfait.

Paramètres fixés ou corrélés Paramètres optimisés p’0 Gcycle E0 ν ϕ’ c’ ψ ϕ’ c’ ψ

Unités kPa MPa MPa degrés kPa degrés degrés kPa degrés

Avant injection SP1-8 127 61 81 0,25 - 0 ϕ’-30° 39,8 - 9,8 Avant injection SP2-8 127 61 81 0,25 - 0 ϕ’-30° 51,1 - 21,1 Après injection SP1P-8 138 85 100 0,25 51,1 - - - 282 38,8 Après injection SP2P-8 138 85 100 0,25 39,8 - - - 20 29,7 Les valeurs du module de cisaillement Gcycle sont déduites de deux essais pressiométriques à cycle,

réalisés dans les mêmes conditions que les quatre précédents, à 5 mètres et 5,5 mètres de profondeur. Ce module est corrigé de l’effet de la profondeur et de la déformation (Eq. 5) : on obtient un module E0 égal à 81 MPa dans le sable vierge. Pour les essais pressiométriques réalisés dans le sol injecté, on

procède aux mêmes corrections puisque le coulis est assez faiblement dosé : on obtient un module E0

égal à 100 MPa.

Les calculs d’optimisation conduisent alors à des valeurs de l’angle de frottement interne avant injection de 39,8 degrés pour l’essai SP1-8 et 51,1 degrés pour l’essai SP2-8 (Tableau 1, Fig. 3). On n’explique a priori cette écart que par des conditions d’essais différentes.

Un écart semblable amène à considérer des valeurs de l’angle de frottement interne de 51,1 degrés pour l’essai SP1P-8 et 39,8 degrés pour l’essai SP2P-8. L’optimisation simultanée de la cohésion c’ et de l’angle de dilatance ψ, pour plusieurs jeux de paramètres initiaux distincts, donne des valeurs de la cohésion égales à 282 kPa et 20 kPa et des valeurs de l’angle de dilatance égales à 38,8 degrés et 29,7 degrés pour, respectivement, les essais SP1P-8 et SP2P-8.

Au stade actuel des développements, l’analyse inverse des essais pressiométriques ne permet que d’estimer la valeur de la cohésion, variable dont l’identification revêt l’importance la plus grande pour la conception des ouvrages. Il convient de valider ces résultats de calcul par des essais de caractérisation en laboratoire, tout en restant prudent quant à la comparaison direct des valeurs des paramètres, certains d’entre eux étant dépendant du chemin de chargement suivi (déformation plane pour les essais pressiométriques, déformation axisymétrique à l’appareil triaxial).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p ( M P a ) U a / a Essai SP1-8 Essai SP2-8 xxx : Expérience ___ : Optimisation 0 1 2 3 4 5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 p ( M P a ) U a / a Essai SP1P-8 Essai SP2P-8 xxx : Expérience ___ : Optimisation

Figure 3. Comparaison des données expérimentales et des résultats de l’analyse inverse.

4.2. Comparaison avec les essais de laboratoire

Des essais triaxiaux drainés ont été réalisés sur du sable de Dunkerque vierge puis injecté par le coulis minéral utilisé in situ [4,5]. Les échantillons de sol injecté ont été soit prélevés in situ, soit reconstitués en laboratoire. Le sable est mis en place à la densité in situ, soit un poids volumique de 15,7 kN/m3. Pour le sable vierge de tout traitement, on obtient un angle de frottement interne de 43 degrés et une cohésion nulle. On déduit également de la courbe des déformations volumiques, dans le domaine contractant, une valeur du coefficient de Poisson égale à 0,28 et, dans le domaine dilatant, des valeurs de l’angle de dilatance comprises entre 11,5 et 15,3 degrés pour des contraintes de confinement variant de 50 à 400 kPa. Le module tangent à l’origine de la courbe effort – déformation vaut respectivement 37 et 59 MPa pour des contraintes de confinement de 100 et 200 kPa.

S’il apparaît in situ que l’objectif d’étanchéité est bien atteint, l’injection engendre aussi une amélioration nette des propriétés mécaniques du terrain, en termes de rigidité et de résistance. Ainsi, pour les échantillons de sol injecté prélevés sur le chantier, le module tangent à l’origine des courbes effort – déformation est compris entre 135 et 190 MPa. Dans le plan de Mohr, l’enveloppe de résistance maximale est représentée par une droite à partir de laquelle on détermine la valeur de la cohésion (c’ = 160 kPa) et la valeur de l’angle de frottement interne (ϕ’ = 41 degrés).

Pour les échantillons reconstitués en laboratoire grâce au dispositif décrit dans [4,6], on obtient une valeur identique pour l’angle de frottement interne (ϕ’ = 41 degrés) mais une valeur moindre de la

cohésion (c’ = 100 kPa). Le module tangent à l’origine des courbes effort – déformation ne dépend pas de la contrainte de confinement et vaut 140 MPa. On trouve également un coefficient de Poisson de 0,21 et des angles de dilatance compris entre 16,8 et 21,4 degrés en fonction de la contrainte appliquée. Les calculs d’optimisation encadrent les valeurs déduites des essais de laboratoire.

4.3. Développements de la méthode

L’interprétation des essais pressiométriques à partir du modèle élastique plastique parfait amène quelques interrogations, notamment sur le mode de rupture des sols sous une sollicitation de type pressiométrique. On a ainsi développé une formulation analytique de la courbe pressiométrique en considérant un modèle élastique plastique avec écrouissage négatif (Fig. 1) pour prendre en compte la redistribution de contraintes autour de la cavité due à la diminution des propriétés mécaniques au-delà du pic de contraintes. Trois paramètres caractérisent le radoucissement post-pic (Fig. 1) : le taux de réduction des propriétés de résistance αe, le facteur de réduction totale de la résistance β et le taux de

déformation volumique dans le domaine plastique parfait χ [6].

5. CONCLUSIONS

On propose une procédure d’identification des paramètres du modèle élastique plastique parfait par analyse inverse d’essais pressiométriques. La procédure s’appuie sur des résultats de laboratoire et des résultats bibliographiques. On retient ainsi la solution analytique en grandes déformations proposée dans [9]. Les calculs d’optimisation appliqués à des essais pressiométriques exécutés dans un sol vierge de tout traitement puis injecté par un coulis minéral conduisent à une estimation des valeurs des paramètres du modèle que l’on compare aux résultats obtenus en laboratoire au moyen d’essais triaxiaux. Les perspectives, initiées par le développement d’une formulation analytique de la courbe pressiométrique en petites déformations et en considérant un modèle à écrouissage négatif, portent également sur l’étude en laboratoire du comportement des sols injectés sous sollicitation pressiométrique.

6. REFERENCES

[1] Cambou B., Bahar R., "Utilisation de l’essai pressiométrique pour l’identification de paramètres intrinsèques du comportement d’un sol", Revue Française de Géotechnique (1993), n°63, pp. 39 – 50. [2] Shao J.F., Dahou A., Henry J.P., "Application de la théorie des problèmes inverses à l’estimation des paramètres des modèles rhéologiques", Revue Française de Géotechnique (1991), n°57, pp. 75 - 80.

[3] Shahrour I., Kasdi A., Abriak N., "Utilisation de l’essai pressiométrique pour la détermination des propriétés mécaniques des sables obéissant au critère de Mohr-Coulomb avec une règle d’écoulement non associée", Revue Française de Géotechnique (1995), n°73, pp. 27 - 33.

[4] Tailliez S., Etude expérimentale du comportement mécanique des sols granulaires injectés (1998), Thèse de Doctorat, Ecole Centrale de Paris.

[5] Biarez J., David H., Gouvenot D., Hicher P-Y., Tailliez S., Varjabédian M., "Comportement mécanique des sols granulaires traités par injection", Revue Française de Génie Civil (1998), vol. 2, n°2, pp. 255 - 295.

[6] Dano C., Comportement mécanique des sols injectés (2001), Thèse de Doctorat, Ecole Centrale de Nantes & Université de Nantes.

[7] Baguelin F., Jézéquel J.F., Shields D.H., The pressuremeter and foundation engineering (Trans Tech Publications, 1978).

[8] Cassan M., Essais in situ en mécanique des sols – Tome 1 : réalisation et interprétation (Editions Eyrolles, 1978) pp. 153 - 268.

[9] Yu H.S., Houlsby G.T., "Finite cavity expansion in dilatant soils : loading analysis", Géotechnique (1991), vol. 41, n°2, pp. 173 - 183.

[10] Observatoire Français des Techniques Avancées, Problèmes inverses : de l’expérimentation à la modélisation (Edition OFTA, 1999) Série Arago, n° 22.

[11] Bellotti R., Ghionna V., Jamiolkowski M., Robertson P.K., Peterson R.W., "Interpretation of moduli from self-boring pressuremeter tests in sand", Geotechnique (1989), vol. 39, n°2, pp. 269 - 292.