Calcul et connaissance des nombres : un détour par le cycle 3
(Jean-François Chesné, IUFM de Créteil,18 décembre 2006)1. Présentation
Ce texte reprend et complète le diaporama présenté lors d’un atelier le 18/12/06 lors des journées interacadémiques de Cachan. Il rassemble des éléments d’information à destination des formateurs afin de les aider à appréhender certaines compétences que les élèves ont à acquérir en fin de cycle 3, et à connaître le degré réel d’acquisition de ces compétences. Il accompagne le diaporama afin d’en faire un outil de formation plus opérationnel : en particulier, afin d’en favoriser la lecture et l’utilisation, la numérotation des paragraphes reprend celle des diapositives. Enfin, le choix d’unir dans une même présentation connaissances des nombres et calculs est évidemment volontaire, mais en fonction du temps dont on dispose et du public auquel on s’adresse, il peut être opportun de ne pas présenter le diaporama en une seule fois.
2. Préambule
Derrière les objectifs généraux évoqués ci-dessus, il y a une double volonté : celle de mettre en évidence la richesse des documents d’application et d’accompagnement pour le cycle 3 de l’école primaire en reprenant un certain nombre d’extraits et en les illustrant par des exemples, et celle de les lire au regard des résultats de l’évaluation nationale à l’entrée en sixième. C’est au travers de cette double focale que le formateur pourra articuler sur le terrain, un travail plus fin sur les tâches données aux élèves, et sur les pratiques des enseignants.
3. Quelques « erreurs » d’élèves de sixième…
Au cours de leur formation, les PLC2 que je suis à l’IUFM de Créteil sont encouragés à relever et à partager les erreurs d’élèves qu’ils rencontrent. En voici quelques-unes :
« J'ai un élève de 6e qui m'a dit qu'il traitait la partie entière à part de la partie décimale lors de la soustraction 27,17-13,2
»
« Au premier cours de 6e, les élèves devaient compléter : 361=...× 100 + ...×10 + ... ; sur une
dizaine d'élèves dont j'ai contrôlé les cahiers, au moins trois m'ont répondu : 361 = 300 ×100 + 60 ×10 + 1 »
« Je dis "sept demis", une élève comprend 7,5 » « Arrondi au centième : 1,234 »
« 1,2 × 100 = 100,200 ou encore: 3,5 ×10 = 30,50 »
« Mes élèves font ce type d'erreur: 3a + 4x = 7ax » « Plusieurs de mes élèves écrivent que : 3x × 5x = 15x »
« J'ai mis un peu de temps à comprendre pourquoi certains élèves répondaient 3 comme solution de l’équation de type 3x = 6 »
5. Sommaire
Les documents d’application et des documents d’accompagnement des programmes du cycle 3 sont d’une telle richesse qu’il aurait été aberrant dans le contexte qui nous intéresse de ne pas nous y référer abondamment. (Au cours des liaisons locales école/collège que j’anime, je reprends régulièrement à mon compte ces documents, et j’ai constaté à chaque fois la nécessité de lire et d’expliciter leurs contenus.) Cependant, comme il l’est précisé dans l’introduction aux documents d’accompagnement, il est à noter que certains thèmes importants, comme la numération décimale, les fractions et les nombres décimaux, n’y sont pas abordés en tant que tels. (Tous les extraits des documents officiels sont en italiques)
Le deuxième point d’appui de cette présentation est l’évaluation nationale à l’entrée en sixième de septembre 2006.
J’ai donc procédé à une relecture attentive des documents officiels, guidé par les scores des items de l’évaluation nationale à l’entrée en sixième qui portaient sur la connaissance des nombres et sur le calcul. J’ai rassemblé ces items par compétences, telles qu’elles sont rédigées dans les documents d’application des programmes.
J’ai enfin essayé de me livrer à un exercice que préconisent clairement les documents d’application, c’est-à-dire « de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège ».
La présentation se termine par quelques questions et quelques propositions.
6. L’évaluation à l’entrée en sixième
Ses finalités : Permettre, à partir d’un repérage des points forts et des points faibles, de décider les actions pédagogiques adaptées aux besoins de chacun pour poursuivre ses apprentissages. Fournir des aides à la décision pédagogique pour chaque élève, dans la classe, dans
l’école, dans le cadre de la liaison « école – collège.
7. Présentation générale
Deuxième évaluation portant sur les programmes de 2002 Identique à celle de septembre 2005
Références très fortes aux documents d’application des programmes du cycle 3 Très grande part faite aux compétences attendues en fin de cycle 3
8. Les compétences évaluées
Pas d’exhaustivité, accent mis sur : Calcul mental automatisé Calcul mental réfléchi
Calcul posé (techniques opératoires)
Connaissance des fractions et des nombres décimaux
9. Vrai ou faux ?
12,65 a pour partie entière 12 et pour partie décimale 65 Dans 2,4 le chiffre 4 vaut 2 fois le chiffre 2.
Au cycle 3, on peut justifier que 43 4,3
10 = car « quand on divise par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche. »
10.Connaissance des nombres
27 items sur 101:13 sur les nombres entiers
14 sur les fractions ou les décimaux
11. Connaissances des nombres entiers naturels
Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres naturels, comme celles relatives à l’ordre sur ces nombres, doivent être bien maîtrisées à la fin de l’école primaire. Elles sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège. Elles sont complétées par une première approche de leur structuration arithmétique, caractérisée par la maîtrise de certaines relations entre les nombres, et qui sera approfondie au collège. Ces connaissances ne doivent pas fonctionner uniquement pour elles-mêmes. Elles doivent, le plus souvent, être envisagées en relation avec des activités de résolution de problèmes : dénombrement, mesurage, graduation. (Documents d’application p18)
Plusieurs points sont mis en relief :
• L’intérêt du découpage en tranches de 3 chiffres est souligné.
• Les difficultés inhérentes à l’écriture en chiffres des nombres ayant un ou
plusieurs zéros intermédiaires font l’objet d’une attention particulière.
• L’étude se limite aux nombres de la classe des millions, mais des nombres plus
12. L’écriture chiffrée des entiers
13. Mettre en oeuvre des relations entre 25 et 100, 15, 45 et 60
14. Ce que disent les documents d’application (p20)
La structuration des nombres autour du nombre 100 fait l’objet d’une attention particulière. Exemples de relations :
100 = 75 + 25 ; 100 = 4 × 25; 75 = 3 × 25.
La diversité des écritures d’un même nombre est mise en évidence, par exemple pour le nombre 15
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 051 475 94,4% 90,4%
MAT 052 3003 95,1% 92,5%
MAT 053 627 000 76,9% 64,3%
MAT 054 1 600 000 77,0% 63,7%
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 024 25 + ? = 100 73,9% 63,6%
MAT 025 4 fois 25 71,3% 64,8%
MAT 026 60 divisé par 4 42,4% 33,3%
15. Ce que disent les documents d’accompagnement (Articulation p90)
A l’issue de l’école primaire, les connaissances relatives à la numération des nombres entiers naturels semblent bien maîtrisées : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture du nombre, lecture et écriture, comparaison et placement sur une droite graduée.
Les élèves ont eu l’occasion de s’assurer une première maîtrise de certaines relations arithmétiques entre les nombres : utilisation de relations du type double, moitié, triple, tiers, trois quarts, deux tiers…, relations entre nombres d’usage courant, par exemple entre 5,10 , 25, 50, 75, 100 ou entre 5, 15, 30, 45, 60.
Elle constitue un point d’appui pour le calcul mental.
Cette première culture du nombre entier doit être enrichie et consolidée au collège.
16.Connaître et utiliser les expressions : double, moitié, tiers, quart,…
17. Connaissance des fractions et des nombres décimaux (1)
Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. L’étude des fractions et des nombres décimaux sera poursuivie au collège. Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. (Documents d’application p21)
18. Connaissance des fractions et des nombres décimaux (2)
Il convient donc de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège. Les commentaires qui suivent devraient aider à faire cette distinction.
19.Connaissance des fractions et des nombres décimaux (3)
. Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. (Documents d’application p21)
20.Fractions et mesures de longueurs (3)
Au cycle 3, les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuffisance des entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite. Seules quelques fractions usuelles (exprimées en demis, quarts, tiers et fractions décimales) sont utilisées par les élèves, et travaillées dans le but d‘'introduire les nombres décimaux par le biais des fractions décimales. La fraction est introduite en référence au partage d’une unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de “ parts ” considérées (3
4 , lu « trois quarts », est compris comme « trois fois un quart »). (Articulation école/collège p91)
21. Utiliser des fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 085 1/8 82,0% 69,3%
MAT 086 2/8 78,9% 65,5%
22.Utiliser des fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs
23. Compétences visées sur les fractions
Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie explicitement. Une unité de longueur étant fixée explicitement, construire un segment ou une bande de papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.
24. Quelques exemples (1)
Les items visant la production de1 8,
2 8 et
5
8 font clairement référence au partage de l’unité : on voit que le score de réussite varie entre 2/3 et 3/4. La compétence visée est bien ici la reconnaissance d’une partie d’une bande unité et de sa désignation par une fraction : une part sur 8, 2 parts sur 8, 5 parts sur 8. Le début de la construction de cette compétence relève du CM1 (par pliage ou en utilisant un guide-âne). On voit également que la construction d’un segment à partir de la donnée d’une fraction est beaucoup moins réussie : entre un tiers et la moitié, et même moins pour 5
4en ZEP. Ces scores méritent qu’on s’y arrête puisque le début de la construction de cette compétence est également programmé en CM1. Il s’agit peut-être d’éclaircir ce point :
Au cycle 3, le quart de 12 se pense et s’écrit 12 : 4, mais ne s’écrit pas encore 12 × 1
4. Il n’est pas non plus encore officiellement assimilé12
4 , qui ne représente à ce stade, que 12 fois 1
4 , c’est-à-dire 1
4× 12. Le lien entre les deux conceptions, qui auront la même écriture, relève du collège.
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 034 1/4 de la longueur 52,3% 31,8%
MAT 035 1/3 de la longueur 46,2% 28,1%
25. – 37.Quelle vision de quatre tiers ?
le tiers de 1 unité
longueur = "quatre tiers de 1 unité"
longueur = "le tiers de 4 unités"
38.Quatre tiers sous toutes les formes
Un tiers + un tiers + un tiers + un tiers4 fois un tiers
Une unité + un tiers Deux unités – deux tiers
Et des représentations graphiques variées, mais pour lesquelles il sera toujours opportun d’être attentif quant à la référence à l’unité…
39. Des fractions aux nombres décimaux
En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales (fractions de dénominateurs 10, 100, 1 000…). (Documents d’application p 23)
Les égalités entre différentes écritures d’un nombre décimal «doivent pouvoir être interprétées en référence soit à des longueurs de segments mesurés avec une unité donnée et ses sous-unités (obtenues par partage en 10, 100… le partage étant effectif ou seulement évoqué) soit au placement de nombres sur une graduation. (Documents d’application p 23)
40. Associer les désignations orales et l’écriture chiffrée d’un nombre
décimal
Exemples: 14,5 se lit 14 et demi ou 14 et 5 dixièmes ; 5,23 se lit 5 et 23 centièmes ou 5 et 2 dixièmes et 3 centièmes. La lecture courante (5 virgule 23) n’est pas exclue, mais il s’agit de ne pas la systématiser dans la mesure où son usage trop fréquent contribue à envisager le nombre décimal 5,23 comme deux entiers juxtaposés (5 d’un côté et 23 de l’autre).
41. Tout commence vraiment à l’école…
La maîtrise des nombres décimaux est loin d'être assurée au sortir de l'école primaire. Le sens même de l'écriture à virgule (valeur de chaque chiffre en fonction de sa position) est repris en sixième, en particulier pour assurer une bonne compréhension des procédures de comparaison, d’encadrement et d’intercalation.
Dès l’école primaire, les nombres décimaux peuvent être utilisés dans des problèmes de division prolongée au-delà de la virgule (problèmes de partage de longueurs, par exemple), sans que pour autant l'écriture fractionnaire ne soit introduite pour désigner 1e quotient ni que le calcul de quotients décimaux ne soit systématisé. (Document d’accompagnement Articulation école/collège p92)
42.Les différentes écritures des décimaux
43. Ce qui fait dire …
… à André Pressiat : « Le thème des nombres décimaux fait l’objet depuis de nombreuses années d’items dans les évaluations nationales, et les résultats stagnent, au point que la situation du point de vue de l’apprentissage est sur le point de se naturaliser. » (chercheur à Paris 7 en didactique des mathématiques, maître de conférences à l’IUFM d’Orléans-Tours)
… et à Roland Charnay : « Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple). »
(coresponsable du groupe ERMEL à l’INRP, membre du groupe d’experts sur les programmes de l’école et du collège, responsable scientifique su site TFM)
44. En résumé
« L’écriture à virgule » est une convention d’écriture
.
On mettra en avant la valeur d’un chiffre dans une écriture décimale en fonction de sa position. Le passage fraction décimale/écriture décimale se fera avec précaution.
MAT 041 96 + 2/100 59,4% 39,4%
MAT 071 Nombres entre 1,9 et 3,15 51,4% 31,9%
MAT 080 724/100 52,8% 34,2%
MAT 088 895,53 36,3% 20,8%
MAT 089 385/10 21,0% 9,2%
MAT 090 12 + 5/100 24,1% 10,8%
45.
Quelques exemples
Le type d’erreur 0,5 × 3 = 0,15 est typique de la perte de signification de l’écriture utilisée. (ou 0,2 × 0,3 = 0,6 ou encore plus tard 3,1² = 9,1)
Il est essentiel pour un élève de comprendre que dans l’écriture 2,4 c’est le 2 qui « vaut le plus » : en effet 2 unités valent 20 dixièmes, c’est-à-dire 5 fois 4 dixièmes.
La partie décimale de 3, 72 n’est pas 72, mais 72 centièmes : il paraît légitime de penser qu’insister sur ce point pourrait permettre de diminuer les erreurs de comparaison des décimaux du type 3,72 est supérieur à 3,8 car 72 est plus grand que 8.
43 dixièmes ne se pensent pas comme 43 : 10, mais comme 40 dixièmes + 3 dixièmes, c’est-à-dire comme 4 fois dix dixièmes et 3 dixièmes, soit 4 unités et 3 dixièmes.
46.
Quelques pistes d’enseignement des fractions
(inspirées du cycle 3, à garder à l’esprit en sixième)• Une fraction n’est pas a priori un nombre : une demi-baguette, un quart de tarte. Il en va certainement des fractions comme des nombres entiers quelques années plus tôt.
• Faire réellement manipuler les élèves sur les grandeurs (guide-âne et pliage)
• Soigner le passage aux mesures (rappeler systématiquement la référence à une unité , cela afin d’éviter par exemple d’aboutir à 4 neuvièmes + 4 neuvièmes = 8 dix-huitièmes)
• Travailler avec les désignations orales et écrites, pour les comparaisons et les opérations : ne pas aller trop tôt vers ce qui sera du côté des propriétés algébriques (user du « bons sens ») • Introduire avec vigilance la notation a
b, qui est une vraie rupture avec l’écriture décimale des entiers.
47. Quelques pistes d’enseignement des décimaux
• Le passage d’une écriture à l’autre est fondamental. (cf les précautions que prend Stevin dans La Disme)
• Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée. (0,1 h) • L’écriture décimale est plus économique, mais s’accompagne d’une perte de sens. (3, 5 €) • Les techniques opératoires donnent du sens à l’écriture décimale (+ et – sur les entiers) • Certaines écritures fractionnaires ne sont pas des écritures de décimaux ! (ex : 4 / 3)
48. Le calcul
33 items : 10 en calcul mental automatisé 10 en calcul mental réfléchi 13 en calcul posé
49. Le calcul mental à l’école élémentaire (cf documents d’application p 25)
Le document d’accompagnement sur « Le calcul mental à l’école élémentaire » décrit non seulement avec une grande précision les objectifs d’enseignement pour les cycles 2 et 3 en termes de contenus et de compétences, mais il fournit aussi des indications relatives à leur mise en œuvre. Il indique enfin en quoi le calcul mental joue un rôle dans l’apprentissage du calcul en général. Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2.(…)Dans ce domaine particulièrement, il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu) . (Documents d’application p6)Ces étapes sont souvent différentes de celles qui servent au calcul posé.
50. Le calcul mental automatisé (1)
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006 MAT 001 9 + 9 98,3% 96,9% MAT 002 8 + 7 94,6% 93,1% MAT 003 5 + ? = 11 95,2% 93,8% MAT 004 2 + ? = 10 96,0% 93,8% MAT 005 9 + ? =13 95,9% 93,7%
51. Un document d’accompagnement très détaillé
La mémorisation du répertoire additif ou la capacité à en reconstruire instantanément les résultats s’élabore sur une très longue période de temps qui couvre le cycle 2 et le tout début du cycle 3. L’appui sur la connaissance de certains résultats plus rapidement maîtrisés est essentiel : doubles, décompositions par rapport à 5 et à 10, compléments à 10…. Très tôt, il convient de ne pas limiter les interrogations à l’obtention de sommes, mais de demander également les compléments, les décompositions et les différences qui sont associées aux éléments des tables travaillées. (p39) La capacité à fournir instantanément de tels résultats est évidemment essentielle. La stabilisation complète du répertoire additif est très rarement achevée avant l’entrée au cycle 3. Le travail doit donc être poursuivi pour permettre aux élèves de mémoriser de nouveaux résultats, de reconstruire très rapidement ceux qui ne sont pas mémorisés en s’appuyant sur ceux qui le sont, et cela aussi bien pour calculer des sommes, des différences, des compléments ou obtenir des décompositions. (p41)
52.Le calcul mental automatisé (2)
Mais au fait : comment s’apprend la table de 8 ? 8 fois…. ou …. fois 8 ?
53. Connaître « les tables de multiplication »
La capacité à fournir instantanément de tels résultats est essentielle. La stabilisation complète du répertoire multiplicatif nécessite au moins deux années de travail au cycle 3 et doit être
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006 MAT 006 6 fois 8 69,5% 59,9% MAT 007 9 fois 9 89,7% 83,6% MAT 008 ? fois 5 = 35 82,8% 78,8% MAT 009 ? fois 9 = 27 76,4% 69,8% MAT 010 ? fois 8 = 56 54,9% 44,1%
rapidement ce résultat que répondre à « Combien de fois 8 dans 48 ? », à « Diviser 48 par 6 » ou décomposer 48 sous forme de produits de deux nombres inférieurs à dix. (p45)
Nous savons tous que certains élèves sont capables de réciter des tables de multiplication sans pouvoir les mobiliser quand ils en ont besoin. Les apprendre autrement, en jouant sur différents aspects, apparaît donc comme une façon de lutter contre ces psittacismes inutiles.
54. Le calcul mental réfléchi
Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s’agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. D’autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables. La traduction chiffrée de « quatre-vingt douze » ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C’est une première raison pour laquelle il n’est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite “ 92 + 15 = ? “ et sous la forme orale « quatre-vingt douze plus quinze ». Une autre raison relève de la mémorisation : dans le premier cas, la consigne reste visible alors que dans le second elle doit être enregistrée, ce qui occupera une partie de la mémoire de travail. (p36)
55.Ce qui a été évalué
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006 MAT 060 31 - 3 88,5% 83,9% MAT 061 126 + 9 84,9% 82,3% MAT 062 105 - 10 88,6% 81,5% MAT 063 43 + ? = 100 63,5% 52,6% MAT 064 37 + 99 63,9% 61,2% MAT 065 3600 + 1400 61,7% 53,0% MAT 066 53 - 8 74,9% 69,4% MAT 067 20 fois 18 38,7% 29,6% MAT 068 40 fois 25 37,3% 29,6%
56. Pierre à la boulangerie
57. Calcul mental et « petits problèmes »
Dans tous les cas (calcul automatisé ou calcul réfléchi), les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situées dans le cadre de la résolution de « petits problèmes », dans des contextes variés : sens des opérations et entraînement au calcul mental sont alors travaillés simultanément. Ajoutons qu’il n’est pas équivalent de poser la question « calculer 17 + 23 » (oralement ou par écrit) et le problème « Arnaud avait 17 billes et en gagne 23 ; combien en a-t-il maintenant ? ». Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas elle porte sur des nombres “purs”, dans le second elle s’appuie sur l’évocation d’un certain champ de réalité. L’expérience montre surtout qu’il s’agit, dans le second cas, d’un moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du « sens des opérations ». (p37)
58. Le calcul posé à l’école élémentaire (1)
Ces différents textes insistent sur le fait qu’aujourd’hui l’apprentissage des techniques de calcul posé ne se justifie plus par leur utilisation effective dans la société, mais doit être centré sur deux objectifs essentiels :
1- une maîtrise de ces techniques, dans des cas simples, permet aux individus de mieux apprécier l’efficacité des instruments qu’ils utilisent ; (cf doc d’accompagnement sur le calcul instrumenté)
- un travail visant à la construction, à l’analyse et à l’appropriation de ces techniques conduit à utiliser et combiner de nombreuses propriétés relatives au système d’écriture des nombres (numération décimale de position) et aux opérations en jeu ; en retour, ce travail assure une meilleure maîtrise de ces propriétés. Ce travail prépare à plus long terme le travail qui sera fait au collège sur la mise en évidence de propriétés algébriques (ex : la distributivité de la multiplication sur l’addition)
59. Le calcul posé à l’école élémentaire (2)
En résumé, l’étude des techniques de calcul posé doit être résolument orientée vers la compréhension et la justification de leur fonctionnement. Elle ne peut donc, en aucun cas, se limiter
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
60. Ce qui a été évalué
61. A propos des multiplications
Extrait du document à l’attention de l’enseignant pour l’évaluation à l’entrée en sixième (items 28 et 29, p20)
En 2001, le calcul de 64 x 39 n’est réussi que par 54 % des élèves. En 2000, ceux de 45 x 19 et de 523 x 205 sont réussis par respectivement 67 % et 60 % des élèves. Et, contrairement à une idée répandue, l’analyse des réponses montre que les erreurs dues à une connaissance insuffisante des tables de multiplication sont nettement plus nombreuses que celles qui peuvent être attribuées à un manque de maîtrise de la technique.
En ce qui concerne l’item 30 : Extrait du document à l’attention de l’enseignant pour l’évaluation à l’entrée en sixième (p21)
Contrairement à l’exercice précédent portant sur des multiplications d’entiers déjà posées, cet exercice porte sur la multiplication d’un décimal par un nombre entier et, de plus, l’élève doit la poser.
Parmi les productions incorrectes, le code 4 repère la présence et la position de la virgule dans le produit.
L’observation de la disposition des facteurs dans l’opération posée peut être un élément à prendre en compte dans le cadre d’une formation inter-cycle ou d’une liaison école-collège visant
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006 MAT 015 1357 + 728 + 463 + 506 76,8% 72,6% MAT 016 445 - 238 80,8% 74,6% MAT 017 164,8 + 26,57 74,3% 64,8% MAT 018 127,58 - 13,2 70,4% 59,1% MAT 028 876 x 34 47,6% 38,4% MAT 029 523 x 305 54,5% 43,9% MAT 030 27,5 x 23 30,6% 20,0%
Cet exercice évalue des compétences attendues à l’entrée en sixième.
La disposition d’une telle multiplication fera l’objet d’une discussion. Il n’est en effet sans doute pas sans incidence sur une stratégie d’enseignement à proposer de placer le 3 en dessous du 7 ou du 5.
62. Les divisions
A propos de la division, ma perception est que, à partir du moment où il est précisé que « la technique dépouillée de la division n’est pas une compétence visée, ni à l’école, ni au collège, » (cf document d’accompagnement p 54), il s’agit là encore une fois d’une excellente occasion de travailler la numération. A propos de la première (item 72) : on peut commencer par partager les 8 dizaines ; chaque part sera constituée d’une dizaine, il restera 2 dizaines et une unité à partager, soit 3 unités à ajouter à la dizaine, et il restera 3 unités. Cette présentation a l’avantage d’être prolongeable « naturellement » : partager 3 unités revient à partager 30 dixièmes, et la valeur de chaque part est donc selon les cas soit 13, soit 13 et 5 dixièmes. Elle me semble également à la fois « éviter » la lourdeur des zéros à reporter à toutes les étapes, et donner la valeur immédiatement la position du premier chiffre du quotient, ce qui détermine le nombre de chiffres de sa partie entière.
63. Multiplier et diviser par 10 ou 100
Aucun commentaire dans les documents d’application. Dans les documents d’accompagnement (p45), on peut lire que :
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 072 81 : 6 64,0% 49,9%
MAT 073 408 : 12 54,2% 41,6%
No. de l'item Tâche Hors ZEP
2006 ZEP 2006
MAT 091 23 x 10 90,9% 81,3%
MAT 092 35,2 x 100 32,5% 19,5%
MAT 093 630 : 10 71,1% 53,4%
l’énoncé du résultat nécessitant un sectionnement par tranches de trois chiffres : pour 530 × 10, on passe ainsi de « cinq cent trente » à « cinq mille trois cents » (5 300).
Pour la multiplication et la division par 10, 100, 1000,… des nombres décimaux. Cette
compétence se situe à la frontière entre calcul automatisé et calcul réfléchi, dans la mesure où il est important de profiter de ce travail pour faire prendre conscience aux élèves que multiplier 3,5 par 100 revient à transformer les unités en centaines, les dixièmes en dizaines, les centièmes en unités : la réponse 350 n’est pas seulement le résultat de l’application d’une règle, mais doit être liée à une compréhension qui enrichit la connaissance des écritures à virgule.
64. Comment faire ? (1)
Je reprendrai à cette occasion les propos qu’André Pressiat avait tenus lors des journées interacadémiques qui s’étaient déroulées à Paris en décembre 2004 : « au lieu de décaler la virgule, on préfèrera le décalage des chiffres afin de donner à ceux-ci une nouvelle valeur. Ainsi multiplier un nombre par 10, c’est donner à chacun de ses chiffres une valeur 10 fois plus grande. »
Multiplier 23 par 10 revient à chercher une autre écriture de 23 dizaines. Diviser 630 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 630.
65. Comment faire ? (2)
35,2, c’est 3 dizaines, 5 unités et 2 dixièmes.35,2 × 10, c’est donc 30 dizaines, 50 unités et 20 dixièmes, c’est-à-dire par « échange à 10 contre un », 3 centaines, 5 dizaines et 2 unités. Ce qui s’écrit 352.C’est ainsi qu’on peut énoncer a posteriori une règle de décalage des chiffres, et
non pas a priori celui de la virgule. Pour multiplier par 35,2 par 100, on applique à nouveau cette
méthode à 352.
66. Pourquoi faire aussi compliqué ?
Dans l’énoncé de la règle, le procédé de changement de rang pour les chiffres est préférable au décalage de la virgule, et ceci pour deux raisons :
- il rend compte de l’effet de la multiplication sur chaque chiffre,
- il est valable aussi bien pour les nombres entiers que pour les nombres décimaux. Un élève pourra plus tard facilement se repérer à la position du seul chiffre des unités.
67.
Quelques autres items… (en lien avec ce qui vient d’être dit)
No. de l'item Tâche Hors ZEP 2006 ZEP 2006
MAT 019 5 kg = 5 000 g 62,2% 48,5% MAT 020 630 mm = 63 cm 60,9% 44,5% MAT 021 400 m = 0,4 km 50,6% 33,2% MAT 022 1,5 L = 150 cL 38,0% 24,8%
68. Ce qui relève clairement de l’école
• L’écriture des nombres entiers• Les « tables » d’addition et de multiplication
• Les techniques opératoires d’addition et de soustraction • Une première approche sur les fractions
69. Ce qui est en phase de consolidation
• La « culture » des nombres entiers• La connaissance et l’écriture des décimaux • Le partage d’un segment ou d’une surface
• La multiplication et la division par 10, 100, 1000,…
• Les conversions (longueurs, masses, contenances et le début des aires)
70. Ce qui relève clairement du collège
• La multiplication de deux décimaux• La fraction quotient
• L’utilisation des décimaux pour l’approche du quotient de deux entiers • Des écritures en ligne « expertes »
• Un travail sur les unités et les calculs de volumes
71.… Une question d’actualité …
Il semble que les enseignants de l’école élémentaire comme ceux du collège soient actuellement déstabilisés en regard des missions qu’ils estiment de plus en plus difficiles à mener devant des publics de plus en plus hétérogènes. Les documents officiels, si riches soient-ils, nécessitent des interfaces, les instructions officielles sont souvent surabondantes et les manuels souvent très ambitieux et parfois très confus. Plus on attend de l’école, et plus les tâches qui sont confiées aux enseignants sont lourdes, et plus la tentation de recherche de méthodes efficaces est grande. Celles qui prévalent de nos jours sont issues du constructivisme, mais « un constructivisme radical a ses limites » a dit Brousseau lui-même, pour des raisons diverses, qui (en résumant beaucoup) sont en partie liées aux contenus mathématiques mis en jeu, aux connaissances didactiques des enseignants, et à la gestion de la classe. Conséquence (schématisée) : un travail découpé sur fiches avec un guidage très important, ou un pseudo-constructivisme (qui produit de l’activité sans construction des savoirs). Il s’agit donc de prendre en compte à la fois les contraintes du terrain et les résultats issus des travaux issus de la didactique des mathématiques afin de proposer aux enseignants des repères réalistes pour l’exercice de leur métier.
72. …Des solutions envisageables…
Tout n’est pas possible pour les enseignants, et pour un enseignant donné, parmi les possibles, tous ne le sont pas (on pourra se référer aux travaux d’Aline Robert sur ce thème). Il semble donc que les solutions, si on veut en proposer, ne résident pas dans la donnée de situations modèles, mais la disponibilité d’un éventail de couples énoncés/déroulements qui, assemblés dans une cohérence
Plusieurs stratégies me semblent intéressantes pour atteindre ces objectifs. Parmi elles : Un travail collectif de réflexion et de conception dans les équipes d’enseignants,
intra et inter cycles
Des liaisons locales 1er/2nd degré basées sur les pratiques des uns et des autres
Des stages de formation continue sur les contenus mis en jeu
Des formations à distance comme celles qui sont initiées auprès des PLC2 de mathématiques à l’IUFM de Créteil sur une plate-forme comme BSCW ou un site comme TFM
Et pour conclure :
« Il serait vain de penser faire progresser les élèves en leur fournissant des stratagèmes qui conduisent à la réalisation de tâches purement mécaniques. Ce serait même un contresens. » (Dernière phrase du document d’accompagnement Articulation école/collège)
73. Les sites consultés
http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm : l’adresse de base où l’on trouve tous les documents d’application et les documents d’accompagnement des programmes pour l’école.
http://evace26.education.gouv.fr/ : l’adresse sur laquelle on trouve tous les documents et les résultats relatifs aux évaluations nationales (sixième et CE2).
http://eduscol.education.fr/D0049/jeux_nombres.htm : l’adresse où l’on a accès à un dossier complet sur les fractions et les décimaux, réalisé par un groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositif relais.
http://www.banqoutils.education.gouv.fr/index.php : l’adresse de base où l’on trouve des outils pour des évaluations diagnostiques, en particulier pour le cycle 3 et la sixième.
http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHAG00.htm : l’adresse qui donne accès aux récents documents d’accompagnement des programmes de collège.
http://www.education.gouv.fr/cid4172/l-enseignement-des-mathematiques-au-cycle-3-de-l-ecole-primaire.html : un rapport de l’Inspection générale sur l'enseignement des mathématiques au cycle 3 de l'école primaire.
http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/ : un outil de formation en ligne dédié à l’apprentissage des mathématiques à l’école primaire et en sixième.
Bibliographie
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BENOIT Paul, CHEMLA Karine, RITTER Jim (coordonné par), Histoire de fractions, fractions d’histoire, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1992.
COMBES Marcel, NEJJARI Mohammed, La multiplication : quelles représentations ? IREM de Picardie, 1994.
Commission Premier degré APMEP, 5 fois 3 est-il égal à 5 × 3 ? Une question qui n'a l'air de rien, qui partage les enseignants et qui nécessite plusieurs points de vue, Bulletin n°457,APMEP, mars-avril 2005, pp 165 – 172.
EUCLIDE, Œuvres, Traduction de F. PEYRARD, A. Blanchard, 1993.
GERGONDEY Robert, Entre calcul et concept, Textes et documents pour la classe, N°869, Scéren-CNDP, 2004, pp 6 – 13.
KAHANE Jean-Pierre, Quelques remarques sur les nombres et leur apprentissage, Petit x n°55, 2000-2001, pp71 – 78.
JOST Rémy, Le calcul numérique en question, Les revues pédagogiques de la Mission laïque française, Activités mathématiques et scientifiques, n°57, Octobre 2004, pp17 – 28.
PERRIN M.-J., Questions didactiques soulevées à partir de l’enseignement des mathématiques dans les classes faibles, RDM, 1993, pp 5 – 119.
PIAGET J., Psychologie et pédagogie, Denoël, 1969.
RODITI Eric, Les pratiques enseignantes en mathématiques. Entre contraintes et liberté pédagogique, L’Harmattan, 2005.
SALIN M.-H., Du CM2 à la sixième : quelques pistes pour une transition plus efficace, APMEP-PLOT n°13, pp 2-7, 2006.
