Some aspects of optimal quantization and applications to finance

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Some aspects of optimal quantization and applications

to finance

Sylvain Corlay

To cite this version:

Sylvain Corlay. Some aspects of optimal quantization and applications to finance. Mathematics

[math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. English. �tel-00626445�

de l'université Pierre et Marie Curie

Spé ialité:

Mathématiques Appliquées

Présentéepar:

Sylvain Corlay

Pourobtenirlegradede

Do teur en s ien es de l'université

Pierre et Marie Curie

Quelques aspe ts de la quanti ation

optimale et appli ations à la nan e

Sousladire tion deGillesPagès.

Rapporteurs: SiegfriedGraf

BenjaminJourdain

Soutenuepubliquementle23septembre2011devantlejury omposéde

Frédéri Abergel Examinateur

Mi helCrouhy Examinateur

JeanJa od Examinateur

BenjaminJourdain Rapporteur

GillesPagès Dire teurdethèse

Ja quesPrintems Examinateur

J'ai une profonde gratitude envers Gilles Pagès, qui a a ompagné mes premiers pas dans la

re her he en mathématiques.Je luisuis re onnaissant pour e sujet de thèse stimulant et pour

sesrele tures minutieuses et exigeantes.J'ai tiré d'importants enseignementsde nos dis ussions

mathématiques tout au long de la thèse, autant d'o asions pour lui de m'aiguiller dans ma

re her he. Je remer ie Mi hel Crouhy et Frédéri Abergel, qui m'ont re ruté pour ette thèse

CIFRE dans l'équipe EDA (Equity Derivatives&Arbitrage)de Natixis, pour leur onan e, et

Adil Reghai, qui a dirigé l'équipe de re her he quantitative pendant la majeure partie de ma

présen edansl'entreprise.Cetteexpérien eauseind'uneéquipedeprati iensm'adonnéles lefs

pourtisser les liens entre théoriemathématique et appli ations pratiques.Je remer ie Siegfried

Grafet Benjamin Jourdain,rapporteurs de ette thèse, pour leurle ture détaillée dumanus rit

et leurs remarques pertinentes.Je remer ie Mar Yorpoursa grande disponibilité, par exemple

quand ilm'a orientéverslestravauxduSéminaire deProbabilitéssur legrossissementinitial de

ltration.Jeremer ieaussiJa quesPrintemsetJeanJa odd'avoira eptédefairepartiedujury.

La on lusionde ettethèse marquantlandemes études,il onvientderemer ier i i eux

quim'ontapportéunsoutienin onditionneldepuisledébut,mafamille.Jeremer iemesparents,

ma mère pour son é oute et son ae tion et mon père pour ses onseils et sa lairvoyan e et

touslesdeuxpourleursoutienindéfe tible.Vousdemeurezunexempleàsuivredansvotrefaçon

d'aborderlavie,dansl'adversitéoulesu ès.Mas÷urDelphineetmesfrèresVin entetAntoine

m'ontentouré et aidéquellesque soientles ir onstan es.Je remer ie Manuel Santana pourses

onseils et lesnombreuses orre tionsen anglais. Mer i aussià Thioro, Cynthia, Léo et Martin

Corlaypourtous esbonsmomentsquenousavonspassésensemble.

Jesouhaiteparti ulièrementremer ieri iJohanMabille.Informati ientalentueux,il asume

donnergoûtàlaprogrammationenC++etàl'ar hite turelogi ielle.Johanm'adonnéles lefspour

savoirsurmonterlesobsta lesquiséparentlesmathématiquesdeleurmiseenpratique.Utiliserles

méthodesdeméta-programmationparlestemplates,faireappelàdeslibrairiestier es,s'interfa er

ave d'autreslangages, é rire du ode standardpouvantêtre utilisé surdiérentes plateformes:

tout elan'auraitpasétépossiblesans etteintera tionquotidiennefru tueuseave mon ollègue

etamiJohan.

Jesuis trèsre onnaissantenversMarouenMessaoud,qui arelulepremierarti lesur la

stra-ti ation fon tionnelleetarelevéde nombreuses oquilles. Jeremer ie aussiAdelBenHaj

Yed-derpoursa disponibilitéet son dis ernement. Adelet Marouen, lesdeux responsables des ples

monoetmultisous-ja entsdel'équipe,sonttouslesdeuxdo teursetontsu,malgréleurs

responsabilitésopérationnelles,garderun onta tave lare her heenmathématiquesnan ières

etsona tualité.JoséLuu,responsabledu al uls ientique,m'aen ouragéàexplorerdenouvelles

voiesquand j'ai fait l'expérien e d'instabilités numériques en géométrie algorithmique.C'est lui

qui m'a suggéré d'utiliser le al ul en pré isionarbitraire et la librairieARPREC. Ilm'a

beau- oup en ouragé à ollaborer ave son équipe et notamment ave Johan, sur le développement

d'algorithmesnumériques.Jeluiensuistrèsre onnaissant.

Jeremer ieaussiÉri Bertrand,dontj'aipartagélebureaupendantlapremièreannéedethèse,

pourses onseilsetlesdis ussionsaniméesdenosdéjeuners.Jeremer iemonamiClaudeMuller

autantpour equ'ilm'a apprissurlesmodèlesdevolatilitésto hastiquequepourlesnombreux

footings aupar de la ité universitaireet au MontValérien.Mer i àMathieu De harrièrepour

Jetiensàremer ierGillesBoyaprèsdequij'aitravaillépendantplusieursmois,ainsi

qu'Églan-tine Giraud. Gilleset Églantine, tousdeux re rutésaprès moi sonttrès rapidement devenus les

for esvivesdel'équipedequants.Gillesesttrèsaufaitdesdéveloppementsré entsdelare her he

enmathématiques nan ières.Ses onnaissan espré ises enprobabilités,sa uriositéet ses

qua-litéspédagogiquesfont delui uninterlo uteur privilégié.J'aieubeau oup de plaisiràtravailler

ave lui et je le remer ie pour e qu'il m'a appris. Gilles, Églantine, Claude, Mathieu et Johan

onstituentungroupequejeretrouveave plaisiràl'o asiondesdéjeuners hezLilietMar el

dansuneambian eami ale.J'espèrelesre roiserettravaillerave euxdansl'avenir.

Enn,jen'oubliepaslesautrespersonnesave quij'aiputravailleràNatixis:AlbertAndinaik

et Amine Boukhaa, que j'ai en adrés pendant leurs stages et qui ontinuent aujourd'hui de

travailler ave Natixis; Georoy Querol, Vin ent Gar in et Mi hael Irsutti, qui m'ont apporté

beau oupd'aidesurleslangagesduframework .NETet l'interfa eave leslangagesnatifs; mais

aussiÉri Cellier,Ni olasHuth,Ban Zheng,PierreLamy,AbdessamadSahnoun,Loï Grosman,

HouariHoualef, Vin ent Klayelé,Mounir Zeghari, ÉmilieTetard,YassineFaqri,Riadh Zaatour,

OlivierCroissant,LaurentJa quel,BrunoFine,ChristopheHéron,FatimaElkhiari,SanaeLoulidi,

SidiMohamedOuldAly,NumaLes ot,Mar Souaille,MohamedLakhdar,Vin entLusset,Alain

Mounier,EmmanuelCandus,GaëlRibouletet JulienCalas.

Je remer ie mon ami Joa him Lebovits, qui a entamé sa thèse en même temps que moi, et

ave qui je travailledepuisl'annéedu mastèredemathématiques nan ières.J'espère quenotre

projetdere her he aboutirabientt. Je leremer iei i poursa ompagnie et sa lairvoyan e es

troisdernières années.Jeluisuisaussitrèsre onnaissantpoursoné lairagesurlespropriétésde

l'intégraledeWiener.

Mer iàDavidBenoist,pournosnombreusesdis ussionslorsdenosrendez-voushebdomadaires

ave Joa him. J'espère que nous ontinuerons à nous réunir pour es soirées pizzas, maths et

pis ine.

Pendant mon monitorat à l'ÉNS de Ca han, j'ai béné ié des onseils et des ressour es de

montuteurpédagogiqueNi olasVayatisetdudire teurdudépartementdemathématiques,Alain

Trouvé.Je lesremer iepourleurimpli ation,leurexigen eet leurs onseils aviséssur

l'enseigne-ment desprobabilités. J'aitoujourstrouvéleur porteouverteau CMLA. Je remer ieégalement

mes étudiants de l'ÉNS de Ca han pour leurs questions et remarques pertinentes pendant es

trois années demonitorat. Je saisisl'o asionpourremer ierles professeursqui ontmarqué ma

s olaritéàl'ÉNSdeCa hanouàJussieu-LaurentDesvillettes,ClaudinePi aronny,Jean-Mi hel

MoreletStéphaneGaubert-ainsiquemesprofesseursde lassespréparatoires,AlexisFagebaume

etJa quesMalet.

Jen'oublieraipaslegrouped'élèves,amis,demapromotionaudépartementdemathématiques

de l'ÉNS de Ca han, toujours prêts à plan her sur un nouvel exo. Guillaume Poly, Ayman

Moussa,RakImekraz,DominiqueMali et,etMartinGaume.Uneambian epota he,leurtalent

et leur appro he ludique des mathématiques ont fait de e petit groupe le meilleur professeur

demathématiquespossible.JesalueégalementLaetitiaBorel-Mathurin,Fabri eBorel-Mathurin,

GabrielGauguelinetFrédériqueCharles.

Parmi les membres du LPMA, je remer ie aussi Ni ole El Karoui de m'avoir apporté son

re ul et sa hauteur de vue sur les mathématiques nan ières, les pratiques du mar hé et plus

parti ulièrement sur les diérents thèmes abordés dans son ours. Je remer ie haleureusement

Ja quesPortèsquiafournilesmoyensinformatiquesné essairesaux al ulsquejedevaisee tuer,

eenplusdetouteslessolli itationsauxquellesilrépondquotidiennement.

Je tiens à saluer les personnes ave lesquelles j'ai partagé le quotidien au LPMA à la n

de la thèse : Reda Chhaibi ave qui j'avais déjà eu le plaisir de travailler quotidiennement à

Natixis quand il y faisait son stage de mastère. Je remer ie aussi Sophie Laruelle et Mathieu

Ri hardqui sontles oorganisateursdugroupedetravaildesthésardsainsiqueRaoulNormand,

Éri Luçon, Cé ile Delaporte, Stavros Vakeroudis, Clément Fou art, Paul Bourgade, Ni olaos

Karaliolios,KarimBouneba he,SophieDedeetNoufelFrikha.JesalueAbassSagnaetBenedikt

Wilbertz,qui onttravaillésurdesthématiquespro hesdesmiennes ave GillesPagès.

utiliserL A

T E

X,ouGNU/Linuxet GCC.

Mer iàmesamis, PabloWinant,Vi torien Rami,CélinePateron,AmélieThévenet, Damien

Lardoux,HélèneGobin, ÉmilieMoreira,Ja inta Carvalho,JérémyLadron, ArnaudCassan,

Ra-phaëlRodriguez-Sierra,AudeHoeitner,Ni olasCharleset MaëlleNauroypourleurae tionet

soutien.Enn,jetienstoutparti ulièrementàremer iermonamie,AnnaMer ierquim'a

Ce do ument rassemble lesrésultats obtenus durant mestrois années de thèse sous ladire tion

de Gilles Pagès. Ilest onstitué de inq hapitres.Chaque hapitreest onçu ommeun arti le

indépendant omportantsaproprebibliographie,etesté ritenanglais.

Soit

(Ω,

A, P)

unespa eprobabiliséet

E

unespa edeBana hréexifséparable.Lanormede

E

est notée

| · |

.Laquanti ationd'unevariablealéatoire

X

prenantsesvaleursdans

E

onsiste en son approximation par une variable aléatoire

Y

prenant un nombre ni de valeurs dans

E

. L'erreurrésultantde ettedis rétisationestmesuréeparlanorme

L

p

de

|X − Y |

.Sionsedonne un ardinalmaximal

N

pour

Y (Ω)

,laminimisationdel'erreurrevientauproblèmed'optimisation

min



k|X − Y |k

p

, Y : Ω

→ E

mesurable

, card(Y (Ω))

≤ N

©

.

(1)

Unesolutionauproblèmedeminimisation(1)est appeléequantieuroptimalde

X

.La quanti- ationoptimalead'abordétéétudiéepourfourniruneméthodededis rétisationdesignal[5℄eta

ensuiteété introduite dansledomainedesprobabilitésnumériques pour on evoirdes méthodes

de ubature[12℄ oupourrésoudredesproblèmesd'arrêtoptimalmultidimensionnels[3℄.

Le as inni-dimensionnel est étudié depuis le début des années

2000

, en parti ulier pour son appli ationàlaquanti ationfon tionnelle,autrementditlaquanti ationdevariablesaléatoires

àvaleursdansdesespa esfon tionnels.Cetteétudeasurtoutportésurle asdelaquanti ation

L

2

surdes espa esdeHilbert [9℄, maisd'autresespa esde Bana h ont aussiété onsidérés[19℄.

Lespro essussto hastiquessontvus ommedesvariablesaléatoiresprenantleursvaleursdansles

espa esdetraje toires onsidérés.

Cette thèse présente quelques aspe ts de la quanti ation optimale et leur appli ation à la

nan emathématique.

•

Lepremier hapitreportesurl'appli ationdelaquanti ationoptimaleàlarédu tionde va-rian eparstrati ation.Eneet,desaspe tsthéoriquesdelastrati ationmontrentunlien

fortentreleproblèmedelaquanti ationquadratiqued'unevariablealéatoireetlarédu tion

de varian equi peutêtre atteinte par ette méthode. Pour ommen er, nous soulignonsla

pertinen e delaquanti ation pour dénirlesstratespourlesméthodes d'é hantillonnage

stratié dans les as ni-dimensionnels et inni-dimensionnels. Ensuite, nous abordons le

as delastrati ationfon tionnelledepro essus gaussiensbi-mesurables. À eteet, nous

proposonsunalgorithmedesimulationde omplexité linéairepourlaloi onditionnelledes

marginalesd'unpro essusgaussiendansla elluledeVoronoid'unquantieurstationnairede

e pro essus.Laméthodeest omplètementspé iéedansles asdumouvementbrownien,

dupontbrownienetdespro essusd'Ornstein-Uhlenbe k.Commelaquanti ationoptimale

ee tived'un pro essus gaussien requiert la onnaissan e de sa base de Karhunen-Loève,

bien onnuedansles asdumouvementbrownien et dupontbrownien,nous détaillons en

annexele al ul ompletdelabasedeKarhunen-Loèvedespro essusd'Ornstein-Uhlenbe k.

Destestsnumériquessontee tuéssurdesproblèmesdevalorisationd'options.Ce hapitre

est lerésultatd'untravail onjointave GillesPagès.

•

Comme nousl'avonssoulignéplushaut, la onnaissan ede labase deKarhunen-Loèveest né essairepourla onstru tionee tived'unquantieurquadratiquedepro essusgaussien.

Lese ond hapitresoulignelapossibilitéd'utiliserdesméthodesnumériquesd'approximation

dessolutionsd'équationsintégralespourle al uldesbasesdeKarhunen-Loèvedepro essus

pourlesquelsonnedisposepasdeformulefermée.Nousproposonsd'utiliserlaméthodedite

de Nyström pour le problème de la quanti ation optimale de pro essus gaussiens. Dans

les as oùondispose d'uneformuleferméede référen e,nousmontrons quelaméthode de

Nyströmpermetd'obtenirunepré isionpro hedel'erreurma hine.Ensuite,le as

parti u-lierdumouvementbrownienfra tionnaireest traité.La ohéren edesvaleursobtenuesest

vériée numériquement grâ e à une méthode de re onstru tion du pro essus gaussien.

Enn, elanouspermetd'appliquerlaméthodedestrati ationfon tionnelledéveloppéeau

premier hapitreau problème de la valorisation d'uneoption asiatique dans le modèle de

Bla k&S holesfra tionnaire.

•

Dansletroisième hapitre,nousproposonsunenouvelleappro hedelaquanti ation fon -tionnelle dans le as d'une semimartingale gaussienne ontinue

X

que nous baptisons la quanti ation partielle.Cetteappro he onsistepourl'essentielànequantierque

er-taines oordonnées de

X

(en nombre ni) sur sa base de Karhunen-Loève. Le prin ipal résultatestque onditionnellementà es oordonnées,

X

resteunesemimartingalepar rap-portàsapropreltration.Cerésultatestétablienutilisantdeste hniquesdegrossissement

deltration.Ce inouspermetnotammentdevéritablementdénirlastrati ation

fon tion-nelled'unesolutiond'équationdiérentiellesto hastiquedirigéeparlasemimartingale

X

et delégitimerlaméthodenumériqueutiliséedanslepremier hapitredansle asdeséquations

diérentiellessto hastiques.Nousprouvonségalementplusieursrésultatsde onvergen ede

laquanti ationpartielle d'EDS.

•

Danslequatrième hapitre,nousproposonsuneméthodede ubaturebaséesurla quanti- ationfon tionnellepourlavalorisationd'optionsvanillesdansle asdemodèlesàvolatilité

sto hastique. On se pla e d'abord dans le même adre que dans l'arti le [14℄. Ensuite, la

méthode estétendueaux as demodèles omportantunterme devolatilitélo ale,souvent

appelésmodèlesàvolatilitélo alesto hastique.Pour ela, nousproposonsunenouvelle

approximationquenousappelonslaquanti ationnormale.Cetteméthodeestbaséesur

les résultats relatifs àla quanti ation partielle de pro essus gaussiens introduite dans le

hapitrepré édent. Nousee tuons destestsnumériques dansle asdumodèleSABR. Ce

hapitreestlerésultatd'untravail onjointave GillesPagès.

•

Les re her hesde pluspro hevoisin représentent une part ritique dela plupart des algo-rithmes d'optimisationde grilles de quanti ation, ainsi que desalgorithmes de rédu tion

devarian eutilisantunquantieurVoronoi ommevariablede ontrle.Dansle inquième

hapitre,nousproposonsunnouvelalgorithmedere her hedepluspro hevoisinlui-même

basé sur uneméthode de quanti ation ve torielle. Lades ription omplète dela méthode

requiert l'exposé dequelquesrésultatsde géométriealgorithmique relatifsauxdiagrammes

deVoronoi.

•

Unintérêtdelaquanti ationoptimale,tantpoursonappli ationàla ubaturequepourses autresusagesest que,unefoislesquantieurs al ulésonpeutles onserverpourunusage

futur. Sur le site web www.quantize.maths-fi. om [15℄, une grande base de données de

grillesdequanti ationdevariablesaléatoiresgaussiennesestdisponibleautélé hargement.

Lesgrillesgaussiennesunidimensionnellessont al uléesave unepré isionrelativede

10

−32

,

autrement dit, elles peuvent être onsidérées omme exa tes dans leur représentation en

simple,double et quadruplepré ision.En appendi e, nousdétaillons lesméthodesutilisées

pour obtenir es grilles sur-optimisées pouvant s'appliquer pour obtenir des grilles de

0.1 Prin ipaux résultats du hapitre 1

Leprin ipedel'é hantillonnagestratiéestdelo aliserlaméthodedeMonte-Carlosurleséléments

d'unepartition de l'espa ed'état d'unevariablealéatoire

L

2

,

X : (Ω,

A) → (E, E)

. Onsedonne unepartition

E

-mesurable

(A

i

)

i∈I

de

E

,etnousappelonsleséléments

A

i

strates.Onsupposeque lespoids

p

i

:= P [X

∈ A

i

]

sont onnuset stri tementpositifs.On onsidèreensuiteunefamillede variablesaléatoiresindépendantes

(X

i

)

i∈I

dedistribution

X

i

L

∼ L (X|X ∈ A

i

)

.

Onsupposequ'onsaitsimulerlesvariablesaléatoires

X

i

, equiéquivautàsupposerqu'onpeut é rire

X

i

= φ

i

(U )

, où

U

est uniformémentdistribuée sur

[0, 1]

r

i

ave

r

i

∈ N

∗

et

φ : [0, 1]

r

i

_{→ R}

est al ulablefa ilement.

L'idée de lastrati ation est d'utiliser l'estimateur suivant pour al uler

E[F (X)]

, où

F

est unefon tionnelleàvaleursréellestelleque

F (X)

∈ L

2

:

F (X)

I

_M

:=

X

i∈I

p

i

1

M

i

M

i

X

k=1

F (X

k

i

),

(2)

où

M

estlebudgetglobaldesimulationsdeMonte-Carloet

M

i

:= q

i

M

estlebudgetallouépour le al ulde

E[F (X

i

)]

dans haquestrate,et

(X

k

i

)

k≤1≤M

i

sont

M

i

réalisationsindépendantesselon

L(X|X ∈ A

i

)

.Onimposenaturellementque

P

i∈I

q

i

= 1

. Cetestimateurestsansbiaisetsavarian eest donnéepar

Var



F (X)

I

_M



=

1

M

X

i∈I

p

2

i

q

i

σ

2

F,i

,

où

σ

F,i

2

:= Var (F (X)

|X ∈ A

i

) = Var (F (X

i

)) ,

i

∈ I.

Choix des budgets

(q

i

)

i∈I

de tiragesalloués à haque strate

•

Le hoixnaturel,maissous-optimalestdexer

q

i

= p

i

pourtout

i

∈ I

.Deuxraisonspour untel hoixsontd'unepartquelavarian edel'estimateur obtenuesttoujoursinférieureà

elle de l'estimateur standardde Monte-Carlo,et d'autre partqueles poids

p

i

des strates sontgénéralement onnus.

•

Une autre possibilité est l'optimisation sous ontrainte de la varian e de l'estimateur (2), dontlasolutionest

q

i

∗

=

p

i

σ

F,i

P

j∈I

p

j

σ

F,j

,

i

_{∈ I.}

À estade,leproblèmeestqu'onne onnaîtpasexpli itementlesinertieslo ales

σ

2

F,i

.Dans l'arti le [18℄, Étoré et Jourdain proposent un algorithme qui modie les proportions des

simulationsfutures dans haquestratedefaçonadaptativeetqui onvergeversl'allo ation

optimale.

Géométriedes strates

Maintenant, la prin ipale in onnue est le hoix de la partition

(A

i

)

i∈I

. Ce hoix est guidé par l'obje tif derédu tion dela varian e, maisaussi parla né essitéde pouvoirsimulerles lois

onditionnelles

L (X|X ∈ A

i

)

.C'estl'objetdelase tion0.1.1.

0.1.1 Pertinen e de la quanti ation optimale quadratique pour

on e-voir les strates des méthodes d'é hantillonnage stratié

Ilsuggèrede hoisirpourpartition

(A

i

)

i∈I

les ellulesde Voronoiasso iées àune quanti ation quadratique optimisée de

X

, et surtoutune troisième possibilité pour le hoix d'allo ation des tiragesentrelesstrates,qui aunee a itéuniformesurlesfon tionnelles

F

lips hitziennes.

Théorème 0.1.1(Strati ation universelle). Soit

A = (A

i

)

i∈I

une partitionde

E

et

Proj

A,Z

la proje tion bary entriqueasso iéeàla partition

A

pourla variable aléatoire

Z

(dénition1.1.4).

1. Pour tout

i

∈ I

, onsidéronsl'inertie lo ale de la variable aléatoire

X

,

σ

2

i

= E

”

|X − E[X|X ∈ A

i

]

|

2

  

X

∈ A

i

—

.

Alorspourtoutefon tion lips hitzienne

F : E

→ R

,

∀i ∈ I,

σ

F,i

≤ [F ]

Lip

σ

i

desorteque

sup

[F ]

Lip

≤1

σ

F,i

≤ σ

i

.

(3)

2. Dans le asdu hoix sous-optimal,

sup

[F ]

Lip

≤1

 P

i∈I

p

i

σ

F,i

2



≤

P

i∈I

p

i

σ

i

2

=

X

− E[X|σ({X ∈ A

i

}, i ∈ I)]

2

2

=

X

− Proj

A,X

(X)

2

2

.

(4)

3. Dans le asdu hoix optimal,

sup

[F ]

Lip

≤1

 X

i∈I

p

i

σ

F,i

2



≤

 X

i∈I

p

i

σ

i



2

,

(5) et  X

i∈I

p

i

σ

i



2

≥

X

− E[X|σ({X ∈ A

i

}, i ∈ I)]

2

1

=

X

− Proj

A,X

(X)

2

1

.

4. Si on onsidère des fon tions lips hitziennes à valeurs ve torielles

F : E

→ E

, alors les inégalités(3),(4) et(5)sonten faitdeségalités.

0.1.2 Quanti ation et simulabilité dans les strates

Dans le as parti ulier où

X

est une variablealéatoire gaussienne deloi

N (0, D)

, où

D

est une matri ediagonale,onmontrequ'ilestpossibledesimulerexa tementladistribution onditionnelle

de

X

dansunhyperre tangleave un oût onstant(voirse tion1.3.3).Cen'estpasle asdela distribution onditionnelledansunpolytopequel onque.Pour ette raison,unestrati ationpar

quanti ationproduit-résultantendesstratessousformed'hyperre tangles-estpréférableàla

quanti ationoptimaledontles ellulesdeVoronoisontdespolytopesplusgénéraux.

Nous abordons maintenant le problème de la strati ation fon tionnelle de pro essus

gaus-siensbimesurablessurunintervalle

[0, T ]

.Noussupposons quelepro essus onsidéréest

L

2

et a

unefon tionde ovarian e ontinuesur l'intervalle onsidéré.Lesquantieursquadratiques

opti-mauxdetelspro essussetrouventsurl'espa eengendréparleurspremièresfon tionspropresde

Karhunen-Loève.La formedes ellules deVoronoiasso iéesdans

L

2

_{([0, T ])}

est don très simple

quand elle est exprimée dans ettebase, en parti ulier dans le as de laquanti ation produit.

La simulation de la loi onditionnelle de marginales de

X

,

(X

t

0

,

· · · X

t

n

)

pour une subdivision

0 = t

0

≤ · · · ≤ t

n

= T

onsistealors

•

tout d'abordàsimulerlaloi onditionnelle(ni-dimensionnelle) despremières oordonnées deKarhunen-Loève,

oor-Dans le as de laquanti ation produit, la premièreétapea déjà été traitée. Lase onde étape

onsisteenunsimple onditionnementgaussien, quipeutdon êtreee tué ave une omplexité

de

O(n

2

₎

enutilisantunefa torisationdeCholesky.Ce oûtquadratiqueenlenombredepasde

temps n'étantpassatisfaisant, nousproposonsunnouvelalgorithme de omplexité

O(d

× n)

où

d

est la dimension de quanti ation. Cette dimensionde quanti ation

d

est plutt faible dans le asdespro essus gaussiens onsidérés,pourlesquelselleest asymptotiquementéquivalente au

logarithme du nombre de strates. Par exemple, dans le as où

X

est un mouvement brownien standard, la dimension de quanti ation pour une quanti ation de niveau

N = 10

4

est de

9

. C'est et algorithme de simulation, utilisant une appro he bayésiennequi rend la strati ation

fon tionnelledepro essusgaussiensutilisableenpratique.

Surla gure1,on représentequelques traje toiresdela loi onditionnellede

500

marginales d'un mouvementbrownienstandardsa hantque e mouvement brownienappartientàla ellule

de Voronoi dela ourbeépaissie surle graphique.L'apparen edes traje toiresobtenuessuggère

de onsidérerlaméthode ommeuneméthodedeMonte-Carloguidée.

PSfragrepla ements

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

−2

−1

2

3

−3

Figure1Tra édequelquesréalisationsdelaloi onditionnelledumouvementbrownienstandard

sa hantqu'iltombedansla elluledeVoronoi

L

2

dela ourbesurlignéedanslequantieur.

La méthodeest appliquéeà d'autrespro essus gaussiens, dans le hapitre1pourle pont

brow-nien et les pro essus d'Ornstein-Uhlenbe k, et dans le hapitre2 pour le mouvement brownien

fra tionnaire.

0.1.3 Quanti ationetstrati ationfon tionnelledespro essus

d'Ornstein-Uhlenbe k

Les fon tions propres de Karhunen-Loève ont une forme expli ite dans les as parti uliers du

mouvementbrownienstandardet dupontbrownien.Le asparti ulierdupro essus

d'Ornstein-Uhlenbe kstationnaire ave paramètre deretour à lamoyenne et volatilitéégaux à

1

est traité dans le livre [6, p.195℄. En appendi e du premier hapitre, nous al ulons la dé omposition de

paramètrederetouràlamoyenneetvolatilité).Unepro éduredétailléedé rivantl'implémentation

delaméthodeestaussifournie.

Grâ eà e al ul,laquanti ation quadratiqueoptimaleet lastrati ation fon tionnelledes

pro essus d'Ornstein-Uhlenbe k sont possibles. Dans la suite, on vériera systématiquement si

lesrésultats de ettethèse portantsur laquanti ationdespro essus gaussienssontappli ables

aux pro essus suivants : le mouvement brownien standard, le pont brownien et les pro essus

d'Ornstein-Uhlenbe k. PSfragrepla ements

−1.5

−1

−0.5

0

0

0.5

0.5

1

1

1.5

1.5

2

2.5

3

PSfragrepla ements

−1.5

−1

−0.5

0

0

0.5

0.5

1

1

1.5

1.5

2

2.5

3

Figure 2Quantieur produit optimald'un pro essusd'Ornstein-Uhlenbe k entrépartant de

r

0

= 0

(àgau he)et stationnaire(àdroite)déniparl'EDS

dr

t

=

−r

t

dt + dW

t

,sur

[0, 3]

.

0.1.4 Appli ation à la strati ation de solutions d'équations

diéren-tielles sto hastiques

Dans le as plusrestri tif où

X

est en fait une semimartingalegaussienne entrée partantde

0

, onpeututiliser lastrati ation desmarginales de

X

et lesinsérerdansles hémad'Eulerd'une équationdiérentielle sto hastiquepourobtenirune strati ationfon tionnellede lasolutionde

l'équationdiérentiellesto hastique onsidérée.

Cetteappro hedelastrati ationfon tionnellepourlesdiusionsbrowniennesest justiéeà

plusieurségards:

•

Sous ertaines onditionssurles oe ientsdel'EDS onsidérée,l'appli ationquiau pro es-susgaussien initialasso ie lasolutiondel'EDSestenfaitune appli ationlips hitziennede

L

p

_{([0, T ])}

dans

L

p

_{([0, T ])}

.Deplusl'appli ationquiàdesmarginales

(X

t

0

,

· · · , X

t

n

)

asso ie lasuitedesdiéren esadja entes

X

t

1

− X

t

0

,

· · · , X

t

n

− X

t

n−1

estaussilips hitzienne.On

resteainsidansle adreduthéorème0.1.1surlastrati ation universelle.

•

De plus, on verra au hapitre3 quedans les as ités pré édemment, laloi onditionnelle de

X

sa hantque

X

tombedansune elluledeVoronoidonnéeest unesemimartingalepar rapportàsaltration naturelle.Cettepropriété,démontréeplusloindanslathèse pardes

argumentsde grossissement de ltration permet de dénirla strati ation ontinue de la

solution d'une EDS. Ainsi, la loi onditionnelle de la solution de l'EDS asso iée à

X

est en fait la solution de l'EDS asso iée à ette semimartingale. Utiliser ainsi les marginales

onditionnelles dansles hémad'Euler orrespondenfait àimplémenter les hémad'Euler

del'EDSinitiale onditionnée.

0.2 Prin ipaux résultats du hapitre 2

Comme souligné pré édemment, le quantieur quadratique optimal d'un pro essus gaussien

bi-mesurablesetrouvedansunplanprin ipaldesonopérateurde ovarian e,autrementdit,engendré

parlespremièresfon tionspropresdeKarhunen-Loève.Pour ette raison,l'utilisationnumérique

d'un tel quantieur né essite d'avoir à sa disposition une méthode d'évaluation (rapide) de ses

fon tionspropresdeKarhunen-Loève,ouaumoins de elles qui orrespondentaux plusgrandes

valeurspropres.Lesbases deKarhunen-Loèvedumouvementbrownien,dupontbrownienet des

pro essus d'Ornstein-Uhlenbe ksont onnues, maisonne dispose pasdeformule ferméedans le

asgénéral.

Avoiràsadispositionuneméthodenumériqueappro hantlesfon tionsdebasede

Karhunen-Loèveestlelien manquantpourlaquanti ationd'autrespro essusgaussiens, ommele

mouve-mentbrownienfra tionnaire.Laquanti ationdumouvementbrownienfra tionnaireestpourtant

intéressanteenpratique arondisposedebeau oupmoinsdeméthodesnumériquese a espour

e pro essus quepourle mouvementbrownienstandard,dontla simulationest beau oup moins

oûteuse.

Dansle hapitre2,onappliquelaméthodeditedeNyströmpourrésoudrel'équation

inté-graledénissantledéveloppementdeKarhunen-Loève.Laméthodeesttoutd'abordtestéedansle

asdespro essusgaussiens itéspré édemmentpourlesquelsondisposedeformulesferméespour

leur base de Karhunen-Loève.Ensuite, on applique laméthode au as dumouvementbrownien

fra tionnaire.Dans e as,andetesterlavaliditédelaméthode,onréaliseunere onstru tion

dupro essusinitial,enlereprésentant ommelamixturedeseslois onditionnellesdans ha une

de ses ellules de Voronoi. Ainsi, en utilisant la méthode de simulation détaillée au hapitre 1,

onre onstruitthéoriquementunmouvementbrownienfra tionnaire.Lavéri ation onsiste

sim-plement àee tuer une estimation parla méthodede Monte-Carlo de lafon tionde ovarian e

du pro essus obtenu et de vérier qu'on retrouve bien la fon tion de ovarian e dumouvement

brownienfra tionnaire.

Dansletableau 1,onreportelesrésultatsde ette méthodede Monte-Carloave

10

millions detirage.

0.105061

0.138629

0.15846

0.173817

0.186687

0.138629

0.277258

0.330656

0.365844

0.394071

0.15846

0.330656

0.489116

0.557871

0.605929

0.173817

0.365844

0.557871

0.73168

0.813313

0.186687

0.394071

0.605929

0.813313

1

0.105141

0.138748

0.158596

0.173959

0.186824

0.138748

0.277417

0.330885

0.366075

0.394372

0.158596

0.330885

0.489454

0.558177

0.606266

0.173959

0.366075

0.558177

0.731923

0.813579

0.186824

0.394372

0.606266

0.813579

1.0003

Table1Covarian ethéorique(àgau he)etestimée(àdroite)

E[X

t

i

X

t

j

]

dumouvement brow-nien fra tionnairere onstruit,ave pour oe ientdeHurst

H = 0.7

.Le nombredetraje toires utiliséespour ettesimulationdeMonte-Carloest

1

× 10

7

.

Nousavonsdon maintenant une méthode able pour al uler lesbases de Karhunen-Loève

de pro essus gaussiens plus généraux, nouspermettant de al uler leur quanti ation optimale.

Lagure3représenteunquantieurquadratique optimaldumouvementbrownien fra tionnaire

ave

H = 0.25

.

0.3 Prin ipaux résultats du hapitre 3

Le hapitre 3 apporte de nouveaux résultats théoriques sur la quanti ation fon tionnelleet la

strati ation.Toutle hapitrereposesurlanotiondepontgénéralisé.

0.3.1 Les ponts généralisés

Soit

X

une semimartingalegaussienne entrée partantde

0

sur l'espa e probabilisé

(Ω,

A, P)

de ltration naturelle

F

X

sur

[0, T ]

.Le théorèmedeFerniquegarantitque R

T

0

E



X

2

t



dt < +

_∞

.Le

PSfragrepla ements

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0

0.5

1

1

1.5

2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 3 Quantieur

N

-optimal quadratique dumouvementbrownienfra tionnaire sur

[0, 1]

de oe ientdeHurst

H = 0.25

ave

N = 20

.

butest de al ulerle onditionnementparrapportàunefamillenie

Z

T

:= (Z

i

T

)

i∈I

devariables aléatoiresgaussiennes, mesurables parrapport à

σ(X

t

, t

∈ [0, T ])

, où

I

⊂ N

est une partie nie de

N

∗

.Commedans [1℄, onserestreintau asoùlesvariables aléatoires

(Z

i

T

)

i∈I

sontlesvaleurs nalesdepro essusdelaforme

Z

i

t

=

R

t

0

f

i

(s)dX

s

,

i

∈ I

,pourune ertainefamillenie

f = (f

i

)

i∈I

defon tions

L

2

loc

([0, T ])

.Lepontgénéraliséde

(X

t

)

t∈[0,T ]

asso ié à

f

de valeurnale

z = (z

i

)

i∈I

estlepro essus

€

X

f,z

Š

t∈[0,T ]

ayantpourdistribution

X

f,z L

_{∼ L}

€

X

 

Z

i

T

= z

i

, i

∈ I

Š

.

(6)

Le as du pont brownien sur

[0, T ]

peut être obtenu en prenant

X

un mouvement brownien standard,

|I| = 1

,

f =

{f}

et

f

≡ 1

.

En termes d'espa es de Hilbert gaussiens, si

H

est l'espa e gaussien engendré par

(X

s

)

s∈[0,T ]

et

H

Z

T

est le sous-espa e fermé de

H

engendré par

(Z

i

T

)

i∈I

, on note

H

⊥

Z

T

son

omplémen-taire orthogonal dans

H

. Toute variable aléatoire (gaussienne)

G

∈ H

se dé ompose en

G =

Proj

_Z

_T

(G)

+ Proj

⊥

⊥

⊥

_Z

T

(G),

où

Proj

Z

T

et

Proj

⊥

Z

T

sontlesproje tionsorthogonalessur

H

Z

T

et

H

⊥

Z

T

.

Ave esnotations,ona

E



G

 

(Z

i

T

)

i∈I



= Proj

_Z

_T

(G)

.

En fait, on va onsidérer des ponts browniens généralisés orrespondant à ertaines familles

f

parti ulières.Comme

X

estunpro essusgaussien ontinu,safon tionde ovarian eest ontinue (voir[7,VIII.3℄).Onnotealors

(e

X

i

, λ

X

i

)

i≥1

sesfon tionspropresetvaleurspropresde Karhunen-Loève. Alors, si ondénit lafon tion

f

X

i

omme laprimitive de

−e

X

i

s'annulant en

t = T

, i.e.

f

X

i

(t) =

R

T

t

e

X

i

(s)ds

,uneintégrationparpartiedonne Z

T

0

X

s

e

X

i

(s)ds =

Z

T

0

f

X

i

(s)dX

s

.

(7)

Pourunepartienie

I

⊂ N

∗

,onnote

X

I,y

etonappellepontgénéraliséde Karhunen-Loèvele

pontgénéraliséasso iéave lesfon tions

(f

X

i

)

i∈I

etayantpourpointnal

y = (y

i

)

i∈I

.Cepro essus apourdistribution

L(X|Y

i

= y

i

, i

∈ I)

,où

Y

i

estla

i

-ème oordonnéedeKarhunen-Loève.

0.3.2 Lespontsgénéralisésde Karhunen-Loève ommesemimartingales

LethéorèmedeJirinaassurel'existen ed'unnoyaudetransition

ν

_Z

T

|(

(X

t

)

_t∈[0,s]

) : B(R

I

₎

× C

0

_{([0, s], R)}

→ R

+

,

orrespondantàlaloi onditionnelle

L

€

Z

t

   €

(X

t

)

t∈[0,s]

ŠŠ .

On fait maintenantl'hypothèse supplémentaire (

H

) que, pour tout

s

∈ [0, T )

et toute fon tion

(x

u

)

_u∈[0,s]

∈ C

0

([0, s], R)

, la loi de probabilité

ν

Z

T

|(

(X

t

)

_t∈[0,s]

)

€

dy, (x

u

)

_u∈[0,s]

Š

est absolument

ontinue par rapport à la mesure de Lebesgue. On note

Π

(x

u

)

_u∈[0,s]

,T

sa densité. La matri e de ovarian ede ettedistributiongaussiennesur

R

I

s'é rit

Q(s, T ) := E

”€

Z

T

− E

”

Z

T

 

(X

u

)

u∈[0,s]

—Š€

Z

T

− E

”

Z

T

 

(X

u

)

u∈[0,s]

—Š

∗

  

(X

u

)

u∈[0,s]

—

.

Si

X

estunemartingale,ona

Q(s, T ) =

€€ R

T

s

f

i

(u)f

j

(u)d

hXi

u

ŠŠ

(i,j)∈I

2

.Rappelonsqu'une semi-martingale ontinue

X

est gaussienne si et seulement si

hXi

est déterministe (voirpar exemple [17℄).Don , ettehypothèsesupplémentaireéquivautàsupposerque

Q(s, T )

estinversiblepourtout

s

∈ [0, T ).

(

H

) Lethéorèmesuivantrésulted'uneappro hesimilaireà elledéveloppéedansl'arti le[1℄pourle as

dumouvementbrownien,quiesti iétendueau asplusgénérald'unesemimartingalegaussienne

ontinue entrée partant de

0

. Les démonstrations font appel à des outils de grossissement de ltrationet lespreuvessontdétailléesau hapitre3.

Théorème 0.3.1. Sous l'hypothèse (

H

), pour tout

s

∈ [0, T )

, et pour

P

Z

T

-presque sûrement

y

∈ R

I

,

P

”

·

 

Z

T

= y

—

est équivalenteà

P

sur

F

X

s

et sadérivéede Radon-Nikodym estdonnée par

dP

”

·

 

Z

T

= y

—

dP

|F

X

s

=

Π

(X

u

)

u∈[0,s]

,T

(y)

Π

0,T

(y)

.

Proposition 0.3.2(Lespontsgénéralisés ommesemimartingales). Dénissonsla ltration

G

X

par

G

X

t

= σ

€

Z

T

,

F

t

X

Š ,legrossissementde

F

X

orrespondantau onditionnementpré édent. On

onsidèrelepro essus sto hastique

D

y

s

:=

dP

_[

·

_|

Z

T

]

dP

_|F

X

s

=

Π

_{(Xt)t∈[0,s],T}

(y)

Π

0,T

(y)

pour

s

∈ [0, T )

. Sous l'hypothèse (

H

), si

D

y

est ontinue, alors

X

est une

G

X

-semimartingale ontinue sur

[0, T )

.

Remarque (Modi ation ontinue). Dans la proposition 0.3.2, sion suppose seulementque

D

y

a une modi ation ontinue

D

y

,alors à ha une de ses modi ations ontinues est asso iée une

G

X

-semimartingale ontinue sur

[0, T )

et toutes es semimartingales sont des modi ations les unesdesautres.

Proposition 0.3.3(Continuitéde

D

y

). Si

F

X

estune ltrationbrownienne standard, alors

D

y

aune modi ation ontinue.

Onprouvedansle hapitre3quel'hypothèse(

H

)est bienvériéedansle asdesponts géné-ralisésdeKarhunen-Loèvedumouvementbrownienstandard,dupontbrownienetdespro essus

d'Ornstein-Uhlenbe k. Le as des pro essus d'Ornstein-Uhlenbe kfait appel àquelques

omplé-mentssurlespropriétésd'inje tivitédel'intégraledeWiener,développésenannexe.

•

La première et prin ipale onséquen ede e nouveaurésultat est qu'en fait, la loi ondi-tionnelle d'une semimartingale gaussienne dans une ellule de Voronoi de son quantieur

optimal (ouquantieurproduit optimal)reste unesemimartingale(nongaussienne). Cette

propriété nous permet de dénir pré isément la strati ation fon tionnelle de la solution

présenta-•

De plus, es résultats suggèrentune nouvelleappro hepourla quanti ation fon tionnelle desolutionsd'équationsdiérentielles sto hastiques,laquanti ationpartielle.

0.3.3 Sur la quanti ation partielle

Souslesmêmeshypothèses, onsidéronsledéveloppementdeKarhunen-Loèvede

X

sur

[0, T ]

,

X =

X

i∈I

Y

i

e

X

i

⊥

⊥

+

X

i∈N

∗

_\I

È

λ

X

i

ξ

i

e

X

i

,

(8) où

(Y

i

)

i∈I

L

∼ N (0, diag(λ

i

)

i∈I

)

.Soitmaintenant Ò

Y

Γ

unquantieurstationnairedetaille

N

de

Y

. Ò

Y

Γ

peuts'é rire ommelaproje tionaupluspro hevoisinsurunnuage

Γ = (γ

1

,

· · · , γ

N

)

. Ò

Y

Γ

= Proj

Γ

(Y ),

où

Proj

Γ

est uneproje tionaupluspro hevoisinsur

Γ.

Ondénitmaintenantlepro essus

Ü

X

I,Γ

enremplaçant

Y

par Ò

Y

Γ

dansladé omposition(8), Ü

X

I,Γ

=

X

i∈I

Ò

Y

i

Γ

e

X

i

⊥

⊥

+

X

i∈N

∗

_\I

È

λ

X

i

ξ

i

e

X

i

.

La loi onditionnelle de Ü

X

I,Γ

sa hant que

Y

tombe dans la ellule de Voronoi de

γ

k

est la loi d'unpontgénéralisédeKarhunen-Loèvedepointnal

γ

k

.En d'autrestermes,onaquantiéles oordonnéesdeKarhunen-Loèvede

X

orrespondantà

i

∈ I

et paslesautres.Cepro essus ainsi déni

Ü

X

I,Γ

estappeléequanti ationpartielle de

X

. Considéronsl'équation diérentiellesto hastique

dS

t

= b(t, S

t

)dt + σ(t, S

t

)dX

t

,

S

0

= x

∈ R, t ∈ [0, T ],

(9) où

b(t, x)

et

σ(t, x)

sontdesfon tionsboréliennes,lips hitziennesparrapportà

x

, euniformément en

t

et où

σ

et

b(

·, 0)

sont bornées. Cette équationdiérentielle sto hastiqueadmet une unique solutionforte

S

.Laloi onditionnellede

S

sa hantque

Y

i

= y

i

pour

i

∈ I

est elledelasolution forte de l'équation diérentiellesto hastique

dS

t

= b(t, S

t

)dt + σ(t, S

t

)dX

I,y

t

, ave

S

0

= x

et où

X

_t

I,y

est lepontgénéralisédeKarhunen-Loèveasso ié.

En onséquen e,ondénitlaquanti ationpartiellede

S

àpartirdelaquanti ationpartielle Ü

X

I,Γ

de

X

enremplaçant

X

par Ü

X

I,Γ

dansl'équation diérentielle sto hastique(9).La

quanti- ation partielle e

S

I,Γ

de

S

estlepro essusdontlaloi onditionnellesa hantque

Y

tombedansla elluledeVoronoide

γ

k

estlasolutionfortedelamêmeéquationdiérentiellesto hastiqueoù

X

estrempla éparlepontgénéralisédeKarhunen-Loèvedepointnal

γ

k

,

d

S

e

I,Γ

t

= b

€

t,

S

e

I,Γ

t

Š

dt + σ

€

t,

S

e

I,Γ

t

Š

d

X

Ü

I,Γ

t

.

Le hapitreseterminepardeuxrésultatsde onvergen e(

L

p

etpresquesûre)de es hémade

quanti ationpartielleverslasolutiondel'EDS(9).

0.4 Prin ipaux résultats du hapitre 4

0.4.1 Quanti ationfon tionnelledesolutionsd'équationsdiérentielles

sto hastiques

Uneappli ationdelaquanti ationfon tionnelledepro essusgaussiens

X

surunintervalle

[0, T ]

estlaquanti ationd'uneéquationdiérentiellesto hastiquedirigéepar

X

,dèsqu'onpeutdénir

l'intégrale sto hastique orrespondante.Dans le as présent, onsupposera que

X

est une semi-martingalegaussienne ontinue entréepartantde

0

.Desexemplestypiquesdetelspro essussont lemouvementbrownienstandard,lepontbrownienetlespro essusd'Ornstein-Uhlenbe k entrés

partantde

0

.Comme elaadéjàétémentionnépré édemment,lethéorèmedeFerniquegarantit que R

T

0

E



X

2

t



dt < +

_∞

.Deplus,la ontinuitétraje torielledupro essus

X

impliquela ontinuité desafon tionde ovarian ede

Γ

X

sur

[0, T ]

2

.On peutobtenirunquantieurstationnairedela

solutiond'uneEDSenremplaçant

X

parunquantieurstationnaire Ò

X

dansl'EDSé riteausens deStratonovi h.Unepremièreétudede ettequestionaétéfaitedansle asunidimensionneldans

l'arti le[10℄.Le asdediusionsmultidimensionnellesplusgénéralesest traitédansl'arti le[16℄,

enutilisantdeste hniquesissuesdelathéoriedestraje toiresrugueuses.

Formellement, onsidérons

σ

lepro essussto hastiquedéni ommelasolutionfortedel'équation diérentiellesto hastique

dσ

t

= b(t, σ

t

)dt + θ(t, σ

t

)dX

t

,

σ

0

∈ R,

(10) où

b(t, x)

et

θ(t, x)

sont desfon tions boréliennes, lips hitziennespar rapport à

x

uniformément en

t

et

|b(·, 0)| + |θ(·, 0)|

est bornée sur

[0, T ]

.Sous es onditions, il existe une uniquesolution forte de l'EDS (10) sur l'intervalle

[0, T ]

. On rappelleque si

M

et

H

sont des semimartingales ontinues, l'intégrale de Stratonovi h

H

◦ M

est dénie par

H

◦ M := H · M +

1

2

hH, Mi

, où

H

_{· M}

désigne l'intégrale d'It de

H

par rapport à

M

. Si on suppose que

θ(t, x)

est dérivable parrapportà

x

,on peut réé rirel'équationdiérentielle sto hastique(10)entermes d'intégrale de Stratonovi h

dσ

t

= b(t, σ

t

)dt

−

1

2

d

hθ(·, σ), Xi

t

+ θ(t, σ

t

)

◦ dX

t

,

σ

0

∈ R

. En utilisant que

d

_{hθ(·, σ), Xi}

t

= θ

′

x

(t, σ

t

)θ(t, σ

t

)d

hXi

t

,onobtient

dσ

t

= b(t, σ

t

)dt

−

1

2

θ

′

x

(t, σ

t

)θ(t, σ

t

)d

hXi

t

+ θ(t, σ

t

)

◦ dX

t

.

Rappelonsqu'une semimartingale ontinue entréeest gaussienne siet seulementsi

hXi

est une fon tiondéterministedutemps,voirparexemple[17℄.Lavariationquadratique

hXi

estexpli ite dans les as pré édemment ités du mouvement brownien standard, du pont brownien et des

pro essusd'Ornstein-Uhlenbe k.

Dans etteéquation,onrempla e

X

parunquantieurstationnairede

X

.Cefaisant,onobtient unensembled'équationsdiérentiellesordinairesdénissantunquantieurstationnairede

σ

.Soit don

χ := (χ

i

₎

1≤i≤N

lestraje toiresd'unquantieurstationnairede

X

.Lestraje toires

(

σ

b

i

₎

1≤i≤N

duquantieur

σ

bsontlessolutionsdeséquationsdiérentielles ordinaires

d

b

σ

i

t

= b(t,

b

σ

i

t

)dt

−

1

2

θ

′

x

(t,

b

σ

i

t

)θ(t,

b

σ

i

t

)d

hXi

t

+ θ(t,

b

σ

i

t

)

€

χ

i

Š

′

(t)dt,

σ

b

i

0

= σ

0

> 0.

(11) Dans ertains asparti uliers, eséquationsdiérentiellespeuventavoirdessolutionsexpli ites,

ommedansle aslognormal.Sion onsidèrele asoù

b(t, x) = xµ(t)

et

θ(t, x) = xγ(t)

,l'équation (11)devient

d

b

σ

i

t

=

b

σ

i

t

µ(t)dt

−

σ

b

i

t

γ(t)

2

2

d

hXi

t

+

b

σ

i

t

γ(t)

€

χ

i

Š

′

(t)dt,

σ

b

i

0

= σ

0

> 0,

equi donne b

σ

t

i

= σ

0

exp

Z

t

0

µ(s)ds +

Z

t

0

γ(s)

€

χ

i

Š

′

(s)ds

₋

1

2

Z

t

0

γ

2

(s)d

_hXi

s



.

(12)

Dansle asgénéral,onpeututiliserdesméthodesnumériquesderésolutionsd'équations

diéren-tielles ommelesméthodesdeRunge-Kutta,oules hémadeBulirsh-Stoer,quiestparti ulièrement

adaptéau asdesolutionsd'équationsdiérentiellestrèsrégulières.

Sur lagure 4,nous représentonsun quantieur produit dupro essus déni parl'équation (12)

quand

X

estunpro essusd'Ornstein-Uhlenbe ksur

[0, 3]

issude

0

ave desparamètresderetour àla moyenne et volatilité tous deux égaux à

1

, ave

γ

≡ 1

,

µ

≡ 0

et

σ

0

= 100

et où

χ

est un

5

_{× 2 × 2}

-quantieurproduitde

X

.

18

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figure4Quantieurfon tionnelquadratiqueproduit

5

× 2 × 2

delasolutiondel'EDS(11)sur

[0, 3]

quand

X

est unpro essus d'Ornstein-Uhlenbe kpartant de

0

ave paramètresderetour à lamoyenneet volatilitéde

1

.Lesparamètresdel'équation diérentielle sto hastiquesont

γ

≡ 1

,

µ

_{≡ 0}

et

σ

0

= 100

.

0.4.2 Appli ationà la valorisation d'options vanilles dans les modèles à

volatilité sto hastique

Considérons maintenant unmodèlede volatilité sto hastiquesous une probabilitérisque neutre

delaforme 8 < :

dF

t

= F

t

σ

t

dW

t

,

F

0

> 0,

dσ

t

= b(t, σ

t

)dt + θ(t, σ

t

)dW

t

σ

,

σ

0

> 0,

d

_{hW, W}

σ

i

t

= ρdt.

(13)

Le mouvement brownien

W

se dé ompose en la somme de

W

σ

et d'un mouvement brownien

standard

W

F

indépendantde

W

σ

.

dW

s

= ρdW

s

σ

+

È

1

− ρ

2

_dW

F

s

où

W

σ

⊥

⊥W

F

_.

On note

(

F

σ

t

)

t≥0

et

(

F

F

t

)

t≥0

les ltrations naturelles des mouvements browniens

W

σ

et

W

F

.

La solutionde l'EDS (13),

F

t

= F

0

exp

€ R

t

0

σ

s

dW

s

−

1

2

R

t

0

σ

2

s

ds

Š

peut s'é rire sousla forme d'un

produit

F

t

= F

0

exp



ρ

Z

t

0

σ

s

dW

s

σ

−

ρ

2

2

Z

t

0

σ

2

s

ds

 | {z }

:=A

t

exp

È

1

_{− ρ}

2

Z

t

0

σ

s

dW

s

F

−

1

_{− ρ}

2

2

Z

t

0

σ

2

s

ds

 | {z }

:=B

t

,

(14) et le pro essus

(A

t

)

t∈[0,T ]

ainsi déni est adapté à la ltration

F

σ

. Dans la suite, la fon tion

Payo(x,K) désigneoubien lafon tion

(x

− K)

+

ou bien

(K

− x)

+

,lePayod'unCallou d'un Putdeprixd'exer i e

K

.Unpré onditionnementdonnel'expression

E

[

Payo

(F

T

, K)] = E [E [

Payo

(F

T

, K)

|F

σ

T

]]

= E

• PrimeBS 

A

T

,

€

(1

− ρ

2

₎

R

T

0

σ

2

s

ds)

Š

1

2

, T, K

‹˜

,

où

A

T

estlavaleurnaledupro essusdénidansl'équation(14)etoùPrimeBS

(F, σ, T, K)

estla formuleferméepourleprix d'unCalloud'unPut danslemodèledeBla ketS holes,sanstaux

d'intérêtni dividende,ave unForward

F

,unevolatilité

σ

,unematurité

T

et unprixd'exer i e

K

.

À e stade, on est don onfronté à un problème de ubature par rapport à la distribution

du pro essus de volatilité

σ

. Cette ubature est ee tuée en utilisant le quantieur fon tionnel

(

b

σ

i

₎

1≤i≤N

de

σ

.

E[

Payo

(F

T

, K)]

≈

N

X

i=1

p

i

PrimeBS 

A

i

T

,

€

(1

− ρ

2

₎

Z

T

0

b

σ

i

(s)

2

ds)

Š

1

2

, T, K



,

(15) où

(A

i

T

)

1≤i≤N

désignelequantieurde

A

T

déduit de

(

b

σ

i

₎

1≤i≤N

.

•

Dans etteéquation,

(α

i

)

1≤i≤N

et

(p

i

)

1≤i≤N

sontrespe tivementlestraje toiresd'un quan-tieurfon tionnelde

W

σ

et lespoidsasso iés.Lesfon tions

(

b

σ

i

₎

1≤i≤N

sontlestraje toires duquantieurde

σ

obtenuesàpartirde

(α

i

)

1≤i≤N

enrésolvantlesEDO(11).

•

Les valeurs orrespondantesde € R

T

0

b

σ

i

_(s)

2

_ds

Š

1≤i≤N

utiliséesdans laformule (15)sont

dé-duitesde ettequanti ation.

•

Pour al ulerlestermes

A

i

T

,ondoitévaluerlaversionquantiéedel'intégralesto hastique R

T

0

σ

s

dW

s

σ

=

R

T

0

σ

s

◦ dW

s

σ

−

1

2

R

T

0

d

hσ, W

σ

i

t

=

R

T

0

σ

s

◦ dW

s

σ

−

1

2

R

T

0

θ

2

(t, σ

t

)dt

.Cela onduit auquantieur

A

i

T

= F

0

exp



ρ

Z

T

0

b

σ

i

(t)α

′

i

(t)dt

−

ρ

2

Z

T

0

θ

2

(t,

b

σ

i

t

)dt

−

ρ

2

2

Z

T

0

b

σ

i

(t)

2

dt



,

1

_{≤ i ≤ N.}

Dansle hapitre4onrappellequel'erreurde ubatureparquanti ationfon tionnelle

station-nairedé roîtlogarithmiquementvers

0

, equiesttrèslent.Cependant,onpeut onsidérablement améliorerlesperforman espratiquesdelaméthodeenutilisantuneextrapolationde

Ri hardson-Rombergdel'erreurde ubature.Nousdétaillons esquestionsdans lase tion4.2.2.

Les résultats numériques peuvent en ore être améliorés en utilisant une sorte de méthode

de rédu tionde varian e pour la ubature parquanti ation, détaillée àla se tion 4.3.1.L'idée

prin ipaleestd'utiliserleForwardestimépar ubatureaulieuduForwardthéoriquepourle al ul

devolatilitéimpli ite. Cefaisant,onobtientunSmiledevolatilitéplusrégulier,et pluspro hede

savaleurthéoriquequandontestelaméthodedansle asparti ulierdumodèleSABR.

La gure 5représente leSmile de volatilité impli ite estimépar ubature par quanti ation

(et extrapolation) et la valeur de référen e donnée par la formule de Hagan de développement

asymptotique de faible maturité. On onstate que la pré ision obtenue est susante pour une

utilisationenpratiquedenotreméthode.

0.4.3 La quanti ation normale

Dans la suite du hapitre4, nous proposons un nouveaus héma de quanti ation de solutions

d'équationsdiérentielles sto hastiques,basé sur lanotion de quanti ationpartielle introduite

au hapitre 3. Ce s héma permet d'appro her la solution d'une équation diérentielle

sto has-tique par une mixture de pro essus gaussiens. Pour ette raison,nous appelons ette méthode

d'approximationlaquanti ationnormale.

Dénition 0.4.1 (Quanti ationnormale). Soit

X

une martingale ontinue gaussienne entrée partantde

0

sur

[0, T ]

.Soit

I

unepartie nie de

N

∗

.Considérons la dé omposition

X =

X

i∈I

Y

i

e

X

i

⊥

⊥

+

X

i∈N

∗

_\I

È

λ

X

i

ξ

i

e

X

i

.

Soit

Γ

un quantieur stationnaire de

Y = (Y

i

)

i∈I

et Ò

Y

Γ

la proje tion de

Y

orrespondante. On note Ò

X

I,Γ

et Ü

X

I,Γ

20

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

Développementasymptotique Extrapolationde

Ri hardson-Rombergdus hémade ubature

parquanti ationetdel'estimation

duForward. Maturité ourte

Figure 5  Smilede volatilité impli ite dans le modèle SABR ave

β = 1

,

γ = 0.3

,

σ

0

= 0.2

,

T = 1

et

ρ =

−0.5

. La ourbe ontinue orrespondàune extrapolationdeRi hardson-Romberg pourle ouple

(208

-

54)

delaformulede ubaturebaséesurlaquanti ationfon tionnelle.

Soit

S

la solution fortede l'EDS

dS

t

= b(t, S

t

)dt + σ(t, S

t

)dX

t

,

S

0

= x,

(16) où

b(t, x)

et

σ(t, x)

sont desfon tions boréliennes, lips hitziennes par rapport à

x

uniformément en

t

et où

σ

et

|b(·, 0)|

sont bornées. Alorsonnote

•

S

b

I,Γ

la quanti ation fon tionnelle de

S

, obtenue en remplaçant

X

par Ò

X

I,Γ

dans l'EDS

(16) é riteausensde Stratonovi h.

•

S

e

I,Γ

laquanti ationpartiellede

S

orrespondante,obtenueenremplaçant

X

par Ü

X

I,Γ

dans

l'EDS (16) ommeau hapitre3.

Lepro essus Ü

X

t

I,Γ

sedé omposeen Ü

X

t

I,Γ

=

X

Ò

I,Γ

t

⊥

⊥

+X

I,0

,où

X

I,0

estlepontgénéraliséde

Karhunen-Loèvede pointnal

0

asso ié à

I

.Onobtient

d

S

e

I,Γ

t

= b

€

t,

S

e

I,Γ

t

Š

dt + σ

€

t,

S

e

I,Γ

t

Š

d

X

Ò

I,Γ

t

+ σ

€

t,

S

e

I,Γ

t

Š

dX

t

I,0

,

S

e

I,Γ

0

= x.

(17)

Nousdénissons la quanti ationnormalede etteEDS ommela solution ó

S

I,Γ

de l'EDS

d

S

ó

I,Γ

t

= b

€

t,

S

b

I,Γ

t

Š

dt + σ

€

t,

S

b

I,Γ

t

Š

d

X

Ò

I,Γ

t

+ σ

€

t,

S

b

I,Γ

t

Š

dX

t

I,0

,

S

e

I,Γ

0

= x.

C'estlamêmeEDSque(17),danslaquelle e

S

t

I,Γ

estrempla épar b

S

I,Γ

t

danslestermesdevolatilité etde dérive.

Théorème 0.4.1 (Erreur de quanti ation quadratique de la quanti ation normale d'EDS).

Ave lesmêmes notations et sousles hypothèses de la dénition 4.4.4, pour tout

t

∈ [0, T )

nous avons

E

–

sup

u∈[0,t]

   e

S

u

−

S

ó

u

  

2

     Ò

Y

Γ

_{= γ}

k

™

= O

 e

S

I,Γ

−

S

b

I,Γ

2

2

‹

.

(18)

Remarque. Ces résultatspeuvent êtreaisément étendusau as plusgénéral de semimartingales

gaussiennes, dèsqu'il existe une mesure lo alement nie

ν

sur

[0, T ]

telle que pour presque tout

ω

∈ Ω

,le termede variation nie

dV (ω)

dansla dé omposition anonique de

X

soit absolument ontinupar rapport à

ν

.

Àpartirdelaquanti ationnormaled'uneEDS,onpeutfa ilementdénirunenotionde

quanti- ationlognormaled'EDSen onsidérantlaquanti ationnormaledel'exponentielledelasolution

del'EDS onsidérée(voirdénition 4.4.5),etobtenirlemême typede ontrled'erreur.Comme

'est le aspourlaquanti ationfon tionnelleordinaire,nousdéduisons aisémentdes méthodes

de ubatureasso iéesà esquanti ationsnormaleetlognormale, onsistantdansle asd'options

vanillesàappro herleprixd'uneoptiondansunmodèleàvolatilitéetdérivelo aleparunesomme

pondéréedeprixdansdesmodèlesrespe tivementnormauxet lognormaux.Nousfaisonsensuite

la onje ture(appuyéeparnosrésultatsnumériques)quel'erreurde ubaturedelaquanti ation

normalese omporte omme l'erreurde ubature de la quanti ation fon tionnelle, en d'autres

termes,

•

lastationnaritéduquantieurfon tionnelasso iépermetdegagnerunordrede onvergen e pourl'erreurde ubatureasso iée,

•

l'erreurde ubatureasso iéeadmetundéveloppementasymptotique parrapportàlataille duquantieur

N

delaforme

K

E

2

N

+ o(

E

N

2

)

quand

N

tendvers

+

∞

,où

E

N

estladistorsion quadratiquedelaquanti ationfon tionnelleasso iée.

Ainsi,nousavonsuneméthodede ubatureasso iéeàladistributiond'équationsdiérentielles

sto hastiquesdelaforme

dS

t

= b(t, S

t

)dt + σ(t, S

t

)dX

t

,

i.e. omportantuntermedevolatilitélo aleet unterme dedérivelo ale.

0.4.4 Appli ation à la valorisation dans les modèles à volatilité lo ale

sto hastique

Onsepla emaintenantdansun adreplusgénéral.Onsupposequesousuneprobabilité

risque-neutre,leForwardapourdynamique

§

dF

t

= σ

t

F

t

g(t, F

t

)dW

t

,

dσ

t

= b(t, σ

t

)dt + θ(t, σ

t

)dW

t

σ

,

(19) où

W

et

W

σ

sont des mouvementsbrowniens standards. On suppose que

W

se dé ompose en

ρdW

σ

t

+

p

1

− ρ

2

_dW

F

t

,où

W

F

est indépendant

W

σ

.Onnoterespe tivement

F

F

et

F

σ

les

ltra-tionsnaturellesdesmouvementsbrowniens

W

σ

et

W

F

. Deplus,onsupposeque

b(t, x)

et

θ(t, x)

sont boréliennes, lips hitziennes parrapport à

x

uniformémenten

t

∈ [0, T ]

et que

θ(t,

·)

est de lasse

C

1

pourtout

t

∈ [0, T ]

.On suppose que

g(t, x)

est unefon tion borélienne bornée et que

g(t,

_·)

estde lasse

C

1

.

Cette situation orrespond à de nombreux modèles à volatilité lassique, omme SABR et

Heston.Nousdétaillons les motivations del'introdu tion de e genre demodèles,impliquantun

termedevolatilitélo aleenplusdelavolatilitésto hastiquedansl'introdu tiondu hapitre4.

Nousé rivonsl'EDS(19)entermesd'intégraledeStratonovi h, e quidonne

¨

dF

t

= σ

t

g(t, F

t

)F

t

p

1

_{− ρ}

2

_dW

F

t

+ σ

t

g(t, F

t

)F

t

ρ

◦ dW

t

σ

−

ρ

2

2

σ

2

t

g(t, F

t

)g

x

′

(t, F

t

)F

t

2

dt

−

ρ

2

2

σ

2

t

g(t, F

t

)

2

F

t

dt

−

ρ

₂

F

t

g(t, F

t

)θ(t, σ

t

)dt.

(20)

Considéronsmaintenantunquantieurproduitstationnaire

α

de

W

σ

, orrespondantàla

dé om-position

N

1

× · · · × N

n

.Latraje toirede

α

orrespondantaumulti-indi e

i :=

{i

1

,

· · · , i

n

,

· · · }

est delaforme

α

i

₌

X

n≥1

È

λ

W

n

x

N

i

n

n

e

W

n

.