ARTheque - STEF - ENS Cachan | Leçons de technologie sur les roulements à billes (suite)

Lecons

_~

de

Technologie

sur

les roulements

billes

par

Bernard MERY, professeur de Construction à l'E.N.S.E.r. (Suite)

Dans l'article précédent nous avons fait l'étude théorique complète d'une liaison rotoïde réalisée par

deux roulements à contact oblique, puis nous nous sommes posé la question de la présentation

péda-gogique de ce problème

à

un niveau plus élémentaire.

Dans l'étude théorique nous avons vu que les déformations des roulements et le système des inter-actions dans chacun d'eux sont liés puisqu'il s'agit d'un ensemble hyperstatique.

Nous partons du principe qu'une telle étude ne peut être abordée, du fait de son niveau, et que cepen-dant il paraît indispensable de montrer que les forces mises en jeu et éventuellement les déformations qui en résultent peuvent être connues au moment de la conception. Cette connaissance permettra en effet un choix logique:

, entre divers types de roulements (angle

al ;

- de l'ordre de grandeur de la distance entre les deux roulements; - de la position relative des deux roulements dans la liaison j - des spécifications de réglage de la liaison.

Nous pensons en effet qu'un technicien qui ne peut cerner ces problèmes que de façon purement intui-tive ne pourra valablement innover, et ne sera apte qu'à faire des «extrapolations» plus ou moins licites de mécanismes existants. Si cette façon de voir peut encore être-cdrnlse dans certaines branches de l'industrie, il paraît beaucoup plus dangereux de la transposer au niveau de l'enseignant

tech-nologique qui se veut culturel j tout le monde semble d'accord sur ce principe.

Nous allons, dans ce qui suit, rechercher une démarche possible de l'enseignant qui souhaite s'aider de l'expérimentation afin d'éviter des développements théoriques trop difficiles.

1. - LIMITES DE L'ÉTUDE THÉORIQUE ÉLÉMENTAIRE

Au niveau d'un roulement seul, il est possible de mettre en évidence, par le raisonnement, la nature du torseur associé au système de forces exercé par l'ensemble des billes sur chacune des bagues. Iso-lons la bague intérieure pour fixer les idées (voir fig. l

J.

o

Fig. l

Le contact n'étant pas obligatoirement sans frottement, il convient de passer par l'intermédiaire de la figure l c pour démontrer que Qi se trouve porté par la droite BiO.

~

Les propriétés d'un contact solide quelconque impliquent le sens de Qi. Désignons par bi la normale

~

à la surface de la bague (2] issue de Mi. Désignons par Qi Id force exercée par la bille sur la bague

(2) en Mi i on a

- 4 - 4 Dans le cas du contact : Qi. bi

<

O.

- 4 - 4 Dans le cas où le contact cesse : Qi. bi

'=

O.

La figure l d rend évidentes les deux propriétés suivantes

- 4 - 4 - 4

Désignons par R la résultante du torseur des Qi et par Mole moment au point 0 de ce torseur.

~ ~ ~ ~

R= Q,

+

Q2

+

H'

+

Qn

La direction de la résultante est

à

l'intérieur du cône de sommet 0, d'angle y. Elle peut exceptionnel-lement se trouver sur le cône si une seule bille est en contact.

~

Mo '=0

En effet les supports des différentes forces passent par O.

En conclusion, il est possible de montrer que le système de forces exercé par les billes sur l'une quel-conque des bagues peut être représenté par un vecteur unique dont le support passe par 0 (voir fig. 2]. La connaissance de ces propriétés permet d'aborder le problème statique de la liaison à deux roule-ments montés en opposition. (On notera à ce sujet que les expressions «montage en 0 ou en X», « montage direct ou indirect», employés par certaines firmes ne sont que descriptives et ne traduisent pas de propriétés techniques particulières.)

Il suffit d'isoler l'arbre muni de deux bagues intérieures (voir fig. 3).

~ Fig. 2 Fig. 3 V

r

y1

b

_t

_Y2

!

1 ~ ~--++~II+-I---tt-'-Fa

On peut, comme dans l'article précédent (*), commencer la présentation avec un système de forces exté-rieures exercé sur l'arbre qui soit quelconque, défini par ses éléments de réduction en un point 0 de

~ l'axe x. Xe Yu le

o

Me Ne Les équations de la statique sont:

r..

Fa2

+

Xe=0 (1 )

Yl

+

Y2

+

Ye=0 (2)

Il

+

l.

+

le

=

0 (3)

-Xl I l - x . 12

+

Me'=0 (4) Xl Yt

+

X2 Y2

+

Ne = 0 (5)

La résolution du système des quatre équations (2), (3), (4) et (5) à 4 inconnues Y«, Zs, Y2, 12 ne pose pas de difficulté. Il est toujours possible de résoudre le système si : Xi

=1=

X2, ce qui traduit le fait que

01 et 02 ne sont pas confondus. Par contre, l'équation (1) :

Fal- Fa.

+

Xe = 0 ne peut permettre de déterminer FUl et Fus.

Après avoir abordé le problème dans sa généralité on peut montrer qu'on ne le restreint pas en choi-sissant un cas de charge plus simple, caractérisé par le torseur (%e), dont les éléments de réduction en sous-directeur de "E.N.N.E.P. de Paris

Xe 0

Ye

0

o

0

Il. - EXPÉRIMENTATION PERMETT~NT DE LEVER L'INDÉTERMINATION

Le bâti impose aux deux bagues extérieures des roulements une position relative bien déterminéei les efforts nécessaires pour maintenir ces bagues en position sont inconnus.

On peut imaginer de substituer, tout au moins localement, à ce dispositif rigide un dispositif mobile: avec un contrôle de position afin de vérifier le retour de la partie mobile en position après charge-ment (position identique à celle qui aurait été imposée par le bâti rigide) i

avec une commande de déplacement dynamométrique afin de remettre la partie mobile en posl-tion après chargement.

Dans le cas présent, seule la mesure de Fut ou Fu~ nous intéresse. Il est possible d'envisager un mon-tage du type de celui qui est schématisé sur la figure 4.

M Fig. ~. - - X ( ('[);) ) Dispositif dynamomé~rique(D1)

~

L

de commande du deplacement Dispositif de contrôle du déplacement (*) Bulletin nO l, p. 14.

Système d'actions {

de liaisons à 5 inconnues Conduite de l'expérimentation

1. Effectuer le montage de l'ensemble! en lais-sant subsister un jeu axial pour l'arbre ou au contraire en préchargeant déjà les roulements.

La pièce mobile portant le palier (M) fait avec le bâti! l'objet d'une liaison prismatique d'axe x'x. Une équation de projection suivant x'x montre que la mesure de PJ,I permet de connaître Fa2 si les résis-tances passives de la liaison prismatique sont négligeables devant Pu (voir fig. 5).

Le dispositif expérimental devra donc comporter une liaison prismatique:

soit à roulementi - ; - - - ,

- soit hydrostatiquei

- soit par éléments déformables. Fig. 5

(Cette dernière solution est parfaitement accep-table puisqu'on procède par une méthode de zéro.)

2. Relever l'indication du comparateur donnant la position axiale du sous-ensemble mobile (M). Remorque. - A ce stade! le montage expérimental est l'équivalent d'un montage sur bâti rigide qui imposerait les mêmes positions aux diverses pièces.

3. Exercer sur l'arbre! à l'aide des dispositifs dynamométriques (D2) et (D3) (voir fig. 6) un système de forces simulant une charge: torseur (Te) :

(D3) détermine Xe i (D2) détermine

v:

A la suite de cette manipulation le palier mobile (M) s'est déplacé par rapport au bâti puisque le dispositif dynamométrique n'a pas une raideur comparable à celle d'un bâti.

On retrouvera une configuration identique à celle que donnerait le bâti rigide quand! en agissant sur (D1L on retrouvera l'indication initiale du comparateur.

4. Relever alors l'indication PM de (Dl). 5. Calculer alors Fa~ et Fa2.

Sens et portée de l'expérimentation

La modification apportée dans ce dispositif par rapport à une liaison à roulement réelle a eu pour but de rendre F'2accessible à la mesure.

Le dispositif donné pa'ge 16, utilisé comme nous l'avons indiqué ci-dessus, permet donc de simuler: - une liaison avec ou sans jeu, ou avec préchargei

- différents cas de charge d'une liaison donnée,

Il est bien sûr possible de chercher quelles sont les lois expérimentales de comportement statique de cette liaison particulière.

Il s'agit bien là d'une démarche empirique. Elle n'est certes pas à rejeter, mais il convient d'en saisir le caractère limité et de se souvenir que les paramètres envisagés ici sont ceux de la liaison particulière (jeu, précharge... ).

III. - EXPÉRIMENTATION CHERCHANT A METTRE EN ÉVI'DENCE LE COMPORTEMENT STATIQUE 'D'UN ROULEMENT

L'article précédent nous a permis de mettre en évidence le comportement complexe du roulement

F.

- - =

tg ~

=

tg o.,f (a) (* *)

Fr

a étant le paramètre géométrique déterminant la configuration de la déformation ô.

=

ô...a .tg Y

L'étude théorique a montré en toute rigueur que si a

=

0

F.

tg ~

= - - =

tg a..f (o)

=

ete

Fr

Or : f (o) est une valeur connue. Pour les roulements à billes f (o)-= 1,25.

L'étude théorique permet donc d'énoncer ce «théorème» :

Si lo déformation axiale du roulement est nulle, l'angle ~ est constanti il est donné par la relation :

tg ~

=

1,25 tg a. La vérification expérimentale de ce théorème peut être envisagée.

L'appareil' utilisé ci-dessus peut convenir en lui imposant certaines conditions une symétrie géométrique pour les deux roulementsi

une symétrie pour les charges extérieures.

(X.

=

0i Xl

= -

X2)

Pour obtenir Ô.l - Ô.2 = 0, il faudra imposer

au départ un montage sans jeu et sans pré-charge.

L'appareil doit alors permettre de faire appa-raître la loi expérimentale:

tg~

=

ete

=

c

Les résultats expérimentaux donnent le gra-phe de la figure 7.

(**) Bulletin nO l, p. 13. Fig. 7

•

•

•

---~-I

-I-B---!I--r---

u

L J ( 3S x 72 x 17 _ 31 ) 1 ----t---1 Mesure de Ye d .. P

--_

...

~--.

La reprise de la manipulation avec différentes paires de roulements pour lesquels Cl est

diffé-rent conduit à :

tg ~l

=

Cii tg ~z

=

Cz ... etc. variant avec ~. On peut normalement être conduit à observer que

Cl Cz

- - - ... 2

1/25 1,25 / 0 - -

_o_e-. _o_e-.--0

~e"---On a alors mis en évidence expérimentale-ment la loi théorique :

pour ô ,

=

0

tg~= 1,25 tqœ

" est possible d'aller plus loin en complétant l'énoncé du comportement.

Nous avons vu, dans l'étude théorique, que pour: Fig 8 on avait -l:::;;a:::;;O 1 :::;;f (a) :::;; 1,25 Fa tg0< Fr Fig. 9 1,25

e\

Q2]

\

e e",

\ e""'e"---.

<,

<.;

0 , 0 _ _• _ _ 0 - -₀__ 0 _ O - e _ 0

..

Fr

Or nous savons que a :::;;0 correspond à une déformation axiale négative du roulement (avec les conventions retenues alors).

A l'aide du montage symétrique nous pou-vons imposer une valeur de Ôn négative, ceci

correspond à un jeu axial de valeur : 2 Ôn.

Au cours du chargement nous provoquerons bien sûr une déformation radiale variable. Nous obtiendrons alors une valeur a variable.

Ôn

a =

-s.

tg Y'

Quand le chargement augmente a -0> O.

a est donc une fonction croissante de Fr,

f (a) est une fonction croissante de a,

donc f (a) croît avec Fr et passe de la valeur 1 à la valeur 1,25.

L'expérimentation réalisée pour différentes valeurs de jeu donne le résultat de la figure 8. " est pos-sible de montrer que :

tg ~

1

< - - <

1,25 tg Cl

qui peut s'énoncer comme un deuxième «théorème» établi expérimentalement:

Si la déformation d'un roulement à contact oblique est négative (avec les conven-tions choisies], l'angle ~ est compris entre deux valeurs telles que

tg Cl

<

tg ~

<

1,25 tg Cl

Par une démarche tout à fait analogue, on vérifierait que pour Ôn

>

0 (a

>

1).

tg ~

>

1,25 tg Cl

IV. - EXPLICATION DE CERTAINES MÉTHODES DE CALCUL

Les catalogues de roulements, en particulier le catalogue SKF, nous ont proposé depuis longtemps des

«formules» pour calculer les

«

charges supportées» par deux roulements à contact oblique montés en

opposition. '

Divers cas de charge et de propriétés des roulements sont envisagés. Les formules sont de la forme:

La distinction entre les divers cas se fait:

suivant la valeur relative des facteurs (Fr tg (/,) de chacun des deux roulements i - suivant I~ rapport de 1Xe\au facteur: 1,25(Fr2 tg (/,z - Frl tg (/,1).

Dans la nouvelle édition de son ouvrage: Les roulements: description, théorie, application, M. Arvid Palmgren donne aux pages 99 et 100 une tentative d'explication simplifiée, pour éviter de développer,

à ce sujet, la théorie complète. Il faut bien reconnaître que les arguments sont peu convaincants. Par contre il devient possible, à la lumière de ce qui précède, de justifier la provenance de ces for-mules simpl lfiées.

Considérons une liaison exactement sans jeu au montage.

Sous l'influence d'un système de forces extérieures quelconque, l'un des roulements subit un dépla-cement axial positif, l'autre un dépladépla-cement axial négatif, puisqu'on a Ôa1

+

Ôaz= O.

Pour le roulement subissant Ôa

<

0 (soit (1) par exemple}, on a : tg (/" Frl

<

Fal

<

1,25 tg (/" Fr1

La valeur (1,25 tg (/,1 Fr1) est donc un majorant de Fal.

L'équation (1) donne une relation entre Fal et Faz :

(Fal- Faz

+

Xe= O)

d'où

tg (/,1 Fr1

+

Xe :::;;

r.. :::;;

1,25 tg (/,1 Fr1

+

Xe

On retrouve bien l'explication du premier groupe de formules, les valeurs proposées étant des majorants.

Le second groupe de formules provient du fait que les méthodes habituelles tiennent compte des valeurs absolues des charges extérieures. En ce qui nous concerne, une formule unique convient du fait que nous avons un repère orienté.

Nous nous sommes placés dans le cas où Ôa1 était négatif. Le cas Ôa1

>

0 nous aurait conduits aux inégalités ci-dessus dans lesquelles les indices 1 et 2 auraient été intervertis, ce qui aurait alors conduit au troisième groupe de formules approchées.

Les expressions approchées proposées par les catalogues ne semblent donc pas dépourvues de sens dans ce cas. Il faut cependant remarquer que le critère réel de choix entre les groupes de formules est un critère de déplacement axial après chargement.

Comme on ne veut pas aborder le problème élastique on donne un critère de choix approché dans les catalogues, portant sur la statique et la géométrie du roulement.

Expérimentalement, on pourrait se borner à contrôler le sens du déplacement pour choisir un groupe de formules.

Dans le cas envisagé, absence de jeu et de précharge, il est donc légitime d'employer les formules approchées proposées par les catalogues, bien qu'il subsiste une incertitude sur leur choix.

Par contre, il n'est plus aussi évident d'employer ces relations si le montage est fait au départ avec jeu i on peut en effet avoir Ôa1 et Ôaznégatifs. Dans ce cas Fa est inférieur à la valeur (1,25 tg (/, Fr)

Enfin, et surtout, ces formules peuvent devenir rapidement fausses dans le cas de montages préchargés où il est fréquent de rencontrer Ôal et Ôa2positifs. Fa est supérieur à la valeur (1,25 tg Fr) pour cha-cun des deux roulements, il faut aussi ajouter que dans ce sens le rapport Fa/Fr n'est pas borné. Les formules pratiques ne donnent plus alors des majorants.

En conclusion, notre étude expérimentale, bien qu'incomplète, permet cependant d'établir des formules pratiques, et surtout leur limite d'application.

La technique de calcul n'a donc pas fait l'objet d'un opprentissoqe . elle est au contraire l'aboutisse-ment d'une étude expéril'aboutisse-mentale conduite logiquel'aboutisse-ment. C'est dans cette optique que l'on peut parler,

à notre sens, du caractère formateur de la technologie.

V. - PEUT-ON ENVISAGER UN AUTRE PROLONGEMENT DE L'EXPÉRIMENTATION?

Nous pouvons observer que jusqu'ici nous nous sommes servis de la connaissance du paramètre « a » que l'étude théorique avait mis en évidence, mais nous n'en avons pas fait état. Nous avons seulement utilisé la «frontière» a

=

0, qui s'est traduite pour l'expérimentation par ô

'=

O.

Si nous voulons aller plus loin il devient indispensable de mesurer Ôa et Ôr et de faire apparaître leur rapport: Ôa/Ôr.

Ou encore mieux le rapport Ôa/Ô r tg y qui donnera a comme variable expérimentale.

On peut alors théoriquement trouver les relations expérimentales nécessaires au calcul hyperstatique rigoureux.

Prenons le cas d'un type de roulement particulier. Il est relativement simple de déterminer une rela-tion de la forme : Fa - - = R ( a ) Fr Ou encore mieux : Fa

- - =

tg fi. fe (a) Fr

puisque le facteur tg fi. a été mis en évidence au paragraphe III.

" n'est, par contre, pas aussi évident de faire apparaître logiquement la «variable expérimentale a» qui s'introduit naturellement comme variable théorique. Il faut, pour cela, faire la manipulation sur divers types de roulements, comparer les tableaux de résultats et chercher à «raccorder» les diffé-rentes lois de variation.

Une difficulté nouvelle apparaît quand nous voulons établir expérimentalement la dépendance entre

Ôa, a et Fr.

Relation théorique: ôa.À(a)

=

D. F//3

(* * *).

Cette relation n'est pas linéaire entre les paramètres Ôa et Fr. Pour faire apparaître la puissance 2/3

il faudra comparer les logarithmes de ces valeurs.

Il s'agit bien là de mettre en œuvre les méthodes de la science expérimentale; mais elles deviennent alors complexes, en particulier l'interprétation des résultats expérimentaux fait ici appel à des modes de raisonnement compliqués et probablement trop élaborés pour le secondaire.

VI. - CONCLUSION

Nous avons développé complètement cet exemple pour montrer jusqu'où il convenait, à notre sens, de ne pas aller.

Reprenons en effet les grandes lignes du cheminement.

Une méthode théorique montre la nature des paramètres et la structure des relations. Le problème du comportement élastique des roulements est traité dans son entier. Mais cette étude s'avère trop complexe pour être développée à un niveau élémentaire.

Aussi envisage-t-on la possibilité de monter une expérimentation pour faire établir, par la mesure, des relations entre les grandeurs qui nous intéressent.

Le problème élastique s'est avéré complexe, aussi le laissons-nous de côté au départ. Le problème statique peut être posé complètement et en partie résolu par le raisonnement.

L'indétermination, du premier ordre ici, peut être levée par une mesure directe. Mais il faut reconnaître que cette attitude est surtout «utilitaire ». Elle permet cependant de montrer quels facteurs vont influencer les valeurs Fa. Nous dirons que cette manipulation est du type

«

mise en évidence

».

La seconde manipulation proposée (§ III) permet de placer un «point de repère» dans le compor-tement élastique complexe du roulement. Par l'utilisation rigoureuse de la méthode expérimentale, un aspect du comportement élastique peut être mis en évidence. L'expérimentation reste cependant simple, ainsi que l'interprétation des résultats. L'élève doit prendre conscience ici de ce qu'est une approche expérimentale d'un problème.

Ces résultats permettent d'élaborer une technique de calcul. On peut en montrer le caractère approché et le domaine de validité, et surtout opposer cette technique de calcul à la détermination des valeurs données rigoureusement par les équations de la statique.

Nous aboutissons enfin à la conclusion que l'étude expérimentale pourrait être poussée plus loin, mais nécessiterait, pour être menée de façon logique, des raisonnements probablement aussi complexes (bien que de nature différente) que ceux de l'étude théorique. C'est là qu'on peut voir les limites de la présentation expérimentale, et peut-être aussi les limites de l'enseignement à un niveau donné. Nous pensons que l'étude détaillée de la conception d'une expérimentation pédagogique aura inté-ressé nos collègues. Nous serions heureux de connaître leur point de vue sur les idées développées ici. Dans un prochain article, nous rendrons compte de l'expérimentation pédagogique faite sur ce pro-blème.

B. MERY. (A suivre.)